Einige Ungleichungen fiber die mit Gewichts- funktionen gebildeten Mittelwerte

Von

Z. Dar6ezy, Debrecen

(Eingegangen am 3. Oktober 1963)

1. Einleitung

Es bezeictme J das Intervall (0, oo) und es sei

J " = { a ~ ( a , , a s , . . . , a , ) l a , e J , i ~ - l , 2 , . . . , n }

die Menge aller n-tupel yon reellen positiven Zahlen. In den Mengen Jn(n----2,3, . . . ) werden wit die Mittelwertoperation M: J"---> J folgenderma$en definieren: Es sei q eine stetige und streng monotone Funktion in J, ferner sei / eine positive und in jedem beliebigen endliehen Teilintervall yon J beschr~nkte Funktion in J. Die GrSBe

n

M[a] ----- M~[a], ---- ~-l[X/(a,) q~(a,) I X](a,)] (1) i : I i : 1

wird dermit der Gewichts/unkgon / gebildete Mittelwert yon a C J~ be- zfigheh der Abbildungs]unktion q~ genannt, wo ~-1 die zu ~ inverse Funktion ist. Zuerst hat M. Bajraktarevi5 [3] den Mittelwertstypus (1) eingefiihrt, und J. Acz~l und Verf. [2] besch~ftigten sieh mit den grund- legenden Eigensehaften der Operation (1). In der vorliegenden Arbeit wollen wit die Ungleichungen behandeln, welehe sich auf den Mittel- wertstylms (1) beziehen, und wit werden dann einige Anwendungen unserer Ergebnisse angeben.

2. Das allgemeine Problem

In der Theorie der quasiarithmetischen Mittelwerte spielt das Problem des Vergleiches verschiedener Mittelwerte eine grol]e RoUe (S. [6]). Wit werden jetzt dieses Problem beziiglich der Mittelwerte (1) formulieren. Es bezeichne K2 die Menge der in J stetigen und streng monotonen Funktionen ~, und es sei Q die Menge der positiven und

Ungleichungen fiber mit Gewichtsfunktionen gebildete Mittelwerte 103

in jedem beliebigen endlichen TeilintervaU yon J beschr~inkten Funk- tionen ], die in J def'miert sin& Es sei ~, ~ C Q, /, g 6Q, und wit betraehten die Ungleichnng

M~[a]l ~_ M~[a]g (2) fiir alle a ~J"(n = 2, 3, . . . ) . Das Problem ist das folgende: Wit suchen n~ und hinreichende Bedingungen fiir die F-nktionen ~, % ] und g, damit die Ungleichung (2) fiir alle a ~ J'(n = 2, 3, . . . ) effiillt wird. Die LSsung dieses Problems ist bis je tz t in dieser allgemeinen Form nicht bekannt. Hier werden wlr uns mit speziellen F~illen yon (2) und mit Folgerungen aus itmen besch~iftigen.

3. Fall der zusammenfallenden Gewiehtsfunktionen

SATZ 1. Es sei % ~ CA und / 6Q. Far beliebiges a C Jn(n = 2, 3, . . . ) gilt die Ungleichung

M~[a]t ~ M~[a]t (3)

dann und nut dann, ]aUs die Funlction ~pq~-i im EaUe einer wachsenden (abnehmenden) Funktion ~ ]convex (konkav) ist.

Beweis. a)Die Voraussetzung isthinreichend. Es sei z. B. yj~-i = F eine konvexe und ~p eine wachsende Funktion. Dann gilt die Ungleichung

n n

F ( I qi bt) =< I q~ F(bJ (4) i = l i = l

n

fiir beliebige b 6 J , trod q ~ (ql, q2, . . . , q,) (Xqi ---- 1, q~ > 0) (S. [6], - i = 1

Satz 86). n

Setzen wit jetzt in (4) q, = ](a,) / 27](a,) > 0 und b~ = ~(a,) i = l

(i ---- 1, 2, . . . , n), so erhalten wir f l f% n 7l

F[27 /(a,) ~(a,) / 27 /(a,)] ~ 27 /(a,) F[~(a,)] / 27/(a,). i=I i=l i=I i=l

Da ~ eine waehsende Funktion ist, so ha~ auch ~-1 dieselbe Eigensehaf~, d. h. aus der obigen Ungleichung folgt

n n ~ n

V -~ F[2:/(a,) v(a,) / ,~/(a,)] ~ V-~[27/(a,)F[v(a,) ] / ,~/(a,)]. i=I i=l i=l 4=I

Daraus folgt (3) wegen ~v~-l= F. Wenn y~p-1 = F eine konkave, und / eine abnehmende Funktion ist, so ist der Beweis iihnlieh.

104 Z. DarSczy:

r) Die Voraussetzung ist notwendig. Es sei jetzt a ~ (al, a s ) ~ J ~ und ~p eine waehsende FunCtion. Aus (3) folgt -- mit (ter Bezeiclmung ~p~-I _-- F - -

_F [ ](al) ~(al) § qJ(a~) ] < /(al)F[~(al) ] § ~(as)~'[~(a2)] L ](al) ~-/(as) J = /(al ) § ~(as)

Wit setzen ~(a~) ---- t i und / [~ - l ( t i ) ] ~- g(t~) ---- g~ ~ 0 (i ---- 1, 2), dann ist

\ gl § gs ---- gl § g~ (5)

Die Kurve der Funktion y = F(t) ist stetig und nach (5) gibt es auf

gl tl § g2 t2 einer beliebigen Sehne - - wegen der Ungleichung t~ ~ ~ t2 - -

gl § g~

einen yon den Endpunl~en verschiedenen Punkt, der fiber oder auf der Kurve liegt. So ist die Funktion F laut der Behauptung des Satzes 88 yon [6] konvex. Im Fall einer abnehmenden Funk~ion ~ ist der Beweis analog. Damit haben wit den Sa~z 1 vollstiindig bewiesen.

Aus dem Beweis des Satzes und aus dem Satz 89 yon [6] kann man leicht sehen, dal~ die Gleichheit in (3) ~iir beliebiges _a ~ J ' ( n = 2, 3, . . . ) dann und nut dann gilt, wenn F ---- y~-~ eine lineare Funktion ist, d. h.

die Gestalt ~ ---- a~ § fl(a ~ 0) hat (S. [3], [2]).

4. Fall tier iibereinstimmenden Abbildungsfunktion

SATZ 2. Es sei ~ ~ ~ und /, g GQ. Fi~r beliebiges a C J~(n = 2, 3, . . . ) gilt die Ungleichung

M~[a_] 1 ~ M~[a]g (6)

dann und nut dxmn, /alls die Funktion /(t) /g(t) abnehmend ist. Beweis. a) Die Voraussetzung ist notwendig. Es sei auch jetzt

a----(al, a2) C J s beliebig. Dann hat die Ungleichung (6) die folgende ~OrID.

L / (al) § ~(as) ---- L ~ Tg(~) . (7)

Es sei z. B. ~ eine wachsende Funktion, so erhalten wit aus (7)

](al) q~(al) § ~(as) g(al) ~(al) § g(a2) qJ(as) <= ](al) § ~(as) g(al) § g(as)

Da / und g positive Funktionen sind, bekommen wit:

Ungleichungen fiber mit Gewichtsfunktionen gebildete Mittelwerte 105

](al) g(al) [~(al) - - T(as)] ~ / ( a s ) g(al) [~(al) - - ~(as) ]. (8)

Es sei al > as. Daan ist ~(al) - - ~(as) wegen des Wachstums der Funk- tion ~ positiv, so dab aus (8)

/(a:) g(a2) <= ](as) g(al), (9)

d .h .

](al) /g(al) <~ ](as) /g(as)

folgt, und dies ist gerade die Behauptung des Satzes. Wenn ~ eine abnehmende Funktion ist, so kann man den Beweis ~ihnlieh ffihren.

fl) Die Voraussetzung ist hinreichend. Es sei a ~ (al, as . . . . , a~) ~ J~ beliebig, und 0 < a 1 < a s < . . . ~ a n. Da Me[a]! in a~(i = 1, 2 . . . . , n) eine symmetrische Funktion ist, s o ist diese Anordmmg yon a~ immer mSglich. Auch jetzt setzen wit voraus, dab ~ eine wachsende Funktion ist, da niimlieh der Beweis im Fall einer abnehmenden Funktion ganz analog ist. Da die Funkt ion / /g abnehmend ist, haben die GrSBen

Ai~: =/(a~) g(ak) - - / (ak) g(ai) (i, k = 1, 2 . . . . , n) (10)

die folgenden Eigensehaften:

1 ~ ffir l < i < k < n

2 o Aik = - - A~i (i, k ---- 1, 2, . . . , n).

Nach 2 o gilt die Gleichlieit

X q(a~) A~ = ZA~[q(a~) - - q(ak)], (11) i=k i=k i<k

wo die an der rechten Seite stehenden GrSB~ A~ wegen 1 ~ nicht- negativ sind. Wegen des Wachstums yon ~ gilt

q ( a ~ ) - - q ( a , ) g 0 ffir l g i < k _ _ < n .

Multiplizieren wit diese Ungleichungen mit den nichtnegativen GrSBen A~k(i < k) und addieren wir sie fiir 1 < i < k < n, so ist naeh (11)

~ q)(a,) Ar : ZA,~[~(a,) -- ~(ak) ] =< 0, i = l k = l i<k

woraus sieh wegen (10)

Z v(a,) [/(a,)g(ak) --/(ak)g(a,)] < 0 (12) i = 1 k ~ l

ergibt. Aus (12) folgt die Ungleiehung

106 Z. DarSczy

n n n

Z/(a,) 9(a,) / ~ /(a~) <= Z g(a,) ~(a,) I ~ g(ak) i ~ 1 k----1 i=I k = l

und wegen des Waehstnm,~ von n n

~o-~[Z '/(a,) 9(a,) / ,~ t(%)] =< ~-~[Z" g(a,) ~(a,) / Z' g(a~)], i = l k = l i = l k-----1

d .h .

M~[a]l <= M,[a]g.

Damit ist der Satz 2 bewiesen. Man kalm sehen, dal~ in (6) die Gleichhei~ fiir alle a CJ~(n = 2, 3, . . . )

dann mid nut dalm gilt, wena g(t) = a [(t) (a > 0) ist.

5. Potenzmittelwerte

Es ist bekannt, dab die Potenzmittelwerte in der Theorie der quasi- arithmetischen Mittelwerte eine wichtige Rolle spielen. Wit fiihren jetzt den Begrfff d e r m i t Gewichtsfunktionen gebfldetea Potenzmittelwerte ein. Es sei p ae 0 eine beliebige reelle Zahl. Der mit der Abbfldungs- funktion ~ ( t ) = t p s gebildete Mittelwert zwischea den Typen (1) wird dann ein mit Gewiehts]unktionen gebildeter Potenzmiuelwert genannt. Man schreibt dafiir

Mp[a]t = [ ~ ](a,)a, p / X/(a,)]-~. (13) i = l i = l

Der entspreehende Potenzmittelwert wird im Falle p = 0 mit der Funktion ~(t) = log t s gebfldet, d. h.

Mo[a] /= exp [X/(a,) log a, / X/(a,)]. (14) i = 1 i = 1

Offenbar isg

Wit fiihrea die

lim M~[a]t = Mo[a]r (15) p ->0

Bezeichnungen M| = max (a,) und M_~[a]! =

= min (a~) ein. Dann ist der mit Gewichtsfunl~ion gebildete Potenz- l < i < n

mi~telwert fiir alle --oo ~ p ~ ~ definiert und es bestehen die fol- genden Relationen:

lim Mp[a]t ----- M~ [a]t, p->oo

lim M~[a]t = M_ ~ [a] p->. - - oo

Ungleichungen fiber mit Gewichtsfunktionen gebildete Mittelwerte 107

lmd

M_| ~ Mp[a]l ~ M|

(Der Beweis unserer vorigen Behauptungen ist ~thnlieh wie der Beweis der Relationen, die sieh auf die gewShnlichen Potenzmittelwerte be- ziehen.) (S. [6].)

SATZ 3. D e r m i t Gewichts/unktion gebildete Potenzmittelwert Mp[a]t ist eine wachsende Funktion yon 19 im IntervaU -- oo <= p <= or.

Beweis. Es sei ~0(t) = t p und ~o(t) ---- t ", we 0 ~ T ~ r i s t . Dann ist ~0 eine wachsende Funktion und F = ~ - 1 = t~lp eine konvexe Funktion, folglich gilt nach Satz 1 die Ungleichung (3).

Is t p ,< r < 0, ~0(t) = t p und v/(t) = t', so gilt auch (3), weft ~ eine abnehmende, und F = ~o~o -~ -- t "/p eine konkave Funktion ist. Sind p und r beliebige Parameterwerte mit -- ~ ~ p ~ r ~ ~ , dann gilt wegen (15) die Ungleichung Mp[a]! ~ M,[a]r Damit haben wir den Satz bewiesen.

Im Falle/( t) = t, 1o = -- 1 und r = 1 ergibt sich die Ungleichung

M_~[a]! ~ M~[a]t,

d .h . 11 t l

lai/n=<Zai 2 / l a i. i=l i=1 i = 1

Dies ist eine bekannte Ungleichung der arithmetischen und antihar- monischen Mittelwerte.

6. Mittelwerte yon Beckenbaeh

Die yon E. F. Beckenbach [4] eingehend untersuchte Klasse der Verallgemeinerten antiharmonischen Mittel

= a a - - 1 ~a[a] = Ml[a_]=_ I ~ a~ / ~ a i

ill i = I

l~Bt sich in (1) mit q~(t) = t , / ( t ) = t a-1 einreihen. Diese einparametrige Klasse der Mittelwerte ist fiir alle -- o~ K a K ~ definiert. Eine Ver- allgemeinerung der Mittelwerte ~a besteht darin, dab wir neben einer festen Funktion qo ~ $2 und einem ver~inderlichen Parameterwert q mit der Gewichtsfunktion ](t) = t q den folgenden Mittelwert bflden:

M~[a]a = ~ -1 [~ a[ ~(a,) / X a[]. (16) i=1 i = 1

108 Z. Dar6czy

Die GrSl~e (16) werden wir den Mittelwert yon Beckenbach nennen. Eine Verallgemeinerung des Satzes 1 yon [4] ist der folgende

SATZ 4. Der Mittelwert yon Beckenbach M~[a]~ ist eine wachsende Funktion yon q im IntervaU -- oo < q < oo.

Beweis. Es sei -- oo < ql < q~ < oo. Dann ist -- mit den Bezeich- nungen fit) = t q l und g(t) = t q2 - - ](t) /g(t) = t ql-g~ eine abnehmende Funktion und wegen Satz 2 grit

was zu beweisen war.

7. ttomogene Mittelwerte

In [2] wurden die LSsungen der ttomogenit~itsgleiehung yon Mittel- werten des Typus (1)

M~[t a]l = t M~[a]! t > 0 (17)

bestimmt, wo die Werte ai(i = 1, 2, . . . , n) in einem beliebigen Intervall < A, B > liegen, das den Wert 1 enth~lt. Es sei jetzt < A, B > = J, dann ergibt sieh aus Satz 3 yon [2] das folgende Ergebnis: Ist qJ C [2 und ] C Q, so be/riedigen nur diejenigen Mittelwerte die Funk~ionalgleichung (17) ]i~r alle a ( 0 ~ a ~ o o , i = 1 , 2 , . . . , n ; n--~2,3, . . . ) und /iir beliebiges t ~ O, welche gleichzeitig Potenzmittelwerte und Mittelwerte yon Beckenbach sind. Dies bedeutet, da]] die zweiparametrigen Mittelwerte

Mp[a]q-~ [~ a, p+q / ~ a,q]~ p =4= 0 (18) i ~ 1 i = 1

b z w .

Mo[a]q ---- exp [~ a~ log a, / ~ aqi] (19) i = l iffil

die einzigen homogenen Mittelwerte vom Typus (1) sind. Wit bemerken, dal~ es auBer (18) und {19) -- entsprechend dem Intervall < A, B > - - auch andere homogene Mittelwerte geben kann (S. [2], Satz 3).

_&us Satz 3 und 4 ergibt sich der folgende SATZ 5. Die homogenen Mittelwerte Mp[a]~ (-- oo ~ T ~ oo, -- oo <

< q < ~ ) sind wachsende Funktionen yon p und q.

8. Mittelwerte und Entropien endlieher Wahrseheinlichkeitsverteilungen

Es sei P = (Pl, P2, - . . , Pn) eine Wahrscheinlic]lkeitsverteilung, d. h.

Pi > 0 und ~ p~ ----- 1. A. R~nyi [7] hat den Begrfff der zu P gehSrigen

Ungleichungen fiber mi t Gewichtsfunkt ionen gebildete Mit telwerte 109

Informationsmenge (Ent~opie) der Ordnung a dutch die Formel

1 n log2 (27 p~) (a > 0, a # 1) (20) Ia[P] - - 1 - - a i=1

eingefiihrt, die im Falle a -+ 1 in die Formel von C. E. Shannon

I I [P] = -- I p~ logs p~ (21) i=1

fibergeht (vgl. [2]). In diesem Teil besch~tftigen wir uns mi~ dem Zu- sammenhang der Entropien (20), (21) und der vorher studierten Mittel- werte. Wir ffihren die folgende Definition ein:

Definition. Die GrSfle I[P] = --log~ M[P] wird die Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P genannt, wenn tier Mittelwert M[P] -- der nut den Wahrscheinlichkeiten p~(i = 1, 2 , . . . , n) abhiingt - - die ]olgenden Eigenschaflen hat:

1. Es existiert eine in (0, 1] stetige und streng monotone Funktion qJ und eine in (0, 1] positive und besehrdnkte Eunktion / dera~t, daft M[P] in tier Form

M[P] -= V - ~ [ I ](p~) q~(p~) / I tip,)] i=1 i=1

dargestellt werden kann.

2. Sind P = (Px, P~, . . . , P~) und Q = (qx, q~, . . . , qm) zwei beliebige Verteilungen, so ist

M [ P * Q] = M [ P ] M[Q], (22)

wo P * Q =-(plq~, paq2, . - . , plq,,; . . . ; pnql, p,q2 . . . . , p , qm) ist (vgl. [1]).

Aus (20) bzw. (21) kann man sehen, da$ die Entropien I , bzw. 11 mit Hilfe der Mittelwerte

M[P] = (z p,o) (a # 1) (23) a i = l

bzw.

M[P] = 2~=1 (24) 1

gebildet werden kSnnen. Es ist leicht zu zeigen, dab die Mittelwerte (23) und (24) homogene Mittelwerte yore Typus (1) sind, die mit ~(t) ~ t a-1 und/( t) = t gebildet sind, d. h. dab

110 Z. Dar6czy

M[P] ---- M[1_l[P]l und M[P] ---- M0[P]I (25) [1 1

gilt. Es besteht der folgende

SATZ 6. Die Entropie I[1[P] geniigt der Ungleichung

- - log2 max (p~) ~ I[1~ [P] ~ I[1, [P] ~ log s n, (26)

WO 0 ~ a I ~ a s ~ r und P ~ (Px, Ps, �9 �9 P,) ist. Mi t anderen Worten : 111 ist eine abnehmende Eunktion yon a im Intervall (0, ~ ) (S. [7]).

Beweis. Es folg~ aus Satz 5 wegen (25)

M[P] • M[P] g M[P] ~ M[P]. 0 a I [12 r

1 Man bekommt daraus - - wegen M[P] : - - und M[P] ----- max (p~) - - (26).

0 0% ~ l ~ i ~

Die Mittelwerte (18) und (19) erfiillen - - wie man dutch Einsetzen leicht sieht - - nicht nut die Homogenitatsgleichung (17), sondem auch ihre Verallgemeinemng (22). Daraus folgt, dal] die Entropien

I [P] -~ Ip+q, q[P] = - - log~ Mp[P]~ (27)

der aus (22) dutch Logarithmieren entstehenden Gelcihung

I [ P * Q] -- I [P] + I[Q] (28)

geniigen. Die Gleichung (28) wird die Additivitiitseigensehaft der infor- mationstheoretischen Entropie genannt (vgl. [1]).

Die Ungleichung (26) zeigt, dal~ das Maximum der Entropien I[1[P] und I~[P] log s n ist, wenn die Verteilung P aus den Wahrscheinfich- keiten (Pl, Ps, . . . , P~) besteht. Es sei jetzt p ~ - - 1 und q ~ 1, dann gilt naeh Satz 5 die Ungleichung

1 - - M ~[P]~ ~ Mp[P]q,

w o r a u s

max Ip+~, ~[P] = log 2 n (p ~ - - 1, q ~ 1)

folgt, d. h. auch die Entropien Ip+q, ~ haben das Maximum log2 n, wenn p ~ -- 1 und q ~ 1 gelten. Wit bemerken, dal~ die Entropie Ip+~,q[P]

1 1 1 ihr Maximum logs n mit der Verteflung P = (n' n' " ' " n ) annimmt.

Ungleiehungen fiber mi~ Gewiehtsfunktionen gebildeSe Mittetwerte 111

9. Die Minkowskisehe Ungleiehung

In [4] hat E. zV. Beckenbach die folgende Ungleichung bewiesen, die Minkowskische Ungleiehung genannt werden kann. Sind a - - (a 1, a z , . . . , a~) u_ud b ~- (b 1, b2, . . . , b~) aus J~, so gilt m i t a + b ------ {al + bl, a 2 ~ b2, . . .

�9 . . , a a ~ - b n)

~ [ a A- b] < ~ [ a ] ~- ~ [ b ] 1 ~ a ~ 2 (29)

wo ~a[a] = Ml[_a],_ ~ ist. (S. noeh [5]). Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses ist der folgende Satz, den zuerst M. Dresher (S. [5], Seite 28) mit Hflfe der Momententheorie bewiesen hat. Der vorliegende Beweis des Satzes seheint neu zu sein.

SATZ 7. 8ind a, b C J' , so gilt die Ungleichung

Mp[a + b]q ~ Mv[a]q + Mv[b]q, (30)

wenn 0 ~ q ~ 1 und p + q ~__ I gelten.

Bemerkung. In (30) setzen wit q ---- a - - 1 und p = 1, wo 1 ~ a ~ 2 erfiillt ist. Dann grit 0 ~ q = a - - l ~ l und p ~ q = a > l , d , h. aus (30) folgt (29).

Beweis. Naeh dem Minkowskisehen Lemma (s. z. B. [4]) gilt die Ungleiehung

ll_~ + _y II < 1t_~ il + [l_y II,

wenn nur die positive Vektorfunktion Ii _~ II die folge=de= Eigensehaften hat:

10 IIt~ll=tll_~ll fa~ t > 0 ;

2 0 Die Menge der x - - far die I I _~11 = ~ g~t - - ist ei~e ko~ve~e Menge, d. h. ffir alle 0 __< 2 __< 1 gilt

[[A_~+ ( l - A ) y l[ :<;~ [[_~ ][ + ( 1 - ~ ) I [ y [I = 1 (l[X_ l[ = IlYl[ = 1).

Es sei jetzt a e J" und [[ a ][ : Mp[a]~, wo 0 ~ q ===_ 1 und p + q ~ 1 ist. Es ist klar, da$ I] a [I eine positive Funktion ist und die Eigenschaft 1 ~ hat. Wir werden zeigen, dab aueh 20 erffillt wird, woraus (30) fotgt. Es sei ][ a II = I] b l] = 1. Dann ist die Funktion a~ v+~ ffir p + q > 1 in a~ konvex und die Funktion a~ fiir 0 __< q ~ 1 in a i konkav, d. h. fiir alle 0 <__ 2 ~< 1 gilt:

112 Ungleiehungen fiber mit Gewiehtsfunktionen gebildete Mittelwerte

n 1

[ 27 [2a i-I- (1 -- 2) bi] q J

[~t Z' a/+e + (1 -- 2 b/+~ ~

L 2 ~ , a i q ~ ( 1 - - A ) Z b i q J i=1 i=1

w~il w~g~, [1 ~ {{ II ~ [] : 1 ~ ai p+q = ~ a[ und X biP+q : ~ b[ be- i ~ 1 i ~ 1 i = 1 i ~ 1

stehen. Damit ist der Satz 7 bewiesen. Im Falle q ~ 0 und 0 __~ p -]- q ~ 1 ist die Funktion ai p+q in a i konkav

und die Funktion ai q in a i konvex, woraus mit 0 __~ 2 ~ 1

I ( l l a l l = ll ]l= 1) folgt, d. h. nach dem Minkowskischen Lemma gilt fiir 0 <~ p A- q __--< 1, q ~< 0 die Ungleichung

Mp[a q- b]q ~ Mp[a]q -~- Mp[b]q.

Daraus bekommt man mit q = a -- 1, p = 1 im Falle 0 ~ a ~ I die Ungleichung:

%[a_ + b] _> o[a] + die zuerst in [4] bewiesen wurde.

L i t e r a t u r

[1] J. Acz~l und Z. Dar6czy, Charakterisierung der Entropien positiver Ordnung und der Shannonschen Entropie. Aeta Math. Acad. Sci. Hung. 14 (1963), 95--121.

[2] J. Acz$l und Z. Dar6czy, l~ber verallgemeinerte quasilineare Mittelwerte, die mit Gewichtsfunktionen gebildet sind. Publ. Math. Debrecen 10 ( 1963 ), 171 -- 190.

[3] M. Bajraktarevi6, Sur une 6quation fonctionnelle aux valeurs moyennes. Glasnik Mat. Fiz. i., Astr. 13 (1958), 243--248.

[4] E. 2'. Beckenbach, A class of mean value functions. Amer. Math. Monthly 57 (1950), 1--6.

[5] E..F. Beckenbach und R. Bellman, Inequalities. Ergebnisse d. Math. NF 30 (Berlin-G6ttingen-Heidelberg 1961).

[6] G. H. Hardy, J. E. Littlewood und G. P61ya, Inequalities. (Cambridge 1952).

[7] R~nyi A., Az inform~ci6elm~let n6h~ay alapvet5 k6rd~se. Magyar Tudo- m~nyos Akad~mia Mat. Fiz. Oszt. KSzl. 10 (1960), 251--282.