EINFULH RUNG DIE ALGEBRA WS 2016/17 - mathematik.uni-kl.delassueur/en/teaching/EALG1617/... · EINFULH RUNG IN DIE ALGEBRA WS 2016/17 WOCHE 13: Hauptsatzder Galoistheorie: Beispiele

EINFULH RUNG IN DIE ALGEBRAWS 2016/17

WOCHE 13 : Hauptsatzder Galoistheorie : Beispiele

CAROLINE LASSUEUR

TU KAISERSLAUTERN

SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and Gi=Gal( 4k ) .

HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .

M ¥ > Gal( 414 )LH¥

H

SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .


M ¥ > Gall 414 )LH¥1

H

¥1



M

¥> Gall 414 )

LH¥H

¥1

:Y

K



M

¥> Gall 414 )

LH#H

¥1L

IM

~

K

Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungund G :=Ga1( 4k ) .

HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( 4k ) isteinebijektion .

M

¥> Gall 414 )

LH¥H

¥1[ GAKLIK ) = G

M ¥GAKHM )K

Gal(4L)=fId

, }

Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .


M

¥> Gall 414 )

LH

#H

¥1[ GAKLIK

)=G16 :Gal( YM )|

M ¥GAKHM )IGAKYMHK

GAKLK

)=fId , }

(Cyan .Index )

Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Ga1( 4k ) .


M

¥> Gall 414 )

LH

#H

¥1[ GAKLIK

)=G[L:M]=IGa1(YMH 16 :Ga1( YM )|

M ¥GAKHM)=±HIGAKYMH

K

GAKLK

)=fId , }

(Cyan :=Grad ) (Cyan: Index )

Seilfkeineendlichegalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .


M

¥> Gall 414 )

LH

#H

¥1[ GAKLIK

)=G[L:M]=IGa1(YMH IG :Ga1( YM )|

M ¥GAKHM)=±H[M :K]=lG :Gak4MH IGAKYM)|

K

Gal(4L)=fId

, }

(Cyan -Grad ) (Cyan. Index )

SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Ga1( 4k ) .


M ¥ > Gall 414 )LH#

H

¥1



M ¥ > Gall 414 )LH#

H

¥1G=GaK4K )

:=IIdi}



M¥> Gall 414 )LH# H

¥1G=GaK4K )¥H

1=IIdi}

Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungund G :=Gal( 4k ) .


M

¥> Gall 414 )

LH#H

¥1

a

=L G=GaK4K )

5E ' I Hd=K

1=lId , }



M

¥> Gall 414 )

LH

¥H

¥1

ii.

L G - GAKLIK )

IG :H1

EE ' I H

IHIC=K1=lId , }

(Cyan .Index )



M

¥> Gall 414 )

LH

#H

¥1

ii.

L G - GAKLIK )

[ LI' ]=lHI IG :Hl

EE ' I H

IHIC=K1=lId , }

(Cyan -Grad ) (Cyan. Index )

Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Ga1( 4k ) .


M

¥> Gall 414 )

LH

¥H

¥1

a

=L G=GaK4K )

[ LI' ]=1HI IG :Hl

5E ' I H

[ E :K]=lG:HI IHIC=K1=lId , }

(Cyan :=Grad ) (Cyan. Index )

Beispiel : K=Q

Beispiel : K=Q,L = QGYI .

w ] mit w=e2"% ( w3=1 )


w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )

L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]

3-2=1×-411/1 . walk. oh ) E Ux ]


w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )


3-2=1×-4 ) ( × .walk . oh ) E Ux ]Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2

Beispiel : K=Q,L= QGYI .

w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )


3-2=1×-411/1 .

walk. oh ) E Ux ]

Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2

⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwinW 1- ) W

T : he - s 3rdW 1- )

W2=w-


w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )


3-2=1×-4 ) ( × .

walk. oh ) E Ux ]


⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwin- w it W

E 53 T : in it 'veW 1- )

W2=w-

Beispiel : K=Q,L= QGYI .

w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )


3-2=1×-52 ) ( × .

walk. oh ) E Ux ]


⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwin- w it W

E 53 T : in it 'veW 1- )

W2=w-

Die Galoiskorrespondenzsieht so aus :

Beispiel : K=Q,L=Q[ II. w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )


3-2=1×-411/1 .

walk. oh ) ELK ]


⇒ Gal ( 4k )=< r ,t > wobei o : 3h itwin- w it W

E 53 T : he it 'veW 1- )

W2=w-

Die Galoiskorrespondenzsiehtso aus :

S}

< I > c to > < tr > < r >

{ Id. }


L= Zerfallumgskorperdespolynoms3- 2eQ[ ]

3-2=1×-411/1 .

walk. oh ) E Ux ]


⇒ Gall 4k )=< r ,t > wobei o : 3h -win- w it W

E 53 T : in it 'veW 1- )

W2=w-

Die Galoiskorrespondenzsiehtso aus :

QGYI .w ] s

}

#

QEKY Of air ] Of cityQ[at at > ceo > car > < r >

I

Q { Id. }


L= Zerfallumgskorperdespolynoms3- 2eQ[ ]

3-2=1×-411/1 .

walk. oh ) ELK ]


⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei 0:52 -win cordnung = 2)- w it W

E 53 T : 3vI - s 527 C Ordnung =3 )W 1- )

w2=w-

Die Galoiskorrespondenzsiehtsoaus :

QGYI .w ] s

}

22 2 3 3 3 3 2

#

QEKY Q[ air ] Of cityQ[at at > ceo > car > < r >I

z3 3

z z2 2

3

Q { Id. }

[ cyan = Grad ] [ cyan -. Index ]

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