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  • Elektromagnetische Felder und Elektrodynamik

    Version von 20. November 2015 Sommersemester 2013

    Wintersemester 2013/14

    Vorlesungsstoff für die Vorlesung ” Elektromagnetische Felder“

    (Bachelor-Studiengang):

    App.A, Kap. 0, 1, 2, 3 bis 3.2, Kap. 4 bis Kap. 7, 8.1, 9, 11, 12 bis 12.2,

    sowie Neu: ab SS 2010 Kap. 4.2 aus Nolting “Elektrodynamik”.

    Vorlesung ” Elektrodynamik“ (Master-Studiengang)

    Kap. 3.3-3.4,Kap. 8, Kap. 10, Kap. 12 ab 12.3, Kap. 13 bis Kap. 19 Neu: ab WS 2012-13 auch Kap. 17

    Kenntnisse aus der Vorlesung ” Elektromagnetische Felder“

    sollen auch vorhanden sein!

    überarbeitete Vorlesungsunterlagen, zum Teil aus den Skripten von Prof. Dr. Claudius Gros, Institut für Theoretische Physik Universität Frankfurt, von Prof. Dr. W. Cassing, Institut für Theoretische Physik, Universität Giessen, von Prof. Dr .G. Soff, Institut für

    Theoretische Physik, Technische Universität Dresden und von Prof. E. Schachinger, ITPCP Technische Universität Graz, mit freundlicher Genehmigung.

    Zu finden unter:

    http://itp.tu-graz.ac.at/˜arrigoni/ → Elektrodynamik/EM Felder

    i

    http://ftubhan.tugraz.at/han/ZDB-2-SNA/www.springerlink.com/content/t8m526/ http://itp.tu-graz.ac.at/~arrigoni/

  • Inhaltsverzeichnis

    0 Einführung in die Elektrodynamik 6 0.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.4 Konzept des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.5 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.6 Materie im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    I Elektrostatik 12

    1 Coulomb’sches Gesetz 13 1.1 Ladungserhaltung und Ladungsinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Coulomb-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Das elektrische Feld eines Systems von Punktladungen . . . . . . . . . . . 15 1.4 Übergang zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2 Grundlagen der Elektrostatik 22 2.1 Fluss eines Vektor-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Satz von Gauß: Anwendung auf die Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Anwendungen des Gauß’schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Differentialgleichungen für das elektrische Feld und Potential . . . . . . . . 25 2.5 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Multipole im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Randwertprobleme der Elektrostatik 30 3.1 Eindeutigkeitstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.1.1 Physikalische Anwendungen: Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Spiegelladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.2.1 Punktladung vor leitender Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Punktladung vor leitender Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.3 Greensfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    ii

  • 3.5 Übersicht Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    II Magnetostatik 41

    4 Ampère’sches Gesetz 42 4.1 Elektrischer Strom und Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Ampère’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Formel von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 47 4.5 Kräfte zwischen Strömen und deren Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    5 Grundgleichungen der Magnetostatik 51 5.1 Divergenz der magnetischen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Rotation von B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Vektor-Potential und Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5 Energie eines Dipols im äußeren, schwach veränderlichen Magnetfeld . . . . 55 5.6 Übersicht über die Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    III Grundlagen der Elektrodynamik 58

    6 Die Maxwell’schen Gleichungen 59 6.1 Konzept des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Unvollständigkeit der statischen Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.4 Erweiterung des Ampère’schen Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.5 Übersicht über die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    7 Die elektromagnetischen Potentiale 65 7.1 Skalares Potential und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2 Lorenz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.3 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    8 Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen Feldes 69 8.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.3 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum 76

    9 Das elektromagnetische Feld im Vakuum 78 9.1 Homogene Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    iii

  • 9.2 Monochromatische Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.3 Energie- und Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.5 Ergänzung: Differentialoperatoren auf Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . 86

    10 Wellenpakete im Vakuum 88 10.1 Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . 88 10.2 Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.3 δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10.4 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.5 I Übersicht Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    V Das elektromagnetische Feld in Materie 98

    11 Makroskopische Felder 99 11.1 Makroskopische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.2 Freie und gebundene Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.3 Mikroskopische Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    12 Verhalten des elektromagnetischen Feldes an Grenzflächen 109 12.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.2 Lineare, isotrope Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    12.2.1 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.3 Reflexion und Brechung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.4 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in leitenden Materialien . . . . . . 117 12.5 Wellen in einem metallischen Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    13 Energie, Impuls und Drehimpuls des makroskopischen Feldes 124 13.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.2 Impuls, Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    14 Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie 127 14.1 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 14.2 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    14.2.1 Dielektrische Funktion im Fall induzierter Polarisation: Beispiel . . 128 14.2.2 Orientierungspolarisation: Temperaturabhängigkeit der Polarisation 130

    14.3 Elektrische Leitfähigkeit und Zusammenhang mit der dielektrischen Funktion131 14.4 Para- und Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    VI Quellen elektromagnetischer Strahlung 136

    15 Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen 138 15.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Konstruktion von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    iv

  • 15.2.1 Beweis von (15.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 15.3 Lösung der Wellengleichung und retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . 141 15.4 Elektromagnetische Strahlung bewegter Punktladungen . . . . . . . . . . . 144 15.5 Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    16 Multipolstrahlung 149 16.1 Langwellen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 16.2 Elektrische Dipol-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 16.3 Magnetische D