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Arbeitsblatt 1
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Für das nächste „Frequency-Festival“ pachtet der Veranstalter zusätzliche Fläche für die Besucherzelte beim benachbarten Landwirt. Zur Ermittlung des Pachtpreises muss die Fläche ausgemessen werden.
Der Veranstalter beauftragt dich nun, das Grundstück (Wiese) zu vermessen!
Versuche die Fläche der Wiese mit folgenden Methoden näherungsweise zu ermitteln, dokumentiere deine Vorgehensweise und vergleiche die Ergebnisse:
a) Schätzen der Fläche b) Abzählen der einzelnen Kästchen des über die Fläche gelegten Rasters c) Berechnen durch Zerlegen in einfache geometrische Figuren
Ergebnisse:
a) Schätzen: ................... b) Abzählen: ................... c) Berechnen: ……………
(unter Angabe der geometrischen Figuren)
Arbeitsblatt 2
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Eine übliche Vorgehensweise sieht so aus:
a) Zähle nur die Kästchen, die vollständig eingefärbt sind und bestimme die Fläche: Ergebnis: …………………………….
b) Zähle auch die Kästchen mit, die nur teilweise eingefärbt sind und bestimme die Fläche: Ergebnis: …………………………….
c) Überlege, wie mit Hilfe dieser beiden Ergebnisse ein noch genaueres Resultat erzielt werden könnte?
Ein Mathematiker namens Riemann hatte zu diesem Problem folgende Idee:
Er fasste übereinander liegende Kästchen zu Rechtecken zusammen.
Verwendet man nur die Kästchen, die vollständig eingefärbt sind, so erhält man Rechtecke, die gänzlich unterhalb der oberen Grenze (Bach) liegen. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke nannte er „Untersumme“.
Verwendet man auch die Kästchen, die nur teilweise eingefärbt sind, so erhält man Rechtecke, die zum Teil oberhalb der oberen Grenze (Bach) liegen. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke nannte er „Obersumme“.
Öffne den GeoGebra-File „Bach A2-1“ (unter: http://www.geogebratube.org/student/m204098).
Hier siehst du nochmals die gesuchte Fläche sowie einen Schieberegler, mit dem die Anzahl der Rechtecke (N) verändert werden kann. Folgende Werte können eingeblendet werden: Obersumme, Untersumme, Differenz (OS – US) und Mittelwert aus OS und US.
a) Beginne mit der kleinsten Einstellung des Schiebereglers (N = 2) und trage die aus der Graphik abgelesenen Werte in die Tabelle ein.
b) Variiere den Parameter N zehnmal aufsteigend und fülle die Tabelle entsprechend weiter aus.
N Untersumme Obersumme Differenz Mittelwert
c) Wie verändern sich die abgelesen Werte mit steigendem N? d) Gib eine Schätzung für die wahre Fläche ab.
Arbeitsblatt 3
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Öffne den GeoGebra-File „Bach A2-2“ (unter: http://www.geogebratube.org/student/m20409), stelle fest, welche Möglichkeiten der File bietet und protokolliere deine Erkenntnisse auf einem eigenen Blatt. 1 Sieh dir auf YouTube das Video „Integral – Was ist das?“ [Quelle: http://www.youtube.com/watch?v=P2S83AtQtfw] an und vergleiche mit deiner Vorgehensweise. (Hinweis: Das Video dauert ca. 7 Minuten).
Fragen zum Video:
a) Versuche den Begriff „bestimmtes Integral“ möglichst einfach zu erklären. b) Was ist die Integrationsvariable? c) Wie kommt man vom Symbol Σ zum Symbol ∫ und von Δx zu dx? d) Was bedeuten im Video die Buchstaben a und b?
1 Auf der Internetseite http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_01.htm findest du dieses Beispiel
ebenfalls. Erkläre welche Methoden hier zur Berechnung der Fläche gewählt wurden und ob und inwiefern sich diese von deiner Vorgehensweise unterscheiden.
Arbeitsblatt 4
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Für einige Flächen lässt sich die Größe des bestimmten Integrals, also der Flächeninhalt, mit Hilfe bekannter Flächenformeln sehr einfach bestimmen.
Sieh dir dazu folgende Grafiken an und vervollständige die Tabelle:
Flächeninhalt als geometrische Formel
Flächeninhalt mit Integral
A(x) = 2x A x = 2 dx!
!
= 2x
A x = !!
! A(x) = x dx
…
…
=x!
2
A x = !
!
!− !
! A(x) = … dx
…
…
=x!
2 −12
Bilde jeweils die Ableitung von A(x) und vergleiche sie mit dem dazugehörigen f(x). Was fällt dir auf?
Die Ableitung von A(x) ist f(x)
x
x
Arbeitsblatt 5
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Du siehst also: Die Umkehrung des Differenzierens ist das Integrieren. Damit lassen sich sogar Flächen berechnen, die nicht nur von linearen Funktionen begrenzt werden, sondern auch von krummlinigen Funktionen.
Allgemein gilt:
Mit F(x) bezeichnen wir die Funktion, welche die Fläche unter der Kurve f(x) von 0 bis x berechnet:
F(x) := 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!! F(x) nennt man die Stammfunktion von f(x).
Somit ist F(b) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!! Fläche von ……. bis ………
F(a) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!! Fläche von ……. bis ………
Die Differenz der beiden Flächen F(b) – F(a) liefert nun die gesuchte Fläche A von a bis b.
F(b) – F(a) = ……………………….- ………………………. := 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!!
Somit gilt allgemein:
𝐴 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!
Um ein konkretes Beispiel zu sehen öffne die GeoGebra-Datei „Beispiel A5“ (unter http://www.geogebratube.org/student/m20406) und drücke den Button „Abspielen“.
Arbeitsblatt 6
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Rückblende zum Differenzieren:
Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x) = x2 f ´(x) = …………... f(x) = x2 + 3 f ´(x) = ………….. f(x) = x2 - 7 f ´(x) = …………..
Wie unterscheiden sich die drei Ableitungsfunktionen? ……………………………….
Gib zwei weitere Funktionen mit derselben Ableitung an: ……………………………. …………………………….
Weil wir von der gemeinsamen Ableitung der fünf Funktionen nicht auf die ursprünglichen Funktionen f(x) rückschließen können, schreiben wir dafür:
f(x) = x2 + c wobei c für 3, -7, oder auch jede andere Zahl stehen kann. Die Zahl „c“ nennt man Integrationskonstante.
Welche Funktion wurde hier abgeleitet? Finde die Stammfunktion 𝐹(𝑥))!
Stammfunktion 𝐹(𝑥) Ableitung 𝑓(𝑥)
𝐹(𝑥) = 5𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 5
𝐹 𝑥 = !!
! + c 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝐹 𝑥 = !!
! + c 𝑓(𝑥) = 𝑥!
𝐹 𝑥 = 5𝑥!
3 + 𝑥!
8 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 5𝑥! + 𝑥!
𝐹 𝑥 = 𝑥!
15+ 𝑥!
4 − 2𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) =13 𝑥
! + 𝑥! − 2
Wie heißt die Stammfunktion von 𝑓 𝑥 = 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ, 𝑑ℎ. 𝑘 𝑖𝑠𝑡 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)? Versuche eine Formel anzugeben, indem du mit 𝑓 𝑥 = 5 vergleichst! F(x) = ... 𝑘𝑥 + 𝑐
Wie heißt die Stammfunktion von 𝑓(𝑥) = 𝑥! ? Versuche eine Formel anzugeben, indem du mit 𝑓(𝑥) = 𝑥! vergleichst!
F(x) = ...!!!!
!!!+ 𝑐
Wie heißt die Stammfunktion von 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥! ? Versuche eine Formel anzugeben, indem du mit 𝑓(𝑥) = 5𝑥! vergleichst!
F(x) = ...𝑎 ∙ !!!!
!!!+ 𝑐
Nun hast du die wichtigsten Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen erarbeitet! BRAVO!!!
Arbeitsblatt 7
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 (Beachte 𝑓(𝑥) ist hier die Ableitungsfunktion von 𝐹(𝑥)).
Welche der angegebenen Funktionen könnte eine Stammfunktionen von f(x) sein?
𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 ?
o 𝐹 𝑥 = 2
o 𝐹 𝑥 = 𝑥! + 2
o 𝐹 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 + 1000
o 𝐹 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 + 2
Hinweis: Versuche auf umgekehrtem Weg, also durch Differenzieren von F(x) die Lösung zu finden.
Was fällt dir auf?
Eine konstante Größe kann durch das Integrieren nicht bestimmt werden.
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen
Arbeitsblatt 8
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Ermittle die Stammfunktion:
Schreibe die Funktionen immer so an, dass die Variable im Zähler steht! Bei Funktionen mit Wurzeln musst du die Wurzel zuerst in eine Potenz umschreiben!
a) 24𝑥 𝑑𝑥 = 12𝑥! + 𝑐
b) 200𝑥!𝑑𝑥 = 40𝑥! + 𝑐
c) 𝑥!! 𝑑𝑥 = !
!∙ 𝑥
!! + 𝑐
d) 4𝑥!!𝑑𝑥 = − !!𝑥!! + 𝑐
e) −𝑥!! 𝑑𝑥 = !!!
!+ 𝑐
f) (4𝑥! − 𝑥! + 5)𝑑𝑥 = !!!
!− !!
!+ 5𝑥 + 𝑐
g) 𝑥!! 𝑑𝑥 = 𝑥!! 𝑑𝑥 = !
!∙ 𝑥
!! + 𝑐
h) !!!!
𝑑𝑥 = !!𝑥!! 𝑑𝑥 = − !
!𝑥!! + 𝑐
Hilfestellung: Du kannst dir dazu auch die Lernvideos „Stammfunktionen – einfache Beispiele“, „Stammfunktionen – einfache Beispiele 1“, „Stammfunktionen – einfache Beispiele 2“ auf youtube ansehen! Beachte, dass man immer zuerst vereinfacht und Wurzeln in Potenzen umwandelt!
Arbeitsblatt 9
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
Ordne folgenden Funktionen f(x) die Stammfunktionen F(x) zu!
Finde passende Pärchen:
f(x)
A B C D
F(x)
1 2 3 4
Lösung:
Arbeitsblatt 10
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
INFORMATION zu Arbeitsblatt 5 und 6
Das Aufsuchen der Stammfunktion und die Umkehrung des Differenzierens führen zum selben Ergebnis: den Vorgang nennt man INTEGRIEREN!
Die Schreibweise für das Integrieren sieht folgendermaßen aus:
𝐹(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
sprich: 𝐹(𝑥) ist das Integral der Funktion 𝑓 𝑥 .
Man nennt es auch unbestimmtes Integral.
Beachte: 𝑑𝑥 gibt an, nach welcher Variablen integriert wird.
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen F(x) zu einer Funktion f(x).
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
Grafisch ergibt das eine Kurvenschar, d.h. die Funktionen unterscheiden sich durch eine Verschiebung in y-Richtung:
Arbeitsblatt 11
von: Monika Geyer, Thomas Jäger, Manfred Muhri, Thomas Schmid
ZUSATZINFORMATION zum Video
Existieren die Grenzwerte lim!→! 𝑈! und lim!→! 𝑂! und sind sie gleich, dann heißt dieser Grenzwert bestimmtes Integral.
Er gibt die Größe der Fläche an, die rechts von a und links von b begrenzt wird und zwischen der Funktion und der x-Achse liegt (siehe Abb. 1).
𝐴 = lim!→!
𝑈! = lim!→!
𝑂! = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!
Bezeichnungen für 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!! :
- f(x) heißt Integrand - x heißt Integrationsvariable - a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenze
Das Integral kann man sich als „Summe von unendlich vielen unendlich schmalen Rechtecken“ der Form 𝒇 𝒙 ∙ ∆𝒙 vorstellen.
Diese Vorstellung geht auf Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716) zurück. Er stellte sich die von einer Funktion f in [a; b] festgelegte Fläche aus sehr dünnen Streifen der Breite ∆𝑥 vor (siehe Abb. 2a).
Für den Flächeninhalt eines solchen dünnen Streifens gilt: 𝑓 𝑥 ∙ ∆𝑥.
Der Gesamtflächeninhalt A der Fläche ist somit näherungsweise gleich der Summe dieser Flächeninhalte:
𝑨 ≈ 𝒇 𝒙 ∙ ∆𝒙
Das Integralzeichen soll also in seiner gebogenen Form noch an ein Summenzeichen und das dx an ein sehr kleines ∆𝒙 erinnern.
a b
Abb. 1
Abb. 2b Abb. 2a
