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Anschrift: Dr. K. HASSELMANN, Hamburg 21, Brucknerstr. 25 a

ZAMM 40 (1960) Heft l O j l l , Seite 472-482

Einige gemischte Randbedingungen anisotroper Platten Von JOZEF BRILLA

Es wird eine unendliche elastische anisotrope Halbplatte y > 0 mit gmischten Randbedingungen unterszccht. Die Halbplatte ist a m Rande abwechsclnd eingespannt und frei drehbar gelagert. M i t Hilfe der allgemeinen Ldsung einer unendlichen anisotropen Halbplatte mit a m Rande gegebenen ersten Ab- leitungen der Durchbiegung, die inittels des Verfahrens der Fourierintegrale gegeben ist, wird Pine singulare Integralgleichung fur dicse, Randbedingungen abgelcitet. Nach der ZurJclcfiihrung des Problem auf die Hilbert- Riemannsche Azlfgabe werden die allgemeine Ldsung fiir n Abschnitte des frei drehbar gelagerten Randes und die Losungen fiir versehiedene Belastungsfalle der Halbplatte mit einem frei drehbar gelagerten Abschnift des Randes untersucht.

Some mixed boundary value problems of a semi-infinite elastic anisotropic plate y > 0 are analysed. The plate i s simply supported along n part of its boundary and clamped along the remainder. Prom a general solution of a semi-infinite anisotropic plate obtained by the method of Fourier integrals, where the first derivu- tives of the transverse displacement are given along the edge, a singular integral equation i s derived f o r that boundary value problem. After reduction of the singular integral equation to the Hilbert- Riemann problem the general solution f o r n sections of the simply supported edge and solutions of various cases of loading of a semi-infinite plate with one simply supported edge are given.

MccneEyeTcH cxeruannafi 3 a z a ~ a ~3rm6a n o n y 6 e c ~ o ~ e u ~ o i i ynpyroii a ~ m o ~ p o n n o i i naa- CTI?HICH y > 0, 1;oriqa YacTb HpaH nnacTmmm aanenana, a omanman Yacn onepa. ITpci IIO- MOUH pemeHm m3rm6a noaynnacTciHm npm saiqan~bix H a Kpam nepsbix ~ ~ O H ~ B O A H ~ I X k13rci6a OnpeiqeneHnoro mmerpanam Qypbe, CTPOEITCII cmrynqnoe mHTerpanbIIoe ypasneme iqna :noji cMemamoi3 3a~aum. nocne nepeBoaa mTerpanbnoro ypasnenmn I-E 3a~awi rmnb6ep~a - Pmana HaeTcR 061qee perueme R ~ H nnacTmHm c n ysacTHam onepToro I-Epan m peruemm P ~ ~ J I H ' I H ~ I X cnysaeB Ixarpy3m nnacTmHm c oanbm onepnm y4acmox

1. Einleitung I n der letzten Zeit wird der Losung dunner isotroper Platten mit gemischten Randbedin-

gungen verhaltnismaflig grolJe Aufmerksamkeit gewidmet. Bei der Losung kann man verschiedene Verfahren verfolgen. Die Aufgabe kann auf die Losung der FREDHoLMschen Integralgleichung [6], [S], [12], [13] oder auf die Losung von singularen Integralgleichungen [7], [lo], [14] zuriick- gefuhrt werden. Die Methode der komplexen Veranderlichen unter direkter Zuriickfiihrung auf die HILBERT-RIEMANNSChe Aufgabe wurde in den Arbeiten [3], [4] angewandt.

&lit gemischten Randbedingungen fiir anisotrope Platten befaaten sich G. M. L. GLADWELL [5] und H. ZORSKI [15]. Letztgenannter beschrankt seine Untersuchungen auf orthotrope Platten.

J. BRILLA, Einige gemischte Randbedingungen anisotroper Platten 47 3

In der vorliegenden Arbeit werden wir uns mit der Losung gemischter Randbedingungcn eincr diinnen anisotropen Halbplatte y > 0 mit wechselseitig eingespanntcn und frei drehhar gelagerten Randern und mit der Anwendung FouRIERscher Integrale beschaftigen.

2. Unendliche anisotrope Halbplatte Wir untersuchen die Durchbiegung einer unendlichen anisotropen Halbplatte y > 0

(Rild I), wenn entlang des Randes den DIRICHLETschen Redingungen geniigende erste Ableitungen der Durchbiegung

, W,(X) = . . . . . . . (2.1) [,,, y)]?/=O ws@) = [--I aw(x, Y)

y = 0 gegcben sind.

Platten Die Losung sol1 in den inneren Punkten der Halbplatte die homogene Gleichung anisotroper

und an den Randern die Randbedingungen (2.1) erfiillen.

Die mationen

Bild 1

Randbedingungen werden mittels FouRIERscher Integrale ausgedriickt. Da die Defor- reelle Grol3en sind, gelten die Gleichungen tsiehe [l])

W O a3 W

y(A) = S w,(t) e w i J . 5 d t , x(A) = J w&) e - i A t d t . . . . . . . (2 .4) . --a3 --a)

Die Losung der homogenen Differentialgleichung der Platte (2.2) wird in der Form des FouRIERschen Integrals

w

J . . . . . . . . . . . . . 1 76

w = - Re E(A, y) eiJ.” d l (2.5)

0 gesucht.

die gewohnliche Differentialgleichung Nach Einsetzen in die homogene Gleichung der anisotropen Platte erhalten wir fur z(A, y)

(2.6). D2,EIV + 4 il D z 6 3 ” - 2 ( D l z + 2 D6,JA2E“-4 i D1623Z’ + D l 1 I 4 f i = 0

G = A eidylJ Die Losung dieser Gleichung wird in der exponentiellen Form

. . . . . . . . . . . . . . . (2.7) angestrebt.

Nach Clem Einsetzen in (2.6) erhalten wir folgende charakteristische Gleichung

D z 2 i 4 + 4 D 2 6 r u 3 + 2 ( D 1 2 $ - 2 ~ 6 6 ) ~ 2 + 4 ~ 1 6 ~ + D 1 1 = o . . . . . (2.8), welche mit der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Losung der homogenen Gleichung der Platte [9] iibereinstimmt.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der aus beliebigem homogenen Material bestehenden Platten konnen, wie S. G. LECHNICRIJ bewiesen hat, nicht reel1 sein. Da die Gleichung (2.8) reelle Koeffizienten hat, sind dann die Wurzeln paarweise komplex konjugiert. Komplexe oder rein imaginare Zahlen ,ul = a1 + i PI, pa = a2 + i P2 bezeichnen wir als kom- plexe Parameter der Platte. pl, p2 werden so gewahlt, daB PI > 0, p2 > 0 ist, was immer moglich ist.

474 J. BRILLA, Einige gemisohte Randbedingungen anisotroper Platten

Die Wurzeln p konnen entweder verschieden (pl # p2) oder zweifach (p, = pz) sein. Fur verschiedene Wurzeln crhalt man :

; = A @ A / h f l + B & A / b l l + C e i A F l T / + D @ G z u . . . . . . . . (2,9),

wo A , B, C , D Funktionen L darstellen. Fur gleiche Wurzeln erlialten wir :

= ( A + B y ) e iJ / t l f / + (C + Dy) e i J F ~ f / . . . . . . . . (2.10).

Die Losungen fur orthotrope Platlen erhalten wir nach Einsetzen D,, = D,, = 0 und der entsprechenden Werte fur p.

I>a die Losung des Problems fur gleiche Wurzeln durch die Modifikation affine Ab- bildung der Lbsung fur isotrope Platten [ 3 ] , [14] - erhalten werden kann, untersuchen wir niir die Losung fur verscliiedene Wurzeln.

Fur die Halbplatte y > 0, wo w,(x), ws(x) die DIRIcHLETschen Bedingungen erfullen,

werden wjr voraussetzen, da13 -, - fur y = 00 gleich Null sind. Dann konnen wir nur die

Glieder mit Re (i A p} < 0 benutzen.

aw aw ,,

ax ay

Nacli deni Einsctzen in die Gleichung (2.5) erhalten wir: N

( A eii, 21 + B e i i b 2. ) dL . . . . . . . . n . . (2.11),

wo z , = x + 11, y, z2 = x + pz y. Wenn wir A, B aus den Rantlbedingungcn (2.1) ausrechnen, erlialten wir:

Die daraus sich ergebenden Formeln fur die Durclibiegung erhalten wir nach Einsetzen fur y(A), x(A) entsprechend (2.4) und Integration. Das Integral (2.12) mu13 nicht im normalen Sinne existieren. Im Sinne der Distributionstlieorie konnen wir ihm aber solche Bedeutung geben, da13 wir alle Operationen vornehnien konnen, als ob es im normalen Sinne existierte. Nach Einsetzen fur y(A), x(L) und nach h d e r u n g der Integrationsreihenfolge erhalt man :

Nach Differentiation nach & (bzw. nach y) und Integration nach 1

. . . . . . . (2.13).

erhalten wir :

In diesen Forrneln komnien CAVCHYSChe Integrale fur die obere Halbebene vor. Wenn wir die Bezeichnungen

. (2.15)

J. BRILLA, Einige gemischte R'andbedingiingen anisotropor Platten 47 5

w = = o , w, = 0 in C . . . (3.1) und ebenso:

w = o , my = In(.) in L . . (3.2). Dainit wir mittels der Formeln (2.12) die

Durchbiegung der Halbplatte ausdriicken konnen, ersetzen wir die Bedingung w = 0 durch die Bedingung w, = 0; auBerdeni ist es notwendig, die a; 4.

einfiihren, gilt

Y

o a/,, + * r . y,

wo :

wir :

P . s. - r . $ - , - -.1 s i + r i = - q i p i , ( i = 1 , 2 ) Pi

Nacli Integration (2.14) und unter Vcmachlassigung der Integrationskonstante erhalten

- w&) [In (zl -6) -1n (zz --)I CrE . . . . (2.19). --co

und entsprechend den PLEMELJSChen Fornieln [ 111 fur die Grenzwerte des CAucHYschen Integrals eine singulare Integralgleichung erster Art

. . . (3.5),

fur die Bestimmung den unbekannten Funktion w,@) auf L. Die Konstanten ci sind fur ver- schiedene Intervalle Li verschieden.

47 6 J. BRILLA, Einige gemischte Randbedingungen snisotroper Platten

Zur Losung diescr Integralgleichung fuhren wir die teilweise holomorphe Funktion

F(z) =-- 1 --- wn(n d t . . . . . . . . . . . . . . (3.6) 2 n i t - z

L

ein. Diese Funktion ist holomorph in der ganzen Ebene z aulJer L d. h. mit Ausnahme der Schnitte Lj. Fur z kann beliebig eine der beiden komplexen Veranderlichen z1 und zz eingesetzt werden.

Laut PLEMELJS Formeln gilt : w&) = F+(%) - F ( Z ) , 1

Nacli Einsetzen in die Gleichung (3.5) erhalten wir : i

A P(z) + F-(z) = - -- f ( ~ ) . . . . . . . . . . . . (3.8).

s o erhal ten wir eine nidit-homogene NILBERT-RIEMANNSChe Aufgabe. Da die Durchbiegung iu und ihre ersten Derivationen stetjg sein sollen, soll die Losung endliche Wertc (in unserem Falle Nullwerte) in den Endpunkten der Intervalle L(ai, bj ) haben, und nach (2.14) sollte sie gleich Null im Unendlichen sein. Durcli die Losung bekommen wir

wo P

X ( Z ) = L! J(z - aj) ( z - bJ . . . . . . . . . . . . . . . . (3.10) j-1

und P(z) ein beliebiges Polynom in z ist.

AulJerdem soll gelten Damit die Funktion F(z) gleich Null im Unendlichen sei, mussen wir P(z) = 0 setzen.

fur k = 1,2, . . . . p , woraus sich p Gleichungen zur Bestiinmung von p Konstanten ergeben. Fur die unbekannte Funktion w,(x) bekommt man nach den Gleichungen (3.7) und (3.8)

1 Wn(%) = ~ I(.) + 2 F+(lr) . . . . . . . . . . . . (3.12)

A

oder nach Anwendung der Gleichungen (3.9)

was die Bedingung der Stetigkeit der ersten Derivationen w erfullt.

die Funktionen @(q) und U'(z,). Durch Vergleich von (2.15) mit (3.6) erhalten wir: Zur Berechnung der Rilomente und Schubkrafte im Innern der Halbplatte bestimnien wir

1 1 Pl -Pz P1- Pz

F(Z1), Y(z,) = - ___ F(Zz) (3.14). @(zl) = ___ . . . . . .

Die Funktion F(z) ergibt also eine Losung des Probleins auch im Innern der Halbplatte.

4. Die Halbplatte mit einem frei drehbar gelagerten Abschnitt Wir werden eine eingespannte Halbplatte y > 0 mit einem frei drehbar unterstutzten

F(z) = -~ Ji;'..GAj ~ f(t> -~ d[ . . . . . . (4.1).

Abschnitt (a b) untersuchen. Entsprechend (3.9) erhalten wir

2 n A r/Ula> (5 --6j (6 - z ) a

J. BRILLA, Einige gemischte Randbedingungen anisotroper Platten 477

E i n e auf e ineni f r e i -d rehba r u n t e r s t u t z t e n A b s c h n i t t m i t e inem kon- s t a n t e n Moment m b e l a s t e t e P l a t t e . Wir werden nun eine auf einem Erei-drehbar gelager- ten Abschnitt mit einem konstanten Moment m belastete Halbplatte untersuchen. Den Null- punkt des Koordinatensystems ohne Begrenzung der Allgenieinheit wahlen wir in der bIitte des frei drehbar unterstutzten Abschnittes (- c, c) (Bild 3).

~ ~~

Nach (3.:3) bekommen wir

0

/(x) = -- m x - c, . . . (4.2) und nachher

1

m - f

c 2c

C I

-C

woraus sich nach der Integration ergibt :

1 ~ ( z ) = ~ ( m z + c1 - m I/zz - c 2 ) (4.4). 2 A

Aus der Bedingung des Nullwertes der -zC -< Funktion F(z) im Unendlichen erhalten wir cl ,= 0. Die Konstante c1 hat, auch wenn sie keinen Nullwert besane, keinen EinfluB auf die Verteilung der Momente und der Schubkrafte. Da in diesem Falle nur die Berechnung dieser GroBen angestrebt wird, brauchen wir sie nicht zu bestimmen.

Am Rande erhalten wir nach (3.12) m - A wn(x) = - I/c2-x2 . . . (4.5),

Bild 3

d. h. die Stetigkeitsbedingung der ersten Ahleitungen der Durchbiegung in den Endpunkten des frei drehbar gelagerten Abschnittes ist automatisch erfullt.

Im Innern erhalten wir:

Die Beziehungen fur IIomente und Schubkrafte ergeben sich aus (2.17). Am Rande y = 0 fur 1x1 > c erhalt man:

Fur eine orthotrope Halbplatte gilt dann

m x y = O , q y = O .

Diese Losung gilt fur alle Punkte aufier den irregularen. Der Charakter der Singularitat ist ahnlich wie bei der anisotropen Halbebene mit einer gemischten Randbedingung [l] d. h. bei der anisotropen Halbebene, gedruckt durch einen starren Korper untrr Vernachlassigung der Reibungskrafte zwischen diesem Korper und der Halbebene. Ini Bild 3 ist der berechnete Verlauf des Biegungsmomentes my aufgetragen.

J. BRILLA, Einige gemischte Randbedingungen anisotroper Platten -~ 47 8 -

Die m i t e inem E i n z e l m o m e n t A4 b e l a s t e t e H a l b p l a t t e . Im weiteren werden wir uns mit der Untersuchung einer im Punkt to des frei drehbar gelagerten Abschnittes (a b) mit einem Ejnzelmoment A4 belasteten Halbplatte befassen (Bild 4).

Im Sinne (4.1) gilt

wo

Nach der Integration und nach der Ermittlung der Konstante c1 erhalten wir

(4.8). [I/G - a) (50 -3 + l/(z - b) (50 -?I2 (z - 5 0 ) w 5 0 - a + v 5 0 - bIa

F(z) = ~ In -~ . . . . . . 2 n A

ly X -

Kill3 4

Am Rande gilt Bild 5

Durch die Differentiation von (4.8) nach z erhalten wir

Infolgedessen wird

. . . . . . (4.9).

. . . . . . (4.10).

. . . . (4.11).

Fur das Biegungsrnoment my am Rande auflerhalb des Abschnittes (a b) gilt d a m

Im Sonderfalle, wenn die Halbplatte fur x < 0 frei drehbar gelagert und fur x > 0 ein- gespannt ist, bekommen wir fur den eingespannten Abschnitt :

Der Verlauf der Biegungsmomente my (Bild 5) ist ahnlich wie der fur die isotrope Platten ~ 4 1 .

J. BRILLA, Einige gemischte Randbedirigurigeri anisotroper Platten ~ ~~ ~ ~ ~ _ ~ _ _ _ _ _ _ _ . .___

5. Die in eineiii innrren Purikte belastete Halbplatte

47 9

Oft interessiereii wir uns nicht fur die Deforniationen der Platte, sondern den Verlauf der Biege- und Drehmomente, sowie der Schubkrafte. In diesem Falle ist es vorteilhaft, die singulare Integralgleichung zu modifizieren. Durch die Differentiation dieser Gleichung nach 2 und Inte- gration der linken Seite nach bekommen wir

(5.11,

also eine singulare Integralgleichung erster Art fiir die Bestimmung der unbekannten Funktion wi(x) auf L.

Wir fuhren jetzt eine teilweise holomorplie Funktion ein

welche in dcr ganzen Ebene auRer L holomorph ist. Die Funktion F'(z) ist die Ableilung der Funktion F(z) aus (3.6), wie es mit Riicksiclit auf die in den Endpunkten L gelteiiden Nullwerte wn(x) beweisbar ist.

Nach Zuruckfuhrung dieses Problems auf die HILBERT-RIEMANNsChe Aufgabe durch die Losung fur einen Abschnitt der freien Unterstiitzung L = (a b) ergibt sich:

I ,

(5.3).

u

Es gilt dann ebenso wie (3.14) 1

F'(2,) , ! Y ( Z , > = - F'(z,) . . . . . . (5.4). @'(z,) = ~- 1

PI -Pz P1 -Pz D i e i n e i n e m i n n e r e n P u n k t e d u r c l i e i n e E i n z e l k r a f t b e l a s t e t e H a l b p l a t t e .

Wir werden jetzt die I-Ialbplatte y > 0, welche im Punkte z = to, y = ?lo (Bild 6) durch eine Einzelkraf t P belastet ist, untersuchen. Der Rand der Halhplatte sol1 in C eingespannt und in L(a b) frei drehbar unterstiitzl sein, d . 11. :

(5.5). w = 0 , wn = 0 in C , w = : O , m ,=0 i n L

Die Losung werden wir in der Foriii X w = wo + w1 . . . . . (5.6) ---

suchcn, \\ o wo die Losung eiiier entlarig dcs ganzeii Blld 0 Raiiclcs eingespannten und ini Punlit Eo, ?lo durch fine Kraft P belasteten Halbplatte ist, N ahrend w1 eine solche Erganzungslosung vorstellt, da13 wo + w, die Kandbedingungcn (5.5) erfullt.

Fur wo gilt nach [a ]

wo :

J. BRILLA, h i g e gemischte Randbedingungen anisotroper Platten -- -____ ______ 480

Auf der x-Achse erhalten wir dann

Wir bezeichnen als K , die geschlossene Kurve rnit dern Sclinitt (a b) im Innern nach Bild 7, als K , die geschlossene Kurve rnit dem Schnitt Tl0 C z 0 hi Inneren und setzen voraus, daIJ K = K , + K,. Die positive Kichtung des Unilaufes wird entsprechend Bjld 7 gewahlt.

Wir konnen weiter zur Bereclinung der erganzenden Losung - der durch w, gegebenen GroIJen herantreten. Aus den Randbedingungen (5.5) folgt :

in } . . . . . . . . . . (5.12), w1 = 0 , w p = 0 w1 = 0 , m(1) = - m0@) in L Y

Es gilt dann b

Y

Y / 40

Urn F;(z) errechnen zu konnen, ermitteln wir zuerst das Integral

G(z) = J(z - a) ( z - b) [In ( z -- Clo) - In ( z - 5,3] . . . . . . . (5.16)

G(z) stellt eine im AuIJeren von K holornorphe Funktion dar, welche den Pol nullter Ordnung iiri Uncndlichen hat. J ( z ) ist dann das CAucHYsche Integral

eingefuhrt haben.

rnit eineni Hauptteil C z o - langs einer geschlossenen Kurve, das

gleich ist. J(z) kann auf eine andere Weise aucli als Sunime der Kurvenintegrale entlang K , und K ,

darstellbar sein. Es kann bewiesen werden, daIJ sich die Integrale langs kleiner Kreise, welche urn die Punkte a, b, Clo, Cz0 herumgefiihrt werden, dem Wert Null nahern, wenn der Halbinesser dieser Kreise gegen Null strebt. Wenn wir als Gf([) den Grenzwert auf der linken Seite und G-(C) den Grenzwert auf der rechten Seite des Schnittes Cl0 520 bezeichnen, d a m folgt

J ( z ) = G(z) - c z 0 + cl, . . . . . . . . . . . . (5917)

G+(C) - G-(C) = - 2 ?t i rlcr-.>cr-b) . Es gilt dann

d5 9

- a> (5 - 6) 5 -- z

Kl 5 1 0

d. h.

d 5 . . . . . (5.18).

J. BEILLI, Einige gemischte Randbedingungen anisotroper Platten 481

Wir errecliIien den zweiten Teil des Integrals (5.14) ahnlich. Nach der Berechnung und Einsetzen in Gleichung (5.14) bekomint nian :

Die Funktionen @;(zl), !Pi(z2) ergeben sich entsprechend (3.14), die hiomente und Schub- kraf l e entsprechend (2.17). Die Endergebnisse erhalten wir als Suninien beider Losungen, d. h. der Lbsuiig der langs des ganzen Randes eingespannten Halbplatte wo und der erganzenden Losung wl.

Die i n e ineni i n n e r e n P u n k t e d u r c h e in E inze lmon ien t M y b e l a s t e t e H a l b - p l a t t e . Wir werden die Halbplatte y > 0, welche ini inneren Punkte to, l;lo durch ein Einzel- inoinent MY belastet ist, untersuchen. Die Losung werden wir sowie im vorigen Falle in der Form der Suninie w = wo + w1 suchen.

Entsprechend [2] gilt fiir eine langs des ganzen Randes eingespannten Platte

Am Rande y = 0 erhalten wir dann

Fur die Bestiminung der aus der erganzenden Losung w1 sich ergebenden GroBen nach (5.13) bekoninit nian:

woraiis @i(zl') und !Pi(z2) inittels (3.14) bestiiiimt werden kann. Die Biegungs- und Drehmomente, sowie auch die Schubkrafte der ganzen Losung erlialten

wir als Surnmen entsprechender GroI3en beider Losungen wo und wl. Wenn man go = 0 und a < Eo < b setzt, erhalt Inan die Losung einer Halbplatte, be-

lastet clurch ein iiii Punlit to des frei drchbar unterstutzten Abschnittes (a b) wirkendes Einzel- nioincnl Mg

was iiiit dcr dirckl erhaltenen Losung (4.10) iihereinstiinnit. 32

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ZAMN 40 (1960) Heft 10111, Seite 482-4811

Thermal Stresses in Spherical Shells of Visco-elastic Materials By B. I). AWAKWALA

Ptrr die thtrttiischen Spariiaulzgeib in einer Kugelschale von beliebigeni l i iwre in Material iuit teinperutur- abhaiigigen Eigenschaften wird ein mathematischer Ausdruck abgeleitet. Die entsprechendetr Resultate f u r ril len H a x w e l l s c h e n Pestk8rper erhalt m a n daraus als Spezialfull. Verschiedene numerische Resultate werdeia angcgeben.

An expression has been obtained for thermal stresses in spherical shells of general linear material whose properties car?/ with temperature. T h e corresponding results for a Maxwell solid are obtained as a particular ezawple. Vniiozis numerical results are given.

BLIBOAHTCH BL-IpameHMe ~nrr TepniwrecKnx Hanprrwemiii B c@epwrecr<nx o6oJIowax, MaTe- 1)ItaJI HOTOphIX 06~1aaaeT JlHHe~IIbIMM CBOiiCTBaMLl, It3MeIIRIOIIPIM1lCR B 3aBHCIIMOCTH OT TeM- IlC‘paTypLI. ~OOTBeTCByK)II[~ie pe3J’JIbTaTlJ ZJIR MaKCBeJIOBOrO TBepAOrO TeJIa IIOJIy~IaIOTCfi B I i i lYeCTdC 9aCTIIOI’O IIpHMepa. AaIOTCH HeKOTOpLIe 4HCdIeII11LIe &)C3yJII>TaTLI.

Tho problem A sl,herical shell made of general linear solid inaterial whose properties vary with distance

from the center and with teniperature, is cooled down (or heated) froin any given temperature. We wish to find what the stress distribution in the spherical shell is a t any subsequent moment. Thc inerlia effects and the effects of strcsses on temperature are neglected.

The correspo~iding probleni for a sphere is discussed in [l]. For the sake of completeness we shall reproduce part of [l] here.

\Ve star t wil-11 the stress-strain relations

A eii + B iii = C si f -1- D Sii . . . . . . . . . . . . * (1)

* (2) 3 * . . . *

and E k k & j o k k 6”

eii == Eii s . . - 0.. - -._A? 2 1 - 2 1 3

e == K O + E ,

where eii and sii are deviatoric strain and stress coniponents respectively and A , B, C and L) are functions of distance froin the center and temperati.ire. We assume tha t temperature T of the shei! is known as a function of distance (r) and time (f), so tha t A, B, C and D are known func- tions :f r and f. K is assumed to be constant throughoul ; while B = J a dT, a being the coefficient of linear expansion (also a function of r and T and therefore or r and f).