Einrangige Bewertungsringe in kommutativen Ringen

Von I:~EINKARD ~ U V E aus KSln

Einleitung

In der Arbeit , ,Valuations on a Commutative Ring" (s. [2]) hat M. MANIS gezeigt, wie sich der Begriff , ,Bewertung eines K6rpers" auf kommutat ive Ringe ausdehnen l~]3t. Danach ist eine Bewertung eines kommuta t iven Ringes R bis auf ~quivalenz gekennzeichnet dureh ein Bewertungspaar (A, P), wo A ein unitiirer Unterring von R, P ein Prim- ideal in A und folgende Bedingung erftillt ist:

Ftir jeden Unterr ing B yon R mit R _ B ~ A und jedes Ideal Q in B gilt Q (~ A # P.

Eine durch ein Bewertungspaar (A, P) im wesentlichen eindeutig best immte Bewer tung v yon R ist eine surjektive Abbi ldung von R auf eine total geordnete Gruppe mit ~ und den Eigensehaften:

Fiir alle x, y e R gilt

v(x " y) =v(x) + v(y) v (x + y) >~ Min {v (x), v (y) }.

Ftir eine zu (A, P) gehSrige Bewertung v yon R gilt: A = {x e R / v(x)>~O}=: Av P= {x~ R/ v(x)>O}=: Po

Definiert man ftir v ferner ~V= {x e R~ v(x)= oo} =: Nv,

so zeigt sich, dab der Rang yon v best immt ist dutch die Pr imidealket te zwischen P und N (s. [2]). Ein einrangiges Bewertungspaar yon R ist also ein Bewertungspaar (A, P), ftir das N maximal unter den eehten Primunteridealen von P ist.

Die folgenden Bet rachtungen gelten solchen einrangigen Bewertungs- paaren. Es wird dabei der Zusammenhang zwischen einrangigen Be- wertungspaaren und maximalen Teilringen beschrieben.

Es ist leieht zu sehen, da~ die im ,,KSrperfaU" gtiltigen S~tze nicht wSrtlich auf den ,,Ringfall" t ibertragbar sind. Dennoch - d a s wird hier gezeigt - lassen sich sinnvolle aber auch einfache Verallgemeinerun- gen beweisen.

266 Reinhard Mauve

Alle auftretenden Ringe seien kommuta t iv und uniter. Ebenso sollen alle Ringerweiterungen unit/~r sein.

Einrangige Bewertungsringe und maximale Unterringe

Die einrangigen Bewertungsringe eines KSrpers K sind bekanntlich genau die maximalen Teilringe yon K, die nicht KSrper sind. I)ieser Satz ist in seiner wSrtlichen Vcrallgemeinerung auf einrangige Bewertungs- ringe eines kommutat iven Ringes in beiden Richtungen falsch. Einer- seits gibt es maximale Teilringe gewisser Ringe, die nicht einmal Be- wertungsringe sind. Andererseits gibt es einrangige Bewertungsringe yon Ringen derart, dab es zwischen beiden Ringen sogar eine unendliche Kc t t e yon Zwischenringen gibt (vgl. Beispiel (4)). Eine richtige Verall- gemeinerung des obigen Satzes auf die ringtheoretische Situation soll hier bcwiesen werden. Sie lautet :

(1) Satz:

Es sei R / A eine units Erweiterung kommuta t iver Ringe, dann sind '~quivalent :

a) Es gibt ein maximales Primideal M in A derart, dab (A, M) ein ein- rangiges Bewertungspaar yon R ist.

b) A ist maximal in der Menge aller echten Teilringe yon R, und es ist R nicht ganz fiber A.

~Vir fiihren den Beweis in einer Reihe yon Hilfss~tzen. Fiir eine Ring- erweiterung R / A und jedes x E R benutzen wir im folgenden die Ab- ktirzung I (x) : = {a e A / a x ~ A }.

Ferner soll eine Bewertung eines Ringes einrangig genannt werden, wenn das zugehSrige Bcwertungspaar einrangig ist.

(2) ltilfssatz

Es sei v eine einrangige Bewertung (rg v = 1) eines Ringes R mit dem Bewertungspaar (A, P), dann gilt

x / I ( x ) = P f t i ra l le x e R \ A .

B e w e i s :

Wegen r g v = l gilt P ~ N . Is t dann x e P \ N und u e R mit v (u) = - v (x), so ist u e R \ A . Also ist R \ A # O. Ftir alle x e R \ A gilt:

a) I (x) _~ P :

I s t n~mlich a e I (x), so folgt v (ax ) = v(a) + v(x) ~ 0 . Wegen v(x) < 0 ergibt sich v (a) > 0, also a e P.

Einrangige Bewertungsringe in kommutativen Ringen 267

b) N ~ I ( z ) :

F i i r n e ~ folgt v(n) = v(xn) = ~ , also x n e A. Is t ferner u e A mit v (u) = - v (x), so gilt u e I (x)\N.

c) \ / I (x ) e Spec A:

Man beachte, dab R\A multiplikativ abgeschlossen ist und [3] Satz (1.5).

d) x/I (x) = P :

Nach a) und b) ist N ~ I(x)~_ x/I(x)~_ P. Well v einrangig ist, folgt

mit c) die Behauptung x/I (x)= P.

B e m e r k u n g :

Die Behauptung des Satzes gilt unter den sehw//cheren Voraussetzun-

gen, dab R \ A multipl ikat iv abgeschlossen ist und dab N = fl I ( x ) x e R \ A

ein maximales Primunterideal yon P = 19 I(x) ist. x ~ R \ A

(3) Hilfssatz

Es sei v eine einrangige Bewertung eines Ringes R mit dem Bewer- tungspaar (A, P), u n d e s sei P maximal in A. Dann ist A maximal in der Menge aller echten Teilringe yon R.

B e w e i s :

a) Sind ul, u2 e R \A , so ist A ein maximaler Teilring von A [ul, us] : Weft A [ul, u2] tiber A endlich erzeugbar ist, existiert ein maximaler Teilring B von A [u~, us], der A umfaBt. Wegen B .~ A [u 1, us] sei ohne Einschr/inkung ul ~ B angenommen. Dann ist IB(u~): = {b e B / b u ~ e B} r (1). Es sei M ein Primoberideal yon IB(ut) in B, dann ergibt sieh M c ~ A ~ _ I ~ ( u l ) c ~ A ~ I ( u l ) und somit

M c~A = ~/M n A ~_ x/I (u~) = P gem//l~ (2). Well aber P maximal ist, folgt M n A = P und daraus B = A, da (A, P) ein Bewertungspaar von R ist.

b) Fiir jedes u e R\A gilt R = A [u] : Is t n/imlich Ul e R\A, so hat man A [u, ul]~_ A [u] ~ A, also nach a) A [u, ul] = A [u] und daher ul e A [u].

Aus b) folgt aber unmit te lbar die Behauptung des Hilfssatzes.

(4) B e m e r k u n g :

a) Unter den Voraussetzungen von (3) ist natiirlich auch R/A nicht ganz, und daher ist die eine H/ilfte yon (1) bewiesen.

b) Hilfssatz (3) ist falsch, wenn P nicht als maximal vorausgesetzt wird. Es gibt dann im allgemeinen sogar eine unendliche Ket te yon I~ingen zwischen R u n d A. Das zeigt folgendes Beispiel:

268 Reinhard Mauve

Es sei A = K [ X , Y] Polynomring tiber dem KSrper K. Man setze

. R : = A I y [ und P : . = ( Y ) . D a n n i s t ( A , P ) e i n Bewer tungspaar in R, L - - A

und es ist N = (0) (vgl. auch Hilfssatz (7)). Well P minimal in A ist, handelt es sich um ein einrangiges Bewertungspaar. Aber:

A T . . . ~ A ~ ~ A ~ A ,~A Y2 * Ya ~ . . . ~ R

(5) In den folgenden Abschnitten wird voransgesetzt, dal~ A ein maxi- maler Teilring yon R sei, tiber dem R nicht ganz ist (kurz R/A minimal, nicht ganz).

Setzt man dann P : = [3 I ( x ) und N : = N I(x) , so ergibt sich x ~ R \ A x c R \ A

aus dem folgenden Hilfssatz, da{~ P und N Primideale in A sind (s. [3] Satz (1.5)).

Hilfssatz

Es sei R/A minimal, nicht ganz, dann ist R \ A multiplikativ abge- schlossen.

B e w e i s :

Weil I = { x e A / x R c A } ein Ideal in R und A ist, kann I = ( O ) angenommen werden (sonst Reduktion modulo I).

a) R \A enth~ilt keine nichttrivialen Nullteiler:

Es sei ns u e R \A und u' e R mit uu ' = 0. Dann gilt zun/ichst n

u" e A; denn aus R = A [ u ] folgt u' = ~ a~u~ mit a 0 . . . . . a n e A und i = 0

hieraus u' 2 = aou, ' also u' �9 A, weil R/A minimal, nicht ganz ist. Ferner gilt u' R = u' A [u] c A und daher u" e I , d .h. u' = O.

b) A enth~It keine nichttrivialen Nullteiler:

Es sei ns a a ' = O mit a, a' e A und a r 0. Dann gibt es ein u �9 R \ A mit ua �9 R \A , weil a r I ( I = (0)) ist. Wegen (ua)a" = 0 folgt dann aber a' = 0 naeh a).

c) Nach a) und b) ist R ein Integrit~tsbereich, und daher R\A multi- plikativ abgesehlossen (s. [3] (1.3)).

Weil N ein Primideal in R und A ist, kSnnen wir zum Zwecke unseres Beweises - ni~mlich, dab (A, P) ein einrangiges Bewertungspaar yon R und dab P maximal ist - ohne Einschr~nkung ~V = (0) annehmen (sonst Reduktion modulo N).

Einrangige Bowertungsringe in kommutat iven Ringen 269

(6) I tf lfssatz

Es sei R / A minimal , n i ch t ganz u n d P = [9 I ( x ) , d a n n gil t R P = (1). x e R \ A

B e w e i s :

Es ist R P = rl A M ( R P )= N R,4\MP, wobei ~)~ die Menge aller

m a x i m a l e n Idea le von A ist. Es geni igt also, R a \ M P = (1) f i i r jedes

M e ~)~ zu zeigen:

a) Fi i r M 1) P ist ( A \ M ) n P C O, also R a \ M P = (1).

b) Es sei d a h e r M ~ P , d a n n gil t :

bl) R \ A ~_ R A \ M \ A M ; d e n n w~re x e ( R \ A ) \ (RA\M\AM) , also a

x e ( R \ A ) n AM, SO h~t te m a n x = m mit a e A u n d m �9 A \ M ,

woraus m x � 9 A u n d somi t m �9 I (x) ~_ Pc__ M folgte.

52) RA\M/A Mist minimal , weil R / A minimal ist.

b3) R a \ M / A M ist n i ch t ganz (vgl. [3] (1.4), (1.3)).

Wegen b2), b3) ist R4\ M / A M minimal , n icht ganz. Es sei n u n x �9 R \ A ,

d a n n gil t x �9 RA\M\A M nach ba) u n d dahe r x -1 e A M nach [3] Sa tz (2.2). a m

Es ist also x - l = m mit a e A u n d m �9 A \ M . Wegen x = a �9 RA\ M

1 1 und m �9 RA\M folgt a �9 Ra \ ~" Aul ]e rdem ist ax = m �9 A , also a �9 P

1 u n d somi t 1 = 1 �9 a �9 RA\ MP' wie behaup te t .

B e m e r k u n g : Dieser Hi l fssa tz ist auch richtig, w e n n R Nul l te i le r enthi i l t .

(7) Hilfssatz

Es sei R / A minimal , n ich t ganz u n d P = (9 I (x), d a n n gil t : x ~ R \ A

a) (A, P ) ist ein B e w e r t u n g s p a a r in R.

b) P ist m a x i m a l in A.

c) P ist min ima l in der Menge der y o n (0) = N versch iedenen Pr imideMe in A.

B e w e i s :

zu a) Es ist R P c~ A = (1) ~ P nach (6), u n d deshalb g ibt es ke in Idea l Q in R mi t Q n A = P . Weft R / A minimal ist, folgt n a c h de r in der E in le i tung gegebenen K e n n z e i c h n u n g yon B e w e r t u n g s p a a r e n die B e h a u p t u n g .

270 Reinhard Mauve

zu b ) E s sei M ein maximales Ideal ,con A mit M_~ P. Dann gilt ( 1 ) ~ R M c ~ A D _ R P n A = ( 1 ) naeh (6), also R M n A = ( 1 ) # M .

Wie unter a) folgt, dab auch (A, M) Bewertungspaar ,con R ist. Nun ist aber ein Bewertungsideal Q eines Bewertungspaares (A, Q)

yon R durch R und A gekennzeichnet (als Q = U I(x)) , und daher gilt M = P. x ~ R \ A

zu c) Es sei Q ein Primideal in A mit P ~ Q _ (0) = N und v eine zu (A, P) geh6rige Bewertung yon R, also u.a. P = Pv, N = Nv. Dann ist Qv-abgeschlossen (s. [2] Prop. 3). Ferner ist fiir alle x e R \ A das Idea l I ( x ) = {a e A / a x e A } =

= { a e A / v ( a ) ~ > - v ( x ) } ebenfalls v-abgeschlossen. Da die v-abgeschlossenen Ideale von A durch die Inklusion linear geordnet sind (s. [2] Prop. 3), ergibt sich ftir x e R \ A

* I ( x ) ~ _ Q oder Q ~ I ( x ) .

Wegen x ~ \ A I ( x ) = P ~ Q existiert ein x o E R \ A mit I ( x o ) ~ Q .

Ftir ein beliebiges x ~ R \ A gilt x e A [Xo] = R ( R / A ist minimal), also

x = ~ a i x ~ m i t a o . . . . . a~ E A. ] )ann muB aber fiir jedes u ~ I (xo)\Q

gelten: u m x e A und somit u m ~ I (x)\Q.

t t ieraus folgt mit * I (x)~ Q ftir alle x e R \ A und daher

(o)=N_~Q_= n I(x)=N=(o) . x e R k A

Das heis t aber (0) = Q, und folglich ist P minimales Primideal in A.

(8) Mit Hilfssatz (7) ist auch die zweite Hglfte yon (1) bewiesen. Als erste Folgerung aus (1) ergibt sich:

Korollar

Es sei (A, P) ein einrangiges Bewertungspaar von R und P nicht maximal, dann gibt GS eine night abbrechende, absteigende Ket te von Ringen zwischen R und A.

(9) Fiir die weiteren Folgerungen aus (1) besehr/~nken wir uns auf Integrit/~tsbereiehe.

Es sei (A, P) Gin einrangiges Bewertungspaar von R und P maximal. Es bezeiehne ~J~' die Menge der Primideale in R. Ffir jedes Q' r q~' setze man Q: =Q' c~A. ])ann ergibt sieh die Menge s~ der Primideale in A als s~ = {Q/Q' e ~ ' } w {P}, und die dutch Q' -~ Q definierte Abbildung ist ein Ordnungsisomorphismus zwisehen den beziigliGh der Inklusion ge- ordneten Mengen ~ ' und .qJ~\ {P} (Beweis wie in [3] (2.4) Korollar 3). Es gilt :

Einrangige Bewertungsringe in kommutativen Ringen 271

Korollar

a) R e, = AQ fti r alle Q' e 9.)~'

= Ae = e '~ t ' Ae'nA =e ' ~ ' R e '

B e w e i s :

Es ist R = J'l Ra,, und daher genfigt es, a) zu zeigen. Es sei also Q' e~"

Q'e ~ ' . Dann ist zun/~ehst Ra\ Q lokal mit maximalem Ideal Ra\eQ'. i Denn ftir jedes Q~ e ~)~i mit Q~ r~ (A\Q)= 0 gilt Q1 n (A\Q)= 0 also

Q 1 - Q und daher naeh obiger Bemerkung Q1 E Q" Weft R/A minimal, nicht ganz ist, mul~ RA\ Q ein Quotientenring yon

A e sein (vgl. [3] (2.2)). �9 Q I : . Wegen RA\ e r~ A e AQ Q folgt somit Ra\ e = AQ und dann durch

einen s SchluB Ra\ Q = Re,.

(10) Als Anwendung yon (9) ergibt sich folgendes:

Korollar

Es sei R ein Integriti~tsbereich, A ein in R ganz-abgeschlossener Teil- ring, und es besitze jede Menge yon Ringen zwischen R und A minimale Elemente (bzgl. der Inklusion).

Dann ist jeder Ring zwischen R und A in R ganz-abgeschlossen.

B e w e i s :

Es sei B ein maximales Element in der Menge der Zwischenringe yon R und A, die in R ganz-abgeschlossen sind (Lemma yon Zorn). Gem'~l~ der Voraussetzung gibt es dann einen Ring S mit R ~ S ~ B, der fiber B minimal ist. Indi rekte Annahme: R # S.

Wegen der Maximalitiit yon B gibt es ein x e R\S, das tiber S ganz ist. Is t dann Q' ein Primideal in S und Q = Q ' r ~ B, so ist x ganz fiber SQ,= BQ (s. (9)). Well aber BQ in Rs\ Q ganz-abgesehlossen ist, muB

x e B e gelten. Es ist also x e mNid BQ = S wegen (9). Q ' P r i . i n S

B e m e r k u n g : Is t .4 ein in einem Integrit/s R ganz-abge- schlossener Ring, und gibt es nur endlich viele Ringe zwisehen R und A, so sind alle diese in R ganz-abgeschlossen.

(11) Ffir noethersche Grunch-inge erh/~lt man weiter :

KoroIlar

Es sei A ein noetherscher Teih'ing eines Ringes R. Besitzt dann die Menge aller echten Zwischenringe yon R fiber A ein kleinstes Element B, so ist B ganz fiber A.

272 Reinhard Mauve, Einrangige Bewertungsringe in komrnutativen Ringen

B e w e i s :

I n d i r e k t e Annahme: B/A nicht ganz. N a c h (1) ist dann A ein Bewer tungs r ing v o m R a n g e 1 in B m i t e inem

m a x i m a l e n Bewer tungs idea l P . N a c h (6) gi l t also B �9 P = (1) und n a e h Vorausse t zung daher C �9 P = (1)

f i i r j eden Zwischenring C von R t iber A. Also ist (A, P ) ein Bewer tungs - p a a r f i i r eine Bewer tung v v o n R. Es sei N v = {x e R v (x )= ~ }, d a n n gi l t P ~ Nv (R # A), und die P r imidea le zwisehen P u n d N~ sind l inear g e o r d n e t (s. [2] Prop. 3). Weft A n o e t h e r s e h ist, muB N v e in max ima le s P r i m u n t e r i d e a l yon P sein (s. [1] S. 107). D a h e r ist (A, P ) ein e inrangiges B e w e r t u n g s p a a r von R. Wieder naeh (1) ist somi t R/A minimal , also B = R i m Wider sp ruch zur Vorausse tzung .

Eingegangen am 12. 7. 1973

Literaturhinweise:

[1] I. KA/'LANSKY, Commutative Rings Allayn and Bacon Inc. Boston, 1970. [2] M. E. M ~ I s , Valuations on a Commutative Ring Proc. Am. Math. Soc. Vol. 20,

1969, p. 193--198. [3] 1~. MAUVE, :Kalbo und minimalo Ringerweiterungen Abhandlungen Math. Sere.

Hamburg, Bd. 38, 1972, S. 118--124.