Einführung in das mathematische Arbeiten

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    15-Jul-2015

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<p>Einfuhrung in das mathematische ArbeitenSkriptum zur Vorlesung Institut fur Mathematik Universitt Wien a</p> <p>Hermann Schichl</p> <p> Uberarbeitet fur die Vorlesung im Wintersemester 2003/04 von Roland Steinbauer</p> <p>InhaltsverzeichnisKapitel 1. Einleitung 1.1. Hrden zu Studienbeginn u 1.1.1. Buchstabenrechnen versus Zahlenrechnen Abstraktion 1.1.2. Ich habe genau einen Bruder Sprache 1.1.3. Q.E.D. Beweise 1.2. Schulsto 1.3. Aufbausto Kapitel 2. Grundlagen 2.1. Beweise 2.2. Indizes 2.3. Summen, Produkte Zeichen 2.4. Gleichungsumformungen in Beweisen Stil und Fallen 2.4.1. Elementare Umformungen 2.4.2. Anwendung von Funktionen 2.5. Vollstndige Induktion a 2.5.1. Der binomische Lehrsatz Kapitel 3. Logik, Mengenlehre 3.1. Boolesche Algebren 3.2. Aussagen, Logik 3.2.1. Und oder oder, oder nicht? 3.2.2. Implikation und Aquivalenz 3.2.3. Quantoren 3.3. Mengen 3.3.1. Naive Mengenlehre 3.3.2. Relationen 3.3.3. Abbildungen 3.3.4. Mchtigkeit a 3.4. Axiomatische Mengenlehre 3.4.1. Die Axiome von Zermelo und Fraenkel Kapitel 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4. Grundlegende Algebra Motivation Gruppen Ringe Krper o 3 4 4 4 5 6 7 9 9 10 11 14 14 15 17 19 25 25 31 31 33 38 39 39 49 53 59 62 62 65 66 69 80 83 89 89 90 96 96</p> <p>1</p> <p>Kapitel 5. Zahlenmengen 5.1. Die natrlichen Zahlen u 5.1.1. Mengentheoretische Konstruktion von 5.2. Die ganzen Zahlen 5.2.1. Mengentheoretische Konstruktion von</p> <p>2</p> <p>INHALTSVERZEICHNIS</p> <p>Literaturverzeichnis</p> <p>5.3. Die rationalen Zahlen 5.3.1. Mengentheoretische Konstruktion von 5.4. Die reellen Zahlen 5.4.1. Die mengentheoretische Konstruktion von 5.5. Die komplexen Zahlen 5.6. Die Quaternionen</p> <p>99 101 103 107 114 120 123</p> <p>KAPITEL 1</p> <p>EinleitungIm Vergleich mit vielen anderen Studien, selbst mit den anderen naturwissenschaftlichen, hat das Mathematikstudium eine hhere Drop-OutRate, und viele Studenten geben bereits o im ersten Studienabschnitt auf. Ein Hauptgrund fr dieses Faktum liegt darin, dass sich die Art wie Mathematik an der u Universitt betrieben wird, grundlegend unterscheidet von dem, was man aus der Schule a gewohnt ist. Whrend in der Schule das Hauptaugenmerk auf das Lsen von Beispielen gea o richtet ist und fr die meisten Lehrer das Algorithmische im Vordergrund steht (das Erlernen u von Schemata zur Behandlung von Standardproblemen), tritt dies an der Universitt merka lich in den Hintergrund. Es ist in Wahrheit so, dass selbst die besten Fhigkeiten in diesem a Gebiet nicht ausreichen, ein Mathematikstudium, sei es zum Lehramt oder zum Diplom, erfolgreich abzuschlieen. In der Vergangenheit hat die Erfahrung gezeigt, dass bereits in der Studieneingangsphase (in den ersten wenigen Wochen) zwei Fakten zu einer Fehleinschtzung des Studiums durch a die Studenten fhren. u (1) Die scheinbare Einfachheit des zu Beginn gelehrten Stoes der Sto, der in den Vorlesungen zu Beginn vorgetragen wird, scheint den meisten wohlbekannt und leicht verstndlich. Dies verfhrt dazu, sich zu Beginn auf dem in der Schule gea u lernten auszuruhen und den Punkt zu verschlafen, an dem der sichere Hafen des bereits Erlernten verlassen wird. Der Sto sieht nmlich nur auf den ersten Blick a einfach aus, denn die wahre Schwierigkeit liegt nicht darin was behandelt wird sondern wie es behandelt wird. Jeder sollte also die scheinbare Einfachheit zu Beginn dazu ntzen, zunchst zu verstehen, wie der Sto prsentiert wird u a a und warum das gerade so geschieht. (2) Der Abstraktionsschock hngt unmittelbar mit dem zuvor gesagten zusammen. Wha a rend in der Schule die meisten Lehrer Mathematik an Hand von Beispielen erklren a und weiterentwickeln, ja der gesamte Unterricht meist darauf fokussiert wird, dienen in der hheren Mathematik Beispiele vor allem dazu Sachverhalte zu illustrieren. o Die wahre Entwicklung erfolgt innerhalb abstrakter Strukturen; diese werden durch mglichst wenige grundlegende Attribute deniert, und weitere gltige Eigenschafo u ten sowie Querbeziehungen zu anderen Strukturen werden in Beweisen mittels logischer Schlussfolgerungen aus diesen Grundlagen und bereits bekannten Tatsachen abgeleitet. Einer der hugsten Fehler von Studienanfngern liegt darin, den Beweisen nicht a a die ntige Aufmerksamkeit zukommen zu lassen. Das heit den wahren Geist der o Mathematik zu verfehlen und die wahren Schwierigkeiten, besonders am Anfang, zu ubersehen. Zustzlich fhrt es dazu, dass bereits nach wenigen Wochen des Studia u ums die geschaenen Strukturen einen Umfang und ein Abstraktionsniveau erreicht haben, das sich mit Schulwissen und Beispielen allein nicht mehr uberblicken lsst. a Mitlernen und Hinterfragen des Gehrten bereits zu Beginn des Studiums helfen, o den Schock zu verringern oder gar zu verhindern.3</p> <p>4</p> <p>1. EINLEITUNG</p> <p>Diese Lehrveranstaltung wurde im Studienplan mit der Absicht eingefhrt, eine Brcke u u zwischen der Mittel- und der Hochschulmathematik zu schlagen. Sie soll also dazu dienen, die StudienanfngInnen an die abstrakte Art und Weise, in der Mathematik an Universitten a a gelehrt wird, zu gewhnen und auerdem die Studierenden auf ein annhernd einheitliches o a Wissensniveau zu fhren, das auf Grund unterschiedlicher Lehrplne in den verschiedenen u a Schultypen zu Studienbeginn nicht gegeben ist. 1.1. Hurden zu Studienbeginn Das Mathematikstudium bietet den meisten Studienanfngern zu Beginn einige grunda legende Hrden, die in diesem Kapitel angesprochen werden sollen. u 1.1.1. Buchstabenrechnen versus Zahlenrechnen Abstraktion. Zahlen spielen im Mathematikstudium eine gegenber der Schule untergeordnete Bedeutung. Reines u Rechnen ist kein grundlegender Bestandteil des Lehrstos, es ist allerdings Voraussetzung und wird nicht wiederholt. Im Rahmen von Beispielen wird das Rechnen mit Zahlen dazu herangezogen, die abgeleiteten Theoreme zu illustrieren. ACHTUNG: Das bedeutet nicht, dass richtiges Rechnen im Mathematikstudium zweitrangig ist! Es ist unverzichtbare Grundlage. Ein groer Teil der mathematischen Theorie wird durch abstrakteres Ableiten gewonnen. Dabei spielen mitunter auch Rechenvorgnge eine wichtige Rolle, diese Ableitungen zielen a jedoch meist darauf ab, mglichste Allgemeinheit in den Aussagen zu erzielen. o Das Buchstabenrechnen steht also im Mathematikstudium im Vordergrund. 1.1.2. Ich habe genau einen Bruder Sprache. Die Sprache dient in der Ma thematik, wie auch im tglichen Leben, der Informationsbermittlung. Die Aufgabe des a u Sprechers ist es dabei, durch geeignete Sprachwahl dem Hrer mglichst wenig Mhe beim o o u Verstehen zu verursachen. Der Beruf des Mathematikers prgt die verwendete Sprache, wie a das bei jedem Beruf der Fall ist. Genauso wie von einem Arzt in der Regel anstelle des Wortes Ellenbogenbruch meist Olekranonfraktur verwendet wird, kann man von Mathematikern mitunter ich habe genau einen Bruder hren. Whrend jedoch ein Mediziner einige Monate Zeit hat, seine Sprache o a an das Berufsbild anzupassen, ist es fr Mathematikstudenten notwendig, die grundlegenu den Sprechweisen auerst rasch zu erlernen. Ohne diese Fhigkeit gehen viel wesentliche a Information und das Grundverstndnis der mathematischen Aussagen verloren. a Nachdem die Mathematik ein Gebiet ist, in dem es auf Exaktheit ankommt, ist die mathematische Sprache Regeln unterworfen, die uber jene hinausgehen, die fr Umgangssprache u (Hochsprache) und Literatur gelten. In dieser Vorlesung werden sprachliche Regeln durch grn gesetzte Schrift hervorgehoben. u Viele der hier zitierten Regeln sind ebenso wie viele dazu gehrende Beispiele dem Buch o [Beutelspacher 1999] entnommen. Man beachte, dass mathematische Sprache als Grundlage die Hochsprache bzw. die Literatur hat. Grundstzlich kann man daher davon ausgehen, dass mathematische Texte a zwar Gebrauchsliteratur aber immerhin Literatur sind. Wenn Sie also die Lsungen von o Ubungsbeispielen, Seminar- oder Diplomarbeiten, gar Dissertationen verfassen, so halten sie wenigstens die folgenden literarischen Grundregeln zustzlich zu den in dieser Vorlesung a behandelten mathematischen Konventionen ein. Schreiben Sie in vollstndigen Stzen und formulieren Sie uberschaubar und a a klar: Bedenken Sie, dass ein Satz zumindest Subjekt und Prdikat enthalten sollte. Lange, a verschachtelte Stze sind schwer verstndlich und lassen weder den Verfasser intelligenter a a wirken noch den Text glaubwrdiger werden. u</p> <p> 1.1. HURDEN ZU STUDIENBEGINN</p> <p>5</p> <p>Jeder Satz, den Sie schreiben, muss (zumindest fur Sie) einen Sinn haben: Vermeiden Sie, durch ubertriebene Symbolsetzung und logische Formalismen Ihre Aussagen so zu verschlsseln, dass am Ende nicht einmal Sie selbst auf Anhieb ihren Inhalt verstehen. u Schlielich die wichtigste Regel: Brechen Sie ruhig alle in diesem Skriptum vorgestellten Regeln, wenn Sie sich durch sie eingeengt fhlen, und wenn Sie wissen, was Sie tun. u 1.1.3. Q.E.D. Beweise. Seit Euklid im dritten Jahrhundert vor Christus seine Elemente geschaen hat, in der er die gesamte damals bekannte Mathematik zusammengefasst hat, ist die logische Struktur, das Fundament der Mathematik, auf Beweisen errichtet. Auf diese Weise wird sichergestellt, dass in der mathematischen Welt die gemachten Aussagen rein logisch nachgewiesen oder widerlegt werden knnen. Sie mssen nicht durch o u Experimente oder Expertengutachten gesttzt werden. Auch der in vielen Wissenschafu ten wohlbekannte philosophische Kampf zwischen verschiedenen Schulen und Lehrmeinungen ndet in der Mathematik nicht statt, oder beschrnkt sich zumindest darauf, ob ein a bestimmtes Gebiet interessant bzw. modern ist oder eben nicht. Das Beweisen ist fr StudienanfngerInnen ungewohnt, die aus der Schule gewhnt sind, u a o die Aussagen ihres Lehrers aufzunehmen und die vorgestellten Methoden nachzuvollziehen. Es ist in der Schule unkonomisch, alle Aussagen des Lehrers zu hinterfragen. Auf der Unio versitt wird dies anders. Grundstzlich sollte man scheinbar sein gesamtes Vorwissen hinter a a sich lassen und sich von neuem von den bisher geglaubten Tatsachen uberzeugen (lassen). Ein groer Fehler von Studienanfngern besteht darin, bei Ubungsbeispielen von bis dahin a unbewiesenen Tatsachen auszugehen und Beispiele oder Beweise dadurch flschlicherweise a abzukrzen oder gar zu verderben. Darum u Unterscheiden Sie im Rahmen eines Beweises oder einer Ubungsaufgabe immer genau zwischen den Resultaten, die sie verwenden durfen und denen die Sie kennen, oder zu kennen glauben. Das scheint nur auf den ersten Blick sinnlos. In Wahrheit wird damit ein zweifacher Zweck verfolgt. Zum einen wird der Blick dafr geschult, keine Lcken im mathematischen u u Gebude zu hinterlassen. Oft ist das der Sinn hinter einem scheinbar einfachen Ubungsbeia spiel. Zum anderen wird darauf vorbereitet, auch Beweise in mathematischen Strukturen zu nden, die rmer an Eigenschaften sind und fr die manche Resultate nicht gelten. a u Zuletzt noch einige sprachliche Hinweise: Stellen Sie ihre Beweise sorgfltig dar: Dadurch vermeiden Sie es, Lcken in der a u Kette logischer Schlsse zu ubersehen. Wesentlich bei der Erstellung von Beweisen ist eine u sinnvolle Gliederung und sinnvolle Untergliederungen. Beachten Sie beim Beweisen zu Beginn die folgenden Prinzipien: Sagen Sie, was Sie beweisen: Auerdem sollten Sie an jeder Stelle im Beweis sicherstellen, dass die Hrerin oder der Leser genau wei, welche Teilbehauptung Sie gerade o untersuchen. Folgen Sie dem folgenden Grundprinzip: Sagen Sie immer, was Sie als nchstes vorhaben, fuhren Sie es a durch, und sagen Sie danach, dass Sie es getan haben. Es empehlt sich auch, zu Beginn die zu beweisende Aussage in mathematische Form zu ubersetzen. Gliedern Sie ihren Beweis: Alle Beweise, die lnger als etwa eine halbe Seite sind, a sollten in Teilabschnitte unterteilt werden. Zerlegen Sie den Beweis in eine Reihe von Teilbehauptungen oder Fllen. Kennzeichnen Sie diese mit Einschben wie Schritt 1:, Schritt 2:, a u bzw. Fall 1:, Fall 2:, etc. Achten Sie besonders bei der Unterteilung in Flle, dass Sie keinen a Fall vergessen. Fhren Sie niemals Flle ein, die nicht gesondert behandelt werden mssen. u a u</p> <p>6</p> <p>1. EINLEITUNG</p> <p>Kennzeichnen Sie den Schluss eines Beweises: Es ist uerst ermdend fr einen a u u Leser, wenn er sich nie sicher sein kann, wo ein Beweis beginnt und wo er genau endet. Als Kennzeichen fr das Ende eines Beweises dienen manchmal Phrasen wie u Damit ist alles gezeigt. oder . . . was wir behauptet hatten.</p> <p>und hnliche Stze. Das zwingt den Leser dazu, den Beweis bis zum Ende zu lesen und a a erschwert es, sich einen schnellen Uberblick zu verschaen, speziell wenn mehrere Resultate und Zwischentexte aufeinander folgen. ubersichtlicher sind die Standardabkrzungen u w.z.z.w was zu zeigen war oder die lateinische Variante Q.E.D. (auch q.e.d. oder qed.) quod erat demonstrandum.</p> <p>In modernen Bchern hat sich das okonomische Beweisabschlusszeichen, das meist am Ende u der letzten Beweiszeile steht, ... durchgesetzt. Achten Sie im Verlauf der Vorlesung auf die Struktur der vorgetragenen Beweise, nehmen Sie sie als Beispiele und achten Sie auf die grnen Textstellen, mit denen typische u Redewendungen und die Struktur hervorgehoben werden. 1.2. Schulsto Parallel zu dieser Vorlesung werden wichtige Aspekte des AHSSchulstos im Rahmen von Workshops wiederholt. Ein Groteil dieses Stoes wird in nicht exakter Form vorgetragen. Die Darstellung orientiert sich am Lehrsto, der fr Realgymnasien vorgesehen ist. u Die Wiederholung des Schulstos soll hauptschlich dazu dienen, die Studenten auf vora handene Wissenslcken hinzuweisen und die grundlegenden algorithmischen Fertigkeiten zu u Beginn des Studiums nochmals darzustellen. Es seien alle Studierenden dazu angehalten, den Schulsto erneut zu lernen, denn die vollstndige Beherrschung der dort vermittela ten Fakten und Fertigkeiten wird im gesamten folgenden Studium kommentarlos vorausgesetzt werden. Fehler, auch Rechenfehler, deren Grundlage der Schulsto ist, sind keine Kavaliersdelikte. Sie zhlen bei Ubungen und Prufuna gen grundstzlich als schwere Fehler und entwerten ein Beispiel a vollstndig. a Arbeiten Sie also bei Prfungen und Ubungen sorgfltig und uben Sie den Schulsto gut u a ein. Einige abschreckende Beispiele aus Prfungen der jngeren Vergangenheit, die im Mau u thematikstudium nicht toleriert werden.c a + d = a+b . b c+d 3x+1 = x+1 . 3y+1 y+1 (ex ) = x ex1 bei Ableitung nach x. 1 0 ex dx = e. Wenn man mit zwei Wrfeln wirft, dann errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass u 1 dabei eine 6 geworfen wird: 1 + 6 = 1 . 6 3 a + b = a + b. log ab = log a log b, log 0 = 0.</p> <p>1.3. AUFBAUSTOFF</p> <p>7</p> <p>1.3. Aufbausto Einige Teile des Schulstos und die darber hinaus gehenden Fakten werden in der Voru lesung selbst mit voller mathematischer Exaktheit vorgetragen. Sie bilden gemeinsame Grundlage der nachfolgenden Vorlesungen Analysis 1 und Lineare Algebra und Geometrie 1. Im Rahmen dieses Erweiterungsstos werden auerdem weitere Sprachregeln und Sprechweisen erklrt, sowie das Beweisprinzip illustriert. a Einige Teile des Erw...</p>

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