Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

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VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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VI.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome• Die wirksamen Kräfte

– Druckgradient– Schwerkraft– Reibungskraft– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation– hydrostatische Approximation– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

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• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.

• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung (gradlinig und gleichförmig, konstanter Geschwindigkeitsvektor) im Inertialsystem beizubehalten.

• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert werden.

VI.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

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Coriolisbeschleunigung- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe)

nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht der u-Geschwindigkeit von P.

• Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben.

• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert - durch die kleinere Entfernung von der Drehachse im Vergleich zu P.

• Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.

• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.t0

t+Δt

P P‘

QQ‘‘

Q‘

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Coriolisbeschleunigung- qualitativ (2) -

• Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit Δt.

• P wirft nach Q (blauer Vektor).

• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).

• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem anzeigt.

• Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘.

Rechtsablenkung

P

P‘

P

P‘

QQ‘

Q

Q‘

Q‘‘

Q‘‘

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Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (1) -

A

t1

+

2

3

v

s

C

B

Δs= ΔuΩ Δt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt =(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt mit λ Länge und φ Breite

Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer konstanten Beschleunigung nach Ost: →s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R → Δt= Δφ R/v folgtbC= 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ) = - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ = 2Ωvsinφ

• Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.

• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, und hat nach Δt die Strecke Δs nach Osten zurückgelegt.

sin, vb uC 2• Der Körper beschleunigt nach

rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite

Δ

Δ

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Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (2) -

2 u cos

P

2 u s in

2 u

R

r

Äqu.

• Ein Körper bewege sich mit der Relativgeschwindigkeit u nach Ost.

• Er hat dann die Absolutgeschwindigkeit ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ.

• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni-gung von (ua)2/r.

r

uur

r

ru

r

ua2

222

2

• Der erste Term ist das bekannte gz.• Die beiden letzten Terme beschreiben die

zusätzliche Zentrifugalbeschleunigung durch die (relative) u-Bewegung.

• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen (Abbildung).

• Der letzte Term ist ein metrischer Term, der verschwindet, wenn man eine ortsfeste Tangentialebene als Referenz annimmt.

• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung

sin, ub vC 2

sin, vb uC 2Wir hatten:

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Coriolisbeschleunigung- formal (1) -

• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem

• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems

• Anwendung auf den Vektor der absoluten Geschwindigkeit

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Coriolisbeschleunigung- formal (2) -

x

y

z

i

j

k

x‘z‘

y‘

i

j

k

adt

ad

kajaiadt

ad

kajaiadt

addt

kda

dt

jda

dt

ida

dt

ad

kdt

adj

dt

adi

dt

ad

kdt

daj

dt

dai

dt

da

dt

ad

kajaia

kajaia

a

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

System gtenbeschleuni im

Änderungebeobachtet

folgt daraus

Vektor

Inertialsystem

Relativsystem =Tangentialebene fest an der Kugeloberfläche

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Coriolisbeschleunigung- formal (3) -

adt

ad

dt

ad

rv

dt

rdr

dt

d

dt

vd

rvrdt

d

dt

vd

vΩdt

vd

dt

vd

rvrdt

rd

dt

rd

v

aaa

v mit identisch a

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Coriolisbeschleunigung- formal (4) -

VIVIIIIII

rvrdt

d

dt

vd

dt

vd a

2

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur ErdoberflächeII. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s

kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)IV. CoriolisbeschleunigungV. Zentrifugalbeschleunigung

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Coriolisbeschleunigung- formal (5)

cos

sin

cossin

u

u

wv

wvu

kji

vf zyxC

2

2

2

22

Coriolisbeschleunigung

y

z

Äqu.

sin

cos

da

ΩΩ

ΩΩ

Ω

z

y

x

0

Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt weiter:

2 cos

2 cos uC

fv w

f fu

u²/r taucht als metrischer Term nicht mehr auf, da eine Tangentialebene betrachtet wird.

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Navier-Stokes-Gleichung (1)

rvrdt

d

dt

vd

dt

vd a

2

1 1aN

dvp g

dt

+

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

Dabei wurde• die totale Ableitung nach Euler zerlegt,• der Rotationsvektor als konstant angenommen,• die Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert,• d‘/dt durch d/dt gesetzt, und• die Reibungsbeschleunigung verallgemeinert.

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Navier-Stokes-Gleichung (2)

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

komponentenweise

,

,

1 2 cos

1

1 2 cos

R x

R y

du u u u u pu v w fv w f

dt t x y z x

dv v v v v pu v w fu f

dt t x y z y

dw w w w w pu v w g u

dt t x y z z , R zf

gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung

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Übungen zu VI.2.2

1. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator?

2. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die Zentrifugalbeschleunigung (halb quantitative Ableitung der Coriolisbeschleunigung) ab.

3. Erläutere die formale Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.

4. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.