Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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IV Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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IV.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome• Die wirksamen Kräfte

– Druckgradient– Schwerkraft– Reibungskraft– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation– hydrostatische Approximation– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

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IV.2.3 Skalenanalyse- für synoptische Systeme der mittleren Breiten -

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)

-> statische Grundgleichung• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente

(Horizonalwind)

-> der geostrophische Wind

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Charakteristische synoptische Größenordnungen

Für synoptische Bewegungssysteme (Mittelwerte über > 10 Minuten und > 10 km) kann man folgende charakteristische Größenordnungen für Geschwindigkeiten, räumliche Ausdehnungen von Drucksystemen und Druckvariationen annehmen:• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s• Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s• Länge L ~ 106 m (1000 km)• Höhe H ~ 104 m (10 km)• Luftdruckvariat. DP ~ 103 Pa (10 hPa)• Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag)

• Coriolisparam. f = 2Wsinj ~ 10-4 s-1

• Luftdichte r ~ 1 kg/m3

• Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)

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Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung

,

1 2 cos R x

du pfv w f

dt x

,

1 R y

dv pfu f

dt y

U/T 1/r Dp/L fU fW -

10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2

...Coriolisbeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

1

1

pfv

x

pfu

y

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Geostrophischer Wind 0

1 1 1 , 0

0 1 0

oder mittels Division durch - und Multiplikation von links mit

h h

v up p

fv fu , f u f v fk v px y

f k

01

0

1 0h h

v

u v k pf

p

p 3 p

p 2 p

p 1 p

F

F P,H

C ,H

vg

T

H

x

p

ρf , v

y

p

ρ u

pkρf

v

gg

hg

11

1

geostrophischer Wind:

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synoptische Skalenanalyse der 3. Komponente der Bewegungsgleichung

F,z

dw 1 p= - - g + 2Ωucos + f

dt ρ z

W/T 1/r po/H g fU -

10-7 10 10 10-3 - m/s2

pg

z

...Schwerebeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

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Einfluss der Beschleunigung – die Rossby Zahl

1 1 ,

( ) , ( )

g g

ag ag

v u

g g

v u

du p dv pfv fu

dt x dt y

du dvf v v f u u

dt dt

Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes.Oder: Der geostrophische Wind erlaubt keine Vorhersage.Wann ist der Beschleunigungsterm wichtig?

ist. groß Zahl,-Rossby ,²

,

, Wenn o

UL

RfL

U

fUL

U

fU

U

fUT

U

fvfudtdv

dtdu

Mit gegebenen (synoptischen) Größenordnungen gilt Ro=0,1, also 10% Fehler bei Annahme des geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen gilt Ro=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U größer bei Hurrikanen).

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Übungen zu VI.2.3

Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel. Der Druckgradient ist aus der Neigung der Wasseroberfläche ableitbar.