Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

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VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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VI.3 Zweidimensionale Windsysteme

1. Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung2. Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal)3. Weitere 2-dimensionale Windsysteme

– Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)– Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)– Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)

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VI.3.2 Gradientwind

Zusätzliche Annahmen:- keine Reibung- keine Zentrifugalbeschleunigung, vh

2/R=0 → R=±∞ , also gradlinige Isobaren!

np

fvvfv

npn

sps

ghh

110

10

:

Isobaren || nStromlinie :

p

p 3 p

p 2 p

p 1 p

g

T

H

n

V

f Vg

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

Zunächst wird nochmals der geostrophische Wind als Spezialfall bei gradlinigen Isobaren abgeleitet.

s

n

• Der geostrophische Wind weht parallel zu den Isobaren mit dem Tief (auf der NH) links.

• Er ist direkt proportional zum Druckgradienten.

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Gradientwind – gekrümmte Stromlinien Zusätzliche Annahme- keine Reibung

2 2

1: 0 Stromlinien || Isobaren

1 1 1:

g

h hh h

fv

pss

v vp pn fv vR n f n R

T n s

Hn

s2

0

0

1 1

v

hh

h G g

Rpn

vpvf n R

v v

2

0

0

1 1 hh

h G g

Rpn

vpvf n R

v v v

Im Tief kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.

Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

Annahmen• Stationarität• keine Bahnbeschleunigung

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Zentrifugalterm – Formale Lösung

Rv

np

fvvfv

np

Rvn

sps

G

fv

Ghhh

g

22 111

10

:

Isobaren || nStromlinie :

m/s ..

10000001

101010

114

2

Rvf

hGrößenabschätzung des „Korrekturterms“ 1/f vh

2/R bei Annahme von v=10 m/s

Formale Bestimmung von vG

(quadratische Gleichung) npRfRfRvG

2

22Es gibt also 2 Lösungen.

Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0,so gewinnt man insgesamt 3x3x2=18 Lösungen für den Gradientwind.

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+ = - fCfP fZ

Physikalische Lösungen (1)• Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen

wir erst qualitative Überlegungen anstellen.• Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber

senkrecht zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.• Mit gegebener Geschwindigkeit (und damit gegebenem fC) fest gibt es 4

Möglichkeiten, wie sich fP und fZ dazu orientieren können:

fC

hv

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

T

anormalesTief

H

anormalesHoch

H

normalesHoch

T

normalesTief

hohe Druckgradientenschwache Krümmung (fC»fZ)

niedrige Druckgradientenstarke Krümmung (fC~/< fZ)

Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.

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Physikalische Lösungen (2)

+ = - fCfP fZ

fC

hv

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

Tanormales

Tief

Hanormales

Hoch

Hnormales

Hoch

Tnormales

Tiefhohe Druckgradientenschwache Krümmung

niedrige Druckgradientenstarke Krümmung

20 40 m/s0

5x10-3 m/s²

0

|fvh|

|vh2/R|Wirbel mit

R=250 km

B ,A

DC

A B C D

• Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss.

• Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales wie anormales) Tief möglich.

• Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden, da sie nicht durch langsam zunehmende Druckgradienten erreicht werden können.

|vh2/R|+ |fvh|

Die untere Darstellung zeigt als Kurven die Coriolisbeschleunigung (f=10-4s-1), die Zentrifugalbe-schleunigung und deren Summe bei einem Wirbel mit 250 km Radius.Die vertikalen Balken geben bei gegebenem, festem Druck-gradienten die Positionen der linken vier Fälle wieder.

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ZusammenfassungAnalyse der 2x3x3 Lösungen von n

pRfRfRvG

2

22

• R=0 → vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)• ∂p/∂n=0 → vG=-fR/2±|fR/2|

R>0 → vG≤0 triviale oder unphysikalische LösungR<0 → vG=0 triviale Lösung → vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonalOhne Druckgradient kann die Strömung nur antizyklonal sein!

Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4 unphysikalisch sein müssen

R>0 R<0

∂p/∂n>0 +√ vG<0 anormales Tief

-√ vG<0 vG<0

∂p/∂n<0 +√ normales Tief anormales Hoch

-√ vG<0 normales Hoch

10

Diskussion - Besonderheit bei Hochs

DiskussionnpRfRfRvG

2

22

• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet, da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.

• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne)

• Besonderheit des Hochs (R<0^∂p/∂n<0) (Wurzelargument muss positiv sein):

Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen. Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.

Rfnp

npRRf

npRfR

npRfRfRvG

4

22

22

2

22

2

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Übungen zu VI.3.21. In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche

ein Druckgradient von 2 hPa/100km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle). Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Luftdichte 1 kg/m3 beträgt.

2. Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan, Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.