Elastizität

Eine Eigenschaft fester Körper

Inhalt

• Zwischenatomare Kräfte• Dehnungs - Elastiztät• Elastizitätsmodul• Querkontraktion, Poisson-Zahl

Kräfte zwischen den Bausteinen der Materie

• Massen* – immer anziehend: Gravitationsgesetz

• Ladungen* – anziehend oder abstoßend: Coulombgesetz

• *Es gibt keine Ladung ohne Masse

• *Es gibt Massen ohne Ladung

Coulomb-Kräfte zwischen zwei unterschiedlich geladenen Teilchen, z. B. einem Na+ - und einem Cl- Ion

Na Cl

Aufbau der Ionen:

Cl

Cl-

Elektronen-hülle , 10 -e

Cl Kern, 17 e

Elektronen-hülle , 18 -e

Na+

Na

Na Kern, 11 e

Ladung 1e Ladung -1e

Na Cl

Anziehung zwischen ungleichnamigen Ladungen bei

ClNarrr

Abstoßung zwischen gleichnamigen Ladungen bei

ClNarrr

Kräftegleichgewicht bei

ClNarrr

Nar Cl

r

r

Resultat bei Anordnung in drei Dimensionen: NaCl-Kristall

0,56 nm

0,2 nm

0,18 nm

0,18 nm

Folge der zwischen-atomaren Kräfte: Elastizität der Festkörper

Bei elastischer Verformung kehren die Atome nach Rückstellung der Kraft in ihre Ausgangslage zurück

Dehnungselastizität

2/l2/l l

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

Die Angriffsfläche, ihr Betrag sei A, stehe senkrecht zur Kraft

SI Einheit

1 N / m2

Hookesches Gesetz: Die Spannung ist proportional zur Dehnung

E 1 N / m2 Elastizitätsmodul

1Dehnung, relative Längen Änderung

1 N / m2

„Normalspannung“ (Quotient Kraft durch Angriffsfläche)

Das Hookesche Gesetz bei Dehnung

E

l

Δl

A

F

Material E [N/m2] E [N/mm2]

Fe 2·1011 2·105

Al 7·1010 7·104

Glas 6·1010 6·104

Holz (Esche) 1·1010 1·104

Gummi 1·109 1·103

Beispiele für Elastizitätsmoduli In der Technik gebräuchlich

Dehnung eines Stahldrahts - Hookescher Bereich

DehnungHookescher

Bereich

Spannung

Dehnung eines Stahldrahts bis zur Bruchgrenze

Spannung

DehnungHookescher Bereich

Bereich plastischer Verformung

Einheit

F = k·s 1NKraft zur Verformung der Feder um die Länge s

k 1 N/m Federkonstante

F

F

2/s2/s

Das Hookesche Gesetz für eine Feder

Die Poisson-Zahl

• Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt.

• Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

ist die Poisson-Zahl,

Die Poisson-Zahl

2/l2/l l

d dd

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

l

l

d

d

5,02,0

Anwendung des Hookeschen Gesetzes

• Federkraft • Reversible elastische Verformung von

festen Stoffen• Dem Bereich der elastischen Dehnung nach

dem Hookeschen Gesetz folgt bei zunehmender Kraft– plastische Verformung mit Fließen des

Materials und abschließendem Bruch

Plastische Verformung, Fließen

Bei plastischer Verformung bleiben Atome nach Rückstellung der Kraft in anderen Positionen zurück: Das Gitter wurde aufgeweitet, mechanische Energie in Wärme verwandelt

Fragen / Antworten

• Q: Weshalb dient die Energie zum Spannen einer Feder nicht der Anregung von Gitterschwingungen (Wärme)?

• A: Die „Frequenz“ des Dehnens liegt weit unterhalb der Frequenz der Gitterschwingungen – Erst Frequenzen im akustischen Bereich

regen im Material „akustische Schwingungen“an

Zusammenfassung• Die charakteristische Eigenschaft des festen

Zustands ist seine Elastizität bei Zugspannung• Elastizitätsmodul: Proportionalitätskonstante

zwischen Spannung und Dehnung • Anwendung:

– Hookesches Gesetz für eine Feder mit Federkonstanten k [N/m]: Kraft zur Verformung der Feder um die Länge s [m] F = k · s [N]

• Bei zunehmender Belastung: – Fließen – Bruch

• Poissonsche Zahl: Beziehung zwischen der Querkontraktion und relativer Längen Änderung

finis

Klick auf die linke Maustaste startet Demo zu Querkontraktion und Poissonscher Zahl