Kleine Mitteilungen 403 -

(3) (a (5 )

(4) (4), (6)

exakt

Auf Grund der Struktur der Matrix E + (C Xa)l ist die Existenz ihrer Inverse gesichert, so daB

(17) llXn+l - Xnll 5 IIXnll * IIE - CX,!I I l @ + (cxn),J.-lll

gefolgert werden kann. Da die p-te Potenz der Drei- ecksmatrix (C X& gleioh der Nullmatrix ist, mufl

( E + (C XtJJ {E - (C Xah + [(C Xn)1Iz - + * *

* * * + (- 1)p-l [(C X,)l]~-l} = E und damit

P-1

i = l { E + (C Xn)J- l = c (- 1)i [(C X&If

gelten. Aus (17) folgt also die Abschatzung

(18)

59,94 4,210

4,77 0,491 4+77 I O7I2O

59,94 27,39

0,17 0,0557

Wegen (lE - C X,ll< 1 kann bei monotonen und absoluten Matrizennormen Il(C X&\ 1 < 1 gefolgert werden. Eine weitere Vereinfachung von (18) wird durch die Abschiitzung

erreicht. (16) ist die genaueste der angegebenen Fehlerab-

schiitzungen und sollte im allgemeinen auch beim numerischen RechenprozeD herangezogen werden. (3) bedeutet gegeniiber (16) nur eine geringfiigige Vereinfachung, und auch die Formel (4) erleichtert den AbschiitzungsprozeO kaum. Die Hauptarbeit steckt bei den Abschiitzungen in der Ermittlung von J(Xn+i - XnlI. Durch Verkniipfung der Fehlerab- schiitzungen mit (18) oder (19) kann eine Vereinfa- chung des notwendigen Abschitzungsprozesses be- wirkt werden, was aber gleichzeitig mit einer erheb- lichen Verschlechterung der Schranken verbunden sein kann.

5. Beispiel

Bn Hand eines Beispieles wollen wir das Gesamt- und das Einzelschrittverfahren miteinander ver- gleichen. Wir wiihlen

-0,9 0,O 1,8

2,8 1,l -1,l

Alle Abschiitzungen werden auf die Spaltensummen- norm bezogen. Aus der Rechnung ergeben sich fol- gende fiir die Fehlerabschatzungen wichtigen Zahlen- werte :

Gesamtschrittverfahren I Einzelschrittverfahren

Die Ergebnisse der Fehlerabschiitzungen stellen wir in einer Tabelle zusammen:

0,0875 74,33 6,585 74,93 6,597

(3)

(3), (19) . . . .

(4) I 4,77 - 1 0,2882

exakt I 0,100 1 0,0360

Durch Vergleich der Abschatzung (16) mit der Abschatzung (3) beim Gesamtschrittverfahren erkennt man die im Beispiel erzielte Verbesserung der Fehler- schranken. Die angegebenen exakten Fehler zeigen, daO durch die Einzelschrittiteration eine tatsachliche Verbesserung erreicht wurde.

L i t e r a t u r G. Soarrtz, Iterative Berechnung der reziproken Matrix, ZAMM

H. HOTELLING. Some new methods in matrix calculation. Ann. 13, S. 57-59 (1933).

, - Math. Stat. 14;s. 1-34 (1943). W. DOOK, Fehlerabschitzungen fur das Iterationsverfahren von Schnlz mr Bestimmnng der Inversen einer Matrix, ZAMM 40,

J. ALBRWHT. Bemerkunnen rum Iteratiomverfahren von Schulr 5.192-194 (1960).

znr Matrlrednversion, ZdMN 41,s. 262-263 (1961).

Anschrift : Dr. WERNER DUCK, Berlin-Johannisthal, Ecksteinweg 8

S. FALK Einige Bemerkungen zur linearen Spannungsverteilung

1. Aufgabenstellung Eine der Grundaufgaben der riiumlichen Kriifte-

geometrie besteht darin, eine in 2-Richtung wirkende linear verteilte FlLchenlast (Normalspannung)

(1) iiber einer gegebenen Flache P zu reduzieren im beliebigen Punkte 0 zu den GroOen

(2) wo im Falle L + 0 nach Bild 1 q und 5 die Koordi- naten des Kriiftemittelpunktes D sind. Auch die umgekehrte Aufgabe, die lineare Verteilung der gege- benen KraftgroOen (2) auf die gegebene Flache ist von Wichtigkeit. Die Beziehungen zwischen den Belastungsparametern a, b, c und den KraftgroBen (2) sind linear nnd lauten bekanntlich

p(y9 2) = a + b Y + c 2

L , M , = L 5 , M = - L q ,

Kleine Mitteilungen - 404

Verteilung - - ReduXion

; 2)

\x

Bild 1. Reduktion und Yerteilung einer linearen FlBchenlast

wo F dcr Flacheninhalt, y8 und zg die Koordinaten des Flichenschwerpunktes S und I,, Iz und I y z die Flachentragheitsmomente sind:

(4) I , = f J 9 d d P , I y z = f f y ~ d F , I z = ff y /”dF . (12) O = a + b y + c z Mit den einspaltigen Matrizen (,,Vektoren“)

3. Der K e r n de r F lache E Wir setzen voraus, daO L -+ 0 ist, dann existiert

der Kriiftemittelpunkt U. Die Spannungsnullinie

hat die Achsenabschnitte

(13)

und damit laat sich der Vektor q definieren: schreiben wir (3) kiirzer in der Form (6) f = L b = B a mit der Flachenmatrix 8 aus (3). Wenn L = 0 ist, fiillt das niittlere Glied in (6) fort; und 5 sind dann nicht mehr definiert. Fassen wir nochmals zusammen: Reduk t ion : (7) Verteilung : (8) Die Reduktion benotigen wir in der Hydrostatik ( p ist der hvdrostatische Druck) und in der Theorie der

f = 5 a (und b = f/L, falls L f 0) .

a = 3-l I (= L 3-l b, falls L f 0) . womit (6) ubergeht in

(15) f = L b = - u % q , b = - z . s q . L

kleineh harmonischen Schwingungen starrer Platten ( p ist die Tragheitskraft pro Flacheneinheit). Die Verteilung dagegen wird erforderlich in der Elasto- statik des Balkens bci der sogenannten ,,scliiefen Biegung mit Langskraft“ ( p ist die Normalspannung).

2 . Der maximale Wer t von Ipj In der Elastostatik des Balkens ist dcr maximale

Wert der Normalspannung von Interesse. Diesen Wert finden wir so: Nachdem a, b, c aus ( 8 ) bekannt sind, berechnen wir die Projektion h der Fallinie durch 0, die senkrecht zur Spannungsnullinie p(y , z ) = 0 steht und somit nach (1) die Gleichung (9) C Y = b z hat. Jetzt zeichnet man nach Bild 2 die beiden Grenz- geraden durch die Punkte G, und G,, deren zugehorige Grenzwerte pl und p2 aus (1) folgen, wenn man dort irgendeinen Punkt der Geraden einsetzt, am einfach- sten die Schnittpunkte mit einer der Koordinaten- achsen; also ist

oder auch (10)

(11)

P1,Z = * + c %a 9

PL2 = a + b 51,* * 1, Der groDere von beiden Werten lpll, 1p2l ist der gesuchte maximale Wert von [p i . Tragt man die beiden Werte p , und p2 iiber einer Parallelen zu h auf und verbindet sie durch eine Geradr, so ist auch der Wert p~ fur jedcn beliebigen Flachenpunkt A

produkt ab. gefunden. Buch die Spannungsnullinie fallt als Neben- Z

Bild 2. Spur und Nullinie der Spnnnungsobene

Kleine Mitteilungen 405

, , o I

1st nun die Nullgerade mit den Achsenabschnitten p und 2 und damit der Vektor q gegeben, so berechnet man zunachst den Vektor b = ‘3. q (= - a/L b) und dividiert diesen dureh seine erste Komponente, dann ist tu/w, = b, also ist neben w l / q = 1 nach (5) auch

(16) rl = w * / q 9 c = W8IWl.

Schreiben wir den Vektor It, = 8 q in seinen Kompo- nenten aus, so wird nach (3) und (14)

,* ‘‘7

WLhlt man speziell 0 = 8, so jst ys = z, = 0, und (17) geht uber in

6

Y 2

und das sind im wesentlichen die bereits von JANATKA [I], [Z] und WENZEL [3] hergeleiteten Beziehungen zwischen Spannungsnullinie und Kriiftemittelpunkt. Hiillt mandiegegebeneFliiche Fmit lauter Spannungs- nullinien ein, so bilden die zugehorigen Punkte D eine konvexe Kurve, deren Inneres der Kern der Fliiche heiBt. Solange die Kraft L innerhalb des Kernes angreift, hat die Spannung iiber der gesamten Fliiche F das gleiche Vorzeichen wie L.

4. Der Druckmi t te lpunkt D der Hydros t a t ik In der Hydrostatik sind zunachst die GroSen a, b, c

auszudrucken durch die Eigensehaft der Fliissigkeit und die Orientierung der Fliiche im Raume, was folgendermaBen geschieht. Der Ortsvektor von 0 zum beliebigen Punkte P ist

(19) E = OP = y e , + ze , . Nach dem hydrostatischen Grundgesetz herrscht nun in P der Druck ( 20) wo mit dem nach unten weisenden Einheitsvektor n in Lotrichtung nach Bild 3 h = F n ist; dies in (20) eingesetzt ergibt

-+

Ax) = 240) + y l& 9

(21) P(F) = P ( 0 ) + y F n = ~ ( 0 ) + y ( e , n), Y + y ( e z n) z I

a = P(0) , und ein Vergleich mit (1) zeigt, daB

(22)

ist. \ 5

21

/

Die Achsenabschnitte der Nullinie sind daher nach (13)

3 /’

Wahlen wir nun speziell0 = S und setzen (23) in (18) ein, so wird der Vektor

(27)

mit

Bild 3. Die Vektoren e,, e, und n

406 Kleine Mitteilungen

-1 I -1 1/2 1 0

0 1/41

-12,25 -10,4 4,O 1 - 2,7 1

-12,9 1 - G,2 1

zeichnete Koordinatensystem berechnen wir zunachst die drei Einzelmatrizen

I 312 1,513 -1,513 1 , 5 1 3 3 14 -o,m 14

-1,s 13 -0,75 14 14

8 l 2 8 l3 16 l3

1613 16 l4 422/,14

412 -413 413

413 -414 51/,14

und addieren sie zur Gesamtmatrix 8 (siehe Tabelle). Nun hullen wir die Flache mit den sechs Nullinien ein, deren Achsenabschnitte aus Bild 4 abzulesen sind. Die gesamte Zahlenrechnung enthalt die Tabelle.

8 l3 102/,14 l G 1 4 )

-4 13 51!, 14 -4 14

-1 114 1 1/41

-11,75 - 7,44 1 - 9,OG 2

senkrechten Grenzgeraden durch G, und #, sind nun leicht einzuzeichnen. Ihre Achsenabschnitte sind (32)

11s

”

-111 ~ _ _ _ -

I 1 3 & = - 6 l , z l = 4 1 , G Z = 3 , 5 l , . ^ 2 = -

und damit wird nach (10)

(334 p 2 = a + c Z 2 = P / l 2 - 3 P / I ( - 7 7 / 3 1 ) = 8 P / l 2 .

und zur Kontrolle nochmals nach (11) :

(34) { pa = a + b G2 = P/12 + 2 P/l (3,5 I ) = 8 P/lZ . Also ist pl der gesuchte Wert ; er hat die gleiche Rich- tung wie L (Druck). Alles ubrige zeigt Bild 5 .

p , = a + c Zl = P/I2 - 3 PI1 (4 1) = - 11 PIP,

p1 = ffi + b El = P/12 + 2 P/Z (-6 I ) = - 11 P/J2 ,

-17,75 -15,OO 1 -24,l 1

-27 -20,6 1 -48,6 1

-112 1 -112 1 0 -112 1 - l I - l

- 0,33 1 ~ 0,2G 11 0,63 11 :::8 E 1 0,7G 1 1,05 1 0,BO E 0,77 1 1,8 1

Nun sei der Vektor f der in 0 reduzierten Kraft- L i t e r a t u r gro13en gegeben : 111 J. JANATKA, Ohyb nosink6 s nesoumCrnjm profilcm (Biegen von

Triigern mit unsymmetrischen Profilen), Strojirenstvi 9, S. 723 (1959).

[21 J. JANATEA, I( vygetfov8ni hlavnich 08 a momenta aetrvaEnosti prhfesu pfi ohybu (ZW Untersuchung Ber Ilauptachsen und der Haupt-Tragheitsmomente in Schnitten beini Biegen), Strojiren- stvi 10, S. 647 (1960).

und gesucht ist der maximale Wert der Pu’ormal- [31 H. WENZEL, Bestimmung des Querschnittkernes von Balken spannung cber der F1ache. D~~~ ist nach einiger mittels der Vektor- und Tensorrechnung, ZAMM 43, 5. 85-88 (1963). Rechnung - die aber nicht mehr kostet als die Koordinatenverschiebung von 0 nach S - Anschrift: Prof. Dr. S. FALK, 33 Braunschweig,

(30)

Fallersleber Str. 42

-3 PIE HANS HARTL (31)

Die Projektion der Fallinie durch 0 hat somit nach (9) die Gleichung - 3 y = 22, und die beiden dazu

Ein zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung der Culmanschen Tragheitsellipse fur beliebige Punkte

1’ 3 Bild 5. Die maximale Spannung p , eum Zahlenbeispiel

Es so11 ein zeichnerisches Ver- fahren entwickelt werden, das es gestattet, &us der CuLMANschen Zen- tralellipse einer beliebigen Flache ihre CULMANsche Tragheitsellipse fur einen beliebigen Punkt P der Ebene zu er- mitteln.

Wiihlt man P als Ursprung eines Koordinatensystems mit Achsen pa- rallel zu den Achsen der Zentralellipse und bezeichnet die Abstande des Punktes P von diesen mit x und y (siehe Bild l) , so stellen sich die Tragheitsmomente und das Devia- tionsmoment fur das neue Koordina- tensystem nach STEINER dar als

Jll = JI + y2 * F 9

Jzz = JII+ 2 2 . F 3

J 1 , = ~ * y . E ’ , (1) { wo JI und J I I die Haupttragheits- momente urn die I- und 11-Achse sind nnd F der Flacheninhalt des betrachteten Flachenstiickes ist. Mit