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Vorläufige Version des Skriptes Wintersemester 2010/2011 Vorlesungsunterlagen Einführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerke – Franz-Joseph Barthold unter Mitarbeit von Daniel Materna und Nikolai Gerzen 13. November 2011 Numerische Methoden und Informationsverarbeitung Fakultät Architektur und Bauingenieurwesen Technische Universität Dortmund August-Schmidt-Strasse 8, D-44221 Dortmund http://www.bauwesen.tu-dortmund.de/nmi

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Vorläufige Version des Skriptes

Wintersemester 2010/2011

Vorlesungsunterlagen

Einführung in dieFinite Elemente Methode

– Flächentragwerke –

Franz-Joseph Barthold

unter Mitarbeit von

Daniel Materna und Nikolai Gerzen

13. November 2011

Numerische Methoden und InformationsverarbeitungFakultät Architektur und Bauingenieurwesen

Technische Universität DortmundAugust-Schmidt-Strasse 8, D-44221 Dortmund

http://www.bauwesen.tu-dortmund.de/nmi

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Numerische Methoden und InformationsverarbeitungFakultät Architektur und BauingenieurwesenTechnische Universität DortmundAugust-Schmidt-Straße 8D-44221 DortmundInternet: www.bauwesen.tu-dortmund.de/nmi

Professor Dr.-Ing. habil. Franz-Joseph BartholdE-Mail: [email protected]

Dr.-Ing. Daniel MaternaE-Mail: [email protected]

Dipl.-Ing. Nikolai GerzenE-Mail: [email protected]

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.Ohne Genehmigung des Autoren ist es nicht gestattet, diesesManuskript ganz oderteilweise auf fotomechanischen Wegen (Fotokopie, Mikrokopie, Digitalisierung) zuvervielfältigen.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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Vorwort

Das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerkedient zurErgänzung der Vorlesungen der GrundlagenfächerTechnische Mechanik, Statik undDynamiksowie Numerische Methoden und Informationsverarbeitungder FakultätArchitektur und Bauingenieurwesen der Technischen Universität Dortmund.

Die vorliegende Version umfasst eine Darstellung, die sichan die Vorlesungen zurThematik anlehnt. Trotzdem sind die Unterlagen kein vollständiger Ersatz für denBesuch der Veranstaltungen und sollen auch nicht vom begleitenden Studium derangegebenen Literatur abhalten.

Den wissenschaftlichen Mitarbeitern Daniel Materna und Nikolai Gerzen danke ichfür die zahlreichen und umfangreichen Beiträge, ohne die eine ausführliche Zusam-menstellung nicht möglich ist. Den studentischen Hilfskräften Wojciech Kijanskiund Dustin Kumor danke ich für die Unterstützung bei der Erstellung der Bilder, derBeispielaufgaben sowie der begleitenden Übungsunterlagen.

Es wird weiterhin ausdrücklich um Kritik und Verbesserungsvorschläge gebeten. FürHinweise auf Fehler sind wir dankbar. Diese können beispielsweise per E-Mail oderauf persönlichem Wege übermittelt werden.

Dortmund, im November 2010 Franz-Joseph Barthold

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

I Die Scheibe 3

2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie 52.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Vektoren und ihre Matrizendarstellung. . . . . . . . . . . . 52.1.1.1 Vektordarstellung in krummlinigen Basissystemen52.1.1.2 Matrizen der krummlinigen Vektorkoeffizienten. 62.1.1.3 Vektordarstellung für kartesische Basissysteme. . 72.1.1.4 Matrizen der kartesischen Vektorkoeffizienten. . 72.1.1.5 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Tensoren und ihre Matrizendarstellung. . . . . . . . . . . 82.1.2.1 Tensordarstellung in krummlinigen Basissystemen82.1.2.2 Tensordarstellung für kartesische Basissysteme. . 82.1.2.3 Matrizen der kartesischen Tensorkoeffizienten. . 9

2.1.3 Hinweise zur Struktur und Notation der Darstellung. . . . 92.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Gebiet und Rand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Deformation und Verschiebung. . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Lagrangesche vs. Eulersche Betrachtungsweise. . . . . . . 122.2.4 Deformationsgradient und Verschiebungsgradient. . . . . . 132.2.5 Verzerrungsmaß und Verzerrungstensor. . . . . . . . . . . 142.2.6 Multiplikative Zerlegungen bei großen Deformationen . . . 17

2.2.6.1 Polare Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.6.2 Volumetrische und isochore Anteile. . . . . . . . 172.2.6.3 Elastische und plastische Anteile. . . . . . . . . 19

2.2.7 Kleine Deformationen und linearer Verzerrungstensor . . . 192.2.8 Veranschaulichung des linearen Verzerrungstensors. . . . . 21

2.2.8.1 Normalverzerrungen vs. Ingenieurdehnungen. . 212.2.8.2 Schubverzerrungen vs. Ingenieurgleitungen. . . 212.2.8.3 Der ebene Verzerrungszustand. . . . . . . . . . 22

2.2.9 Verträglichkeitsbedingungen für die linearen Verzerrungen . 222.2.10 Invarianten und Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.10.1 Eigenwerte des linearen Verzerrungstensors. . . 252.2.10.2 Hauptachsenproblem. . . . . . . . . . . . . . . 25

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viii Inhaltsverzeichnis

2.2.11 Additive Zerlegungen bei kleinen Deformationen. . . . . . 262.2.11.1 Zerlegung in Verzerrungen und Drehungen. . . . 262.2.11.2 Zerlegung in Kugeltensor und Deviator. . . . . . 272.2.11.3 Zerlegung in elastische und plastische Anteile. . 29

2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen. . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Kraft- und Spannungsvektoren. . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Spannungstensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2.1 Das Cauchy Fundamentallemma. . . . . . . . . 302.3.2.2 Das Cauchy Spannungstheorem. . . . . . . . . . 302.3.2.3 Klassische Ingenieurnotation für die Spannungen332.3.2.4 Vergleich der Notationen und Vereinbarungen. . 33

2.3.3 Das lokale Kräfte- und Momentengleichgewicht. . . . . . 352.3.3.1 Das Momentengleichgewicht. . . . . . . . . . . 352.3.3.2 Das Kräftegleichgewicht. . . . . . . . . . . . . 352.3.3.3 Tensorielle Notation versus klassische Notation. 37

2.3.4 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement. . . . . 372.3.4.1 Momentengleichgewicht. . . . . . . . . . . . . 382.3.4.2 Kräftegleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Konstitutive Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1 Grundlagen der Materialtheorie. . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1.1 Bedingungen aus Mathematik und Physik. . . . 402.4.1.2 Bedingungen aus der Wahl der Materialklasse. . 41

2.4.2 Die Eigenschaften der linearen Elastizität. . . . . . . . . . 412.4.2.1 Grundlagen der Hyperelastizität. . . . . . . . . . 41

2.4.3 Die lineare Elastizität in Matrizenschreibweise. . . . . . . 432.4.3.1 Eigenschaften der allgemeinen linearen Elastizität 432.4.3.2 Das allgemeine Elastizität in Matrizenschreibweise 44

2.4.4 Das isotrope, linear-elastische Materialverhalten. . . . . . 452.4.4.1 Die Struktur isotroper, elastischer Materialgesetze 45

2.4.5 Das Hookesche Werkstoffgesetz. . . . . . . . . . . . . . . 462.4.5.1 Absolute Tensorschreibweise.. . . . . . . . . . . 462.4.5.2 Indexschreibweise für kartesische Koordinaten.. 462.4.5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . 472.4.5.4 Der ebene Spannungszustand (ESZ). . . . . . . 472.4.5.5 Der ebene Verzerrungszustand (EVZ). . . . . . . 48

2.4.6 Bestimmung der Lamé-Parameter� und� . . . . . . . . . 482.4.6.1 Experimente zur Bestimmung der Parameter. . . 492.4.6.2 Interpretation der Ergebnisse. . . . . . . . . . . 522.4.6.3 Zusammenstellung der Materialparameter. . . . 54

3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie 573.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen. . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Navier-Lamésche Verschiebungsdifferentialgleichungen . . 583.1.1.1 Herleitung der Verschiebungsdifferentialgleichung 583.1.1.2 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . 59

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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Inhaltsverzeichnis ix

3.1.1.3 Eigenschaften der Verschiebungs-DGL. . . . . . 593.1.2 Biharmonische DGLen für die Verschiebungen. . . . . . . 60

3.2 Randwertprobleme für die Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . 613.2.1 Biharmonische Differentialgleichungen für die Spannungen 613.2.2 Die DGL für die Maxwellschen Spannungsfunktionen. . . 63

3.2.2.1 Einführung der Spannungsfunktionen. . . . . . . 643.2.2.2 Herleitung der DGLen für die Spannungsfunktion653.2.2.3 Die Maxwellsche Spannungsfunktion der Scheibe66

3.2.3 Die direkte Herleitung der Scheibentheorie. . . . . . . . . 68

4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie 714.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen. . . . . . . . . . . 72

4.1.1 Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinaten. . . . . . . 724.1.2 Ebener Spannungszustand in Polarkoordinaten. . . . . . . 734.1.3 Ebener Spannungszustand in kartesischen Koordinaten . . . 744.1.4 Analytische Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Scheibe mit Loch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie 935.1 Formulierung der schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Mathematisch orientierte Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3 Darstellung in Matrizenschreibweise. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie 976.1 Das Dirichletsche Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie. . . . . . . . . . . 98

6.2.1 Äquivalenz zur schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . 986.3 Das Hu-Washizu Funktional der linearen Elastizität. . . . . . . . . 1006.4 Das Hellinger-Reissner Funktional der linearen Elastizität . . . . . . 100

7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen 1017.1 Vorbemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Das isoparametrische Konzept. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2.1 Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.1.1 Konstruktion der Ansatzfunktionen. . . . . . . . 1057.2.1.2 Bilineare Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . 106

7.2.2 Approximation der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.3 Approximation der Verschiebung. . . . . . . . . . . . . . 1127.2.4 Approximation der Verzerrungen. . . . . . . . . . . . . . 1137.2.5 Jacobi Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.3 Diskretisierung der schwachen Form. . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3.1 Zerlegung der schwachen Form in Elementanteile. . . . . . 1157.3.2 Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastvektor. . . . . . 116

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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x Inhaltsverzeichnis

8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement 1178.1 System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 FE-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.4 Bestimmung des Lastvektors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.5 Lösung des linearen Gleichungssystems. . . . . . . . . . . . . . . 1258.6 Vergleich Stablösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9 FEMSOLID - Ein Beispiel für ein FEM-Programm 127

10 Erweiterte Elementformen für die Scheibe 129

11 Die gemischte Methode für die Scheibe 13111.1 Grundgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.1.1 Kugeltensor und Deviator. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.1.2 Schwache Form der Gleichgewichtsbedingung. . . . . . . 13211.1.3 Beschreibung der Volumendilatation. . . . . . . . . . . . . 13211.1.4 Beschreibung der Druckspannungen. . . . . . . . . . . . . 13311.1.5 Beschreibung der Deviatorspannungen. . . . . . . . . . . 13311.1.6 Zusammenstellung der schwachen Formulierungen. . . . . 13411.1.7 Energiepotential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.2 Diskretisierung der schwachen Formen. . . . . . . . . . . . . . . . 13411.2.1 Unabhängige Ansätze für die drei Feldgrößen. . . . . . . . 13411.2.2 Statische Kondensation auf Systemebene. . . . . . . . . . 13611.2.3 Statische Kondensation auf Elementebene. . . . . . . . . . 13611.2.4 Die B-bar Formulierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11.3 Implementierung der B-bar Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.3.1 Berechnungsschema der modifizierten Steifigkeitsmatrix . . 13811.3.2 Hinweise zur Implementierung. . . . . . . . . . . . . . . . 13811.3.3 Überprüfung der Dimensionen einzelner Größen. . . . . . 141

11.4 Übung zum Thema: B-bar Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.5 Vergleichslösung mit Ansys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Notation und Literatur 145

Literaturverzeichnis 153

Index 153

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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Abbildungsverzeichnis

2.1 Deformation eines Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Polare Zerlegung des materiellen DeformationsgradientenF . . . . 182.3 Beispiel für eine lineare Drehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Volumen- und Flächenkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Tensorielle Spannungskoeffizienten am Volumenelement. . . . . . 312.6 Gleichgewicht am Schnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Normal- und Schubspannungen am Volumenelement. . . . . . . . 342.8 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement. . . . . . . . . 382.9 Versuch 1: Einfache Scherung eines rechteckigen Blockes . . . . . . 492.10 Versuch 2: Konstanter Druck auf eine Kugel. . . . . . . . . . . . . 502.11 Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes. . . . . . . . 51

4.1 Rand einer Scheibe mit Belastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Verlauf der Spannungskomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Einführung von Polarkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Linien der Hauptnormalspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5 Verteilung der Radialspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Der elastische Halbraum mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . 814.7 Verteilung der Spannungskomponente�z . . . . . . . . . . . . . . 854.8 Spannungsverteilung im elastischen Halbraum. . . . . . . . . . . . 874.9 Gelochte Scheibe unter einachsigem Zug. . . . . . . . . . . . . . . 884.10 Spannungsverläufe in der gelochten Scheibe. . . . . . . . . . . . . 92

7.1 Zerlegung des Gebietes� in finite Elemente�e . . . . . . . . . . . 1027.2 Isoparametrische Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Pascalsches Dreieck für zweidimensionale Ansatzfunktionen . . . . 1057.4 Referenzelement oder Parameterraum�p . . . . . . . . . . . . . . 1077.5 Bilineare Ansatzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.6 Beispiel zur Koordinatentransformation. . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1 System und Abmessungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Freiheitsgrade Scheibenelement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.4 Gausspunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.5 Eingespannter Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

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Tabellenverzeichnis

2.1 Beziehungen zwischen den Materialparametern. . . . . . . . . . . 55

8.1 Numerische Integration fürK11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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1 Einleitung

Das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerkebeschäf-tigt sich mit den Grundlagen derFinite Elemente Methodein der Anwendung aufebene Flächentragwerke. Diese Tragstrukturen bilden einen besonderen Schwerpunktin der Ausbildung desKonstruktiven Bauingenieurssowohl für das Verständnis dermechanischen Grundlagen, für die Beurteilung des statischen Tragverhaltens als auchfür die fundierte Anwendung numerischer Methoden.

Im Studium werden zunächst Stabtragwerke behandelt. DieseZusammenstellungsetzt somit die Kenntnis des SkriptesEinführung in die Finite Elemente Methode– Stabtragwerkevoraus.

Die mathematisch-mechanische Modellbildung ebener Flächentragwerke führt zupartiellen Differentialgleichungen in den beiden Koordinaten der Flächenebene. Dermathematische Aufwand und die Ansprüche an die mathematischen Grundkenntnis-se sind daher deutlich höher als bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen derStabtragwerke.

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Teil I

Die Scheibe

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2 Die Grundgleichungen der linearenElastizitätstheorie

In diesem Kapitel werden die Grundgleichungen zur Kinematik, zum Gleichgewichtund zu den konstitutiven Beziehungen für die lineare Elastizitätstheorie hergeleitet.Eine ausführliche Darstellung der (linearen)Elastizitätstheorieist in vielen Lehrbü-chern [6,8] zu finden. Die vorliegende Zusammenstellung bezieht sich in Teilen aufden Beitrag [11], der auch als VorlesungsskriptElastizitätstheorie[12] verfügbar ist.

2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen

Die Kontinuumsmechanikbedient sich derTensordarstellungzur Beschreibung dermechanischen Zusammenhänge bei der Deformation von Festkörpern. Hieraus kanndie in weiten Teilen des Ingenieurwesens üblicheMatrizendarstellungder Elastizi-tätstheorie abgeleitet werden. An dieser Stelle sollen dieBeziehungen zwischen Vek-toren und Tensoren einerseits und den Matrizen andererseits dargestellt werden. Ei-ne detaillierte Darstellung der Zusammenhänge kann den Lehrbüchern Tensorrech-nung [3,9,10] entnommen werden. Das VorlesungsskriptEinführung in die Kontinu-umsmechanik – Vektor- und Tenssorrechnung[2] stellt die erforderlichen Grundlagenin der Notation dieses Skriptes zusammen.

2.1.1 Vektoren und ihre Matrizendarstellung

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie eine allgemeine Vektordarstellung bezüglichbeliebiger krummliniger Basissysteme für den Sonderfall kartesischer Basen durchdie Verwendung der Matrizendarstellung wesentlich vereinfacht werden kann.

2.1.1.1 Vektordarstellung in krummlinigen Basissystemen

Die Vektorenx 2 V des dreidimensionalenVektorraumsV (dimV D n D 3) besit-zen die Darstellung

x D3

X

iD1

xi gi D xi gi D x1 g1 C x2 g2 C x3 g3: (2.1)

Die Komponentendes Vektorsx sind selbst wieder Vektorenx1 g1; x2 g2; x

3 g3,die jeweils eine Teilinformation vonx beinhalten. Die Komponenten bestehen dabei

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6 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

aus denkontravarianten1 Koeffizientenx1; x2; x3 und den zugehörigenkovarianten2

Basisvektoreng1;g2;g3. Mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention3 kann dieoben eingeführte Schreibweise ohne die Angabe des Summensymbols verwendetwerden. Eine analoge Darstellung mit denkovarianten Koeffizientenx1; x2; x3 undden zugehörigenkontravarianten Basisvektoreng1;g2;g3 liefert

x DnD3X

iD1

xi gi D xi gi D x1 g1 C x2 g2 C x3 g3: (2.2)

Die ko- und kontravarianten Koeffizienten und Basisvektoren sind für den allgemei-nen Fall krummliniger Koordinatensysteme mit schiefwinkligen Basisvektoren un-terschiedlich. Die angegebenen Darstellungen müssen daher sorgsam unterschiedenwerden, da die Position der Indizes (hoch- oder tiefgestellt) wichtig ist. Die Umrech-nung zwischen den beiden Darstellungen ist über diekovariantenundkontravarian-ten Metrikkoeffizienten

gi � gj D gij beziehungsweisegi � gj D gij (2.3)

und die Orthogonalität der beiden Basissysteme

gi � gj D ıji D

1 falls i D j

0 falls i ¤ j

möglich. Das Symbolıji stellt dabei dasKronecker-Symbol4 dar. Die Metrikkoeffi-

zienten bilden die Grundlage der Längenberechnung von Vektoren.

2.1.1.2 Matrizendarstellung der ko- und kontravarianten Vektorkoeffizienten

Jeder Vektorx ist nach der Festlegung einer Basisfg1;g2;g3g oder fg1;g2;g3geindeutig über die zugehörigen Koeffizientenx1; x2; x3 beziehungsweisex1; x2; x3

definiert. Die Koeffizienten können durch dieSpaltenmatrizen der Koeffizienten

xgiD

2

4

x1

x2

x3

3

5

gi

2 R3 bzw. xgi D

2

4

x1

x2

x3

3

5

gi

2 R3 (2.4)

dargestellt werden. Zur Verdeutlichung der Abhängigkeit der Koeffizienten von dergewählten Basis werden die Spaltenmatrizen der Koeffizienten mit einem Indexgi

bzw.gi zur Kennzeichnung der gewählten Basisfg1;g2;g3g bzw.fg1;g2;g3g ver-sehen. Im Allgemeinen giltxgi

¤ xgi , d.h. die Spaltenmatrizen der ko- und kontra-varianten Koeffizienten sind nicht gleich.

1Kontravariante Größen sind mit hochgestellten Indizes gekennzeichnet.2Kovariante Größen sind mit tiefgestellten Indizes gekennzeichnet.3Albert Einstein (1879-1955), deutscher Physiker.

Mit der Einsteinschen Summenkonvention wird vereinbart, dass gegenständig gleiche Indizes, eineSummation von1 bis zur Dimensionn des betrachteten Raumes (hiern D 3) meinen. Treten zweigleiche Indizes (zum Beispieli) einmal kovariant und einmal kontravariant auf, so soll summiert

werden, ohne dass das SummensymbolPnD3

iD1 erneut geschrieben wird.4Leopold Kronecker (1821-1891), deutscher Mathematiker.

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2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen 7

2.1.1.3 Vektordarstellung für kartesische Basissysteme

Die Wahl der Basis ist grundsätzlich beliebig und hat keinenEinfluß auf die Eigen-schaften des Vektorsx. In vielen Fällen ist die Verwendung einerkartesischen Basisvon Vorteil. In diesem Fall werden die ko- bzw. kontravarianten Basisvektoren mitei

beziehungsweise mitei bezeichnet. In derorthonormierten Basisdes kartesischenKoordinatensystems stehen die Basisvektoren paarweise senkrecht aufeinander undjeder Basisvektor ist auf die Einheitslänge normiert. Beide Eigenschaften könnendurch die Auswertung des Skalarproduktes zwischen jeweilszwei Vektoren unterVerwendung desKronecker-Symbolsin der Form

ei � ej D ıij D�

1 falls i D j

0 falls i ¤ j

dargestellt werden. Diese Eigenschaft führt dazu, dass beikartesischen Basen die ko-und kontravarianten Koeffizienten und Basisvektoren zusammenfallen. Es gilt somitxi D xi und ei D ei und damit ist nur eine Basis mit eindeutigen Koeffizientenvorhanden.

2.1.1.4 Matrizendarstellung der kartesischen Vektorkoeffizienten

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird bei der Verwendungkartesischer Basis-vektoren auf die Angabe der Basisei als Index zur Spaltenmatrix verzichtet. Eben-falls bezeichnet manx 2 R

3 wieder alsVektor im dreidimensionalen VektorraumR

3. Für kartesische Basen verwischen sich somit die Unterschiede zwischen einemVektorx 2 V und der zugehörigen Spaltenmatrixx 2 R

3 der Koeffizienten und manschreibt

x D x1

2

4

1

0

0

3

5 C x2

2

4

0

1

0

3

5 C x3

2

4

0

0

1

3

5 D

2

4

x1

x2

x3

3

5 : (2.5)

Hierbei sind die Spaltenvektoren

e1 D

2

4

1

0

0

3

5 ; e2 D

2

4

0

1

0

3

5 und e3 D

2

4

0

0

1

3

5 (2.6)

die Darstellungen der Basisvektorene1; e2; e3 2 V im R3. Man beachte den Unter-

schied in der Notation zwischenei 2 V (aufrechte Buchstaben) undei 2 R3 (ge-

neigte Buchstaben). Die Matrixdarstellung ist in vielen Fällen der Ausgangspunktder Betrachtung.

2.1.1.5 Zusammenfassung

Die Verwendung der Matrizendarstellung basiert üblicherweise auf der vorhergehen-den Wahl einer kartesischen Basis. Dieses ist ein wichtigerSonderfall, der zu einerstarken Vereinfachung der Berechnung führt. Man kann sich in diesem Fall auf dieBetrachtung einer einzigen Koeffizientenmatrix beschränken.

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8 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

2.1.2 Tensoren und ihre Matrizendarstellung

Zwei Vektorenx 2 V und y 2 W können aufeinander abgebildet werden. OhneBeschränkung der Allgemeinheit seien beide Vektorräume identisch, d.h.V D W

und somit dimW D m D dimV D n D 3. Wir schreiben für die AbbildungT W V ! W mit y D T x und bezeichnenT als einen zweistufigenTensor. DieseAbbildungT sei weiterhin linear, d.h. es gelte mitx D ˛1x1 C ˛2x2 für ˛1; ˛2 2 R

undx1;x2 2 V sowiey1; y2 2 W mit yi D T xi für i D 1; 2

y D Tx D T.˛1x1 C ˛2x2/ D ˛1Tx1 C ˛2Tx2 D ˛1y1 C ˛2y2: (2.7)

2.1.2.1 Tensordarstellung in krummlinigen Basissystemen

Die Tensoren können analog der obigen Bemerkungen für die Vektoren wieder inKoeffizienten und Basen dargestellt werden. Die Details desmathematischen Hinter-grunds sowie der Herleitung müssen an dieser Stelle verborgen bleiben. Als Ergebniserhalten wir für die SituationV D W undm D n D 3 die Darstellungen

T D Tij gi ˝ gj D T:ji gi ˝ gj D T i

:j gi ˝ gj D T ij gi ˝ gj : (2.8)

Hierbei werden die kovarianten (Tij ), gemischtvarianten (T :ji undT i

:j ) sowie kontra-

varianten (T ij ) Koeffizienten bezüglich der kontravarianten (gi ˝ gj ), gemischtva-rienten (gi ˝ gj undgi ˝ gj ) sowie kovarianten (gi ˝ gj ) Tensorbasen verwendet.Die obige Darstellung basiert wieder auf der EinsteinschenSummenkonvention, beider die explizite Angabe des Summationssymbols entfällt.Die unterschiedlichen Tensorbasengi ˝ gj ;gi ˝ gj ;gi ˝ gj undgi ˝ gj werdenmittels desdyadischen Produkts aus den eingeführten Vektorbasengi undgi ge-bildet und können wieder mit Hilfe der ko- und kontravarianten Metrikkoeffizientenineinander umgerechnet werden. Die Details werden hier nicht angegeben.

2.1.2.2 Tensordarstellung für kartesische Basissysteme

Die oben gezeigte Vielfalt reduziert sich bei der Verwendung einer kartesischen Ba-sisei D ei auf die Darstellung

T D T ij ei ˝ ej : (2.9)

Die ko-, kontra- und gemischtvarianten Tensorkoeffizienten sowie die ko-, kontra-und gemischtvarianten Tensorbasen sind somit identisch. Es gilt also

Tij D T:ji D T i

:j D T ij und ei ˝ ej D ei ˝ ej D ei ˝ ej D ei ˝ ej :

Die Einsteinsche Summenkonvention wird für den vorliegenden Fall in der Formmodifiziert, dass die Forderung gegenständiger Indizes fallengelassen wird. Somitsoll ebenfalls von1 bis n summiert werden, falls zwei gleiche Indizes in beliebi-ger Stellung auftreten. Oftmals werden dann alle Indizes tiefgestellt. Erneut zeigt

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2.1 Vektoren, Tensoren und Matrizen 9

sich, dass die Verwendung einer kartesischen Basis zu einerübersichtlicheren Dar-stellung führt, die allerdings mit dem Verlust der Allgemeingültigkeit bezahlt wird.Es ist nach Verwendung der genannten Vereinfachungen nichtmehr möglich, aus ei-ner Indexnotation in kartesischen Koordinaten auf die allgemeingültige Darstellungbezüglich einer beliebigen krummlinigen Basis zu schließen.

2.1.2.3 Matrizendarstellung der kartesischen Tensorkoeffizienten

Der TensorT kann für die gewählte kartesische Basis analog der obigen Vorgehens-weise bei den Vektoren in eine äquivalenten Darstellung mittels einer Koeffizienten-matrix überführt werden. Hierzu bemerken wir, dass die dyadischen Prokukteei ˝ej

die Äquivalente

e1 eT1 D

2

4

1 0 0

0 0 0

0 0 0

3

5 ; e1 eT2 D

2

4

0 1 0

0 0 0

0 0 0

3

5 ; e1 eT3 D

2

4

0 0 1

0 0 0

0 0 0

3

5 ;

e2 eT1 D

2

4

0 0 0

1 0 0

0 0 0

3

5 ; e2 eT2 D

2

4

0 0 0

0 1 0

0 0 0

3

5 ; e2 eT3 D

2

4

0 0 0

0 0 1

0 0 0

3

5 ;

e3 eT1 D

2

4

0 0 0

0 0 0

1 0 0

3

5 ; e3 eT2 D

2

4

0 0 0

0 0 0

0 1 0

3

5 ; e3 eT3 D

2

4

0 0 0

0 0 0

0 0 1

3

5

im R3�3 besitzen. Aus der TensordarstellungT D T ij ei ˝ ej ergibt sich die zuge-

hörige Matrizendarstellung

T D T ij ei eTj D

2

4

T 11 T 12 T 13

T 21 T 22 T 23

T 31 T 32 T 33

3

5 : (2.10)

Beide Darstellungen verwenden in dieser Form die Einsteinsche Summenkonventionfür beide Indizesi und j , d.h. es wird eine Doppelsumme überi D 1; 2; 3 undj D 1; 2; 3 beschrieben. Eine ausführliche Darstellung lautet

T D T ij ei eTj D

3X

iD1

3X

j D1

T ij ei eTj : (2.11)

2.1.3 Hinweise zur Struktur und Notation der Darstellung

Die kontinuumsmechanischen Grundlagen werden zunächst inder absoluten Tensor-notation angegeben. Diese Darstellung abstrahiert von derWahl eines bestimmtenKoordinatensystems und ist somit allgemeingültig. Für dieweiteren Berechnungenwird daraus die Matrizendarstellung abgeleitet. Die Herleitung dieser Darstellungkann an dieser Stelle nicht erfolgen. Es werden aber die resultierenden Matrizen be-züglich des kartesischen Koordinatensytems angegeben.

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10 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Die Angaben in kartesischen Koordinaten erlauben auch einealternative Herleitungder Beziehungen zur Verifikation und Veranschaulichung derGrundlagen.Die Unterscheidung der Darstellungen ist anhand der verwendeten Schriftarten pro-blemlos möglich. VektorenX;x;u werden durch aufrecht stehende fette Buchsta-ben symbolisiert. Für die (zweistufigen) Tensoren werden serifenlose ZeichenT; ©;¢verwendet. Die zugehörigen Matrizen werden über schrägstehende fette BuchstabenX ;x;u sowieT ; "; � repräsentiert.

2.2 Kinematik

Die Darstellung der Bewegung deformierbarer Körper stelltein wesentliches Ele-ment der Kontinuumsmechanik dar. Die Einführung derVerzerrungdes Körpers unddie Diskussion der wesentlichen Eigenschaften sind die zentralen Ergebnisse.

2.2.1 Gebiet und Rand

Wir beobachten die Bewegung und Deformation eines elastischen Körpers im drei-dimensionalenAnschauungsraum. Der Anschauungsraum kann durch Einführungeines Beobachters (Ursprung) in einen dreidimensionalenEuklidischen VektorraumE

3 überführt werden. Durch die Verwendung kartesischer Koordinaten kann man dieBetrachtungen auch imR3 durchführen.

Allgemeingültige Darstellung. Ein Gebiet� bezeichnet im Folgenden eine offe-ne, beschränkte und zusammenhängende Teilmenge des Euklidischen Vektorraumsmit dem Rand�. Die Vereinigung von Gebiet und Rand ist mit

N� D � [ � (2.12)

definiert. Der Rand� soll die Lipschitz-Stetigkeit erfüllen, da dann entlang desRandes ein eindeutiger äußerer Normaleneinheitsvektor existiert, d.h. ein Vektorn D ni ei mit jnj D 1, welcher aus dem Inneren vonN� in die Umgebung zeigt.Ferner kann der Rand� in einen Dirichlet-Anteil�D und einen Neumann-Anteil�N

zerlegt werden.� D �D [ �N (2.13)

Auf �N sind Spannungsrandbedingungen in Form von BelastungenNt und auf�D

VerschiebungsrandbedingungenNu vorgeschrieben.

Matrizendarstellung. Vereinfachend werden Gebiet und Rand wieder mit den obeneingeführten Symbolen�;� D �D[�N; N� D �[� � R

3 bezeichnet. Die Normalezum Randn und die RandwerteNu und Nt sind Spaltenmatrizen imR3.

2.2.2 Deformation und Verschiebung

Ein Körper ändert bei einer Deformation seine Form und seineLage im Raum.

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2.2 Kinematik 11

Allgemeingültige Darstellung. Die Deformation ist eine Abbildung® der vomKörper eingenommenen Teilmenge� auf die Bildmenge®.�/.

® W � ! E3 (2.14)

Dabei bezeichnet man die Urbildmenge� als Referenzkonfigurationoderundefor-mierte Konfiguration. Die Bildmenge®.�/ ist diedeformierte Konfiguration, sieheAbb. 2.1.

x

®

®.�/�

uX

Abbildung 2.1: Deformation eines Körpers

Die Abbildung® muss so beschaffen sein, dass sie eine physikalisch sinnvolle Ver-änderung der Ruhelage beschreibt. Vor und nach der Deformation müssen die ein-zelnen Punkte des Körpers unterscheidbar sein. Dies schließt ein Zusammendrückendes Körpers oder des Teilkörpers auf einen Punkt aus. Darausresultiert die Forde-rung der Injektivität5 an die Abbildung.Für den Fall, dass man die Injektivität der Deformation auchauf dem Rand� for-dert, würde man Verformungen ausschließen, welche zu einerSelbstberührung desKörpers führten. Dies wäre beispielsweise beim Zusammendrücken eines Kreisringsmöglich.Für einen PunktX 2 � bezeichnetx WD ®.X/ 2 ®.�/ den entsprechenden Punktin der deformierten Konfiguration. Die Bewegung des Körpersist eine Folge vonKonfigurationen®t W � ! R

3. Für den Ort des PunktesX zur Zeitt gilt

x D ®t .X/ D ®.X; t/ : (2.15)

Führt man nun den Verschiebungsvektoru.X; t/ als Differenz der Ortsvektoren derMomentan- und Ausgangskonfiguration

u.X; t/ D ®.X; t/ � X (2.16)

5Eine Abbildungf W A ! B heißt injektiv, wenn zu jedem Elementy der ZielmengeB höchstens einElementx der UrbildmengeA gehört.

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12 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

ein, so lässt sich Gl.2.15folgendermaßen umschreiben:

x.t/ D X C u.X; t/: (2.17)

Matrizendarstellung. Die OrtsvektorenX undx sowie der Verschiebungsvektoru lassen sich ausdrücken durch eine Linearkombination der KoeffizientenXi , xi

bzw.ui und der zugehörigen Basisvektorenei in der Form

u D3

X

iD1

ui ei D u1e1 C u2e2 C u3e3 : (2.18)

Im Fall kartesischer Basisvektoren kann der Verschiebungsvektor als Spaltenmatrixdargestellt werden, welche nur die Koeffizientenui enthält, d.h.

u D

2

4

u1

u2

u3

3

5 : (2.19)

Die Darstellungen verwenden ein kartesisches Koordinatensystem und man erhältdie SpaltenmatrizenX ;x undu D x � X für die Koeffizienten der Vektoren.Man bezeichnet die Koeffizientenxi des Ortsvektorsx eines Punktes des defor-mierten Körpers alsEulersche Koordinaten. Die KoeffizientenXi des OrtsvektorsX beschreiben die Lage des materiellen Punktes in der Referenzkonfiguration. Diesewerden alsmaterielle KoordinatenoderLagrangesche Koordinatenbezeichnet.

2.2.3 Lagrangesche vs. Eulersche Betrachtungsweise

Entsprechend den Lagrangeschen KoordinatenXi und den Eulerschen Koordinatenxi kann zur eindeutigen Beschreibung der Bewegung der Punkte des Körpers dieLagrangesche6 oder dieEulersche7 Betrachtungsweise benutzt werden.In der Lagrangeschen Beschreibung wird jede Zustandsgrößedes materiellen Punk-tes, wie z.B. die TemperaturT oder der Verschiebungsvektoru, als Funktion dermateriellen KoordinatenXi und der Zeit aufgefasst und es gilt

T D T .X1; X2; X3; t/

u D u.X1; X2; X3; t/ :

Ein Beobachter ist gewissermaßen mit dem Teilchen verbunden und misst die Ver-änderungen der jeweiligen Zustandsgröße.Bei der Eulerschen Betrachtungsweise wird demgegenüber jede Zustandsgröße alsFunktion der Ortskoordinatenxi und der Zeit gegeben und es gilt

T D T .x1; x2; x3; t/

u D u.x1; x2; x3; t/ :

6Joseph­Louis de Lagrange (1736-1813), italienischer Mathematiker.7Leonhard Euler (1707-1783), schweizer Mathematiker.

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2.2 Kinematik 13

Ein Beobachter sitzt sozusagen an einem festen Ortx und kann zum Zeitpunkttdas Passieren eines TeilchensX sehen. Man misst Veränderungen, die sich für denOrt dadurch ergeben, dass zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche materiellePunkte mit unterschiedlichen Eigenschaften am Ortx sind.Die Eulersche Beschreibungsweise findet insbesondere in der Fluidmechanik Ver-wendung. In der Festkörpermechanik wird meistens die Lagrangesche Beschrei-bung verwendet. Dementsprechend wird im Folgenden nur auf die LagrangescheBeschreibung zurückgegriffen. Der aktuelle Ortx und der Verschiebungsvektoru

wird also als Funktion der materiellen KoordinatenXj aufgefasst und es gilt

x D x.X1; X2; X3; t/ (2.20)

u D u.X1; X2; X3; t/ : (2.21)

2.2.4 Deformationsgradient und Verschiebungsgradient

Zur Vorbereitung der Definition einer Verzerrung müssen zunächst die FeldgrößenDeformationsgradientundVerschiebungsgradienteingeführt werden.

Allgemeingültige Darstellung. Zur lokalen Beschreibung des Deformationspro-zesses führt man denDeformationsgradientF ein. Dieser bildet die Tangentenvekto-ren der Referenz- auf die der Momentankonfiguration ab. Das materielle Linienele-ment dX in � wird mit dem Linienelement dx in ®.�/ verbunden, d.h.

dx D F dX : (2.22)

Die Deformation eines Körpers muss eine eineindeutige (umkehrbar eindeutige) Ab-bildung von� auf ®.�/ sein. Hieraus folgt, dassF nicht singulär sein darf. Diesbedeutet, dass die zugehörigeJacobi8-DeterminateJ der Bedingung

J D detF ¤ 0 (2.23)

genügen muss. Ferner ist zu fordern, dassJ > 0 ist, um Selbstdurchdringungeneines Körpers auszuschließen. WennF nichtsingulär ist, dann existiert die InverseF�1 und man erhält die Umkehrung der Beziehung (2.22)

dX D F�1 dx : (2.24)

Mit Hilfe des DeformationsgradientenF können weitere differentielle Größen trans-formiert werden. Bezeichnet da ein differentielles Flächenelement in der Momen-tankonfiguration und dA das Flächenelement in der Referenzkonfiguration, so ist dieTransformation zwischen� und®.�/ durch dieNansonscheFormel,

da D n da D JF�T N dA D JF�T dA (2.25)

8Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), deutscher Mathematiker.

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14 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

gegeben. Hierbei bezeichnetn den Flächennormalenvektor in®.�/ undN den Flä-chennormalenvektor in�. Entsprechend gilt für die Transformation von Volumen-elementen

dv D J dV : (2.26)

Der DeformationsgradientF lässt sich auch mit®.X/ D x D X C u.X/ in der Form

F D r® D r .X C u.X// D I C ru D I C H (2.27)

darstellen, wobeiI den Einheitstensor undru DW H denVerschiebungsgradientendarstellen.

Bemerkung 2.1. In der Literatur werdenF undH auch alsmateriellerDeformations-bzw. Verschiebungsgradient bezeichnet. Das Adjektivmateriellbezieht sich dabei aufdie Lagrange Betrachtungsweise bzgl. diemateriellenKoordinatenXi . Man beachte,daß es auchräumlicheVerzerrungs- und Verschiebungsgradienten gibt, die sich ausder Ableitung nach den räumlichen Koordinatenxi ergeben. In diesem Skript wirdhierauf nicht eingegangen.

Matrizendarstellung. Die Koeffizienten des DeformationsgradientenF bezüglichder kartesischen Basis bilden die MatrixF und werden aus den partiellen Ableitun-genFij D @xi = @Xj berechnet. Mit Gl.2.15ergibt sich

F WD r' D @x

@XD

�@xi

@Xj

D

2

4

x1;1 x1;2 x1;3

x2;1 x2;2 x2;3

x3;1 x3;2 x3;3

3

5 : (2.28)

Die zugehörige Koeffizientenmatrix des Verschiebungsgradienten ist gegeben durch

H D ru D @u

@XD

�@ui

@Xj

D

2

4

u1;1 u1;2 u1;3

u2;1 u2;2 u2;3

u3;1 u3;2 u3;3

3

5 : (2.29)

Vollständig ausgeschrieben ergibt sich die Koeffizientenmatrix des Deformations-gradienten zu

F D I C ru D

2

4

1C u1;1 u1;2 u1;3

u2;1 1C u2;2 u2;3

u3;1 u3;2 1C u3;3

3

5 : (2.30)

2.2.5 Verzerrungsmaß und Verzerrungstensor

Als Ausgangspunkt für die Beschreibung der Verzerrungen eines Körpers betrachtenwir dasGreen9-Lagrangesche Verzerrungsmaß"GL. Es ist durch die Differenz derQuadrate der infinitesimal kleinen Linienelemente ds2 D dx � dx der verformten

9George Green (1793-1841), englischer Mathematiker und Physiker.

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2.2 Kinematik 15

Konfiguration®.�/ und dS2 D dX �dX der unverformten Konfiguration� bezogenauf2 dS2 in der Form

"GL WD 1

2

ds2 � dS2

dS2D 1

2

dx � dx � dX � dX

dX � dX(2.31)

definiert.

Beispiel 2.1(Green-Lagrange Verzerrungsmaß). Betrachtet wird eine Dehnung desKörpers mitdx D .1C "C/ dX sowiedx D ds n unddX D dS n. Damit gilt

ds D .1C "C/ dS sowie "C D ds � dS

dSD l � lı

lıD �l

lı: (2.32)

Mit demCauchy Verzerrungsmaß"C folgt

"GL D "C C 1

2"2

C D ds � dS

dSC 1

2

�ds � dS

dS

�2

: (2.33)

Man erkennt die Übereinstimmung des linearen Terms mit dem Cauchy Verzerrungs-maß, das auchlineares Verzerrungsmaßoder Ingenieurverzerrunggenannt wird.

Allgemeingültige Darstellung. Für eine allgemeine Deformation gilt zwischenden Linienelementen die Beziehung dx D F dX und es folgt mit dX D dS n

"GL D 1

2

F dX � F dX � dX � dX

dS2D n � 1

2.FT F � 1/n D n � E n: (2.34)

DerGreen-LagrangescheVerzerrungstensor ergibt sich zu

E D 1

2.FT F � I/ (2.35)

und bildet die zentrale Verzerrungsgröße der nichtlinearen Theorie. Mit dem Defor-mationsgradientenF D I C ru und dem VerschiebungsgradientenH WD ru D F � Ilässt sich der Green-Lagrangesche VerzerrungstensorE auch in der Form

E D 1

2.H C HT C HT H/ ; (2.36)

bzw.

E D 1

2.ru C ruT C ruT ru/ (2.37)

darstellen.

Matrizendarstellung. Die genannten Beziehungen können in eine Matrixnotationübertragen werden und für die kartesischen KoeffizientenEij folgt

Eij D 1

2.ui;j C uj;i C uk;i uk;j /: (2.38)

Die konkrete Auswertung wird an dieser Stelle an zwei Beispielen erläutert.

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16 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Beispiel 2.2(Ebene Deformation). Im Fall einer ebenen Deformation (Scheibenpro-blem) ergibt sich mitu3 D 0 sowieui D Qui .X1; X2/ für i D 1; 2 die Koeffizienten-matrix des Deformationsgradienten zu

F D @x

@XD I C ru D

2

4

1C u1;1 u1;2 0

u2;1 1C u2;2 0

0 0 1

3

5 : (2.39)

Hieraus folgt die Koeffizientenmatrix desGreen-LagrangeschenVerzerrungstensors

E D 1

2.F T F � I/ D

2

4

E11 E12 0

E21 E22 0

0 0 0

3

5 (2.40)

mit den Komponenten

E11 D u1;1 C 1

2.u2

1;1 C u22;1/

E22 D u2;2 C 1

2.u2

2;2 C u21;2/ (2.41)

E12 D E21 D 1

2.u1;2 C u2;1/C 1

2.u1;1 u1;2 C u2;2 u2;1/ :

Die KomponentenE33, E13 undE23 ergeben sich im zweidimensionalen Fall iden-tisch zu Null. Die letzten Terme der rechten Seite repräsentieren die nichtlinearenAnteile des Verzerrungstensors.

Eine weitere Dimensionsreduktion führt zu den Beziehungenfür den Dehnstab.

Beispiel 2.3(Eindimensionale Deformation). Für den Fall einer eindimensionalenDeformation folgt aus den Ergebnissen des Beispiels2.2mit der zusätzlichen Annah-meu2 D 0 undu1 D Qu1.X1/ die Koeffizientenmatrix des Deformationsgradienten

F D @x

@XD I C ru D

2

4

1C u1;1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

5 (2.42)

sowie die Koeffizientenmatrix desGreen-LagrangeschenVerzerrungstensors

E D 1

2.F T F � I/ D

2

4

E11 0 0

0 0 0

0 0 0

3

5 (2.43)

mit

E11 D u1;1 C 1

2u2

1;1: (2.44)

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2.2 Kinematik 17

2.2.6 Multiplikative Zerlegungen bei großen Deformationen

Im Rahmen der allgemeinen nichtlinearen Theorie kann der Deformationsgradientmultiplikativ in physikalisch interpretierbare Faktorenzerlegt werden. Die aufge-führten multiplikativen Zerlegungen werden im Rahmen einer Theorie kleiner Ver-schiebungen und Verschiebungsgradienten durch eine entsprechende additive Auf-spaltung ersetzt, siehe Abschnitt2.2.11.

2.2.6.1 Polare Zerlegung des Deformationsgradienten

Jede Deformation lässt sich formal als eine Hintereinanderschaltung einer reinenStreckung und einer reinen Drehung darstellen. Nach dem Satz derpolaren Zerle-gungkann der DeformationsgradientF in der Form

F D R U D VR (2.45)

zerlegt werden. Dabei istR ein orthogonaler Drehtensor, d.h. für ihn gilt

RT R D R RT D I : (2.46)

Der TensorR beschreibt eine reine Drehung. Ferner bezeichnenU undV symmetri-sche Tensoren, durch welche die Streckung beschrieben wird.Die polare Zerlegung ist in Abbildung2.2veranschaulicht.Mit Hilfe des sogenanntenRechts-StrecktensorsU und desLinks-StrecktensorsVlassen sich eine Reihe verschiedener Verzerrungsmaße definieren. Aufgrund der Or-thogonalität vonR und der Symmetrie vonU, lässt sich mit Gl. (2.45) der rechteCauchy-Green-Tensor

C D FT F D UT RT R U D UT U D U2 (2.47)

definieren. Hiermit kann derGreen-LagrangescheVerzerrungstensor in der Form

E D 1

2.C � I/ D 1

2.U2 � I/ D 1

2.FT F � I/ (2.48)

angegeben werden. Für eine Starrkörperrotation mitF D R oder einer Starrkörper-translation mitF D 1 folgt immer E D 0. Ebenso werden diese Anteile in einerkomplexen Deformation durch die Konstruktion vonE eliminiert.

2.2.6.2 Volumetrische und isochore Anteile des Deformationsgradienten

Der materielle DeformationsgradientF kann multiplikativ in einen volumetrischenAnteil Fvol D J 1=31 mit J D detF und einen isochoren AnteilNF D J�1=3 F mitkonstanten Volumen detNF D 1 zerlegt werden. Die multiplikative Zerlegung

F D J 1=3 NF (2.49)

wird bei der Behandlung großer Deformationen für quasi-inkrompressible Materia-lien wie z.B. Gummi verwendet.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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18 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 2.2: Polare Zerlegung des materiellen DeformationsgradientenF

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2.2 Kinematik 19

2.2.6.3 Elastische und plastische Anteile des Deformationsgradienten

Für die Behandlung großer elasto-plastischer Deformationen wird die multiplikati-ve Zerlegung des Deformationsgradienten in einen elastischen AnteilFe und einenplastischen AnteilFp in der Form

F D Fe Fp (2.50)

eingeführt.

2.2.7 Kleine Deformationen und linearer Verzerrungstensor

Bei vielen Bauwerken des konstruktiven Ingenieurbaus treten kleine und kaum sicht-bare Deformationen unter der Gebrauchslast auf. Die kontinuumsmechanische Be-schreibung führt in diesem Fall zu einfacheren Beziehungen.

Allgemeingültige Darstellung. Wir sprechen vonkleinen Deformationen, wenndie Verschiebungu in einem Punkt von� und der zugehörige VerschiebungsgradientH D F � I D ru sehr klein sind, d.h. wenn

jjujj � 1 und ı D jjF � Ijj D jjHjj � 1 : (2.51)

Hierbei bezeichnetjjHjj die Norm des Verschiebungsgradienten, d.h.

jjHjj Dp

H W H : (2.52)

Benutzen wirı als eine Art Skalierungsfaktor, so ist

H.ı/ D ı � H (2.53)

und der Green-Lagrangesche VerzerrungstensorE lässt sich ausdrücken durch

E.ı/ D 1

2

ı � H C ı � HT C ı2 � HT H�

D ı � 12

H C HT�

C ı2 � 12

HT H

D ı � 12

H C HT�

C O.ı2/

D ı � O© C O.ı2/ :

(2.54)

Für kleine Deformationen, d.h.ı � 1, können die quadratischen Anteile vernachläs-sigt werden (O.ı2/ � 0) und der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor geht damitüber in denlinearen Verzerrungstensor10 oder denTensor der Ingenieurverzerrungen

O© WD 1

2

H C HT�

D 1

2

ru C ruT�

: (2.55)

Der lineare Verzerrungstensor ist symmetrisch und es giltO©T D O©.10Im Sprachgebrauch wird auch der Begrifflinearisierter Verzerrungstensor verwendet. Dieser betont

dabei die Herleitung vonO" aus dem (nichtlinearen) Green-Langrangeschen VerzerrungstensorE durcheineLinearisierungbezüglich der Verschiebungenu an der unverformten Konfiguration�.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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20 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Matrizendarstellung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall ergeben sich die Ko-effizienten des linearen Verzerrungstensors zu

O" D�

"ij

D

2

4

"11 "12 "13

"21 "22 "23

"31 "32 "33

3

5 : (2.56)

Aufgrund der Symmetrie des VerzerrungstensorsO" D O"T , d.h."ij D "j i , lässt sichder Verzerrungszustand auch mit Hilfe derSpaltenmatrix der Ingenieurverzerrungen" darstellen. Diese auchVerzerrungsvektorgenannte Größe ist gegeben durch

" D�

"11 "22 "33 2"12 2"23 2"13

�T: (2.57)

Der Verzerrungsvektor" enthält die partiellen Ableitungen

ui;j D @ui

@Xj

D @

@Xj

ui D @jui : (2.58)

Mit Hilfe des DifferentialoperatorsD angewendet auf den Verschiebungsvektoru

lässt sich der Verzerrungsvektor in der Form

" D

2

6666664

"11

"22

"33

2"12

2"23

2"13

3

7777775

D

2

6666664

@1u1

@2u2

@3u3

@1u2 C @2u1

@2u3 C @3u2

@1u3 C @3u1

3

7777775

D

2

6666664

@1 0 0

0 @2 0

0 0 @3

@2 @1 0

0 @3 @2

@3 0 @1

3

7777775

2

4

u1

u2

u3

3

5 D Du (2.59)

ausdrücken. Die DifferentialoperatormatrixD ist hierbei gegeben durch

D D

2

6666664

@1 0 0

0 @2 0

0 0 @3

@2 @1 0

0 @3 @2

@3 0 @1

3

7777775

D

2

666666666666666666664

@

@X1

0 0

0@

@X2

0

0 0@

@X3

@

@X2

@

@X1

0

0@

@X3

@

@X2

@

@X3

0@

@X1

3

777777777777777777775

: (2.60)

Die Ingenieurverzerrungen werden häufig in der Form

" D Du (2.61)

dargestellt

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2.2 Kinematik 21

2.2.8 Veranschaulichung des linearen Verzerrungstensors

Der lineare Verzerrungstensor kann einerseits aus dem allgemeinen Verzerrungsmaßund der Beschränkung auf kleine Deformationen hergeleitetwerden. Anderseits istes auch möglich, die Verzerrungen ingenieurmäßig zu motivieren und herzuleiten.Vereinfachend wird Veranschaulichung eine zweidimensionale Deformation einesinfinitesimal kleinen materiellen Elementes betrachtet. Das undeformierte Rechteckmit den Kantenlängen dx;dy wird zu einem Rhombus deformiert.

2.2.8.1 Tensorielle Normalverzerrungen versus Ingenieurdehnungen

Die Längeab der AusgangskanteAB D dx berechnet sich zu

ab D

s�

dx C @ux

@xdx

�2

C�@uy

@xdx

�2

D

s

1C 2@ux

@xC

�@ux

@x

�2

C�@uy

@x

�2

dx :

(2.62)

Für sehr kleine Verschiebungsgradienten mitkux;xk � 1 undkuy;xk � 1 gilt dieApproximation

ab � dx C @ux

@xdx (2.63)

und man erhält die Ingenieurdehnung"x zu

"x D ab �ABAB

D @ux

@xD ux;x : (2.64)

In analoger Form folgen für die y-Richtung sowie die z-Richtung die Beziehungen

"y D @uy

@yD uy;y sowie "z D @uz

@zD uz;z : (2.65)

Die Ingenieurdehnungen"x; "y ; "z in die drei Koordinatenrichtungen stimmen mitden tensoriellenNormalverzerrungen"11; "22; "33 überein.

2.2.8.2 Tensorielle Schubverzerrungen versus Ingenieurgleitungen

Die Ingenieurgleitungen messen die Winkeländerung zwischen zwei ursprünglichorthogonalen Kanten und für die Deformation in der x-y-Ebene gilt

xy D ˛ C ˇ: (2.66)

Aus der Darstellung erkennt man

tan˛ Dduy

dxdx

dx C @dux

dxdx

und tan D

dux

dydy

dy C @duy

dydy

: (2.67)

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22 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Für kleine Winkel ; ˇ � 1 und kleine Verschiebungsgradienten mitkux;xk � 1

undkuy;xk � 1 gilt die Approximation

tan˛ � ˛ � @uy

@xund tan � ˇ � @ux

@y: (2.68)

Unter Berücksichtung der Vertauschbarkeit vonx mit y und ux mit uy folgt dieSymmetrie und man erhält die Darstellung

xy D yx D ˛ C ˇ D @ux

@yC @uy

@x: (2.69)

In analoger Form folgen für die Ingenieurgleitungen in der y-z-Ebene und der x-z-Ebene die Beziehungen

yz D zy D @uy

@zC @uz

@ysowie zx D xz D @uz

@xC @ux

@z: (2.70)

Der lineare VerzerrungstensorO© enthält auf den Elementen"ij außerhalb der Diago-nalen die tensoriellen Schubverzerrungen"12; "23; "13, die den doppelten Ingenieur-gleitungen xy; xz ; xz entsprechen und man erhält beispielsweise für"12 und xy

die Beziehung

"12 D 1

2 xy bzw. 2"12 D xy : (2.71)

2.2.8.3 Der ebene Verzerrungszustand

Bei einer ebenen Deformation mitu3 D 0 undu1 D Ou1.X1; X2/; u2 D Ou2.X1; X2/

ist die explizite Form des linearen Verzerrungstensors gegeben durch die Matrix

O" D 1

2.ru C ruT / D

"11 "12

sym: "22

(2.72)

mit den Komponenten

"11 D u1;1

"22 D u2;2 (2.73)

"12 D 1

2.u1;2 C u2;1/ :

Die Komponenten"33, "13 und"23 sind im zweidimensionalen Fall identisch Null.

2.2.9 Verträglichkeitsbedingungen für die linearen Verzerrungen

Die linearen Verzerrungen" können gemäß" D D u aus gegebenen Verschiebungs-funktionenu durch die entsprechenden partiellen Ableitungen berechnet werden. Indiesem Abschnitt wird untersucht, ob es auch möglich ist, von den gegebenen Ver-zerrungenO" auf die Verschiebungenu zu schließen.

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2.2 Kinematik 23

Die linearen Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen

"ij D 1

2.ui;j C uj;i / (2.74)

ergeben ein System von sechs gekoppelten partiellen Differentialgleichungen zurBestimmung der drei unabhängigen Verschiebungenui in einem Punkt. Um eineeindeutige Zuordnung zwischen den sechs Verzerrungen und den drei Verschiebun-gen in jedem Punkt zu erreichen, müssen6 � 3 D 3 Verträglichkeitsbedingungen,auchIntegrabilitätsbedingungenoderKompatibilitätsbedingungengenannt, von densechs Verzerrungen erfüllt werden. Damit verbleiben nur noch drei unabhängigeVerzerrungen und die drei Verschiebungen sind hieraus berechenbar.Die Verträglichkeitsbedingungen für die sechs linearen Verzerrungs-Verschiebungs-beziehungen werden durch Elimination der Verschiebungsableitungenaus Gleichung(2.74) gewonnen. Hierzu betrachten wir die Gleichung (2.74) und bilden die partielleAbleitung nachXk

"ij;k D 1

2.ui;jk C uj;ik/ (2.75)

sowie die durch die Permutation der Indizes entstehenden Gleichungen

"ik;j D 1

2.ui;kj C uk;ij / ; (2.76)

"jk;i D 1

2.uj;ki C uk;j i / : (2.77)

Durch geeignete Addition und Subtraktion der Gleichungen (2.75), (2.76) und (2.77)erhalten wir mit der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen ein Differentialglei-chungssystem für die unbekannten Verschiebungenui

"ij;k C "jk;i � "ik;j D 1

2.ui;jk C uj;ik C uj;ki C uk;j i � ui;kj � uk;ij /

D 1

2.uj;ik C uj;ki / D uj;ik: (2.78)

Aus der erneuten Forderung vertauschbarer partieller Ableitungen

.uj;ik/;l D .uj;i l/;k (2.79)

ergibt sich für das Differentialgleichungssystem (2.78) die Bedingung

."ij;k C "jk;i � "ik;j /;l D ."ij;l C "jl;i � "i l;j /;k ; (2.80)

das sich in dieSt. Venantschen Kompabilitätsbedingungen

"i l;jk C "jk;li � "ik;jl � "jl;ik D 0 (2.81)

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24 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

umformen läßt. Die Gleichung (2.81) stellt 81 Gleichungen dar, von denen wegen derSymmetrieeigenschaften jedoch nur die folgenden 6 Gleichungen wesentlich sind:

2 "12;12 D "11;22 C "22;11 (2.82)

2 "23;23 D "22;33 C "33;22 (2.83)

2 "31;31 D "33;11 C "11;33 (2.84)

"11;23 D ."12;3 C "31;2 � "23;1/;1 (2.85)

"22;31 D ."23;1 C "12;3 � "31;2/;2 (2.86)

"33;12 D ."31;2 C "23;1 � "12;3/;3 : (2.87)

Es soll jetzt gezeigt werden, daß nur noch drei der sechs Bedingungen unabhängigsind. Hierzu leiten wir (2.85) nochmals partiell nachX2 ab und erhalten

"11;232 D "12;312 C "31;212 � "23;112 : (2.88)

Ebenso ergibt sich aus der Ableitung von (2.86) nachX1

"22;311 D "23;121 C "12;321 � "31;221 : (2.89)

Durch Einsetzen von (2.89) in (2.88) und Vertauschen der Reihenfolge der partiellenAbleitungen folgt

2"12;123 D "11;223 C "22;113 (2.90)

und damit

.2"12;12/;3 D ."11;22 C "22;11/;3 ; (2.91)

d. h. die partielle Ableitung der Gleichung (2.82) nachX3. Damit sind die Gleichun-gen (2.85) und (2.86) von Gleichung (2.82) abhängig. Analog kann mit den übrigenGleichungen verfahren werden. Hieraus erkennt man, daß nurdrei Verträglichkeits-bedingungen unabhängig und hinreichend sind.Die ausgewählten wesentlichen Gleichungen können in der Reihenfolge (2.84), (2.83),(2.82) in einer Matrixdarstellung

0

@

0 @33 @22 0 �@23 0

@33 0 @11 0 0 �@31

@22 @11 0 �@12 0 0

1

A

0

BBBBBB@

"11

"22

"33

2 "12

2 "23

2 "31

1

CCCCCCA

D 0 (2.92)

geschrieben werden. Die Koeffizientenmatrix wird mitD�T bezeichnet und es giltsomit in symbolischer Matrizenschreibweise

D�T" D 0 : (2.93)

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2.2 Kinematik 25

2.2.10 Invarianten und Eigenwerte

Der Vorteil einer tensoriellen Darstellung besteht darin,daß sie allgemeingültig istund somit für alle speziellen Basissysteme ausgewertet werden kann. Unabhängighiervon existieren jedoch physikalisch motivierte Hauptwerte und Hauptachsen, de-ren Berechnung und Interpretation an dieser Stelle am Beispiel des linearen Verzer-rungstensorsO© erläutert wird. Die absolute Tensordarstellung wird unmittelbar durchdie Koeffizientendarstellung bezüglich einer kartesischen Basis veranschaulicht.

2.2.10.1 Eigenwerte des linearen Verzerrungstensors

Die Invariantendes Verzerrungstensors sind Eigenschaften vonO©, die unabhängigvon der gewählten Darstellung in einem Koordinatensystem immer unverändert blei-ben, alsoinvariantsind. Zweistufige Tensoren, die über den dreidimensionalenVek-torraumV definiert sind, besitzen drei Invarianten. Die Invariantensind in absoluterTensorschreibweise, in Matrizenschreibweise oder in Koeffizientenschreibweise be-züglich einer kartesischen Basis angegeben

I1 D tr.O©/ D tr. O"/ D "11 C "22 C "33 ;

I2 D 1

2

Œtr.O©/�2 � tr.O©2/�

D 1

2

Œtr. O"/�2 � tr. O"2/�

D "11 "22 C "22 "33 C "33 "11 � "212 � "2

23 � "213 ;

I3 D det.O©/ D det. O"/D "11 ."22 "33 � "23 "23/

� "12 ."12 "33 � "23 "31/

C "13 ."12 "23 � "22 "31/ :

(2.94)

Hierbei werden die Operatoren für dieSpur tr und dieDeterminantedet auf denTensorO© beziehungsweise die MatrixO" angewendet.

2.2.10.2 Hauptachsenproblem

DasEigenwertproblemoder auchHauptachsenproblemfür den linearen Verzerrungs-tensorO© untersucht die Frage, ob esEigenvektorenoderHauptrichtungenni gibt, inderen Richtung nur eine Dehnung auftritt, also

O© ni D �i ni für i D 1; 2; 3 (2.95)

gilt. Die EigenwerteoderHauptwerte�1; �2; �3 entsprechen physikalisch den Deh-nungen einer Faser in Richtung der Eigenvektorenni . Sie sind die Nullstellen descharakteristischen Polynoms

�3 � I1 �2 C I2 � � I3 D 0 (2.96)

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26 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

und ergeben in der Form

I1 D �1 C �2 C �3

I2 D �1 �2 C �2 �3 C �3 �1

I3 D �1 �2 �3 :

(2.97)

Mit den ermittelten Hauptwerten lassen sich dann die Hauptrichtungenni über dieLösung der Beziehung

.O© � �i 1/ ni D 0 (2.98)

berechnen. Die Hauptrichtungen bilden eine orthonormale Basis.n1;n2;n3/ undder Verzerrungstensor kann in der Form

O© D3

X

iD1

�i ni ˝ ni (2.99)

dargestellt werden.

Bemerkung 2.2. Die eingeführte polare ZerlegungF D R U D V R kann mit dieserZerlegung einfach erläutert werden, da der orthogonale Tensor R eine Drehung derHauptachsen beschreibt und die StrecktensorenU, V die Dehnung in dieser Richtungvor bzw. nach der Drehung angeben.

2.2.11 Additive Zerlegungen bei kleinen Deformationen

Die in Abschnitt2.2.6aufgeführten multiplikativen Zerlegungen des Deformations-gradientenF im Rahmen der allgemeinen nichtlinearen Theorie werden fürkleineDeformationen in additive Zerlegungen des linearen VerzerrungstensorsO© überführt.Die Details des Linearisierungsprozeßes bleiben an dieserStelle verborgen, aber dieresultierenden Beziehungen der linearen Theorie werden angegeben.

2.2.11.1 Zerlegung in Verzerrungen und Drehungen

Analog zur multiplikativen Zerlegung des DeformationsgradientenF kann der Ver-schiebungsgradientH für kleine Deformationen additiv in seine Verzerrungs- undRotationsanteile zerlegt werden.

Allgemeingültige Darstellung. Der VerschiebungsgradientH D ru kann in einensymmetrischen Anteil symfrug und schiefsymmetrischen (antimetrischen) Anteilskwfrug zerlegt werden. Es gilt

ru D symfrug C skwfrug D 1

2.ru C ruT /C 1

2.ru � ruT / : (2.100)

Der lineare VerzerrungstensorO© entspricht damit dem symmetrischen Anteil des Ver-schiebungsgradienten, d.h.

O© D 1

2.ru C ruT / D symfrug : (2.101)

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2.2 Kinematik 27

Der antimetrische Anteil bildet deninfinitesimalen Drehtensor

O D 1

2.ru � ruT / D skwfrug; (2.102)

dem einachsialer Vektorw zugeordnet ist.

Matrizendarstellung. Der antimetrische DrehtensorO D � O T und der zugehöri-ge achsiale Vektorw besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die Koeffi-zientenmatrizen

O! D

2

4

0 !12 !13

!21 0 !23

!31 !32 0

3

5 D

2

4

0 �w3 w2

w3 0 �w1

�w2 w1 0

3

5 und w D

2

4

w1

w2

w3

3

5

mit

!12 D �!21 D 1

2.u1;2 � u2;1/

!23 D �!32 D 1

2.u2;3 � u3;2/

!32 D �!23 D 1

2.u3;1 � u1;3/

(2.103)

und der Beziehung

!ij D eijk wk sowie wi D eijk !jk (2.104)

zwischen den Koeffizienten der Drehtensors und des achsialen Vektors. Hierbei isteijk dasPermutationssymbolund bedeutet

eijk D

8

<

:

1 falls .i; j; k/ eine Permutation von.1; 2; 3/ ist,�1 falls .i; j; k/ eine Permutation von.3; 2; 1/ ist,0 falls zwei oder drei gleiche Indizes auftreten.

(2.105)

2.2.11.2 Zerlegung in Kugeltensor und Deviator

Die additive Zerlegung des linearen Verzerrungstensors involumen- sowie gestalts-ändernde Anteile ist für mechanische Verständnis des Materialverhaltens hilfreich.Das Maß für die Volumenänderung der nichtlinearen TheorieJ D detF wird imRahmen einer Linearisierung in die linearisierte Form trO© überführt. Hierbei bezeich-net der Operator tr dieSpureines Tensors.Der lineare VerzerrungstensorO© kann somit additiv in einen volumetrischen Anteil(Kugeltensor)O©vol und einen deviatorischen Anteil (Deviator)O©dev mit

O© D O©vol C O©dev D 1

3.tr O©/ 1 C devO© (2.106)

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28 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 2.3: Beispiel für eine lineare Drehung

zerlegt werden. Dabei meint

ı D �V

VD tr.O©/ D "11 C "22 C "33 (2.107)

die VolumendehnungoderDilatation und

"m D "kk

3D "11 C "22 C "33

3D 1

3tr.O©/ (2.108)

ist diemittlere Dehnung. Damit können die Koeffizienten des Verzerrungstensors"ij

in der Form

"ij D "kk

3ıij C eij (2.109)

geschrieben werden, wobei die Koeffizienteneij des Deviators dieGestaltsänderungbeschrieben.

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 29

2.2.11.3 Zerlegung in elastische und plastische Anteile

Die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientenin elastische und plasti-sche geht im Rahmen einer geometrisch linearen Theorie ebenfalls in eine additiveAufteilung von elastischen und plastischen Anteilen des lienaren Verzerrungstensorsüber. An dieser Stelle können weitere Details nicht dargestellt werden.

2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen

Im Rahmen der allgemeingültigen nichtlinearen Theorie werden die Belastungen undSpannungen am verformten Körper®.�/ betrachtet und es wird das Gleichgewichtfür diesen deformierten Körper formuliert. Durch die im vorhergehenden Abschnittbeschriebene Linearisierung erfolgt eine Vereinfachung der Betrachtungen am un-verformten Körper�. Alle in diesem Abschnitt eingeführten Größen beziehen sichauf den unverformten Körper� und damit wird das Gleichgewicht auch für denunverformten Körper gefordert.

2.3.1 Kraft- und Spannungsvektoren

Auf eine Struktur wirken verschiedene Arten äußerer Kräfte. Volumenkräfteb wir-ken als volumenmäßig verteilte Kräfte auf die Partikel im Inneren der Struktur�.FlächenkräfteNt treten auf der Körperoberfläche bzw. über Teilflächen auf, d.h. aufdem Rand�N, siehe Abb.2.4. Ferner treten bei dynamischen Beanspruchungen nochTrägheitskräfte� Rx für alle Partikel der Struktur auf. Diese werden jedoch im Rah-men dieses Skriptes vernachlässigt, da ausschließlich statische (zeitunabhängige)Probleme betrachtet werden.

b

Nt

X3

X2

X1

X

Abbildung 2.4: Volumen- und Flächenkräfte

Aus den äußeren Kräften resultieren im Körper innere Kräfte, welche die Wechsel-wirkung zwischen benachbarten Körperpartikeln beschreiben. Diese inneren Kräfte

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30 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

wirken als Flächenkräfte oderSpannungenauf gedachte Schnitte im Körperinnernund können wie nachfolgend dargestellt alsSpannungsvektordefiniert werden.Betrachtet wird eine äußere Kraft�f , die auf der Fläche�A angreift. Der Span-nungsvektort ist dann definiert durch

t WD lim�A!0

�f

�A; (2.110)

wobei vorausgesetzt wird, dass der Grenzwert existiert. Ferner wird angenommen,dass von der Schnittfläche nur Kräfte und keine Momente übertragen werden. DieBerücksichtigung von Momenten auf infinitesimalen Schnitten kann durch so ge-nannte Momentenspannungen innerhalb derCosserat11 Theorieerfolgen, auf welchean dieser Stelle jedoch nicht eingegangen werden soll.Die eingeprägte OberflächenspannungNt muß auf dem Rand�N der dort auftretendenSchnittspannungt entsprechen, d.h.t D Nt.Die Volumenkraftb und der Spannungsvektort werden in kartesischen Koordinatendurch die Spaltenmatrizen

b D�

b1 b2 b3

�Tund t D

t1 t2 t3�T

(2.111)

beschrieben.

2.3.2 Spannungstensor

Der Spannungsvektort hängt wesentlich von der Wahl der Schnittfläche ab. Gesuchtist eine von der Schnittführung unabhängige Darstellung der Spannungen im Körper.

2.3.2.1 Das Cauchy Fundamentallemma

DasCauchy Fundamentallemmastellt die bereits in derTechnischen Mechanikver-wendete Beziehung zwischen den Schnittkräften allgemeingültig dar. Demnach sinddie bei einem gedachten Schnitt durch den Körper mit der Schnittnormalenn auftre-tenden Spannungsvektoren am positiven sowie am negativen Schnittufer entgegen-gesetzt gleich sind. Es gilt also für jeden Punkt der Schnittfläche

t.�n/ D �t.n/ : (2.112)

Die Spannungen an beiden Ufern einer Schnittfläche sind entgegengesetzt gerichtetund betragsmäßig gleich groß.

2.3.2.2 Das Cauchy Spannungstheorem

Die lineare Beziehung zwischen Spannungsvektort und Schnittflächen wird durchdenSpannungstensorO¢ hergestellt.

11Gebrüder Cosserat:Eugène Cosserat (1866-1931), französischer Mathematiker und Astronom.Francois Cosserat (1852-1914), französischer Mathematiker und Ingenieur.

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 31

Allgemeingültige Darstellung. Der grundlegendenZusammenhang zwischen demSpannungszustand in einem Körperpunkt und die Darstellungals Spannungsvektorin einem (gedachten) Schnitt wird durch dasCauchy12 Theorem13

t D O¢ n (2.113)

angegeben. Der Spannungsvektort auf jedem Punkt des Randes kann demnach ausdemSpannungstensorO¢ und dem äußeren Normalenvektorn berechnet werden.

Bemerkung 2.3. Durch die Linearisierung wird aus demCauchy Spannungstensor,der auf der verformten Konfiguration®.�/ definiert ist, derlinearisierte Spannungs-tensorO¢. In diesem Fall beziehen sich das Flächenelement�A sowie die Normalenauf die unverformte Lage�.

Matrizendarstellung. Die KoeffizientenO�ij des SpannungstensorsO¢ bezüglich ei-nes kartesischen Koordinatensystems sind in der Darstellung 2.5 angegeben. Dabeibezeichnet der erste Index die Richtung der Spannung und derzweite Index kenn-zeichnet die Richtung der Flächennormale, da mit Gleichung(2.113) aucht D O� n

gelten soll. Die Beziehung zwischen den tensoriellen SpannungskoeffizientenO�ij

und den klassischen Ingenieurspannungen wird in Abschnitt2.3.2.4diskutiert.

O�13

O�12

O�32

e1

e2

e3

O�31

O�21

O�23 O�11

O�33

O�22

Abbildung 2.5: Tensorielle Spannungskoeffizienten am Volumenelement

Die Koeffizientenmatrix des linearen Spannungstensors istgegeben durch

O� D

2

4

O�11 O�12 O�13

O�21 O�22 O�23

O�31 O�32 O�33

3

5 : (2.114)

12Augustin Louis Cauchy (1789-1859), französischer Mathematiker.13Es gibt in der Literatur mehrere Aussagen, die nach Cauchy benannt werden. Genauer spricht man dann

vom Cauchy Spannungs-Theorem.

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32 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Der Spannungsvektort und der zugehörige Normalenvektorn lauten

t D�

t1 t2 t3�T

sowie n D�

n1 n2 n3

�T(2.115)

und es gilt somit im allgemeinen 3D-Fall

O�11n1 C O�12n2 C O�13n3 D t1

O�21n1 C O�22n2 C O�23n3 D t2

O�31n1 C O�32n2 C O�33n3 D t2

(2.116)

oder kompakter2

4

O�11 O�12 O�13

O�21 O�22 O�23

O�31 O�32 O�33

3

5

2

4

n1

n2

n3

3

5 D

2

4

t1t2t3

3

5 (2.117)

bzw.O� n D t : (2.118)

Beweis des Cauchy Theorems für den zweidimensionalen Fall.Der Zusammen-hang zwischen den Spannungskomponententi in einem Schnittn und den innerenSpannungenO�ij im betrachteten Körperpunkt soll exemplarisch an der zweidimen-sionalen Situation hergeleitet werden, siehe Abb.2.6.

O�12

O�22

O�11

O�21

n1

n2

nt2

t1

t

�D

�N

e2

e1

Nt

˛

˛

Abbildung 2.6: Gleichgewicht am Schnitt

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 33

Hierzu wird das Kräftegleichgewicht in jede Koordinatenrichtung aufgestellt. DieGleichgewichtsbedingungen lauten

O�11 dX2 dX3 C O�12 dX1 dX3 D t1 dS dX3

O�21 dX2 dX3 C O�22 dX1 dX3 D t2 dS dX3 :(2.119)

Nach der Division durch dX3 dS erhält man das Gleichungssystem

O�11

dX2

dSC O�12

dX1

dSD t1

O�21

dX2

dSC O�22

dX1

dSD t2 :

(2.120)

Wenn man die Ähnlichkeit der Dreiecke�Œn1 n2 knk� und�ŒdX2 dX1 dS� ausnutzt,erhält man mitknk D 1 die Beziehungen

sin˛ D dX1

dSD n2

knk D n2 und cos D dX2

dSD n1

knk D n1 : (2.121)

Für das Gleichungssystem folgt

O�11 n1 C O�12 n2 D t1

O�21 n1 C O�22 n2 D t2(2.122)

bzw. in IndexschreibweiseO�ij nj D ti : (2.123)

Es gilt also O� n D t, wobei die tensorielle Notation für die Spannungskoeffizientenverwendet wird.

2.3.2.3 Klassische Ingenieurnotation für die Spannungen

Die traditionelle Bezeichnung der Normal- und Schubspannungen in rechtwinkligenSchnitten entlang der Koordinatenachsen ist in Abbildung2.7 dargestellt. DieNor-malspannungenwerden als�x � �xx; �y � �yy und �z � �zz geschrieben undweisen in Richtung der Flächennormalen. DieSchubspannungenwirken parallel zuden Schnittflächen und werden mit�xy ; �yx und�yz ; �zy sowie�zx; �xz bezeichnet,wobei der erste Index die Richtung der Flächennormale angibt und der zweite Indexdie Richtung der Schubspannung kennzeichnet.

2.3.2.4 Vergleich der Notationen und Vereinbarungen

Der Vergleich der Abbildungen2.5und2.7zeigt, dass sich die Reihenfolge und Be-deutung der Indizes zwischen der tensoriellen und der klassischen Notation veränderthat. Die klassische Notation hat eine lange Tradition und wird weiterhin überwie-gend in der Ingenieurliteratur verwendet. Demgegenüber ist die Tensornotation vonder modernen Mathematik und der Praxis geprägt, das Cauchy-Theorem als Tensor-Vektor-Produkt in der Formt D O¢ n zu schreiben. Diese Darstellung wird besondersin der Literatur zurKontinuumsmechanikund zurnumerischen Mechanikverwendet.

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34 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

�zx

�yx

�yz

ex

ey

ez

�xz

�xy

�zy�xx

�zz

�yy

Abbildung 2.7: Normal- und Schubspannungen am Volumenelement

Der Konflikt wird allerdings durch das Momentengleichgewicht, siehe hierzu Ab-schnitt2.3.3.1, gemildert, dass zurSymmetrie des SpannungstensorsO¢ D O¢T undsomit die Gleichheit der SpannungskoeffizientenO�ij D O�j i führt. In der klassischenIngenieurnotation bedeutet dieses die Gleichheit der zugeordneten Schubspannun-gen�xy D �yx und�yz D �zy sowie�zx D �xz an orthogonalen Schnitten.In dieser Darstellung verwenden wir die Spannungskoeffizienten�ij des Spannungs-tensorsO¢ bzw. der SpannungsmatrixO� und vereinbaren die folgenden Gleichheit

�12 D �21 D O�12 D O�21 D �yx D �xy

�23 D �32 D O�23 D O�32 D �yz D �zy

�31 D �13 D O�31 D O�13 D �zx D �xz :

(2.124)

Damit gilt für die KoeffizientenmatrixO� und das Cauchy-Theorem die Darstellung

O� D

2

4

�11 �12 �13

�21 �22 �23

�31 �32 �33

3

5 und

2

4

�11 �12 �13

�21 �22 �23

�31 �32 �33

3

5

2

4

n1

n2

n3

3

5 D

2

4

t1t2t3

3

5 : (2.125)

Analog zur tensoriellen Notation beschreibt der erste Index die Richtung der Span-nung und der zweite Index die Richtung der Normalen. Alle Gleichungen in Index-schreibweise werden auf dieser Grundlage dargestellt. DerLeser sollte sich für denVergleich der Formeln dieser Ausarbeitung mit Darstellungen in der Literatur diejeweils gültige Notation berücksichtigen. Beispielsweise kann das Cauchy-Theoremauch in der Form

�j i nj D bi (2.126)

dargestellt werden. Man erkennt an der Wahl der Indizes, dass in diesem Fall die klas-sische Ingenieurnotation (Normalenrichtung, Spannungsrichtung) verwendet wird.

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 35

Die Voigtsche14 Notationerleichtert die Schreibweise für symmetrische Tensoren inder Kontinuumsmechanik. Aufgrund der Symmetrie des SpannungstensorsO� , d.h.�ij D �j i , lässt sich der Spannungszustand auch durch die Spaltenmatrix � derSpannungskoeffizienten

� D�

�11 �22 �33 �12 �23 �13

�T(2.127)

darstellen.

Bemerkung 2.4. Die Spaltenmatrix der Spannungskoeffizienten� wird oftmals ver-kürzend als „Spannungsvektor“ bezeichnet. Der „Spannungsvektor“ � 2 R

3 darfjedoch nicht mit denSpannungsvektort 2 E

3 gemäßt D O¢ n verwechselt werden.

2.3.3 Das lokale Kräfte- und Momentengleichgewicht

In diesem Abschnitt wird die lokale Kräftegleichgewichtsbedingung, das ist die Dif-ferentialgleichung für die Spannungen, hergeleitet. Die Darstellung erfolgt im Rah-men der bereits durchgeführten Linearisierung, d.h. es handelt sich um das Gleich-gewicht am unverformten System�.

2.3.3.1 Das Momentengleichgewicht

Das Momentengleichgewicht aller an einem Körper angreifenden Kräfte führt nachlängeren Umformungen der Beziehungen in tensorieller Schreibweise auf die Sym-metrie des SpannungstensorsO¢ D O¢T . Für die Details, die den Umformungen desKräftegleichgewichts im nächsten Abschnitt entsprechen,wird auf die Literatur ver-wiesen verwiesen. Nach Wahl einer kartesischen Basis folgtdie Gleichheit der Span-nungskoeffizienten�ij D �j i .

2.3.3.2 Das Kräftegleichgewicht

Die Newtonschen15 Grundgesetze16 bilden die Grundlage der klassischen Mechanik.

� Lex prima oder das Trägheitsprinzip:Ein Körper verharrt im Zustand derRuhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirken-de Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.

� Lex secunda oder das Aktionsprinzip:Die Änderung der Bewegung einer Mas-se ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional undgeschieht nachder Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

� Lex tertia oder das Reaktionsprinzip:Kräfte treten immer paarweise auf. Übtein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt

14Woldemar Voigt (1850-1919), deutscher Physiker.15Isaac Newton (1643-1727), englischer Naturforscher.16Die Grundgesetze der Bewegung wurden im Jahr 1687 in NewtonsHauptwerkPhilosophiae Naturalis

Principia MathematicaoderMathematische Prinzipien der Naturphilosophieformuliert.

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36 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A(reactio).

Eine ausführliche Diskussion müssen wir der Literatur überlassen. Im Rahmen dervorgenommenen Einschränkungen, das ist die statische Betrachtung kleiner Defor-mationen, erhalten wir die globale Kräftegleichgewichtsbedingung.

Allgemeingültige Darstellung. Aus den obigen Grundgesetzen ergibt sich für dasKräftegleichgewicht, d.h. dass die Summe aller äußeren Kräfte verschwinden muss,

Z

Nt d� CZ

b d� D 0 : (2.128)

Unter Verwendung des Cauchy Theoremst D O¢ n D Nt und des DivergenztheoremsZ

Nt d� DZ

t d� DZ

O¢ n d� DZ

div O¢ d� (2.129)

folgtZ

Nt d�CZ

b d� DZ

div O¢ d�CZ

b d� DZ

.div O¢ C b/ d� D 0 : (2.130)

Mit der hinreichenden Stetigkeit gilt die ÄquivalenzZ

.div O¢ C b/ d� D 0 () div O¢ C b D 0 8 X 2 � : (2.131)

Damit folgt die lokale Gleichgewichtsbedingung in der Form

div O¢ C b D 0 : (2.132)

Matrizendarstellung. Die Matrizendarstellung basiert auf den tensoriellen Span-nungskoeffizienten bezüglich einer kartesischen Basis. Die Divergenz des Spannungs-tensors divO� geht über in die Spaltenmatrix

div O� D

2

4

�11;1 C �12;2 C �13;3

�21;1 C �22;2 C �23;3

�31;1 C �32;2 C �33;3

3

5 : (2.133)

Mit Hilfe der DifferentialoperatormatrixD aus Gl. (2.60) kann die Divergenz desSpannungstensors divO¢ ausgedrückt werden durch den Differentialoperator ange-wendet auf den Spannungsvektor� . Es gilt

2

4

@1 0 0 @2 0 @3

0 @2 0 @1 @3 0

0 0 @3 0 @2 @1

3

5

2

6666664

�11

�22

�33

�12

�23

�13

3

7777775

D

2

4

�11;1 C �12;2 C �13;3

�21;1 C �22;2 C �23;3

�31;1 C �32;2 C �33;3

3

5 D DT �

(2.134)

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 37

Damit lässt sich die lokale Gleichgewichtsbedingung (2.132) mit Hilfe des Differen-tialoperatorD und des Spannungsvektor� in der Form

DT � C b D 0 (2.135)

darstellen.

Beispiel 2.4. Wir betrachten ein zweidimensionale Scheibenproblem unter Eigen-gewicht. Es sei�0 die Dichte des Körpers in der Referenzkonfiguration undg dieErdbeschleunigung. Die Volumenlast ergibt sich hierfür zu

b D�

b1

b2

D�

0

��0 g

: (2.136)

Die Divergenz eines zweistufigen TensorsA ist ein Vektor der Form

divA D�

A11;1 C A12;2

A21;1 C A22;2

: (2.137)

Für das zweidimensionale Scheibenproblem lautet damit dielokale Gleichgewichts-bedingung unter Eigengewicht

�11;1 C �12;2

�21;1 C �22;2

C�

0

��0 g

D�

0

0

: (2.138)

2.3.3.3 Tensorielle Notation versus klassische Notation

Die tensorielle Notation (Spannungsrichtung, Normalenrichtung) unterscheidet sichvon der klassischen Ingenieurnotation der Spannungen (Normalenrichtung, Span-nungsrichtung). In der Literatur können entsprechend der gewählten Notation dielokalen Kräftegleichgewichtsbedingungen in zwei Formen auftreten:

�ij;j C bi D 0 tensorielle Notation (Spannungsrichtung, Normalenrichtung

�j;ij C bi D 0 klassische Notation (Normalenrichtung, Spannungsrichtung :

In diesem Skriptum wird, soweit nicht explizit angegeben, die tensorielle Notationverwendet.

2.3.4 Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement

Alternativ zur obigen Darstellung sollen die lokalen Gleichgewichtsbedingungen an-hand des Kräfte- und Momentengleichgewichts an einem infinitesimalen Scheiben-element mit der Dickedz hergeleitet werden. Die Spannungen und Kräfte im 2D-Fallsind in Abb.2.8 in der klassischen Ingenieurnotation dargestellt.

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38 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

y

�xx �xx C d�xx

�xy �xy C d�xy

�yx

�yx C d�yx

�yy

dx

dy

by

bx

�yy C d�yy

x

Abbildung 2.8: Gleichgewicht am infinitesimalen Scheibenelement

2.3.4.1 Momentengleichgewicht

Das Momentengeleichgewicht wird um den Mittelpunkt des dargestellten Schei-benelementes angeschrieben. Damit entfallen die Beiträgeder Normalspannungen�xx ; �yy und der Belastungbx; by , da in allen Fällen die Wirkungslinien der resul-tierenden Kräfte durch den Bezugspunkt verlaufen. Nur die Schubspannungen tragenzum Momentengleichgewicht bei und es gilt mit

PM D 0

X

M D 0 D .�xy C d�xy/ � dy � dx2

C �xy � dy � dx2

� .�yx C d�yx/ � dx � dy2

C �yx � dx � dy2

D .�xy � �yx/ � dx � dy C 1

2.d�xy � d�yx/ � dx � dy :

(2.139)

Die Zuwächse können gegenüber den Werten vernachlässigt werden und es folgtsomit dieGleichheit der zugeordneten Schubspannungen an orthogonalen Schnittenin der klassischen Ingenieurnotation (Normalenrichtung,Spannungsrichtung)

�xy D �yx : (2.140)

Die Schubspannungen�xy und�yx werden auch oftmals mit�xy und�yx bezeich-net und stimmen mit den tensoriellen Spannungskoeffizienten �21 und�12 überein.

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2.3 Spannungen und Gleichgewichtsaussagen 39

Die Symmetrie des Spannungstensors kann somit in tensorieller Indexschreibweise(Spannungsrichtung, Normalenrichtung) in der Form

�21 D �12 (2.141)

geschrieben werden.

2.3.4.2 Kräftegleichgewicht

Wir betrachten exemplarisch das Kräftegleichgewicht inx-Richtung. Aufgrund derGleichgewichtsforderung müssen alle Kräfte verschwinden, d.h.

PFx D 0,

X

Fx D�

�xx C @�xx

@x� dx

� dy � dz � �xx � dy � dz

C�

�yx C @�yx

@y� dy

� dx � dz � �yx � dx � dz

C bx � dx � dy � dz

D�@�xx

@xC @�yx

@yC bx

� dx � dy � dz D 0 :

(2.142)

Damit folgt die lokale Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung sowie aus einer ana-logen Herleitung die lokale Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung. Man erhält inder klassischen Ingenieurnotation das Gleichungssytem

�xx;x C �yx;y C bx D 0

�xy;x C �yy;y C by D 0 :(2.143)

In Matrizenschreibweise folgt mit der Voigtschen Notationund�xy D �yx

@x 0 @y

0 @y @x

�2

4

�xx

�yy

�xy

3

5 C�

bx

by

D 0 : (2.144)

Die lokale Gleichgewichtsbedingung lautet das zweidimensionale Scheibenproblemfolgt in der Form

DT � C b D 0 (2.145)

mit dem Differentialoperator für den 2D-Fall in der klassischen Ingenieurnotation

DT D�

@x 0 @y

0 @y @x

D

2

664

@

@x0

@

@y

0@

@y

@

@x

3

775: (2.146)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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40 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

2.4 Konstitutive Gleichungen

In den vorangegangenen Abschnitten wurden Spannungs- und Verzerrungsgrößenhergeleitet. Diese Größen reichen jedoch nicht aus, ein Randwertproblem vollständigzu lösen. Es werden noch Materialgleichungen benötigt, welche die individuellenEigenschaften des betrachteten Körpers beschreiben. In der Kontinuumsmechanikwerden diese Beziehungen auch alskonstitutive Gleichungenbezeichnet.

2.4.1 Grundlagen der Materialtheorie

In diesem Abschnitt werden einige grundsätzliche Hinweisezur Materialtheorie undzur Struktur der Materialgleichungen gegeben. Sowohl allgemeingültige Forderun-gen als auch spezielle Eigenschaften der Materialien beeinflussen die mathematischeFormulierung der Werkstoffgesetze.

2.4.1.1 Bedingungen aus Mathematik und Physik

Zunächst müssen allgemeingültige Bedingungen aus Mathematik und Physik unab-hängig von der speziellen Wahl des Materials beachtet werden.

Hinweise zur deterministischen Theorie. Die Kontinuumsmechanikals mathe-matische Theorie basiert auf der Annahme, dass alle mechanischen Beobachtungenals Feldgrößen (zum Beispiel Verzerrungen und Spannungen)beschreibbar sind, diein stetig differenzierbarer Form von der Geschichte der Bewegung und der Tempe-ratur aller Punkte des Körpers abhängen.

Hinweise zur lokalen Wirkung. Der Spannungszustand eines betrachteten Punk-tes wird von der Deformation aller anderen Punkte des Körpers beeinflußt. Hierbeiist es aber sinnvoll, die Entfernung zwischen den Punkten zuberücksichtigen, daPunkte in weiterer Entfernung eine kleinere Bedeutung als Punkte in der unmittel-baren Umgebung haben. Bei der Beschränkung auf eine lokale Umgebung genügtes, nur noch den Gradienten der Bewegungsfeldes und den Temperaturgradienten zuberücksichtigen.

Hinweise zur materiellen Objektivität. Physikalisch sinnvolle Werkstoffgeset-ze müssen den Objektivitätsforderungen hinsichtlich einer Starrkörperrotation oderder Invarianz gegen Drehung des Koordinatensystems genügen. Anschaulich ausge-drückt darf die Bewegung des Beobachters keinen Einfluß auf das Materielverhaltenhaben. Die Struktur der Werkstoffgesetze wird von dieser Forderung stark beeinflußt.

Hinweise zur Zulässigkeit. Die Materialgesetze dürfen den Bilanz- und Erhal-tungssätzen sowie dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik nichtwidersprechen. Auchhierdurch ergeben sich weitergehende Restriktionen für die Struktur der konstituti-ven Beziehungen.

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2.4 Konstitutive Gleichungen 41

2.4.1.2 Bedingungen aus der Wahl der Materialklasse

Die Wahl des konkreten Materialverhaltens oder aber der Materialklasse führt zuweitergehenden Einschränkungen und oftmals auch wesentlichen Vereinfachungenfür die mathematische Formulierung der Werkstoffgesetze.

Hinweise zur Homogenität. Für die Beschreibung und Berechnung des Material-verhaltens einer Struktur ist es wesentlich, ob das Material homogenoder inhomo-gen ist. Im Fall der Homogenität wird angenommen, dass alle betrachteten Punk-te identisches Materialverhalten aufweisen. Eine Brücksichtigung des betrachtetenmateriellen Punktes ist deshalb nicht erforderlich. Naturgemäß ist ein inhomogenesMaterialverhalten komplexer zu beschreiben und zu berechnen.

Hinweise zur nachlassenden Erinnerung. Die einzelnen Materialien haben un-terschiedliches Erinnerungsvermögenan vergangene Ereignisse. Als wichtigen Grenz-fall dieser Betrachtung tritt dieElastizität auf, bei der die aktuelle Spannung nurvom aktuellen Deformationszustand abhängen soll. Es liegtsomit keine Geschichts-abhängigkeit vor. Die Deformationen sind vollständig reversible und die Be- undEntlastungskurven stimmen überein.

Hinweise zur materiellen Symmetrie. Die Richtungsabhängigkeit des Material-verhaltens muß ebenfalls in den konstitutiven Beziehungenberücksichtigt werden.Die Werkstoffe zeichnen sich durch ausgewählte Symmetrierichtungen aus, in de-nen identisches Materialverhalten auftritt. Im GrenzfallderIsotropieist keine Rich-tungsabhängigkeit mehr vorhanden und das Material besitztidentische Materialei-genschaften in allen Richtungen.

2.4.2 Die Eigenschaften der linearen Elastizität

Basierend auf den allgemeinen Überlegungen werden nun zunächst die Materialei-genschaften der linearen Elastizität dargestellt. Zur Vereinfachung betrachten wirausschließlichhomogene Materialienund vernachlässigen hiermit eine möglicheOrtsabhängigkeit des Materialverhaltens.

2.4.2.1 Grundlagen der Hyperelastizität

Für die wichtige Klasse derhyperelastischen Materialien17 kann die Struktur derMaterialgleichungen aus den obigen Betrachtungen hergeleitet werden.

17In der Regel meint man mit dem Begriff derElastizität die hier dargestellteHyperelastizität. Bei deralternativ möglichenHypoelastizitätwird auf die Existenz einer Formänderungsenergiefunktionver-zichtet und das Werkstoffverhalten wird inkrementell in der Form �� D E � �" beschrieben. ImEindimensionalen bedeutet dieses, dass die Zuwächse der Verzerrungen�" zusammen mit dem i.d.R.veränderlichen ElastizitätsmodulE die Zuwächse der Spannungen�� beschreiben. Auf dieHypo-elastizitätwird mit dem Verweis auf die Literatur in diesem Skript nichteingegangen.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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42 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Allgemeingültige Aussagen für nichtlineare Deformationen. Daselastische Ver-haltenist dadurch gekennzeichnet, dass es im Sinne einer lokalen Wirkung nur vonden materiellen Deformationsgradienten des aktuellen Punktes abhängt. Weiterhinist eine Geschichtsabhängigkeit des Materialverhaltens durch die Berücksichtigungvergangener Zustände (nachlassende Erinnerung) nicht vorgesehen, d.h. einzig deraktuelle DeformationsgradientF wird berücksichtigt.Die Hyperelastizitätbedeutet, dass eine hinreichend glatteFormänderungsenergie-funktionW D OW.F/ existiert. Aus diesem Potential können der Spannungstensorund der Werkstofftensor durch Ableitungen nach geeignetenVerzerrungsmaßen her-geleitet werden. Durch Wahl materieller (bezogen auf den unverformten Körper�)oder räumlicher (bezogen auf den deformierten Körper®.�/) Spannungs- und Ver-zerrungstensoren entstehen unterschiedlich, aber äquivalente Materialgleichungen.

Hyperelastizität kleiner Deformationen. Im ersten Schritt wird diegeometrischeLinearisierung, das ist die Beschränkung auf kleine Deformationen, vorgenommen.Somit gilt die eingeführte lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen und denVerzerrungen. Es ist zu beachten, dass hiermit weiterhin (physikalisch) nichtlineareBeziehungen zwischen den Spannungen und den Verzerrungen möglich sind.Für dieses Modellproblem folgt die Formänderungsenergiefunktion zu

W D OW.O©.u// : (2.147)

Für einen gegebenen (linearen) Deformationszustand folgtder lineare Spannungs-tensor O¢ durch eine partielle Ableitung nach den linearen Verzerrungen, d.h.

O¢.O©/ D @W

@O© : (2.148)

Der MaterialtensorC wird durch eine partielle Ableitung der linearen Spannungennach dem linearen Verzerrungstensor gebildet, d.h.

OC.O©/ D @ O¢@O© D @2W

@O©@O© : (2.149)

Der Materialtensor ist im Allgemeinen noch eine nichtlineare Funktion der linearenVerzerrungen und damit nicht konstant.

Physikalisch lineare Hyperelastizität kleiner Deformationen. In einem zweitenSchritt wird diephysikalische Linearisierungdurchgeführt, bei der die nichtlinea-re Beziehung (2.148) zwischen Spannungen und Verzerrungen durch einen linea-ren Zusammenhang ersetzt wird. Anschaulich entspricht dieses der Annäherung desnichtlinearen Verhaltens durch die Tangente im Ursprung, siehe die nachfolgendeDarstellung für eine eindimensionale Veranschaulichung.Das Werkstoffverhalten der (geometrisch und physikalisch) linearen Elastizität, dasist diephysikalisch lineare Hyperelastizität kleiner Deformationen, kann in der Form

O¢ D E W O© (2.150)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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2.4 Konstitutive Gleichungen 43

beschrieben werden. Der zugehörigeElastizitätstensorE entspricht dabei dem Ma-terialtensor der Gleichung (2.149) für O© D 0, also

E WD C.0/ D @2W

@O©@O©

ˇˇˇˇ

O©D0

: (2.151)

Ebenso läßt sich die nunmehr die in den linearen Verzerrungen O© quadratische For-mänderungsenergiefunktionW durch

W D 1

2O© W O¢ D 1

2O© W E W O© (2.152)

ausdrücken. Diese Tensorbeziehungen bildet den Ausgangspunkt für alle weiterenBetrachtungen der linearen Elastizitätstheorie.

2.4.3 Die lineare Elastizität in Matrizenschreibweise

Die bisherigen Überlegungen zur Materialtheorie führen zur Tensordarstellung einesallgemeinen linear-elastischen Materialverhaltens in der Form

W D 1

2O© W O¢ D 1

2O© W E W O©

O¢ D @W

@O© D E W O©

E D @2W

@O© @O©

(2.153)

2.4.3.1 Eigenschaften der allgemeinen linearen Elastizität

Die Tensorbeziehungen können nach Auswertung für eine kartesische Basis in derIndexschreibweise

W D 1

2�ij "ij D 1

2"ij Eijkl "kl

�ij D @W

@"ij

D Eijkl "kl

Eijkl D @2W

@"ij @"kl

(2.154)

angegeben werden. Das linear-elastische Materialgesetz ist in dieser allgemeinenForm durch die Angabe der insgesamt34 D 81 MaterialkonstantenEijkl bestimmt.Eine Reduktion dieser81 Koeffizienten ist in den folgenden drei Schritten bereitsdurch die obigen Annahmen festgelegt.

� Symmetrie des Spannungstensors.Auf Grund der Symmetrie des Spannungs-tensorsO¢ D O¢T , d.h.�ij D �j i , sind die ersten beiden Indizes der Elastizi-tätskoeffizienten vertauschbar, d.h. es giltEijkl D Ej ikl . Damit sind nur noch6 � 9 D 54 Koeffizienten wesentlich.

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44 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

� Symmetrie des Verzerrungstensors.Auf Grund der Symmetrie des Verzer-rungstensorsO© D O©T , d.h. "kl D "lk, sind die letzten beiden Indizes derElastizitätskoeffizienten vertauschbar, d.h. es giltEijkl D Eijlk . Damit sindnur von6 � 6 D 36 Koeffizienten wesentlich.

� Potentialcharakter der Formänderungsenergie.Die KoeffizientenEijkl er-geben sich aus der zweifachen partiellen Ableitung der Formänderungsenergienach den Verzerrungskoeffizienten. Nach demSatz über die Vertauschbarkeitpartieller Ableitungen, auchSatz von Schwarz18 genannt, gilt

Eijkl D @�ij

@"kl

D @2W

@"ij @"kl

D @2W

@"kl @"ij

D @�kl

@"ij

D Eklij : (2.155)

Damit sind die beiden Indexpaare.ij / und.kl/ vertauschbar und es verbleibenvon den insgesamt81 Koeffizienten nur21 wesentliche Koeffizienten.

Zusammenfassend erhält man die Beziehungen

Eijkl D Ej ikl D Eijlk D Ej ilk D Eklij D Elkij D Eklj i D Elkj i (2.156)

und das allgemeine linear-elastische Materialverhalten ist durch21 Koeffizienteneindeutig bestimmt.Eine weitere Einschränkung ergibt sich aus der Forderung der positiven Definitheitdes Elastizitätstensors, d.h durchW > 0 für alle VerzerrungenO© ¤ 0.

2.4.3.2 Das allgemeine Elastizität in Matrizenschreibweise

Die Spaltenmatrix� der Spannungen und die Spaltenmatrix" der Verzerrungen

� D

2

6666664

�11

�22

�33

�12

�23

�13

3

7777775

bzw. " D

2

6666664

"11

"22

"33

2"12

2"23

2"13

3

7777775

wurden in vorigen Kapiteln definiert. Hierbei wurde bereitsdie Symmetrie des Span-nungsmatrixO� D O� T und des VerzerrungsmatrixO" D O"T ausgenutzt, indem in denentsprechenden Spaltenmatrizen nur die jeweils 6 unterschiedlichen Koeffizientenaufgenommen wurden. Bei der Definition der Spaltenmatrix" der Verzerrungen tre-ten die doppelten Schubverzerrungen, d.h. die Ingenieurgleitungen, auf.

Das allgemeine linear-elastische Werkstoffgesetz soll nun in Matrizenschreibweisein der Form

� D E " (2.157)

18Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), deutscher Mathematiker.

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2.4 Konstitutive Gleichungen 45

mit derElastizitätsmatrixE gemäß

E D

2

6666664

E11 E12 E13 E14 E15 E16

E21 E22 E23 E24 E25 E26

E31 E32 E33 E34 E35 E36

E41 E42 E43 E44 E45 E46

E51 E52 E53 E54 E55 E56

E61 E62 E63 E64 E65 E66

3

7777775

(2.158)

dargestellt. Die ElastizitätsmatrixmatE besitzt auf Grund der Wahl der Spannungs-und Verzerrungsmatrizen6 � 6 D 36 unterschiedliche Konstanten. Der Elastizi-tätstensorE ist symmetrisch und daher auch die zugehörige Elastizitätsmatrix, d.h.E D ET bzw.Eij D Ej i .Die KoeffizientenEij D Ej i können aus der Beziehung�ij D Eijkl "kl unterAusnutzung aller Symmetrien die Elastizitätskoeffizienten hergeleitet werden. Es giltfür die Indexpaare.ij / 2 f.11/; .22/; .33/; .12/; .23/; .31/g der Elemente von�

�ij D Eij11 "11 C Eij 22 "22 C Eij 33 "33

C Eij12 2 "12 C Eij 23 2 "23 C Eij 31 2 "31

(2.159)

und somit folgt für die ElastizitätsmatrixE

E D

2

6666664

E1111 E1122 E1133 E1112 E1123 E1131

E2211 E2222 E2233 E2212 E2223 E2231

E3311 E3322 E3333 E3312 E3323 E3331

E1211 E1222 E1233 E1212 E1223 E1231

E2311 E2322 E2333 E2312 E2323 E2331

E3111 E3122 E3133 E3112 E3123 E3131

3

7777775

: (2.160)

Die KoeffizientenEij gemäß (2.158) können aus dem Vergleich mit der Darstellung(2.160) und somit aus den KoeffizientenEijkl bestimmt werden.

2.4.4 Das isotrope, linear-elastische Materialverhalten

2.4.4.1 Die Struktur isotroper, elastischer Materialgesetze

Die Forderung eines isotropen Materialverhaltens, das istdie Richtungsunabhängig-keit der Materialeigenschaften, führt zusammen mit der materiellen Objektivität, dasist die Unabhängigkeit der Materialgesetze von beliebigenDrehungen des Beobach-ters oder des beschreibenden Koordinatensystems, zu einerm vollständigen Verlustvon Richtungsinformationen in den konstitutiven Beziehungen. Für die bestimmen-de FormänderungsenergiefunktionW hyperelastischer Materialien bedeutet dieses,dassW D OW.I1; I2; I3/ nur noch von den Invarianten.I1; I2; I3/ der betreffendenVerzerrungstensoren abhängt. Im Rahmen einer allgemeinennichtlinearen Theoriewerden die Invarianten desRechts Cauchy-Green VerzerrungstensorsC betrachtet,siehe hierzu Abschnitt2.2.6.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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46 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Im Rahmen kleiner Deformationen ergibt sich die weiterhin physikalisch nichtlinea-re Abhängigkeit von den Invarianten des linearen VerzerrungstensorsO© gemäß Glei-chung (2.94). Eine abschließende Vereinfachung auf eine lineare Abhängigkeit derFormänderungsenergiefunktionW von den Invarianten führt auf das zentrale Mate-rialmodel der linearen Elastizitätstheorie.

2.4.5 Das Hookesche Werkstoffgesetz

Das einfachste Materialgesetz ist dasHookesche Gesetz19. Dieses Materialmodellbeschreibt ein linear elastisches Material, welches temperaturunabhängig, homogenund isotrop ist.

2.4.5.1 Absolute Tensorschreibweise.

Die Formänderungsenergiefunktion

W D OW.O©.u// D � sp O©2 C �

2.spO©/2 (2.161)

führt auf die konstitutive Gleichung der linearen Elastizitätstheorie, das HookescheWerkstoffgesetz

O¢ D @W

@O© D 2�O© C �.spO©/ I (2.162)

und den Elastizitätstensor

E D @ O¢@O© D @2W

@O©@O© D 2� I C � I ˝ I : (2.163)

Hierbei bezeichnen� und� die Lamé Konstanten,

� D E

2.1C �/; � D E�

.1C �/.1� 2�/(2.164)

undI den vierstufigen Einheitstensor.

2.4.5.2 Indexschreibweise für kartesische Koordinaten.

Die Auswertung der obigen Beziehungen für kartesische Koordinatensysteme führtzu den Beziehungen

W D �"ij "ij C 1

2� ."kk/

2

�ij D 2� "ij C � "kk ıij

Eijkl D � ıij ıkl C � .ıik ıjl C ıi l ıjk/ :

(2.165)

19 Robert Hooke (1635-1703), englischer Physiker, Mathematiker und Erfinder.

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2.4 Konstitutive Gleichungen 47

2.4.5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise

Vollständig ausgeschrieben folgt aus GL. (2.163)

E D E

.1C �/.1 � 2�/

2

6666664

1 � � � � 0 0 0

� 1 � � � 0 0 0

� � 1 � � 0 0 0

0 0 0 1�2�2

0 0

0 0 0 0 1�2�2

0

0 0 0 0 0 1�2�2

3

7777775

: (2.166)

Damit kann das Hookesche Werkstoffgesetz für den allgemeinen, dreidimensionalenFall in der Form

2

6666664

�11

�22

�33

�12

�23

�13

3

7777775

D E

.1C�/.1�2�/

2

6666664

1�� � � 0 0 0

� 1�� � 0 0 0

� � 1�� 0 0 0

0 0 0 1�2�2

0 0

0 0 0 0 1�2�2

0

0 0 0 0 0 1�2�2

3

7777775

2

6666664

"11

"22

"33

2"12

2"23

2"13

3

7777775

(2.167)

angegeben werden.Ausgehend von einem zweidimensionalem Verschiebungszustand, können aus dieserForm des Hookeschen Werkstoffgesetzes die Sonderfälle desebenen Verzerrungszu-standes und des ebenen Spannungszustandes hergeleitet werden.

2.4.5.4 Der ebene Spannungszustand (ESZ)

Der ebene Spannungzustand wird dadurch charakterisiert, dass die Spannungskom-ponenten in der dritten Richtung verschwinden, d.h. es gilt

�13 D �23 D �33 D 0: (2.168)

Hieraus ergeben sich für den ebenen Spannungszustand reduzierte Spannungs- undVerzerrungsmatrizen

� ESZ D Œ�11; �22; �12�T und "ESZ D Œ"11; "22; 2"12�

T : (2.169)

Für die Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen folgt

� ESZ D EESZ"ESZ (2.170)

mit der Elastizitätsmatrix

EESZ D E

1 � �2

2

4

1 � 0

� 1 0

0 0 1��2

3

5 : (2.171)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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48 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Weiterhin gilt für die Verzerrungen

"13 D "23 D 0 (2.172)

und"33 D � �

1 � �."11 C "22/ (2.173)

Beim ebenen Spannungszustand sind die Verzerrungen"11, "22 und "33 also nichtmehr voneinander unabhängig.

2.4.5.5 Der ebene Verzerrungszustand (EVZ)

Beim ebenen Verzerrungszustand wird vorausgesetzt, dass die Verzerrungskompo-nenten in der dritten Richtung verschwinden, d.h. es gilt

"13 D "23 D "33 D 0 (2.174)

Dies führt zu reduzierten Spannungs- und Verzerrungsmatrizen für den ebenen Ver-zerrungszustand

� EVZ D Œ�11; �22; �12�T und "EVZ D Œ"11; "22; 2"12�

T (2.175)

Für die Beziehungen zwischen den Spannungen und den Verzerrungen folgt

� EVZ D EEVZ"EVZ (2.176)

mit der Elastizitätsmatrix

EEVZ D E

.1C �/.1� 2�/

2

4

1 � � � 0

� 1 � � 0

0 0 1�2�2

3

5 : (2.177)

Weiterhin gilt für die Spannungen

�13 D �23 D 0 (2.178)

und�33 D �.�11 C �22/ (2.179)

Das bedeutet, dass die Spannungen�11, �22 und�33 im ebenen Verzerrungszustandvon einander abhängig sind.

2.4.6 Bestimmung der Lamé-Parameter� und �

Aus der Gleichung (2.163) erkennt man, daß die Komponenten des Elastizitätsten-sors für das Hookesche Werkstoffgesetz aus zwei unabhängigen Werkstoffkonstan-ten, den Lamé-Parametern� und�, gebildet werden.

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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2.4 Konstitutive Gleichungen 49

Jedes mathematische Modell für reales Materialverhalten,und das Hookesche Werk-stoffgesetz ist ein sehr einfaches Modell, muß mit den im Experiment beobachtetenPhänomenen in Übereinstimmung gebracht wurden.Aus diesem Grunde soll nun an dieser Stelle dargestellt werden, wie sich die Lamé-Parameter� und� aus Versuchen bestimmen lassen. Dabei ist zu beachten, daß dieMaterialparameter nur für kleine Verschiebungen und kleine Verzerrungen theore-tische und physikalische Bedeutung besitzen. Aus dem Vergleich von Versuch undmathematischem Modell erhalten wir die Verknüpfung zwischen den Meßgrößen

� E Elastizitätsmodul (Young’s modulus) und

� � Querkontraktionszahl (Poisson’s ratio)

sowie den Lamé-Parametern� und� .

2.4.6.1 Experimente zur Bestimmung der Parameter

Hierzu betrachten wir drei Experimente, siehe auchCiarlet [5], bei denen wir dieVerschiebungu D ui Ei und damit die Verzerrung– D "ij Ei ˝Ej vorgeben und mitden Spannungen¢ D �ij Ei ˝Ej durch das Werkstoffgesetz�ij D �"kkıij C2�"ij

verknüpfen.

Versuch 1: Einfache Scherung.Wir betrachten einen rechteckigen Block, der durch eine Schubspannung�˛

12 D˛�12, wie in Abbildung2.9 dargestellt, deformiert wird. Wie bereits betont sindsämtliche Versuche nur für kleinebedeutsam, insbesondere tritt in den folgendenAusführungen stets ein Fehler der Größenordnungo.˛/ auf, den wir jedoch nichtdarstellen werden. Die restlichen Spannungskomponenten,die bei der beschriebe-nen Deformation auftreten, sind nicht dargestellt.

Abbildung 2.9: Versuch 1: Einfache Scherung eines rechteckigen Blockes

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50 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Unsere Beobachtung zeigt, daß sich infolge der aufgebrachten Schubspannung�˛12 D

˛�12 > 0 für kleine Werte von > 0 der Verschiebungszustand

u˛ D ˛

0

@

x2

0

0

1

A

einstellt. Hieraus ergeben sich die Verzerrungskomponenten

"ij D�

1 für i D 1; j D 2

0 sonst:

Werten wir das Werkstoffgesetz für die Schubspannung�˛12 aus, so folgt

�˛12 D ˛ � � > 0; (2.180)

d. h. wir erhalten die Ungleichung

� > 0 (2.181)

als erste Bedingungsgleichung für die Lamé-Parameter.

Versuch 2: Konstanter Druck auf einer Kugel.Im zweiten Experiment betrachten wir eine Kugel, die durch den konstanten Druck˛ � p > 0 für kleine Werte > 0 belastet wird.

Abbildung 2.10: Versuch 2: Konstanter Druck auf eine Kugel

Die Spannungskomponenten�˛ij ergeben sich bezüglich des gewählten kartesischen

Koordinatensystems somit zu

�˛ij D

�˛ � p für i D j

0 sonst;

d. h. es gilt�˛ij D �˛pıij .

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2.4 Konstitutive Gleichungen 51

Im Experiment beobachten wir, daß die Kugel bei einem elastisch isotropen Werk-stoff gleichmäßig auf eine Kugel mit kleinerem Durchmesserzusammengedrücktwird, d. h. es stellt sich der Verschiebungszustand

u˛ D �˛

0

@

x1

x2

x3

1

A

ein. Damit ergeben sich die Verzerrungskomponenten"ij zu

"ij D�

�˛ für i D j

0 sonst;

d. h."ij D �˛ıij

Setzen wir die Spannungen und Verzerrungen in das Werkstoffgesetz ein, so erhaltenwir

� ˛pıij D �˛.3�C 2�/ıij ; (2.182)

und mitp > 0 gilt

3�C 2� > 0: (2.183)

Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes.In diesem Versuch betrachten wir einen kreisförmigen Stab,der durch eine Normal-spannung E in Stablängsrichtung beansprucht wird, d. h. der Beanspruchungszu-stand lautet

�˛ij D

˛E für i D j D 1

0 sonst.

Abbildung 2.11: Versuch 3: Einaxialer Zug eines kreisförmigen Stabes

Im Experiment beobachten wir eine Verlängerung des Stabes sowie eine gleichmäßi-ge Verminderung der Querschnittsfläche. Der Verschiebungszustand ergibt sich für

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52 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

kleine Werte von > 0 zu

u˛ D ˛

0

@

x1

��x2

��x3

1

A :

Damit ergeben sich die Verzerrungskomponenten zu

"ij D

8

<

:

��˛ für i; j D 2 oderi; j D 3

˛ für i; j D 1

0 sonst.

Setzen wir die Spannungen und Verzerrungen in das HookescheWerkstoffgesetz ein,so erhalten wir

�˛ij D ˛.�.1 � 2�/ � 2��/ D 0 für i; j D 2 oderi; j D 3 (2.184)

�˛ij D 0 für i ¤ j (2.185)

�˛ij D ˛.�.1 � 2�/C 2�/ D ˛E für i; j D 1 (2.186)

Damit erhalten wir aus (2.184) die Beziehung

�.1� 2�/� 2�� D 0

und daraus, da�C � > 0 nach (2.181) und (2.183),

� D �

2.�C �/: (2.187)

Mit der natürlichen Annahme� > 0 folgt sofort

� > 0: (2.188)

Mit der Bezeichnung (2.187) erhalten wir aus der Gleichung (2.186) für die Span-nungskomponente�11

�˛11 D ˛ �E D ˛

1 � 2�

2.�C �/

C 2�

und damit die Beziehnug

E D �.3�C 2�/

�C �: (2.189)

2.4.6.2 Interpretation der Ergebnisse

Aus den Experimenten lassen sich anschauliche Deutungen für die aus den Lamé-Parametern hergeleiteten Konstanten gewinnen.

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2.4 Konstitutive Gleichungen 53

1. Die Konstante� nach (2.187), d. h.

� D �

2.�C �/

mißt im dritten Versuch für kleine Verzerrungen das Verhältnis zwischen derrelativen Abnahme des Querschnittsdurchmessers zu der relativen Verlänge-rung des Stabes, d. h. es gilt

� Ddı � d

d�l � lılı

� :

Die Konstante� wird daher alsQuerkontraktionszahloder in der englischspra-chigen Literatur alsPoisson’ s ratiobezeichnet.

2. Die KonstanteE des dritten Versuches mißt für kleine Verzerrungen das Ver-hältnis der Zugspannung�˛

11 zu der relativen Längenänderung

˛ D l � lılı

:

des Stabes und ist damit ein Maß für dieElastizitätdes Materials. Daher wirdE mit

E D �.3�C 2�/

�C �

alsElastizitätsmoduloder alsYoung’s modulusbezeichnet.

3. Im ersten Versuch wird durch den Lamé-Parameter� die Schubspannung�˛12

mit der Winkeländerung D tan' nach Gleichung (2.180) verknüpft, d. h. esgilt

� D �˛12

˛:

Aus dieser Beobachtung führen wir mit

G WD �

denSchubmodulein.

4. Betrachten wir das zweite Experiment, so wird der Wert3�C 2� in (2.182) inBeziehung zur Druckbelastungp der Kugel gesetzt und stellt damit ein Maßfür die allseitige, gleichmäßige Kompressionsfähigkeit des Materials dar. Ausdiesem Grund wird die Kenngröße

K WD 1

3.3�C 2�/

eingeführt und alsKompressionsmoduloderbulk modulusbenannt.

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54 2 Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Damit haben wir die Beziehungen zwischen den Lamé-Parameter � und� und denanschaulich zu interpretierenden Materialparametern:

� Elastizitätsmodul E D �.3�C 2�/

�C �

� Schubmodul G D �

� Querkontraktionszahl � D �

2.�C �/

� Kompressionsmodul K D 1

3.3�C 2�/

hergeleitet.Mit diesen Bezeichnungen kann das Hookesche Werkstoffgesetz und dessen inverseBeziehung z. B. für die Koeffizienten bzgl. des kartesischenKoordinatensystems inder Form

�ij D E�

.1C �/.1� 2�/"kkıij C E

2.1C �/"ij (2.190)

D 2G�

1 � 2�"kkıij C 2G"ij (2.191)

für das Hookesche Werkstoffgesetz, sowie als

"ij D 1C �

E�ij � �

E�kkıij (2.192)

für die inverse Beziehung, dargestellt werden.

2.4.6.3 Zusammenstellung der Materialparameter

Das Hookesche Gesetz ist eindeutig über zwei Materialparameter, den Lamé Para-metern� und�, definiert. Es gibt noch 4 weitere, sinnvolle und anschaulich interpre-tierbare Materialparameter, wie E-ModulE, SchubmodulG, KompressionsmodulKund Querkontraktionszahl�.Die Beziehungen zwischen den Materialparametern sind in Tabelle2.4.6.3angege-ben.

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2.4 Konstitutive Gleichungen 55

Tabelle 2.1: Beziehungen zwischen den Materialparametern� � � G E � K

�;� � � �.3�C2�/�C�

�2.�C�/

�C 23�

�;E � E�3�Cr?

4E 2�

EC�Cr?

EC3�Cr?

6

�; � � �.1�2�/2�

�.1C�/.1�2�/�

� �.1C�/3�

�;K � 32.K � �/ 9K.K��/

3K���

3K��K

�;E �.E�2�/3��E

� E E�2�2�

�E3.3��E/

�; � 2��1�2�

� 2�.1C �/ � 2�.1C�/3.1�2�/

�;K K � 23� � 9K�

3KC�3K�2�6KC2�

K

E; � E�.1C�/.1�2�/

E2.1C�/

E � E3.1�2�/

E;K 3K.3K�E/9K�E

3KE9K�E

E 3K�E6K

K

�;K 3K�1C�

3K.1�2�/2.1C�/

3K.1� 2�/ � K

r? bedeutet hierpE2 C 9�2 C 2E�

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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3 Die Randwertprobleme derlinearen Elastizitätstheorie

Die Feldprobleme der mathematischen Physik und somit auch der Mechanik füh-ren in ihrer mathematischen Formulierung zuRandwertprobleme(RWP) (oder auchRandwertaufgabenRWA) sowie für zeitabhängige Effekte zuAnfangswertprobleme(AWP) (oder auchAnfangswertaufgaben(AWA)). Im Rahmen der Elastostatik derFlächentragwerke treten keine Anfangswertprobleme auf und wir können auf eineDarstellung von Anfangswertaufgaben an dieser Stelle verzichten.

Ein Randwertproblem setzt sich zusammen aus einerDifferentialgleichung, welcheim betrachteten Gebiet� erfüllt werden muss und gegebenenRandbedingungen, dieauf dem Rand� D @� des Gebietes vorgegeben sind.

Gesucht ist somit eine hinreichend oft stetig differentierbare Funktion, welche das

Randwertproblem (RWP)W�

Differentialgleichung (DGL) im Gebiet�Randbedingungen (RB) auf dem Rand�

löst. Die Lösung wird alsklassische Lösungoder auch alsstarke Lösungbezeichnet.

Die Feldprobleme der Mechanik verbinden die geometischen Feldgrößen mit denphysikalischen Feldgrößen, das sind die Verschiebungen und Verzerrungen mit denSpannungsfunktionen und den Spannungen. Die beschriebenen Grundgleichungenkönnen daher einerseits zu Differentialgleichungen für die Verschiebungen führen;andererseits ergeben sich aber auch Differentailgleichungen in den pyhsikalischenGrößene der Spannungen und der Spannungsfunktionen.

Dieses Kapitel stellt die unterschiedlichen Randwertprobleme der linearen Elasti-zitätstheorie in Matrixnotation zusammen. Entsprechend der Vorgehensweise beiden Grundgleichungen werden zunächst allgemeingültige Darstellungen einer drei-dimensionalen Theorie angegeben, aus denen der Sonderfallder Scheibe abgeleitetwird.

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58 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

3.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen

Zunächst werden die Randwertprobleme für die Verschiebungenu hergeleitet.

3.1.1 Navier-Lamésche Verschiebungsdifferentialgleichungen

Der Ausgangspunkt für das Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie ist dasfolgende System von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen, bestehend ausden kinematischen Beziehungen (2.55), dem Materialgesetz (2.150) und der lokalenGleichgewichtsbedingung (2.132):

O© D 1

2.ru C ruT / "ij D 1

2.ui ;j Cuj ;i /

O¢ D E W O© �ij D Eijkl "kl (3.1)

�div O� D b ��ij ;j D bi

Hierbei bezeichnetO� D Œ�ij � den symmetrischen Spannungstensor undO" D Œ"ij � denlinearen Verzerrungstensor. Weiterhin ergeben sich die kartesischen Koeffizientenfür ein Hookesches Gesetzes gemäß Gleichung (2.165) zu

Eijkl D � ıij ıkl C � .ıik ıjl C ıi l ıjk/ : (3.2)

3.1.1.1 Herleitung der Verschiebungsdifferentialgleichung

Durch konsequentes Einsetzen der Spannungen und Verzerrungen in die Gleichge-wichtsbedingung (3.1)3, erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung fürdie Verschiebungskomponentenui :

��ij ;j D ��j i ;j

D �2�"j i;j � �"kk;i

D �� .uj;i C ui;j /;j � � .uj;j /;i

D ��ui;jj � .�C �/ uj;j i

(3.3)

und somit gilt die Differentialgleichung

� �ui;jj � .�C �/ uj;j i D bi 8x 2 � : (3.4)

Mit dem DifferentialoperatorL, dem Laplace-Operator� sowie dem Nabla-Operatorr, jeweils angewendet auf Verschiebungu, kann diese Beziehung für die kartesi-schen Koeffizienten auch in der absoluten Schreibweise der Vektoranalysis

�Lu D �Œ ��u C .�C �/r divx u � D b (3.5)

dargestellt werden. Dies ist die Differentialgleichung der linearen Elastizitätstheorieund wird auch alsLamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichungbezeichnet.Das Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie lässt sich nun folgendermaßenformulieren.

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3.1 Randwertprobleme für die Verschiebungen 59

Definition 3.1 (Randwertproblem). Finde einu 2 C 2, welches die Gleichung

� Lu D b 8x 2 � (3.6)

mit dem Differentialoperator

L D Œ ��u C .�C �/r divx u � (3.7)

und die zugehörigen Randbedingungen

u D Nu auf�D und t D � n D Nt auf�N

erfüllt.

3.1.1.2 Darstellung in Matrizenschreibweise

Zur Darstellung des Randwertproblems in Matrizenform verwenden wir die kinema-tische Beziehung (2.61), das Materialgesetz (2.157) und die lokale Gleichgewichts-bedingung (2.135) in Matrizenform, d.h.

" D Du

� D E" (3.8)

�DT � D b

Durch sukzessives Einsetzen von Kinematik und Materialgesetz in die Gleichge-wichtsbedingung folgt

DT � D DT E" D DT EDu (3.9)

Damit folgt die Lamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichung (3.5) in Ma-trizendarstellung in der Form

�Lu D �DT EDu D b : (3.10)

Der Differentialoperator ergibt sich in Matrizenschreibweise zu

L WD DT ED : (3.11)

3.1.1.3 Eigenschaften der Verschiebungsdifferentialgleichung

Die Lamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichung ist eine lineare Differenti-algleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.Auf Grund der Linearitätgilt dasSuperpositionsgesetz. Demnach kann die Strukturantwort für eine Lastfall-kombination aus der Kombination der Strukturantworten dereinzelnen Lastfälle zu-sammengesetzt werden. Für beliebige rechte Seitenb1;b2 gilt �LŒu1� D b1 und�LŒu2� D b2. Dann folgt mit den Lastfaktoren1; ˛2 und somit für die Lastfall-kombinationb D ˛1b1 C ˛2 b2 die Beziehung

�LŒu� D b D ˛1b1 C ˛2 b2 D ˛1.�LŒu1�/C ˛2.�LŒu1�/

D �LŒ˛1 u1 C ˛2 u2�(3.12)

und damit die Aussageu D ˛1 u1 C ˛2 u2 des Superpositionsgesetzes.

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60 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

3.1.2 Biharmonische Differentialgleichungen für dieVerschiebungen

Entfallen in den Lamé-Navierschen Verschiebungsdifferentialgleichungen (3.4) dieVolumenkräfte und die (hier nicht dargestellten) Beschleunigungsterme, so erhältman (nach dem Vertauschen der Indizesi; j )

.�C �/ ui;ij C � uj;i i D 0: (3.13)

Durch nochmalige Differentation nachXj und Summieren ergibt sich hieraus

.�C �/ ui;ijj C � uj;i ij D 0 :

Durch die Vertauschbarkeit der Reihenfolge der partiellenAbleitungen folgt dann

.�C �/ ui;ijj C �uj;j i i D 0:

Tauscht man nun noch die Summationsindizesi undj im zweiten Term aus (dies istmöglich, dai undj stumme Indizes sind), können beide Terme in der Form

.�C 2�/ ui;ijj D 0

zusammengefaßt werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn

.ui;i /;jj D 0 (3.14)

ist. Mit der Einführung des Laplace-Operators läßt sich hierfür schreiben

� .ui;i / D 0: (3.15)

Eine weitere Umformung ist mit der Volumendilatation�e in der Form

� .ui;i / D � "i i D �e (3.16)

möglich. Durch zweimaliges Ableiten der Lamé-NavierschenVerschiebungsdiffe-rentialgleichung in der Form (3.13) nachXm und Summieren erhält man

.�C �/ ui;ijmm C � uj;i imm D 0:

Da die Reihenfolge der partiellen Differentationen vertauschbar ist, kann hierfür

.�C �/Œ.ui;i /;mm�;j C � uj;i imm D 0

geschrieben werden. Nun ist aber nach (3.14) der Ausdruck in der eckigen Klammergerade gleich Null, so daß man als Ergebnis schließlich diebiharmonischen Diffe-rentialgleichungen für die Verschiebungskomponentenerhält, d. h. fürj D 1; 2; 3

giltuj;i imm D 0; (3.17)

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3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 61

oder mit Hilfe des Laplace-Operators ausgedrückt

� � uj D 0: (3.18)

In absoluter vektoranalytischer Schreibweise erhalten wir hierfür die Darstellung(siehe z. B.de Boer[3])

.DivX GradX .DivX GradX u// D 0: (3.19)

Hieraus lassen sich somit die Darstellungen bzgl. beliebiger Koordinatensystemeherleiten.

3.2 Randwertprobleme für die Spannungen

Es werden die Randwertprobleme für die SpannungenO¢ beziehungsweise für dieSpannungsfunktionen hergeleitet.

3.2.1 Biharmonische Differentialgleichungen für die Spannungen

Ausgangspunkt der Betrachtung sind wiederum die geometrischen Beziehungen, diesich aus der Definition des linearisierten Greenschen Verzerrungstensors in der Form

"ik D 1

2.ui;k C uk;i /

ergeben. Die sechs Komponenten"ik des symmetrischen Verzerrungstensors wer-den aus den partiellen Ableitungen der drei Verschiebungskomponentenui gebildet.Für einen kontinuierlichen Verschiebungszustand können daher die sechs Verzer-rungskomponentennicht unabhängig voneinander sein. Es existieren deshalb drei so-genannteVerträglichkeitsbedingungenoder auchKompatibilitätsbedingungenzwi-schen den Verzerrungen. Diese sind bereits in Abschnitt2.2.9hergeleitet worden.Nach Gleichung (2.81) erhalten wir somit die Verträglichkeitsbedingungen

"i l;mk C "mk;li � "ik;lm � "lm;ik D 0:

In diese Verträglichkeitsbedingungen wird jetzt zur Herleitung der biharmonischenDifferentialgleichungen für die Spannungen das HookescheGesetz in der Form derGleichung (2.192)

"ik D 1C �

E�ik � �

Eıik�l l

eingesetzt. Dies ergibt

�i l;mk C �mk;li � �ik;lm � �lm;ik D�

1C �.ıi l�rr;mk C ımk�rr;li � ıik�rr;lm � ılm�rr;ki /:

(3.20)

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62 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

Durch Multiplikation beider Seiten mit dem Kronecker-Deltaımk ergibt sich

�i l;mm C �mm;li � �im;lm � �lm;mi D�

1C �.ıi l�rr;mm C 3�rr;li � �rr;li � �rr;li /:

Nach Einführung des Laplace-Operators� und nach Umbenennung der stummenIndizes läßt sich schreiben

��i l C �kk;li � �ik;lk � �lk;ki D �

1C �.ıi l��kk C �kk;li /: (3.21)

Die linearisierte statische Kräftegleichgewichtsbedingung lautet mit der Bedeutung(Normale, Richtung) der Indizes

�ki;k C ki D 0

und mit der Symmetrie des Spannungstensors, d. h. mit�ik D �ki , erhalten wirhieraus

�ik;k C ki D 0: (3.22)

Durch partielle Differentation dieser Bedingungen nachXl erhält man

�ik;kl D �ki;l ; (3.23)

und (3.21) läßt sich damit zu

��i l C 1

1C ��kk;li � �

1C �ıi l��kk D �.ki;l C kl;i / (3.24)

umformen. Nun werden die Ausgangsgleichungen (3.20) zweimal mit den Kronecker-Deltasıki undıml multipliziert. Das ergibt die Gleichungen

�i l;li C �li;li � �i i;l l � �l l;i i D �

1C �.�4�kk;i i /:

Nach Einführung des Laplace-Operators und nach Umbenennung der Summations-indizes kann man hierfür

2�i l;li � 2��kk D � 4�

1C ���kk

und weiterhin

�i l;li D 1 � �

1C ���kk (3.25)

schreiben. Mit den differenzierten Gleichgewichtsbedingungen (3.23) wird daraus

��kk D �1C �

1 � �ki;i (3.26)

oder bei fehlenden oder konstanten Volumenkräften

��kk D 0: (3.27)

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3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 63

Setzt man (3.26) in (3.24) ein, so erhält man dieGleichungen von Michell

��i l C 1

1C ��kk;li D � �

1 � �ıi lkk;k � .ki;l C kl;i /; (3.28)

die zusammen mit den Randbedingungen für die Spannungen dieBerechnung derSpannungen gestatten.Für fehlende oder konstante Volumenkräfteki gehen die Gleichungen von Michellin dieGleichungen von Beltramiüber

��i l C 1

1C ��kk;li D 0: (3.29)

Die Darstellung der Beltrami-Gleichungen in absoluter vektoranalytischer Schreib-weise lautet

DivX GradX O¢ C 1

1C �.GradX GradX.tr O¢// D 0: (3.30)

Auf diese Gleichungen wendet man nochmals den Laplace-Operator� an

���i l C 1

1C �.��kk/;li D 0;

und erhält daraus mit (3.27) die biharmonischen Differentialgleichungen für dieSpannungskomponenten�i l bei fehlenden oder konstanten Volumenkräften

���i l D 0: (3.31)

In absoluter vektoranalytischer Schreibweise erhalten wir hierfür die Darstellung(siehe z. B.de Boer[3])

.DivX GradX .DivX GradX O¢// D 0: (3.32)

Hieraus lassen sich wie üblich die Darstellungen bzgl. beliebiger Koordinatensyste-me herleiten.

3.2.2 Die Differentialgleichung für die MaxwellschenSpannungsfunktionen

In der Herleitung der biharmonischen Differentialgleichung für die Spannungskom-ponenten ist mit Gleichung (3.22) die statische Gleichgewichtsbedingung benutztworden. Für den Fall verschwindender Volumenkräfte%R bR D 0 gilt damit

DivX O¢ D 0 (3.33)

bzw. in den Koeffizienten bzgl. der kartesischen Basis

�ij;i D 0 für i D 1; 2; 3: (3.34)

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64 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

Verwenden wir die Matrizenschreibweise, so erhalten wir weiterhin

DT � D 0: (3.35)

Um den Aufwand in der Berechnung nach Gleichung (3.31) reduzieren zu können,ist es sinnvoll, nur solche Lösungen�ij zur Konkurrenz zuzulassen, die à priori diehomogenen statischen Gleichgewichtsbedingungen (3.34) bzw. (3.35) erfüllen. Die-se Vorgehensweise, die von Maxwell eingeführt wurde, soll im weiteren dargestelltwerden. Zur Vereinfachung der Schreibarbeit und zur Verbesserung der Übersicht-lichkeit wählen wir hierzu die Matrizendarstellung.

3.2.2.1 Einführung der Spannungsfunktionen zur Erfüllungder homogenenGleichgewichtsbedingungen

Die Maxwellschen Spannungsfunktionen�i .x1; x2; x3/ für i D 1; 2; 3 sollen diehomogenen Gleichgewichtsbedingungen�ij;i D 0 oder DT � D 0 erfüllen. NachMaxwell definiert man:

�11 WD �2;33 C �3;22;

�22 WD �3;11 C �1;33;

�33 WD �1;22 C �2;11;

�12 WD ��3;12;

�23 WD ��1;23;

�31 WD ��2;31:

(3.36)

Mit der Schreibweise

@ik D @.�/@xi@xk

und der Definition der DifferentialoperatormatrixD� durch

D�.6;3/ WD

0

BBBBBB@

0 @33 @22

@33 0 @11

@22 @11 0

0 0 �@12

�@23 0 0

0 �@31 0

1

CCCCCCA

(3.37)

folgt aus (3.36)0

BBBBBB@

�11

�22

�33

�12

�23

�31

1

CCCCCCA

„ ƒ‚ …

D

0

BBBBBB@

0 @33 @22

@33 0 @11

@22 @11 0

0 0 �@12

�@23 0 0

0 �@31 0

1

CCCCCCA

„ ƒ‚ …

D�.6;3/

0

@

�1

�2

�3

1

A

„ ƒ‚ …

(3.38)

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3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 65

und somit gilt in Matrizenschreibweise

� D D� �: (3.39)

Im Unterschied zur DifferentialoperatormatrixD nach (2.60) sind inD� zweite Ab-leitungen enthalten. Auch ist die Besetzung der DifferentialoperatormatrizenD undD� unterschiedlich, und zwar istD� gerade auf den Leerstellen vonD besetzt. Mitder Definition der Maxwellschen Spannungsfunktionen�i nach (3.36) werden diehomogenen statischen GleichgewichtsbedingungenDT � D 0 erfüllt; denn es gilt

DT D� D

0

@

0 @133 � @331 @122 � @212

@233 � @323 0 @211 � @112

@322 � @222 @311 � @313 0

1

A D 0.3;3/: (3.40)

3.2.2.2 Herleitung der Differentialgleichungen für die Spannungsfunktion

Nachdem mit Gleichung (3.36) die Maxwellschen Spannungsfunktionen bereitste-hen, sind die Verträglichkeitsbeziehungen für die Verzerrungen und das Elastizitäts-gesetz in den Spannungsfunktionen�i auszudrücken.Zuerst betrachten wir die Verträglichkeitsbedingungen (2.81) für die Verschiebun-gen. Die 6 Verzerrungen"ij D "j i müssen 3 Verträglichkeits- oder Integrabilitäts-bedingungen genügen, damit sich ein stetiges Verschiebungsfeldu D ui Ei aus denVerzerrungen integrieren läßt (siehe Abschnitt2.2.9). Aus der Beziehung" D D u

muß es durch Ableitungskombination gelingen, die Verschiebungen zu eliminieren.Wie aus (3.40) hervorgeht, ist dies aber gerade mit der MatrixD�T möglich undzwar ist

D�T" D D�T

D u D 0 u D 0;

d. h. es gilt

D�T" D 0: (3.41)

Dies sind die drei Verträglichkeitsbedingungen für die Verzerrungen.Mit der inversen Beziehung des Elastizitätsgesetzes

" D E�1� (3.42)

folgt durch Einsetzen von (3.41) in (3.42)

D�TE�1� D 0; (3.43)

und damit erhalten wir aus (3.39) die drei gesuchten Differentialgleichungen 4. Ord-nung

.D�TE�1D�/� D 0: (3.44)

Betrachten wir den durch (3.44) definierten OperatorL?

L? WD D�TE�1D�; (3.45)

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66 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

so stellen wir die Symmetrie vonL? fest, d. h.

L? D L?T

: (3.46)

Durch systematisches Probieren erkennt man den Zusammenhang

D� D B D (3.47)

zwischenD� undD, wobeiB in der Form

B WD

0

BBBBBB@

0 �@3 �@2 0 @2 C @3 0

�@3 0 �@1 0 0 @3 C @1

�@2 �@1 0 @1 C @2 0 0

0 0 0 12@3 � 1

2@1 � 1

2@2

0 0 0 � 12@3

12@1 � 1

2@2

0 0 0 � 12@3 � 1

2@1

12@2

1

CCCCCCA

: (3.48)

gegeben ist. Damit läßt sich (3.44) wie folgt darstellen

.DT BT E�1B D/ � D 0: (3.49)

3.2.2.3 Die Maxwellsche Spannungsfunktion der Scheibe

Betrachten wir die beim ebenen Spannungszustand der Scheibe auftretenden Span-nungen, so gilt

�23 D �13 D �33 D 0:

Mit der Definition (3.36) der Maxwellschen Spannungsfunktionenerhalten wir somit

�1 D 0; �2 D 0 und �3 D �:

Die verbleibende Spannungsfunktion�3 D � wird in diesem Fall alsAirysche Span-nungsfunktionF bezeichnet und es gilt

�11 D �;22; �22 D �;11 und �12 D ��;12:

Damit sind die homogenen Gleichgewichtsbedingungen�˛�;˛ D 0 mit ˛; � D 1; 2

erfüllt. In Matrizenschreibweise erhalten wir

0

@

�11

�22

�12

1

A

„ ƒ‚ …

� ESZ

D

0

@

@22

@11

�@12

1

A

„ ƒ‚ …

D�ESZ

�; (3.50)

und damit die Darstellung

� ESZ D D�ESZ�: (3.51)

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3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 67

Die Verträglichkeitsbedingungen für die Verzerrungen sind in (3.41) mittels der Ope-ratormatrixD� dargestellt worden und für den ebenen Verzerrungszustand folgt dar-aus

"11;22 C "22;11 � 2"12;12 D 0: (3.52)

In Matrizenschreibweise lautet dies

@22 @11 �@12

„ ƒ‚ …

D�ESZ

T

2

4

"11

"22

2"12

3

5

„ ƒ‚ …

"ESZ

D 0 (3.53)

und wir erhalten analog zu (3.50) die Darstellung

D�ESZ

T"ESZ D 0 (3.54)

für den ebenen Spannungszustand. Mit dem inversen Elastizitätsgesetz für den ebe-nen Spannungszustand und der Definition der Maxwellschen Spannungsfunktion(3.36) ergibt sich

.D�ESZ

TD�1

ESZD�ESZ/� D 0: (3.55)

Schreiben wir diese Beziehung ausführlich, so folgt

.D�ESZ

TD�1

ESZD�ESZ/� D

@22 @11 �@12

� 1

E

2

4

1 �� 0

�� 1 0

0 0 2.1C �/

3

5

2

4

@22

@11

�@12

3

5 � D

1

E

@22 @11 �@12

2

4

@22 � �@11

@11 � �@22

�2.1C �/@12

3

5 � D

1

Ef@22.@22 � �@11/C @11.@11 � �@22/C 2.1C �/@12@12/g � D 0:

Nach Auswertung der partiellen Ableitungen und unter Beachtung ihrer Vertausch-barkeit folgt

.D�ESZ

TD�1

ESZD�ESZ/� D 1

Ef@1111 C 2@1212 C @2222g � D 0: (3.56)

Mit dem Laplace-Operator für zweidimensionale Problem in der Form� D @11 C@22 folgt daraus

��� D 0; (3.57)

d. h. es ergibt sich für den ebenen Spannungszustand eine homogene Bipotentialglei-chung für die Airysche Spannungsfunktion�.

Bemerkung 3.1(Eigenschaften der Airyschen Spannungsfunktion).

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68 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

1. Die Airysche Spannungsfunktion� wird in den Lehrbüchern der Statik auchmit F bezeichnet, d. h. es gilt mit (3.57)

��F D 0:

2. Die Airysche Spannungsfunktion ist unabhängig von den Stoffkonstanten desbetrachteten elastischen Werkstoffes. Das Materialverhalten und somit die Ab-hängigkeit der Verschiebungu von den Stoffkonstanten wird erst durch dieErfüllung der Randbedingungen berücksichtigt.

3. Die Scheibentheorie wird in Abschnitt3.2.3ohne Rückgriff auf die allgemein-gültige Darstellung der Gleichung (3.49) in der üblichen Ingenieurnotationhergeleitet.

3.2.3 Die direkte Herleitung der Scheibentheorie

In den Abschnitten dieses Kapitels soll zur Vereinfachung der Darstellung auf eineweithin gebräuchliche Bezeichnungsweise übergegangen werden:

� Die materiellen KoordinatenX1; X2 undX3 werden durchx; y undz ersetzt;

� Die Spannungen�ik werden dargestellt durch:

�11 D �x ; �22 D �y ; �33 D �z

�12 D �xy ; �23 D �yz ; �31 D �zx; (3.58)

� Anstelle des linearisierten Greenschen Verzerrungstensors mit den Koeffizien-ten "ik werden die Ingenieurdehnmaße und die Ingenieurgleitungenverwen-det:

"11 D "x ; "22 D "y ; "33 D "z ;

2"12 D xy ; 2"23 D yz ; 2"31 D zx:(3.59)

� Die Kräftegleichgewichtsbedingungen inx� bzw.y�Richtung für verschwin-dene Volumenkräfte lauten damit:

@�x

@xC @�xy

@yD 0; (3.60)

@�xy

@xC @�y

@yD 0: (3.61)

Nun wird dieAirysche SpannungsfunktionF so eingeführt, daß die aus ihr abge-leiteten Spannungen die homogenen Gleichgewichtsbedingungen (3.60) und (3.61)identisch erfüllen, d. h.F genügt den Bedingungen

�x D @2F

@y2; �y D @2F

@x2und �xy D � @2F

@x@y: (3.62)

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3.2 Randwertprobleme für die Spannungen 69

In diesem Fall entspricht die Airysche SpannungsfunktionF der FunktionF0

fürden ebenen Spannungszustand Für das verallgemeinerte Hookesche Gesetz gilt

"x D 1

E.�x � ��y/; (3.63)

"y D 1

E.�y � ��x/; (3.64)

xy D 1

G�xy D 2.1C �/

E�xy : (3.65)

Die Ingenieurdehnmaße ergeben sich aus den partiellen Ableitungen der Verschie-bungskomponenten

"x D @ux

@x; "y D @uy

@yund xy D @ux

@yC @uy

@x: (3.66)

Außerdem müssen die so definierten Dehnmaße die Kompatibilitätsbedingungen(2.82)

@2"x

@y2C @2"y

@x2� @ xy

@x@yD 0 (3.67)

erfüllen. Durch Einsetzen der Beziehungen (3.62) für die Spannungen in das Elasti-zitätsgesetz erhält man

"x D 1

E

�@2F

@y2� � @

2F

@x2

; (3.68)

"y D 1

E

�@2F

@x2� � @

2F

@y2

; (3.69)

xy D �2.1C �/

E

@2F

@x@y: (3.70)

Setzt man diese Beziehungen in die Kompatibilitätsbedingungen (3.67) ein, so erhältman die Gleichung

1

E

�@4F

@y4� �

@4F

@x2@y2C @4F

@x4� �

@4F

@x2@y2C 2.1C �/

@4F

@x2@y2

D 0 (3.71)

für die Airysche Spannungsfunktion. Die Terme mit dem Faktor � heben sich heraus,und man erhält die bekannteDifferentialgleichung für die Scheibe

@4F

@x4C 2

@4F

@x2@y2C @4F

@y4D

�@2

@x2C @2

@y2

� �@2F

@x2C @2F

@y2

D 0; (3.72)

d. h.�� F D 0: (3.73)

Die Scheibengleichung ist also eine harmonische Bipotentialgleichung. Das bedeu-tet, daß die Belastungen über die Randbedingungen eingearbeitet werden müssen.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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70 3 Die Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie

Bemerkenswert ist, daß die Scheibengleichung keine Werkstoffkonstanten enthält.Dadurch werden auch die Lösungen stoffunabhängig, wenn an den Rändern nurKräfterandbedingungen gegeben sind, die unmittelbar mit der Spannungsfunktionverknüpfbar sind. Demgegenüber ergibt sich bei Verschiebungsrandbedingungen ei-ne Abhängigkeit vom Werkstoff. Im Falle mehrfach zusammenhängender Bereicheergeben sich Schwierigkeiten bei der Integration der Verschiebungen. Dann ist esempfehlenswert, von den Differentialgleichungen für die Verschiebungen auszuge-hen.Es sei noch darauf hingewiesen, daß der Laplace-Operator� koordinateninvariantist. Daher ist ein Übergang z. B. zu Polarkoordinaten durch eine einfache Koordina-tentransformation möglich. Man erhält dann

� D @2

@x2C @2

@y2D @2

@r2C 1

r

@

@rC 1

r2

@2

@'2: (3.74)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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4 Ausgewählte analytische Lösungender linearen Elastizitätstheorie

Die Aufgaben der Elastizitätstheorie sind meist so kompliziert, daß man im allge-meinen keine geschlossenen Lösungen angeben kann. Es sind daher auch nur wenigeklassische Lösungen für die Lamé-Navierschen Verschiebungsdifferentialgleichun-gen bekannt, z. B.

� die Torsion nicht wölbbehinderter prismatischer Stäbe nach St. Venant,

� die elastische Halbebene (siehe Abschnitt4.2)

� der elastische Halbraum (siehe Abschnitt4.3),

� die dicke Kugel,

� der dickwandige Zylinder und

� die unendlich ausgedehnte Scheibe mit Loch (siehe Abschnitt 4.4).

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72 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

4.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen

In Kapitel3 traten in den Grundgleichungen wiederholt Bipotentialgleichungen auf,zu denen wir an dieser Stelle für ausgewählte Formulierungen einige Lösungsfunk-tionen angeben wollen.

4.1.1 Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinatenfür achsensymmetrische Probleme

Die biharmonische Differentialgleichung für eine Verschiebungskomponenteui nach(3.18), eine Spannungskomponente�i l nach (3.31) bzw. eine Spannungsfunktion�nach (3.57)

��ui D 0; ���i l D 0 und ��� D 0; (4.1)

mit dem Laplace-Operator� in Zylinderkoordinaten.r; '; z/

� D @2

@z2C @2

r2C 1

r

@

@r(4.2)

hat unter anderem folgende Lösungen, dieBipotentialfunktionengenannt werden:

r; r2

z; z2; z3; z ln z

R I R Dp

z2 C r2

1

R; ln

RC z

R � z ; z ln.z CR/:

Alle Linearkombinationen mit beliebigen Konstanten sind wegen der Linearität derDifferentialgleichung ebenfalls Lösungen.

Die Verschiebungen inr- undz-Richtung ergeben sich zu

u D � 1

1 � 2�@2�

@r@z; (4.3)

w D 2.1� �/1 � 2�

�� � 1

1 � 2�

@2�

@z2: (4.4)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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4.1 Lösungsfunktionen der Bipotentialgleichungen 73

Die Normalspannungen lauten

� radial

�r D 2G�

1 � 2�@

@z

�� � 1

@2�

@r2

; (4.5)

� axial

�z D 2.2� �/G

1 � 2�@

@z

�� � 2

��@2�

@z2

; (4.6)

� tangential

�' D �t D 2G�

1 � 2�

@

@r

�� � 1

1

r

@�

@r

(4.7)

und für die Schubspannung gilt

�rz D �zr D 2.1� �/g

1 � 2�@

@r

�� � 1

1 � �

@2�

@z2

: (4.8)

4.1.2 Ebener Spannungszustand in Polarkoordinaten

Die Bipotentialgleichung für die Airysche SpannungsfunktionF

�� F D 0; (4.9)

mit dem Laplace-Operator� in Polarkoordinaten ohne Achsensymmetrie

� D @2

@r2C 1

r

@

@rC 1

r2

@2

@'2; (4.10)

hat unter anderem folgende Lösungen:F D r2, F D sin2',F D ln r , F D cos2',F D r2 � ln r , F D r' � sin',F D ', F D r � ' � cos',F D '2, F D r � ln r � cos',F D '3, F D r ln r � cos',F D r2 � ', F D cos.n � ln r/,F D ' � ln r , F D cosh.n � '/,F D r2 � ' ln r , F D r2 cos.n � ln r/ cosh.n � '/.

Weiterhin gilt für harmonische Funktionen�1 und�2 mit ��1 D 0 bzw.��2 D 0,daßF D �1 C r2�2 eine biharmonische Funktion ist. Eine wichtige harmonischeFunktion in Polarkoordinaten ist z. B.

� D rnŒC1 cos.n'/C C2 sin.n'/�: (4.11)

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74 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Die Spannungen des ebenen Spannungszustandes, dargestellt in Polarkoordinaten,ergeben sich zu

�r D 1

r

@F

@rC 1

r2

@2F

@'2; (4.12)

�' D @2F

@r2; (4.13)

�r' D �'r D � @

@r

�1

r

@F

@'

: (4.14)

4.1.3 Ebener Spannungszustand in kartesischen Koordinaten

Die Bipotentialgleichung für die Airysche SpannungsfunktionF

��F D 0; (4.15)

mit dem Laplace-Operator� in kartesischen Koordinaten

� D @2

@x2C @2

@y2; (4.16)

hat unter anderem folgende Lösungen:

F D x I x2 I x3

F D y I y2 I y3

F D xy

F D x2y I yx2

F D x3y I yx3:

Weiterhin sind die biharmonischen Polynome

P40 D x4 � 3x2y2 I P41 D x4y � x2y3

P50 D x5 � 5x3y2 I P51 D x5y � 5

3x3y3

P60 D x6 � 10x4y2 C 5x2y4 I P61 D x6y � 10

3x4y3 C x2y5

usw. Lösungsfunktionen. Für harmonische Funktionen� mit �� D 0 gilt, daß fol-gende FunktionenF biharmonische Funktionen sind:

F D .ax C by/ �.x; y/;

F D .x2 C y2/ �.x; y/:

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4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 75

Weiterhin sind folgende logarithmische Funktionen Bipotentialfunktionen:

F D ln.x2 C y2/;

F D .x2 C y2/ ln.x2 C y2/;

F D .ax C by/ ln.x2 C y2/;

F D ln�

.x C c/2 C y2�

;

F D .x C c/ ln�

.x C c/2 C y2�

:

Ebenso die folgenden Produkte von Exponentialfunktionen und trigonometrischenFunktionen

F D e˛y sin.˛x/; F D e�˛y sin.˛x/;

F D y e˛y sin.˛x/; F D y e�˛y sin.˛x/

sowie die Funktionen mit vertauschten Koordinaten und die folgenden Produkte vonExponentialfunktionen und hyperbolischen Funktionen

F D sinh.˛y/ � sin.˛x/;

F D y � sinh.˛y/ � sin.˛x/;

F D x � sinh.˛y/ � sin.˛x/

und ebenso die Funktionen mit vertauschten Koordinaten.Die Spannungen des ebenen Spannungszustandes dargestelltin kartesischen Koor-dinaten ergeben sich zu

�x D @2F

@y2; (4.17)

�y D @2F

@x2; (4.18)

�xy D � @2F

@x@y: (4.19)

4.1.4 Analytische Lösungen

Beispiele für analytische Lösungen sind im Rahmen der Übungen vorgestellt wordenund noch nicht im Skript enthalten.

4.2 Die elastische Halbebene unter Wirkung einerEinzellast

Aus den unendlich vielen Lösungen der Scheibengleichung (3.73) muß bei einemvorgegebenem Problem eine Lösung gefunden werden, die den jeweiligen Rand-bedingungen genügt. Ein möglicher Lösungsweg soll an einemeinfachen Beispielskizziert werden.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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76 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 4.1: Rand einer Scheibe mit Belastung

Dazu betrachten wir den in Abbildung4.1dargestellten Rand einer Scheibe mit derStreckenlastp.x/. Diese Streckenlast läßt sich alsFouriersches Integralin der Form

p.x/ D 2p

1Z

0

sin�c

�cos�xd� (4.20)

darstellen. Diese Gleichung gilt für eine konstante Streckenlast der Länge2c. Beieiner Einzellast setzen wir2pc D P und führen den Grenzübergangc ! 0 durch.Der Ansatz für die SpannungsfunktionF nach Abschnitt3.2.3lautet

F D1Z

0

1

�2.AC �yB/e��y cos�xd�: (4.21)

Durch Einsetzen in die Randbedingungen

�y.y D 0/ D 1

hp.x/ und (4.22)

�xy.y D 0/ D 0 (4.23)

erhält man die KonstantenA undB. Aus (4.22) folgt

�1Z

0

A cos�xd� D 2p

�h

1Z

0

sin�c

�cos�xd�

und mit der Wahl

A D � 2p�h

sin�c

�(4.24)

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4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 77

ist die erste Randbedingung für jedesx erfüllt. Aus der zweiten Randbedingung(4.23) folgt

1Z

0

.A� B/ sin�xd� D 0;

und darausA D B: (4.25)

Damit erhält man aus der Definition der Spannungen nach (3.62) die Lösungen fürdie Spannungskomponenten:

�x D 2p

�h

1Z

0

sin�c

�.1� �y/e��y cos�xd�; (4.26)

�y D 2p

�h

1Z

0

sin�c

�.1C �y/e��y cos�xd�; (4.27)

�xy D 2p

�h

1Z

0

sin�c

��ye��y sin�xd�: (4.28)

Beim Grenzübergang.c ! 0/ zu einer EinzellastP gilt die Grenzwertbetrachtung

limc!0

sin�c

�cD 1;

und die Spannungskomponenten ergeben sich damit zu:

�x D P

�h

1Z

0

.1 � �y/e��y cos�xd�;

�y D P

�h

1Z

0

.1C �y/e��y cos�xd�;

�xy D P

�h

1Z

0

�ye��y sin�xd�:

Nach der Durchführung der Integration entstehen die folgenden Ausdrücke für dieSpannungskomponenten, die in der Abbildung4.2dargestellt sind:

�x D 2P

�h

x2y

.x2 C y2/2; (4.29)

�y D 2P

�h

y3

.x2 C y2/2; (4.30)

�xy D 2P

�h

xy2

.x2 C y2/2: (4.31)

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78 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 4.2: Verlauf der Spannungskomponenten

Der mit den Gleichungen (4.29), (4.30) und (4.31) beschriebene Spannungszustandsoll noch näher betrachtet werden. Dazu werden ebene Polarkoordinatenr und 'eingeführt (Abbildung4.3), die mit dem kartesischen Koordinaten in der Formx Dr cos' undy D r sin' verknüpft sind.

Abbildung 4.3: Einführung von Polarkoordinaten

Dann lassen sich die Spannungen durch Polarkoordinaten ausdrücken und es gilt:

�x D 2P

�h

sin' cos2 '

r; (4.32)

�y D 2P

�h

sin3 '

r; (4.33)

�xy D 2P

�h

sin2 ' cos'

r: (4.34)

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4.2 Elastische Halbebene unter Einzellast 79

Abbildung 4.4: Linien der Hauptnormalspannungen

Mit den Transformationsformeln für die Spannungen

�r D �x cos2 ' C �y sin2 ' C �xy sin2';

�' D �x sin2 ' C �y cos2 ' � �xy sin2';

�r' D 1

2.�y � �x/ sin2' C �xy cos2';

kann man dann auf die Spannungskomponenten für die Schnittedesr; '- Systemsübergehen. Man erhält eine Singularität proportional1=r :

�r D 2P

�h

sin'

r; �' D 0 ; �r' D 0: (4.35)

In den betrachteten Schnitten treten also nur Radialspannungen�r auf, und die Lini-en der Hauptnormalspannungen werden demnach von dem durch den Lastangriffs-punkt ausgehenden Strahlenbüschel und von den konzentrischen Kreisen gebildet(Abbildung4.4).Die Radialspannungen in einem Schnittr D konst: verlaufen sinusförmig (sieheAbbildung4.5).

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80 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 4.5: Verteilung der Radialspannungen

4.3 Der elastische Halbraum unter Wirkung einerEinzellast

Als weiteres Beispiel der Lösung der elastischen Grundgleichungen soll der elasti-sche Halbraum unter der Wirkung einer Einzellast betrachtet werden.Man geht dazu von den biharmonischen Differentialgleichungen für die Verschie-bungen (3.18) aus und wählt als Lösungsansatz für die Verschiebungen dieharmoni-schen Funktionen'i und :

ux D '1 C z@

@x; (4.36)

uy D '2 C z@

@y; (4.37)

uz D '3 C z@

@z: (4.38)

Die harmonischen Funktionen müssen die Lamé-Navierschen Verschiebungsdiffe-rentialgleichungen erfüllen. Zwischen den'i und gilt der Zusammenhang

@

@zD � 1

3 � 4�

�@'1

@xC @'2

@yC @'3

@z

: (4.39)

Die Spannungen am Randz D 0 sollen als Funktion vonx undy in der Form

�z D �1.x; y/ ; �zx D �2.x; y/ ; �zy D �.x; y/: (4.40)

vorgegeben sein. Diese Spannungen am Randz D 0 können in den Verschiebun-gen ausgedrückt werden, was durch die Anwendung des Elastizitätsgesetzes und des

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4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 81

Abbildung 4.6: Der elastische Halbraum mit Einzellast

linearisierten Greenschen Verzerrungstensors in der Form

�1 D E

1C �

�@uz

@zC �

1 � 2�

�@'1

@xC @'2

@yC @'3

@zC @

@z

��

; (4.41)

�2 D E

2.1C �/

�@ux

@zC @uz

@x

; (4.42)

�3 D E

2.1C �/

�@uz

@yC @uy

@z

(4.43)

geschieht. Weiterhin nimmt man an, daß zu dem Problem drei harmonische Funktio-nen!1; !2 und!3 existieren, für die die Beziehungen

E

2.1C �/!1.x; y; 0/ D �1.x; y/ (4.44)

E

2.1C �/!2.x; y; 0/ D �2.x; y/ (4.45)

E

2.1C �/!3.x; y; 0/ D �3.x; y/ (4.46)

für den Randz D 0 gültig sind. Setzt man (4.41) bis (4.43) in diese Gleichungen ein,

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82 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

so erhält man:

!1 D 2@'3

@zC 2z

@2

@z2C 2

@

@z

C 2�

1 � 2�

�@'1

@xC @'2

@yC @'3

@zC @

@z

; (4.47)

!2 D @'3

@yC 2z

@2

@z@xC @

@xC @'3

@x; (4.48)

!3 D @'3

@yC 2z

@2

@z@yC @'2

@zC @

@y: (4.49)

Durch Umformen von (4.39)

@'1

@xC @'2

@yC @'3

@zC @

@zD �2.1� 2�/

@

@z(4.50)

und Einsetzen in die harmonischen Funktionen (4.47) bis (4.49) ergeben sich dieGleichungen

!1 D 2@'3

@zC 2.1� �/@

@z; (4.51)

!2 D @'1

@zC @'3

@xC @

@x; (4.52)

!3 D @'2

@zC @'3

@yC

@y: (4.53)

In diesen Gleichungen bestehen die rechten und die linken Seiten aus harmonischenFunktionen. Nun gilt, daß zwei harmonische Funktionen im Gesamtgebiet identischsind, wenn sie an den Rändern dieses Gebietes übereinstimmen. Daher können dieFunktionen'1; '2 und'3 eliminiert werden, und kann allein in!1; !2 und!3

ausgedrückt werden. Nach einer Zwischenrechnung folgt

@2

@zD �1

2

�@!1

@zC @!2

@xC @!3

@y

und nach zweimaliger Integration

D �12

zZ

�1

zZ

�1

�@!1

@zC @!2

@xC @!3

@y

dzdz: (4.54)

Von Boussinesq[4] stammt die Lösung dieser Gleichungen für eine auf dem elasti-schen Halbraum wirkende Einzellast (Abbildung4.6). Aus den Randbedingungen

�zx D �2 D 0I �zy D �3 D 0 (4.55)

ergeben sich die harmonischen Funktionen

!2 D 0 I und !3 D 0: (4.56)

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4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 83

Es bleibt noch die Funktion!1.x; y; z/ zu bestimmen. Schneidet man aus dem Halb-raum wie in Abbildung4.6skizziert eine Halbkugel mit dem Radiusr , so erhält manaus dem Gleichgewicht der Kraftkomponenten in z-Richtung

Z

O

�vdA D P:

Hierbei bezeichnetO die Oberfläche der Halbkugel. Mit der Einführung einer mitt-leren, konstanten Vertikalspannung�vm durch

�vm

Z

dA D �vm � 2�r2

gilt dann

�vm D P

2�

1

r2D c

r2mit r D

p

x2 C y2 C z2: (4.57)

Die harmonische Funktion!1 muß folgenden Randbedingungen genügen:

1. Sie muß überall auf dem Rand verschwinden, nur im Koordinatenursprungeinen Wert besitzen.

2. Sie muß wie der Ausdruck1

r2unendlich werden für den Grenzübergangr !

0 .

3. Als harmonische Funktion muß sie der Gleichung�!1 D 0 genügen.

Gewählt wird die Funktion!1 D c

r3; (4.58)

die den genannten Bedingungen genügt. Aus den obigen Gleichungen lassen sichnun die harmonischen Funktionen ; '1; '2 und'3 bestimmen und damit auch dieSpannungen. Aus (4.54) folgt mit (4.56) und (4.58)

D 1

2

zZ

�1

zZ

�1

@!1

@zdzdz D c

2� 1r: (4.59)

Eingesetzt in (4.52) erhalten wir

'3 D �cr.1� �/ (4.60)

und damit aus (4.51)

@'1

@zD �@'3

@x� @

@xD �.1 � 2�/

c

2

x

r3:

Damit ist�1 durch

'1 D �.1 � 2�/c2x

Zdz

r3D �.1 � 2�/c

2

x

r.r � z/(4.61)

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84 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

bestimmt und mit (4.53) folgt

'2 D �.1 � 2�/c2

y

r.r � z/: (4.62)

Mit diesen Funktionen lassen sich die Verschiebungskomponenten nach (4.36),(4.37) und (4.38) bestimmen:

ux D �c2

.1 � 2�/x

r.r � z/C xz

r3

; (4.63)

uy D �c2

.1 � 2�/y

r.r � z/C yz

r3

; (4.64)

uz D �c2

2.1 � �/1r

C z2

r3

: (4.65)

Bei Anwendung des Elastizitätsgesetzes und des linearisierten Greenschen Verzer-rungstensors lassen sich nunmehr die gesuchten Spannungskomponenten berechnen.Sie enthalten dann nur noch die Konstantec, die sich über eine Gleichgewichtsbe-trachtung bestimmen läßt.Die gegebene EinzellastP muß gleich dem Integral der Normalspannungen inz-Richtung in jeder beliebigen Tiefez D �h über die gesamte horizontale Ebene indieser Tiefe sein, d. h. es muß gelten

Z

�zds D �P: (4.66)

Daraus läßt sich durch Einsetzen von�z die Konstantec ermitteln. Die Spannungs-und Verschiebungskomponenten sind damit bekannt. Die endgültigen Spannungs-komponenten lauten (Singularität� 1=r2):

�x D P

2�

�3x2z

r5� .1 � 2�/

�r2 C rz � z2

r3.r � z/� x2.2r � z/

r3.r � z/2

��

; (4.67)

�y D P

2�

�3y2z

r5� .1 � 2�/

�r2 C rz � z2

r3.r � z/ � y2.2r � z/r3.r � z/2

��

; (4.68)

�z D 3P

2�

z3

r5; (4.69)

�yz D 3P

2�

yz2

r5; (4.70)

�zx D 3P

2�

xz2

r5; (4.71)

�xy D P

2�

�3xyz

r5C .1 � 2�/

xy.2r � z/r3.r � z/2

: (4.72)

In der Abbildung4.7 ist die Verteilung der Spannungskomponente�z in derx � z-Ebene dargestellt. Der Spannungszustand ist rotationssymmetrisch, daher wirdy D

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4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 85

0 gesetzt. Dann gilt

�z D 3P

2�

z3

.x2 C z2/52

: (4.73)

Abbildung 4.7: Verteilung der Spannungskomponente�z

Man beachte, daß in Abbildung4.7alle für�z eingetragenen Werte mit dem Faktor3P

2�zu multiplizieren sind.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß man zu der Gleichung (4.35) entsprechendenDarstellung gelangt, wenn man zu Polar- bzw. Zylinderkoordinaten übergeht. DieserÜbergang soll hier nicht vollzogen werden, es sei nur auf dieentsprechende Literatur,z. B. Girkmann[7], verwiesen.Zu einer anderen Darstellung der Spannungsverteilung im elastischen Halbraum un-ter der Belastung einer Einzellast gelangt man durch Zusammenfassen der Span-nungskomponenten�z ; �xz und�yz zu einem Spannungsvektorttz . Sein Betrag ist

jttzj Dq

�2z C �2

xz C �2yz

D 3P

2�

1

r5

p

z6 C z4x2 C z4y2 D 3P

2�

z2

r4: (4.74)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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86 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Wegen der Bedingungen

�z

�xz

D z

x;

�z

�yz

D z

yund

�xz

�yz

D x

y(4.75)

hat der Spannungsvektorttz die gleiche Richtung wie der Radiusvektorr . Den geo-metrischen Ort von Spannungsvektoren gleichen Betrages bestimmt man aus (4.75)zu

r2 D z

s

3P

2�jttzj : (4.76)

Dies ist die Gleichung einer Kugel, die den Koordinatenursprung und den Lastan-griffspunkt in derx-y-Ebene berührt. In Abbildung4.8 sind die Kugeln als Kreisein derx-z-Ebene dargestellt.

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4.3 Elastischer Halbraum unter Einzellast 87

Abbildung 4.8: Spannungsverteilung im elastischen Halbraum

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88 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

4.4 Die Scheibe mit Loch unter einachsigem Zug

Untersucht wird die in Abbildung4.9dargestellte, unendlich ausgedehnte, gelochteScheibe unter einachsigem Zug.

Abbildung 4.9: Gelochte Scheibe unter einachsigem Zug

Die Scheibengleichung (3.73) lautet unter Verwendung von Gleichung (3.74) in Po-larkoordinaten

��F D F;rrrr C 2

rF;rrr � 1

r2.F;rr � 2F;rr''/

C 1

r3.F;r � 2F;r''/C 1

r4.4F;'' C F;''''/ D 0:

(4.77)

Aus F berechnen sich die Spannungen nach (4.12), (4.13) und (4.14) zu

�rr D 1

r2F;'' C 1

rF;r ;

�'' D F;rr ;

�r' D �.1rF;'/;r :

(4.78)

Die Lösung des in Abbildung4.9 skizzierten Spannungsproblems setzt sich additivaus

� einem ungestörten Anteil des rotationssymmetrischen, homogener Span-nungszustandes der ungelochten Scheibe und

� einem Störanteil infolge des Loches, der achsensymmetrisch zurx� undy-Achse ist,

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4.4 Scheibe mit Loch 89

zusammen. Im folgenden werden zunächst Ansatzfunktionen für den rotationssym-metrischen und achsensymmetrischen Anteil bereitgestellt:

� Rotationsymmetrischer AnsatzF1.r/:

Mit@

@'.�/ � 0 bei Rotationsymmetrie vereinfacht sich die Scheibengleichung

(4.77) zu

��F1 D F1;rrrr C 2

rF1;rrr � 1

r2F1;rr C 1

r3F1;r D 0: (4.79)

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Eulertyp, die sich mitdem Potenzansatz

F D Crn (4.80)

lösen läßt. Es entsteht die charakteristische Gleichung

n.n � 1/.n� 2/.n� 3/C 2n.n � 1/.n � 2/� n.n � 1/C n D 0;

d. h. n2.n � 2/2 D 0 mit den Wurzeln:n1;2 D 0I n3;4 D 2: Wegen derDoppelwurzeln lautet die vollständige Lösung für den rotationssymmetrischenAnteil

F1.r/ D C1 C C2r2 C C3 ln r C C4r

2 ln r: (4.81)

� Achsensymmetrischer AnsatzF2.r; '/:

Man macht folgenden sowohl zurx- als auch zury-Achse symmetrischenAnsatz

F2 D f .r/ cos2': (4.82)

Damit ergibt sich die Scheibengleichung (4.77) zu

��F2 D .f;rrrr C 2

rf;rrr � 9

r2f;rr C 9

r3f;r/ cos2' D 0: (4.83)

Es entsteht eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Eulertyp für f , diewiederum mit dem Produktansatz (4.80) gelöst werden kann. Die charakteri-stische Gleichung lautet

n.n � 1/.n � 2/.n � 3/C 2n.n � 1/.n� 2/� 9n.n � 1/C 9n D 0

mit den Wurzeln:n1 D 0; n2 D 2; n3 D 4; n4 D �2. Also lautet dievollständige Lösung für den achsensymmetrischen Anteil

F2.r; '/ D .C5 C C6r2 C C7r

4 C C8

1

r2/ cos2': (4.84)

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90 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Die GesamtfunktionF für die gelochte Scheibe erhält man durch Addition des rota-tionsymmetrischen AnteilsF1 und des achsensymmetrischen AnteilsF2

F.r; '/ D F1.r/C F2.r; '/

D C1 C C2r2 C C3 ln r C C4r

2 ln r

C.C5 C C6r2 C C7r

4 C C8

1

r2/ cos2':

(4.85)

Mit der Hilfe der Gleichungen (4.78) lassen sich hieraus die Spannungen berechnen

�rr D 2C2 C C3

r2C C4 .2 ln r C 1/

„ ƒ‚ …

RotationsymmetrischerAnteil

��

4C5

r2C 2C6 C 6

C8

r4

cos2';„ ƒ‚ …

AchsensymmetrischerAnteil

(4.86)

�'' D 2C2 � C3

r2C C4 .2 ln r C 3/

„ ƒ‚ …

RotationsymmetrischerAnteil

C�

2C6 C 12C7 C 6C8

r4

cos2';„ ƒ‚ …

AchsensymmetrischerAnteil

(4.87)

�r' D�

�2C5

r2C 2C6 C 6C7r

2 � 6C8

r4

sin2':„ ƒ‚ …

AchsensymmetrischerAnteil

(4.88)

Zur Ermittlung der vollständigen Lösung sind die AnsatzkonstantenC1 bisC8 ausden Randbedingungen zu bestimmen. Hierzu führen wir zunächst die folgenden Vor-überlegungen durch:

1. C1 ist für die Spannungen ohne Bedeutung.

2. Die Spannungen bleiben für die gesamte unendlich ausgedehnte Scheibe be-schränkt, d. h. mit den Bedingungen

�rr .r ! 1; '/ ¤ 1 und �''.r ! 1; '/ ¤ 1 (4.89)

folgt sofortC4 D C7 D 0: (4.90)

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4.4 Scheibe mit Loch 91

3. Der Lochrand ist unbelastet, d. h. fürr D a gilt mit (4.86) für jeden beliebigenWinkel '

�rr .r D a; '/ D 0: (4.91)

Daraus erhalten wir die Bedingungsgleichungen

2C2 C C3

a2D 0 und 2

C5

a2C C6 C 3

C8

a4D 0: (4.92)

4. Ebenso gilt für die Schubspannungen am Innenrand

�r'.r D a; '/ D 0 (4.93)

und damit erhalten wir die Bedingung

C5

a2� C6 C 3

C8

a4D 0: (4.94)

5. Für den belasteten Randr ! 1 muß die Spannung der äußeren Belastungentsprechen, d. h.

�xx D �ı und �yy D �xy D 0: (4.95)

Mit den Drehtransformationsbeziehungen gilt:

�rr D �ı cos2' D �ı2.1C cos2'/; (4.96)

�'' D �ı sin2' D �ı2.1 � cos2'/; (4.97)

�r' D ��ı2

sin2': (4.98)

Aus den Gleichungen (4.86) bis (4.88) erhält man so fürr ! 1 bei Vergleich mitden Gleichungen (4.96) bis (4.98) die Koeffizienten

C2 D �ı4

und C6 D ��ı4: (4.99)

Die Gleichungen (4.92) und (4.94) liefern die Koeffizienten

C3 D ��ı2a2I C5 D �ı

2a2 und C8 D ��ı

4a4: (4.100)

Damit erhält man für die Spannungen:

�rr D �ı2

��

1 � 1

. ra/2

C�

1 � 4

. ra/2

C 3

. ra/4

cos2'

; (4.101)

�'' D �ı2

��

1C 1

. ra/2

��

1C 3

. ra/4

cos2'

; (4.102)

�r' D ��ı2

1C 2

. ra/2

� 3

. ra/4

sin2': (4.103)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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92 4 Ausgewählte analytische Lösungen der linearen Elastizitätstheorie

Abbildung 4.10: Spannungsverläufe in der gelochten Scheibe

Im Vergleich mit den Formeln (4.86) bis (4.88) können die rotationssymmetrischenbzw. achsensymmetrischen Anteile der Spannungen identifiziert werden. Die Span-nungen sind qualitativ in Abbildung4.10dargestellt. Die maximale Normalspannungtritt am Lochrand für' D �

2OD90ı auf. Somit ergibt sich die maximale Normalspan-

nung zu

�''.' D �

2; r D a/ D 3�ı: (4.104)

Damit erhält man am Lochrand einen sogenanntenSpannungskonzentrationsfaktorK, definiert als

K WD Maximale Spannung

Spannung in ungelochter ScheibeD 3�ı

�ıD 3: (4.105)

Die Spannungskonzentrationsfaktoren kommen in der Bruchmechanik und bei derErmüdungsfestigkeitsberechnung (Kerbfaktoren) zur Anwendung.

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5 Die schwache Form desGleichgewichts für die lineareElastizitätstheorie

Abgesehen von einigen Spezialfällen ist eine analytische Lösung des Randwertpro-blems (3.6) im Allgemeinen nicht möglich. Um dennoch Lösungen für gegebeneProbleme finden zu können, wird der Begriff derschwachen Lösungeingeführt. Da-zu überführt man das Randwertproblem in eine formal äquivalente schwache For-mulierung. Die Zusammenhänge wurden bereits für die eindimensionalen Problemeausführlich erläutert, siehe das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode -Stabtragwerke[1].

5.1 Formulierung der schwachen Form

Zur Herleitung einer schwachen Formulierung wird (2.132)

div O¢ C b D 0

skalar mit einer vektorwertigen Testfunktionv D .vi / multipliziert. Es sei hierbei� � R

3 ein Gebiet mit Lipschitz-stetigen Rand undfu; vg 2 C 2 � C 1. Ferner seiv D 0 auf�D. Die Integration über das gesamte Gebiet ergibt dann

G.u; v/ DZ

div O¢ � v d�CZ

b � v d� D 0 : (5.1)

Mit Hilfe von partieller Integration und Anwendung des Divergenztheorems läßt sichdie linke Seite umformen. MitO¢; v 2 C 1.�/ gilt

Z

div O¢ � v d� DZ

div . O¢v/ d� �Z

O¢ W r v d�

DZ

O¢ v � nd� �Z

O¢ W r v d�

DZ

O¢ n � v d� �Z

O¢ W r v d�

(5.2)

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94 5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie

Aufgrund der Symmetrie vonO¢ gilt ferner

O¢ W rv D O¢ W�1

2.rv C rvT /C 1

2.rv � rvT /

D O¢ W 12.rv C rvT /

D O¢ W O©.v/ :

(5.3)

Für die obigen Beziehungen folgt nach Umsortieren

R.u; v/ DZ

O¢ W O©.v/ d� �Z

b � v d� �Z

� n � v d� D 0 : (5.4)

Nach Einarbeitung der Spannungsrandbedingungent D O¢n D Nt erhält man dieschwache Form des Gleichgewichts in der Form

R.u; v/ DZ

O¢.u/ W O©.v/ d� �Z

b � v d� �Z

Nt � v d� D 0 : (5.5)

5.2 Mathematisch orientierte Notation

Für die später folgende mathematische Behandlung und zur Schreibvereinfachungführen wir an dieser Stelle eine etwas abstraktere Notationein. Für die virtuelle in-nere Arbeit führen wir die Bezeichnung

a.u; v/ WDZ

O¢.u/ W O©.v/ d� (5.6)

und für die virtuelle äußere Arbeit die Bezeichnung

F.v/ WDZ

b � v d�CZ

Nt � v d� (5.7)

ein. Hierbei ista.:; :/ eine symmetrische Bilinearform, d.h. linear in beiden Argu-menten, so dassa.u; v/ D a.v ;u/. Außerdem ist zu fordern, dass a(.,.) positiv definitist, d.h. es seia.u;u/ > 0. Ferner istF.:/ eine Linearform (lineares Funktional).Als Lösungs- und Testraum dient derSobolew-Raum

V WD fv 2 H 1.�/ j v D 0 auf�Dg ; (5.8)

mitH 1 WD fv j v 2 L2I @1v 2 L2g : (5.9)

Hierbei bezeichnet derLebesgue-RaumL2.�/ den Raum der quadratisch integrier-baren Funktionen auf�. Der RaumH 1 besteht also aus allen Funktionenv , derenersteschwache Ableitung@1v existiert und quadratisch integrierbar ist.Die genannten Funktionenräume werden an späterer Stelle noch genauer spezifiziert.Im Moment ist es wichtig zu wissen, dass wir einen VektorraumV betrachten, der

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5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise 95

alle zulässigen Testfunktionenv und die Lösungu enthält, so dassu; v 2 V . Wirnehmen im Moment einfach an, dassV der ’richtige’ Funktionenraum ist.Mit dieser Notation lässt sich die schwache Form auch schreiben als

R.u; v/ D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V : (5.10)

Allgemein lässt sich das Problem wie folgt formulieren:Finde einu 2 V , welches die Variationsgleichung

a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V (5.11)

erfüllt.

Bemerkung 5.1. Die BezeichnungVariationsgleichungergibt sich aus der Tatsache,dass man (5.5) anstatt mittels partieller Integration auch aus der ersten Variationdes zugehörigen Energiefunktionals herleiten kann. Dieser Zugang wird in Kap.6.1aufgezeigt.

5.3 Darstellung in Matrizenschreibweise

Zur Darstellung der schwachen Form (5.5) in Matrizendarstellung verwenden wirden Spannungsvektor (2.127) und den Verzerrungsvektor (2.57). Die innere virtuelleArbeit in der schwachen Form, d.h. das Skalarprodukt von SpannungstensorO¢.u/und virtuellem VerzerrungstensorO©.v/

Z

O¢.u/ W O©.v/ d� (5.12)

kann mittels Spannungs- und Verzerrungsvektor ausgedrückt werden. Für das Ska-larprodukt gilt beispielsweise im 2D-Fall aufgrund der Symmetrie

O¢ W O© D�

�11 �12

�21 �22

W�

"11 "12

"21 "22

D �11"11 C �12"12 C �21"21 C �22"22

D �11"11 C 2 �12"12 C �22"22:

(5.13)

Hierbei wurde ausgenutzt, dass�12 D �21 und"12 D "21.Die innere Energie kann auch mit Spannungs- und Verzerrungsvektor angegebenwerden, d.h. es gilt

� T " D

2

4

�11

�22

�12

3

5

T 2

4

"11

"22

2"12

3

5

D �11"11 C 2 �12"12 C �22"22 :

(5.14)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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96 5 Die schwache Form für die lineare Elastizitätstheorie

Ein Vergleich mit dem SkalarproduktO¢ W O© zeigt, dass die innere virtuelle Arbeitgleich ist. Die schwache Form kann daher für die Koeffizienten einer kartesischenBasis auch in Matrizenschreibweise in der Form

G.u; v/ DZ

Œ� .u/�T ".v/ d� �Z

bT v d� �Z

NtT v d� D 0 (5.15)

geschrieben werden. Für das Skalarprodukt zweier Vektorena und b gilt a � b DaT b D bT a und daher

G.u; v/ DZ

Œ".v/�T � .u/ d� �Z

vT b d� �Z

vT Nt d� D 0 : (5.16)

Mit ".v/ D Dv und� .u/ D E".u/ D E Du folgt schließlich

R.u; v/ DZ

ŒDv�T E Du d� �Z

vT b d� �Z

vT Nt d� D 0 (5.17)

bzw.

R.u; v/ DZ

vT DT EDu d� �Z

vT b d� �Z

vT Nt d� D 0 : (5.18)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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6 Die Energiepinzipien für dielineare Elastizitätstheorie

Die Zusammenhänge wurden bereits für die eindimensionalenProbleme ausführlicherläutert, siehe hierzu auch das SkriptEinführung in die Finite Elemente Methode -Stabtragwerke[1].Hier zunächst das Hu-Washizu Funktional sowie das Hellinger-Reissner Funktionalfür die lineare Elastizitätstheorie angeben. Und hieraus auch die schwache Formherleiten bzw. angeben. Siehe Taylor Feap Theory Manual.

6.1 Das Dirichletsche Prinzip

Viele physikalische Probleme lassen sich aufVariationsprinzipienzurückführen. MitdemDirichletschen Prinzipwerden Gleichgewichtszustände statischer mechanischerSysteme beschrieben.

Definition 6.1 (Dirichletsches Prinzip). Ein konservatives mechanisches System be-findet sich dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn die potentielle Energie˘bezüglich der Lage des Systems stationär ist. Das Gleichgewicht ist genau dann sta-bil, wenn˘ ein echtes Minimum annimmt.

Das Dirichletsche Prinzip besagt nun, dass die wahre Verschiebungu die potentielleEnergie stationär macht

˘ D ˘i C˘a ! stationär: (6.1)

Einen stationären Punkt findet man, wenn die notwendige Extremalbedingung

ı˘ D ı˘i C ı˘a D 0 (6.2)

erfüllt ist. In Worten bedeutet dies: Die erste Variation von˘ muss verschwinden.Diese Bedingung ist notwendig, jedoch nicht hinreichend. Eine Aussage über die Artdes Extremwertes liefert die zweite Variation von,

ı2˘

8

<

:

> 0 ! Minimum;= 0 ! kein Extremwert;< 0 ! Maximum.

(6.3)

Bemerkung 6.1. Der BegriffExtremwertist historisch begründet und vielleicht et-was unglücklich gewählt, da es sich ja nicht um einzelne Punkte, sondern um Funk-tionen handelt.

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98 6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie

6.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie

Wir betrachten hyperelastisches Materialverhalten. Es wird vorausgesetzt, dass ei-ne (ausreichend oft differenzierbare) FormänderungsenergiefunktionW D OW.O©.u//existiert. Für diese Situation geht die Forderung nach Stationarität des Energiefunk-tionals in dasPrinzip vom Minimum der potentiellen Energieüber.Die gesamte potentielle Energie ist gegeben durch

˘.u/ DZ

W d� �Z

b � u d��Z

Nt � u d� : (6.4)

Nach dem Dirichletsche Prinzip liefert die erste Variationder Energie die notwendigeExtremalbedingung. Diese erhält man aus der Richtungsableitung

ı˘ D d

d"˘.u C " v/

ˇˇˇˇ"D0

D 0 : (6.5)

Betrachten wir die Formänderungsenergiefunktiondes Hookeschen Gesetzes (2.161)

W D 1

2O©.u/ W O¢.u/ D 1

2O©.u/ W E W O©.u/;

dann lässt sich die innere Energie in der Form

˘i .u/ DZ

W d� D 1

2

Z

O©.u/ W O¢.u/ d� D 1

2

Z

O©.u/ W E W O©.u/ d� (6.6)

angeben.Die erste Variation führt zu

ı˘.u; v/ DZ

O¢.u/ W O©.v/ d� �Z

b � v d� �Z

Nt � v d� D 0 : (6.7)

Dies entspricht gerade der schwachen Form aus Gl. (5.5), d.h.

ı˘.u; v/ D R.u; v/ : (6.8)

Das Minimalprinzip und die schwache Form sind also äquivalent.

6.2.1 Äquivalenz zur schwachen Form

Wir haben im vorherigen Kapitel gesehen, dass man aus der ersten Variation desEnergiefunktionals gerade wieder die schwache Form erhält. Offensichtlich ist dasMinimalprinzip in unserem Fall eine alternative Problemformulierung, welche manmit Hilfe der in Kap.5.2eingeführten abstrakten Notation folgendermaßen schreibenkann. Findeu 2 V , so dass

˘.u/ D 1

2a.u;u/ � F.u/ ! min (6.9)

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6.2 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie 99

Hiebei sind

a.u;u/ WDZ

O¢.u/ W O©.u/ d� (6.10)

und

F.u/ WDZ

b � u d�CZ

Nt � u d� : (6.11)

Den Zusammenhang von Minimalprinzip und schwacher Form gibt der folgendeSatz wieder.

Satz 1(Charakterisierungssatz). Es seiV ein Hilbert-Raum unda.:; :/ eine symme-trische, positive Bilinarform, d.h. es seia.u;u/ > 0 8 u 2 V , u ¤ 0. Ferner seiF W V ! R ein lineares Funktional. Die Größe

˘.v/ D 1

2a.v ; v/ � F.v/

nimmt inV genau dann ihr Minimum beiu an, wenn

a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V

gilt. Außerdem gibt es höchstens eine Minimallösung.

Das Minimalprinzip und die schwache Form sind also äquivalent.

Beweis.Es seienu; v 2 V und" 2 R. Damit ergibt sich

˘.u C " v/ D1

2a.u C " v ;u C " v/ � F.u C " v/

D1

2

a.u;u/C 2 " a.u; v/C "2 a.v ; v/�

� Œ F .u/C " F.v/ � :

Mit Hilfe von (6.9) gilt somit

˘.u C " v/ D ˘.u/C " Œ a.u; v/ � F.v/ �C 1

2"2 a.v ; v/ :

Fallsu der schwachen Form genügt, ista.u; v/ � F.v/ D 0 und somit für" D 1

˘.u C v/ D ˘.u/C 1

2a.v ; v/ > ˘.u/ falls v ¤ 0 :

Diese Beziehung beschreibt das Anwachsen von˘ bei Entfernung vom Minimal-punktu. Aufgrund dessen, dass.u C v/ > ˘.u/ ist u ein eindeutiger Minimal-punkt, d.h.u minimiert das Funktional . Umgekehrt bedeutet dies, wennbei uein Minimum hat, verschwindet für jedesv 2 V die Ableitung

d

d"˘.u C " v/

ˇˇˇˇ"D0

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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100 6 Die Energiepinzipien für die lineare Elastizitätstheorie

d.h.

d

d"˘.u C " v/

ˇˇˇˇ"D0

D d

d"

˘.u/C " Œ a.u; v/ � F.v/ �C 1

2"2 a.v ; v/

"D0

D 0 :

Dies entspricht gerade der ersten Variation von˘ und es folgt die Aussage aus Satz1

d

d"˘.u C " v/

ˇˇˇˇ"D0

D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V

bzw.a.u; v/ D F.v/ 8 v 2 V :

6.3 Das Hu-Washizu Funktional der linearenElastizität

6.4 Das Hellinger-Reissner Funktional der linearenElastizität

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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7 Diskretisierung der Scheibe mitfiniten Elementen

Im Rahmen der Methode der finiten Elemente finden verschiedene Approximationenstatt. Ein Teil ist hierbei die Diskretisierung des betrachteten Gebietes. Ziel ist es, dasGebiet durch finite Elemente so gut wie möglich anzunähern. Ein zweiter Teil bestehtin der Approximation der Feldgrößen, wie Verschiebungen, Spannungen etc.

7.1 Vorbemerkungen

Zur numerischen Lösung des stetigen schwachen Problems (5.5)

R.u; v/ D a.u; v/ � F.v/ D 0 8 v 2 V (7.1)

wird dieses in ein diskretes Problem überführt. Die alsGalerkin-Verfahren1 bekann-te Diskretisierung dieser Gleichung besteht nun darin, sienicht mehr im unendlichdimensionalen RaumV , sondern im endlich dimensionalen TeilraumVh � V zulösen.Das zum stetigen Variationsproblem (5.5) gehörige diskrete Variationsproblem lautetdann: Finde einuh 2 Vh, welches die diskrete Variationsgleichung

R.uh; vh/ D a.uh; vh/ � F.vh/ D 0 8 vh 2 Vh � V (7.2)

erfüllt. Die Lösunguh ist im Allgemeinen eine Näherungslösung, so dassu � uh 2Vh � V . Bei einfachen Elementen, wie beispielsweise bei Dehnstäben oder Balken,können jedoch auch exakte Lösungen gefunden werden.Der Indexh steht hierbei für einen Diskretisierungsparameter (z.B. Elementlängeoder charakteristischer Elementdurchmesser) und deutet darauf hin, dass mith ! 0

Konvergenz gegen die starke Lösung (also die exakte Lösung)erreicht werden soll.Wenn also im Folgenden eine diskrete Größe gemeint ist, dannbekommt diese denIndexh.Im Groben lässt sich die Methode der finiten Elemente wie folgt beschreiben:

1. Diskretisierung: Man zerlegt das Gebiet� in eine endliche Anzahl Teilgebiete�e einfacher Gestalt, die finiten Elemente.

2. In jedem Teilgebiet (Element) sollen die Funktionenuh; vh 2 Vh Polynomesein, und zwar mit üblicherweise demselben Polynomgrad in jedem Element.

1Boris Grigorievich Galerkin (1871 � 1945), russischer Mathematiker.

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102 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

3. Die daraus resultierenden stückweise zusammengesetzten Funktionen sollenglobal über alle Elemente eine gewisse GlattheitC k besitzen. Man sprichtdann auch vonC k-Elementen. Um eine sogenanntekonforme Approximationzu erhalten, muss in jedem FallVh � V erfüllt sein.

Die Diskretisierung des Gebietes� erfolgt durch die Unterteilung des Gebietes ineinfach zu beschreibende Teilgebiete (finite Elemente)�e:

� � �h WD[

�e2�h

�e (7.3)

Hierbei steht der OperatorS

symbolisch für die Assemblierung, d.h. für den Zu-sammenbau der einzelnen Teilgebiete�e zum Gesamtgebiet�.

�e�

�e

� � �h

Abbildung 7.1: Zerlegung des Gebietes� in finite Elemente�e

Der Rand�e D @�e eines finiten Elementes�e setzt sich aus Punkten (1D), Kan-ten (2D) oder Flächen (3D) zusammen, welche im Folgenden mit .�e/ bezeichnetwerden. Damit lässt sich die Menge aller Punkte, Kanten bzw.Flächen darstellen als

�h D[

2�h

.�e/ : (7.4)

Das durch die Diskretisierung entstehende FE-Netz muss zulässig sein.

Definition 7.1. Ein FE-Netz ist zulässig, wenn folgende Eigenschaften erfüllt wer-den:

1. N� DS

�e2�h�e .

2. Alle�e müssen ein positives Volumen besitzen.

3. Zwei Elemente�e dürfen sich entweder in einem gemeinsamen Punkt, einergemeinsamen Kante, einer gemeinsamen Fläche oder gar nichtschneiden.

Die Zerlegung des Gebietes ist erforderlich, um eine bereichsweise Auswertung derschwachen Form durchführen zu können. Eine Funktiong über� kann in der Form

Z

g d� DN

X

eD1

Z

�e

ge d�

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7.2 Das isoparametrische Konzept 103

berechnet werden. Hierbei bezeichnet�e das Gebiet eines finiten Elementes. Umdie auftretenden Integrale leicht berechnen zu können, undum eine systematischeBehandlung innerhalb eines FE-Systems zu ermöglichen, werden hierbei i.d.R. ein-fache Elementformen, wie Dreiecke oder Vierecke mit geraden Kanten eingeführt.Dies hat zur Folge, dass das Gebiet� nur noch approximiert werden kann, d.h.� � �h, vgl. Abb.7.1. Innerhalb der Teilbereichee werden die kontinuierlichenGrößen, wie Verschiebungen und Verzerrungen mit Hilfe von Form- und Ansatz-funktionen, sowie diskreten Knotengrößen approximiert.

Bemerkung 7.1. Es existieren auch Elementformulierungen, bei denen keinegera-den Kanten verwendet werden. Durch Einführung zusätzlicher Knoten auf dem Randkönnen dann auch quadratische, kubische etc. Kantenverläufe dargestellt werden.Diese Elemente werden alshöherwertigeElemente bezeichnet.

7.2 Das isoparametrische Konzept

Im Rahmen der Methode der finiten Elemente kommt zur Approximation von Feld-größen und Geometrie häufig dasisoparametrische Konzept2 zum Einsatz. Beim iso-parametrische Konzept werden die Feldgrößen (z.B. Verschiebungenu) und die Geo-metrie des betrachteten GebietesX mit Hilfe der gleichen Ansatzfunktionenhi imElement�e approximiert, d.h. für die Spaltenmatrizen der Koeffizienten bezüglicheiern kartesischen Basis gilt

X � Xh Dn

X

ID1

hI XI (7.5)

u � uh Dn

X

ID1

hI uI (7.6)

Hierbei bezeichnenXI bzw. uI die Spaltenmatrizen mit den diskreten Knotengrö-ßen am KnotenI .

Generell ist es natürlich möglich unterschiedliche Ansatzfunktionen für Geometrieund Verschiebung zu wählen. Aufgrund der Flexibilität und generellen Anwendbar-keit hat sich jedoch das isoparametrische Konzept durchgesetzt.

2Iso kommt aus dem Griechischen und bedeutet ’gleich’.

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104 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

s

r

s

r

s

r

'

˝e'.˝e/

Fe

Je je

˝p

Abbildung 7.2: Isoparametrische Abbildung

Die Ansatzfunktionen werden bezüglich einer Referenzkonfiguration (Referenzele-ment oder Parameterraum)�p formuliert, siehe Abb.7.2. Zur Beschreibung der Ab-bildungen von der Referenzkonfiguration�p in die undeformierte Konfiguration�e

und in die deformierte Konfiguration'.˝e/ werden in Matrizenschreibweise dieGradienten

Je WD rrXh D @Xh

@rD

X1;r X1;s

X2;r X2;s

(7.7)

je WD rrxh D @xh

@rD

x1;r x1;s

x2;r x2;s

(7.8)

sowie die zugehörigen Determinanten

Je D detJe (7.9)

je D detje (7.10)

eingeführt. Diese Vorgehensweise ist analog zur Bestimmung des Deformationsgra-dientenF siehe Gl. (2.28).

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7.2 Das isoparametrische Konzept 105

7.2.1 Ansatzfunktionen

7.2.1.1 Konstruktion der Ansatzfunktionen

Die Idee der FE-Methode besteht nun darin, in jedem Element den Verlauf der wah-ren Lösung mit Hilfe von möglichst einfachen Funktionen zu approximieren. Dieseeinfachen Funktionen innerhalb eines Intervalls bezeichnet man alsAnsatzfunktio-nen. Diese besitzen nur in einem kleinen Teilgebiet des Definitionsbereichs einenvon Null verschiedenen Wert. Der Lösungsansatz ergibt sichdann aus der Überlage-rung der Ansatzfunktionen der einzelnen Teilgebiete (Elemente). Grundsätzlich kön-nen beliebige Funktionen zur Konstruktion von Ansatzfunktionen verwendet wer-den, aber es hat sich durchgesetzt, dass man hierfür Polynome verwendet, da diesesehr einfach zu handhaben sind.Im zweidimensionalen Raum können Ansatzfunktionen durch Polynome der Form

F.r; s/ Dp

X

iD0

pX

j D0

aij ri sj (7.11)

dargestellt werden. Die zu dem Polynomgrad korrespondierenden Terme könnendemPascalschen Dreieck3 (ohne Koeffizientenaij ) entnommen werden, siehe Abb.7.3.Die Koeffizientenaij können berechnet werden, in dem die Interpolationsbedingun-gen der Ansatzfunktionen berücksichtigt werden.

r2s

::: :::rs3

r3 s3

s2r2

r2s2

p D 1

p D 0

p D 2

1

rs

r s

p D 0

p D 1

p D 2

rs2

r3s

Abbildung 7.3: Pascalsches Dreieck für zweidimensionale Ansatzfunktionen

Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man eindimensionale Ansätze mitein-ander multipliziert. Eine Interpolation zwischen den vorgegebenen Funktionswerten

3Blaise Pascal (1623-1662), französischer Mathematiker, Physiker, Literat und Philosoph.

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106 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

ann Stützstellenri lässt sich im eindimensionalen Fall mit Hilfe der Interpolations-formel von Lagrange

hi .r/ DnY

j D1;i 6Dj

r � rj

ri � rj(7.12)

durchführen. Für den zweidimensionalen Fall lässt sich eine Interpolation zwischenm � n Stützstellenrik mit

hik.r; s/ D

0

@

mY

j D1;i 6Dj

r � rjri � rj

1

A �

0

@

nY

kD1;k 6Dl

r � rl

rk � rl

1

A (7.13)

bestimmen. Im dreidimensionalen Fall gilt bein �m � p Stützstellenriku

hiku.r; s; t/ D

0

@

mY

j D1;i 6Dj

r � rjri � rj

1

A �

0

@

nY

kD1;k 6Dl

r � rl

rk � rl

1

A �

0

@

pY

vD1;u6Dv

r � rv

ru � rv

1

A :

(7.14)Die Ansatzfunktionen des Elements müssen bestimmte Eigenschaften erfüllen:

� die Interpolationseigenschaften müssen erfüllt werden,

� zumindest konstante Verzerrungen müssen geliefert werdenund

� die approximierten Größen müssen im Element�e stetig sein.

7.2.1.2 Bilineare Ansatzfunktionen

Wir betrachten ein vierknotiges Element. Die Nummerierungder Knoten erfolgt ge-gen den Uhrzeigersinn. Nach dem isoparametrischen Konzeptwird die Geometrieeines Elements auf ein Referenzelement oder Parameterraum�p abgebildet, sieheAbb. 7.4Die Knotenkoordinatenr i D Œri I si �T des Referenzelementes sind gegeben durchr1 D Œ�1I �1�T , r2 D Œ1I �1�T , r3 D Œ1I 1�T undr4 D Œ�1I 1�T .Die Ansatzfunktionen bezogen auf das Referenzelement ergeben sich damit zu

h1 D r � r20

r10 � r2

0

� s � s40

s10 � s4

0

D r � 1�1 � 1 � s � 1

�1 � 1D 1

4.r � 1/ � .s � 1/

h2 D r � r10

r20 � r1

0

� s � s30

s20 � s3

0

D r C 1

1C 1� s � 1

�1 � 1D 1

4.r C 1/ � .1 � s/

h3 D r � r40

r30 � r4

0

� s � s20

s30 � s2

0

D r C 1

1C 1� s C 1

1C 1D 1

4.r C 1/ � .s C 1/

h4 D r � r30

r40 � r3

0

� s � s10

s40 � s1

0

D r � 1�1 � 1 � s C 1

1C 1D 1

4.1 � r/ � .s C 1/

(7.15)

Die Ansatzfunktionen besitzen die fundamentalen Eigenschaften

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7.2 Das isoparametrische Konzept 107

0

1

1

1

4 3

2

s

r0

�1

�1

Abbildung 7.4: Referenzelement oder Parameterraum�p

� am Knoten1 ist h1 D 1 und alle anderenh2 D h3 D h4 D 0

� am Knoten2 ist h2 D 1 und alle anderenh1 D h3 D h4 D 0

� am Knoten3 ist h3 D 1 und alle anderenh2 D h1 D h4 D 0

� am Knoten4 ist h4 D 1 und alle anderenh2 D h3 D h1 D 0

Die Ansatzfunktionhi besitzt also am Knoteni den Wert 1 und an allen anderenKnoten den Wert 0, siehe Abb.7.5.Die bilinearen Ansatzfunktionen sind gegeben durch

h1 D 1

4.r � 1/ .s � 1/

h2 D 1

4.r C 1/ .1� s/

h3 D 1

4.r C 1/ .s C 1/

h4 D 1

4.1 � r/ .s C 1/

(7.16)

Ferner werden im Folgenden noch die partiellen Ableitungender Ansatzfunktionennachr unds benötigt. Die ergeben sich zu

h1;r D 1

4.s � 1/

h2;r D 1

4.�s C 1/

h3;r D 1

4.s C 1/

h4;r D 1

4.�s � 1/

h1;s D 1

4.r � 1/

h2;s D 1

4.�r � 1/

h3;s D 1

4.r C 1/

h4;s D 1

4.�r C 1/

(7.17)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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108 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

2

1

3

2

3

4

3

4

4

1

1

1

1

1

h2

h3

h4

h1

1

2

1

2

4

3

Abbildung 7.5: Bilineare Ansatzfunktionen

7.2.2 Approximation der Geometrie

Die Approximation der Geometrie eines Elementes mitn Knoten erfolgt mittels

Xh Dn

X

ID1

hI XI : (7.18)

Wir betrachten im Folgenden ein Viereckelement mit 4 Knotenund führen für diesesElement einen Vektor mit den Knotenkoordinaten

OX e D�

X11 X1

2 X21 X2

2 X31 X3

2 X41 X4

2

�T(7.19)

ein. Die Knotenwerte werden mit ’O ’ bezeichnet. Der untere Index bezeichnet dieRichtung und der obere Index gibt die Knotennummer an.

Die Ansatzfunktionenhi werden in einer MatrixH derart zusammengefasst, dassdie Approximation der Elementgeometrie auch in der Form

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7.2 Das isoparametrische Konzept 109

Xh D�

X1

X2

DnX

ID1

hI XI DnX

ID1

hI

XI1

XI2

D�

h1 0 h2 0 h3 0 h4 0

0 h1 0 h2 0 h3 0 h4

2

66666666666666664

X11

X12

X21

X22

X31

X32

X41

X42

3

77777777777777775

D H OXe

(7.20)

dargestellt werden kann. Die Matrix

H WD�

h1 0 h2 0 h3 0 h4 0

0 h1 0 h2 0 h3 0 h4

(7.21)

ist hierbei die Matrix der Ansatzfunktionen.

Xh D H OXe (7.22)

Gegebene Punkte im Parameterraum inr unds Koordinaten können damit direkt indie zugehörigenX1 undX2 Koordinaten abgebildet werden.

Beispiel 7.1(Beispiel zur Koordinatentransformation). Gegeben seien die in Abb.7.6dargestellten Elemente (a – c) in der undeformierten Konfiguration sowie die Koor-dinaten des PunktesP 0.r; s/ D Œ�0:5 � 0:5�T im Parameterraum. Gesucht seien diezugehörigenX1 undX2 Koordinaten des PunktesP .X1; X2/ der Elemente (a – c).

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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110 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

0

1 2020

1

0

2

�1

2

�1

0 1

1

0

1

4

1 2

3

24

3

21

4

3

0

2

0

1 2

34

r

s

P P

P 0

1

X2 X2X2

X1X1

X1

P

2

.a/ .b/ .c/

Abbildung 7.6: Beispiel zur Koordinatentransformation

Einsetzen der Koordinatenr D �0:5 unds D �0:5 in die Ansatzfunktionen liefert

h1.�1

2I �12/ D 1

4.1C 1

2/ � .1C 1

2/ D 9

16

h2.�1

2I �12/ D 1

4.1 � 1

2/ � .1C 1

2/ D 3

16

h3.�1

2I �12/ D 1

4.1 � 1

2/ � .1 � 1

2/ D 1

16

h4.�1

2I �12/ D 1

4.1C 1

2/ � .1 � 1

2/ D 3

16

(7.23)

Damit folgt die Matrix der Ansatzfunktionen in der Form

H

�12

I �12

D�

916

0 316

0 116

0 316

0

0 916

0 316

0 116

0 316

(7.24)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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7.2 Das isoparametrische Konzept 111

Element a)

Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe

D�

916

0 316

0 116

0 316

0

0 916

0 316

0 116

0 316

2

66666666664

0

0

2

0

2

2

0

2

3

77777777775

D�

0:5

0:5

D P

(7.25)

Element b)

Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe

D�

916

0 316

0 116

0 316

0

0 916

0 316

0 116

0 316

2

66666666664

1

0

2

1

1

2

0

1

3

77777777775

D�

1

0:5

D P

(7.26)

Element c)

Xh D H .�0:5I �0:5/ OXe

D�

916

0 316

0 116

0 316

0

0 916

0 316

0 116

0 316

2

66666666664

0

0

2

0

2

2

0

1

3

77777777775

D�

1=2

5=16

D P

(7.27)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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112 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

7.2.3 Approximation der Verschiebung

Die Approximation der Verschiebung eines Elementes mitn Knoten erfolgt mittels

u � uh DnX

ID1

hI uI : (7.28)

Für ein Viereckelement mit 4 Knoten ist der Vektor mit den Knotenverschiebungengegeben durch

ue D�

u11 u1

2 u21 u2

2 u31 u3

2 u41 u4

2

�T(7.29)

Mit Hilfe der Matrix der Ansatzfunktionen kann die obige Beziehung ausgedrücktwerden durch

uh D�

u1

u2

Dn

X

ID1

hI uI Dn

X

ID1

hI

uI1

uI2

D�

h1 0 h2 0 h3 0 h4 0

0 h1 0 h2 0 h3 0 h4

2

66666666666666664

u11

u12

u21

u22

u31

u32

u41

u42

3

77777777777777775

D Hue

(7.30)

Zur Approximation der Testfunktionv verwenden wir die gleichen Ansatzfunktionenwie für die Verschiebung. Damit folgt für die Approximationder Testfunktion

v � vh Dn

X

ID1

hI uI D Hve : (7.31)

Bemerkung 7.2. Im Rahmen des Galerkin-Verfahrens können prinzipiell unterschied-liche Ansatzfunktionen für Verschiebung und Testfunktionverwendet werden. Hierausresultieren jedoch unsymmetrische Systemmatrizen, was einen erhöhten numerischenAufwand nach sich zieht. Im Rahmen dieses Skriptes werden ausschließlich die glei-chen Funktionen zur Approximation von Verschiebung und Testfunktion verwendet.

uh D Hue

vh D Hve

(7.32)

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7.2 Das isoparametrische Konzept 113

7.2.4 Approximation der Verzerrungen

Die Verzerrungen lassen sich mit Hilfe des Verzerrungsvektors" nach Gl. (2.59) im2D-Fall angeben als

" D Du2

4

"11

"22

2"12

3

5 D

2

4

@1 0

0 @2

@2 @1

3

5

u1

u2

:(7.33)

Mit Hilfe der Approximation der Verschiebung folgt

" � "h D Duh D DHue D Bue : (7.34)

Hierbei bezeichnet

B WDDH

D

2

4

@1 0

0 @2

@2 @1

3

5

h1 0 h2 0 h3 0 h4 0

0 h1 0 h2 0 h3 0 h4

D

2

4

h1;1 0 h2;1 0 h3;1 0 h4;1 0

0 h1;2 0 h2;2 0 h3;2 0 h4;2

h1;2 h1;1 h2;2 h2;1 h3;2 h3;1 h4;2 h4;1

3

5

D

2

66666664

@h1

@X1

0@h2

@X1

0@h3

@X1

0@h4

@X1

0

0@h1

@X2

0@h2

@X2

0@h3

@X2

0@h4

@X2

@h1

@X2

@h1

@X1

@h2

@X2

@h2

@X1

@h3

@X2

@h3

@X1

@h4

@X2

@h4

@X1

3

77777775

(7.35)

denB–Operator. Dieser enthält die partiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen

hi;j D @hi

@Xj

: (7.36)

Für die Approximation der virtuellen Verzerrungen folgt

".v/ � "h.vh/ D Dvh D DHve D Bve : (7.37)

"eh.uh/ D Bue

"eh.vh/ D Bve

(7.38)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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114 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

7.2.5 Jacobi Transformation

Die Bestimmung des B–Operators zur Berechnung der Verzerrungen, erfordert diepartiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen nachXj , d.h.

hi;j D @hi

@Xj

: (7.39)

Die Ansatzfunktionenhi .r; s/ sind im Parameterraum definiert. Wir suchen daher

eine Verknüpfung von@.�/@r

mit@.�/@X

.

Nach der Kettenregel gilt für eine Größe.�/.X1; X2/ mit X1.r; s/, X2.r; s/

@.�/@r

D @.�/@X1

@X1

@rC @.�/@X2

@X2

@r

@.�/@s

D @.�/@X1

@X1

@sC @.�/@X2

@X2

@s

(7.40)

bzw. in Matrizenform2

664

@.�/@r

@.�/@s

3

775

D

2

664

@X1

@r

@X2

@r

@X1

@s

@X2

@s

3

775

2

664

@.�/@X1

@.�/@X2

3

775

@.�/@r

D J T @.�/@X

: (7.41)

Die hierbei entstehende Matrix

J T D

2

664

@X1

@r

@X2

@r

@X1

@s

@X2

@s

3

775

D�

X1;r X2;r

X1;s X2;s

(7.42)

ist gerade die Transponierte des in Gl. (7.7) eingeführten GradientenJ . Die MatrixJ wird alsJacobi-MatrixoderFunktionalmatrixbezeichnet.Für die inverse Beziehung gilt

2

664

@.�/@X1

@.�/@X2

3

775

D 1

detJ

2

664

@X2

@s�@X2

@r

�@X1

@s

@X1

@r

3

775

2

664

@.�/@r

@.�/@s

3

775

@.�/@X

D J �T @.�/@r

(7.43)

Die transponierte inverse Jacobi-Matrix kann im 2D-Fall direkt angegeben werden

J �T D 1

detJ

2

664

@X2

@s�@X2

@r

�@X1

@s

@X1

@r

3

775: (7.44)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

Page 129: Einführung in die Finite Elemente Methode – Flächentragwerke · Vorläufige Version des Skriptes Wintersemester 2010/2011 Vorlesungsunterlagen Einführung in die Finite Elemente

7.3 Diskretisierung der schwachen Form 115

Hierbei bezeichnet

detJ D @X1

@r� @X2

@s� @X2

@r� @X1

@s(7.45)

die Jacobi-DeterminateoderFunktionaldeterminante. Man beachte, dassJ �1 nurexistiert, wenn detJ ¤ 0.Die Jacobi-Determinate spielt eine wichtige Rolle bei der Transformation von inte-gralen Größen. Eine Größe.�/, welche in der Ausgangskonfiguration� definiert ist,kann in den Parameterraum transformiert werden. Es gilt fürdie Transformation desElementes�e ins Referenzelement aus Abb.7.4

Z

�e

.�/ d� DZ

r

Z

s

.�/ detJds dr DZ 1

�1

Z 1

�1

.�/ detJds dr : (7.46)

Mit der inversen Jacobi-Matrix können nun die partiellen Ableitungen der Ansatz-funktionen nachX1 undX2 angegeben werden. Für die Ansatzfunktionhi gilt

2

664

@hi

@X1

@hi

@X2

3

775

D 1

detJ

2

664

@X2

@s�@X2

@r

�@X1

@s

@X1

@r

3

775

2

664

@hi

@r

@hi

@s

3

775

@hi

@XD J �T @hi

@r(7.47)

Die hierbei auftretenden partiellen Ableitungen vonhi nachr unds wurden für dasViereckelement bereits in Gl. (7.17) angegeben.

7.3 Diskretisierung der schwachen Form

7.3.1 Zerlegung der schwachen Form in Elementanteile

Für eine bereichsweise Auswertung der schwachen Form zerlegen wir (5.5) in dieAnteile einen jeden Elementes�e . Die schwache Form lässt sich dann darstellen als

R.u; v/ � R.uh; vh/ D[

�e2�h

Re.uh; vh/ D 0 (7.48)

wobeiuh undvh die Approximationen der Verschiebungen bzw. Testfunktionen in-nerhalb eines Elementes�e sind. Ferner steht der Operator

Ssymbolisch für die

Assemblierung, d.h. für den Zusammenbau der einzelnen Teilgebiete�e zum Ge-samtgebiet�h.Für die in der schwachen Form auftretenden Integrale folgt

Z

.� � � / d� �Z

�h

.� � � / d�h D[

�e2�h

Z

�e

.� � � / d�e : (7.49)

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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116 7 Diskretisierung der Scheibe mit finiten Elementen

7.3.2 Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastvektor

Wir betrachten die schwache Form (5.15)

R.u; v/ DZ

".v/T � .u/ d� �Z

vT b d� �Z

vT Nt d� (7.50)

Die FE-Approximation dieser Gleichung für ein Element ist gegeben durch

Re.uh; vh/ DZ

�e

".vh/T � .uh/ d� �

Z

�e

.vh/T b d� �

Z

�e

.veh/

T Nt d� (7.51)

Mit

� .ueh/ D E "e

h.uh/ D E Bue (7.52)

".vh/ D "h.vh/ D Bve (7.53)

veh D Hve (7.54)

folgt

Re.uh; vh/ DZ

�e

.Bve/T E Bue d� �

Z

�e

.Hve/T b d� �

Z

�e

.Hve/T Nt d�

DZ

�e

vTe BT E Bue d� �

Z

�e

vTe H T b d� �

Z

�e

vTe H T Nt d� :

(7.55)Die Vektorenue undve enthalten die diskreten Knotengrößen für Verschiebung bzw.Testfunktion. Diese hängen nicht mehr vonX ab und können daher aus den Integra-len gezogen werden. Es folgt eine Darstellung in der Form

Re.uh; vh/ D vTe

�Z

�e

BT E B d�ue �Z

�e

H T b d� �Z

�e

H T Nt d��

D vTe ŒKe ue � fe�

(7.56)

Hierbei bezeichnet

Ke WDZ

�e

BT E B d� (7.57)

die Elementsteifigkeitsmatrixund

fe WDZ

�e

H T b d�CZ

�e

H T Nt d� (7.58)

denElementlastvektor.

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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8 Numerisches Beispiel für einbilineares Scheibenelement

Gegeben ist die in Abb.8.1dargestellte Scheibe mit konstanter Dicked unter Zugbe-anspruchung. Unter Annahme eines linear-elastischen Materialverhaltens und einesebenen Spannungszustandes sind die horizontalen Verschiebungen am Lastangriffs-punkt zu bestimmen.

8.1 Systemb

a

Nt

Abbildung 8.1: System und Abmessungen

a D 2m b D 1m � D 0 d D konstant Nt D�

�tx0

ŒkN=m2�

(8.1)

) E D E

2

4

1 0 0

0 1 0

0 0 12

3

5

8.2 FE-Modell

Wir diskretisieren das Gebiet mit einem bilinearen Scheibenelement.Randbedingungen:

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118 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement

u1

f7

u2 u4

u6u8

u7 u5

u3

f1

Abbildung 8.2: Freiheitsgrade Scheibenelement

Die ElementsteifigkeitsmatrixKe eines Scheibenelementes mit bilinearen Ansätzenbesitzt die Dimension8�8. Unter Berücksichtigung der Randbedingungen reduziertsich diese durch Streichen von Zeilen und Spalten auf eine2�2Matrix. Das gesamtezu lösende Gleichungssystem reduziert sich damit auf

K11 K17

K71 K77

„ ƒ‚ …

Kred

u1

u7

„ ƒ‚ …

ured

D�

f1

f7

„ ƒ‚ …

Fred

:

Es müssen somit nur die ElementeK11,K17,K71,K77 bestimmt werden.

8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix

Ke DZ

˝e

BT CB d˝

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 119

f1

f7

u1

u7

Abbildung 8.3: Randbedingungen

Ke DZ

˝e

2

66666666664

h1;X10 h1;X2

0 h1;X2h1;X1

h4;X10 h4;X2

3

77777777775

„ ƒ‚ …

BT

2

4

E11 E12 0

E21 E22 0

0 0 E33

3

5

„ ƒ‚ …

E

2

4

h1;X10 h4;X1

0 h1;X20

h1;X2h1;X1

h4;X2

3

5

„ ƒ‚ …

B

Die Bestimmung der Koeffizienten vonKred erfolgt durch elementweise Intergration:

K11 DZ

˝e

.h21;X1

�E11 C h21;X2

�E33/ d˝

K17 DZ

˝e

.h1;X1� h4;X1

�E11 C h1;X2� h4;X2

�E33/ d˝

K71 DZ

˝e

.h1;X1� h4;X1

�E11 C h1;X2� h4;X2

�E33/ d˝

K77 DZ

˝e

.h24;X1

�E11 C h24;X2

�E33/ d˝

) Kred D�

K11 K17

K17 K77

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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120 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement

Ableitungen vonhi nachX1 und X2

Zur Bestimmung der Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix werden die partiellen Ab-leitungen der Ansatzfunktionen nachX1 undX2 benötigt. Diese erhält man aus derBeziehung

2

664

@

@X1

@

@X2

3

775

D J �T

2

664

@

@r

@

@s

3

775

D 1

detJ

2

664

@X2

@s�@X2

@r

�@X1

@s

@X1

@r

3

775

2

664

@

@r

@

@s

3

775

mit

J T D

2

664

@X1

@r

@X2

@r

@X1

@s

@X2

@s

3

775

und detJ D @X1

@r� @X2

@s� @X2

@r� @X1

@s:

Man beachte, dassJ �1 nur existiert, wenn detJ ¤ 0.

Die Anteile der Jacobi Matrix

J T D

2

664

@X1

@r

@X2

@r

@X1

@s

@X2

@s

3

775

erhält man aus

@X1

@rD

X

i

hi;r �X i1 D hT

;rX1

@X2

@rD

X

i

hi;r �X i2 D hT

;rX2

@X1

@sD

X

i

hi;s �X i1 D hT

;sX1

@X2

@sD

X

i

hi;s �X i2 D hT

;sX2

Hierbei sind

hT;r D 1

4

s � 1 �s C 1 s C 1 �s � 1�

hT;s D 1

4

r � 1 �r � 1 r C 1 �r C 1�

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 121

die Vektoren mit den partiellen Ableitungen der Ansatzfunktionen nachr bzw. s.Ferner bezeichnen

XT1 D

0 a a 0�

XT2 D

0 0 b b�

die Vektoren mit den Knotenkoordinaten.Für das gegebene Problem folgt

@X1

@rD hT

;rX1 D 1

4Œ .�s C 1/aC .s C 1/a � D a

2@X1

@sD hT

;sX1 D 1

4Œ .�r � 1/aC .r C 1/a � D 0

@X2

@rD hT

;rX2 D 1

4Œ .s C 1/b C .�s � 1/b � D 0

@X2

@sD hT

;sX2 D 1

4Œ .r C 1/b C .�r C 1/b � D b

2

J D� a

20

0 b2

detJ D ab

4

J �1 D 4

ab

�b2

0

0 a2

D�

2a

0

0 2b

Im vorliegenden Beispiel eines rechteckigen Elementes istdie Jacobi Matrix kon-stant, d.h. sie hängt nicht mehr vonr unds ab. Man beachte, dass dies für ein beliebigverzerrtes Element nicht gilt.Ableitungen nachX1 undX2:

2

664

@hi

@X1

@hi

@X2

3

775

D J �T

2

664

@hi

@r

@hi

@s

3

775

D 1

detJ

2

664

@X2

@s�@X2

@r

�@X1

@s

@X1

@r

3

775

2

664

@hi

@r

@hi

@s

3

775

@hi

@X1

D 1

detJ

�@X2

@s� @hi

@r� @X2

@r� @hi

@s

@hi

@X2

D 1

detJ

�@X1

@s� @hi

@rC @X1

@r� @hi

@s

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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122 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement

z.B.h1:

h1;X1D @h1

@X1

D 4

ab

�b

2� 14.s � 1/� 0 � 1

4.r � 1/

D 1

2a.s � 1/

h1;X2D @h1

@X2

D 4

ab

�0 � 14.s � 1/C a

2� 14.r � 1/

D 1

2b.r � 1/

Bestimmung vonK11

K11 DZ

˝e

.h21;X1

� C11 C h21;X2

� C33/ d˝

D d

Z 1

�1

Z 1

�1

.h21;X1

� C11 C h21;X2

� C33/ detJ ds dr

D d

Z 1

�1

Z 1

�1

"�1

2a.s � 1/

�2

� C11 C�1

2b.r � 1/

�2

� C33

#

detJ ds dr

Mit C11 D E undC33 D 12

�E folgt:

K11 D Ed

Z 1

�1

Z 1

�1

"�1

2a.s � 1/

�2

C 1

2

�1

2b.r � 1/

�2#

detJ ds dr

Analytische Lösung:

K11 D Ed

�a

6bC b

3a

Mit a D 2 undb D 1 folgt

K11 D Ed

2

Numerische Lösung (Gauss-Integration):

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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8.3 Bestimmung der Steifigkeitsmatrix 123

Tabelle 8.1: Numerische Integration fürK11

i ri si f .ri ; si / � wpiwpi

1 � 1p3

� 1p3

0:23325::: 1

2 1p3

� 1p3

0:08891::: 1

3 � 1p3

1p3

0:16108::: 1

4 1p3

1p3

0:01674::: 1P0:5

0 1

s

r

4 3

21

1

�1

0

�1

Abbildung 8.4: Gausspunkte

K11 D Ed

4X

iD1

"�1

2a.si � 1/

�2

C 1

2

�1

2b.ri � 1/

�2#

� detJ .ri ; si / � wpi

D Ed

4X

iD1

f .ri ; si / � wpi

Bei dieser Integration sind die WichtungsfaktorenwpiD 1:0. In Tabelle8.1sind die

Ergebnisse der einzelnen Gausspunkte aufgeführt. Bei hinreichend großer Anzahlvon Nachkommastellen ergibt sich

K11 D Ed

2:

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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124 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement

Bestimmung vonK17; K71; K77 erfolgt analog:

K17 D �Ed4

K71 D �Ed4

K77 D Ed

2

8.4 Bestimmung des Lastvektors

In unserem Beispiel greifen nur RandlastenNt an. Die zugehörigen äquivalenten Kno-tenkräfte infolge von Randlasten berechnen sich aus

F� DZ

H T Nt d� :

Exemplarisch ergibt sich die Knotenkraftf1 mit konstanter Dicked somit aus

f1 DZ

h1 Nt1 d� D d

Z

l

h1 Nt1 dl

Am Rand mit vorgegebenenNt gilt r D �1, so dass sich die Interpolationsfunktionh1 D 1

4.1 � r/.1 � s/ reduziert zuh1 D h1jrD�1 D 1

2.1 � s/. Die differentielle

Längedl bezogen auf die Elementkante lässt sich mit Hilfe der Determinate desJacobi-Operators in den natürlichen Koordinaten ausdrücken. Es gilt

dl D detJ s ds mit detJ s D

s�@X1

@s

�2

C�@X2

@s

�2

:

Mit den zuvor gewonnenen partiellen Ableitungen nach den natürlichen Koordinatenund Nt1 D �tX1

folgt

f1 D d

Z

s

h1 Nt1 detJ s ds

D �dZ 1

�1

1

2.1 � s/ tX1

b

2ds

D �12d b tX1

:

Analog hierzu erhält man mith4 D 14.1 � r/.1C s/

f7 D d

Z

s

h4 Nt1 detJ s ds D �dZ 1

�1

1

2.1C s/ tX1

b

2ds D �1

2d b tX1

und mitb D 1 gilt somit

f1 D f7 D �12d b tX1

D �12d tX1

:

Erwartungsgemäß verteilt sich die konstante Randlast zu gleichen Teilen auf die bei-den Knoten.

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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8.5 Lösung des linearen Gleichungssystems 125

8.5 Lösung des linearen Gleichungssystems

Ed

2

664

1

2�14

�14

1

2

3

775

„ ƒ‚ …

Kred

u1

u7

„ ƒ‚ …

ured

D�

f1

f7

D d tX1

2

664

�12

�12

3

775

„ ƒ‚ …

Fred

) ured D K�1red � fred

K�1red D 16

3Ed

2

664

1

2

1

4

1

4

1

2

3

775

u1

u7

D 16

3Ed

2

664

1

2

1

4

1

4

1

2

3

775d tX1

2

664

�12

�12

3

775

u1 D 16

3E

�14tX1

� 1

8tX1

D �2 tX1

E

u7 D 16

3E

�18tX1

� 1

4tX1

D �2 tX1

E

u1

u7

D

2

664

�2 tX1

E

�2 tX1

E

3

775

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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126 8 Numerisches Beispiel für ein bilineares Scheibenelement

8.6 Vergleich Stablösung

Die Lösung für das gewählte Modellproblem mit� D 0 unter einfacher Zugbean-spruchung lässt sich einfach durch ein eindimensionales Ersatzproblem bestimmen.

F

a

Abbildung 8.5: Eingespannter Stab

Wir betrachten den Dehnstab in Abb.8.5. Mit a D 2,A D b � d , F D tX1� b � d und

b D 1 folgt

u D a

EA.�F / D �2 tX1

E:

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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9 FEMSOLID - Ein Beispiel für einFEM-Programm

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10 Erweiterte Elementformen für dieScheibe

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11 Die gemischte Methode für dieScheibe

Bei Anwendung der allgemeinen Verschiebungsmethode treten bei inkompressiblenoder annähernd inkompressiblen Materialien, also wenn dieQuerkontraktionszahl0:4 � � � 0:5 ist, Probleme auf. Diese Probleme sind auf den so genannten Locking-Effekt zurückzuführen. Die Lösung beim Auftreten des Locking-Effektes ist dadurchgekennzeichnet, dass die Verschiebungen infolge der zu steifen Abbildung des Sy-stems zu klein sind. Die Konvergenz gegen die exakte Lösung stellt sich mit zuneh-mender Netzverfeinerung zwar ein, jedoch wesentlich langsamer als bei lockingfrei-en Elementen. Abhilfe für solche Probleme kann die Anwendung einer gemischtenFormulierung schaffen. Im Rahmen dieser Übung wird hierzu die B-bar Methodebetrachtet.

11.1 Grundgleichungen

Zur Herleitung der Variationsformulierung werden zunächst die Grundgleichungenbetrachtet und die Zerlegung von Verzerrungen und Spannungen in volumentrischeund deviatorische Anteile dargestellt.

11.1.1 Kugeltensor und Deviator

Die Spaltenmatrix der Verzerrungen sowie der Spannungskomponenten lautet

" D�

"x "y "z 2 "xy 2 "yz 2 "xz

�T;

� D�

�x �y �z �xy �yz �xz

�T:

(11.1)

Weiterhin istm D�

1 1 1 0 0 0�T

eine Hilfsgröße. Der Druck oder volume-trischer Anteil der Spannungen ist durch

p D �v D 1

3.�x C �y C �z/ D 1

3mT � (11.2)

gegeben. Für den volumetrischen Anteil der Verzerrungen (Volumendilatation) gilt

"v D "x C "y C "z D mT ": (11.3)

Die deviatorischen Anteile der Spannungen und Verzerrungen berechnen sich aus derDifferenz der vollständigen Spannungen und Verzerrungen abzüglich der skizzierten

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132 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

volumetrischen Anteile. Damit gilt für den Spannungsdeviator

� dev D � � mp D � � 1

3m mT � D

I � 1

3m mT

� D Idev � (11.4)

sowie für den Verzerrungsdeviatior

"dev D " � 1

3m "v D " � 1

3m mT � D

I � 1

3m mT

" D Idev ": (11.5)

Die Projektionsmatrix(allgemeiner der Projektionstensor)

Idev D I � 1

3m mT (11.6)

beschreibt die Projektion der Spannungen� bzw. Verzerrungen" auf die entspre-chenden deviatorischen Anteile� dev D Idev� bzw."dev D Idev".Ebenso gelten mitIvol D 1

3m mT die Beziehungen

� vol D Ivol � D mp bzw. "vol D 1

3Ivol " D 1

3m "v: (11.7)

11.1.2 Schwache Form der Gleichgewichtsbedingung

Die virtuelle Arbeitı"T � kann mit Hilfe der obigen Beziehungen in der Form

� D � dev C � vol D Edev" C mp (11.8)

darstellen. Hieraus folgt die schwache Form der Gleichgewichtsbedingung

Gu DZ

ı"T Edev" d�CZ

ı"T mp d�

�Z

ıuT b d� �Z

ıuT Nt d� D 0:

(11.9)

Die negativen Terme sind Anteile aus der äußeren Belastung und werden hier nichtweiter erläutert (siehe klassische FEM).

11.1.3 Beschreibung der Volumendilatation

Die Verzerrungen" ergeben sich aus den Verschiebungenu durch die Differential-operatormatrixD in der Form

" D D u: (11.10)

Damit besteht die starke Formulierung für die Beziehung derVolumendilatation undder Verschiebungen in der Form

mT " � "v D mT D u � "v D 0: (11.11)

Version vom 13. November 2011 Einführung in die FEM – Flächentragwerke

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11.1 Grundgleichungen 133

Die zugehörige arbeitskonforme Größe ist der virtuelle Druck ıp und man erhältsomit die schwache Form dieser Beziehung

Gp DZ

ıph

mT Du � "v

i

d� D 0: (11.12)

11.1.4 Beschreibung der Druckspannungen

Die Durckspannungenp können über die Volumendilatation"v mit Hilfe des Kom-pressionsmodulsK beschrieben werden und es gilt

p D K "v sowie � vol D mp mit K D E

3.1� 2�/: (11.13)

Man erkennt, dass für den Grenzfall der Inkompressibilitätder Kompressionsmodulunbegrenzt wächst, alsoK ! 1 für � ! 0; 5.Die schwache Formulierung dieser Beziehung führt zu

G"vD

Z

ı"v ŒK"v � p� d� D 0; (11.14)

wobei der virtuelle Druckıp die zugehörige arbeitskonforme Größe ist.

11.1.5 Beschreibung der Deviatorspannungen

Die Deviatorspannungen ergeben sich mit dem deviatorischen Anteil der Stoffmatrixzu

� dev D Edev " mit Edev D 2G .I0 � 1

3mmT /: (11.15)

Hierbei wird der SchubmodulG

G D E

2.1C �/(11.16)

sowie die Matrix

I0 D 1

2

2

6666664

2

2

2

1

1

1

3

7777775

(11.17)

verwendet.

Einführung in die FEM – Flächentragwerke Version vom 13. November 2011

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134 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

11.1.6 Zusammenstellung der schwachen Formulierungen

An dieser Stelle werden zunächst die integralen ForderungenGu; Gp undG"vzur

Bestimmung der Felderu; p und"v zusammengestellt. Es gilt somit

Gu DZ

ı"T Edev"d�CZ

ı"T mp d� �Z

ıuT b d� �Z

ıuT Nt d� D 0;

Gp DZ

ıph

mT Du � "v

i

d� D 0;

G"vD

Z

ı"v ŒK"v � p� d�: D 0

11.1.7 Energiepotential

Die gesamte potentielle Energie bezüglich der drei Felder für die Verschiebungenu,den hydrostatischen Druckp und die Volumendilatation"v lautet

˘ D 1

2

Z

"Tu Edev"u C "v K "v

d�CZ

p .mT "u � "v/ d�

�Z

uT b d� �Z

uT Nt d�:(11.18)

Durch Variation der potentiellen Energie nach den Verschiebungen, dem Drucksowie der Volumendilatation erhält man

ı˘ D ıu˘ C ıp˘ C ı"v˘ D 0: (11.19)

Mit der beliebigen Wahl der virtuellen Größenı Ou; ı Op undı O"v folgen damit auch diedrei BedingungenGu D ıu˘ D 0,Gp D ıp˘ D 0 sowieG"v

D ı"v˘ D 0.

11.2 Diskretisierung der schwachen Formen

11.2.1 Unabhängige Ansätze für die drei Feldgrößen

Die drei Feldgrößenu, p und"v werden unabhängig voneinander approximiert undführen auf Elementebene zur Beschreibung

u � uh D Nuue

p � ph D Nppe

"v � "vIh D N# ;#e :

(11.20)

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11.2 Diskretisierung der schwachen Formen 135

Hierin sindNu;Np;Nv die Ansatzfunktionen undue ;pe;#e stellen die Unbekann-ten auf Elementebene dar. Diese können in einem erweitertenUnbekanntenvektor

Oue D

2

4

ue

pe

#e

3

5 (11.21)

für das aktuelle Element dargestellt werden. Für die Variation des Potentials folgtsomit

ı˘e D ı OuTe

n

Oke Oue � Ofe

o

: (11.22)

Weiterhin ergeben sich die modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix sowie der modifi-zierte Elementlastvektor

Oke D

2

4

Ae Ce 0

C Te 0 �Ee

0 �ETe He

3

5 sowie Ofe D

2

4

fe

0

0

3

5 : (11.23)

mit den Submatrizen

Ae DZ

�e

BT EdevB d�

Ce DZ

�e

BT mNp d�

Ge DZ

�e

N T# Np d�

He DZ

�e

N T# KN# d�

fe DZ

�e

N Tu b d�C

Z

�e

N Tu

Nt d�

(11.24)

Die Verwendung globaler Unbekanntenvektoren und die Assemblierung der Ele-mentbeiträge führt auf das globale Gleichungssystem

OK OU D OF (11.25)

mit den globalen Größen

OK D

2

4

A C 0

C T 0 �E

0 �ET H

3

5 und OU D

2

4

U

P

3

5 sowie OF D

2

4

F

0

0

3

5 : (11.26)

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136 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

11.2.2 Statische Kondensation auf Systemebene

Die zweite Gleichung des globalen GleichungssystemsC T U � E � D 0 besitztdie Lösung

� D E�1 C T U D W U : (11.27)

Hierbei wird die Invertierbarkeit vonE vorausgesetzt, die bei identischer Wahl derAnsätze für den Druckp und die Volumendilatation"v, d.h.Np D N# mit einersymmetrischen und positiv definiten MatrixE gegeben ist.Die dritte Gleichung�ET P C H � D 0 besitzt unter Verwendung der obigenBeziehung die Lösung

P D E�T H � D E�T H E�1 C T U : (11.28)

Damit kann die erste GleichungA U CC P D F mit der modifizierten Steifigkeits-matrix NK D A C W T H W in die Form

NK U D F (11.29)

gebracht werden.

11.2.3 Statische Kondensation auf Elementebene

Bei geschickter Wahl der AnsatzfunktionenNu, N# undNp kann die statische Kon-densation bereits auf Elementebene erfolgen. Hierzu werden unstetige Ansätze fürdie Größen"v undp im Element gewählt. Die Verschiebungenu werden weiterhinstetig über die Elemente approximiert. Damit liefern die Unbekanntenpe und #e

nur im betreffenden Elemente Beiträge. Die MatrizenC ;E undH besitzen damitDiagonalstruktur und eine Zerlegung der Gleichungen (11.27) und (11.31) auf Syste-mebene inne Gleichungen für die entsprechenden Elemente ist möglich. Man erhältsomit

#e D E�1e C T

e ue D We ue (11.30)

sowiepe D E�T

e He #e D E�Te He E�1

e C Te ue: (11.31)

Damit kann die modifizierte SteifigkeitsmatrixNke in der Form

Nke D Ae C W Te He We (11.32)

berechnet werden. Die kondensierte Gesamtsteifigkeitsmatrix NK der gemischten Me-thode kann in diesem Fall durch die Assemblierung der kondensierten Elementstei-figkeitsmatrix Nke bestimmt werden.

11.2.4 Die B-bar Formulierung

In einem weiteren Schritt wird die Diskretisierung11.20durch die WahlNp D 1

undN# D 1 und bilinearen Ansätzen für die Verschiebungen weiterhin vereinfacht

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11.2 Diskretisierung der schwachen Formen 137

und es gilt

u � uh D Nuue

p � ph D Np pe D Np pe D pe

"v � "vIh D N# #e D N# #e D #e:

(11.33)

Das Element zeichnet sich dadurch aus, dass im Element sowohl der Druckp alsauch die Volumendilatation"v jeweils durch eine konstante Größepe bzw.#e ap-proximiert werden.So lässt sich die Beziehung (11.23) wie folgt

NAu D f (11.34)

darstellen. Hierbei sind

NA DZ

NBTE NB d� � modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix

NB D IdevB C 1

3mN#W � modifizierte Verzerrungsverschiebungsmatrix

E D Edev CKmmT � Stoffmatrix(11.35)

Mit W D G �1C T , Idev D I � 13mmT und der.6 � 6/ EinheitsmatrixI sind alle

Größen angegeben um das B-bar Element implementieren zu können.

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138 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

11.3 Implementierung der B-bar Methode

11.3.1 Berechnungsschema der modifizierten Steifigkeitsmatrix

1.) Vorbereitung der numerischen Integration und Definition der Stoffmatrix

Entscheiden ob EVZ/ESZE D :: (Stoffmatrix)Gp D :::(Gaußpunkte)W D ::: (Gewichte)

2.) Schleife über die Gaußpunkte

AnfangaaaB D ::: (analog zur Standard-FEM)aaaE D :::

Ende

3.) Bestimmung der Hilfsgrößen

C T D mT B

G�1 D 1G

W D G�1C T

4.) Schleife über die Gaußpunkte

AnfangaaaDie modifizierte Verzerrungsverschiebungsmatrix wird bestimmtaaaNB D IdevB C 1

3mW

aaaDie modifizierte Elementsteifigkeitsmatrix wird bestimmt

aaaNA D NBTE NB dV

Ende

11.3.2 Hinweise zur Implementierung

1. Gleiche Ansätze fürp und "v wurden gewählt um eine quadratische Matrixfür G zu erhalten (Vorteil der Invertierbarkeit). In dem hier betrachteten Fallist G gerade ein Skalar.

2. Konstante Ansätze fürp und "v wurden gewählt um diese Größen auf derElementebene eliminieren zu können. Da bei konstanten Ansätzen die Funk-tionen Sprünge auf den Elementrändern aufweisen, sind Sie unabhängig voneinander.

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11.3 Implementierung der B-bar Methode 139

3. Die Matrix B aus dem Schritt 2). darf nicht beim Schritt 4). verwendet wer-den, da die Beziehung

Z

x2 ¤Z

x �Z

x

gilt.

4. Die Bestimmung der Verzerrungsverschiebungsmatrix im Schritt 2). ist analogzur Standard-FEM durchzuführen.

5. Die Modifizierung des Standard-FEM-Programms erfolgt ausschließlich inder Elementroutine.

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140 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

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11.3 Implementierung der B-bar Methode 141

11.3.3 Überprüfung der Dimensionen einzelner Größen

Im Folgenden werden mit ’�’ Zahlenwerte angedeutet. Die Dimensionen der Größenwerden für einen Scheibenelement angegeben.

E D

2

4

� � �� � �� � �

3

5

.3�3/

B D

2

4

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

3

5

.3�8/

E D�

��.1�1/ ! E�1 D

��.1�1/

mT D�

1 1 0�.1�3/

Np D N# D 1

C T DZ

mT B D�

� � � � � � � ��.1�8/

! W D G�1C T D�

� � � � � � � ��.1�8/

NB D IdevB C 1

3mW

D

2

4

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

3

5

.3�8/

C

2

4

���

3

5

.3�1/

� � � � � � � ��.1�8/

D

2

4

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

3

5

.3�8/

NA DZ

NBTE NB D

2

66666666664

� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �

3

77777777775

.8�3/

2

4

� � �� � �� � �

3

5

.3�3/ 2

4

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

3

5

.3�8/

D

2

66666666664

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

3

77777777775

.8�8/

(11.36)

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142 11 Die gemischte Methode für die Scheibe

11.4 Übung zum Thema: B-bar Methode

1. Implementieren Sie die B-bar Methode in das ProgrammFemsolid (DasProgramm befindet sich im Austauschordner. Alternativ kanndas Programmvon der letzten Übung verwendet werden).

2. Sorgen Sie dafür, dass der Benutzer des Programms zwischen dem klassischenVerschiebungselement und der B-bar Methode umschalten kann.

3. Für das Modell im Bild?? soll eine Konvergenzstudie durchgeführt werden.Hierzu soll das Programm femsolid dahingehend verändert werden, dass esdas vorhandene Netz von Iteration zur Iteration automatisch verfeinert undzu jeder Iteration die Verschiebung in y-Richtung am oberem, rechtem Punktspeichert.

4. Führen Sie jeweils für die Verschiebungs- und für die B-bar Methode zweiKonvergenzstudien durch. Die Querkontraktion soll dabei zu � D 0:33 undzur� D 0:49 gesetzt werden.

5. Plotten Sie die Ergebnisse. Dabei soll das eine Diagramm für � D 0:33 unddas andere für� D 0:49 erstellt werden. Tragen Sie die Verschiebungen überdie Anzahl der Elemente in die jeweiligen Diagramme ein.

Geometrie Material

a D 16 E D 70

b D 44 � D 0:33=� D 0:49

c D 48 F D 100

Eine Möglichkeit das Netz zu verfeinern ist die Unterteilung der Seiten der Scheibeim Bild ?? in gleich viele Elemente. Über die Anzahl der Elemente pro Kantenekwürde man dann in den Diagrammen die Verschiebungen abtragen. Ein Beispiel fürdie Vernetzung dieser Art ist im Bild??dargestellt.

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11.5 Vergleichslösung mit Ansys 143

11.5 Vergleichslösung mit Ansys

Im Folgenden werden die Konvergenzkurven für die Verschiebungs- und die B-bar-Methode dargestellt. Diese Konvergenzkurvenwurden mit der elften VersionAnsysunter Verwendung der ElementePlane 42 undPlane 182 erstellt.

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Anhang

Notation und Literatur

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Notation und Symbole

Mathematik

Grundlagen

R Menge der reellen Zahlen.�/0; .�/;x Ableitung nach Koordinatex8 Allquantor (für alle)9 Existenzquantor (es existiert)L Differentialgleichungsoperatorb Rechte Seite der DifferentialgleichungLu D b

a.�; �/ Bilinearforma W V � V ! R

F.�/ LinearformF W V ! R

Kontinuumsmechanik

Gebiete und Ränder� Gebiet (offenes Gebiet ohne Rand)N� Gebiet mit RandN� D � [ �

�i Teilgebiete von�� Rand� D �D [ �N

�D Dirichlet-Rand�N Neumann-Rand�K Kopplungs-Rand zwischen den TeilkörpernA QuerschnitssflächeL Strukturlänge der Stäbe und Balken

Fundamentale Funktionenu Verschiebungsfunktionv Testfunktionıu Virtuelle Verschiebungp; q Volumenlasten, parallel und senkrecht zur StabachseF vorgegebene Randlasten" Verzerrungstensor"T Thermische Verzerrungen"� Spannungsbildende Verzerrungen� SpannungstensorE Materialtensor

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148

E ElastizitätsmodulG Schubmodul� Querdehnzahl˛T Wärmeausdehnungkoeffizient�T Temperaturänderung�Tm; �Tlin konstanter und linearer Anteil der Temperaturerhöhung�To; �Tu Temperaturerhöhung an der oberen und unteren Kante

Randbedingungen und äußere Lasten

Nu Vorgegebene Verschiebungu D Nu der Stabachse inx-RichtungNw Vorgegebene Durchbiegungw D Nw der Stabachse inz-RichtungN' Vorgegebene Verdrehung' D N'der Stabachse um diey-Achse

NN Vorgegebene NormalkraftN D NNNQ Vorgegebene QuerkraftQ D NQNM Vorgegebenes BiegemomentM D NM

Hinweise Die vorgeschriebenen Werte der Randbedingungen werden durch einenÜberstrich gekennzeichnet und beispielsweise gilt für eine EinzelkraftF am Neumann-Randx D 0 die BeziehungN.0/ D NN.0/ D F .

Energie und Variation

R.�; �/ Schwache Form des Gleichgewichts (erste Greensche Identität)Re.�; �/ Elementanteil anRRk.�/ Knotenanteil aus den Randbeiträgen der schwachen Form˘ Gesamte potentielle Energie˘i Innere potentielle Energie˘a Äußere potentielle EnergieW ArbeitWi Innere ArbeitWa Äußere ArbeitıW Gesamte virtuelle ArbeitıWi Innere virtuelle ArbeitıWa Äußere virtuelle Arbeit

Finite Elemente Methode

Gebiete, Ränder und Elemente

�h FE-Approximation�h des Gebietes��h FE-Approximation�h des Randes��e Elementgebiet ohne Rand�e Rand des Elementes�e

N�e Elementgebiet mit RandN�e D �e [ �e

l; le Elementlänge

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149

Variablenmk Anzahl der Knoten am ElementENODEmf Anzahl der Freiheitsgrade am KnotenKDOFme Anzahl der Freiheitsgrade am ElementEDOFne Anzahl der Elemente auf SystemebeneNELnk Anzahl der Knoten auf SystemebeneNNODEnf Anzahl der SystemfreiheitsgradeNDOF

Diskrete Energie und diskrete schwache Form

Rh.�; �/ Schwache Form des Gleichgewichts (erste Greensche Identität)RhIe.�; �/ Elementanteil anRRhIk.�/ Knotenanteil aus den Randbeiträgen der schwachen Form˘h Gesamte potentielle Energie˘hIe Elementanteil an der gesamten potentiellen Energie˘hIk Knotenanteil an der gesamten potentiellen Energie˘hIi Innere potentielle Energie˘hIi Ie Elementanteil an der inneren potentiellen Energie˘hIi Ik Knotenanteil an der inneren potentiellen Energie˘hIa Äußere potentielle Energie˘hIaIe Elementanteil an der äußeren potentielle Energie˘hIaIk Knotenanteil an der äußeren potentiellen EnergieıWh Gesamte virtuelle ArbeitıWhIe Elementanteil an der gesamten virtuellen ArbeitıWhIk Knotenanteil an der gesamten virtuellen ArbeitıWhIi Innere virtuelle ArbeitıWhIi Ie Elementanteil an der inneren virtuellen ArbeitıWhIi;k Knotenanteil an der inneren virtuellen ArbeitıWhIa Äußere virtuelle ArbeitıWhIaIe Elementanteil an der äußeren virtuellen ArbeitıWhIa;k Knotenanteil an der äußeren virtuellen Arbeit

Weitere Wertehi Ansatzfunktion am Knotenih Vektor der Ansatzfunktionenuh FE-Approximation der Verschiebungsfunktionvh FE-Approximation der Testfunktionui

j Diskrete Verschiebung am Knoteni in Richtungjxi

j Knotenkoordinate am Knoteni in RichtungjD DifferentialoperatorAe Boolesche ElementmatrixT Transformationsmatrixke / keIr Elementsteifigkeitsmatrix (reduziertes lokales KOS.x/ )keIx Elementsteifigkeitsmatrix (vollständiges lokales KOS.x; y/ )keIX Elementsteifigkeitsmatrix (globales KOS.X; Y / )

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150

Ke Elementsteifigkeitsmatrix auf SystemebeneK Systemsteifigkeitsmatrixue / ueIr Elementverschiebungsvektor (reduziertes lokales KOS.x/ )ueIx Elementverschiebungsvektor (vollständiges lokales KOS.x; y/ )ueIX Elementverschiebungsvektor (globales KOS.X; Y / )U Systemverschiebungsvektorfe / feIr Elementlastvektor (reduziertes lokales KOS.x/ )feIp Anteil am Elementlastvektor infolgepfeI NN Anteil am Elementlastvektor infolgeNNfeIT Anteil am Elementlastvektor infolge�TfeIx Elementlastvektor (vollständiges lokales KOS.x; y/ )feIX Elementlastvektor (globales KOS.X; Y / )Fe Elementlastvektor auf SystemebeneF Systemlastvektorre ElementresiduumR Residuum

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Literaturverzeichnis

[1] Barthold, Franz-Joseph: Einführung in die Finite Elemente Methode -Stab-tragwerke / Numerische Methoden und Informationsverarbeitung, TU Dort-mund. 2010. – Vorlesungsunterlagen5, 6

[2] Barthold, Franz-Joseph ;Stieghan, Jörg: Einführung in die Kontinuums-mechanik: Vektor- und Tenssorrehnung / Numerische Methoden und Informa-tionsverarbeitung, TU Dortmund. 2009. – Vorlesungsunterlagen2.1

[3] Boer, Reint de:Vektor- und Tensorrechnung für Ingenieure. Springer-Verlag,1982. – ISBN 978–35401183432.1, 3.1.2, 3.2.1

[4] Boussinesq, J.:Applications des potentiels á l’études de l’équilibre et dumou-vement des solides elastique. Paris : Gauthier-Villars„ 18854.3

[5] Ciarlet, P.G.: Mathematical Elasticity I: Three-dimensional Elasticity. Am-sterdam : North-Holland, 19882.4.6.1

[6] Eschenauer, Hans ;Ohlhoff, Niels ; Schnell, Walter: Applied StructuralMechanics. Springer-Verlag, 1997. – ISBN 978–3–540–61232–22

[7] Girkmann, K.: Flächentragwerke. Springer, 19544.3

[8] Gross, Dietmar ;Hauger, Werner ;Wriggers, Peter:Technische Mechanik,Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Me-thoden. Springer-Verlag, 20092

[9] Klingbeil, Eberhard: Tensorrechnung für Ingenieure. BI-Hochschultaschenbücher, 19892.1

[10] Schade, Heinz ;Neemann, Klaus: Tensoranalysis. 3. Auflage. de Gruyter,2009. – ISBN 978–3–11–020696–82.1

[11] Stein, Erwin ; Barthold, Franz-Joseph: Elastizitätstheorie. In:Mehlhorn,Gerhard (Hrsg.):Der Ingenieurbau: GrundwissenBd. Werkstoffe/Elastizitäts-theorie. Ernst & Sohn, 1996, S. 165–4282

[12] Stein, Erwin ; Barthold, Franz-Joseph: Einführung in die Elastizitätstheorie/ Numerische Methoden und Informationsverarbeitung, TU Dortmund. 2004.– Vorlesungsunterlagen2

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Index

Airysche Spannungsfunktion,66, 68

biharmonische Differentialgleichungenfür die Verschiebungskom-ponenten,60

bulk modulus,53

Differentialgleichung für die Scheibe,69

Elastizitätsmodul,53

Fouriersches Integral,76

Gleichungen von Beltrami,63Gleichungen von Michell,63

Integrabilitätsbedingungen,23

Kompatibilitätsbedingungen,23, 61Kompressionsmodul,53

Maxwellsche Spannungsfunktion,64

Poisson’ s ratio,53

Querkontraktionszahl,53

Schubmodul,53Spannungskonzentrationsfaktoren,92St. Venantschen Kompatibilitätsbedin-

gungen,23

Verträglichkeitsbedingungen,23, 61

Young’s modulus,53

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