Einführung in Plant Simulationmath4fun.de/PlantSimulation.pdf · 2019. 12. 21. · Inhaltsverzeichnis 1 Die Vision der Digitalen Fabrik 2 Simulation von Produktions- und Logistiksystemen

Einführung in Plant Simulation

Dr. Peter�Michael [email protected]

Hochschule Esslingen, Januar 2020

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Vision der Digitalen Fabrik

2 Simulation von Produktions- und Logistiksystemen

3 Betriebswirtschaftliche Zielkon�ikte

4 Durchführung von Simulationsstudien

5 Maschinelle Ressourcen

6 Die Programmiersprache SimTalk

7 Warteschlangentheorie

8 Stochastische Simulationsstudien

9 Modellierung eines Industrieroboters

10 Aufgaben zur Modellierung

11 Themen für Hausarbeiten

12 Studentenlizenz

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Die Vision der Digitalen Fabrik


Die Digitale Fabrik ist der Oberbegri� für ein umfassendes Netzwerk vondigitalen Modellen und Werkzeugen, u. a. der Simulation und 3DVisualisierung, die durch ein durchgängiges Datenmanagement integriertwerden. Ihr Ziel ist die ganzheitliche Planung, Evaluation und laufendeVerbesserung aller wesentlichen Strukturen, Prozesse und Ressourcen derrealen Fabrik in Verbindung mit dem Produkt.

Werkstücke können in der Konstruktionsphase auf ihre Fertigbarkeitgeprüft werden.

Maschinen- und Anlagenbauer können eine virtuelle Inbetriebnahmedurchführen, beispielsweise die Steuerungssoftware testen.

Modelle der Digitalen Fabrik können als Referenz dienen.Was wurde wo produziert?

Quelle: VDI-Richtlinie 4499

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Digitale Modelle

Ein Modell ist ein auf das Wesentliche beschränktes Abbild eines realenSystems.Zur Reduktion der Komplexität bei Abstraktionen sagte Albert Einstein:Mache die Dinge so einfach wie möglich - aber nicht einfacher.

Beispiele für digitale Modelle:

Strukturmodelle: Stücklisten, Arbeitspläne, Organisationsstrukturen

Geometrische Modelle: 2D- und 3D-Modelle

Simulationsmodelle: Diskrete ereignisorientierte Modelle

Der Detaillierungsgrad richtet sich nach den Zielstellungen der Studie.

Strategische Ebene: Investitionsentscheidungen, Kapazitätsplanung

Taktische Ebene: Produktionssteuerung für eine kurzfristige Planung

Steuerungsebene: Speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS)

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Komponenten der prozessorientierte Modellierung

Funktionsorientierte ModellierungIn der Vergangenheit bestimmten die bestehenden Produktionsressourcenmit ihren Funktionen und Arbeitsteilungen die Organisationsform desUnternehmens. Neue Marktanforderungen führten zu zeitaufwendigenUmstrukturierungen.

Prozessorientierte ModellierungHeute geht man bei der Modellierung von wirtschaftlichen Zielen aus undleitet daraus wiederholbare Prozesse ab.

Die Komponenten dieser Prozesse lassen sich charakterisieren durch

Parts: Kundenaufträge, Produkte

Operations: Funktionen, Aktivitäten

Resources: Personal und Maschinen

Work�ows: Verknüpfungen, Abhängigkeiten, Sequenzen

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Simulation von Produktions- und Logistiksystemen


Simulation ist die Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischenProzessen in einem experimentierfähigen Modell, um zu Erkenntnissen zugelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.

Je früher ein Planungsfehler erkannt und eliminiert wird, desto wenigerFolgekosten entstehen.

Untersuchungen an noch nicht existierenden Systemen.

Risikolose Optimierung existierender Systeme ohne einen laufendenProduktionsbetrieb zu stören oder zu gefährden.

Vergleich und Analyse alternativer Varianten.

Analyse des Systemverhaltens über einen längere Zeitraum.

Test von Anlaufvorgängen und Übergängen zwischen unterschiedlichenBetriebszuständen.


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Aufwand und Nutzen der Simulation

Planerisches Gesamtinvestitionsvolumen:Iges = 100 Mio. e

Durch Simulation beein�ussbares Investitionsvolumen:Isim = Iges · 20% = 20 Mio. eZu erwartender Nutzen durch Simulationsanwendungen:N = Isim · 2% = 0, 4 Mio. eGeschätzter Aufwand für Simulation:A = Isim · 0, 5% = 0, 1 Mio. eE�ektive Einsparung:E = N − A = 0, 3 Mio. e

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Simulation einer KleinteilefertigungAutomatische und manuelle Stationen mit Personaleinsatz.Optimierung des Durchsatz durch Variation der Anzahl der Paletten.Analyse von Energiesparmaÿnahmen

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Simulation einer Kleinteilefertigung

2D und 3D Visualisierung: Menü Datei > Modelleinstellungen

Layoutoptimierung: DurchEinfügen eines Pu�ers wird derDurchsatz signi�kant vergröÿert.Adäquate Behandlung vonzufälligen Prozessen durchstatistische Auswertungen

Kon�denzintervalleVarianzanalyse

Hierarchische Modellierung

Objektorientierung

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Betriebswirtschaftliche Zielkon�ikte


Leistungszieldreieck: Häu�g können nicht alle Leistungsgröÿen/Kenngröÿen(Englisch: Key performance measures) gleichzeitig optimiert werden.

Das Penrose�Dreiecks kann ebenfalls nicht realisiert werden. Verdeckt manaber eine Ecke des Penrose�Dreiecks, so entsteht ein realisierbarer Körper.

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Wirtschaftlichkeit maximieren heiÿt Zielkon�ikte lösen.Typische betriebswirtschaftliche Planungsziele sind

1 Durchlaufzeiten durch Vermeiden von Warte- und Stillstandszeitensenken

2 Bestände reduzieren bedeutet, Kosten für Lagerung undVor�nanzierung zu senken

3 Bescha�ungs- und Transportkosten durch gröÿere Bestellmengensenken

4 Wertschöpfende Zeiten steigern durch weniger Rüstvorgänge

Erläutern Sie die Zielkon�ikte

1⇐⇒ 2 Lager zwischen Maschinen vermeiden Wartezeiten.2⇐⇒ 4 Weniger Rüstvorgänge führen zu gröÿeren Beständen.2⇐⇒ 3 Häu�ge Lieferungen verringern Lagerbestände.

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Kostenminimierung

Groÿe Bestellmengen reduzieren Transport- und erhöhenLagerhaltungskosten.

Kleine Bestellmengen erhöhen Transport- und reduzierenLagerhaltungskosten.

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Durchführung von Simulationsstudien


Bestandteile und Aktivitäten einer Simulationsstudie

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Phasen einer Simulationsstudie

1 VorbereitenEntscheidung über die SimulationswürdigkeitLeistungsgröÿen/Kenngröÿen de�nieren und Ziele formulierenAufgabenspezi�kationDurch eine Systemanalyse ein Konzeptmodell entwerfen(Systemgrenzen, Systemkomponenten)Aufwand abschätzenDatenbescha�ung und Datenaufbereitung (40% der Projektzeit)Analytische Grobabschätzung (überschlägige Berechnung auf derGrundlage der vorliegenden Daten)

2 Modellieren3 Experimentieren4 Realisieren


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1 Vorbereiten2 Modellieren

Formales Modell entwerfenAusführbares Modell implementierenModellveri�kation Korrektheit hinsichtlich der vorgegebenSpezi�kation (beispielsweise die Funktionstüchtigkeit allerKomponenten)Modellvalidierung Übereinstimmung mit der Realität als Grundlagefür die Eignung des Modells (beispielsweise der Vergleich gemessenerund simulierter Mittelwerte und Standardabweichungen)

3 Experimentieren4 Realisieren

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1 Vorbereiten2 Modellieren3 Experimentieren

Experimentdesign (Bestimmung der Parameter und deren Werte)Statistische AnalyseErgebnisinterpretation und PrognosenDokumentation (Wissenschaftliche Formulierung der Ergebnisse undderen Nachvollziehbarkeit)Optimierung (Variation von Parametern)

4 Realisieren

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1 Vorbereiten2 Modellieren3 Experimentieren4 Realisieren

Praktische Umsetzung der Ergebnisse

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Maschinelle Ressourcen


Für die Verwendung von Material�ussobjekten sind Kenntnisse der realenProduktionsressourcen und der zugrunde liegenden Annahmen derModellierung notwendig.

Die Einzelstation bildet eine Maschine mit der Kapazität 1 ab.

Die Einzelstation nimmt einbewegliches Element (BE) auf undgibt dieses nach Ablauf der Rüst�und Bearbeitungszeit an dienachfolgende Station weiter.

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Simulation zufälliger Zeiten

Die Bearbeitungszeit eines Teils kann sich durch nicht vorhersehbareEreignisse verändern. Die Modellierung erfolgt durch statistischeVerteilungen. Weiÿ man nur, dass die Bearbeitungszeit zwischen zweiSchranken schwankt, wird die Gleichverteilung verwendet.

Dichtefunktion der Gleichverteilung

Die Bearbeitungszeit liegtzwischen 1 und 2 Minuten.

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Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Zufallsvariable,Realisierungen aus {0, 1, 2, . . . }Beispiel: Bernoulli-Verteilung

zufällige Anzahlen n

p(1) = P(�n = 1�) = 0,15

p(0) + p(1) + p(2) + . . . = 1

Kontinuierliche Zufallsvariable,Realisierungen aus (0,∞)Beispiel: Erlang-Verteilung

zufällige Zeiten t

P(�2 < t ≤ 3�) = 0,3∫ ∞0

f (t) dt = 1

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Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Bearbeitungszeit einer

Einzelstation ist eineZufallsvariable, die durchverschiedene statistische Verteilungenbeschrieben werden kann.

Häu�g auftretende Verteilungstypensind die Exponentialverteilung(Negexp steht für den negativenExponenten in der Formel derDichtefunktion) und dieErlang�Verteilung.Bei der Modellierung vonProduktionsprozessen wird dieNormalverteilung nur seltenverwendet.

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Das Ausgangsverhalten

1 Reihum bedient die Nachfolger nach ihrer Reihenfolge. JederUmlagerversuch beginnt beim nächsten in der Reihe.

2 Bei Nachfolger 1 beginnend jeder Umlagerversuch beginnt beiNachfolger 1.

3 Prozent erlaubt eine prozentuale aber nicht zufällige Verteilung.4 Zyklische, Lineare Folge die Nachfolger werden aus der in einer

Tabelle festgelegten Reihenfolge gewählt. Jeder Umlagerversuchbeginnt beim nächsten in der Tabelle (Zyklische Folge) bzw. immerbeim ersten Eintrag in der Tabelle (Lineare Folge).

5 Älteste, Jüngste Anforderung lagert das BE auf den Nachfolgerum, der am längsten auf ein BE wartet (Älteste Anforderung) bzw. amkürzesten (Jüngste Anforderung).

Die weiteren Auswahlmöglichkeiten greifen auf eingestellte oder statistischeParameter zu, welche in den zu bedienenden Nachfolgern betrachtetwerden.

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Stetigförderer

Das Objekt Förderstrecke modelliertverschiedene Stetigförderer, die sich inMaterial�ussmodellen unterschiedlichverhalten. Bei der Modellierung muss mandie Annahmen der Simulationsobjekte genaukennen.

Rollenförderer Bandförderer

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Zustände von Produktionsressourcen

Wird eine Ressource entsprechend ihrer Bestimmung verwendet, so ist sieim Zustand arbeitend.Bei einer Förderstrecke bedeutet das: Geschwindigkeit > 0.

Eine verfügbare Ressource ist wartend, wenn auf allen belegten Plätzennicht gearbeitet und nicht gerüstet wird und freie Plätze vorhanden sind.Eine Ressource ist auch wartend, wenn Arbeiter oder Anbauteile für eineMontage fehlen.

Eine aktive Ressource ist blockiert,wenn nach der Bearbeitungszeit alleTeile (BEs) nicht weitergegebenwerden konnten. Bei einer staufähigenFörderstrecke kann dieser Zustandnicht auftreten, da der Antrieb immerläuft: Geschwindigkeit > 0.

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Die statistische Erfassung der Zustände einer Produktionsressource basiertauf der im folgenden Diagramm dargestellten Hierarchie.Beispielweise zählt eine gestörte Ressource während einer Schichtpause alsungeplant und nicht als gestört.

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Für die Material�ussbausteine existiert eine LED�Zustandanzeige(abgeleitet von Licht-Emittierende Diode) am oberen Symbolrand, um denZustand des Objekts symbolisch anhand von farbigen Punkten anzuzeigen.Die Farben der Punkte repräsentieren folgende Zustände:

rot: Das Objekt ist gestört (durch Verfügbarkeit < 100 %).

rosa: Das Objekt ist angehalten (durch einen Schutzkreis).

blau: Das Objekt ist pausiert (durch einen Schichtkalender).

lila: HochRunterfahrend beim Wechsel des Energiezustands.

grün: Das Objekt arbeitet.

gelb: Das Objekt ist blockiert.

braun: Das Objekt rüstet.

hellblau: Das Objekt be�ndet sich in Erholzeit (z.B. bei Robotern).

Ohne LED: Der Baustein ist einsatzbereit und wartet.

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Wir ziehen eine Einzelstationauf ein noch nichtkon�guriertes Diagramm .

Obwohl eine Produktionsressource gleichzeitig mehrere Zustände habenkann, wird bei der Statistik immer genau ein Zustand erfasst. Dadurch istdie Summe aller Zeitanteile 100 %.

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Jede Produktionsressource hat einenRessourcentyp, der auf derRegisterkarte Statistik eingestelltwird.

Auf die Ablaufsimulation hat derWert des Attributs Ressourcentypkeinen Ein�uss.

Mit dem Objekt Attributexplorerkann ein Attribute, wie beispielsweiseder Ressourcentyp von vielen Objekteangezeigt und gesetzt werden.

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Visualisierung von statistischen Daten durch das Objekt DiagrammDiagramm stellt beispielsweise die Häu�gkeiten der Zustände wieArbeitend, Rüstend oder Gestört dar. Der Statistiktyp istRessourcenstatistik oder Energiestatistik.Histogramm zeigt die Häu�gkeitsverteilung eines Ergebniswertes imVerhältnis zur Simulationszeit an. Für einen Pu�er zeigt dasHistogramm den Statistiktyp Belegungsstatistik an.Plotter zeigt den zeitlichen Verlauf eines Ergebniswerts an.Ziehen Sie einen Pu�er oder eine Einzelstation auf ein nichtkon�guriertes Diagramm:

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Diese Darstellungen sind die Kategorien des Diagramms:Diagramm, Histogramm und Plotter

Planungsansicht des Netzwerks

Erzeugen eines Plotters:

Histogramm kopieren

Kategorie der Darstellung aufPlotter setzen

Treppenkurve auswählen

Achsen kon�gurieren 30 / 93


Einsatz von maschinellen und menschlichen Ressourcen

Zu ungeplanten Zeiten oder in Pausen stehen Arbeiter, Maschinen undandere Ressourcen nicht zur Verfügung.Setzen Sie einen Schichtkalender aus dem Ordner Ressourcen ein.Maschinen können durch Drag & Drop auf einen Schichtkalender registriertwerden.

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Verfügbarkeit von Maschinen

Der Abstand (MTBF: Mean Time Between Failures) zwischen Störungenund die Dauer (MTTR: Mean Time To Repair) von Störungen sindZufallsvariablen, die einen bestimmten Verteilungsgesetz gehorchen.Die Verfügbarkeit AV (Availability) wird in % angegeben:

AV =100 ·MTBF

MTBF + MTTR

Gegeben: MTTR = 10 min, AV = 95%. Gesucht: MTBF32 / 93



Zur Festlegung der MTBF kann die Kenngröÿe MCBF (Mean CyclesBetween Failures) verwendet werden.MCBF: Mittlere Anzahl der Takte zwischen zwei Störungen.TZ: Taktzeit einer Station.

MTBF = TZ ·MCBF

Aufgabe: MTTR = 10 min, TZ = 9 s, MCBF = 600Welche Verfügbarkeit AV hat die Station?Lösung:

MTBF = 600 · 9s = 5400s = 90 min

AV =MTBF

MTBF + MTTR= 90/100 = 90%

Hinweis: Hinterfragen Sie genau bei einem Hersteller einer Maschine dieDe�nition der Verfügbarkeit.

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Eine Störung einer Maschine kannmehrere Ursachen haben, die durchStörungspro�le beschrieben werden:

1 Stromausfall2 Bohrer wird stumpf

Eine von 2 Störungspro�lenverursacht eine Störung.

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Bestimmte Ursachen für eine Störung können nur während der Verwendungder Maschine entstehen.Die Zeit MTBF kann sich beziehen auf die:

Simulationszeit MTBF liegt in der gesamten simulierten ZeitEinsatzzeit MTBF liegt innerhalb der Schichten, auÿerhalb derPausen

Arbeitszeit MTBF unterbricht die Arbeitszeit

Geben Sie zu den Beispielen die Bezüge an:Bohrer bricht, elektrische Sicherung einer Maschine, Schaden durchBlitzschlag, Ausfall des Bedienungspersonals einer Anlage, Reifenpanneeines Fahrzeugs, Rostschaden und Stromausfall.

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Angehaltene Maschinen

Gruppierte Produktionsressourcen werden zu Schutzkreisenzusammengefasst. Geht eine der Maschinen in eine Störung, so werden dieanderen Maschinen angehalten. Setzen Sie einen Schutzkreis aus demOrdner Ressourcen ein. Maschinen können durch Drag & Drop auf einenSchutzkreis registriert werden.

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Die Programmiersprache SimTalk


Mit dem Objekt Methode könnenBerechnungen und Steuerungen desMaterial�usses ausgeführt werden.Die zugehörigen Algorithmen werdenmit der ProgrammierspracheSimTalk implementiert.

Wie in natürlichen Sprachen müssen Regeln zur Kombination von Zeichenund Wörtern beachtet werden (Syntax: Lehre vom Satzbau). Sich häu�gwiederholende Wörter in SimTalk werden im Editor des Methodenobjektshervorgehoben (Syntaxhervorhebung oder Syntax-Highlighting).

Mit diesen Wörtern werden Anweisungen und Deklarationen einesAlgorithmus beschrieben (Semantik: Bedeutungslehre).

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Das Methoden Objekt

Hat ein geö�netes Methoden Objekt den Fokus, so hat die Menüleiste eineRegisterkarte Methode.

In dem Programm werden Eigenschaften von Objekten gelesen oder auchverändert. Sollen bestimmte Werte von mehreren Methoden einesNetzwerks verwendet werden, sind diese Werte in Variablen Objektengespeichert. Die Objekte werden auch globale Variablen genannt. Wenneinzelne Werte nur während der Ausführung des Algorithmus (also derMethode) zur Verfügung stehen, werden wir lokale Variable vereinbaren:var MeinWert:integer

var DeinWert:integer := -3

Alle Variablen sind durch Namen, Datentyp und Wert charakterisiert.Jede Variable belegt einen Teil der Arbeitsspeichers des Computers.

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Das Methoden Objekt

Eine Variable kann als Wert eine ganze Zahl (Datentyp integer), einegebrochene Zahl (Datentyp real), einen Zeitwerte (Datentyp time), einenText (Datentyp string) oder ein Objekt (Datentyp object) enthalten.

Nach der Vereinbarung kann derVariablen ein Wert zugewiesenwerden:

n := -42

r := 1.2 + 2.34

s := "Das Ergebnis ist "

print gibt verschiedene Werte inder Konsole aus.

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Das Methoden Objekt

Programme für Berechnungen oder Steuerungen des Material�usses werdenwährend der Simulation durch Ereignisse gestartet.

RESET, INIT und ENDSIMDie Änderung der Graphik der Methode deutetauf das auslösende Ereignis hin.

RESET-Methoden setzen internen Zustand der Objekte zurück.Beispielsweise wird die Kapazität eines Pu�er auf einen Standardwertgesetzt.

Durch INIT-Methoden wird das Modell initialisiert. Beispielsweisewerden Kapazitäten von Produktionsressourcen gesetzt.

Die ENDSIM-Methoden führen nach der Simulation spezielleAuswertungen durch. Der Simulationslauf muss terminieren,beispielsweise durch Setzen des Attributs Ende des Ereignisverwalters.

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Das Methoden Objekt

Der Wert eines Objekts Variable ist nicht nur während der Abarbeitungeiner Methode gültig, sondern in allen Methoden eines Netzwerks. DiesesObjekt wird deshalb auch globale Variable genannt. Für gebrochene Werte(z.B. Durchsatz pro Stunde [jph]) kann man die Anzahl der Dezimalstellenauf der Registerkarte Darstellung des Dialogs der Variable einstellen.

Programm der endSim�Methode:Durchsatz := Senke.statVernichtet

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Auf Attribute und Methoden von Objekten zugreifen

Aufgabe: Untersuchen Sie folgendenZielkon�ikt: Durchsatz erhöhen ⇐⇒ Bestände reduzieren

Verwendung der Kodevervollständigung:Schreiben und Tastenkombination + Ausgabe des Durchsatz in der Konsole:

print .Modelle.Netzwerk.Senke︸︷︷︸Objekt

. statVernichtet︸︷︷︸Methode

Zugri� auf das Attribut Kapazität des Objekts Pu�er über einen

absoluten Pfad:.Modelle.Netzwerk.Puffer.Kapazität := 3

relativen Pfad:Puffer.Kapazität := 3

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Auf Attribute und Methoden von Objekten zugreifen

Der Mittelwert der Durchlaufzeiten aller BEs (also der Produkte) ist einewesentliche Kenngröÿe. Dieser Wert wird durch die MethodestatMittDurchlaufzeit der Senke berechnet.Die Methode statProdArbeitsAnteil gibt den Zeitanteil an der Summealler Durchlaufzeiten der BEs zurück, während der sich diese auf einemarbeitenden Material�ussobjekt des Typs Produktion aufhielten.

Anteil der wertschöpfenden Zeit von der Durchlaufzeit eines BEsvar mittDLZ : time

mittDLZ := Senke.statMittDurchlaufzeit

print "Mittlere wertschöpfende Zeit: ", mittDLZ *

Senke.statProdArbeitsAnteil

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Warteschlangentheorie


Der Pu�ers und die Parallelstationkönnen ein Pu�erlager abbilden.

Die Verweilzeit des Pu�ers ist für alleBEs eine konstante Zeit. Das AttributeKapazität des Pu�ers ist die Anzahl derLagerplätze (-1 bedeutet unendlicheKapazität).

Die Kapazität der Parallelstation istdurch die Attribute xDim und yDimeinstellbar. Durch die quaderförmigeAnordnung der Plätze für die BEs könnensich die Teile gegenseitig überholen.Deshalb sind stochastisch verteilteVerweil� bzw. Bearbeitungszeiteneinstellbar.

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Die Belegungsstatistik des Pu�ers

Ressourcen, die BEs aufnehmenkönnen, führen eineBelegungsstatistik. Zu geringe und zuhohe Bestände sollen von Pu�erlagerausgeglichen werden. Um dieseregulierende Funktion erfüllen zukönnen, sollten Pu�erlager möglichstwenig Zeit leer oder voll sein. Der Leer� und Vollanteil eines

Pu�ers zeigt, in welchen Zeitanteilender Pu�er diese regulierende Funktionnicht wahrnehmen konnte.

Der Pu�er erfasst die relative Belegung als wichtigebetriebswirtschaftliche Kenngröÿe. Ziel ist es, weitere Kenngröÿen, wie diemittlere Wartezeit und die mittlere Warteschlangenlänge abzuleiten.

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Die Belegungsstatistik des Pu�ers

und der Parallelstation

Die relativen Belegung einer Ressource (auch Auslastung, EnglischUtilization) beschreibt, welcher Anteil der Kapazität C der Ressourcewährend der Beobachtungszeit T durchschnittlich belegt war.

Während der Zeit T = 10 min betrachten wir eine Ressource mit derKapazität von C = 2. Zwei Teile mit Verweilzeiten t1 = 4 min und t2 = 6min haben sich auf der Ressource befunden. Die relative Belegung istU = t1+t2

T ·C =1

2. Die Variable U steht für Utilization (Auslastung).

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Warteschlangentheorie und die relative Belegung

Allgemein: C bezeichnet die Kapazität und T ist die Beobachtungszeit.Auf einer Ressource waren n Teile mit den Verweilzeiten t1, . . . , tn.Wir bezeichnen die Summe der Verweilzeiten mit S := t1 + · · ·+ tn.L(t) ist die Länge der Warteschlange zur Zeit t. Die mittlere Wartezeit Wund die mittlere Länge L der Warteschlange sind

W :=1n

(t1+· · ·+tn) =S

nund L :=

1T

∫ T0

L(t) dt =1T

(t1+· · ·+tn) =S

T

Plant Simulation erfasst die relative Belegung U := ST ·C .

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Warteschlangentheorie und das Objekt Pu�er

Wir haben die Formel S = U · T · C erhalten. Aus den WertenU = Pu�er.statRelativeBelegung

T = Ereignisverwalter.Zeit

C = Pu�er.Kapazität

n = Pu�er.statAnzahlEin

kann die mittlere Wartezeit

W =S

n=

U · T · Cn

und die mittlere Warteschlangenlänge

L =S

T=

U · T · CT

= U · C

berechnet werden.

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Warteschlangentheorie: Little�s Formel

Wenn eine Servicestation mit davor liegender Warteschlange in einem(zeitlich) stabilen Zustand ist, sind die Ankunftsrate λ und Abgangsrategleich. Das System be�ndet sich in einem Gleichgewichtszustand.

Warteschlangensystem mit der Kendall-Notation M|M|1

Das Verhältnis der mittleren Bearbeitungszeit 1/µ der Servicestation undder mittleren Zwischenankunftszeit β = 1/λ der Quelle ist dieWahrscheinlichkeit dafür, dass die Servicestation beschäftigt ist.

Folglich ist die mittlere Bearbeitungszeit der Servicestation höchstensgleich der Zwischenankunftszeit.

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Warteschlangentheorie: Little�s Formel

Little�s Formel: L · β = WLittle�s Formel (1961) stellt den Zusammenhang der Erwartungswerte dermittleren Wartezeit W , der mittlere Länge der Warteschlange L undder Zwischenankunftszeit β her.

Die Formel L · β = W scheint plausibel:

1) Die Wartezeit W ist das Produkt vonL wartenden Kunden mal die Zeit βzwischen zwei ankommenden Kunden.

2) Da die Zwischenankunftszeit β für das Modell M|M|1 annähernd Tnist,

erkennt man Little�s Formel wieder L · β ≈ U · C · Tn

= W .

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Anwendungen der Formel von Little

Wegen β = 1λ kann Little�s Formel L · β = W auch in dieser Formgeschrieben werden: L = λ ·W .

Little�s Formel hat groÿe Bedeutung für wirtschaftliche Untersuchungen inProduktionssystemen, Versicherungen und Banken.

L = λ ·WBestand = Flussrate · Durchlaufzeit

Der Bestand kann uns auch als Umlaufbestand, WIP (Work in Process) oder die mittlereAnzahl der Aufträge in einem Produktionssystem entgegentreten.

Beispiel

Der Bestand eines Betriebs hat einen Wert von 1200 K e.Pro Jahr wird Material für 6000 K e angeliefert.Welche Zeit benötigt die Verarbeitung?

Die Durchlaufzeit istBestand/Flussrate = 1200K e/(6000K e/ Jahr ) = 0.2 Jahre = 73 Tage.

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Kennzahlen im M|M|1 Systems

Im stationären Fall ist Ankunftsrate λ < Bedienrate µ,also Zwischenankunftszeit > Bedienzeit.ρ = λµ < 1 ist die Verkehrsintensität. ρ wird in der Simulation durch dieMethode Servicestation.statArbeitsanteil bestimmtund beschreibt die Auslastung der Servicestation.Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand Arbeitend.

Die Erwartungswert der Länge der Warteschlange L := E(Lq) ist

L =ρ2

1− ρ=

λ2

µ(µ− λ).

Der Erwartungswert der Wartezeit W := E(Wq) ergibt sich aus Little�sFormel

W =1λ︸︷︷︸=β

·L = 1λ· λ

2

µ(µ− λ)=

λ

µ(µ− λ).

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Analyse eines M|M|1 Systems

In einem Logistikunternehmen kommen LKW an und werden entladen.Es steht nur eine Entladerampe zur Verfügung. Die LKW werden nach derFCFS Strategie (First-Come-First-Served) entladen.Die mittlere Zeit zwischen der Ankunft zweier LKWs beträgt 30 min undist exponentiell verteilt. Die Entladungsdauer hängt vom Füllgrad desLKWs ab. Die mittlere Entladungsdauer beträgt 25 min und ist ebenfallsexponentiell verteilt.

1 Auf dem Hof des Logistikunternehmen ist nur Platz für maximal 30LKWs. Reicht der Platz immer aus?

2 Wie viele LKWs warten durchschnittlich im Hof?3 Wie lange warten die LKWs im Mittel vor der Entladerampe?4 Wie viele LKWs können im Mittel pro Stunde entladen werden?5 Wie ist die Entladerampe ausgelastet?

Vergleichen Sie berechnete und simulierte Ergebnisse.

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Lösungshinweise:Der maximale Inhalt des Pu�er�s ist > 30. Auch eine wesentlich gröÿereKapazität würde nicht ausreichen, da eine solche Warteschlange immerwieder voll und auch leer wird.

Die Bestimmung der mittleren Anzahl der wartenden LKWs durchSimulation erfolgt durch die Formel L := U · C

Es ist U := Pu�er .statRelativeBelegung und C := Pu�er .Kapazität

Die mittlere Wartezeit ist W = β · L ≈ 2:05:00

Die Auslastung der Entladerampe ist etwa 83%.

Die mittlere Durchlaufzeit ist W + 25 min ≈ 2 :30 :00.

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Berechnungen aus der Ankunfts- und Bedienrate

Die Ankunftsrate ist λ = 130 min und die Bedienrate ist µ =

1

25 min.

Zur Berechnung von L bestimmen wir zuerst µ− λ = 125− 1

30= 1

150.

L =λ2

µ · (µ− λ)=

1

302

1

25· 1150

=256≈ 4.166.

Die mittlere Wartezeit ist W = β · L = 30 min · 256

= 125 min = 2:05:00.

ρ = λµ =25

30≈ 83% ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Entladerampe

arbeitet.

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Stochastische Simulationsstudien


Nehmen Sie an, Sie wären in einerSpielshow und hätten die Wahlzwischen drei Toren. Hinter einem derTore ist ein Auto, hinter den anderensind Ziegen.

Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor 3,und der Showmaster, der weiÿ, washinter den Toren ist, ö�net einanderes Tor, sagen wir, Tor 1, hinterdem eine Ziege steht.

Er fragt Sie nun:Möchten Sie das Tor 2?

Ist es von Vorteil, die Wahl des Toreszu wechseln?

P (�Gewinn bei Wechsel�) =?

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Lösung zum ZiegenproblemWir bezeichnen mit 1 ≤ p ≤ dieWahrscheinlichkeit, dass Sie dieTür wechseln.

Die Gewinnwahrscheinlichkeitbeim Wechseln ist

23· p + 1

3· (1− p) = 1

3+ p · 1

3P (�Gewinn bei Wechsel�) =

23

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Deterministische und stochastische Simulationsstudien

Simulationsstudien, in denen jede Komponente ein vorhersehbarenVerhalten hat, nennen wir deterministisch.Simulationsstudien, die Komponenten mit nicht vorhersehbaren alsozufälligen Verhalten besitzen, heiÿen stochastisch.Eine statistische Analyse der Ergebnisse ist erforderlich.

Römischer Gelehrter PLINIUS der Ältere (23-79 gestorbendurch den Vesuv-Ausbruch), der ein Kompendium des gesamtendamaligen wissenschaftlichen Wissens gescha�en hat:

Die einzige Sicherheit ist, dass nichts sicher ist.

Sowjetischer MathematikerAndrej KOLMOGOROFF (1903-1987)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Moskau 1933

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Statistische Analyse

Pierre Simon Laplace (1749-1827)de�nierte in seiner Arbeit

�Versuch einer Philosophie derWahrscheinlichkeitsrechnung �

den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegri�.

Beispiel einer statistischen AnalyseDie Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen ist bei allen Völkern0.511. Laplace untersuchte das Geburtenregister von Paris zwischen 1745und 1784. Er beobachtete einen etwas kleineren Anteil von 0.510.Er suchte nach einem Grund für die Vergröÿerung des Anteils an Mädchen.

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Statistische Analyse

In dem Register waren auch Kinder aus einem Waisenhaus für Findelkinderenthalten. Dieses Waisenhaus war das einzige dieser Art in Frankreich.Da auf dem Land Söhne als zukünftige Arbeitskräfte mehr als Töchtergeschätzt wurden, war die Anzahl der ausgesetzten Mädchen gröÿer.Laplace entferne alle Findelkinder aus seiner Zählung. Diese Findelkinderwaren häu�g nicht in Paris geboren. Dadurch konnte er den erwartetenAnteil wieder bestätigen.

Durch die statistische Analyse kann erkannt werden, ob Unterschiede inden beobachteten Werten nur durch Zufall erklärbar sind oder wesentlicheUrsachen haben.

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Simulationsstudien

Simulation dient der Gewinnung von Erkenntnissen, wie Eingabewerte(Faktoren) Ausgabewerte (betriebswirtschaftliche Kennzahlen) beein�ussen.

Entsprechend dem Ziel der Simulationsstudie (auch Experimentpläne undVersuchspläne genannt) unterscheidet man

Screening-ExperimentstudienUm die Eingabewerte auszusieben, die die Ausgabewerte wesentlichbeein�ussen, verwendet man zuerst die One-by-OneFactor-Methode. Dabei wird jeweils nur ein Faktor verändert,während alle anderen konstant bleiben. Da meistens die Faktorenvoneinander abhängig sind, wird das Screening mit einerFaktorenanalyse fortgesetzt. Dabei werden für jeden Eingabewertezwei Werte gesetzt. Für n Eingabewerte erhält man 2n Experimente.Experimentstudien zur OptimierungBestimmung der Einstellungen der Eingabewerte, die zuAusgabewerten mit gewünschten Eingenschaften führen.

Quelle: VDI-Richtlinie 363361 / 93


Beobachtungen und Experimente

Ein Experiment ist die gezielte empirische Untersuchung des Verhaltenseines Modells durch wiederholte Simulationsläufe mit systematischerParameter- und Strukturvariation.

Bei einer stochastischen Simulationsstudie werden sowohl Modellparameter(Eingabewerte der Studie) als auch das zufällige Verhalten des Modellsvariiert.

Die Simulationsläufe mit fest vorgegebenen Modellparametern werdenExperiment genannt. Verschiedene Experimente beschreiben alsoverschiedene Parametrisierungen des Modells.

In den Simulationsläufen eines Experiments werden die stochastischenModellkomponenten durch Zufallszahlen verändert.

Die zufallsbedingt schwankenden Beobachtungen eines Ausgabewertswerden zu einer Stichprobe zusammengefasst.Quelle: VDI-Richtlinie 3633

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Beschreibende Statistik

Zur statistischen Analyse der Stichproben wird oft ein Boxplot verwendet.

Mittelwert 63 / 93


Beschreibende Statistik

Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel der Beobachtungen.

Der Median ist der Wert der sortierten Stichprobe, der in der Mitteliegt. 50 % der Beobachtungen einer Stichprobe liegen unterhalb desMedians. Ausreiÿer beein�ussen den Median nicht wesentlich. DerMittelwert kann von einzelnen Ausreiÿern stark beein�usst werden.

Das Minimum und das Maximum der Stichprobe vermitteln eineeinfache Vorstellung der Verteilung der Beobachtungen.

Maÿe für die Streuung einer Stichprobe sind dieStandardabweichung und die Spannweite (Di�erenz von Maximumund Minimum).

25 % der Beobachtungen der Stichprobe liegen unterhalb desunteren Quartils.75 % der Beobachtungen der Stichprobe liegen unterhalb desoberen Quartils.

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Bestimmung der Güte der Simulationsergebnisse

Bei jeder experimentellen Bestimmung von Gröÿen in den Natur- undWirtschaftswissenschaften muss die Genauigkeit der Erlebnisse angegebenwerden. Die Ergebnisse können nur dann sinnvoll interpretiert werden, wennzu dem Mittelwert auch das Streuungsverhalten der Beobachtungeneingeschätzt wird. Die Simulationsergebnisse sind Zufallsvariablen, vondenen man nur wenige Realisierungen beobachtet hat (Stichprobe).

Kon�denzintervalle (Vertrauensintervalle) ermöglichen die Genauigkeitder Simulationsergebnisse zu schätzen. Ein Kon�denzintervall gibt an, inwelchem Bereich sich der wahre Mittelwert der Zufallsvariable mit einergegebenen Wahrscheinlichkeit (Vertrauenswahrscheinlichkeit) be�ndet.

Sprechweise: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt der Mittelwertder untersuchten Gröÿe zwischen a und b.Der Mittelwert einer kontinuierlichen Zufallsvariable kann experimentellnicht genau bestimmt werden, da dafür unendlich viele Beobachtungennotwendig wären.

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Die Mathematik zum Thema Kon�denzintervalle

Gegeben ist eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariable X .Die Beobachtungen der Stichprobe sind stochastisch unabhängig.Mittelwert und Standardabweichung von der Zufallszahl X sind unbekannt.n = Umfang der Stichprobe (z.B. Anzahl der Simulationsläufe)α = Irrtumswahrscheinlichkeit des Kon�denzintervalls1− α = Vertrauenswahrscheinlichkeit des Kon�denzintervalls.Für ein 90% Kon�denzintervalls ist α = 0.1.m, S = Mittelwert bzw. Standardabweichung der Stichprobe.Das Kon�denzintervall [m − h,m + h] ist bestimmt durch

h = t(1− α

2, n − 1

)· S√

n

t(1− α

2, n − 1

)ist das zweiseitige Quantil der Student t�Verteilung

mit n − 1 Freiheitsgraden.66 / 93



Fragen zu Kon�denzintervallen

Eine Vergröÿerung des Stichprobenumfangs führt bei gleicherVertrauenswahrscheinlichkeit zu einer

1 Vergröÿerung2 Verkleinerung

des Kon�denzintervalls.

Eine Vergröÿerung der Vertrauenswahrscheinlichkeit führt bei gleichenStichprobenumfang zu einer

1 Vergröÿerung2 Verkleinerung

des Kon�denzintervalls.

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Die statistische Genauigkeit (Breite des Kon�denzintervalls) ist nicht nurdurch die Anzahl der Beobachtungen bestimmt.Die meisten Simulationsläufe beginnen mit einem Anfangszustand, in demkein Prozess gestartet ist. Die beweglichen Elemente, die die Prozessemodellieren, werden häu�g erst bei der Initialisierung oder während derweiteren Simulation erzeugt. Störungen treten erst nach der erstenRealisierung der mittleren Zeit zwischen den Störungen (MTBF) auf. DieSimulation sollte sich bei der Messung der Ergebnisse in einem statistischstabilen Zustand be�nden, was erst nach einer gewissenEinschwingphase (warm-up period) sichergestellt ist. Nach derEinschwingphase sollten alle bisherigen statistischen Ergebnisse gelöschtwerden, da die Messungen in der Einschwingphase nicht das typischeModellverhalten zeigen. Beispielsweise sollte der Durchsatz pro Stundenicht von der ersten Stunde an erfasst werden (Eingabewert Statistik desEreignisverwalters).

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Der Experimentverwalter

Hinweis: Die Simulationmuss terminieren.

Ergebniswert (Ausgabewert): Ziehen Sie einObjekt auf den Experimentverwalter.

Modellparameter (Eingabewert): Ziehen Sieein Objekt mit gedrückter Shift�Taste aufden Experimentverwalter.

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Experimentdesign

Statistische Versuchsplanung (DOE:Design Of Experiments) umfasst die

systematische Variation vonModellparametern(Experimentdesign) und

systematische Variation desstochastischen Verhaltens(Beobachtungen vonErgebniswerten und statistischeAnalyse).

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Signi�kanztestIst der beobachtete Unterschied der Mittelwerte eines Ausgabewerts in zweiExperimenten auf die verschiedenen Parametrisierungen des Modells oderauf das zufällige Verhalten zurückzuführen?

Der p-Wert des Zweistichproben-t-TestsMan geht von der Hypothese aus, dass die Mittelwerte der Stichprobenzweier Experimente gleich sind. Die Irrtumswahrscheinlichkeit α (auchSigni�kanzniveau) ist ein Parameter des Tests. Es ist dieWahrscheinlichkeit, dass die Hypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist.Für α wählt man häu�g 0.01, 0.05 oder 0.1.

Der p-Wert (auch Überschreitungswahrscheinlichkeit) ist die kleinste Zahlα, für die die Hypothese gerade noch abgelehnt wird.

Ein p-Wert, der kleiner als die Irrtumswahrscheinlichkeit ist, spricht gegendie Hypothese der Gleichheit der Mittelwerte. Man sagt dann, dass derUnterschied der Mittelwerte statistisch gesichert (signi�kant) ist.

Das ist der typische Anwendungsfall des Zweistichproben-t-Tests.

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Modellierung eines Industrieroboters


Im Menü Datei > Modelleinstellungen können verschiedeneVisualisierungen gewählt werden: 2D oder/und 3D.

Alle Objekte haben ein zugehöriges 3D�Objekt, das durch Geometrie� undAnimationsdaten charakterisiert ist.

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Pick-and-Place-Roboter

Der VDI de�niert den Begri� Roboter folgendermaÿen:

Industrieroboter sind universell einsetzbare Bewegungsautomaten mitmehreren Achsen, deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge undWegen bzw. Winkeln frei (...) programmierbar und gegebenenfallssensorgeführt sind. Sie sind mit Greifern, Werkzeugen oder anderenFertigungsmitteln ausrüstbar und können Handhabungs- und/oderFertigungsaufgaben ausführen.

Quelle: VDI-Richtlinie

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Durch das Ausgangsverhalten BE-Attribut kann ein Sortierrobotereinfach realisiert werden.

Die Nummern der Nachfolger ergeben sich aus den Kanten�Objekten.Untersuchen Sie den Tooltip der Kanten, die vom Roboter wegführen.

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Der Roboter berechnet die Winkel und Zeiten entsprechend denverbindenden Kanten�Objekten.

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Austauschen der Gra�k: Die DateienPickAndPlaceComau.s3d undPickAndPlaceKUKA.s3d sind in derInstallation enthalten, die die Gra�kmit simulationsrelevantenInformationen enthalten.

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Transfers zwischen unterschiedlichen Transportsystemen

Der Pick-and-Place-Roboter ermöglicht eine einfache Modellierungkomplexer Material�usssysteme (erst ab in Version 14.0).Ziehen Sie den Roboter auf eine gewünschte Stelle auf einer Förderstrecke,an der ein Sensor (rote Linie) für eine Transferoperationwie z.B. Teil aufnehmen entsteht.

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Transfers zwischen unterschiedlichen Transportsystemen

Bei der Transferoperation Teil ablegen transportiert der Roboter ein BE,das er an die Stelle des Sensors auf der Förderstrecke ablegt.

Container, die auf Förderstrecken transportiert werden, oder Fahrzeuge, dieauf Wegen fahren, können auf- und abgeladen werden.Die Transferoperationen heiÿen Teil abladen oder Teil au�aden.Es werden so viele BEs umgesetzt, wie möglich sind. 78 / 93


Virtuelle Realität

Virtuelle Realität ist die Darstellung der Wirklichkeit in Echtzeit mittelseiner interaktiven Umgebung.Eine Vermischung der virtuellen Realität und der physischen Realität wirdAugmented Reality genannt (wikipedia).

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Aufgaben zur Modellierung

Aufgabe 1: Analyse eines Pu�ers

Bauen Sie dieses Modell auf und verwenden Sie zur Analyse des Pu�erseinen Plotter für den Füllstand.

Die Quelle erzeugt 5 Teile.Die Station hat eine konstante Bearbeitungszeit von 1 Minute.Die Bearbeitungszeiten der Senke und des Pu�ers sind 0.Der Pu�er hat eine Kapazität von 4.

Zu welchen Zeiten ist der Pu�er blockiert?

Bitte fügen Sie Ihren Namen in den Dateinamen ein.80 / 93


Aufgabe 2: Bearbeitung von zwei Produkten - Rüsten - Lose

In einer Produktionsanlage werdendie Produkte A und B produziert.Die Anlieferung der Produkte erfolgtzufällig im Verhältnis 1:1.Die Produkte werden zuerst 30 s aufeiner Bohrmaschine und dann 40 sbzw. 80 s auf einer von zweiFräsmaschinen gefertigt.Die Verteilung der Werkstücke aufdie Fräsmaschinen erfolgt zufällig.

Durch einen Bohrerwechsel fällt eineRüstzeit von 5 min an.Die Rüstzeit beim Fräsen ist 2 min.

1 Welcher Durchsatz wird erzielt?2 Wie viel Prozent der Zeit geht

durch das Rüsten der Maschinenverloren?

3 Welcher Durchsatz wird ohneRüsten erzielt?

4 Kann durch ein rüstoptimalesAusgangsverhalten derDurchsatz erhöht werden?

5 Welchen Ein�uss hat dieLosgröÿe auf den Durchsatz?

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Aufgabe 3: Durchsatz von Produktionsanlagen

Alle 30 Sekunden wird ein Werkstück an eine Bearbeitungsinsel angeliefert.Die Werkstücke werden nacheinander 30 und 40 Sekunden auf einer Bohr�und Fräsmaschine bearbeitet. Bestimmen Sie die Auslastungen beiderMaschinen und den Durchsatz pro Stunde der Bearbeitungsinsel.

Um den Durchsatz zu erhöhen, wird eine zweite Fräsmaschine geplant.Welcher Durchsatz pro Stunde wird erzielt?

Geben Sie eine plausible Erklärung für die Durchsätze beider Modelle.

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Aufgabe 4: Durchsatz und Verwirbelung von SequenzenIn einer Fertigungszelle werden zwei verschiedene Produkttypen hergestellt,die abwechselnd als Lose zu 30 Stück angeliefert werden. Alle verwendetenMaschinen haben eine Bearbeitungszeit von 1 Minute. Die Fertigungbesteht für beide Produkttypen aus 3 Bearbeitungsschritten. Am Anfangund am Ende der Fertigung werden beide Produkttypen auf gemeinsamenMaschinen bearbeitet.

Für den zweiten Fertigungsschrittstehen zwei Maschinen zurVerfügung. Vor einer derMaschinen für den zweitenBearbeitungsschritt ist einPu�erlager. Am Ende derFertigung werden beideProdukttypen auf einer Maschine

mit einer Rüstzeit von 5 Minuten bearbeitet. Analysieren Sie dieAbhängigkeit des Durchsatz von der Kapazität des Pu�erlagers.

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Themen für Hausarbeiten


Die folgenden Themen sind Vorschläge für Hausarbeiten.Eigene Themen können nach Absprache ebenfalls bearbeitet werden.

Anforderungen an die HausarbeitDie Problemstellung, Zielkon�ikte, wesentlichen Systemkomponenten unddynamischen Prozesse werden kurz genannt. Verwendete Steuerungenwerden verbal beschrieben. In einem Ausblick sollten Potentiale zurweiteren Verbesserung der Performance des Systems genannt werden.Durch eine statistische Analyse der Kennwerte müssen qualitative undquantitative Aussagen zur Genauigkeit genannt werden.Die Hausarbeit besteht aus dem Simulationsmodell (Dateierweiterung spp)und einer Dokumentation von maximal zwei A4 Seiten bei einer minimalenZeichengröÿe von 10. Die Dokumentation enthält die Namen der Autorenmit Matrikelnummer. Die bak�Datei wird nicht eingereicht.

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Thema 1: Selbstbedienungscafé

Diese Aufgabe benötigt das im Sommersemester 2019 nicht behandelteKapitel Personaleinsatzsteuerungen.In einem Café kommen im Mittel alle 2 Minuten ein Gast an. Alle Gästenehmen Ka�ee, der aus einem Automaten durch den Gast bereitet wird.Die Ka�eezubereitung benötigt 10 bis 20 Sekunden. Kuchen wird nur von60 % aller Gäste bestellt. Der Kuchen wird durch eine Küchenangestellteentsprechend dem Kundenwunsch auf einem Teller serviert. EineKuchenbestellung benötigt 30 bis 60 Sekunden. Die für die Bezahlungbenötigte Zeit liegt zwischen 40 Sekunden und 60 Sekunden. Für dasKuchenbu�et und die Kasse stehen 1 oder 2 Mitarbeiter zur Verfügung. DieKasse hat eine Verfügbarkeit von 98 %. Eine Unterbrechung der Arbeit derKasse dauert etwa eine Minute.

Schätzen Sie die mittlere Bedienzeit der Gäste durch eine statischeBerechnung. Bestimmen Sie mittels Simulation diese Kennzahl undanalysieren deren Schwankungen.

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Thema 2: Kostenanalyse

Eine automatische Fertigungsinsel besteht aus einer Montage- undVerpackungsstation. Zwischen beiden Stationen be�ndet sich einPu�erlager. Die Ankunftsrate der Aufträge in der Fertigungsinsel ist 60Aufträge pro Stunde. Die Montagestation bestückt eingehende Werkstückemit zwei Anbauteilen, deren Herstellung zwischen 50 und 70 Sekundenbzw. zwischen 30 und 60 Sekunden benötigt. Die Montagezeit ist normalverteilt. Der Mittelwert ist 45 Sekunden und die Standardabweichung ist 10Sekunden. Die Bearbeitungszeit der Verpackungsstation ist exponentiell mitdem Mittelwert 90 Sekunden verteilt.

Optimieren Sie die Gröÿe des Produktionszwischenlager, so dass derGewinn für eine Schicht von acht Stunden maximal wird. Ein Stück desProdukts kann zum Preis von 0.50 e verkauft werden. Die Fixkosten derFertigungsinsel sind 70 e pro Schicht. Ein benutzter Platz des Pu�erlagererzeugt pro Schicht 10 e Lagerhaltungskosten.

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Thema 3: Linienlayout

Eine Fertigungslinie besteht aus drei aufeinander folgenden Maschinen.

Maschine 1 Maschine 2 Maschine 3

Bearbeitungszeit 21 s 24 s 27 s

Verfügbarkeit 70% 80% 90 %

MTTR 10 min 12 min 15 min

Bestimmen Sie den Durchsatz pro Stunde für die Fertigungslinie. Um denDurchsatz zu erhöhen, wird ein Pu�erlager mit einer Kapazität von 10Teilen zwischen der ersten und zweiten Maschine oder zwischen der zweitenund dritten Maschine vorgesehen.

Für die beiden Linienlayouts mit Pu�erlagern werden die Durchsätze unddie Lagerbelegungen unter Beachtung stochastischer E�ekte verglichen.

Kann durch zwei Pu�erlager mit einer Gesamtkapazität von 10 Teilen derDurchsatz weiter erhöht werden?

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Thema 4: Werkstattfertigung

Eine Produktionseinheit besteht aus zwei Maschinen mit einer Verfügbarkeitvon 95 %. In der Werkstatt werden 2 verschiedene Teile A und B gefertigt.Die Werkstatt bekommt in einer Stunde etwa 100 Aufträge.Teil A wird auf der Produktionseinheit M1 und danach auf M2 gefertigt.Teil B wird zuerst auf M2 und dann auf M1 gefertigt.Die Bearbeitungszeiten sind auf M1 und M2 exponentiell mit demMittelwert von 15 Sekunden verteilt. Zwischen den Produktionseinheitenmüssen eventuell Pu�erlager vorgesehen werden. Nach der Produktionerfolgt eine Qualitätskontrolle, die für beide Teiletypen 10 bis 20 Sekundenbenötigt. Bei 30 % der A�Teile und 40 % der B�Teile ist eine Nacharbeitvon 1 Minute erforderlich.

Kann durch die Halbierung der Anteile für Nacharbeit eine signi�kanteErhöhung des Durchsatz erzielt werden?

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Thema 5: Callcenter

Ein Team von Servicemitarbeitern nimmt zwischen 8 und 17 Uhr Anrufeentgegen. Es rufen durchschnittlich 36 Kunden pro Stunde an.Die Dauer eines Anrufs ist durchschnittlich 5 Minuten und 20 Sekunden.Sind mehr als 10 Anrufer in der Warteschlange, so wird ein eingehenderAnruf abgewiesen.

Variieren Sie die Anzahl der Servicemitarbeiter.Führen Sie für die durchschnittliche Anzahl der abgewiesenen Anrufe unddie mittlere Wartezeit eine statistische Analyse durch.

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Thema 6: Co�ee Shop

In dem Shop, der zwischen 7 und 9 Uhr geö�net hat,werden drei verschiedene Sorten A, B und C von Ka�ee angeboten.Die Zubereitungszeiten für die Ka�eesorten sind 60, 30 bzw. 10 Sekunden.Die Häu�gkeiten der Bestellung verhalten sich wie 1:2:7. Die Zubereitungdes Ka�ees kann an einem oder an zwei Schaltern erfolgen.

Untersuchen Sie in Abhängigkeit von der Ankunftsrate von 1 bis 5 Kundenpro Minute die Bedienzeit der Kunden und die Auslastung der Schalter.

Zeigen Sie durch eine statistische Analyse, für welche Ankunftsratenzwei Schalter erforderlich sind.

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Thema 7: Flughafen Gepäckkontrolle

An der Gepäckkontrolle eines Flughafens kommen Fluggäste mit einer Ratezwischen 3 und 4 pro Minute an. Die Untersuchung der Gepäckstücke einesFluggastes benötigt eine exponentiell verteilte zufällige Zeit mit demMittelwert 12 Sekunden. Vor den Scanner der Gepäckstücke be�ndet sichein Packplatz, an dem ein Fluggast seine Gepäckstücke und Metallsachenin eine Schale zum Scannen legt. Diese Tätigkeit benötigt etwa eineMinute und ist exponentiell verteilt. Vor dem Packplatz bildet sich eineWarteschlange. Der Betreiber des Flughafen möchte sicherstellen, dass diemittlere Durchlaufzeit der Gepäckkontrolle nicht länger als 30 Minuten ist.Ist dieses Ziel mit zusätzlichen Packplätzen mit vorgelagertenWarteschlangen realisierbar?

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Thema 8: Werkslogistik

Ein Pu�erlager versorgt eine Montagemaschine mit Anbauteilen. Diemittlere Bearbeitungszeit der Maschine liegt bei 5 Minuten und kann um 1Minute schwanken. Für ein bearbeitetes Teil werden 2 Anbauteile benötigt.Die Maschine hat eine Verfügbarkeit von 80 %. Eine Reparatur dauert etwa5 Minuten. In dem Pu�erlager tre�en 10 Teile in einem Behälter als Losein. Zur Optimierung des Produktionssystems variieren Sie den Abstandzwischen den Anlieferungen des Pu�erlagers. Man analysiere denZielkon�ikt zwischen der Maximierung der Auslastung der Montage und derMinimierung des Bestandes des Pu�erlagers. Beginnen Sie mit einerstatischen Rechnung.

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Einführung in Plant Simulationmath4fun.de/PlantSimulation.pdf · 2019. 12. 21. · Inhaltsverzeichnis 1 Die Vision der Digitalen Fabrik 2 Simulation von Produktions- und Logistiksystemen