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Einfache Themen zur Physik des Sportsvon H. Joachim Schlichting

Der Mensch an sich selbst insofern er sich seinergesunden Sinne bedient, ist der größte und genaue-ste physikalische Apparat, den es geben kann, unddas ist eben das größte Unheil der neueren Physik,daß man die Experimente gleichsam vom Menschenabgesondert hat und bloß in dem, was künstlicheInstrumente zeigen, die Natur erkennen, ja, was sieleisten kann, dadurch beschränken und beweisenwill.

J. W. v. Goethe

Vorbemerkung

Im folgenden stellen wir eine Auswahl physikali-scher Sachverhalte und Modelle zusammen, die fürsportliche Aktivitäten einerseits und die Funktions-weise sportlicher Geräte und Hilfsmittel anderer-seits von Bedeutung sind. Diese Zusammenstellungsoll Lehrern als fachlicher Hintergrund und Quellemöglicher Inhalte für den Physikunterricht dienen,in dem es um die Behandlung sportlicher Aktivitä-ten geht. Die Darstellung beruht weitgehend aufeinfachen Modellen. Neben einer rein qualitativenErklärung (Je-desto-Aussagen), werden in einigenFällen Formeln benutzt, die dem Lehrer ggf. eigenenumerische Abschätzungen ermöglichen. Der Ein-fachheithalber beschränken wir uns dabei auf dieBeträge der auftretenden Vektorgrößen.

Energetik des Menschen

Das Ding, von dessen Augen und Ohren wir nichtsund von dessen Nase und Kopfe wir nur sehr wenigsehen, kurz unser Körper.

G. Chr. Lichtenberg

Der menschliche Körper - ein offenes thermo-dynamisches Modell

Bei sportlichen Aktivitäten steht der Mensch imMittelpunkt. Möglichkeiten und Grenzen der Akti-vitäten werden vor allem von seinen körperlichenFähigkeiten, den Muskelkräften, dem (mechani-schen) Leistungsvermögen und der Beherrschungvon Techniken bestimmt.

Um einen Zugang zu den physikalischen Aspektendieser Aktivitäten zu ermöglichen, betrachten wirden Menschen unter stark reduktionistischer Per-spektive als ein offenes thermodynamisches System.Dieses System vermag sich durch Aufnahme hoch-

wertiger chemischer Energie und Stoffe (in Formvon Nahrungsmitteln und Sauerstoff) und Abgabevon minderwertiger Energie und Stoffe (Wärme,Kohlendioxid und andere Ausscheidungen), alsoletztlich durch Entwertung von Energie, in einemdynamischen Zustand fernab vom thermischenGleichgewicht zu halten. Dazu gehört auch dasVermögen, auf die Umwelt einzuwirken und seinephysischen Beziehungen zur Umwelt aktiv und be-wußt zu gestalten, also insbesondere den verschie-densten lebensnotwendigen Verrichtungen nachzu-gehen, aber auch beispielsweise sich sportlich zubetätigen. (Weitere Vertiefung siehe z. B. [l].)

Energieumsatz bei verschiedenen sportlichenAktivitäten

Der menschliche Organismus nutzt die in den Nah-rungsmitteln steckende hochwertige Energie (Abb.1). Sie dient letztlich dazu, die durch die vielfälti-gen Körperfunktionen (Bluttransport, Muskeltätig-keit, Gehirntätigkeit usw.) verbrauchte, also ent-wertete, Energie ständig zu ersetzen und den Orga-nismus funktionstüchtig zu halten. Ein (völlig inak-tiver) Erwachsener (Körpermasse m = 70 kg) ver-braucht dafür täglich im Schnitt 7000 kJ hochwerti-ger chemischer Energie. Dem entspricht eine Lei-stung von PGU = 7000 kJ/(24 · 3600) s = 81 W, diesich in der Abgabe von Körperwärme äußert. DieserGrundumsatz dient u. a. der Aufrechterhaltung derHerztätigkeit (200 kJ/Tag) und der Atmung (250kJ/Tag). Alle zusätzlichen ,,Aktivi-täten", z. B. dasHeben einer Masse m um eine Höhe h, erfordern ei-nen zusätzlichen spezifischen Energieumsatz (Tab.I).

Der Mensch ist keine Wärmekraftmaschine

In unserm Körper ist das Feuer immer wirksam oh-ne zu brennen.

G. Chr. Lichtenberg

Dieser zusätzliche Energieumsatz ist jedoch größerals die an der Umgebung verrichtete Arbeit. Dennbei der Umwandlung der in den Nahrungsmittelnenthaltenen chemischen Energie in (mechanische)Muskelenergie treten Energieverluste auf. Es liegtdaher nahe, wie bei einer Wärmekraftmaschine voneinem Wirkungsgrad zu sprechen, der das Verhält-nis von Nutzen (an die Umgebung abgegebene me-chanische oder elektrische Energie) und Aufwand

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(chemische Energie der Nahrungsmittel oder derKohle) angibt.

Der maximale Wirkungsgrad 0 einer Wärmekraft-maschine ist bestimmt durch die absolute Tempe-ratur des Dampfkessels T und der Umgebung Tu:

T

T u−= 1η .

Würde der menschliche Organismus wie eine Wär-mekraftmaschine arbeiten, so ergäbe sich ausgehendvon einer Umgebungstemperatur von 20 °C (Tu =293 K) und einer Körpertemperatur von 37 °C (T =310 K) nach dieser Formel ein maximaler Wir-kungsgrad von 5 %. In Wirklichkeit treten aber vielgrößere Wirkungsgrade auf. Beispielsweise arbeitetdie Atmungsmuskulatur mit einem Wirkungsgradvon bis zu 60 %, und selbst der Gesamtorganismusbringt es bei effektiver Arbeitsweise noch auf 25 %.

Um einen solchen Wirkungsgrad zu erreichen,müßten - wiederum nach obiger Formel - im KörperTemperaturen von mindestens 460 °C auftreten.Das ist aber rein physiologisch ausgeschlossen. DieEnergetik des Menschen muß demnach völlig an-ders organisiert sein als die einer Wärmekraftma-schine. Während in einer Wärmekraftmaschine derverlustreiche Umwandlungsumweg über die Wär-meenergie (Verbrennung) gewählt wird, findet in

den Muskeln eine Direktumwandlung der aus denNahrungsmitteln stammenden chemischen Energiein mechanische Energie statt.

Bei sportlichen Übungen sind wir häufig in der La-ge, die an der Umgebung verrichtete Leistung, denLeistungsoutput Pout, auf einfache Weise abschätzenzu können. Demgegenüber ist man meist am Lei-stungsinput Pin interessiert, der Leistung, die insge-samt vom Organismus dafür aufgebracht werdenmuß. Sofern es sinnvoll erscheint, einen konstantenWirkungsgrad 0 anzunehmen (was jeweils bei einerbestimmten sportlichen Übung näherungsweise derFall ist), kann man von folgendem Zusammenhangzwischen Pout und Pin ausgehen:

ηout

GUin

PPP += , (1)

dabei ist PGU die Grundumsatzrate und 0 der Wir-kungsgrad. Die durch die Atmung unterhaltenenchemischen Reaktionen zur Freisetzung der Nah-rungsmittelenergie laufen pauschal gesehen daraufhinaus, daß die Nahrungsmittel durch Verbindungmit Luftsauerstoff in anorganische KonstituentenWasser und Kohlenstoffdioxid zerfallen. Z. B. ver-bindet sich 1 Mol Traubenzucker mit 6 Mol Sauer-stoff und zerfällt dabei in 6 Mol Wasser und Koh-lenstoffdioxid:

[CH2O]6 +6O2 → H2O + 6 CO2 + 2830 kJ

Da 6 Mol Sauerstoff ein Volumen von 22,4 l x 6 =134,4 l einnehmen, ist ein Sauerstoffumsatz von 1lmit einer Energieabgabe von (2830/134,4) kJ = 21kJ verbunden. Allgemein kann man davon ausge-hen, daß 1l O2 20,5 kJ liefert fast unabhängig vonder Art der Nahrungsmittel [2]. Da der Sauerstoffzu etwa 20 % in der Luft enthalten ist und bei derAtmung etwa 20 - 25 % davon genutzt wird, kannman sich als Faustformel merken, daß 1 l ein- bzw.ausgeatmete Luft mit dem Umsatz von 1 kJ Energieverbunden ist.

Die Atemluft als Maß des Energieumsatzes

Da die einmal ausgehauchte Luft zum Einatmen untiich-tig wird, so ist wahrscheinlich, daß sie wohl zu mehreremdienen muß, als zur Abkühlung des Blutes.

G. Chr. Lichtenberg

Diese enge Beziehung zwischen Atemluft und um-gesetzter Energie ist den Schülern rein intuitiv klar:Je stärker sie sich anstrengen, je mehr Energie siean die Umgebung abgeben, desto schneller und,,tiefer” müssen sie atmen. Daher liegt es nahe, imUnterricht eine grobe Abschätzung des Leistungsin-puts durch Messung der ausgeatmeten Luftmengevorzunehmen. Dazu wird zunächst der Leistungsin-put im Ruhezustand abgeschätzt: Man stellt dieAtemfrequenz fest und ermittelt die Luftmenge, die

Abb. 1: Die Sportler beziehen ihre Energie aus denNahrungsmitteln.

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jeweils ausgeatmet wird (Ausatmen in einen schlaf-fen Luftballon und Ausmessen des Volumens.Mehrmals wiederholen und Mittelwert bilden).Wird man jetzt sportlich aktiv (z. B. 20 Kniebeu-gen), so kann man aus der Zunahme der Atemfre-quenz und des Luftvolumens die Zunahme des Lei-stungsinputs über den Ruheumsatz hinaus feststel-len. Mit einem Fahrradergometer kann man für ei-nen Durchschnittserwachsenen bei einem Lei-stungsoutput von 75 W einen Mehrverbrauch vonetwa 1/3 l Luft pro Sekunde feststellen. Dem ent-spricht also ein Leistungsinput von etwa 330 W.Gemäß Formel (1) stellt man demnach einen Wir-kungsgrad von 0 = 30 % fest. Ein realistischererWert liegt bei etwa 20 - 25 %.

Energetik der Fortbewegung

Eine der mancherley Bedingungen des physischenDaseins ist körperliche Bewegung.

K. G. Schelle 1802

Der Sprung aus dem Stand

Eine der einfachsten ,,sportlichen" Übungen ist derSprung aus dem Stand. Aus der Sprunghöhe h läßtsich die „Höhen”-Energie ermitteln:

Epot = m·g·h.

Dabei ist m die Körpermasse des Springers und gdie Erdbeschleunigung. Wir gehen der Einfachheit

halber davon aus, daß Epot aufgebracht wird durchdie Wirkung einer mittleren Beinmuskelkraft FB,die auf einer Beschleunigungsstrecke s wirkt, so daß

gilt: s

mghFB = (3)

Die Beschleunigungsstrecke s läßt sich gemäß Abb.2 unter der vereinfachenden Annahme, daß Unter-

und Oberschenkel gleich lang sind und beim Ab-sprung einen rechten Winkel bilden, aus der Bein-

länge l ermitteln: ( )211 −= ls .

Daß diese Modellvorstellung vernünftig ist, kannman leicht überprüfen. Erfahrungsgemäß kann einMensch je nach Konstitution das 0,5- bis 1facheseines Körpergewichts G = mg tragen. Daraus folgt,daß die Beinmuskeln etwa eine Kraft von 1,5 · m · gbis 2 · m · g aufzubringen vermögen. Geht man da-von aus, daß jemand aus dem Stand 40 cm hochspringt, so ergibt sich nach der obigen Formel FB =1,6 · m · g, was in diesem Bereich liegt.

Hubmodell des Gehens

Aufgrund der Tatsache, daß der Mensch beim Ge-hen seinen Schwerpunkt hebt und senkt, kann manvermuten, daß der Energiebedarf des Gehens ingrober Näherung aus der potentiellen Energie, diebei jedem Schritt entwertet wird, abgeschätztwerden kann. Ein typischer Wert für den Schwer-punktshub d eines Erwachsenen beträgt 3 cm. Be-rücksichtigt man, daß dieser Hub mit einer Schritt-frequenz v erfolgt, so ergibt sich für den entspre-chenden Leistungsoutput Pout = mgdv.

Beispiel: Für einen Durchschnittserwachsenen (m =70 kg, l = 85 cm), der (2) mit 2 Schritt pro Sekundeläuft, ergibt sich demnach ein Leistungsoutput von42 W. Demgegenüber berechnet man gemäß Ta-belle 1 mit Hilfe von Gl. (1) einen Leistungsoutputvon 52 W. In dieser Diskrepanz kommt zum Aus-druck, daß u. a. der Energieverbrauch aufgrund derBewegung der Schenkel unberücksichtigt gebliebenist.

Geht man außerdem davon aus, daß die Schrittweitew unseres Durchschnittsmenschen gleich seinerBeinlänge l ist, so ergibt sich eine Gehgeschwindig-keit von

v = vw = vl ≈ 1,7 m/s ≈ 6 km/h. (4)

Pendelmodell des Gehens

Die Gangart, die sich einstellt, wenn man sich we-der bemüht, besonders schnell voranzukommen,noch betont langsam zu sein, sollte besonders öko-nomisch und bequem zugleich sein. Es erscheintplausibel, daß ein derartiges „natürliches” Gehenunter optimalen physikalischen Bedingungen er-folgt. Wir gehen davon aus, daß dies der Fall ist,wenn die Beine wie physikalische Pendel in ihrernatürlichen (Eigen-)Frequenz vn frei schwingen. DerGedanke, die Beine als Pendel zu betrachten, drängtsich geradezu auf, wenn man einen Menschen aufeinem Laufband gehen sieht, ohne daß er von derStelle kommt. Aus der Schrittfrequenz = Pendelfre-

Abb. 2: a) Modell des gebeugten (Hochstellung) und b)des gestreckten Beins.

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quenz und der Beinlänge läßt sich die Gehge-schwindigkeit leicht abschätzen (siehe Infokasten1). Es zeigt sich, daß die Geschwindigkeit nur sehrschwach von der Beinlänge abhängt. Dem ent-spricht die Erfahrung, daß Menschen mit kurzenBeinen und damit kürzeren Schrittweiten diesen,,Nachteil" dadurch nahezu ausgleichen, daß ihrekürzeren Beine mit höherer Frequenz „pendeln”,ohne daß dazu eine wesentliche zusätzliche An-strengung nötig wäre.

Sprungmodell des Sprints

Beim Sprinten kommt es darauf an, eine relativ kur-ze Strecke in einer möglichst kurzen Zeit zurück-zulegen. Zur physikalischen Beschreibung diesesVorgangs gehen wir von der folgenden einfachenModellvorstellung aus: Die maximal von denBeinmuskeln aufzubringende Kraft, die beispiels-weise beim Sprung aus dem Stand aktualisiert wird,läßt sich vollständig für die Horizontalbewegungausnutzen. Wir unterstellen also, daß bei jedemLaufschritt die gesamte Beinmuskelenergie (Gl. (2))der Horizontalbewegung zugute kommt (Abb. 3).Bei jedem Schritt wird das Bein von 0 m/s auf vB

beschleunigt und die kinetische Energie des Läufersum den Betrag

²2 B

BBB v

msFE ==

erhöht (mB: Masse des beschleunigten Beins). In-dem das Bein vorschnellt, den Boden berührt unddabei wieder auf 0 m/s abbremst, wird der Körperdes Läufers in n Schritten auf die Endlaufgeschwin-digkeit vL beschleunigt. Dabei erreicht der Läuferschließlich die Endenergie

BLL nEvm

E == ²2

(7)

Anschließend dient EB nur noch der Überwindungvon Reibungsverlusten vor allem der Füße mit dem

Infokasten 1:

Pendelmodell des Gehens

Geht man stark vereinfachend davon aus, daß diereduzierte Pendellänge gleich der halben Beinlängel ist, so ergibt sich nach der Formel für harmonischeSchwingungen eine natürliche Lauffrequenz von

l

gvn

2

2

1

π= . (5)

Da während der Schwingungen 2 Schritte gemachtwerden, ergibt sich für die Gehgeschwindigkeit

gllvwvv nn 21

22π

=== . (6)

Dabei wurde wieder die Schrittweite w näherungs-weise gleich der Beinlänge l gesetzt. Man kann un-mittelbar erkennen, daß vn von der nur schwach mitl variierenden Wurzelfunktion abhängt. Ändert sichl beispielsweise um den Faktor2, so ändert sich vn

nur etwa um den Faktor 1,4. Unser Durchschnitts-erwachsener (l = 0,85m) würde sich mit einer na-türlichen Gehgeschwindigkeit von vn = 1,29 m/s ≈4,6 km/h fortbewegen. Dieser Wert stimmt ziemlichgut mit dem entsprechenden empirischen Wertüberein.

Abb. 3: "Sprungmodell" des Sprinters: Durch Neigungin deie Horizentale wird aus dem Springer ein Sprinter.

Schlafen 1,15Ruhig sitzen 1,54Bequem stehen 1,79Handarbeit (Nähen) 1,92An- und ausziehen 2,05Singen 2,18Schreibmaschineschreiben 2,31Abwaschen, Bügeln 2,43Fegen 2,56Leichte Freiübungen 3,20Radfahren (13 km/h) 3,25Spazieren (4,5 km/h) 3,84Radfahren (20 km/h) 4,44Tischlern, Klempnern 4,87Aktiver Sport 5,13

6,44Treppen hinuntergehen 5,77Schwere Gegenständeverladen 6,41Schwere Sportübungen 7,05Tennis, Schwimmen 8,33Schnell laufen (8,8 km/h) 9,61Sehr schwere Sportübungen 10,25Sehr schnell laufen (12,6 km/h) 16,02Treppauf gehen 17,94

Tab. 1: Leistungsinput des menschlichen Organis-mus pro kg Körpergewicht bzw. Gesamtmasse in–W/kg für verschiedene Aktivitäten (aus [1])

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Boden und des gesamten Körpers mit der Luft (sie-he unten).

Da die Masse der Beine etwa ein Achtel der Kör-permasse ausmacht, mB ≈ m/8, und die maximaleBeingeschwindigkeit vB schließlich, wenn keineweitere Beschleunigung auftritt, etwa gleich derEndgeschwindigkeit vL ist, ergibt sich: n ≈ 8. We-gen der Vernachlässigung der auch bei den erstenSchritten auftretenden Reibung muß diese Zahl alsuntere Grenze angesehen werden. Durch Messun-gen erhält man einen realistischeren Wert von n ≈10. Setzt man diese Zahl in Gl. (7) ein und benutztgemäß Gl. (2) für

EB = Epot = mgh, so errechnet man:.

( )smhnghvL /2102 ≈=

Auf diese Weise läßt sich die maximale Laufge-schwindigkeit eines Sprinters aus der Höhe abschät-zen, die er aus dem Stand springt. Bei einerSprunghöhe von 40 cm sollte er nach unserem Mo-dell bei einem 100-m-Sprint eine Maximalge-schwindigkeit von knapp 9 m/s und eine etwas unterdiesem Wert liegende Durchschnittsgeschwindig-keit erreichen. Gute 100-m-Läufer erreichen Durch-schnittsgeschwindigkeiten von ca. 10m/s. Sie sprin-gen aber auch höher als 40 cm.

Der Leistungsoutput eines 100-mSprints läßt sichaus der Beinenergie EB, der mittleren Schrittweite wund der Laufgeschwindigkeit vL abschätzen:

w

vEP LB

out = (8)

Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 8m/s undeiner Schrittweite von w = 2m ergibt sich Pout =1100 W. Dem entspricht nach Gl. (1) ein Lei-stungsinput Pin ≈ 4500W. Eine so hohe Leistungkann ein erwachsener Sportler nur während einersehr kurzen Zeit aufbringen. (Weitere Aspekte desGehens und Laufens siehe [23]).

Wurfbewegungen

Das Modell des schiefen Wurfes

Bei sportlichen Aktivitäten kommen erstaunlichviele Bewegungen vor, die mit Hilfe des Modellsdes schiefen Wurfes beschrieben werden können.Dazu gehören sowohl Sprungbewegungen desSportlers (z. B. Weitsprung, Hochsprung, Stab-hochsprung) als auch Wurfbewegungen von Sport-geräten (Basketball-, Speerwurf, Kugel- und Stein-

stoßen). Bei den meisten anderen Ballbewegungendominieren verschiedene Wechselwirkungen mitder Luft. Wir setzen im folgenden die mit einfachengeometrischen Überlegungen herzuleitenden For-

meln für den schiefen Wurf voraus (Infokasten 2).

Weitsprung

Beim Weitsprung beschleunigt der Sportler seinenKörper zunächst auf eine möglichst hohe Ge-schwindigkeit (Anlauf) und versucht, ihn nach demAbsprung möglichst lange in der Luft zu halten, umeine möglichst große Distanz ohne Berührung desBodens zu durchqueren. Setzt man die Maximalge-schwindigkeit va = 10 m/s, die bei kurzen Sprintsfür einen guten Athleten erreichbar ist, so ergibtsich nach Gl. (10b) für die maximaleSprungweite:

mg

vl a 102sin

²max ≤⋅= α ,

(zum Vergleich: Weltrekord 8,95 m, Mike Powell).

Diese grobe Abschätzung ist nicht schlecht, hat abereinen Schönheitsfehler. Beim optimalen Absprung-

[Infokasten 2: Schiefer Wurf

va = Anfangsgeschwindigkeitα = Wurfwinkelhmax = maximale Wurfhöhelmax = maximale Wurfweiteg = Erdbeschleunigungvx = va Α cos α; vy = va Α sin α (10a)lmax = v²a Α sin 2α/g (10b)hmax = v²a Α sin² α/g (10c)

Wenn Start- und Zielpunkt auf unterschiedlicherHöhe (± d) liegen, gilt:

⋅

+±⋅⋅⋅=α

αα22

2

max sin

211cossin

a

a

v

gd

g

vl

(10d)

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winkel von 45° ergibt sich nämlich eine maximaleSprunghöhe von 2,50 m. Dies ist nicht nur im Rah-men des Weitsprungs unrealistisch. Geht man davonaus, daß der Weitspringer auch ein guter Hoch-springer ist, so könnte er es allenfalls schaffen, beimHochsprung seinen Schwerpunkt um etwa 1 m an-zuheben. Dem würde nach Gl. (10c) eine vertikaleAbsprunggeschwindigkeit von vy = 4,6m/s entspre-chen. Geht man gleichzeitig davon aus, daß er einehorizontale Absprunggeschwindigkeit von vx = 10m/S schafft, dann ermittelt man gemäß tan a = vy/vx

einen Absprungwinkel von a ≈ 27°.Unter diesemWinkel würde sein Schwerpunkt eine Entfernungvon 8,10 m zurücklegen. Berücksichtigt man noch,daß beim Absprung der Schwerpunkt bei etwa 1 mHöhe und beim Landen bei 0 m liegt, sowie daß dieBeine beim Landen nach vorn gerissen werden, soerrechnet man eine entsprechend größere Sprung-weite.

Hochsprung

Beim Hochsprung kommt es darauf an, mit einemBein abspringend, den Körper über eine Sprunglattehinüberzubewegen. Um seinem Körper eine mög-lichst große vertikale Beschleunigung zu erteilen,unterstützt der Athlet die von den Beinmuskeln aufden Boden ausgeübte Kraft dadurch, daß er dasfreie Bein und die Arme beim Absprung nach obenreißt. Auf diese Weise wird der Körper in entge-gengesetzte Richtung beschleunigt (Impulssatz) unddie auf den Boden ausgeübte Kraft entsprechendvergrößert. Gleichzeitig versucht der Springer sei-nen Körper so zu bewegen, daß sein Schwerpunktwährend des Sprungs möglichst niedrig bleibt. Dazugibt es verschiedene Techniken. Bei der Fosbury-flop-Technik gelingt es dem Springer durch Biegendes Körpers, seinen Schwerpunkt nach außen zuverlagern und zwar so, daß dieser sich manchmalsogar unter der Latte hinwegbewegt (Abb. 4).

Wie hoch wird nun eigentlich beim Hochsprung derSchwerpunkt des Springers angehoben? Wenn bei-spielsweise ein 1,80 m großer Springer mit einem

Schwerpunkt bei 1 m über dem Boden die Weltre-kordhöhe von 2,44 m (Sato Mayor) erreichen will,so muß er seinen Schwerpunkt um 1,44 m anheben,um ihn gerade auf Lattenhöhe zu bringen. GrößereSpringer haben es da leichter, weil ihr Schwerpunkthöher liegt.

Kugelstoßen

Stark ist, wer Kraft - bändigt

H. Lohberger

Eine weitere sportliche Aktivität, bei der die Wurf-parabel eine wichtige Rolle spielt, ist das Kugelsto-ßen: Eine mk = 7,257 kg schwere Metallkugel mußaus einem Kreis mit einem Durchmesser von 2,134m heraus mit einer Hand möglichst weit weggesto-ßen werden. Um eine Weltrekordweite von 23,12 m(Randy Barnes) zu erreichen, muß der Kugelstoßergemäß Gl. (10d) der Kugel eine Anfangsgeschwin-digkeit va von mehr als 14 m/s erteilen, wenn er dieKugel aus einer Höhe h von 2,25 m stößt. Ent-scheidend für die Beschleunigung der Kugel ist dieArmkraft des Athleten. Durch den Anlauf im Kreis(Abb. 5) schafft er allenfalls eine Beschleunigungauf 1,5 m/s. Die zusätzliche Geschwindigkeit v von12,5 m/s muß der Kugel durch Vorstoßen des Ar-mes erteilt werden. Dazu muß der Sportler eineBewegungsenergie von

JvmE kkin 567²2

1 ==

Abb. 4: Bei der Fosbury- flop- Technik kann derSchwerpunkt unterhalb der Latte hinwegbewegt werdern.

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auf die Kugel übertragen. Das gelingt ihm auf einer

Beschleunigungsstrecke von typisch s = 1 m. Folg-lich muß er währenddessen eine mittlere Kraft vonFK = Ekin /s = 567 N auf die Kugel ausüben. Abernicht die Kraft ist der begrenzende Faktor, sondernder Leistungsinput Pin des Athleten. Pin hängt mitdem (aus FK und der mittleren Geschwindigkeit derKugel 2/vv ≈ abzuschätzenden) LeistungsoutputPout gemäß Gl. (1) zusammen: Pout = FK · v (11)

Mit den obigen Zahlenangaben erhält man einenLeistungsoutput von 3,5 kW. Das ist mehr als dasDreifache des Leistungsoutputs der beim Sprintenzu verausgaben ist und kann daher auch nur für denBruchteil einer Sekunde freigesetzt werden. Da die-se Anforderungen ähnlich wie bei Gewichthebernnur von Sportlern mit äußerst starken Armmuskelnerbracht werden können, ähneln die Kugelstoßerschon rein äußerlich den Gewichthebern. Da überden Erfolg manchmal wenige Zentimeter entschei-den, kommt es für den Kugelstoßer darauf an, dieKugel zum einen aus möglichst großer Höhe abzu-stoßen (großes d in Gl. (10d)). Das ist natürlichweitgehend durch die Größe des Sportlers vorgege-ben. Zum anderen muß es ihm gelingen, den Ab-wurfwinkel von etwa 42° möglichst gut einzuhalten.Wie man nach Gl. (10d) leicht nachrechnet, machteine Abweichung von 3° nach unten bei gleicherKraft und Leistung eine Verkürzung der Wurfweiteum 3 cm aus.

Basketball

Der Erfolg einer Basketballmannschaft hängt vorallem davon ab, wie gut ihre Spieler den Ball ausunterschiedlichen Entfernungen in den Korb hinein-zubefördern vermögen. Anders als der Kugelstoßer,bei dem kleine Ursachen: geringfügige Abweichungvom optimalen Stoßwinkel, stets zu kleinen Wir-kungen: geringfügige Verringerung der Wurfweite,führen, können beim Basketballspieler kleine Ursa-chen: kleine Abweichung vom optimalen Wurfwin-kel, bzw. der optimalen Abwurfgeschwindigkeit,große Wirkungen: nämlich das Verfehlen des Kor-bes, zur Folge haben. Der Ballwurftechnik ist dahermehr als bei allen anderen Wurfspielen darauf aus-gerichtet, die Auswirkungen von Fehlern zu mini-mieren. Dabei spielt ein wichtiger Grundsatz eineentscheidende Rolle: Die maximale Weite ist gleichder optimalen Weite. Es ist also nicht etwa günstig,wie man naiverweise anzunehmen geneigt ist, denBall in einem besonders steilen Bogen zu werfen, sodaß er möglichst steil in den Korb trifft. Der Ball istvielmehr unter dem Winkel zu werfen, der zur ma-ximalen Wurfweite führt. Als Begründung verwei-sen wir zum einen auf die Tatsache, daß die maxi-male Wurfweite lmax minimaler Abwurfgeschwin-digkeit va entspricht, was eine minimale Muskelan-strengung und damit eine sicherere Hand beim Wurfzur Folge hat. Hinzu kommt, daß bei minimalem va

natürlich auch der Luftwiderstand minimal ist. Ob-wohl der Einfluß des Luftwiderstands so klein ist,daß wir ihn in den Formeln getrost vernachlässigenkönnen, kann seine Minimierung in der Praxis auf-grund der sensitiven Abhängigkeit des Korbtreffersvon den Anfangsbedingungen durchaus von Be-deutung sein. Die Minimierung von v ist zum ande-ren insofern von Bedeutung, als ein Fehler sich umso geringer auswirkt, je kleiner va ist [3].

In Abb. 6 ist eine typische Wurfsituation skizziert.Der Spieler wird den Ball in der Regel durch densog. Überkopfwurf (a) oder den Unterhandwurf (b)in den Korb befördern. Wie man mit den modifi-zierten Formeln für den schiefen Wurf Gl. (10d)nachrechnen kann, ergeben sich für den Überkopf-wurf kleinere Geschwindigkeiten und ein kleinererKorbeintrittswinkel (steilerer Korbeintritt). Daherist dieser Wurf rein physikalisch betrachtet sichererals der Unterhandwurf.

Abb. 5: Der Kugelstoßermuß die Formel des schiefenWurfes optimal realisieren.

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Hammerwurf

Wegen seiner physikalisch interessanten Abwurf-technik soll auch noch der Hammerwurf skizziertwerden. Der Hammer besteht aus einer Kugel, diean einem Seil befestigt ist. Der Sportler bringt denHammer am Seil haltend auf eine Kreisbahn, umihn nach typischerweise 5 Umdrehungen loszulas-sen, damit dieser in Richtung der Kreistangentemöglichst weit wegfliegt.

Beim Hammerwurf oder beim Schleuderball (vgl.[29]) können die Schüler einige für sie meist als er-staunlich empfundene Erscheinungen der Kreisbe-wegung am eigenen Körper erfahren. Beispielswei-se vermuten manche Schüler, der Hammer würdenach dem Loslassen seine Kreisbahn mit einem et-was größeren Radius fortsetzen. Sie sind meist er-staunt zu erkennen, daß der losgelassene Hammerseine Bahn geradlinig, tangential zur Kreisbahnfortsetzt. Zum anderen wird ihnen beim Schleuderndes Hammers klar, daß die Kraftwirkung kaum inBewegungsrichtung des Hammers, sondern vor al-lem senkrecht dazu in Richtung auf das Drehzen-trum auszuüben ist. Sie erleben gewissermaßen, daßeine um so größere Kraft nötig ist, den Hammerständig aus der geradlinig gleichförmigen Bewe-gung abzulenken und auf einen Kreis zu zwingen, jeschneller er sich bewegt. Bei hoher Geschwindig-keit muß man sein ganzes Körpergewicht einsetzen,um nicht seinerseits vom Hammer weggerissen zuwerden.

Welche Kräfte treten beim Hammerwurf auf? DerWeltrekord beim Hammerwurf liegt bei 86,74 m(Juri Sedych). Aus dieser Wurfweite kann man mitHilfe von Gl. (10) die Anfangsgeschwindigkeit va =29 m/s abschätzen, d. h. die Geschwindigkeit, aufdie der Sportler den Hammer durch Herumschleu-dern beschleunigt, bevor er ihn losläßt. Im Augen-blick des Loslassens muß der Hammerwerfer denHammer mit einer Zentripetalkraft

von r

mvF a

z

²= ,,halten". Die Masse m des Ham-

mers beträgt 7,26 kg, und der Kreisradius r läßt sichaus der Armlänge (la ≈ 0,90 m) des Athleten und derSeillänge (l = 1,22 m) zu etwa 2,10 m abschätzen.Dann beträgt Fz = 2900 N! Diese enorme Kraft mußder Athlet mit Hilfe seiner Körpermasse (schrägnach hinten lehnend) und der Reibung mit dem Bo-den kompensieren. Entscheidend ist, daß seineArmmuskeln diese Kraft aushalten.

Der Hammerwerfer bringt den Hammer in der Re-gel dadurch auf Touren, daß er ihn zweimal überden Kopf schleudert und sich dann zwei bis dreimalselbst mitdreht. (Der Hammer macht insgesamt alsoetwa n = 5 Umdrehungen). Dabei muß der Athletdem Hammer tempomäßig immer etwas voraussein.Um ihn auf der Kreisbahn zu beschleunigen, muß ernämlich auch noch eine tangentiale Kraft ausüben(Abb. 7). Geht man davon aus, daß der Hammergleichmäßig auf die Endgeschwindigkeit va be-schleunigt wird, so gilt für den

Abb. 6: Schematische Darstellung des Überkopf- (a) und Unterhandwurfes (b) beim Basketballwurf sowie typischeAbmes-sungen.

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Wert der Beschleunigung: s

va a

2

2

= .

Dabei ist s = 2Βrn. Mit r = 2,1 m und n = 5 Um-drehungen ergibt sich für a = 6, 3 m/s² und damiteine tangential wirkende Kraft Ft = ma von 46 N.

In der letzten Umdrehung muß der Hammerwerferzusätzlich dafür sorgen, daß der Hammer den opti-malen Abwurfwinkel von etwa 45° erhält. Die be-sondere Schwierigkeit liegt dabei zum einen darin,daß dazu eine zusätzliche Kraft nötig ist, derSportler also gemäß actio = reactio außer nach au-ßen auch noch nach oben gezogen wird. Wenn dasTiming bei diesem Manöver nicht exakt stimmt,kann es vorkommen, daß durch den entsprechendenGewichtsverlust die Haftreibung mit dem Bodennicht mehr ausreicht, die erforderliche Zentripetal-kraft aufzubringen.

Bewegung in Medien

Sportliche Aktivitäten finden nicht im luftleerenRaum, sondern in einem Medium statt: in Luft oderin Wasser. Der Einfluß des Mediums konnte bei denoben skizzierten Sportarten vernachlässigt werden.Bei den im folgenden angesprochenen Aktivitätenist die Wechselwirkung des Sportlers bzw. desSportgeräts mit dem Medium von großer Bedeu-tung. Die Rolle des Mediums Luft oder Wasser läßtsich i. w. auf folgende Aspekte reduzieren:

- auf den Widerstand den es Bewegungen entge-gensetzt (z. B. Luftwiderstand beim Radfahren,bei Ball würfen, Wasserwiderstand beimSchwimmen),

- auf den Antrieb, der durch das strömende Me-dium ermöglicht wird (z. B. Surfen, Windsur-fen, Segeln)

- auf den Auftrieb, durch den bestimmte Aktivi-täten überhaupt erst möglich werden (z. B.

Schwimmen, Rudern, Bumerangwerfen, Segelfliegen, Tauchen) und

- auf spezielle Wechselwirkungen, durch dieBewegungen in gezielter Weise beeinflußtwerden können (z. B. Top- und Backspinbeim Tennis, Kurvenschießen beim Fußball).

Das Medium als Widerstand

Der Widerstand ist die Rechtfertigung jeder Kraftvor sich selbst.

H. Lohberger

Der bekannte Ausspruch, ein Radfahrer hat immerWind von vorn, bringt zum Ausdruck, daß die ru-hende Luft bewegten Objekten einen ähnlichen Wi-derstand entgegensetzt, wie man ihn vom Gegen-wind her kennt. Der Spruch ist auf den Radfahrerund nicht etwa auf den Fußgänger gemünzt, für dener gleichermaßen gelten müßte. Daraus spricht dieErfahrung, daß Sich der Luftwiderstand erst bei hö-heren Geschwindigkeiten unangenehm bemerkbarmacht. Der Radfahrer ,,weiß" außerdem intuitiv,daß der Widerstand dadurch gemindert werdenkann, daß man sich auf dem Fahrrad zusammenkau-ert, d. h. seine Querschnittsfläche verringert. Je-mand, der z. B. eine größere Hartfaserplatte bei nurmäßigem Wind zu transportieren versucht, erlebtam eigenen Leibe, welchen dominierenden Einflußdie Wechselwirkung mit der Luft erlangt, wenn dieQuerschnittsfläche des bewegten Objekts groß wird.Zahlreiche Erfahrungen, die man in ,,luftiger" Um-gebung gemacht hat, lassen sich in ,,wäßriger Um-gebung - etwa um den Faktor 770 - verstärkt erle-ben. Die vergleichsweise hohe Dichte des Wassers,läßt das Laufen selbst dann zu einer Karikatur der inder Luft so erfolgreichen Fortbewegungsart werden,wenn das Wasser nur bis zu den Oberschenkelnreicht. Einen direkten Vergleich erfährt man, wennman sich z. B. per Kopfsprung von dem einen Me-dium ins andere begibt. Beim Eintauchen ins Was-ser spürt man eine deutliche Abbremsung. Bei die-ser Gelegenheit kann man außerdem gelegentlich inForm eines ,,Bauch-klatschers" leidvoll erfahren,daß auch in diesem Fall der Widerstand des Medi-ums mit der Querschnittsfläche wächst. Alle dieseErfahrungen zum Widerstand des Mediums lassensich mit einer einzigen Formel quantitativ zusam-menfassen (siehe Infokasten 3).

Mit Formel (12) können zahlreiche Bewegungen inLuft oder Wasser abgeschätzt werden. Es seien nureinige Beispiele genannt: Sprinten, Radfahren,Schwimmen, Kopfsprung ins Wasser, Fallschirm-springen, sowie näherungsweise - horizontale odervertikale Abschnitte von Ballbewegungen, wie siein zahlreichen Ballspielen vorkommen. Die Ein-schränkung auf horizontale oder vertikale Ab-

Abb. 7: Drehbewegung beim Hammerwurf

11

schnitte im letzten Beispiel muß gemacht werden,weil die Berücksichtigung des Widerstands desMediums beim schiefen Wurf zu Bewegungsglei-chungen führt, die nicht mehr geschlossen gelöstwerden können und numerische Berechnungen nö-tig machen. Darauf soll hier aber nicht eingegangenwerden (siehe z. B. [5]).

Horizontale Bewegungen Laufen

In der Abschätzung des Leistungsoutputs beimSprinten (siehe oben) waren die Energieverlusteaufgrund des Luftwiderstands bereits enthalten. Wirkönnen diesen Anteil mit Gl. (12) abschätzen: Gehtman von einer Querschnittsfläche A des Läufersvon 0,5 m² (unter Berücksichtigung der Schräglageaus der Körperoberfläche von 1,8 m² abgeschätzt)und einem cw-Wert von 0,9 (wie bei einem Touren-rad) aus, so ergibt sich allein aufgrund des Luftwi-derstandes ein Leistungsoutput P'out = 148 W. Dassind etwa 13 % des in Gl. (8) abgeschätzten Ge-samtleistungsoutputs eines 100-m-Sprinters.

Radfahren

Radfahren wird als anstrengend empfunden. DieAnstrengung ist Ausdruck der Tatsache, daß derRadfahrer mit Hilfe seiner Beinmuskulatur Energieauf das Rad übertragen muß, um es in Bewegung zu

bringen und zu halten. Die Energie dient nur zu ei-nem geringen Anteil der Beschleunigung und damitzur Erhöhung der Bewegungsenergie des Rades:Entscheidend ist, daß zur Aufrechterhaltung einerbestimmten Geschwindigkeit Energie erforderlichist. Die dem mit konstanter Geschwindigkeit fah-renden Rad pro Zeiteinheit zugeführte Energie (derLeistungsoutput) wird aufgrund von Reibungsme-chanismen (Rollreibung Fr und Luftwiderstand Fw)vollständig entwertet, also letztlich als Wärme andie Umgebung abgegeben. Während die Rollrei-bung außer vom Straßenbelag und von den Reifennur noch von der Masse des Radlers und des Radesm abhängt und näherungsweise als konstant angese-hen werden kann, wächst der Luftwiderstand starkmit der Geschwindigkeit v an (siehe Infokasten 3:Gl. (13)). Die physikalische Problematik des Fahr-radfahrens haben wir bereits ausführlich an andererStelle beschrieben [4, 6, 7].

Vertikale Bewegungen

Bei vertikalen Bewegungen ist der Einfluß derSchwerkraft von großer Bedeutung. Läßt man einenGegenstand fallen, so unterliegt er einer konstantenBeschleunigung von g = 9,81 m/s². Gleichzeitigwächst aber der Luftwiderstand quadratisch mit derGeschwindigkeit. Es kann daher der Fall eintreten(z. B. beim Fall aus großer Höhe), daß der Luftwi-derstand schließlich den Wert der Schwerkraft an-nimmt, und der Gegenstand mit einer gleichförmi-gen Endgeschwindigkeit, der sogenannten Sinkge-schwindigkeit fällt.

Fallschirmspringen

Physikalisch unterscheidet sich der Sprung mit undohne Fallschirm nur dadurch, daß der Springer eineandere Sinkgeschwindigkeit erlangt. Der Fallschirmist eine künstliche Vorrichtung, die Fläche desSpringers so zu vergrößern und damit die Sinkge-schwindigkeit so zu verkleinern, daß er unversehrtauf der Erdoberfläche aufkommt (siehe Aufgabe 3).

Das Fallschirmspringen ist nicht zuletzt durch fas-zinierende Sprungfiguren bekannt geworden, die

Infokasten 3:Widerstand in einem Medium

Im Rahmen eines einfachen Modells geht man da-von aus, daß die Widerstandskraft Fw proportionalzur Querschnittsfläche A und zur Dichte ∆ des Me-diums sowie quadratisch mit der Geschwindigkeit vwächst [4]:

2

2

1AvcF ww ρ= (12)

Die Proportionalitätskonstante cw ist der soge-nannte Widerstandsbeiwert. Sie erfaßt u. a. dieForm des bewegten Objekts (Tabelle 2).

Beim Radfahren kommt zur LuftwiderstandskraftFw die Rollreibungskraft Fr = :m hinzu:

212

1AvcmFFF wwr ρµ +=+= (13)

Dabei ist : der Rollreibungskoeffizent, der beinormalen Tourenrädern und glattem Untergrundetwa 0,05 beträgt. Vom Einfluß des Windes seihier aber der Einfachheit halber abgesehen [6].

Objekt Cw- Wert______________________________________

Kugel 0,45Zylinder 0,8Kreisscheibe 1,1Halbkugelschale(konvex) 0,33Halbkugelschale(konkav) 1,33Fahrrad (Normalhaltung) 0,7-0,9stromlinienförmiger Körper 0,05Fallschirm 2

12

von einem ebenfalls fallenden Springer gefilmtwerden und den Eindruck erwecken, die mit etwa100 km/h fallenden Springer schwebten wie Vögelin der Luft. Die Akrobaten müssen sehr genau wis-sen, wie lange sie ohne Schirm agieren dürfen undin welcher Höhe des Fallschirm zu öffnen ist. Mitder Formel (12) lassen sich die entsprechendenZeiten und Höhen abschätzen [8].

Die "treibende" Kraft des Mediums

Nicht immer ist der Widerstand, den das Mediumden Bewegungen entgegensetzt, als destruktiv unddaher unerwünscht anzusehen. Bei allen Fortbewe-gungsarten, bei denen man sich gewissermaßen vomMedium ,,abstoßen" (Impulsübertragung) muß,nimmt er eine ,,konstruktive" Rolle ein. Anders alsetwa bei den Fortbewegungsarten Laufen oder Rad-fahren, bei denen man eine (Reibungs-) Kraft aufden Boden ausübt, um sich fortzubewegen, mußman z. B. beim Segeln, Windsurfen, bei allen Artendes Schwimmens, beim Paddeln oder Rudern eineentsprechende Kraft auf das Medium selbst aus-üben, um als ,,Rückstoß" einen entsprechendenVortrieb zu erreichen.

Weil in diesen Fällen das Medium sowohl als An-trieb dient, als auch gleichzeitig der Bewegung ei-nen Widerstand entgegensetzt, kommt es darauf an,

die Wechselwirkung mit dem Medium, die zumVortrieb führt, möglichst groß und die Wechselwir-kung, die den Widerstand bestimmt, möglichst kleinzu machen. Dazu einige Beispiele:

Schwimmen

Beim Schwimmen muß sich der Sportler vom Was-ser ,,abstoßen". Das erreicht er durch geeigneteArm- und Beinbewegungen. Dafür gibt es mehrereTechniken. Wir betrachten die Armbewegung beimBrustschwimmen etwas genauer (Abb. 8): Bei je-dem Schwimmzug werden die Arme im Wasser zu-nächst nach hinten, anschließend wieder nach vornbewegt. Während bei der Bewegung der Arme nachhinten eine Kraft derart auf das Wasser ausgeübtwird, daß sich gemäß actio = reactio der erwünschteVortrieb des Schwimmers ergibt, wird beim Zu-rückholen der Arme nach vorn umgekehrt eine denSchwimmer bremsende Kraft bewirkt. Damit derSchwimmer überhaupt von der Stelle kommt, mußer dafür sorgen, daß die Kraftwirkung auf das Was-ser möglichst groß ist, wenn er die Arme nach hin-ten bewegt, und möglichst klein, wenn er sie für dennächsten Schwimmzug nach vorn zurückholt. Daserreicht er dadurch, daß er im ersten Fall die Hand-flächen quer zur Fortbewegungsrichtung (großeQuerschnittsfläche A in Gl. (12)) aufstellt, ihnendabei eine löffelartige Form (großer cw-Wert) ver-leiht und sie unter großem Bogen schnell nach hin-ten (große Geschwindigkeit v) stößt. Gemäß Gl.(12) ist die Geschwindigkeit, mit der man die Hän-de durch das Wasser bewegt natürlich begrenztdurch die von den Armmuskeln aufzubringendeKraft Fw. Bei der Rückführung der Hände verfährter so, daß die Wechselwirkung mit dem Wasser

möglichst klein bleibt (kleines A und kleiner cw-Wert). Eine ähnliche Analyse läßt sich auch für dieBeinbewegungen anstellen.

Diese Erklärung gibt jedoch nicht die ganze Wahr-heit wieder. Durch die Bewegung der Hände imWasser treten außerdem Auftriebskräfte (siehe un-

Abb. 8: Phasen des Bewegungsablaufs beim Brustschwimmen (von oben gesehen)

13

ten) auf, die ebenfalls zum Vortrieb beitragen (aus-führliche Darstellung in [9]).

Aufgrund dieser rhythmischen Variation der Wech-selwirkung von Armen und Beinen mit dem Wassergleitet der Schwimmer vorwärts. Dadurch erfährtsein Körper als ganzes einen Widerstand durch dasWasser, der die Vorwärtsbewegung hemmt. DieserWiderstand muß daher möglichst klein gemachtwerden. Da die Querschnittsfläche A nicht wesent-lich verändert werden kann, wird der Minimierungdes cw-Wertes große Aufmerksamkeit geschenkt (z.B. kurzer Haarschnitt bzw. Badekappe, Rasur derKörperhaare).

Während man beim Brustschwimmen die Variationder Wechselwirkung mit dem Wasser durch Varia-tion von A und cw erreicht, wird z. B. beim Kraulenzusätzlich die Variation der Dichte p des Mediums -die die Wechselwirkung zwischen Schwimmer undWasser mitbestimmt- ausgenutzt: Die im Wasser(großes p) nach hinten gestoßenen Hände, werdenaußerhalb des Wassers (kleines p) wieder zurück-geholt.

Rudern und Paddeln

Die Variation der Dichte wird auch beim Rudernund Paddeln weitgehend ausgenutzt. Die besondersgeformten (cw-Wert) Ruder bzw. Paddel werden imWasser (großes p) bei möglichst großer Quer-schnittsfläche A nach hinten und außerhalb desWassers (kleines p) wieder nach vorn bewegt. Un-terstützt wird das ganze durch eine möglichst kleineWiderstandskraft des Bootskörpers (kleine Quer-schnittsfläche A, kleines cw).

Segeln und Windsurfen

Woher weiß der Wind, in welche Richtung er wehensoll?

S. J. Lec

Beim Segeln und Windsurfen ist man auf die Bewe-gung des Mediums selbst angewiesen. Indem mander bewegten Luft möglichst große und geschicktgeformte Querschnittsflächen (Segel) entgegenstellt,wird sie gezwungen, eine Kraft und damit einenVortrieb auf das Segelboot oder das Surfbrett aus-zuüben. Neben dem Vorhandensein eines genügendstarken Windes kommt es bei diesen Sportarten vorallem auf die Fähigkeiten des Sportlers an, durchOrientierung der Segel bezüglich der Windrichtungund durch Veränderung der Segelfläche die bewegteLuft möglichst optimal im Sinne von Gl. (12) aus-zunutzen (Abb. 9) Physikalisch interessant ist hierdie Tatsache, daß Segler und Surfer nicht in ersterLinie durch stures Getriebenwerden vom Wind inWindrichtung vorankommen. Durch Ausnutzung

von ,,Auftriebskräften" (siehe unten), d. h. durchgeschicktes Ablenken der bewegten Luft, könnensie nicht nur in andere Richtungen fahren, sondernauch wesentlich höhere Geschwindigkeiten als diedes Windes erreichen. Durch die sogenannte Tech-nik des Kreuzens gelingt es sogar, wenn auch nichtauf direktem Weg, in Gegenwindrichtung voranzu-kommen.

Erwähnt sei außerdem, daß beim Segeln und Wind-surfen die Wechselwirkungen sowohl mit dem Was-ser als auch mit der Luft zum Tragen kommen. Da-bei greifen Antriebs- und Widerstandseffekte insubtiler Weise ineinander.

Eine quantitative Behandlung des Segels als An-triebsmaschine ist im allgemeinen relativ kompli-ziert. Durch Beschränkung auf typische Spezialfäl-le, lassen sich jedoch mit Hilfe von Gl. (12), in derzusätzlich die Windgeschwindigkeit zu berücksich-tigen ist, einfache Abschätzungen machen [10].

Die „tragende" Rolle des Mediums

Statischer Auftrieb

Das Medium, in dem Bewegungen stattfinden, kannin einer weiteren Hinsicht konstruktiv sein: Es ver-mag Sportler und Sportgerät zu tragen. Damit istzunächst die simple Tatsache gemeint, daß bei-spielsweise ein Ballon in der Luft ebenso wie einSchwimmer oder ein Boot im Wasser eine Auf-

Abb. 9: Ein Windsurfer bestimmt Richtung und Ge-schwindigkeit der Bewegung durch eine entsprechendeOrientierung des Segels gegen den Wind. Ein Seglerkann darüber hinaus auch noch die Segelfläche verän-dern.

14

triebskraft erfährt, aufgrund derer der Ballon zuschweben (fliegen) und der Schwimmer oder dasBoot zu schwimmen vermag.

Aufgrund des Archimedischen Prinzips verliert einGegenstand in einem Medium soviel an Gewicht,wie die von ihm verdrängte Menge des Mediumswiegt. Erreicht das Gewicht der verdrängten Mengedes Mediums das Gewicht des Gegenstandes, bevordieser völlig eintaucht, so schwimmt er. Das gilt füreinen Schwimmer ebenso wie für ein Ruderbootoder Surfbrett. (Daß es einem Nichtschwimmermeist nicht gelingt, davon zu profitieren, hat andereGründe.)

Anders als beim Schwimmen tauchen Gegenständein Luft stets völlig ein. Damit sie in bestimmter Hö-he schweben können, muß dafür gesorgt werden,daß sich Auftriebs- und Gewichtskraft die Waagehalten. Das gelingt beim Heißluftballon durch dieVariation der Dichte der im Ballon befindlichenLuft mit Hilfe von Temperaturänderungen. In ge-schlossenen, mit leichten Gasen gefüllten Ballonserreicht man eine Dichtevariation durch Abwurfvon Ballast oder Ablassen von Gas aus dem Ballon.

Aerodynamischer und hydrodynamischerAuftrieb

Wenn die Dichte eines Gegenstandes größer ist alsdie des Mediums, reicht der statische Auftrieb nichtaus, das Objekt zum Schwimmen oder Schweben zubringen. In diesem Fall kann man durch geeigneteBewegungen Wechselwirkungen mit dem Mediumbewirken, die zu einem sogenannten aerodynami-schen bzw. hydrodynamischen Auftrieb führen:

Wenn sich ein flächenhaftes Objekt (Tragfläche)oder ein mit Tragflächen versehenes Objekt so inLuft oder Wasser bewegt, daß es aus der Sicht desObjekts schräg angeströmt wird (Abb. 10), dann er-folgt je nach der Größe der Schrägstellung einemehr oder weniger starke Ablenkung des Mediums.

Dadurch tritt gemäß actio = reactio eine entspre-chende (aerodynamische bzw. hydrodynamische)Auftriebskraft FA auf, die um so größer ist, je grö-

ßer die Tragflächen AF , je dichter das Medium (p)und je höher die Geschwindigkeit v der Tragflächerelativ zum Medium ist. Dadurch kann die Schwer-kraft überwunden werden. Die Auftriebskraft mußnicht unbedingt nach oben gerichtet sein. Bei seitli-cher Schrägstellung der Tragflächen treten bei-spielsweise zur Seite wirkende Kräfte auf, mit derFolge einer entsprechenden seitlichen Ablenkung(z. B. Bumerangbahn [11]).

Wie bereits die qualitative Diskussion der Abhän-gigkeiten erahnen läßt, wird die den Auftrieb be-wirkende konstruktive Wechselwirkung zwischenTragfläche und Medium durch einen ganz ähnlichenfunktionalen Zusammenhang beschrieben wie die

zum Widerstand führende Wechselwirkung (sieheInfokasten 4).

Wasserski

Der Wasserskifahrer gleitet mit seinen Skiern so-lange über das Wasser, wie er genügend schnell (z.B. von einem Boot) gezogen wird. Unterschreitetdie Geschwindigkeit einen bestimmten Wert, sosinkt er wie jeder Mensch, der versuchte, auf dem

Abb. 10: Schematische Darstellung der Ablenkung der anströmenden Luft durch die in einem Winkel angestellte Tragfläche.Die durch die Ablenkung bedingte Geschwindigkeitsänderung ∆v bedingt eine auftreibende Kraft.

Infokasten 4:Auftriebskraft in einem Medium

Die aerodynamische Auftriebskraft wird durch ei-nen ähnlichen funktionalen Zusammenhang be-schrieben wie die Widerstandskraft des Medi-

ums: 2

2

1vAcF FAA ρ= (14)

Der Proportionalitätsfaktor cA erfaßt die Form, ins-besondere auch die Anstellung der Tragfläche ge-gen das strömende Medium (Definition der Sym-bole im Text).

15

Wasser zu stehen oder zu gehen, ins Wasser ein.Dadurch, daß die etwas schräg angestellten Skierdurch das Wasser bewegt werden, wird das Wasserwie bei einer Tragfläche schräg nach unten abge-lenkt. Dazu ist eine Kraft FA nötig, die in gleicherWeise von der Dichte des Mediums, der Quer-schnittsfläche, der Geschwindigkeit und der Form(Anstellwinkel) abhängt, wie die WiderstandskraftFw (vgl. Gl. (14)).

Damit der Sportler beweglich bleibt, um beispiels-weise kunstvolle Figuren ausführen zu können, istdie Querschnittsfläche der Skier verhältnismäßigklein. Zum Ausgleich muß die Bewegung mit ent-sprechend größerer Geschwindigkeit erfolgen.

Beim Start werden die Skier in einem extrem gro-ßen Winkel (sehr großer cA-Wert) gegen das (ausder Sicht des Sportlers) strömende Wasser ange-stellt. Das ist nötig, damit bei der anfangs nochkleinen Geschwindigkeit der Auftrieb so groß wird,daß der Skifahrer aus dem Wasser auftauchen kann.

Fliegen

Die Welt muß noch nicht sehr alt sein, weil dieMenschen noch nicht fliegen können

G. Chr. Lichtenberg

Beim Fliegen müssen die Tragflächen ähnlich wiedie Wasserski schräg gegen die Luft angestellt wer-den oder mit einem aerodynamischen Profil ausge-stattet sein, das im Prinzip dasselbe leistet. Auf die-se Weise wird die (aus der Sicht des Fliegers) an-strömende Luft nach unten abgelenkt, und der Flie-ger erfährt eine dementsprechende auftreibendeKraft (z. B. [12, 13]). Da die Luft sehr viel dünnerals das Wasser ist, sind - bei gleicher Gewichtskraft- wesentlich höhere Geschwindigkeiten erforderlichals bei hydrodynamischen Auftriebsphänomenen.

Die hohe Geschwindigkeit ließe sich zwar (gemäßGl.14) durch eine Vergrößerung der Tragflächekompensieren, allerdings um den Preis einer ent-sprechenden Zunahme des Gewichts. Hohe Ge-schwindigkeit und hohes Gewicht machen aber einehohe Auftriebskraft erforderlich, die durch eine ent-sprechend hohe Antriebsleistung hervorgebrachtwerden muß. Die Erfindung des Ottomotors wardaher entscheidend für die Erfindung eines funkti-onstüchtigen Flugzeugs.

Außer dem motorisierten Fliegen, sind als Sportartvor allem das Segel-, Drachen- und Gleitschirm-fliegen zu nennen. Als Antrieb werden die potenti-elle Energie, die dem Flugkörper durch Anschlep-pen oder Start von einem Berg vermittelt wird, so-wie Aufwinde (Thermik) ausgenutzt. Die Flugdauer

ist daher zwar beschränkt, kann aber durch ge-schicktes Ausnutzen örtlicher Luftströmungen rela-tiv lang werden. Zu erwähnen sind hier auch jeneGleitschirme, mit deren Hilfe ein Sportler von ei-nem Motorboot oder einem anderen Fahrzeug ange-schleppt und in luftige Höhen befördert werdenkann.

Die Entwicklung von ultraleichten Materialien ha-ben es in unseren Tagen sogar möglich gemacht,unter bestimmten Bedingungen einen Flugkörperdurch Muskelkraft anzutreiben [12].

Spezielle Wechselwirkungen mit demMedium

Die Auftriebskraft eines fliegenden Objekts kommtdurch die Wechselwirkung mit der umgebendenLuft zustande. Wenn sich ein mit einer bestimmten(Translations-) Geschwindigkeit fliegendes Objekt,z. B. ein Tennisball, um seine eigene Achse dreht,so kommt es zu einer Veränderung der Wechselwir-kung mit der Luft: An der Oberseite des Balls tritteine höhere Relativgeschwindigkeit zwischen Ballund Luft auf (Addition von Translations- und Rota-tionsgeschwindigkeit) als an der Unterseite (Sub-traktion von Translations- und Rotationsgeschwin-digkeit) (Abb. 11). Diese Wechselwirkung kannzum sogenannten Magnus-Effekt führen, aufgrund

dessen ein Auftrieb senkrecht zur Flugrichtung auf-tritt. Er wird von Tennisspielern gezielt ausgenutzt,um durch einen Topspin bzw. Backspin (Abb. 11)den Ball in für den Gegner nur schwer einzuschät-zender Weise nach unten bzw. nach oben zu heben.

Wird der Ball um eine senkrechte Achse in Drehungversetzt, so kann der Magnus-Effekt auch zu ent-sprechenden zur Seite wirkenden Ablenkungen füh-ren. Sie ermöglichen es beispielsweise einem Fuß-ballspieler, den Ball buchstäblich um die Ecke zuschießen und unter Umständen einen Eckball direktins Tor zu befördern.

Der Magnus-Effekt hängt u. a. empfindlich von derOberflächenbeschaffenheit des Balls ab und kann

Abb. 11: Ein mit der Geschwindigkeit v fliegender Ballerfährt eine Kraft nach unten (Topspin), wenn er rechtsherum dreht und nach oben (Backspin), wenn er linksherum dreht.

16

beispielsweise bei sehr glatten Bällen in sein,,glattes" Gegenteil, den Anti-Magnus-Effekt umge-kehrt werden. Wegen der komplizierten physikali-schen Vorgänge soll hier nur als Faustregel erwähntwerden, daß die rotationsbedingte Auftriebskraftvon gleicher Größenordnung ist wie der Luftwider-stand, wenn Rotations- und Translationsge- schwin-digkeit die gleiche Größenordnung besitzen [14].

Weitere Themen

Einige weitere Möglichkeiten, sportliche Aktivitä-ten im Physikunterricht zu behandeln werden ausPlatzgründen nur aufgezählt. Der interessierte Leh-rer möge die entsprechenden physikalischen undteilweise unterrichtspraktischen Hinweise der je-weils angegebenen Literatur entnehmen.

Stöße

Fußball: Kräfte, die ein Fußballer z. B. bei einemElfmeterball auf den Ball ausübt. Bremskraft, dieder Torwart aufbringen muß, der einen Elfmeterballhält. Geschwindigkeiten des Fußballs [15].

Tennis: Stoßzeiten (Ballberührung) beim Tennis[15, 16] oder beim Baseball [17]. Auswirkungenvon rotierenden Tennisbällen beim Auftreffen aufden Boden oder den gegnerischen Schläger[l5].

Karate: Kräfte beim Karateschlag z. B. beim Zer-schlagen eines Ziegelsteins [18].

Drehungen

Saltos: Physikalische Tricks (Drehimpulserhaltung)bei den verschiedenen Formen des Saltos [19].

Billard: Translation, Rotation und Stoß beim Bil-lard [20].

Turnen, Gymnastik: Kräfte und Drehungen beimBoden-, Barren- und Reckturnen [21].

Tanzen: Kräfte und Drehungen beim Tanzen [22].

Gleichgewichte und Schwingungen

Stehen: Dynamische Probleme beim Stehen [23].

Fahrradfahren: Gleichgewichtsprobleme beim Ein-rad- und Zweiradfahren [71.

Schaukeln: In-Gang-Setzen einer Schaukel durchBewegungen des Körpers [24].

Trampolinspringen: Antrieb und Energetik vonTrampolinsprüngen.

Skifahren: Drehungen und Gleichgewichtsproblemebeim Skilaufen [14, 25, 30].

Gleit- und Rollbewegungen

Wintersport: Gleit- und Haftreibungsprobleme beimRodeln, Ski- und Schlittschuhlaufen [26].

Rollschuhlaufen, Skateboardfahren: Rollreibungs-Rotations- und Gleichgewichtsprobleme.

Bergsteigen: Ausnutzung von Reibungskräften beimKlettern an Felswänden.

Seilklettern: Ausnutzung von Reibungskräften beimSeilklettern.

Sport und Mathematik

Zahlreiche geometrische Probleme (z. B. Form undAbmessungen von Spielfeldern) und rechnerischeProbleme (z. B. Auswirkungen von minimalen Un-terschieden in der Abmessung verschiedenerSchwimmbecken auf die Leistung des Schwimmers)sowie wahrscheinlichkeitstheoretische Untersu-chungen machen den Sport auch für die Mathematikzu einem interessanten Anwendungsfeld ([27, 28]).

Aufgaben

Mit Formel (13) lassen sich beispielsweise folgendeAufgaben lösen:

1. Welche Leistung muß ein Fahrradfahrer beiWindstille aufbringen, wenn er mit einer Ge-schwindigkeit von 20 km/h fährt (m = 80 kg, A= 0,5 m, cw = 0,9)?

Mit Hilfe von Formel (13) ergibt sich:

WAvcmvvFP wwout 702

1 31 ≈+== ρµ .

Das entspricht etwa dem Dauerleistungsvermögeneines Erwachsenen.

2. Wieviel Schokolade müßte ein Radfahrer es-sen, um den Energieverbrauch einer zweistün-digen Radfahrt mit einer Geschwindigkeit von20 km/h zu decken? Die Energie ergibt sich alsProdukt aus Leistung P und Zeit t zu: E = pt =70W ⋅7200 s=504 kJ. Da 1 kg Schokolade etwa24000 kJ an chemischer Energie enthält, sindetwa 20 g Schokolade erforderlich.

3. Geht man davon aus, daß ein Mensch ohneFallschirm der Luft eine Querschnittsfläche (jenach Körperlage beim Fallen) von A = 0,3 bis 1m² entgegensetzt, so wurde er gemäßGl.(12)eine Sinkgeschwindigkeit von

smAc

gmv

ws /3060

2

1

−≈=ρ

also etwa 210 – 117 km/h erreichen. (Dabeiwurde die Dichte der Luft ρ1 = 1,3 kg/m³, cw =

17

1, m = 70 kg gesetzt). Geht man davon aus, daßein Mensch gefahrlos aus einer Höhe von h =

1,5 m, also mit smghv /4,52 == ,

springt, muß folglich die Fallschirmfläche etwa

2

12

302

mcv

gmA

wsF ≈=

ρ groß sein.(Dabei

wurde wegen der zusätzlichen Ausrüstung m =80 kg und der Widerstandsbeiwert wie bei ei-ner gegen die Strömung offene Halbkugel cw =1,3 angenommen).

Literatur

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[2] Ulrich K.: Vergleichende Physiologie der Tiere.Stoff- und Energiewechsel. Berlin 1977, S.22

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[4] Schlichting, H. J., Backhaus, U.: Das Fahrrad alsphysikalischer Unterrichtsgegenstand. NiUP/C 31/15(1983)

[5] Dittmann, H.: Der Ärger mit dem Luftwiderstand.PhuD 12/3, 226 (1984)

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[7] Schlichting, H. J.: Zur Gleichgewichtsproblematikbeim Fahrradfahren. technic-didact 9/4, 257 (1984)

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[11] Schlichting, H. T., Rodewald, B.: Der Bumerang-ein Spielzeug mit verb~üffenden Flugeigenschaften. PdN- Ph 35/5, 18 (1986)

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[13] Themenheft: Fliegen und Flugzeuge NiU-P 4 (2990)

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[21] Hay, J. G.: The Biomechanics of Sports Techniques.Englewood: Prentice Hall 1973

[22] Laws, K.: The physics of dance. Physics today 2, 24(1985)

[23] Rodewald, B.: Physik auf Schritt und Tritt. In die-sem Heft

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[26] Bleustein, J. L.: Mechanics and Sport. New York

[27] Olympia. Mathematik und Sport. Themenheft Ma-thematik lehren 4 (1984)

[28] Floer, J., Möller, M.: Mathematik und Sport-Spieleals Zufallsexperimen~e. MNU 30/3,131 (1977)

[29] Schlichting, H. J.: Schleuderball. In diesem Heft.

[30] Meier, W., Schlichting, H. J.: Die Trägheit und dieSkidrehung; in diesem Heft

Die Lichtenbergzitate wurden den Sudelbüchern ent-nommen.