Einfhrungin die
I Vektor- und Tensorrechnung
nachderVorlesung von Prof. Paul Wagner lnstirutftir
Experimentalphysik Universitt Wien
Inhaltsverzeichnrs1 2
Einfhu]ls Der efil1e Vektorraum 2.I Summevon Vek'o 2.2 Produkt
einesVektorsmit einemSkala.r EUKLIDscher Vektorraum
1 3 3 3
5 5 5 7 7..
3.1 Skalars Produkuweier Vektoren. . . 3.2 Realisierungen
Volumen und Winkel 4.1 Eimchub:Dererminanten 4 . 2 V o l u m n d i
n k e. l. . . . . . . u W 5 Vektorbasen nd VektorkompoEentn 6 Ko-
und kontraa?riante 7 Tfnsformationsv$halten 8 Tensoren 9
Tensoralsebra 10 Pseudotensoren 11 \/ektolie|le3 Produkt
VektorbaseD
811 lz 2l 25 27 33 zT 4a ........41 ..._....... ......42 43
42
12 Tensorfelder, Flu und ZirklatioD 12.1 egitrtegal W r 2 . 2O b
e r f l . h e n i n t e s r a . l 12.3 olumsintegra.l V 13
Vektoranalysis
IV 14 Integralstze 14.1 eginte$al W 14.2 berflihhenintegrat O
14.3 olumsintegral Y 15 Anwendung in der Physik 1 5 . 1Z u s a m m
e n h n g e ne n g e n . M de 1 5 . 2D a s , i - F e l d i n e s t
r o m d u r c h d o s s l e i e n nt 15.3Das t-Fetd
einerelektrischen Pnktladuns 1 5 . 4F e s t k r p e r - R o t t i
oi nb l. . W r, 1 5 . 5 l l s e i t i g ea s t i s c hu s d e h n u
n g A el A e
IN}IA LTSVERZEICHNIS 4E ........ ............47 ......48 4s
.....49 ........ ...... .....54 ............ 55 S0 52 4b
EinfhrungSkalare: M*se, Temperatur,Dichte, . . . (raft, . . .
Beschleunigune, Vektoren:Gechwindigkeit, Drehimpk . . mit
Schraubenregel Pseudovektoren: Tensodelle sind vom Bezugssystem
unabhngig, kann6ichdabeium Ska. es Gren la.e, Vektorenoder Tensoren
hhererOrdnung handeln. Ein Naiurgesetz stllt eineBeziehung
tensoriellen zwischen Gren und ist somit her vom Bezugssyst"m
ebealalls unabhangig, B.: ?i = n Da rensorielle z. Grenvom
Bzugssystem unabhngig sind, ist illl Tlansformationsverhtten
entscheidend. Bemerkung Unter dem Symboly't soll im loleenden Text
sieis die positiveWurzel verstanden
IT 1TEL 1. EINFHRUTYG AP
Kapitel 2
Der affine Vektorraunr2 . L Summe von Vektoren
Abbildung 2.1:Parallelogramm*Ilegel
a+t=i+dd+{o+cl=(a+01+c
(Kommutativitt) (Assoriaiiviii) (neutra]es Elemeat)
(inversesEiement)
(2.1)
AbbilduB 2.2: Inverses Dlmeni
2.2 Produkt eines Vektors mit einem SkalarAbbildung2.3:Vektormit
einemSkalarmultipliziert
Rechenregeln: a(Bd) = (ap)d a'BR
(a+B)d=d+Pa d,BR d @ + i ) = d d +a i arREine Menge von
Elmelter, lr die die Rechenregeln und 2.2 erkl2irt sind, aennt 2.1
man einn dfinn Vektornun. amnerVektonaum = {s-,t,. ..lRchemegeln
und 2.2 erklrt} 2.1
KAPITEL 2. DER AFFINEVEI{TORRATJM
Kapitel 3
EUKLIDscher Vektorraum3 . 1 SkalaresProdukt zweier Vektoren
Produkt Abbildung3.1: Skalares
. b= o A .o B ,
oB,oF=oa,oato d,.D-ata ol
).triat=t).;i+ta.alo.o=u,0DeueDlg ? o=u
(3 ) 1
= EIrKLIDscher vekiorraum {4 .. .lRechenreseln 2.2und 3.1erklri}
2.1,
3.2
Realisierungen
1. Vektoren der AEschauuns (serader Strich mit Pfeilspitze) 2.
Tiipel rceller Zallen d = (at , a,, a3) b = (h, b,, b3) , + b = (at
+ bLa2 + b2,q + 6)1 . o-(.\d1,.\a',.\d3)
0= (0,0,0) (-{) = (-or, -oz, -as) = (dr1 + a,! + dB3)
KAPITEL 3. IUK LIDSCHER VEKTORRAUM
Kapitel 4
Volumen und Winkel4.L Einschub: Determinanten
Eine Matix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eeispiel 1 (4 x
3-Matrix) /0 5 -8 3 \
I z z r r -s6 Il\ 1 4 o
Im folgenden sind nur quadratische Matrizen vor Interesse.
Beispier 2 (2 x 2-Matrix)
a " ' t . ' r 1 . \ =dJ"= " a - 0 " i1lvs \,/ lcMerk6atz 4.1
(Regel von sanusr) Diese Regel, um die DetermiDant zu berechnen, li
sich nur bei 3 x 3-Matizer I a,, a," a,. \a'. a,"
,-. ---'-,--X.'X ,./-- = drrd?zd3J at2o23a37 oox d32J w\ |
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