B a n d 1 A r e h i v d e r M a t h e m a t i k (A.~.) H e f t 3 ( 1 9 4 8 / 4 9 )

Entwicklung eines Produktes zweier Kugelfunktionen mit verschiedenen Argumenten nach Kugelfunktionen

Von JOSEF I~fE~XVER in Aachen

1. Einleitu~g. Viele Beziehungen zwischen den Funktionen der mathematischen Physik lassen sieh in der Weise deuten, dab eine LSsung der Wellengleichung, welche in einem Koordinaten- system separiert ist, nach Wellenfunktionen entwickelt wird, welche in einem anderen'Koordinaten- syst;em separiert sin& Ein einfaches Beispiel ist die bekannte Entwicklmag

e ------ e c o s O = ~ 9 ~ ] n=O~ ( " n + l ) ; ~ " + l / ' - ( k r ) P n ( e ~

Links steht eine in eartesisehen Koordinaten separierte Wellenfunktion, reehts steht eine Summe fiber Wellenfunktionen, die in Kugelkoordinaten separiert sind.

Wir bringen ein weiteres Beispiel, indem wit yon Kugelkoordinaten

x = r sin v~ cos q~, y ~ r sin v a sin ~v, z = r cos v ~ (1)

und rotationselliptisehen Koordinaten

x = g(~'~ -- 1) (1 -- ,?) cos ~, y = V ( ~ -- 1) (1 2 , ? ) s i n~ , z = ~ + a (2)

ausge.hen. Die Polaraehse des ersten Koordinatensystems f~illt mit der Drehachse des zweiten. zusammen; die Koordinatenaufangspunkte liegen jedoch, wean a + 0, voneinander getrennt. Der Brermpunktsabstand in (2) ist, was keine wesentliehe Besehr~nkmag bedeutet, gleieh 2 gesetzt. Ffir die Umrechnung yon r, v ~ auf ~, r] gilt mit der Abkiirzung u = cos v ~

r .~__ ~e~._}_ ~/2_I_a 2 -~ -2~ :~1a- 1, ~ ' u ~ r c o s v ~ ~ ' r / + a . (3)

Wir erwarten nun, dafl eine Wellenfunktion, die im Koordinatensystem (2) separiert ist, sieh naeh Wellenfunktionen entwiekeln l~iiit, die im Koordinatensystem (1) separiert sind. Die Dureh- fiihrmag dieses Gedankens ffihrt auf En~wieklungen yon Produkteu zweier Sph~roidfunktionen naeh Produkten von Zylinder- mad Kugelfunktionen. Sie sollen in einer sps Arbeit wieder- gegeben werden. Hier beschr~nken wir uns auf einen Spezialfall der Wellengleichung, n~tmlieh auf die Potentialgteiehung'.

Im Koordinatensystem (1) hat die Potenti~lgleiehmag separierte LSsungen r ~ ~:~" (cos v ~) e '""p,

wo ~ eine beliebige Kugelfunktion ist. In den rotationselliptisehen Koordinaten (2) besitzt sie

separierte LSsungen der Gestalt ~r (~e) ~ (V) ei~*~~176 and ~ wieder zwei beliebige Kugel-

funktionen bedeuten. Die Indizes ~ mad # kSnnen willkfirliehe Werte annehmen.

Archly der M a t h e m a t i k . Bd. I. Hef t 3. 13

174 J. ~Is~x~E~

Wir versuchen nun auf Grund der oben ausgesprochenen Erwartung die Koeffizienten A t (c~)

in der Reihe GO

, , - t (~) , (4) t ~ - - o o

in der jetzt 9 eine der vier speziellen Kugelfunktionen ~, ~ , P, Q bedeuten soll, so zu bestimmen, dal] r 7) ein Produkt yon zwei Kugelfunktionen in ~ und ~? mit den Indizes v und # oder viel- leicht auch ein Aggregat yon solchen Produkten darstellt. Dabei sind r uad u gem~il] (3) dureh und ~? ausgedriiekt zu denken, a ist ein willktirlieher Parameter.

r 7) soll also, etwa als Funktion yon ~ betrachtet, der Differentialgleichung der Kugel- funktionen

(1 - r ~ - 2 ~ + ~(~ + ~) - ~ _ ~ ~ ( 4 , 7) = 0 (5)

geniigen. Wir setzen die Reihe (4) in (5) ein, differenzieren gliedweise und leiten durch geeignete Ulv_formungen eine Beziehung

Bt ~ _ , (u) = 0 (6)

her. Die hinreiehende Bedingung B t --~ 0 fiir das Effiilltsein yon (6) liefert fiir die A t e i n drei- gliedriges Rekursionssystem. Fiir dieses l~.l]t sich eine LSsung angeben, mit welcher die Reihe (4) in einem gewissen Bereieh absolut und gleichm~i~ig konvergiert. Damit sind die zungehst formalen Operationen, welche auf (6) geftihrt haben, gerechtfertigt. ~(~, 7) ist also mit diesen Werten A t eine Kugeffunktion in ~ und aus Symmetriegriinden eine ebensolche in 7/, undes bleibt nut festzu- stellen, in welcher Weise sieh ~(~, ~) dureh Kugelfunktionen in ~ und ~ ausdriiekt, wenu fiir ia (4) der Reihe naeh die Kugelfunktionen % ~ , P, Q gew~hlt werden. ~, tt, ~, 7, a kSnnen, abge- sehen yon gewissen, sp~tter anzugebeuden Einschr~tnkungen, welehe sieh auf den Konvergenz- bereich vor~ (4) beziehen, als beliebige komplexe GrSl]en angenommen werden.

2. Berechnung der Koeffizienten At(a ). Wir berechnen aus (4) durch glied- weise Differentiation dqS/d~ und d~qS/d~S, setzen in die Differentialgleichung (5) der Kugelfunktionen ein und ersetzen den auftretenden zweiten Differentialquotien-

.~ ~5(~, v) geschriebenen ten d ~ t ( u ) / d u ~ mittels der in u statt ~ und ~ , - t (u) statt Differentialgleichung (5). Nach einigen Umformungen, die das Ziel haben, ~ und dutch r und u zu ersetzen, entsteht zuniichst als Zwischenergebnis

"~, A i r ' - - ' ! [(v - - t) (~, - - t + 1 ) - - ~'(~ -I-- 1) -F # S ( a S - - 1) r -s -F" ( ~ - - t ) s2 a u r - l - F !

-F" (~' - - t) ~ (2 u s - - 1) (a s - - 1) r -s - - (~ - - t) uS(a s - - 1) r -s ] ~,~--t (u] -F

+ [ ( ~ s _ 1) ( ~ - - 1) ~(1 - - 2 ~ + 2 t),-- s + 2 (,, - - t) ( ~ - - 1) ~ , -~] ~ s~_ , (u ) . = 0 d u "

Ordnen nach Potenzen yon r und Zusammenfassen der Kugelful~ktionen mit Hilfe der bekannten Rekursionsformeln lielert

Entwicklung eines Produktes zweier Kugelfunktionen 175

{ "9 a p, a , , .... , [ (~- - t ) (~- - t + 1 ) - ~ (~ + 1)] a; '_.. ( , , J - - - / - ( , , - - t ) ( , - - t + s ) &,.,., (,*) +

a z -- 1 } + ~ 7 - - - ( ~ - - t + ~ ) (~ - - t +. , , - - 1 ) . ~ . L , _ ~. (~,) = o. (7)

Dureh Versehieben des Summationsindex um 1 bzw. 2 im zweiten bzw. dritten Glied nimmt (7) die Gestalt (6) an und wit erhalten als hinreiehende Bedingung fiir das Bestehen dieser Gleiehung das Rekmmionssystem

[(v - - t) (v - - t + l) - - v(v + l)] A, - - 2 a(~, - - t + l) (v - - t + , u + l ) A , _ ~ +

+ ( a 2 - 1 ) ( v - - t +/~ +1) ( v - - t +1~ +2)A,_o_ = 0;

Eine LSsung yon (8) lautet

(--a) ~ F(v +/z + 1) ~, { t At = A o t! I'(v + ~ - -~ T- ~ 2 ~ \ 2 " - - - -

/ - - ' V

2 2 --" 1 )

- - t l F(~ + /~ - - t +1)

(t = o, • • 2 , . . . ).

2 "+2-; T - ' v ; a-~ )

/'(2 u - - t + 1)

(t = 0 , • 1 , • 2 , . . . ) .

(8)

(9)

Das bedeutet wegen des Nenners t !, dat} A_I ----- A_~ -- A_ a ----- . . . ----- 0.

Scbreibt man hierin ~t-~, (a) statt ~f~-" (a), so er~bt sich eine weitere LSsung des Rekursionssystems (8), welch~ indessen nieht bei t ~-- 0 abbricht; denn stat t ~ , - ~" (a)/t! ist ftir ganze negative t der Grenzwert zu schreiben e -2"~'" ~ - t / P ( 2 v - - t +1) , w~h- rend ~t-~, (a)/t! fiir ganze negative t wegen 1/I '(t + 1 ) ----0 verschwindet.

Die Fiille v = 1/2, 3/2, 5/2 . . . . sind zunachst auszuschliel3en. Die hypergeo- metrische Funktion in (9) ist ein Polynom in a -~ yore Grad t ftir gerade t, ;corn Grad t : - I ftir ungerade t. Die Koeffizienteu A t haben daher aueh einen Sinn ftir a : O und a : •

3. Konvergenzfragen. Ftir v + # = 0, 1, 2 , . . . sind nur endlich vie[9 der A, yon Null verschieden. Dann ist die Frage der Konvergenz der Reihe (4) gegenstands- los. Im F a l l e v - 5 / ~ 4= 0, 1, 2 . . . . folgt aus einem Satz yon PERRON ~) tiber das infinit~re Verbalten der LSsungen yon linearen homogenen Differenzengleiehungen, angewandt auf (8)

t _ _ lira sup ~IA~I : i l ~ a I . (10)

Da wir im folgendeu nur ~findestbereiche der Konvergenz yon (4) angeben Wollen, brauchen wit die Frage der VorzeicbenwahI in (10) nicht zu entscheiden.

1) O. PEaRO~r J. reine angew. Math. 137, 6 (1910): 5lath. Ann. 84, 1 (1921). 13"

176 J. i~I~x~.n

Fi~r die Kugelfunktionen gilt der folgende

Satz. Sei I arg u l < z~, z ----- u • ~/u 3 - - 1, we das Vorzeichen so zu w/~hlen ist, dab IzL _-> 1; arg z ---- 0 ffir reelle u > 1. Dann gibt es ein reelles t o und ein reelles ~o > 0, so dal~ fiir alle ganzen t-> t o und alle positiven 8 < 8o

~- , (~) i z - ~ + , - 1 1) + ~,/~ ~ ] r(~ + ~ - - t + 1) < I max [(u 3 - - - i �9 (1 -b 8)' ~'v (8), -+ / (11)

~_,(~)~ < i~- ~+~:~ t 1(~3--1)-~"31 . (1 + 8)' ~(~) ~'

ffir alle u mit Einschlul] yon u = i und u ----- ~ , aber unter AusschluB der Punkte u, fiir welche [1 + u t < 8. ~2:~(8) h/~ngt weder yon u noch yon t ab.

Der Beweis dieses Satzes, der an anderer Stelle wiedergegeben werden soil, folgt aus gewissen Schleifenintegralen f~ir die Kugelfunktionen 3).

Aus (10) und (11) folgt, dal3 die Reihe (4) mindestens in jedem abgeschlossenen Bereich absolut und gleichm/~Big konvergiert, ffir den bei jeder der vier mSgtiehen Vorzeichenkombinationen

i (u • ~]/~-~-- 1)- (1 • a) r -~1 < 1 (12) oder

I $ ,~ + ~ • ] / (~3 _ 1) ( ~ 3 _ 1) t > 11 • ~ I (13)

ist. Die Punkte u = • 1, zo seien dabei ausgeschlossen. Die Reihe (4) stellt also eine analytische Funktion in r und u bzw. $ und ~ innerhalb dieses Bereichs dar. Die oben durchgefiihrte formale gliedweise Differentiation der Reihe (4) mit den Werten (9) fiir die A t is t daher erlaubt, weft sie eine in diesem Bereieh gleichm/~]ig konvergente Reihe yon analytischen Funktionen ist.

Wegen einer sp/~teren Anwendung sei noch darauf hingewiesen, dal] die absolute und gleichm/~l]ige Konvergenz auch noch den Punkt u = 1 umfal]t, falls

1. in (4) @ = ~ gesetzt wird, 2. u = 1 die Ungleichungen (12) erfi~llt, 3. aus der Reihe (4) ein Faktor (u 2 - 1) -'~'/~ vorgezogen wird. Dies folgt ohne

weiteres aus der zweiten Abschatzung in (11).

Die Voraussetzung 1. kann im allgemeinen fallengelassen werden, da die Kugel- funktion ~ $ - t sich im allgemeinen durch ~:~-t und ~ - 2 t linear ausdrficken 1/~l]t.

Aus Grfinden der Anschaulichkeit beschr~nken wir uns bei der n/~heren Dis- kussion der Konvergenzbereiche auf reelle $, ~, und auf reelle nicht negative a.

Die Grenzen der Ungleiehungen (13) werden in der $, ,~-Ebene dureh verschiedene Kurven dargestellt, je nachdem ( $ 3 - - 1 ) ( v 2 . - - 1 ) > 0 oder < 0 ist. Ffir

-~) Vgl. E. W. HoBsor~: The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. S. 236--243. Cambridge 1931.

Entwicklung eines Produktes zweier Kugelfunktionen 177

(~2--1) ( s 2 - - 1 ) < 0 ergibt sieh die Kurve zweiter 0rdnung

~2 § ~ § ~ a - - 2 - - 2 a = 0 , (14)

wiihrend ftir ( ~ s 1~(~2__ 1) > 0 die Gerade ~ = v und die Hyperbel

~2_[_ ~2 +2~e ~(1 -~ -2a ) -~ -4a -~-4a s = 0 (15)

die Grenzen der Ungleichung (13) darstellen.

Die Hyperbel (15) liegt im zweiten und vierten Quadranten der $, n-Ebene und beriihrt die vier Geraden ,j = 4- 1, ~ = -{- 1 in den Abszissen ~ = =F(1 -t-2 a) bzw. Ordinaten n = T ( 1 + 2 a). Dureh dieselben vier Punkte und dutch die weiteren zwei Punkte ~ ---- • J~, n = 4- I geht die Kurve (14), welche ftir 0 < a < 1 eine Ellipse, ftir a = 1 ein Geradenpaar und ftir a > 1 eine Ityperbel ist. Vonder Kurve zweiter Ordnung (14) kommt nur der Teil in Betracht, weleher die Be- dingung ( ~ s - - 1 ) ( n ~ - - l ) < 0.erfiillt. Ftir a = 0 artet die Hyperbel (15) in das Geradensttick ~ + n = 0, I~1 > 1 aus, wahrend die Kurve (14) in den Kreis ~ § ,~s = 2 tibergeht.

Fig. 1

~ ~ ~ ~, , - ~

Fig. 2 Fig. 3 Fig.

FUr a = 0, 1/2, 1, 2- sind die Grenzen tier Ungleichung (13) in den Fig. 1 bis 4 aufgezeichnet. Die Gebiete, in denen (t3} bei jeder beliebigen Vorzeichenkombi- nation erfiillt ist, sind sehraffiert. Fiir beliebige andere positive a ergeben sieh qualitativ i~hnliehe Bi lder . Stets liegen vier getrennte Gebiete vor, die die Un- gleichungen (13) erftillen, und man mul3 daher damit reehnen, daI~ die Reihen- samme (4) in jedem dieser Gebiete durch eine andere analyti~che Funktion dar- gestellt wird. Zwar stol3en li~ngs der Geraden ~ = n jeweils zwei solche Gebiete zusammen, aber auf ihr braueht die Konvergenz yon (4), selbst wenn sie besteht, keine gleiehmiiNge mehr zu sein.

Eine Schwierigkeit bereiten zuni~ehst noctl die Geraden l ~ l = 1 und t *J] ----- 1; ,u denn auf ihnen ist u ----- 1, also sind dort im allgemeinen die Funktionen S}~_~ singuli~r.

Doch l~t~t sich diese Singularitiit dutch Vorziehen des Faktors (u s - 1) -" / s im Falle ~ ~.~' indem ~f~-t = ~ - t beheben. Dasselbe liigt sich erreichen, wenn ~.,,_ , = ~,,,-t,

man ~'i."-t aus ~:',~_~ und ~,T_i"t linear zusammensetzt(die Summe (4) in die zwei

178 J. lg~x~ea

entsprechenden Bestandteile zerlegt und aus ihnen (u 2 - 1) ''/'~ bzw. (u ~ - - 1) .~'/~ vorzieht. Die gleichmiil3ige Konvergenz yon (4) umlaut dann aaeh den Punkt u ~ 1 und damit die vier Geraden I t I ---- I und I ~ I = 1; tiber diese kann also die Reihe (4) analytisch fortgesetzt werden.

4. Best immung tier Reihensumme (4). Es gentigt, yon den erwahnten vier Gebieten dasjenige zu betrachten, ftir welches t > 7 und t > - - 7 - Die Summe der Reihe (4) ftir eines der anderen Gebiete-li~13t sich dann dureh die Substitutionen t --> 7, v ~ t u n d t ~ - - t , ,~ -~ - - 7 gewinnen.

Wit bestimmen zuniichst die Summe

Sei ~, + # nicht ganz, arg ~/t~ + 7 2 + a ~ + 2 ~ 7 a - - 1 = 0. Ferner setzen wir zun~ehst 7 > 1 voraus. Nun lassen Mr die Besctir~nkung, dal3 t reell sein soil, fallen. Bei gegebenem 7 und a kann man stets ein reelles positives to linden, dag ft~r alle t, deren Betrag grSl~er als to ist, die Ungleichungen (13). erfiillt sind und dal~ ferner ftir einen Umlauf in der komplexen t-Ebene aul3erhalb des Kreises I t l ---- t . das Argumen~ yon ~ ~ emen Weg b e s e h r e i b t , der keinen der singul~kren Punkte :k: 1 dieser KugeIfunktion umschliel~t. I)ann multipliziert sieh die Reihe (16) bei Nnem sole.hen Umlauf mit dem Faktore ~:~. Naeh den Umlaufsrelationen der Kugel- funk~:ionen ist daher die Reihe (16) in der Ver~nderliehen ~ proportional zur Kugel- funktion ~,~ (e~ ~- , , , -~t- / , wenn wir aueh die Fi~lle ganzer ~ und nieht negativer ganzer

~ # ausschliel3en. Ftir t ~ ~ wird das Argument der Kugelfunktiorl in (16) gleich v; das Verhalten yon (16) ist daher dann durch das Reihenglie4 mit der hfehsten Potenz in t, d. h. dureh das erste Reihenglied in (16) A o t" ~,~'~~ 7)' gegeben. Aus dem as~rmptotischen Verhalten yon ~ . . . . ~ (t) fitr grol3e t gewinnt man somit, wenn man noch fiir A t den Ausdruek (9)einsetzt

s u 2 - , , e - . , , , z i

t ~ 0

~~--~ g~ ~--~7 ~ + a 2 + 2 ~ 7 a , - 1 "

Durch anulytische Fortsetzung last sieh diese Beziehung zuniichst auf das ganze zug:undegelegte Gebiet auch soweit .ttl < to erweitern, dartiber hinaus abet auch auf komplexe t, 7, a, die sich yon diesem Gebiet aus ohne Verletzung der Un- gleiehungen (13) erreichen, lassen.

Entwicklung eines Prodaktes zweier Kugetfunktionen 179

Die Beziehung (17) bleibt richtig, wie man mit denselben Uberlegungen einsieht, wenn man in itu" ~:~(v) dureh ~:~(v) und ~.~_~ dureh ~'I['-~ ersetzt.

Indem man denselben Beweis, ausgehend yon einem .~ < 1 und einem ~ yon hin- reiehend grol~em Betrag ftihrt, kana man zeigen, daa (17) auch dana riehtig bleibt, wenn mart ~ ( ~ ) durch P;"(~) bzw. ~," ( ~ und ~," dureh U bzw. Q,~ _ , ersetzt. ,~ , k ] 2 ~ . , 4 ~ , _ _ t l , - - t l ,

In den geometrisch ausgezeichneten F~llert a =-0 und a -= 1 Jim einen Fall haben die beiden Koordinatensysteme (1) nad (2) densetben Anfangspunkt, im artde- ren Fall f~llt der Anfangspunkt :con (1) mit einem der gemeinsamen Brennpunkte der Koordinatenfl~chen yon (2) zusammen] treten Vereinfaehungen ein. Es wird

~,,,. 2 -~ e--,tt:ri . . . . ~ (~) ~'~(~) r ( # - ~ ) -

s 1 ['(~' + /~ + 1) / ' (s -t- +) : - - , �9 �9

(2s)! / ' O , + # - - } s + l ) Y'(s t + ~ - ,) ( ~ + ~ - - 1)- ~

(18)

2--.~, e-- p .~,t ,L~.

I - ~ - 0

Die Befleutung der in (17) eingehenflen Koeffizienten geht aus folgenfler l~ber- ]egung hervor. Man ersetze in (17), wie oben angegeben, ~,~(~]) durch ~'~'(v), sw, dutch ~,_~. Dann multipliziere man beide GMchungsseiten mit (v ~ - - 1) .a/2 ~ v - - t .

und mache den Grenzfibergang v ~ 1. Es ergibt sich

. . . . . 2,

t! F ( ~ + # - - t + l ) 2/i'1 - 2 ' - -=2 -~ 2 ' 2 ~J;a-2 "

�9 ( ~ + ~ y + .... ,.(~.~ 1 ) - , , ~ .

Die Koeffizienten in (17) ergeben sieh also aueh, wenn man (~- - -1 ) ,''/2 ~ • ~(~) naeh fallenden Potenzen yon ~ + a entwiekelt.

Bisher wurden die F/~lte ganzer ~, ganzer ~, -[-/~, ganzer nieht negativer ~ , - ,u und ~ = 1/2, 3/2, 5]2 , . . . ausgesehlossen. Doela tiberzeugt man sich leicht davoa, dag (17) aueh in diesen Fgllen gilt, wenn man fiir ~ ,. _ ~ (~ ) /P (# - - ~), ~r (~)/F(,u + ~, + 1),

~F~ ~ , ~ + 2 ; 2 ~ - - ~ , die wohldefinierten Grenzwerte die-

ser Funktionen fiir die Werte yon ~, und tt in jedem dieser F~lle einsetzt.

180 J. ~ x n ~ a

5. Spezial- und Grenzliille. Wir geben noch die Grenzf~ille yon (17) und der analogen Be- ziehungen mit den anderen Kugel funkt ionen an flit den Fall v = n , /~ = m, wo n, m ganze Zahlen mi t ~ _> m >_ 0 sind. Aus (17) folgt

= t[ F ( n + m - - t + l ) - - 2 ' 2 +- . ~ - ; ~ - - n ; a -2 . t ~ 0

. - t V r 1 6 2 1 6 2

+ ~ . F ( - - m + t - - n ) ( - - 1 ) r a + t + 1 2 F 1 - - - -, - - - 2 - + - 2 - ; - 2 - - - n ; a-~ .

tmn+m+l

Die Spalt tmg der Summe in zwei Teile r i ih r t daher , dal] fiir t > n -4- m die Grenzwerte yon

,~.~g_~ / F ( v + kt - - t -6 1) sich du tch Kugelfunkt ionen ers te r Ar t ausdrt icken lasseu.

Fe rne r gewinnt man aus (17). mi t ~ ( r / ) s t a r t ~ ( 7 1 ) , ~ $ _ t - s t a t t C:Y_,

$. (~)%7(v) .2-" / 1 x _,/~ 1)"

"2 1 ( - - a) t 1 [ t t , 1 1 = t! F ( n + m - - t + l ) . F ~ - - - - 2 - , - - ~ ~ - , 2 - ; - ~ - - - n ; a - ' ~ �9 (22)

t = O n - - t

Diese Summe e rs t reek t sich nur bis t = n m, da fiir n m < t _< n " - - - - _ + m d m ~ , _ ~ verschwinden, w~hrend ftir t > n + m tier Nenner F ( n -4- m - - t + 1) fiir alas Versehwinden der ea t spreehenden Reihenglieder sorgt . (22) gilt, da die Reihe abbr ieh t , fiir alle $, ~, fiir welehe keines t ier Argumente tier Kugelf tmktionen auf dem Verzweigungsschnit t yon - - co iiber -- 1 n a c h + 1 liegt.

m m q~m m (21) bleibt aueh richtig, wenn man s (~1) dureh Q, (~) mad ~., ,_~ bzw. durch ~t--n--1

Q~ __~ bzw. Pt . . . . 1 ersetzt . Dasselbe gilt fiir (22), wenn man ~ " (r/) dureh P,, (~) und %~ _~

du tch P ~ _ ~ erse~zt oder wenn man ~ - ' ~ ( ~ ) ~,~ (~) durch P~ '~ (~ ) P ~ 0 7 ) e r s e t z t und die rechte Seite unge~nder t 1/iBt. Fi ir a = I e n t s t e h t im le~zten Fall

2 " P , , ( r (r~) /" , t! ( n - - t ) ! ( n + m - - t ) ! t ~ O

w/i, h rend sich fiir a = 0 mi t t = 2 s, da dana die ungeraden t ~us~alIen, erg~bt

2,, p . . . . . p m r e ) " . ( ~ ) =

[(,~ - - m ) i 2 ]

2 ( - - ' 1 ) s ( 2 n - - 2 ~ ) [ n - s ( ~7/ ) = ~! (~--s)!(~+m--2s)! (~: + ~f'--1)~ ~'"~-~" fs -~~i: "

s~O

(24)

Entwicklung eines Produktes zweier Kugelfuuk~ionen 181

Die Reihen (23) und (24) sind im Spezialfall m = 0 schon yon B.(T~MA.~ 3) und BAILEY 4) an- gegeben worden.

6. Bemerkungen. Die Reihe (17) und die ihr entsprecheaden Reihen ffir die anderen Kugel- funktionen lassen sieh in verschiedener Hinsieht verallgemeinern. Eine Verallgemeinerung auf JAcoBisehe Polynome mit speziellen Indizes hat BATEMAN a) gegeben. Fiir beliebige Indizes_k5nnten die BATEMXNschen Ergebnisse verallgemeinert werden, indem man yon derselben ~berleguug ausgeht, die wir im ersteu Absehnitt durchgeffihrt haben, aber Kugelkoordinaten und rotatious- elliptische Koordinaten in einem Raum beliebiger Dimensionszahl einffihrt und fiir diesen die Potentialgleiehung separiert.

Eine andere Verallgemeiuerung erg~ibe sieh, wenn man die $ysteme der Kugelkoordinaten und der rotationselliptischen Koordinaten in eiaer beliebigen Lage zueinander annehmen wfirde.

Die Verallgemeinerung der obigen Eatwicklungeu dutch ~bergang yon der Potentialgleiehung zur Wetlengleiehung, welche auf Entwicklungen yon Produkten zweier Sph~roidfunktionen naeh

Prmi-a-kten yon Zylinder- und Kugelfmc~tionen ffihrt, haben wir bereits erw~ihnt. Eine Reihe von St)ezialf~llen solcher Entwicldtmgen ist:bekannt. F~r ~ = -2= 1/2 gehen diese Entwicklungen fiber in:solche yon Produkten zweier MATHIEuseher Funktionen nach Produkten yon Zylinderfunktionen u~trrigonometrischen Funktionen, difi-ebenfalls viele bekannte Spezialf~lle umfassen.

Aachen, Institut f~ir theoretische Physik der Technischen Hochschule.

(Eingegangen am 4.9. 1948)

3) H. BATEMAN, Partial Differential Equations of ~iathema~ical Physics. Cambridge 1932. S. 392.

4) W. N. BAILEY, Proc. Loud. ~fath. Soc. 41, 215 (1936).