Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

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VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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VI.3 Zweidimensionale Windsysteme

1. Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung2. Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal)3. Weitere 2-dimensionale Windsysteme

– Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)– Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)– Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)

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VI.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem Das natürliche Koordinatensystem führt zu einer einfacheren Form der

horizontalen Bewegungsgleichung, welche die Zentrifugal-beschleunigung durch gekrümmte Stromlinien explizit enthält.

Ausgangspunkt ist die horizontale Bewegungsgleichung, allerdings approximiert durch das Weglassen des 2Ωwcosφ-Terms in der ersten Komponente, also.

,

1hh h R h

dvp fk v f

dt

hv

s

n

hh

hh

hh h

dv dv s

dt dtdv ds

s vdt dt

v dsv v s v

t dt

natürliches Koordinaten- system

5

zur Erinnerung: Navier-Stokes-Gleichung

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

oder komponentenweise

,

,

,

1 2 sin cos

1 2 sin

1 2 cos

R x

R y

R z

du u u u u pu v w v w f

dt t x y z x

dv v v v v pu v w u f

dt t x y z y

dw w w w w pu v w u - g f

dt t x y z z

,

,

1 2 sin

1 2 sin

R x

fv

R y

fu

du u u u u pu v w v f

dt t x y z x

dv v v v v pu v w u f

dt t x y z y

nur Horizontalkomponenten und Vernachlässigung von wcosφ

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lokalzeitl. Richtungs-AdvektionänderungÄnderung

Betragsänderung derWindgeschwindigkeitentlang der Windrichtung

2h

h hh

vdv v ds

s s vdt t s dt

6

Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem

hv

s

n

0

h s

n k

h hh h

s

hn h h

k

h hs h

v vv v

dv v dsv v s v

dt t dt

svv ds

v v s vnt dtv

k

v v dsv s v

t s dt

?dt

sd

natürliches Koordinaten- system

… mitProduktregel

7

Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem

:dt

sd

R

Δφ

)( 0ts

)( tts 0

Rl

nsss

ssss

s

tsttss

c)

|| b)

da , a)

)()(

1

00

s

s

n

n

R>0 R<0

nR

vn

t

l

R

ntt

s

dt

sd

h

v

ba

h

1

c

)),

dt

sdvs

s

v

st

v

dt

vdh

hhh

2

2

22

BeschleunigungBeschleunigungquer zur Bahnentlang der Bahn

(Zentrifugalbeschl.)

2h

h h h

vdv v v

s s ndt t s R

s

Δl

Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist!

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Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem

nR

vs

s

v

st

v

dt

vd hh

hh 2

2

2

Weitere Annahmen: a) Stationarität →∂vh/∂t=0b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn →∂(vh

2/2)/∂s=0

nR

v

dt

vd hh 2

2

,

1hh h R h

vn p fk v f

R

nRhh

R,s

ffvn

p

R

vn

f s

ps

, :

:

1

10

2

Annahme: Keine Reibung senkrecht zur Strömung (sinnvoll da vn=0)

Reibung und Druckgradient kompensieren sich parallel der Strömung.

Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich senkrecht zur Strömung

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Fallunterscheidung und BezeichnungenJe nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.

Druck-gradient

Coriolis-Beschl.

Reibung Zentrifu-gal-

beschleu-nigung

geostrophischer Wind

synoptische SystemeGradientwind

zyklostrophischer Wind Staubteufel

TrägheitskreisGrenzschichtstrahlstrom

antitriptischer Wind Äquator

hh

R,s

fvn

p

R

vn

fs

ps

:

:

1

10

2

10

Übungen zu VI.3.11. Welche Vorteile hat die Einführung des natürlichen

Koordinatensystems und welche Approximationen wurden bei der Ableitung der Bewegungsgleichung in diesem Zusammenhang gemacht?

2. Schätze die Größenordnung der Terme der Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem für Tiefdruckgebiete ab (Skalenanalyse).