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Einige Grundlagen der magnetischen Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld Nahfeld - - Kopplung Kopplung Vorlesung RFID Systems Michael Gebhart TU Graz, Sommersemester 2011

Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

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Einige Grundlagen der magnetischen Einige Grundlagen der magnetischen NahfeldNahfeld--KopplungKopplung

Vorlesung RFID SystemsMichael GebhartTU Graz, Sommersemester 2011

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Seite 2RFID Systems

InhaltInhalt

Überblick

Methode des Magnetischen Moments

Biot-Savart Gesetz zur Bestimmung der H-Feldstärke

Koppelsystem:Induzierte Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, Koppelfaktor

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 3RFID Systems

ÜberblickÜberblick

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 4RFID Systems

Energieübertragung im NahfeldEnergieübertragung im Nahfeld

Die Energieübertragung erfolgt bei induktiv gekoppelten Systemen im Nahfeld fast ausschließlich durch das H-Feld, welches stromdurchflossene Leiter umgibt, und Spannungen und Ströme in benachbarten Leitern induziert.

Die freie Ausbreitung einer elektromagnetische Welle ist im Nahfeld einer Schleifenantenne noch nicht gegeben, und das E-Feld ist im Vergleich zum H-Feld sehr schwach. Hinzu kommt eine Phasenverschiebung zwischen E- und H-Komponente, sodass sich eine komplexe Wellenimpedanz ausbildet und durch die EM Welle größtenteils Blindleistung übertragen wird.

Die H-Feld-Komponente nimmt zudem im Nahfeld mit 1/d3 (- 60 dB/Dek.) ab, während im Fernfeld bei freier Wellenausbreitung sowohl H-Feld-Komponente, als auch E-Feld-Komponente mit 1/d1 (-20 dB/Dek.) abnimmt.

Da die Grenzwerte für die zulässige Feldstärke der Abstrahlung bei konstanter Distanz gemessen werden, die bei 13,56 MHz bereits im Fernfeld liegt, hat die Verwendung des H-Feldes im Nahfeld den Vorteil, dass bei kleinen Abständen relativ hohe Leistung vom Reader an den Tranponder übertragen werden kann.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 5RFID Systems

Modelle für HModelle für H--FeldstärkeFeldstärke

Es gibt im Wesentlichen zwei Modelle, die zur analytischen Berechnung der H-Feldstärke verwendet werden können:

Magnetisches Moment

Diese Methode wurde von Heinrich Hertz als Analogie zum Dipolmoment für die Berechnung des E-Feldes entwickelt. Sie liefert gute Ergebnisse für das Fernfeld bzw. für eine ausreichend große Distanz zur Sendeantenne, deren genaue Geometrie nicht berücksichtigt wird.

Biot-Savart-Gesetz

Diese Methode berücksichtigt genau die Geometrie der stromdurchflossenen Sendeantenne und liefert gute Ergebnisse für die Abstrahlung im Nahfeld. In der originalen Formel wird die elektromagnetische Wellenausbreitung nicht berücksichtigt.

Die Formel lässt sich jedoch so erweitern, dass sie im Nahfeld und im Fernfeld gute Ergebnisse liefert.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 6RFID Systems

Methode des Magnetischen MomentsMethode des Magnetischen Moments

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 7RFID Systems

Magnetisches MomentMagnetisches Moment

Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes. Sie wurde von Heinrich Hertz eingeführt und erlaubt, die elektromagnetische Welle ausgehend von einer von Wechselstrom durchflossenen Schleifenantenne in Analogie zu einer elektrischen Dipol-Antenne zu beschreiben. Im Fernfeld sind die Eigenschaften einerelektromagnetischen Welle gleich, ob sie nun von einem Dipol, oder einer Schleife erzeugt wurde. Auch viele Eigenschaften des H-Feldes und des E-Feldes im Nahfeld-Bereich lassen sich mit diesem Modell gut herleiten und zeigen.

Insbesondere kann es für die RFID-Technik dann nützlich sein, wenn es darum geht, allgemeine Beziehungen unabhängig von einer speziellen Antennengeometrie aufzustellen (Kopplung, Rückwirkung zwischen Readern und Transpondern unterschiedlicher Bauformen...). Jedoch versagt das Modell des magnetischen Moments in unmittelbarer Nähe zum Antennenleiter, da eben kein Leiter vorhanden ist. Um hier die Eigenschaften richtiger zu betrachten, geht man besser wieder zurück zum Biot-Savart-Gesetz, das in seiner (später durch Wheeler u.A.) um das Retardationspotential erweiterten Form nicht nur im Nahbereich, sondern auch im Fernfeld richtig ist.

Gewinn einer kleinen Loop-Antenne in xy für das Fernfeld.

x

y

z

S c h le if e n -

a n te n n e

D ip o l-

a n te n n e

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 8RFID Systems

Magnetisches MomentMagnetisches Moment

Das magnetische Moment ergibt sich aus Geometrie mal Strom.

Für eine geschlossene Leiterschleife beliebiger Form in der Ebene ergibt sich das Moment als Strom mal der vom Leiter umschlossenen Fläche.

Noch allgemeiner, für beliebige Stromverteilung im Raumvolumen, ergibt sich

bei rechteckiger Antenne

( ) IrNAINmd ⋅=⋅⋅= π2r ( ) IblNAINmd ⋅⋅=⋅⋅=r

∫⋅= AdImd

rr

dVJrmd

rrr×⋅= ∫2

1

Praktisch ergibt sich damit für den Betrag des Moments einer ebenen Antenne

bei kreisrunder Antenne

mit ( ) Φ= dddrrdV θθsin2

Vektor von Ursprung zum Volumselement

Raumvolumen-Element (Kugelkoordinaten)

rr

vJvr

ρ= Stomdichte (mal Geschwindigkeitsvektor)

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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HH--Feld ausgedrückt durch magnet. MomentFeld ausgedrückt durch magnet. Moment

++−+Φ

+= θθθ

π

)DD)DD

D

rr

sin1cos24 2

2

2

2

2 rj

rrj

rr

mH d

Φ

⋅=

)D

D

rv

θπ

µsin1

4 2

0

rj

r

mcE d

H

EZ =

z

x

y

H

E

r

θ

Φ

I

Raumpunkt

Stromdurchflossene

Leiterschleife

0

Die H-Feld-Komponente und die E-Feld-Komponente ergeben sich aus dem magnetischen Moment (einer stromdurchflossenen Leiterschleife) für einen beliebigen Raumpunkt in Kugelkoordinaten zu

Das Verhältnis von E-Feld zu H-Feld ist die Feld- oder Wellen-Impedanz

mitπ

λ

2=D bezogene Wellenlänge

(radian wavelength)

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 10RFID Systems

Besondere AntennenBesondere Antennen--OrientierungenOrientierungen

Koaxiale Orientierung:

Die Mittelpunkte beider Antennenleiter liegen auf der gleichen Achse normal auf die Leiterbahnebene

Koplanare Orientierung:

Beide Antennenleiter liegen in der selben Ebene.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 11RFID Systems

HH--Feld und EFeld und E--Feld bei koplanarer OrientierungFeld bei koplanarer Orientierung

++−=

rj

rr

mH d DD

D

rr

2

2

21

( )( ) 1sin

0cos90

=⇒

=⇒≡

θ

θθ

⋅=

rj

r

mcE d D

D

rr

14 2

0

π

µ

Koplanare Orientierung:

Der Winkel zur Flächennormalen z ist Null.

Es entfällt somit der Kosinus-Anteil der H-Feld-Komponente und es bleibt eine vereinfachte Komponente für H- und für E-Feld.

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Seite 12RFID Systems

Feldimpedanz bei koplanarer OrientierungFeldimpedanz bei koplanarer Orientierung

Da E und H ungleich Null sind, läßt sich die Feldimpedanz berechnen. Dazu nehmen wir einmal den Betrag des H-Vektors und des E-Vektors an:

4224

22

22

2

2

2

1

4

14

DDD

DD

D

rr

+−=

=

+

+−=

rrrr

m

rrr

mH

d

d

π

π

( )

22

2

0

2

2

2

0

1

4

14

DD

D

D

rr

+⋅

=

=

−+

⋅=

rrr

mc

rr

mcE

d

d

π

µ

π

µ

( )4224

34

0

2

20

2

2

2

2

0

1

1

14

14

rr

jrrZ

rj

r

rj

Z

rj

rr

m

rj

r

mc

H

EZ

d

d

+−

+=

==

++−

⋅=

=

++−

=

==

DD

D

KDD

D

DD

D

D

D

π

π

µ

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 13RFID Systems

Feldimpedanz bei koplanarer OrientierungFeldimpedanz bei koplanarer Orientierung

Daraus kann man nun den Realteil und den Imaginärteil von Z bilden.

Der Betrag von Z ergibt sich wiederum aus beiden Anteilen durch

( )( )4224

4

0Rerr

rZZ

+−=

DD

( )( )4224

3

0Imrr

rZZ

+−=

DD

D

( ) ( )

( )4224

66

0

22 ImRe

rr

rrZ

H

EZZZ

+−

+=

==+=

DD

D

0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

10

100

1 .103

Real & Imaginärteil der Wellenimpedanz

Distanz über bezogene Wellenlänge

Imped

anz

in O

hm

377 Ohm

ImaginärteilNahfeld-Impedanz

RealteilNahfeld-Impedanz

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 14RFID Systems

Wellenimpedanz bei koplanarer OrientierungWellenimpedanz bei koplanarer Orientierung

Der Betrag von Z ergibt sich wiederum durch aus beiden Anteilen durch

( ) ( )

( )4224

66

0

22 ImRe

rr

rrZ

H

EZZZ

+−

+=

==+=

DD

D

0.01 0.1 1 1010

100

1 .103

Betrag der Feldimpedanz koplanar

Distanz über bezogener Wellenlänge

Imp

edan

z in

Oh

m

377 Ohm

Betrag Nahfeld-Impedanz

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Erst im Fernfeld konvergiert die Feldimpedanz zur bekannten Vakuum-Strahlungsimpedanz von

Ω≅Ω==⋅

=⋅= 3771201

0

0

00 πε

µ

εµ

ccZ

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Seite 15RFID Systems

HH--Feld und EFeld und E--Feld bei koaxialer OrientierungFeld bei koaxialer Orientierung

( )( ) 0sin

1cos0

=⇒

=⇒≡

θ

θθ

Koaxiale Orientierung:

Der Winkel zur Flächennormalen z ist Null.

Die E-Feld-Komponente wird damit zu Null und es verbleibt nur ein Anteil für die H-Feld-Komponente.

( )

+==

rj

rr

mH d DD

D

rr

2

2

24

20

πθ ( ) 00 ≡=θE

r

Die Feldimpedanz Z wird damit bei dieser AntennnenDie Feldimpedanz Z wird damit bei dieser Antennnen--Orientierung zu Null!Orientierung zu Null!

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 16RFID Systems

Vergleich der HVergleich der H--Feldstärke bei koaxialer und Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennenkoplanarer Antennen--OrientierungOrientierung

Koaxiale Orientierung:

( )

+==

rj

rr

mH d DD

D

rr

2

2

24

20

πθ

224

32

22

2

2

2

22

1

2

4

2

ImRe

rr

m

rrr

m

H

d

d

DDD

KDD

D

r

+=

==

−+

=

=+=

π

π

Koplanare Orientierung:

( )

++−=°=

rj

rr

mH d DD

D

rr

2

2

21

490

πθ

4224

22

22

2

2

2

1

4

14

DDD

DD

D

rr

+−=

=

+

+−=

rrrr

m

rrr

mH

d

d

π

π

Komplexe DarstellungKomplexe Darstellung Komplexe DarstellungKomplexe Darstellung

Betragsmäßige DarstellungBetragsmäßige Darstellung Betragsmäßige DarstellungBetragsmäßige Darstellung

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 17: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 17RFID Systems

Vergleich der HVergleich der H--Feldstärke bei koaxialer und Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennenkoplanarer Antennen--OrientierungOrientierung

0.1 1 10 1001 .10

6

1 .105

1 .104

1 .103

0.01

0.1

1

10

koplanar

koaxial

Distanz in m

FernfeldFernfeldNahfeldNahfeld

Abnahme der H-Feldstärke mit der Distanz für koaxiale und koplanare Antennenorientierung.

Nahfeld:

koaxial & koplanar: H ~ 1/d3

Fernfeld:

koaxial: H ~ 1/d3

koplanar: H ~ 1/d1

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 18: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 18RFID Systems

Phasenlage von HPhasenlage von H--Feld und EFeld und E--Feld über DistanzFeld über Distanz

Mit dem Verlauf der Feldimpedanz hat auch die Phasenlage von H-Feld und E-Feld bei der Abstrahlung vom Antennenleiter noch nicht den Verlauf der freien Wellenausbreitung.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

0 2 4 6 8 10

150

100

50

0

50

100

150

Nahfeld Phasenlage über Distanz

Distanz über bezogener Wellenlänge

Win

kel i

n G

rad

0 2 4 6 8 10

150

100

50

0

50

100

150

Nahfeld Phasenlage über Distanz

Distanz zur Sendeantenne in Metern

Pha

senw

inke

l in

Gra

d

E-Feld Phasenverlauf

H-Feld Phasenverlauf H-Fernfeld

Phasenverlauf

13,56 MHz Darstellung bis λ/2.

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Seite 19RFID Systems

Felder aus einer rechteckigen SchleifenFelder aus einer rechteckigen Schleifen--AntenneAntenne

Als anschauliches Beispiel wollen wir noch die H-Feld und die E-Feld-Komponenten im Nahbereich um eine rechteckige Schleifenantenne ansehen, wie sie ein Feldsimulator (Software) darstellt.

Antenne 88 x 55 mm, Leiterbahnbreite 0,5 mm und Leiterbahn-Stärke 20 µm.

Speisung an der linken kurzen Seitenkante, Antennenstrom 1 A(rms).

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Quelle: Prof. Dr. H. Wendel, FH Oldenburg

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Seite 20RFID Systems

Absolutwerte HAbsolutwerte H--Feld und EFeld und E--FeldFeld

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 21: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 21RFID Systems

Richtungsvektoren HRichtungsvektoren H--Feld und EFeld und E--FeldFeld

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 22: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 22RFID Systems

Absolutwerte und DezibelAbsolutwerte und Dezibel--WerteWerteDezibel-Werte sind logarithmische Werte, bezogen auf einen Referenzwert. Leistungen skalieren mit 10-fachem Logarithmus, Felder wie H und E skalieren mit 20-fachem Logarithmus (wie Ströme und Spannungen), da sie quadratisch proportional der Leistung sind.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

=

REF

ABS

dBH

HH log20 2010

dBH

REFABS HH ⋅=

( ) ( )Ω≅Ω≅ dBZ dB 5.51377log20,0

mVmAZHE LIMITLIMIT µµ 377000377/10000 =Ω⋅=⋅=

mmAmAmAHHdBH

REFLIMIT

dB

/1/100010/110 2060

20 ==⋅=⋅= µµ

Elektromagnetische Welle im Fernfeld.

( ) )/(5.111)(5.51)/(605.51,0 mVdBdBmAdBdBHZHE dBdBdBdB µµ =Ω+=+=+= Ω

Beispiel: H-Feld-Limit von 60 dB(µA/m) entspricht absolut

Im Fernfeld kann man daraus den Betrag von E berechnen

Das Gleiche gelingt mit Dezibel-Werten (für das Fernfeld)

Page 23: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 23RFID Systems

LeistungLeistung

Die Leistungsdichte ergibt sich mit dem Poynting-Vektor aus E-Feld und H-Feld bekanntlich nach

Gewinn einer kleinen Loop-Antenne in xy für das Fernfeld.

x

y

z

S c h le ife n -a n te n n e

D ip o l-a n te n n e

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

2

0

0

2

HZZ

ES ⋅==

( ) 22422

0 /377.0/10377/1377 mmWmWmmAHZS =⋅=⋅Ω=⋅= −

HESrrr

×=

Für Betrags-Größen gilt auch

Mit dem H-Feld Limit 60 dB(µA/m) ergibt sich damit im Fernfeld die Leistungsdichte:

Die Richtcharakteristik (Direktivität) ergibt sich zu

ISOTROPHS

SD =

Für eine verlustlose Antenne ist die Direktivität gleich dem Gewinn.

Die Leistung ist 2

0

0

2

HAZZ

EAAdSP

A

⋅=== ∫r

or

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Seite 24RFID Systems

Zusammenfassung Nahfeld / FernfeldZusammenfassung Nahfeld / Fernfeld

Distanz32

⋅≥π

λDistanz3.0

2⋅≤

π

λ

λ

2

02DistanzD

≥λ

2

02DistanzD

Nahfeld Fernfeld

ElektromagnetischeElektromagnetischeWelleWelle

GrenzeGrenzeFeldbereichFeldbereich

HErr

( ) °≠∠ 0)(),( tHtE ( ) °=∠ 0)(),( tHtE

AntennenAntennen--durchmesser Ddurchmesser D00

(zeitliche)(zeitliche)PhasenverschiebungPhasenverschiebung

(räumliche)(räumliche)FeldvektorenFeldvektoren

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 25: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 25RFID Systems

Anwendungsbeispiel: Anwendungsbeispiel: HH--Feld Emissionslimits über MessdistanzFeld Emissionslimits über Messdistanz

Man kann diese Zusammenhänge beispielsweise dazu nutzen, um die Grenzwerte für die Feldstärke auch in anderen Distanzen als der angegebenen Mess-Distanz messen und auf die Mess-Distanz umrechnen zu können. So kann man etwa zwischen unterschiedlichen Regulativen vergleichen (EU, USA,...).

Ebenso kann man mit E-Feld-Antenne gemessene Grenzwerte mit Hilfe der Formeln in H-Feld-Werte umrechen, oder umgekehrt.

Es ist dabei jedoch immer etwas Vorsicht auf Einflüsse geboten, zertifiziert wird jedenfalls nach Messvorschrift.

1 10 1001 .10

8

1 .107

1 .106

1 .105

1 .104

1 .103

H-Feldstärke der Limits über Distanz

Distanz in Metern

H-F

eldst

ärke

in A

/m(r

ms)

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 26: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 26RFID Systems

BiotBiot--Savart Gesetz zur Bestimmung der Savart Gesetz zur Bestimmung der HH--FeldstärkeFeldstärke

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 27: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 27RFID Systems

Gesetz von AmpéreGesetz von Ampére

In der Reihenfolge der Entwicklungsgeschichte hat zuerst Ampere (1820) sein Gesetz gefunden, dem zufolge ein Strom, der durch einen Leiter fließt, ein magnetisches Feld rund um den Leiter erzeugt. Mit der später eingeführten Notation der Einheiten (Definition von µ0) lautet sein Gesetz in heute üblicher Schreibweise

( )120 coscos

4αα

π

µ−⋅=Φ

r

IB

I.......Antennenstrom (effektiv)

r......Distanz von Leitermitte

µ0...Permeabilität (magnetische Feldkonstante) im freien Raum, 4π 10-7 Vs/Am

Für den Spezialfall eines unendlich langen, geraden Drahtstückes (=> α1 = -180°, α2 = 0°) ergibt sich der bekannte einfache Zusammenhang

r

IHbzw

r

IB

ππ

µ

2.

2

0 == ΦΦ

I

z

0

α1

r

Raum-

punkt

R

α2

Leiter-

stückα

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 28: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 28RFID Systems

Gesetz von BiotGesetz von Biot--SavartSavart

I1

r→

ds→

dH

Messpunkt

Das Problem dabei ist das Umlaufintegral, das nur für einige Spezialfälle analytisch zu lösen ist. Es ergeben sich Näherungsformeln für wesentliche Fälle.

∫×

⋅=

Sr

rsdIH

34

1

rrr

π

Später haben in Paris der Physiker Jean-Baptiste Biot und sein Assistent Felix Savart das nach ihnen benannte Gesetz entwickelt, das es erlaubt, Richtung und Stärke des magnetischen Feldes aus beliebigen Geometrien und Strömen für jeden Raumpunkt zu berechnen. Das Gesetz lautet in integraler Form:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Page 29: Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld -Kopplung · Magnetisches Moment Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes

Seite 29RFID Systems

Näherungsformeln für spezielle GeometrienNäherungsformeln für spezielle Geometrien

Für den Betrag des H-Feldes auf der Achse einer kreisrunden planaren Leiterschleifen (“kurze Zylinderspule”) ergibt sich die Näherungsformel 1:

Randbedingung ist eine plane oder kurze Spule (Länge << R) und der Nahfeldbereich (x << λ/2π).

( )322

2

2 xR

RNIH

+

⋅⋅=

H.....Feldstärke am Messpunkt

I......Antennenstrom (effektiv)

N.....Windungsanzahl

R.....(mittlerer) Radius der Spule

x......Distanz auf der Mittelachse

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Kreisrunde plane Leiterschleife

Für den Betrag des H-Feldes auf der Achse einer rechteckigen planen Leiterschleife mit den Kantenlängen a und b ergibt sich die Näherungsformel 2:

Rechteckige plane Leiterschleife

+

+

+

+

+

⋅⋅=

2

2

2

2

2

22

2

1

2

1

224 x

bx

ax

ba

abNIH

π

H.....Feldstärke am Messpunkt

I......Antennenstrom (effektiv)

N.....Windungsanzahl

R.....(mittlerer) Radius der Spule

x......Distanz auf der Mittelachse

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Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen

Mit Hilfe mathematischer Software läßt sich die folgende Integralformel auswerten, um exakte Lösungen für kreisrunde Antennen zu erhalten. Man stellt dazu die kreisförmige Leiterschleife mit Zylinderkoordinaten dar. Der Vektor zwischen einem Punkt am Umfang der Leiterschleife (Index S für source) und dem Aufpunkt oder Empfangspunkt im Raum (Index R für receive) ergibt sich so:

Dabei ist der Mittelpunkt der kreisrunden Leiterschleife mit xS, yS und zS im Raum gegeben, der Aufpunkt mit xR, yR, zR.

Radius der kreisrunden Leiterschleife ist a und ein Punkt am Umfang wird über den Winkel φbeschrieben (0...360°).

Die Phasenkonstante beta ergibt sich wie üblich nach

( )( ) ( ) ( )222)sin(cos),,,( RSRSRSRRRSR zzyayxaxzyxr −+−Φ⋅++−Φ⋅+=Φ

c

fπβ

2=

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen

Die Beträge der drei Komponenten der H-Feldstärke ergeben sich im Aufpunkt damit zu

( ) ( ) ( )[ ] Φ

Φ⋅−+Φ⋅−+⋅

+⋅⋅⋅

⋅= ∫

⋅⋅−

dyyxxar

ir

eaIzyxH RSRS

SRSR

ri

ARRRz

SRπ β

βπ

2

0

2)sin()cos(

1

4,,

Besonders wesentlich für die üblicherweise koaxiale Anordnung von Reader und Transponder ist die Hz-Komponente (bei exakt koaxialer Anordnung wird Hx und Hy Null).

( ) ( ) ( ) Φ

+⋅⋅⋅Φ⋅

−⋅⋅= ∫

⋅⋅−

dr

ir

ezzaIzyxH

SRSR

ri

RSARRRx

SRπ β

βπ

2

0

2

1cos

4,,

( ) ( ) ( ) Φ

+⋅⋅⋅Φ⋅

−⋅⋅= ∫

⋅⋅−

dr

ir

ezzaIzyxH

SRSR

ri

RSARRRy

SRπ β

βπ

2

0

2

1sin

4,,

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen

Mit der um das Retardationspotential erweiterten Biot-Savart-Formel läßt sich ebenfalls der typische Verlauf der H-Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennen-Orientierung für Nahfeld und Fernfeld zeigen:

Da mit dieser Formel das H-Feld auch sehr nahe am Leiter richtig bestimmt werden kann, ist für RFID-Anwendungen die Anmerkung wichtig, dass dies natürlich nur für den unbelasteten Fall (Freifeld-Ausbreitung) gilt. Metallteile oder Transponder erzeugen ein Sekundärfeld und wirken auf den Reader zurück. Dabei reduziert sich der Antennenstrom, und damit auch das emittierte H-Feld.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Zwei Betrachtungen mit BiotZwei Betrachtungen mit Biot--SavartSavart

Das Biot-Savart-Gesetz liefert gute Ergebnisse im Nahfeld und bezieht die Antennengeometrie richtig mit ein.

Wir wollen daher mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes zwei Betrachtungen anstellen, für die Größe und Form der Antenne entscheidend sind:

Homogenität des H-Feldes

Optimaler Antennenradius

Das H-Feld ist in jedem Punkt im Raum durch einen Vektor zu beschreiben, der die Stärke und die Richtung des Feldes angibt. Es gibt daher in kartesischen Koordinaten stets die drei Komponenten x, y, z. Entlang der Spulen-Achse ist insbesondere die z-Komponente wesentlich, die beiden anderen Richtungsbeiträge werden an dieser speziellen Achse zu Null.

Nahe der Leiterschleife entstehen zudem von beiden Leitern her entgegengesetzt gerichtete Beiträge, die sich aufheben. Betrachtet man also die Hz-Komponente über den Querschnitt der kreisrunden Leiterscheife, so findet man in geringer Distanz z daher über der Mitte eine „Delle“ in der Feldstärke, bei größerer Distanz z hingegen ein Maximum. Abhängig vom Durchmesser der Leiterscheife gibt es eine Distanz z, an der sich über eine gewisse Fläche eine ebene, homogene Feldstärkeverteilung ergibt.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Optimaler AntennenradiusOptimaler Antennenradius

Wir haben zuvor gesehen, dass in geringem Abstand zu einer relativ großen, kreisrunden Sendeantenne auf der Mittelachse ein Minimum der Feldstärke besteht. Wenn man den gleichen Strom durch eine Antenne mit kleinerem Durchmesser fließen läßt, kann man in gleicher Distanz punktuell viel höhere Feldstärken erzeugen.

Verändert man bei konstantem Abstand x zur Sendeantenne den Antennen-Radius, so findet man (in koaxialer Orientierung) bei einem bestimmten Verhältnis zwischen Abstand und Radius ein Maximum der Feldstärke H. Dieses Maximum ist freilich nur für einen Abstand, beispielsweise die maximale Reichweite eines RFID-Systems, gegeben.

Um den optimalen Antennen-Radius zu finden, kann man die Näherungsformel ableiten:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )32222

3

322

32

xRxR

INR

xR

INRRH

dR

dRH

+⋅+−

+==′

Die Nullstellen dieser Funktion liegen bei

Der energetisch günstigste Radius ergibt sich also zu mal der Distanz zum Antennen-Mittelpunkt.

Dabei wäre noch zu bedenken, dass die Näherung nicht die Inhomogenität des Feldes miteinbezieht, die Fläche der Transponderantenne also unberücksichtigt bleibt. Größenordnungsmäßig soll der maximale Abstand günstigerweise etwa gleich dem Radius der Sendeantenne sein.

2⋅± x

2

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 35RFID Systems

Koppelsystem:Koppelsystem:Induzierte Spannung, Induktivität, Induzierte Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, KoppelfaktorGegeninduktivität, Koppelfaktor

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 36RFID Systems

Induzierte Leerlaufspannung, offene SchleifeInduzierte Leerlaufspannung, offene SchleifeFür eine einzelne, offene Leiterschleife in einem zeitlich veränderlichen H-Feld (wir nehmen eine kontinuierliche Kosinus-Schwingung an) kann die induzierte Spannung nach dem Induktionsgesetzvon Michael Faraday berechnet werden:

Φ.......magnetischer Fluß

ω.......Kreisfrequenz

Φ0.....Amplitude des Flusses

Es ergibt sich eine harmonische Schwingung auch für den Zeitverlauf der induzierten Spannung. Diese ist gegenüber der Schwingung im Fluss um eine Viertel-Periodendauer zeitverschoben.

Wenn man die Zeitverschiebung außer Acht läßt, ergibt sich jedenfalls für die Amplitude der induzierten Spannung:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

−⋅⋅Φ=−⋅⋅Φ−=

Φ−=

Φ−=

2cossin

cos00

0 πωωωω

ωtt

dt

td

dt

tdtui

AHAB R ⋅⋅=⋅=Φ 0000 µµ

HAfU RCi ⋅⋅⋅=⋅Φ= 02 µµπω

In einer idealen, offenen Leiterschleife fließt kein Strom, damit gibt es keine Rückwirkung auf das primäre H-Feld. In der Praxis werden bei hohen Frequenzen parasitäre Kapazitäten von wenigen pF bedeutend, sodass doch nennenswerte Blindströme fließen, und eine kleine Rückwirkung auftritt.

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Strom in geschlossener LeiterschleifeStrom in geschlossener LeiterschleifeIn einer geschlossenen Schleife eines idealen Leiters ohne Wirkwiderstand, die in einem magnetischen Wechselfeld liegt, stellt sich (nach dem Durchflutungssatz) ein Strom so ein, dass ein magnetisches Wechselfeld erzeugt wird, welches dem Primärfeld entgegenwirkt und dieses genau aufhebt (Regel von Lenz).

Der Durchflutungssatz ist hier die erste Maxwell-Gleichung, bei der für zeitlich langsam veränderliches Magnetfeld (quasi-stationär) der Anteil der Verschiebungsstromstärke vernächlässigt ist:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

∫ ∫∫ ≅AC

dAnJsdHr

orr

or

.......Berandungslinie (Randkurve C)

A.......(vom Leiter) umschlossene Fläche

.......Vektor normal zur Fläche A

......H-Feld

.......Leitungsstromdichte

Wechselstrom, der in einer geschlossenen Leiterschleife fließt, erzeugt ein H-Feld und hat damit eine Rückwirkung auf das primäre Feld, dem Energie entzogen wird.

An dieser Stelle endet normalerweise die klassische Theorie, für RFID-Anwendungen liegen die Verhältnisse aber noch interessanter, weil die Randbedingungen für Idealfälle nicht erfüllt sind. Leiter haben einen Wirkwiderstand, höhere Güten erlauben phasenverschobene Ströme, etc.

sr

nr

Hr

Jv

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Seite 38RFID Systems

InduktivitätInduktivität

Betrachten wir zwei Leiterschleifen, die von zeitlich veränderlichem Strom durchflossen sind.

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Der Strom in der ersten Leiterschleife erzeugt ein Magnetfeld, das die Fläche der Leiterschleife durchsetzt und sich außerhalb der Schleifenfläche schließt. Ein Teil des magnetischen Feldes kann auch eine zweite Leiterschleife durchsetzen. Ändert sich der Strom in der ersten Leiterschleife mit der Zeit, dann ändert sich ebenfalls das Magnetfeld zeitlich und induziert eine Spannung in beide Leiterschleifen. Das hat einen Strom zur Folge, welcher der zeitlichen Änderung des Original-Stromes entgegenwirkt.

Der magnetische Fluß, der die 2. Leiterschleife durchsetzt, kann aus dem magnetischen Vektorpotential berechnet werden.

C1.....Randkurve der ersten Fläche

A1.....(vom Leiter) umschlossene Fläche

i1......Strom in ersten Leiter

.......Vektor normal zur Fläche A1

......magnetische Flußdichte

( ) ArotBmitsdPAdAnBA C

rrro

rro

r===Φ ∫ ∫ ∫

2 2

22222

1nr

Br

Ar

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Seite 39RFID Systems

InduktivitätInduktivität

Alle Anteile, die zum Fluß durch eine Fläche beitragen, sind den Stromstärken in den einzelnen Leitern direkt proportional, somit gilt für den Fluß durch Fläche 2:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Dabei ist L mit gleichen Indices die Selbstinduktivität (L), und L mit unterschiedlichen Indices wird als Gegeninduktivität (M) bezeichnet. Man kann diese Proportionalitätswerte auch allgemein auflösen:

2221212 LILI +=Φ

∫ ∫==

1 212

1202112

4C C

R

sdsdLL

ro

r

π

µEs gilt für die Gegeninduktivität:

Es gilt für die Selbstinduktivität: ( )

22

22

22

2

022

2 24

sddVR

PS

IL

C V

ro

r

∫ ∫∫∫′

′=

π

µ

Ist nur ein Leiter vorhanden, ist die wirksame Induktivität die Selbstinduktivität; sind zwei stromdurchflossene Leiter vorhanden, ist die wirksame Induktivität gleich Selbst- minus Gegeninduktivität.

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Seite 40RFID Systems

(Selbst(Selbst--) Induktivität) Induktivität

Bildlich gesprochen läßt sich die Induktivität als die “Trägheit des Stromes” verstehen; sie ist der “Widerstand”, den der Leiter einer zeitlichen Änderung des Stromflusses entgegenstellt.

Die Induktivität ergibt sich aus dem Verhältnis des mit dem Leiter verbundenen magnetischen Flusses Φ und der Stromstärke I zu

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

dI

dL

Φ= Φ= Nψ

Der insgesamt vom Strom i erzeugte magnetische Fluß Φ ist direkt proportional dem Momentanwert der Stromstärke i. Der dabei auftretende Proportionalitätswert ist die Induktivität.

mit dem Spulenfluss

( ) ( )di

dN

di

dL

dt

diL

dt

di

di

dN

dt

tdtui

Φ−=−=→=⋅

Φ−=−=

ψψ

Für rein harmonische Schwingungen kann man wieder die Ableitung umwandeln, und damit gilt dann für die Netzwerk-Rechnung (ohne Betrachtung von Einschwingvorgängen)

LXmitjXIU LL ω=⋅= wobei j die Phasenverschiebung von 90 ° ausdrückt.

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Einige Näherungsformeln für InduktivitätEinige Näherungsformeln für Induktivität

Induktivität eines geraden Leiterstückes mit kreisrundem Querschnitt: Hin

a

llL µ

⋅≅

4

32ln002,0

Induktivität einer einzelnen kreisrunden Windung (Leiter mit rundem Querschnitt)

Hina

RRL µ

≅ 2

8log303,201257,0

I.......Länge des geraden Leiters in cm

a......Radius des Leiterquerschnittes in cm

R......Radius der Windung in cm

a......Radius des Leiterquerschnittes in cm

Induktivität einer langen Spule mit einer Wicklung (Leiter mit rundem Querschnitt)

( )Hin

lR

RNL µ

4,259,22

2

+≅

R......Radius der Windungen in cm

l.......Länge der Spule in cm

N......Anzahl der Windungen

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

R

2a

R

l

2a

l

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Seite 42RFID Systems

Einige Näherungsformeln für InduktivitätEinige Näherungsformeln für Induktivität

Induktivität einer rechteckigen Planar-Antenne mit einer Windung:

( )[ ] nHinbabawbaaw

Aa

babw

AbL

+−+++

++⋅+

++⋅≅ 22

22222

)(

2ln

)(

2ln4

a.......Länge einer Seite in cm

b.......Länge andere Seite in cm

w......halbe Leiterbahnbreite in cm

A......Antennenfläche (a b)

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

2w

a

b

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Seite 43RFID Systems

GegeninduktivitätGegeninduktivitätEine exakte Berechnung der Gegeninduktivität zweier kreisrunder Leiterschleifen ist mit folgender Formel möglich:

MC.......Gegeninduktivität in H

µ0........Permeabilitätskonstante,

r1.........Radius der ersten Schleife in m,

r2.........Radius der zweiten Schleife in m,

x.........Abstand der beiden Spulenmitten in m,

α.........Winkel der beiden Spulenachsen

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

( )

( )α

α

αµπ

drrrrx

rrM C ∫

−++

⋅⋅=

2

0 21

2

2

2

1

2

210

cos2

sin

2

Für koaxiale Spulen, die auf einer gemeinsamen Achse liegen (koaxiale Orientierung), ergibt sich dafür folgende Näherungsformel

( )322

1

2

22

2

110

2 xr

rNrNM CA

+

µ

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Seite 44RFID Systems

KoppelfaktorKoppelfaktorDer Koppelfaktor (oder Koppelgrad) ergibt sich aus Induktivität und Gegeninduktivität einer Spulen-Anordnung, und gibt deren relative Verbindung an. Er ist eine reine Geometrie-Größe, da sich die anderen Parameter kürzen lassen.

M........Gegeninduktivität beider Spulen in H

L1........Induktivität 1. Spule in H,

L2........Induktivität 2. Spule in H

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Durch Auflösen der jeweiligen Induktivität bzw. Gegeninduktivität kommt man zu Geometrie-Gleichungen für Spulenanordnungen.

Für zwei kreisrunde Spulen ergibt sich so

MMMmitLL

Mk ==

⋅= 2112

21

( )322

121

2

2

2

1

xrrr

rrk

+⋅

⋅=

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Seite 45RFID Systems

Messung von Gegeninduktivität und KoppelgradMessung von Gegeninduktivität und KoppelgradNicht immer ist eine exakte Berechnung aus der Spulengeometrie leicht möglich, manchmal ist eine Messung (auch zur Kontrolle der Rechnung) einfacher durchzuführen. Eine Möglichkeit dafür nützt ein LCR-Meter, und liefert eine Näherung für die Gegeninduktivität:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

1. Leerlauf-Messung:

Die erste Spule wird ans Messgerät angschlossen, die zweite Spule bleibt offen. Ls wird an 13,56 MHz gemessen.

2. Kurzschluß-Messung:

Die erste Spule wird ans Messgerät angschlossen, die zweite Spule wird kurzgeschlossen. Ls wird an 13,56 MHz gemessen.

HHMESS LLLL ≈+= σ( ) σσσ LLLLL HMESS 2// ≈+=

Der Streufaktor istL

K

L

L=σ und der Koppelgrad

LK LLk −=−= 11 2σ

Die Gegeninduktivität M ergibt sich daraus zu21 LLkM ⋅⋅=

Lσ.......Streuinduktivität

LH.......Hauptinduktivität

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Seite 46RFID Systems

Messung des KoppelgradesMessung des KoppelgradesEine andere, praktische Möglichkeit zur Messung des Koppelgrades folgt aus einer sehr einfachen Betrachtung, die man vom nicht idealen Transformator her kennt:

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

Es ist nach diesem Prinzip natürlich auch möglich, Gegeninduktivität aus Schaltungssimulationen (Spice o.Ä.) zu gewinnen.

2

1

1

2

L

L

U

UKk F ⋅⋅≅

k..........Koppelgrad

KF........Korrekturfaktor (< 1)

U1.......Spannung Primärspule

Wesentliche Voraussetzungen dabei ist, dass in der Sekundärspule möglichst kein Strom fließen soll, um am Wirkwiderstand der Spule keinen Spannungsabfall zu verursachen, und um keine Rückwirkung auf die Primärspule zu verursachen. Die Messung erfolgt daher am besten mit einem aktiven Tastkopf, oder einem Spannungsfolger mit geringer Eingangskapazität. Die Wirkung der störenden Kapazität sollte dennoch durch einen Korrekturfaktor berücksichtigt werden:

U2........Spannung Sekundärspule

L1........Induktivität Primärspule

L2........Induktivität Sekundärspule

PROBEGES CCC += 2 ( )2

21

12

LCK

GES

F⋅⋅−

−=ω

Wird einer primären Spule eine Wechselspannung eingeprägt, und die induzierte Spannung an einer sekundären Spule gemessen, so ergibt sich der Koppelgrad nach

2

1

2

1

2 ~ NLmitN

Nk

U

U⋅≅

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Seite 47RFID Systems

Impedanzen im ÜberblickImpedanzen im Überblick

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

sCZ

1=

sLZ =

Cj

CjZ

ωω

11−==

RZ =

LjZ ω=

RZ =

jBGYjXRZ +=+=

R

jX

R

R

jX

jωL

R

jX

-jωC

1

U

I

θθθθ

U

I

θθθθ

U

I

θθθθ

Impedanz ZeigerdiagrammSymbol

( ) ( )00 cos ϕω += tIti

( ) ( )00 cos ϕω += tUtu

( ) ( )00 cos ϕω += tIti

( ) ( )°++= 90cos 00 ϕω tUtu

( ) ( )00 cos ϕω += tIti

( ) ( )°−+= 90cos 00 ϕω tUtu

Zeitfunktion Signalverlaufu(t)

i(t) t

t

t

u(t)i(t)

i(t)

u(t)

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Seite 48RFID Systems

SmithSmith--DiagrammDiagramm

http://www.sss-mag.com/pdf/smithchart.pdf

Das Smith-Diagramm wurde von Phillip Smith im Jahr 1939 entwickelt.

Hintergrund dafür ist, dass die Impedanz-Eigenschaften von Netzwerken bei hohen Frequenzen nur durch Reflexionsmessung an stehenden Wellen messtechnisch zugänglich werden. So arbeitet ein Netzwerk-analysator (Messgerät). Daher ist es naheliegend, die Darstellung des Reflexionsfaktors durch geeignete Skalen-Beschriftung als komplexe Impedanz ablesbar zu machen. Zugleich zeigt das Diagramm intuitiv die Genauigkeit des Messverfahrens (genau um den Anpasspunkt 50 Ohm).

Das Smith-Diagramm liegt also in der Ebene des Reflexionsfaktors ρ, und stellt eine Transformation der komplexen Impedanz Z auf ρ dar. Es erlaubt geometrische Netzwerk-Rechnungen, insbesondere Anpassung.

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Seite 49RFID Systems

Einige wesentliche Konstanten der TheorieEinige wesentliche Konstanten der Theorie

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

............................Lichtgeschwindigkeit in Vakuum

mA

sV7

0 104 −⋅= πµ ........................... Permeabilitätskonstante, magnetische Feldkonstante

........................... Dielektrizitätskonstante, elektrische Feldkonstante

s

mc 99792458,2=

mV

sA12

0 108542,8 −⋅=ε

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Seite 50RFID Systems

ReferenzenReferenzen

[1] Maxwellsche Theorie - Grundlagen und Anwendung, Ingo Wolf, Springer Verlag 1997, ISBN 3-540-63012-0

[2] An Introduction to Circuit Analysis, Donald E. Scott, McGraw-Hill 1987, ISBN 0-07-100309-6

[3] Vorlesung „Theorie der Elektrotechnik“ an der TU Graz

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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Seite 51RFID Systems

Trainingsfragen zur VerständniskontrolleTrainingsfragen zur Verständniskontrolle

• Wie erfolgt bei induktiv gekoppelten RFID-Systeme die Energieübertragung von Reader zu Transponder? Welche Modelle kennen wir, um die H-Feld-Ausbreitung im Nahfeld zu beschreiben, und welches sind ihre Vorteile und Nachteile? Wie sieht im Vergleich zum H-Feld das E-Feld aus, und die Feldimpedanz Z?

• Welche beiden wichtigen Antennen-Orientierungen kann man unterscheiden? Wie nimmt die Amplitude des H-Feldes über der Distanz zum Antennenmittelpunkt ab (Nah- und Fernfeld)? Bis zu welcher Distanz reicht bei 13,56 MHz Trägerfrequenz etwa das Nahfeld?

• Wie, und in welcher Distanz werden meist die Emissionslimits bestimmt? Welches Modell eignet sich zur ersten Abschätzung für Reader und Antenne? Welchen Strom im Antennenleiter darf eine kreisrunde Reader-Antenne mit 10 cm Durchmesser und 2 Windungen nicht überschreiten, um das Emissionslimit 60 dB(µA/m) einzuhalten? Wie hoch ist die H-Feldstärke koaxial in 10 cm von der Antennenmitte gemessen? Wie hoch muß die Strombelastbarkeit des Leiters einer rechteckigen Antenne mit 2 x 3 cm Kantenlänge sein, um in 10 m Distanz die gleiche H-Feldstärke zu erzeugen?

• Wie kann man die induzierte Spannung in einer Leiterschleife herleiten, die durch ein magnetisches Wechselfeld erzeugt wird (Amplitude, Phasenlage)?

• Was versteht man unter Induktivität, Gegeninduktivität und Koppelgrad, und wie kann man diese Größe messen?

LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417

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