Math. Nachr. Bd. 90, 287-278 (1979)

Einige Abschatzungen fur die Symbolrechnung von Pseudodifferentialoperatoren im Malbraum

Von WOLFGANG HOPPNER in Berlin

(Eingegangen am 13. 3. 1978)

Einleitung

Untere Abschatzungen der Norm eines Pseudodifferentialoperators durch sein Symbol werden in der Literatur an verschiedenen Stellen behandelt. L. HORMANDER beweist in [8] dazu den folgenden Satz.

1. Sei ferner r (x, 5 ) = 0, wenn x auperhalb einer kolrvpakten Menge liegt. Dann gilt fur die La-Operatornorm von r(x, D )

(A)

Sei r(x, 5 ) ein Syrnbol der Klasse q,d(Rn), 0 5 8 < e

inf I Ir(x, D ) + KI I = 1% sup r (x, 6) , K w z

wobei d m Infimum uber alle vollatetigen Operatoren K ; La -+ L2 genmmen wird. Fur andere Symbolklassen wurden entsprechende Aussagen u. a. von I. C. GOH-

BERG [6], J. J. K o m und L. NIRENBERG [9] und R. T. SEELEY [ll] bewiesen. Die Formel (A) ubertragt sich auf Pseudodifferentialoperatoren, die zwischen den Schnitten HERMITEscher Vektorbundel auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten operieren, und sie liefert dabei insbesondere die Stetigkeit der Symbolabbildung (s. M. F. ATIYAE und I. M. SINGEX [l]).

Beim Studium elliptischer Randwertprobleme treten neben Pseudodifferential- operatoren weitere Operatoren auf. I n der Terminologie von L. BOUTET DE MONVEL [4] sind das singuliire GmENsche Operatoren, PoIssoNoperatoren und Spuroperatoren. Die Symbolrechnung erweitert sich, indem neben dem gewohnlichen, dem inneren Symbol, noch sogenannte Randsymbole auftreten. Das sind Familien von WIENER- Horn-Operatoren, auf der Halbgeraden. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Auf- stellung von Abschatzungen der Form (A) fur diese erweiterte Symbolrechnung.

Die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren auf berandeten Mannigfaltigkeiten wurde entwickelt von M. I. VI~IIC und G. I. E s m [12], [13], [5] sowie von L. BOUTET DE MONVEL [2], [3], [a]. Wir werden uns im wesentlichen auf die in [a] verwendete Terminologie stiitzen.

Die vorliegende Arbeit ist gegliedert in drei Kapitel. I n Kapitel 1 treffen wir einige technische Vorbereitungen. I n Kapitel2 geben wir Abschatzungen fur die inneren Symbole an, und in Kapitel 3 beweisen wir Abschiitzungen fur die Randsymbole.

1. Vorbereitungen Fur Pseudodifferentialoperatoren werden wir im weiteren die Abkurzung PDO ver-

werden. Ferner beschrkinken wir uns im weiteren der Einfachheit halber auf solche Symbole der Klasse Sm, m E R, (s. [8]), die asymptotische Entwicklungen a(z, E )

268 Hoppner, Einige Abschltzungen

W - 2 E ) zulassen. Dabei sind die Symbole a&, f ) positiv hoinogen vom Grade

Ilk (2, + -00) in f . Hierbei bezeichnet a&, l ) = o(a) (z, E ) (Ao = m) den Hauptteil von a(%, 6). 1st a(%, E ) ein Symbol, so bezeichnet A = a($, D) den assoziierten PDO,

k=O

h ( s ) = (2..-)-" J' ei(+%(z, f ) G(5) d6, u C,"(Rn).

Entsprechend werden wir fur o(a) manchmal auch a(A) schreiben. Fur die FOURIER- transformation haben wir die Definition

C(6) == J e- ' (E.sr )u (Y) dy,, ZL E Q,"(R"), gewahlt.

In den SoBoLEvraumen H , = H,(R*), s E R, verwenden wir die Norinen

ll4C = (2n)kn j- (1 + 1f12)8 lG(E)12 d5.

Mit R: bezeichnen wir den oberen Halbraum,

R: = (Z = (z,, ..., 5,) = (z', 5,) E R", 2, > 01.

Fiir 11: werden wir manchmal auch 9 schreiben. Den Raum der Distributionen aus H,, deren Trager in liegt, bezeichnen wir niit B,(F). &,(RT) ist ein abgeschlossener Unterraum von H, (6. z. B. [7]) und wird niit der Ha-Norm versehen. Der Raum CF(R:) ist uberall dicht in B,(E+). Entsprechend sinddie Raume R: und a,(@) definiert. Der SoBoLEvraum H8(R",) wird als Faktorraum H,(F) = H,/&,(@-) definiert. I n H,(F) wird die Faktornorin \lull: = inf I\Ol\s verwendet, wobei das Infimum uber alle

U E H , genommen wird, deren Einschriinkung auf R: mit u iibereinstimmt. Der Raum C,"(q) ist iiberall dicht in H8(RT).

mit einer Funktion aus dem SCHwARTZschen Raum Y(R) ubereinstiminen und auf R- ver- schwinden.

Mit H bezeichnen wir denvektorraum aller komplexwertigen Funktionen f (t) E C"(R), fur die eine ganze Zahl p existiert, so daD (z + 1)P f ( (1 - z ) / ( i + iz)) E G"(S1). Mit Hf bezeichnen wir den Unterraum derjenigen Funktionen aus H , die eine analytische Fort- setzung in die untere Nalbebene besitzen und im Unendlichen verschwinden. Ein Komplement zu H+ in H ist H-, der Raum derjenigen Funktionen aus H , die eine analytische Fortsetzung in die obere Halbebene besitzen. Mit h+ (bzw. h-) bezeichnen wir die Projektion von H auf H+ (bzw. H-) langs H- (bzw. H+). H+ ist das FoURIERbild

1st f reell-analytisch und im Unendlichen meromorph, so setzt man 1 f = 1 f(t) d. = / f (t) dt, wobei y einen hinreichend groBen Kreis in der oberen Halbebene bezeichnett

Diese Operation besitzt eine natiirliche Erweiterung auf H . 1st f integrierbar, so wird

I/ = / f(t) dt. Weiterhin hangt [ fg fur f E H+ (bzw. f E H-) nur von h-(g) (bzw.

U

Mit Y(F) bezeichnen wir die Menge derjenigen Funktionen, die auf

von Y(K) (s. [4]). f f

Y

+ 4-

R h+(g)) ab (s. ~41).

Hoppner, Einige Abschiitzungen 269

I n H+ fiihren wir verschiedene Normen ein. Wir bezeichnen mit L ( t ) die Punktion L ( t ) = 1 - it. Diese Punktion liegt in H-. Ebenso liegen die Potenzen AE(t ) = (1 - it)" fur m E Z in H-. Fur s E Z, f E H+, definieren wir die Normen I I I f 1 I I s durch

IIIrlrl: = (2n)-l J Ih+(x#) (t)I2 R

Dabei handelt es sich im wesentlichen um die FommRtransformation der H8(&)- Norm. Mit (El+), bezeichnen wir die Vervollstiindigung von H+ beziiglich der Norm I I I. I I IS. Damit werden die Riiume (H+), zu HILBERTraumen. Wir bemerken, daB durch (IT+), 3 f + h+(Aflf) E (H+)S-m, 8, nt E Z, Isometrien definiert werden.

SchlieBlich treffen wir noch eine Verabredung iiber die Norm in direkten Summen von HILBERTriiumen. Sind El, ..., EN mBERTraUme, so wird E = E, @ -. - @ E N

durch lle112 = 2 llei1[2, e = (el, . . ., eN), el E E j , ein HlLBERTraUm. Wir werden direkte i

Summen stets auf diese Weise mit einer Norm versehen. Die direkte Summe von N Exemplaren eines Raumes E bezeichnen wir mit EN.

2. Abschgtzungen fur das innere Symbol

Es sei a(z, f ) = (a&, f ) ) eine N x N-Matrix von Symbolen von PDO der Ordnung Null in Rn, a(%, f ) verschwinde, wenn z auBerhalb einer kompakten Menge liegt. Be- zeichnet p den Operator der Einschrankung auf R", so wird durch

eine stetige Abbildung AD : L2(R",N -+ L2(R",M definiert. Es sei weiter b(z', E', t,, q ) = (bj&', t', t,,, 7)) eine M X N-Matrix von Symbolen

singularer GREENSCher Operatoren vom Grade 0 und vom Typ 0 (8. [4]). Die Matrix b(z', E', f n , q) verschwinde, wenn (z', 0) auBerhalb einer kompakten Menge liegt. Dann

sind die fur z E RT durch Bjkw(z) = (27~) -~1 ei(zJ)dt, J bi&', t', f,, q) 6( t ' , q) dq definierten Operatoren Bib : L2(RY) + L2(R$) stetig, und entsprechend wird B = (Bjk): L2(R",N --f L2(RT)M stetig.

+ + dt '

Satz 2.1. Fur jeden kompakten Operator K : L2(R",N + L2(R;)M gi l t

llAD + B + KII 2 SUP lo@) (2, El l - XED

(2.1)

Babei bezeiehnet /a(cc) (5, E ) / die Norm der Matriz (o(uik) (5, c)). IEl=1

Beweis. Wir zeigen: Gilt fur alle u = (ul, ..., uN) E C r ( Q ) N

(2.2) IIAPU + Bu + K4l2 2 a2 1142, so folgt OL 2 lo@) (z, 81, z € Q, IEl = 1.

Es seien die Punkte zo E Q, to E R", Itol = 1, beliebig aber fest gewiihlt. Sei weiter w(z) E C?(Q), t = (tl, . . . , tN) E CN. Wir definieren die Punktion u = (u], . . . , uN) E C;(Q)N durch uk(x) = t k - w(z), k = 1, ..., N . Dann ist llulg = Ilwlli . Weiterhin betrachten

270 Hoppner, Einige Abschiitzungen

wir fur 1. > 0 die Funkt,ionen

ul(z) = I , ~ / A - Z L ( (z - zo) I>/z) . ei{zJEo).

Dann gilt IluAllo = / I U / / ~ , und die Folge u1 konvergiert fur L -+ co in J Y ( Q ) ~ schwach gegen Null, woraus I ~ K u ~ ~ / ~ --f 0 folgt.

Weiterhin werden durch b(x', f ' , t,, 7) - und i-q(a/ay)q b(x', Z', t,, 7) gleiche singdare GREENSche Operatoren definiert (s. [4]). Daraus folgt, daB die Einschrankung von B auf L2(X)" fur kompaktes X 2 8 vollstetig ist. Nun liegen die Trilger der Funktionen ? L ~ , A > 0, alle in einer kompakten Menge, so da13 II-BU.~I[~ -+ 0 folgt. Aus (2 .2 ) ergibt sich daniit

(2.3) - lim IIAnullli a 2 l]ulf, = a2 - llwll," . l t 12 . I*

Das weitere folgt bekannten Mustern (8. z. B. [S]). Es sei jedoch der Vollstandigkeit halber hier durchgefuhrt. Es gilt

cn( t ) = , - i ( z , , ~ - - . ~ , ) ~ - n / i a ( (6 - &zo) . 2 4 2 ) .

Daraus erhalten wir

a(z, D) un(s) = ?."'4 . uI((x - zo) - I.1'2) - ei(z*iEo),

q ( z ) = (2n)-n J a(xo + 5 . N z , wobei

+ q ~ 1 / 2 ) - ~ ( 7 ) - ei(3.q) dq .

Der Integrand ist beschrankt durch const. lC(q)l und konvergiert fur 1 --f 00 punkt- weise gegen a(a) (zo, lo) - ~ ( 7 ) - e'(2.q). Nun gilt mit rl = -so, . ~ 1 ' 2

00

= 2 J ~ n / z / u ~ ~ ( ( x - z0) . P ) J ~ ax = J c j l ~ ~ ~ ( ~ ' , z,y ax, dzi i n R*-' j r i

2 2 J Ivj1(z)12 j Q

Xach dem Lemma von FATOU und wegen (2.3) erhalten wir

2 J 1; a(ajk) (~0, t o ) uk(5) 5 J 2 1 v j 1 ( ~ ) 1 ~ i n I 1 - . j

- 5 liin llAQu~ll~ 5 O L ~ IJull:, oder

I -wa

llwlli - 2 12 aT(a,k) (50, to) f 1 2 2 or2 liwll,' PI2, und das heiBt la(ajd (xo, to)l S OL, was zu beweisen war.

Der soeben bewiesene Satz 2.1. laBt sich verallgenieinern auf Operatoren beliebiger Ordnung. Es sei also A = a(%, D) eine ikl x N-Matrix von PDO der Ordnung m, m E Z. Sei weiter B eine M x N-Matrix von singularen GmENschen Operatoren vom Grade m und vom Typ r (s. [4]). Das Symbol von A moge verschwinden, wenn z auaerhalb einer kompakten Menge liegt, entsprechend verschwinde das Synibol von B, wenn (d, 0) auBerhalb einer kompakten Menge liegt. Dann ist der Operator An + B : 8 , ( a ) N

1 k

Hoppner, Einige AbschPtzungen 271

-+ H8-m(0)a1 stetig fur s > r - 1/2 (8. [4]). Sei weiter K : &,(a)N -+ Hs-,,,(G)M voll- stetig. Wir setzen die Ganzzahligkeit von s voraus.

Entsprechend sei A: der PDO mit dem Symbol ((F) - iEn)t. Hierbei haben wir die Abkurzung (F) = (1 + ]5'[2)1/2 verwendet. Wir benotigen das

Lemma 2.2. Die Operatoren A\ und A: bilden H , isometrisch auf HsWt ab. Es gilt A:(&,(D)) = B,-,(a) ud AL(&,(@)) = as-,(S-). Durch u +pAf_lu wird eine Iso- metric von H,@) auf H,&) definiert. Dabei bezeiehnet 1: H8(D) -+ H, einen beliebigen Portsetzungsoperator.

Fur den Beweis von Lemma 2.2. verweisen wir auf [5]. Aus Lemma 2.2. folgt nun

Weiter bezeichne At, t E Z, den PDO mit dem Symbol ((5') +

[\An + B + KII = I I ( L I ~ - ~ A A T ~ ) ~ + pA~-"lBATS + pAL-mZKA,S(I.

Weiterhin gilt IcT(A:) (2, E ) / = /E l t , und PAS-"ZBA;~ ist ein singularer GmENscher Operator vom Grade 0 und vom Typ 0 fur s > r - 1/2 (5. [a]). Damit wird Satz 2.1. anwendbar, und wir erhalten den

Sat2 2.3. Es sei A eine M x N-Matrix von PDO der Ordnung m, m Z, B sei eine MXN-Matr ix vim mhgularen GREENschen Operatoren v m Grade m und v m T y p r. Das Symbol vim A (bzw. B) w e verschwinden, wenn x (bzw. (x', 0) ) auperhalb einer kmpakten Menge liegt. Dann gilt

inf [I& + B + W l 1 SUP (2, Ell K El2

1€1=1

wobei das Infimum iiber alle vollstetigen Operatoren K : &,(a) --f H,-,,,(a) g e w m m n wird. Dabei ist s e k e ganze Zahl, s > r - 112.

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo unser PDO A (ord A = m) die Trans- missionseigenschaft bezuglich R"l besitzt (8. [4]), was wir von jetzt an voraussetzen wollen. Bezeichnet nlimlich fur u E C?@) uo die Funktion

so wird durch AQu = pAu, eine stetige Abbildung von C?@) in Cw(a) definiert, die stetige Erweiterungen An : H,@) -+ Hs-,,,(D), s > -1/2, besitzt.

1st B ein singularer GREENscher Operator vom Grade m und vom Typ r , so ist B : C,"(B) -+ C"(0) stetig. Verschwindet das Symbol von B, wenn (x', 0) auBerhalb einer kompakten Menge liegt, so besitzt B stetige Erweiterungen B : Els@) 4 Hs-,,,@), s > r - 1/2. Nun gilt fur u E s > -l/Z, die Abschiitzung ]lu]l: S [Iulla, so da13 wir aus Satz 2.3. den folgenden Satz erhalten.

Satz 2.4. Es sei A eine M x N-Matrix von PDO der Ordnung m mit Transmissions- eigenschaft beziiglich R*l, B sei eine M x N-Matrix von singularen GREENschen Operatoren u r n Grade m und vom T y p r. Das Symbol von A bzw. B mijge verschwinden, wenn x bzw. (x', 0) au,Oerhalb einer kompakten Menge liegt. Dann gilt

inf IlAa + B + Kll2 SUP Ida) (x, 511 K ZEQ

I E l = l

(2.4)

272 Hoppner, Einige Abschatzungen

wobei das Infimum fiber alle vollstetigen Operutoren K : H s ( f i ) N -+ Hsam(.(-i)M genommen wird, s > r - 112.

Wir fragen, ob in (2.4) sogar das Gleichheitszeichen stehen kann. Diese Frage ist natiirlich nur dann berechtigt, wenn der Grad von B kleiner als m ist, denn genau dann ist B vollstetig (s. [4]). Wir diirfen also B = 0 voraussetzen.

Satz 2.5. Sei A ein PDO der Ordnung m E Z, dessen Symbol a(x, E ) verschwidet, wenn x auperhalb einer kmnpakten Menqe liegt. Sei weiter pAu = 0 fur u E CT(R1). Dann ist A, : H,(G) -+ stet@ fur s > -112, und es gilt

(2.5) inf liAn + RIl = SUP Ida) (2, E l l 9

K ZEI) I C I = l

wobei das Infimum uber alle vollstetigen wird.

Beweis. Sei L : H , -+ Hs-m vollstetig, setzungsoperator. Dann gilt fur u E H,(.(-i)

Operatoren K : H,@) -+ Hs-m(G) genommen

sei weiter 1: H,@) -+ H , ein stetiger Fort-

woraus llAD + pUl1 5 llA + LI/ folgt. Daraus folgt inf /[AR + K [ [ 5 inf IjA + L[[. Das

rechts stehende Infimum ist bekannt, es ist gleich sup lo(u) (2, 5)1 (8. z. B. [9]).

Andererseits hangt inf /[Aa + K / / nicht vom Verhalten von u(z, f ) fur x, < 0 ab, so

daB inf llAn + R/j 5 sup la(u) (5, ,$)I, was zu beweisen war.

K L

ZER" I P I = l

K

K ZER It.l=l

Wir bemerken, dali die Voraussetzungen von Satz 2.5. fur die Minusoperatoren im Sinne von E s m [5] erfiillt sind, also z. B. fur Differentialoperatoren. Man kann zeigen, daB die Formel (2.5) auch fur die Operatoren gilt, deren Hauptsymbol fur x, = 0 verschwindet. I m allgemeinen gilt die Abschatzung (2.5) jedoch nicht. Ein Gegen- beispiel liefert der Operator

3. Abschiitzungen fiir die Randsymbole

Es sei A ein PDO der Ordnung m mit Transmissionseigenschaft bezuglich Rn-l, a(z, E ) sei sein Symbol. Weiter sei B ein singdarer GREENsCher Operator vom Grade m und vom Typ r. Wir setzen voraus, daB das Symbol b(x', t', En, q ) von B eine asymp- totische Entwicklung in homogene Symbole besitzt, o(b) = o(B) bezeichne den Haupt- teil. Dieser ist dann positiv homogen vom Grade m - 1 in den Veranderlichen ( E ' , En, q). Dem Operator A + B wird sein Randsymbol aan(A) + oan(B) folgendermalien zu- geordnet. Zu jedem (z', E') E Rn-l x Rn-l, 16'1 = 1, wird der Operator can@) (z', t') + oan(B) (z', E') : H+ + H+ definiert durch oen(A) (x', E ' ) / ( E n ) + oa,(B) (x', E') f(6,)

= h,'nt+) (z', 0, t ' , t n ) / ( E n ) ] + (24-l 4 6 ) (x', E', t n , 7) f ( r ) drl. Das Randsymbol oad.4) + oan(B) ist also eine Familie von Operatoren, die H+ in H+ abbilden, und diese Familie

+

Hoppner, Einige Abschatzungen 273

ist parametrisiert durch die Punkte (x', E') (9. [4]). Wir bemerken, daB die Rand- symbole Erweiterungen zu stetigen Operatorfamilien zwischen den Raumen (H+)s und (H+)s-,,,, s > r - 112, besitzen.

Satz 3.1. Es sei A = (AIk) eine M x N-Matrix von PDO der Ordnung 0 mit Trans- rnissionseigenschaft beziiglich R*I. Weiter sei B = (Bib) eine M x N-Matrix von singularen Gmmschen Operatoren vom Grade 0 and vom Typ 0. Die Symbole von A bzw. B rn6gen verschwinden, wenn x bzw. (XI, 0) u u ~ e r h a ~ einer k ~ ~ a k t e n Menge liegt. Dann gilt

274 Hoppner, Einige Abschatzungen

Xach Koordinatentransformation ergibt sich

a(s, D) (2:1 @ + qvn 0 un) = 3~+1)'4 . ew~c:) . wA((xl - x;) . ill 'z, ax.). Dabei ist

w1 (Z', z,) = (2n ) -n J ei(z'J') . . ~(6') . . i j , ( f , )

xa(a-1'2 . x' + xh, 1-l - x,, Al l2 6' + At ; , A t n ) atf d t n ++

+ (zz)-&1 j ei:z',t') jj ei2.E. . qj(5') . &(r) x il - b(3,-1'3 x' + x;, all2 - l' + E;, I f , , , Aq) dq d5, d6'.

Sach dem LEBEsGnEschen k(onvergenzsatz folgt

lim w2(x', x,) i-xs

= v(x') . (2j7)-1 J eiznln . ~ ( a ) (z& 0, E;, E n ) * c(6n) d5n ++ + ~ ( 5 ' ) - (274-2 f j eizd* * ~ ( b ) (z:, ~ 6 % ts, 11) = ~ ( 9 ) d q d E n -

Bezeichnen wir mit F die FonmRtransformation auf R, so folgt nach dem Lemma von FATOU und wegen (3.2)

11~110 * llF-lh+uan(A) k h , t3 F u + Jl-l%?W @;, 5%) J l 4 l o s lim l lWill0

= 1 6 IIAdv1 (3 u1) + B(v2 0 m ) l l o 5 * Il~110 . llullo, 2-

I+W

also IIF-l[h+uan(A) (xi, ti) + uan(B) (4, (;)I Putlo 5 a . I l d l o -

Nun liegt das FoumRbild von C,"(R+) in (H+) , iiberall dicht, so daB aus der PABSEVAL- schen Formel die Behauptung folgt,

Sei jetzt A = (A$) eine M X N-Matrix von PDO mit Transmissionseigenschaft, ord A = m. Sei B = (B,k) eine M X N-Matrix von singulgren GREENschen Operatoren vom Grade m und vom !Cyp r. Die Voraussetzungen von Satz 3.2. uber die Trager der Symbole von A und B seien erfullt. Dann ist AD + B : --+ H , - , ( b ) M stetig fur s > r - 112. Wir setzen s und m als ganzzahlig voraus. 1st nun K : H , ( b ) N --f Hs-m(G)M vollstetig, so gilt nach Lemma 2.2. \[An + B + KII = Il(A"m)a (An + B + K ) ( L I : ~ ) D ~ ] ,

wobei rechts die (L2(o)N -+ L2(b)++f)-Operatornorm steht. Wir bemerken, daR (A:-), An(f lIs) f (As-m)n B ( ~ l 1 ' ) ~ - (Ay-mAAIS)n eine Matrix singdarer GREENscher Operatoren voin Grade 0 und vom Typ 0 ist (s. [4]).

Nun gilt fur x' E RG1, 16'1 = 1,

UaQ[(A?)Q

= uaa(A?') (z', E ' ) . ~ a n ( A + B ) (x', E ' ) * uan(A?) (z', 6') f B, ('41'))Ol (x', E ' )

(s- [4]) - Weiter gilt fur f E H+, q E Z,

u8Q(A!-) (z', 5 ' ) f ( t ) = h+(A?/) ( t ) J

so da13 durch oan(As-) (x', E ' ) (bzw. U ~ ~ ( A ~ ~ ) (x', t')) eine Isometrie von (If+),-, auf (H+) , (bzw. von (EZ+)o auf gegeben ist. Aus Satz 3.1. erhalten wir damit die

Hoppner, Einige Abschatzungen 275

Folgerung 3.2. Es gilt

inf IIAQ + B + KII 2 SUP IlluadA + B ) (z’, 5’)lll.

Dabei wird das Infimum uber alle vollstetigen Operatoren K : + Hs-,,,(a)M ge- rwmmen. Links stehtdie (H,(f2)N +- H,-,(S)M)-Operatornorm, rechts die ((I$+): --f (H+)zm)- Operatornorm.

K Z’JP’I =1

Bemerkung. Die obige Abschatzung gilt im allgemeinen als Ungleichung, denn im Falle a(A) (z’, 0 , t ) = 0, B = 0, steht auf der rechten Seite Null, auf der linken Seite jedoch eine positive Zahl.

Wir gehen uber zur Betrachtung von POISSONoperatoren. Es sei P ein POISSON- operator vom Grade 1/2 (9. [4]). Das Symbol p ( d , 5) von P moge verschwinden, wenn (z’, 0) au5erhalb einer kompakten Menge liegt, auBerdem sol1 p(z’ , E ) eine asymptotische Entwicklung in homogene Symbole besitzen.

Dann wird durch

~ u ( z ) = (2nl-n JJ ei(*J) * p(z’, E ) ~(6’) df’ d5,

eine stetige Abbildung P : Cr(R;-l) --f Cr(a) definiert, die eine stetige Erweiterung P : La(RL1) --f L2(Q) besitzt. Bezeichnet a(P) (d, E’, En) das Hauptsymbol von P, so ist das Randsymbol aaa(P) von P definiert durch

u ~ Q ( P ) (z’, E‘) t = 6 * a(P) (x’, 6’9 Ee), t € C, z’, E‘ E Rhl, It’J = 1

(8. [4]). Wir erhalten also eine Familie linearer Abbildungen oao(P) (z’, E ’ ) : C + H+, parametrisiert durch die Punkte (z’, 6’).

Der zu P adjungierte Operator P* : L2(f2) -+ La(R”-l) ist ein Spuroperator vom Grade - 1/2 und vom Typ 0 (6. [4]). Das Hauptsymbol von P* ist gegeben durch

a(P*) ( 2 ‘ 3 6‘9 En) * u(P) ( ~ ‘ 9 E‘, E n ) -

Wir gehen uber zur Betrachtung von Systemen. Es sei P = (Pik) eine M x N - Matrix von PoIssoNoperatoren mit den obigen Eigenschaften. Dann ist P : L2(Rn-1)* --f L2(f2)M stetig. Das Randsymbol von P operiert vermoge

CN 3 t = (t,, ..., tx)

18*

276 Hoppner, Einige AbschMzungen

Durch Komposition mit der natiirlichen Einbettung ( H + ) M -+ (H+),M erhalten wir damit eine Familie von Operatoren

uaQ(P) (d, 6’) : CN -+ (El+):, z‘, E‘ E RG1, 16’1 = 1 .

Die Familie der adjungierten Operatoren ist dann gegeben durch

(H+),M 3 2‘ = (GI, . . . , U X ) + (2n)-‘

Es gilt also (oan(P) (x‘, [’))* = oaQ(P*) (d, t‘), so da13

(3.3) lllaan(P) (x’, 5’)11l2 = loaa(P*P) (z’, (’)I, x’, E‘ E Rn-17 It’] = 1.

Nun sei K : L2(R”l)”-+ L 2 ( Q ) M vollstetig. Dann gilt I[P + KIl2 = ll(P* + K*) (P + K)ll = J[P*P + Eli, wobei a ein vollstetiger Operator ist. Weiter ist P*P eine Matrix von PDO, und folglich gilt IJP*P + h‘ll 2 sup /uan(P*P) (x’, f ’ ) i . Wegen (3.3) folgt

2’

ib’l = 1

IIP + Kll 2 s w I l i o d P ) ( r ‘ , 5”l. X’

i r = I

(3.4)

Links steht hier die (L2(Rn-1)h’ --f L2(~)‘~~)-Operatornoriii, rechts die (C” -+ ( H + ) f ) - Operatornorm.

Wir konnen zeigen, daD sich (3.4) verscharfen 1aOt. Sei P wieder eine Matrix von PoIssoNoperatoren mit den ohigeii Eigenschaften. Sei iv = sup llloasa(P) (d, E’)lil,

.d I,C.l=l

E bezeichne eine beliebige positive Zahl. Fur u E L2(R”-1)N gilt

llPzli[; - (. + &)2 11u11; = -((a + &)2 u - P*P21, u),

wohei rechts das L2(R”l)“-Slialarl)rodukt steht. Wcgen (3.3) ist das Hauptsymbol von (a + I - P*P positiv definit, so daB wir nach der G.&RDmcschen Ungleichung (9. z. B. [lo]) die Abschatzung

IlP~tlI~ - (a + p ) 2 IIuil: 5 & II4~ + C(&) li~ll!?-l,~ erhalten.

schaften Nun gibt es zu jedem S > 0 einen PDO R, der Ordnung - 00 in R”-l mit den Eigen-

Ilu - Rdullo _I Ilullot I [ u - R~~Li/-,jz < 6 llul[o, U. € L2(Rn-l) (s. Z . B. [lo]).

Daraus folgt

IP(u - R,u)//: 5 (a + &)2 ii4; + 8 ll4l: + 8C(&) ir4rij , und da E beliebig gewahlt war, erhalten wir unter Berucksichtigung von (3.4) den

Satz 3.3. Sei P eine M x N-Matrix von PoIssoNoperatoren v m Grade 112. Das Symbol von P verscltwin.de, wenn (x‘, 0) uuberhalb einer kmpukten Menge Ziegt. Dann gil t

inf lip + Kll = sup I/Iaao(P) (x’, “)Ill, K 2’

IE’l=l

Hoppner, Einige Abschatzungen 277

wobei das Infimum uber alle vollstetigen Operatoren K : L2(Rn-l)ll' --f L 2 ( s Z ) M genmrnen wird. LCnnEs steht die (L2(RB1)ll' + L2(Q)M)-0perutornorm, rechts die (C" -+ (H+)f ) - Operatornorm.

Wir betrachten ~oIssoNoperatoren beliebigen Grades. Es sei also P eine M x N - Matrix von PoIssoNoperatoren vom Grade d mit den obigen Voraussetzungen uber den Trager des Symbols von P. Dann ist P : Hs-,,z(R'Z-l)N --+ Hs-d(o)M stetig. Sei weiter K : Hs-l/z(Rn-l)N -+ H8-d(d)M vollstetig. Wir setzen die Ganzzahligkeit von s - d vowus. Bezeichnet man nun A' den LuLacEoperator auf Rn-l, so wird durch

( 1 - A ) ' -1/2(8-1/2) : Lz(Rn-1)N --+ Hs-1,2(R'Z-l)N

eine Isometrie gegehen. Weiterhin ist

(n:-d)n : H s - d ( f i ) M -+ LZ(S)M

eine Isometrie. Das Randsymbol von (1 - L I ' ) - ( ~ - ~ / ~ ) / ~ ist die Einheitsmatrix, das Randsymbol von (Aa-d)n bildet @+)Ed isometrisch auf (H+)f ab. Wir erhalten daraus

jlP + Kll = Il(fI:-d)a (P + K ) (1 - A')-(*-l'a)'2[1,

und wir bemerken, daB (A"d)s, P ( l - ~I ' ) - (~- l 'a) /~ ein POISSONOpeI'atOr vom Grade 112 ist. Aus Satz 3.3. folgt, daB

inf IIP + Kll = sup Il lo~~(&-~) (x', E') u d ' ) k', E')lll, K Z',lC'I =I

wobei rechts die (CN + (H+),M)-Operatornorm steht. Wir erhalten damit die

Folgerung 3.4. Es gilt

inf IP + Kll = SUP Illoan(P) ( 5 ' 9 t ' ) l l l s K 2'

16'1 = 1

wobei daa Infimum uber alle vollstetigen Operatoren K : H8-1,2(Rn-1) + HS&) genomwn wid. Rechts steht dubei die (C" --f (H+),M_d)-Operutornw.

SchlieBlich wollen wir noch Spuroperatoren betrachten. Es sei t ( d , 4) ein Spur- symbol vom Grade d und vom Typ r (5. [4]). Wir bezeichnen mit o(t) (%', 5 ) den Haupt- teil von t . Der Spuroperator T : C?(B) + C"(R"-l) mit dem Symbol t ist definiert durch

\ ei(z',r') 1 t ( d , E ) Go(E) d t n at' , +

Tu(z) = u E C,"(fi).

Das Randsymbol von T ist fur 2' E Rn-l, 15'1 = 1, definiert durch

+ OOQ(T) (x', 5 ' ) f = (an)-' J ~ ( t ) (x', t', tn) f ( 5 n ) dtn, f E Hi-*

Wir haben also eine Familie linearer Abbildungen

~ a n ( T ) (d, t') : H+ + C, X' E Rn-l, 16'1 = 1 .

Es sei nun T = (Tjb) eine iM x N-Matrix von Spuroperatoren vom Grade d und vom Typ r. Das Symbol von T verschwinde, wenn (d, 0) auBerhalb einer kompakten Menge liegt. Dann ist T: Hs(d)N + Hs-d-l/2(Rn--I)M stetig fur s > T - 1/2 (9. [a]).

278 Hoppner, Einige AbschPtzungen

Wir setzen die Ganzzahligkeit von s voraus. 1st schliel3lich K : H,(GIN + Hs--d-l/2(Rn-1)M vollstetig, so gilt

jjT + Klj = 1[(1 - d’)@-d-1’2)12 * (T + K ) (nr”)njl. Dabei steht rechtsdie (La(QN +L2(R”-1)5f)-Operatornorm. Kunist T, = (1 - d’)(s-d-1/2)/2 !Z’(AIS)n ein Spuroperator voiii Grade -1/2 und voni Typ 0. Der dam adjungierte Operator T: ist ein PoIssoNoperator voni Grade 1/2. Durch oap(T:) (z’, 5’) (x’ E Rsl, 15’1 = 1) werden stetige Ahhildungen C-1‘ --f (If+): definiert, und der zu oan(T:) (z‘, 6’) adjungierte Operator ist can(!!’,) (x’, 6’). Weiterhin ist

uan(!Z’,) (x‘, 6’) = oaf?(T) ( 2 ‘ 7 5 ’ ) . %&c9) ( 2 ’ 9 t’), so daB wir durch Anwenclung von Satz 3.3. den folgenden Satz erhalten.

Satz 3.4. Es gi l t

inf IiT + Kll = SUP IlludT) (z’, C’)lIl, K 2.

IE’I=l

wobei das Infimum iiber alle vollstetigen Operutoren K : H s ( G ) N -+ H,-d-l,p(Rn-l)M genommen wird. Links steht die --f Hs-d-,,4(Rn-1)ICf)-Ol)erutornOT11Z, rechts die ((H+),N 3 CM)-Operatornorm, s > r - 112.

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Akademie der Wissenschuften der DDR Zentrulinstitut fur Mathemutik und dlechanik DDR - 108 Berlin Mohrenstrape 39