Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

Virtueller Vortrag von Andreas Kautsch und Andreas Litschauer im Rahmen der VO Festkörperphysik Grundlagen

2Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

Outline

elektrische Leitfähigkeit

Gründe für den elektrischen Widerstand

Umklapp-Streuung

Bewegung in Magnetfeldern – Hall Effekt

Thermische Leitfähigkeit von Metallen


2. Newtonsches Gesetz für ein freies Elektron

F ... Kraft auf das Elektron E ... elektrisches Feld B ... magnetisches Feld c ... Konstante im CGS-System

)1

( Bvc

Eedt

kd

dt

vdmF


Fermi-Kugel im elektrischen Feld

das elektrische Feld E bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel:

tEek


Bewegung der Elektronen ohne äußeres Magnetfeld

Driftgeschwindigkeit der Elektronen:

elektrische Stromdichte in einem konstanten E-Feld:

wegen (Ohmsches Gesetz):

ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit zu:

m

Enevnqj

2

m

ne 2

Ej

m

Eev


elektrische Leitfähigkeit am Beispiel Kupfer

Leitfähigkeit von reinen Kupferkristallen bei 4 K fast 105 mal größer als bei Raumtemperatur (283,15 K)

daraus folgt für die mittlere freie Weglänge: l(4 K) ≈ 0,3 cm wohingegen l(283,15 K) ≈ 3*10-6 cm

maximal beobachtete mittlere freie Weglänge bei Temperaturen von flüssigem Helium: 10 cm


Experimente zum elektrischer Widerstand von Metallen

bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen

- im Bild rechts sind die Phononen durch unterschiedliche Abstände der Netzebenen symbolisiert

bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanischen Gitterfehler

- Korngrenzen und Versetzungen- Fremdatome- Leerstellen- Zwischengitteratome- Konzentrationsschwankungen- Isotopenschwankungen


Relaxationszeit

bei Abschaltung von E geht Impulsverteilung wieder in Grundzustand zurück nach:

τL ... Stoßzeit mit Phononen

τi ... Stoßzeit mit Gitterfehlern

daraus resultiert der Widerstand im Metall

ρL ... spezifischer Widerstand durch thermische Phononen

ρi ... spezifischer Widerstand durch Streuung der Elektronenwellen an statischen Defekten

iL 111

iL


Matthiessensche Regel

Matthiessensche Regel:

ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte

wenn die Temperatur bzw. die Konzentration der Defekte klein ist, können die spezifischen Widerstände unabhängig von diesen sein

ρi(0) ist der auf 0 K extrapolierte spezifische Widerstand;

ρL verschwindet mit T0

Gitterwiderstand

ρL(T) = ρ - ρi(0)

ist derselbe für verschiede Proben aus dem gleichen Metall

Widerstandsverhältnis=

ρ(293,15)/ ρ(0)Maß für Reinheit


Debyetemperatur

Die Kollisionsrate von Elektronen mit Phononen ist proportional zur Konzentration d. thermischen Phononen

Über der Debyetemperatur Θ ist die Phonoenkonzentration proportional zur Temperatur ρ ~ T für T > Θ

Beispiele für Debyetemperaturen in K:Cs 38 Al 428

Pb 105 Fe 467

NaCl 321 C 2230

Cu 343


Umklapp-Streuung (Stöße an Phononen)

bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur

Erklärung: reziproker Gittervektor beteiligt

Normalprozess Umklapp-Prozess (Kleinwinkelstreuung) (starke Streuzentren)

k‘ = k + q k‘ = k + q + Gk: Elektronenimpuls vor Stoß; k‘: Elektronenimpuls nach Stoßq: Phononenimpuls; G: reziproker Gittervektor


Ergebnis von Bloch

analytisches Ergebnis für die normale Streuung bei sehr tiefen Temperaturen:

konnte noch nicht nachgewiesen werden, weil zu viele konkurrierende Effekte wie:

- Störstellenstreuung

- Elektron-Elektron-Streuung

- Umklapp-Streuung

6

5

TL


Bewegung in Magnetfeldern


Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B

Im CGS-System:

Im SI-System:


Hall-Effekt

Das Hall-Feld:

elektrisches Feld in Richtung j x B

Strom j senkrecht zu Magnetfeld B

Größe der Spannung:

wobei als Hall-Konstante bezeichnet wird und d die Dicke der

Probe parallel zu B ist


Hall-Konstante

Mit und erhalten wir für

die Hallkonstante

Dieser Ausdruck ist negativ für freie Elektronen, denn e ist laut Definition positiv

Ladungsträgerkonzentration klein => Betrag der Hall-Konstante groß

m

Enej

2

neRH

1

xy Em

eBE


Standardgeometrie für den Hall-Effekt

Ein stabförmiger Körper mit rechteckigem Querschnitt wird in ein Magnetfeld B gebracht


Ein elektrisches Feld E an die Elektroden angelegt, verursacht eine Stromdichte j in Stabrichtung

Ablenkung in y-Richtung von Magnetfeld erzeugt

Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit der Elektronen setzt gerade ein


Elektronen auf der einen, positiver Ionen-Überschuss auf der anderen Seite

bis das Hallfeld (transversale elektrische Feld) die Lorentz-Kraft durch das Magnetfeld gerade aufhebt

Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit im stationären Zustand


Tabelle: Vergleich zw. beobachteten Werten und direkt aus der Konzentration der Ladungsträger berechneten Werten der Hall-Konstante


Thermische Leitfähigkeit von Metallen


Wärmeleitzahl K

Vermögen des Stoffes, thermische Energie zu transportieren: Wärmeleitzahl

v ... Teilchengeschwindigkeit C ... spezifischen Wärme pro Volumeneinheit l ... mittlere freie Weglänge


Wärmeleitfähigkeit von Cu

In unten stehendem Graph ist die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer nach Berman und MacDonald zu sehen


Verhältnis aus thermischer und elektrischer Leitfähigkeit

Wiedemann-Franzsche Gesetz:

Das Wiedemann-Franzsche Gesetz zeugt von der Tatsache, dass in Metallen die Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie sind

Für alle Metalle bei nicht zu tiefen Temperaturen ist das Verhältnis aus thermischer Leitfähigkeit K und elektrischer Leitfähigkeit σ direkt proportional zur Temperatur

Te

kK B

22

3


Zusammenfassung

das elektrische Feld bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel

Ohmsches Gesetz:

elektrische Leitfähigkeit:

bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanische Gitterfehler

bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen

Matthiessensche Regel: ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte

Umklapp-Streuung bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur

Ej

m

ne 2


Zusammenfassung

Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B

Hall Konstante:

Wärmeleitzahl:

Wiedemann-Franzsche Gesetz: in Metallen Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie

neBj

ER

zx

yH

1

)1

( Bvc

EeF

CvlK3

1


Wir bedanken uns fürs Zuhören!

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