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Entscheidungstheorie Teil 4 Thomas Kämpke

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EntscheidungstheorieTeil 4

Thomas Kämpke

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 2

Inhalt

– Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen– Bedeutung der Gewichte– Zur Bezeichnung „multiplikativ“– Bestimmung von mehrattributiven Präferenzfunktion

!!!!

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 3

Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (1/3)

1. Additive Präferenzfunktion

2. Multiplikative Präferenzfunktion

3. Multilineare Präferenzfunktion

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )nnn

n

ijj

n

jiii

ijjiiiin

nnnn

n

ijj

n

jijiiijiiiin

n

iii

n

iiiin

xvxvk

xvxvkxvkxxv

kxvxvkkk

xvxvkkkxvkxxv

kkxvkxxv

!!!+

+!+!=

"!!!!!+

+!!+!=

=#!=

$ $ $

$ $

$$

= =

"

= =

==

K

KK

KK

KK

K

K 11,,1

1 1,,1

1111

1 ,1,1

111

,,

1,

,,

1,0,,,

>

>

>

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 4

Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (2/3)

4. Bilaterale Präferenzfunktion

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )!

!!!

!!

!

= =

""

""=

!!!+

+!+!= # # #

CiiCii

CiiCiiCiiii

nnn

n

ijj

n

jiii

ijjiiiin

xxvxxv

xxvxxvxxvxf

xfxfk

xfxfkxvkxxv

,,,,

,,*,,,

11,,1

1 1,,1

,,1

/,,,

,

,,

wobeiK

KK

K

( )etc. beste die anderen allen in

, g Ausprägundie i Attributin z.B. ,Komplement

i Attributin ve Alternatibeste

i Attributin ve Alternatiteschlechtes

iCii

i

i

xxxC

x

x

!

!

!

,

,

,

( ) ( )

( ) ( ) .1

0,

==

==

!!

!!

xvxv

xvxv

vv

ii

ii

i d.h.normiert, alle und

>

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Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (3/3)

Beispiel für Kriterien und „Gewichte“ Fahrzeugkonstruktion

>

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Bedeutung der Gewichte (1/3)

Zerlegungen und Bedeutung der Gewichte ist für Wert- undNutzenfunktionen identisch.

„Bilateral“ praktisch ohne Bedeutung

SchwierigkeitVorstellung bzw. Bewertung von „extremen“ Alternativen, die in wenigen

Attributen bestmöglich und in allen anderen Attributen schlechtestmöglichsind, ist schwierig.

( ) rmultilinea oder tivmultiplika additiv, vxxxxxvk niiii !!+!

!"!= ,,1,1,1 KK

{ }( ) j

ijji

iji

ji

Cjiji kkkkkkkk

kkxxxv

!"

!#

$

++

%++

+

=%%%

,,,,,, v additiv, v multiplikativ, v multilinear oder bilateral

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Bedeutung der Gewichte (2/3)

Allgemeinere als additive Präferenzfunktionen werden tatsächliche benötigt:

( ) ( )

( ) ( )1,3,25001,2,2000

2,2,20002,3,2500

p

p und

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

!Beispielen - Allaisim wiegenUngleichun der hWiderspruc

!!!!

"

!!!!

#

$

++

++

++

++

132500

122000

222000

232500

332211

332211

332211

332211

vkvkvk

vkvkvk

vkvkvk

vkvkvk

Festklemmen des 3.Attributs auf Niveau 1 oder 2

<

<

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Bedeutung der Gewichte (3/3)

Die Präferenz ist aber multilinear darstellbar:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

104 0

0101

102

0103

1,3,25001,2,2000

2,2,20002,3,2500

120312500011202000

3,23

3,2,13,12

2,11

12

3,223,11

3,2323,131

321

321

==

===

==

!

++!

++++!

===

===

kk

kkk

kk

kkkkkk

kkkkkk

vvvvvv

p

p <

<

<

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 9

Zur Bezeichnung „multiplikativ“ (1/1)

Man kann beide Seiten der Gleichung als neue Wertfunktion auffassen.

( ) ( )( ) tivmultiplika sofern vxvkkxxvkn

iiiin ,11

11 !

=

+="+ K

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )

( ){

( )ii

n

iin

xf

i

iiin

i

k

i

xxf

n

n

iiiin

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xfxxf

kkxvkk

kkk

kxxv

xvkkxxv

xvkkxxv

ii

i

n

!

!

!

"

= #

=

=

=

$

+

=

+

=

+

=%

+

+&

+

+=

+

+=%

+=

1 0

1

1

1

1

11

11

1log1log

1log1log

1loglog

1loglog

1

1

'

'

K

444 3444 214342132144 344 21

K

K

K

K

Falls v nur ordinal bestimmt, so kann man aufmultiplikative Zerlegung verzichten!

>

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 10

Im Fall von Unsicherheit ist die multiplikative Nutzenfunktion interessant.Liegt vor bei wechselseitiger Nutzenunabhängigkeit:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ixxzz

zxzxzxzx

i

Attributvon gen Ausprägun, und ärkomplement

nabhängigpräferenzu Attribut

21

'2'121

',

,,,,

!

"

#

pp

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ärkomplement , über gen Ausprägunvon Vektoren

nabhängigpräferenzu mengeAttribut

z, z'I

zxzxzxzx

I

!!

"

#

'2'121 ,,,, pp

bhängigpräferenza engen Attributmalle

nabhängigpräferenzu tigwechselsei ngeAttributme !

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 11

Wechselseitige Nutzenunabhängigkeit ⇒ Nutzenfunktion ist multiplikativ

Wechselseitige Wertunabhängigkeit (det. Fall) ⇒ Wertfunktion ist additiv

Herleitung sehr technisch. Umkehrung geben eher „Gefühl“ für die Beziehungzwischen Zerlegungsform und Unabhängigkeit.

z.B. erfüllt eine multiplikative Nutzenfunktion über zwei Attribute diewechselseitige Präferenzunabhängigkeit.

(n!3)

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 12

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )',',

11

,,

,,

21

211

111

222

11221

11

22

121222

11

21

121221

11

21

21

zxzxz'

xukxuk

zukkxukzukkxuk

zuxukkkzukxuk

zuxukkkzukxuk

zxuzxu

zxzx

pK

p

!!

!

+"+"!

++

++!

!

mit Rückwärts

<

<

<

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Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 13

Bestimmung von mehrattributiven Präferenzfunktion (1/1)

1. Bestimmung eindimensionaler Präferenzfunktionen

(det Fall: Mittelpunktsmethode prob Fall: Sicherheitsäquivalente)

2. Aggregation

(typischerweise willkürlicher Funktionsansatz, dannGewichtsbestimmung über externe Alternativen)

Problem (noch mal) „kognitiver overload“

• Bewertung extremer Alternativen schwierig oder• Entscheider sieht keinen Zusammenhang zwischen extremen

und realen Alternativen.