Epa Mathematik

7/30/2019 Epa Mathematik

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Einheitliche Prfungsanforderungenin der Abiturprfung

Mathematik

(Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 01.12.1989 i.d.F. vom 24.05.2002)

Inhaltsverzeichnis

Fachprambel 3

I Festlegungen fr die Gestaltung der Abiturprfung 4

1 Fachliche Inhalte und Qualifikationen 4

1.1 Fachliche und methodische Kompetenzen 41.2 Fachliche Inhalte 51.2.1 LEITIDEE FUNKTIONALERZUSAMMENHANG 61.2.2 LEITIDEE GRENZPROZESSE / APPROXIMATION 61.2.3 LEITIDEE MODELLIEREN 71.2.4 LEITIDEE MESSEN 71.2.5 LEITIDEE ALGORITHMUS 71.2.6 LEITIDEE RUMLICHES STRUKTURIEREN / KOORDINATISIEREN 81.2.7 LEITIDEE ZUFALL 81.3 Mgliche zustzliche Themenbereiche 81.4 Differenzierung zwischen Grundkurs- und Leistungskursfach 9

1.4.1 Anforderungen 91.4.2 Aufgabenbeispiele fr die Differenzierung 9

Beispiel 1 Renaissancegiebel 9

Beispiel 2 Ebenenschar 10Beispiel 3 Oblivimie 10

Beispiel 4 Ableitung 10

2 Anforderungsbereiche 11

2.1 Allgemeine Hinweise 11

2.2 Fachspezifische Beschreibung der Anforderungsbereiche 11

2.2.1 Anforderungsbereich I 11

2.2.2 Anforderungsbereich II 12

2.2.3 Anforderungsbereich III 13

3 Schriftliche Prfung 13

3.1 Allgemeine Hinweise 133.2 Aufgabenarten 143.3 Hinweise zum Erstellen einer Prfungsaufgabe 143.4 Beschreibung der erwarteten Prfungsleistungen (Erwartungshorizont)15

3.5 Bewertung von Prfungsleistungen 16

4 Mndliche Prfung 16

4.1 Besonderheiten und Aufgabenstellung 16

4.2 Kriterien fr die Bewertung 17

4.3 Fnfte Prfungskomponente 17

4.3.1 Besonderheiten 18

4.3.2 Bewertung 184.3.3 Beispiele fr Themenbereiche 18


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II Aufgabenbeispiele 20

1 Aufgabenbeispiele fr die schriftliche Prfung 20

1.1 Ausfhrlich kommentierte Beispiele 20

1.1.1 Wachstum von Fichten 20

1.1.2 Flugbahnen 231.1.3 Wrfelschnitte 25

1.1.4 Luftvolumen in der Lunge 27

1.1.5 Sugetiere 28

1.1.6 Flugbuchungen 30

1.2 Weitere Beispiele fr das Leistungskursfach 32

1.2.1 Telefondauer 32

1.2.2 Flche im Raum 33

1.2.3 Pyramidenschar 34

1.2.4 Supermrkte 35

1.2.5 Mini-Van 36

1.3 Weitere Beispiele fr das Grundkursfach 37

1.3.1 Defekte Gerte 37 1.3.2 Wassertank 38

1.3.3 Vierecke und Pyramiden 39

1.3.4 Sinus 40

1.3.5 Spiel mit Mnzen 41

2 Aufgabenbeispiele fr die mndliche Prfung 42

2.1 Ganzrationale Funktion 42

2.2 Umgehungsstrae 42

2.3 Heiluftballon 43

2.4 Geradenschar 44

2.5 Normalenform 45

2.6 Verfahren zur Abstandsberechnung 46 2.7 Abstnde 47

2.8 Blutgruppen 47

2.9 Bergsteiger 48

2.10 Zeichenbertragung 49


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Fachprambel

Die Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialen Oberstufe in der Sekundarstufe II(Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 07.07.1972 i.d.F. vom 16.06.2000) be-schreibt die grundlegenden Anforderungen an den Unterricht im mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Aufgabenfeld:

Im mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Aufgabenfeld sollen Verstndnisfr den Vorgang der Abstraktion, die Fhigkeit zu logischem Schlieen, Sicherheit ineinfachen Kalklen, Einsicht in die Mathematisierung von Sachverhalten, in die Beson-derheiten naturwissenschaftlicher Methoden, in die Entwicklung von Modellvorstellun-gen und deren Anwendung auf die belebte und unbelebte Natur und in die Funktionnaturwissenschaftlicher Theorien vermittelt werden.

Wissenschaftliche Expertisen sttzen diese Anforderungen und betonen darber hinausden speziellen, unverzichtbaren Beitrag des Mathematikunterrichts zur Allgemeinbil-dung und Studierfhigkeit. Die allgemein bildende Funktion des Mathematikunterrichtswird insbesondere dadurch betont, dass er folgende Grunderfahrungen ermglicht:

- Mathematik als ein deduktives System abstrakter Objekte mit einem Hchstma an

innerer Vernetzung und Offenheit gegenber Neuschpfungen, neuen Ordnungen undBeziehungen (Mathematik als formale Wissenschaft),

- Mathematik als ein Reservoir an Modellen, die geeignet sind, Erscheinungen derWelt auf rationale Art zu interpretieren (Mathematik als anwendbare Wissenschaft),

- Mathematik als ideales bungsfeld zum Erwerb allgemeiner Problemlsefhigkeiten(Mathematik als Mittel zur Ausbildung heuristischer Fhigkeiten).

In der Integration dieser Grunderfahrungen entfaltet der Mathematikunterricht seinespezifische allgemein bildende Kraft und leistet einen unverzichtbaren Beitrag zur Er-fllung des Bildungsauftrags der gymnasialen Oberstufe; dazu gehrt, eine vertiefteAllgemeinbildung mit Wissenschaftspropdeutik und Studierfhigkeit zu verbinden.

Neue Technologien knnen zur Untersttzung aller drei Grunderfahrungen wirksam

eingesetzt werden. Insbesondere knnen Rechner durch dynamische Visualisierungenden Aufbau von Grundvorstellungen mathematischer Begriffe untersttzen, als leis-tungsfhiges Werkzeug bei Modellbildungen und Simulationen verwendet werden undheuristisch-experimentelles Arbeiten frdern.

Den folgenden drei Sachgebieten kommt unverndert zentrale Bedeutung zu:

- Analysis als Grundlage fundamentaler mathematischer Begriffe und Verfahren zurBeschreibung von Abhngigkeiten und Vernderungsprozessen,

- Lineare Algebra/Analytische Geometrie mit ihren Methoden zur Algebraisierungvon Objekten und zur analytischen Beschreibung des Raumes,

- Stochastikmit der Mglichkeit zur quantitativen Beschreibung von Vorgngen, dievom Zufall abhngen, und zur Beurteilung ihrer Ergebnisse.

Das Anwenden mathematischer Begriffe und Methoden auf inner- und auermathemati-sche Problemstellungen erfordert neben einem soliden Basiswissen Sicherheit im Er-kennen und Nutzen der Vernetzung mathematischer Inhalte und Verfahren sowie dieKompetenz zu selbststndigem Erschlieen und Bearbeiten. Das Verstehen zentralerBegriffe und Problemlse-Verfahren tritt gleichberechtigt neben den sicheren Umgangmit Symbolen und Kalklen.

Die Prfungsaufgaben im Abitur erfordern einen Unterricht, der in den drei Sachgebie-ten den Aufbau adquater Grundvorstellungen der zentralen Begriffe und Methoden alsSchwerpunkt hat und sich dabei an fundamentalen Ideen orientiert.

Die in der Abiturprfung zu fordernden Kompetenzen basieren auf einem Mathematik-unterricht, der den dargestellten fachlichen und methodischen Anforderungen gengt.

Das bedeutet insbesondere, dass neben der Beherrschung von Begriffen und Verfahrenauch das Verstndnis dafr, wie man zu zentralen Aussagen gelangt, an Bedeutung ge-winnt. In gleicher Weise kommt es auch auf das Beschreiben und Begrnden von Pro-

blemlsungen an. Um diese Kompetenzen im erforderlichen Umfang und nachhaltig si


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cher zu stellen, mssen die Aufgabenstellungen in der Prfung auch vernetzte Problem-felder ansprechen und Mglichkeiten bieten, Zusammenhnge zu entdecken und viel-fltige Lsungswege zu gehen, kurz, sie mssen offener werden.

Die spezifischen fachlichen und methodischen Kompetenzen, die im Mathematikunter-richt vermittelt werden und fr die Abiturprfung zur Verfgung stehen mssen, sind

im Einzelnen in Abschnitt 1.1 beschrieben.

Zur Sicherung eines einheitlichen und angemessenen Anforderungsniveaus in den Pr-fungsaufgaben enthalten die Einheitlichen Prfungsanforderungen fr das Fach Mathe-matik

- eine Beschreibung der Prfungsgegenstnde, d.h. der nachzuweisenden Kompetenzensowie der fachlichen Inhalte, an denen diese Kompetenzen eingefordert werden sol-len,

- Kriterien, mit deren Hilfe berprft werden kann, ob eine Prfungsaufgabe das anzu-strebende Anspruchsniveau erreicht,

- Hinweise und Aufgabenbeispiele fr die Gestaltung der schriftlichen und mndlichenPrfung sowie zu alternativen Prfungsformen.

Die im Folgenden aufgefhrten nachzuweisenden fachlichen Kompetenzen gelten so-wohl fr die Prfungen im Grundkurs- als auch im Leistungskursfach.Als Hilfsmittel fr die Konstruktion von Prfungsaufgaben sowie fr die Gestaltung dermndlichen Prfung und alternativer Prfungsformen dient die Beschreibung von dreiAnforderungsbereichen. Mit ihrer Hilfe und nach Magabe des vorangegangenen Un-terrichts, dem die Lehrplne der Lnder zugrunde liegen, werden Prfungsinhalte aus-gewhlt und Prfungsaufgaben erstellt.

I Festlegungen fr die Gestaltung der Abiturprfung

1 Fachliche Inhalte und Qualifikationen

1.1 Fachliche und methodische Kompetenzen

Die Anforderungen fr die schriftliche und mndliche Prfung sowie fr alternativePrfungskomponenten sind so zu gestalten, dass ein mglichst breites Spektrum vonKompetenzen an geeigneten Inhalten berprft werden kann. Dazu gehren im Wesent-lichen:

- angemessenes Verwenden mathematischer Fachsprache

- Veranschaulichen und Beschreiben mathematischer Sachverhalte mit Hilfe von Bil-

dern, Texten und Symbolen- sachgerechtes, flexibles und kritisches Umgehen mit grundlegenden Begriffen, St-

zen, Verfahren und Algorithmen, auch zur Lsung innermathematischer Probleme

- mathematisches Modellieren zur Lsung realittsnaher Probleme

- Beschreiben der Ausgangssituation und der Modellannahme- Mathematisieren- Lsen in dem gewhlten Modell- Interpretieren der Ergebnisse im Ausgangskontext- kritisches Reflektieren der Ergebnisse und der Vorgehensweise

- Beherrschen grundlegender Vorgehensweisen zur Gewinnung, Darstellung und Si-cherung mathematischer Erkenntnisse, insbesondere

- Konkretisieren mathematischer Aussagen an Beispielen- Nutzen heuristischer Strategien und Verfahren- Argumentieren und Begrnden bei mathematischen Sachverhalten- Erlutern von Regeln und Verfahren


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- Beweisen von mathematischen Stzen unter Verwendung der jeweils geeignetenBeweisverfahren

- lokales Ordnen mathematischer Stze, Erkennen von Analogien, Verallgemeinern,Spezialisieren

- Verfgen ber eine sichere Raumanschauung

- Verknpfen von Inhalten aus verschiedenen mathematischen Themenbereichen

- selbstndiges Auswhlen, Nutzen und Bewerten von Informationen

- Erschlieen von Informationsquellen- heuristisches und systematisches Bearbeiten von Problemen- sorgfltiges Dokumentieren der Arbeitsschritte- verstndliches und bersichtliches Prsentieren der Ergebnisse- kritisches Reflektieren des eigenen Handelns

- sachangemessenes Nutzen von Hilfsmitteln wie zum Beispiel Tafelwerke, Taschen-rechner, Computersoftware, Internet

1.2 Fachliche Inhalte

Beim Nachweis der fachlichen Kompetenzen kommt den fachlichen Inhalten aus denSachgebieten Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik beson-dere Bedeutung zu. Alle drei Sachgebiete mssen fr die Abiturprfung zur Verfgungstehen.

Im Folgenden werden die verbindlichen fachlichen Inhalte aus diesen Sachgebietenaufgefhrt. Um die verbindlichen Anforderungen an das Verstndnis von grundlegen-den mathematischen Konzepten deutlich zu machen, werden die Inhalte ausgewhltenmathematischenLEITIDEEN beispielhaft zugeordnet.

Soweit in den folgenden Auflistungen bei grundlegenden Inhalten unterschiedliche

Abstraktionsebenen im Grundkurs- und Leistungskursfach ausdrcklich benannt sind,gelten diese auch fr darauf aufbauende Themenbereiche.

Im Unterschied zum Grundkursfach mssen sich Prfungsaufgaben im Leistungskurs-fach grundstzlich durch komplexere Sachverhalte und offenere Fragestellungen aus-zeichnen (siehe 1.4).

Im Sachgebiet Lineare Algebra/Analytische Geometrie knnen die Anforderungen, auf-bauend auf dem Vektorbegriff, drei alternativen Inhaltsstrngen folgen: vektorielle a-nalytische Geometrie (A1), Anwendung von Matrizen bei Abbildungen (A2) und An-wendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen (A3).


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1.2.1 LEITIDEE FUNKTIONALERZUSAMMENHANG

Grundkursfach Leistungskursfach

Funktionsbegriff

Verknpfung und Verkettung von Funktionenan konkreten Beispielen allgemein

Umkehren von Funktionen in konkreten Fllen

Ableitung von Funktionen

Deutung der Ableitungals lokale nderungsrate und als Tangentensteigung

Ableitungsregeln

Untersuchung von Funktionen an besonderen Stellen, auch qualitativKurvenscharen

Integration von Funktionen

Deutung des Integralsals aus nderungen rekonstruierter Bestand und als Flcheninhalt

Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral

Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungGrundverstndnis Formulierung und Beweis

einfache Integrationsregeln

Grundkompetenzen im Umgang mit den Funktionen:nxxa mit n Z ; xexa ; xsinxa

und ihren einfachen Verknpfungen und Verkettungenvertiefte Behandlung von

mindestens zwei Funktionsklassen

Zufallsgren

1.2.2 LEITIDEE GRENZPROZESSE / APPROXIMATION


Grenzwertbegriffnur propdeutisch

Grenzwerte bei FunktionenAsymptotisches Verhalten von Funktionen

nherungsweise Berechnung von Nullstellenund von Integralen


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1.2.3 LEITIDEE MODELLIEREN


Untersuchung realittsnaher Probleme mit Hilfe von FunktionenExtremalprobleme

Wachstumsprozesse

Anpassung von Funktionen an vorgegebene BedingungenZusammenhang zwischen diskreten und

stetigen Modellierungen

Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen (Alternative A3)auch Fixpunktproblem

ein Verfahren der beurteilenden Statistik

Simulation von Zufallsexperimenten

1.2.4 LEITIDEE MESSEN


Bestimmung von Flcheninhaltennur begrenzte Flchen auch unbegrenzte Flchen

Bestimmung von Winkeln und Abstnden mit Hilfe des Skalarprodukts

(Alternative A1)keine windschiefen Geraden einschlielich windschiefer Geraden

ZufallsgrenErwartungswert und Standardabweichung

von binomialverteilten ZufallsgrenKenngren von Zufallsgren

1.2.5 LEITIDEE ALGORITHMUS


Rekursion / Iteration

Lsen linearer Gleichungssystemeauch Fragen der Lsbarkeit

Rechnen mit Matrizen (Alternativen A2 und A3)


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1.2.6 LEITIDEE RUMLICHES STRUKTURIEREN / KOORDINATISIEREN


Festlegung eines geeigneten Koordinatensystems

Vektoren im Anschauungsraum

Darstellung geometrischer Objekte in einem Schrgbild (Alternative A1)

Koordinatendarstellung von Vektoren

Linearkombination, lineare Abhngigkeit und lineare Unabhngigkeitgeometrische Deutung steht

im Vordergrund

Beschreibung und Untersuchung von geometrischen Objekten mit Hilfe von Vektoren

Anwendung von Matrizen bei Abbildungen (Alternative A2)

1.2.7 LEITIDEE ZUFALL


Wahrscheinlichkeit

Rechnen mit WahrscheinlichkeitenUnabhngigkeit von Ereignissen,

bedingte Wahrscheinlichkeit

WahrscheinlichkeitsverteilungBinomialverteilung

auch stetige Verteilung

1.3 Mgliche zustzliche ThemenbereicheIn der Abiturprfung knnen die vorstehend genannten verbindlichen Inhalte ergnztund vertieft werden, u. a. durch spezielle Aspekte im Bereich

- einfache Differentialgleichungen im Zusammenhang mit Anwendungen

- numerische Nherungsmethoden

- Kurven und gekrmmte Flchen im Raum

- Funktionen mit mehreren Vernderlichen

- Untersuchung dynamischer Vorgnge

- Markov-Ketten

- Testverfahren


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1.4 Differenzierung zwischen Grundkurs- und Leistungskursfach

1.4.1 Anforderungen

Die Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialen Oberstufe in der Sekundarstufe II(Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 07.07.1972 i.d.F. vom 16.06.2000) weist

Grund- und Leistungskursen unterschiedlich akzentuierte Aufgaben zu: den Grundkur-sen die Vermittlung einer wissenschaftspropdeutisch orientierten Grundbildung, denLeistungskursen die systematische, vertiefte und reflektierte wissenschaftspropdeuti-sche Arbeit.

Grundkurse im Fach Mathematik fhren in grundlegende Sachverhalte, Probleme undZusammenhnge ein, verdeutlichen die Differenz zwischen Alltagswissen und wissen-schaftlich begrndetem Wissen. Sie zielen mit Bezug auf Anwendungen auf die Beherr-schung wesentlicher Arbeitsmethoden und die exemplarische Erkenntnis fachbergrei-fender Zusammenhnge.

Leistungskurse im Fach Mathematik befassen sich methodisch ausgewiesener und sys-tematischer mit wesentlichen, die Breite, die Komplexitt und den Aspektreichtum des

Faches verdeutlichenden Inhalten, Theorien und Modellen. Sie sind gerichtet auf ver-tiefte Beherrschung der fachlichen Methoden, ihre selbststndige Anwendung, bertra-gung und theoretische Reflexion.

Die Anforderungen im Grundkursfach sollen sich daher nicht nur quantitativ sondernvor allem auch qualitativ von denen im Leistungskursfach unterscheiden. Grundkurs-und Leistungskursfach unterscheiden sich insbesondere durch:

- den Grad der Vorstrukturierung,

- den Schwierigkeitsgrad,

- den Komplexittsgrad,

- die Offenheit der Aufgabenstellung,

- die Anforderungen an Selbststndigkeit bei der Bearbeitung der Aufgaben,

- den Umfang und die Art der bereitgestellten Hilfsmittel und Informationen.

Im Folgenden werden an Beispielen von Teilaufgaben fr mndliche und schriftlichePrfungen die Unterschiede verdeutlicht.

1.4.2 Aufgabenbeispiele fr die Differenzierung

Beispiel 1 Renaissancegiebel

Der symmetrische Giebel eines Renaissancehauses soll rekonstruiert werden.

Grundkursfach-Niveau

Der obere Giebelrand ist in der Abbildung ineinem Koordinatensystem dargestellt.

Eine gerade, ganzrationale Funktion f be-schreibt im entsprechenden Intervall den obe-ren Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente anden Graph der Funktion f in den PunktenP1(-4|0) und P2(4|0). Die maximale Hhe desGiebels ber der Dachkante betrgt 4,0 m (sie-he Abbildung).

Begrnden Sie, dass die Funktion f eine Funktion mindestens 4. Grades sein muss.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion f.

-4 -2 2 4

2

4

x

f x


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Leistungskursfach-Niveau

Beschreiben Sie die Form des oberen Giebelran-des mathematisch (die angegebene Abbildung istnicht mastblich).

Begrnden Sie Ihren Ansatz.

Beispiel 2 Ebenenschar


Gegeben ist im Raum die Ebene E: x1 + x2 = 0.

Stellen Sie E in Parameterform dar.Zeigen Sie: E enthlt die x3-Achse.

Beweisen Sie: E wird von jeder zur x2-Achse parallelen Geraden geschnitten.


Gegeben ist die Ebenenschar E t : x1 + tx2 = 0 .Stellen Sie E t in Parameterform dar.

Zeigen Sie: E t enthlt die x3-Achse fr alle t R.Beweisen Sie: Fr t 0 wird jede Ebene der Schar von jeder zur x2-Achse parallelen

Geraden geschnitten.

Erlutern Sie die Lage von E0.

Beispiel 3 Oblivimie

In der Bevlkerung sind 2 % O-Personen. Das sind Personen, die den Erreger dernoch nicht ausgebrochenen Krankheit Oblivimie im Blut haben.Bei einem Schnelltest werden 94 % der O-Personen als solche erkannt, aber der Teststuft auch 8 % der Nicht-O-Personen flschlicherweise als O-Personen ein.


Mit welcher Wahrscheinlichkeit erklrt der Test eine ausgesuchte Person als O-Person

bzw. als Nicht-O-Person? Erlutern Sie Ihr Vorgehen.


Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine positiv getestete Person tatschlich eineO-Person? Erlutern Sie Ihr Vorgehen und bewerten Sie das Ergebnis.

Beispiel 4 Ableitung

Betrachten Sie folgende Daten:

x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0f(x) 3,7 3,5 3,5 3,9 4,0 3,9

10m

8m

4m


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Die angegebenen Daten gehren zu einer differenzierbaren Funktion.

Bestimmen Sie einen Schtzwert fr )6,0(f .


Bestimmen Sie verschiedene Schtzwerte fr )6,0(f und erlutern Sie die jeweils nti-gen Annahmen.

Vergleichen und bewerten Sie die von Ihnen gewhlten Verfahren.

Welchem Verfahren geben Sie den Vorzug? Beschreiben Sie dieses Verfahren allge-mein mit Hilfe eines Terms.

2 Anforderungsbereiche

2.1 Allgemeine Hinweise

Die Abiturprfung soll das Leistungsvermgen der Prflinge mglichst differenziert er-fassen. Dazu werden im Folgenden drei Anforderungsbereiche unterschieden.

Obwohl sich weder die Anforderungsbereiche scharf gegeneinander abgrenzen noch diezur Lsung einer Prfungsaufgabe erforderlichen Teilleistungen in jedem Einzelfalleindeutig einem bestimmten Anforderungsbereich zuordnen lassen, kann die Berck-sichtigung der Anforderungsbereiche wesentlich dazu beitragen, Einseitigkeiten zuvermeiden und die Durchschaubarkeit und Vergleichbarkeit der Prfungsaufgaben so-wie der Bewertung der Prfungsleistungen zu erhhen.

Beim Entwurf einer Prfungsaufgabe wird jede von den Prflingen erwartete Teilleis-tung mindestens einem der drei Anforderungsbereiche zugeordnet. Dabei mssen dieSachgebiete nicht generell getrennt angesprochen werden. Vielmehr wird empfohlen,

durch eine geeignete Vernetzung der Fragestellungen die Bedeutungs- und Beziehungs-haltigkeit der Mathematik zum Ausdruck zu bringen.

Offenere Fragestellungen fhren in der Regel ber formales Anwenden von Begriffenund Verfahren hinaus und damit zu einer Zuordnung zu den Anforderungsbereichen IIoder III. Die tatschliche Zuordnung der Teilleistungen hngt davon ab, ob die jeweilsaufgeworfene Problematik eine selbststndige Auswahl unter Bearbeitungsanstzen ineinem durch bung bekannten Zusammenhang erfordert oder ob kreatives Erarbeiten,Anwenden und Bewerten in komplexeren und neuartigen Zusammenhngen erwartetwird.

In jedem Fall ist die Zuordnung zu den Anforderungsbereichen abhngig vom vorange-gangenen Unterricht bzw. von im Lehrplan verbindlich vorgeschriebenen Zielen undInhalten sowie von der Leistungsfhigkeit zugelassener Hilfsmittel (z.B. GTR, CAS,Internet).

In den die einzelnen Anforderungsbereiche erluternden Beispielen werden diese Ab-hngigkeiten verdeutlicht.

2.2 Fachspezifische Beschreibung der Anforderungsbereiche

2.2.1 Anforderungsbereich I

Der Anforderungsbereich I umfasst

- die Verfgbarkeit von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, mathematischen Stzen usw.aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten Zusammenhang

- die Beschreibung und Verwendung gelernter und gebter Arbeitstechniken und Ver


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fahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einem wiederholenden Zusammen-hang

Dazu kann u. a. gehren:

- Bereitstellen von Definitionen, Stzen und einfachen Beweisen

- Beschreiben eines einfachen Sachverhalts, eines bekannten Verfahrens oder einesstandardisierten Lsungsweges

- Anfertigen von Skizzen auf eine aus dem Unterricht bekannte Weise; Skizzieren derGraphen von Grundfunktionen

- Ausfhren von gebten Algorithmen wie z.B. Ableiten und Integrieren in einfachenFllen, Lsen von einfachen Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemennach eingebten Verfahren

- Verwenden des Rechners als Werkzeug z.B. zum Zeichnen eines geeigneten Aus-schnitts des Graphen einer Funktion, beim Lsen von Gleichungssystemen, beim Be-rechnen von Ableitungen und von Integralen

- Bestimmen der Extremwerte einer Funktion in Fllen, in denen das eingebte Verfah-

ren unmittelbar zum Ziel fhrt- Feststellen der Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden oder Ebenen mit Hilfe

eines durch bung vertrauten Verfahrens

- Bestimmen von Geraden- und Ebenengleichungen bei Vorgabe einfacher und ge-wohnter Bedingungen

- Darstellen statistischer Daten und Ermitteln statistischer Kenngren in einfachenFllen

- Bestimmen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten in einfachen, vom Unterrichther vertrauten Zusammenhngen

2.2.2 Anforderungsbereich II

Der Anforderungsbereich II umfasst

- selbststndiges Auswhlen, Anordnen, Verarbeiten und Darstellen bekannter Sach-verhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch bung bekannten Zu-sammenhang

- selbststndiges bertragen des Gelernten auf vergleichbare neue Situationen, wobeies entweder um vernderte Fragestellungen oder um vernderte Sachzusammenhngeoder um abgewandelte Verfahrensweisen gehen kann


- Veranschaulichen und Beschreiben von Zusammenhngen bei bekannten Sachver-halten mit Hilfe von Bildern, Texten und Symbolen

- Dokumentieren eines Lsungsweges in sachgerechter mathematischer Form

- Verfassen eines mathematischen Kurzaufsatzes in bekannten Zusammenhngen

- Ausfhren von Beweisen, deren Beweisstruktur aus dem Unterricht bekannt ist

- Anwenden von zentralen Begriffen in Beispielen, die in ihrer Struktur einfach sind

- Interpretieren charakteristischer Eigenschaften einer Funktion anhand ihres Graphen

- bersetzen eines Schaubildes in einen Funktionsterm oder eines Funktionsterms ineine Skizze

- Anpassen von Funktionen an vorgegebene Bedingungen, wenn hnliche Vorgehens-

weisen aus dem Unterricht bekannt sind- Durchfhren vollstndiger Fallunterscheidungen in berschaubaren Situationen

- gezieltes Verwenden des Rechners bei der Lsung komplexerer Probleme


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- bersetzen einer Ausgangssituation in ein geeignetes mathematisches Modell (z.B.Koordinatensystem, Funktionsterm, Gleichungssystem, Wahrscheinlichkeitsvertei-lung), wenn hnliche Modellierungen aus dem Unterricht bekannt sind

- sachgerechtes und begrndetes Argumentieren bei der Darstellung eines Modellan-satzes oder bei der Auswahl eines Lsungsweges

- verstndiges Anwenden der Beziehung zwischen nderungsrate und Gesamtnde-rung in bekannten Situationen

- analytisches Beschreiben von geometrischen Objekten, wobei die sie bestimmendenParameter erst aus anderen Bedingungen erschlossen werden mssen

- Vergleichen und Bewerten verschiedener Lsungsanstze in einem durch bung be-kannten Zusammenhang

- Analysieren und Modellieren stochastischer Prozesse in aus dem Unterricht bekannterWeise

- Durchfhren eines aus dem Unterricht bekannten Verfahrens der beurteilenden Sta-tistik

- Beschaffen, Strukturieren, Auswhlen und Auswerten von Informationen zu einer -berschaubaren Problemstellung in einer im Unterricht vorbereiteten Vorgehensweise

- Prsentieren von Arbeitsergebnissen in bersichtlicher, gut strukturierter Form

2.2.3 Anforderungsbereich III

Der Anforderungsbereich III umfasst

- planmiges und kreatives Bearbeiten komplexerer Problemstellungen mit dem Ziel,selbststndig zu Lsungen, Deutungen, Wertungen und Folgerungen zu gelangen

- bewusstes und selbststndiges Auswhlen und Anpassen geeigneter gelernter Metho-den und Verfahren in neuartigen Situationen


- kreatives bersetzen einer komplexeren Ausgangssituation in ein geeignetes mathe-matisches Modell, ohne dass dies in vergleichbaren Zusammenhngen gebt wurde

- planvolles, begrndetes Nutzen und Bewerten von Informationen bei komplexeren o-der offeneren Problemstellungen

- Auffinden eines Lsungsansatzes fr Probleme, bei denen Kenntnisse aus ver-schiedenen Teilgebieten der Mathematik verbunden werden mssen, ohne dass diesin vergleichbaren Zusammenhngen gebt wurde

- berprfen und Bewerten der Vorgehensweise sowie Interpretieren und Beurteilender Ergebnisse z.B. bei einer Modellierung oder beim Umgang mit Informationen

- Anwenden zentraler Begriffe und Vorgehensweisen in komplexeren Zusammenhn-gen

- Verallgemeinern eines Sachverhalts, der nur von Beispielen her bekannt ist

- Ausfhren eines Beweises, zu dem eigenstndige Beweisgedanken erforderlich sind

3 Schriftliche Prfung

3.1 Allgemeine HinweiseEine Prfungsaufgabe fr die schriftliche Abiturprfung im Fach Mathematik besteht

aus zwei bis fnf Aufgaben. Die Prfungsaufgabe enthlt mindestens zwei der in Ab-schnitt 1.2 genannten Sachgebiete und darf sich nicht auf die Inhalte nur eines Kurs-halbjahres beschrnken (vgl. Vereinbarung ber die Abiturprfung der gymnasialen O


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berstufe in der Sekundarstufe II (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom13.12.1973 i.d.F. vom 16.06.2000), 5 Abs. 4). Dabei mssen sich die Anforderungenzu mindestens einem Drittel auf Analysis beziehen. Sofern andere als die unter 1.2 ge-nannten Sachgebiete oder zustzliche Themenbereiche (vgl. 1.3) bercksichtigt werden,drfen sich die Anforderungen hchstens zu einem Drittel auf diese Sachgebiete bzw.Themenbereiche beziehen. Das zugehrige Anforderungsniveau muss dem der anderen

Aufgaben entsprechen.

Jede Aufgabe kann in Teilaufgaben gegliedert sein, die jedoch nicht beziehungslos ne-beneinander stehen sollen. Durch die Gliederung in Teilaufgaben knnen

- verschiedene Blickrichtungen erffnet,

- mgliche Vernetzungen gefrdert,

- Differenzierungen zwischen Grundkurs- und Leistungskursfach erreicht,

- unterschiedliche Anforderungsbereiche gezielt angesprochen werden.

Die Teilaufgaben einer Aufgabe sollen so unabhngig voneinander sein, dass eineFehlleistung - insbesondere am Anfang - nicht die weitere Bearbeitung der Aufgabe

unmglich macht. Falls erforderlich, knnen Zwischenergebnisse in der Aufgabenstel-lung enthalten sein.

Die Aufgliederung darf nicht so detailliert sein, dass dadurch ein Lsungsweg zwingendvorgezeichnet wird.

Ein ausgewogenes Verhltnis zwischen formalen und anwendungsbezogenen (inner-mathematischen oder realittsnahen) Prfungsanforderungen ist zu gewhrleisten.

3.2 AufgabenartenFolgende Arten von Aufgaben oder Teilaufgaben knnen u. a. vorkommen, wobei teil-

weise berschneidungen mglich sind:

- Aufgaben, in denen die Ermittlung eines konkreten Einzelergebnisses gefordert wird

- Darstellung, Erluterung und sachgerechte Anwendung von mathematischen Begrif-fen und Verfahren

- Untersuchung vorgegebener mathematischer Objekte auf ihre Eigenschaften

- Visualisierung von Sachverhalten und mathematischen Zusammenhngen

- Konstruktionen (z.B. Anpassung von Funktionen, geometrische Objekte)

- Problemstellungen, die eine sachgerechte Verwendung von Hilfsmitteln erfordern

- Auswertung von Informationen

- Herleitungen, Begrndungen und Beweise

- Modellierung von Sachverhalten

- Interpretation, Vergleich und Bewertung von Daten, Ergebnissen, Lsungswegen o-der Verfahren

- bertragung der Ergebnisse einer Untersuchung auf einen anderen Sachverhalt imSinne der Vernetzung verschiedener Teilgebiete

Unterscheidungsmerkmale fr die Aufgabenstellung in Grundkurs- und Leistungskurs-fach sind unter 1.4 benannt.

3.3 Hinweise zum Erstellen einer Prfungsaufgabe

Die Prfungsaufgabe fr die schriftliche Abiturprfung soll sowohl fachliche und me-thodische Kompetenzen als auch Kenntnisse fachlicher Inhalte in mglichst groer


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Breite berprfen.

Eine Prfungsaufgabe muss sich auf alle drei in Abschnitt 2.2 beschriebenen Anforde-rungsbereiche erstrecken, so dass eine Beurteilung ermglicht wird, die das gesamte

Notenspektrum umfasst. Die Prfungsaufgabe sowohl fr das Grundkursfach als auchfr das Leistungskursfach erreicht dann ein angemessenes Niveau, wenn das Schwer-

gewicht der zu erbringenden Prfungsleistungen im Anforderungsbereich II liegt unddaneben die Anforderungsbereiche I und III bercksichtigt werden, und zwar Anforde-rungsbereich I in hherem Mae als Anforderungsbereich III.

Entsprechende Anteile der Anforderungsbereiche knnen insbesondere durch geeigneteWahl der nachzuweisenden fachlichen und methodischen Kompetenzen, durch dieStruktur der Prfungsaufgabe sowie durch entsprechende Formulierung des Textes er-reicht werden (vgl. 2.1). Diese Wahl sollte so erfolgen, dass eine prfungsdidaktischsinnvolle, selbststndige Leistung gefordert wird, ohne dass der Zusammenhang zur

bisherigen Unterrichts- und Klausurpraxis verloren geht.

Das Erstellen einer Prfungsaufgabe einschlielich des Abschtzens ihrer Angemessen-heit lsst sich in folgender Weise vornehmen:

- Nach Auswahl der Problemfelder und der darin mglichen Fragestellungen werdendie Aufgaben bzw. Teilaufgaben unter Bercksichtigung der in 3.1 beschriebenenBedingungen formuliert.

- Zu jeder Teilaufgabe werden in Stichworten die erwarteten Lsungsschritte ein-schlielich mglicher Alternativen beschrieben (siehe 3.4 und Teil II, 1).

- Aufgrund des vorangegangenen im Rahmen der geltenden Bestimmungen erteiltenUnterrichts werden die erwarteten Lsungsschritte nach pdagogischem Ermessenden Anforderungsbereichen I bis III zugeordnet.

- Zum Abschtzen des Anteils der einzelnen Anforderungsbereiche ist zu beachten,dass die erwarteten Lsungsschritte jeweils Teilleistungen darstellen, die im Rahmender gesamten Prfungsaufgabe von unterschiedlicher Bedeutung sein knnen. Des-

halb kann es hilfreich sein, den Anteil dieser einzelnen zu erbringenden Teilleistun-gen an der erwarteten Gesamtleistung zu kennzeichnen. Diese Kennzeichnung be-rcksichtigt vorwiegend die zur Lsung erforderlichen gedanklichen Einzelschritteund die fr die Bearbeitung und Darstellung geschtzte Zeit; sie beruht vornehmlichauf der pdagogischen Erfahrung.

3.4 Beschreibung der erwarteten Prfungsleistungen (Erwartungshorizont)

Den Aufgaben der schriftlichen Prfung werden von der Aufgabenstellerin bzw. demAufgabensteller eine Beschreibung der von den Schlerinnen und Schlern erwartetenLeistungen einschlielich der Angabe von Bewertungskriterien beigegeben. Dabei sindvon der Schulaufsichtsbehrde gegebene Hinweise fr die Bewertung zu beachten und

auf die gestellten Aufgaben anzuwenden. ( 5 Absatz 3 der Vereinbarung ber die A-biturprfung der gymnasialen Oberstufe in der Sekundarstufe II (Beschluss der Kul-tusministerkonferenz vom 13.12.1973 i.d.F. vom 16.06.2000))

Die erwarteten Prfungsleistungen sind stichwortartig darzustellen. Werden Prfungs-aufgaben nicht zentral gestellt, so ist der vorangegangene Unterricht, aus dem die vor-geschlagene Prfungsaufgabe erwachsen ist, so weit kurz zu erlutern, wie dies zumVerstndnis der Aufgabe notwendig ist. Damit soll zugleich der Bezug zu den Anforde-rungsbereichen einsichtig gemacht werden.

Zugelassene Hilfsmittel sind anzugeben. Beim Einsatz der Hilfsmittel muss der Grund-satz der Gleichbehandlung gewahrt bleiben.


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3.5 Bewertung von Prfungsleistungen

Nach 6 Absatz 5 der Vereinbarung ber die Abiturprfung der gymnasialen Oberstu-fe in der Sekundarstufe II (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 13.12.1973i.d.F. vom 16.06.2000) soll aus der Korrektur und Beurteilung der schriftlichen Arbeit(Gutachten) hervorgehen, welcher Wert den von der Schlerin bzw. dem Schler vor-

gebrachten Lsungen, Untersuchungsergebnissen oder Argumenten beigemessen wirdund wieweit die Schlerin bzw. der Schler die Lsung der gestellten Aufgaben durchgelungene Beitrge gefrdert oder durch sachliche oder logische Fehler beeintrchtigthat. Die zusammenfassende Beurteilung schliet mit einer Bewertung gem Ziffer 9.1und 9.2 der Vereinbarung vom 07.07.1972 i.d.F. vom 16.06.2000.

Das Beurteilen der von den Prflingen erbrachten Prfungsleistung erfolgt unter Bezugauf die beschriebene erwartete Gesamtleistung. Den Beurteilenden steht dabei ein Be-urteilungsspielraum zur Verfgung.

Liefern Prflinge zu einer gestellten Aufgabe oder Teilaufgabe Lsungen, die in der Be-schreibung der erwarteten Prfungsleistungen nicht erfasst waren, so sind die erbrachtenLeistungen angemessen zu bercksichtigen. Dabei kann der vorgesehene Bewertungs-

rahmen fr die Teilaufgabe nicht berschritten werden.

Fr die Bewertung der Prfungsleistungen sind sowohl die rein formale Lsung alsauch das zum Ausdruck gebrachte mathematische Verstndnis magebend. Daher sinderluternde, kommentierende und begrndende Texte unverzichtbare Bestandteile derPrfungsleistung. Mangelhafte Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeitenin Zeichnungen oder unzureichende oder falsche Bezge zwischen Zeichnungen undText sind als fachliche Fehler zu werten.

Darber hinaus sind schwerwiegende und gehufte Verste gegen die sprachlicheRichtigkeit in der Muttersprache (Unterrichtssprache) oder gegen die uere Form ge-m 6 Abs. 5 der Vereinbarung ber die Abiturprfung der gymnasialen Oberstufe inder Sekundarstufe II (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom l3. 12. 1973 i.d.F.

vom 16.06.2000) zu bewerten.

Da jede Prfungsaufgabe in mehrere voneinander unabhngige Aufgaben gegliedert ist,ist es notwendig, fr diese Teile den jeweiligen Anteil an der erwarteten Gesamtleistunganzugeben.

Die Festlegung der Schwelle zur Note ausreichend (05 Punkte) und die Vergabe derweiteren Noten sind Setzungen, die in besonderem Mae der pdagogischen Erfahrungund Verantwortung der Beurteilenden unterliegen.

Die Note ausreichend (05 Punkte) soll erteilt werden, wenn annhernd die Hlfte(mindestens 45 Prozent) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden ist. Dazu rei-chen Leistungen allein im Anforderungsbereich I nicht aus. Oberhalb und unterhalb die-

ser Schwelle sollen die Anteile der erwarteten Gesamtleistung den einzelnen Notenstu-fen jeweils ungefhr linear zugeordnet werden, um zu sichern, dass mit der Bewertungdie gesamte Breite der Skala ausgeschpft werden kann.

Die Note gut (11 Punkte) soll erteilt werden, wenn annhernd vier Fnftel (mindes-tens 75 Prozent) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden ist.

4 Mndliche Prfung

4.1 Besonderheiten und Aufgabenstellung

Die mndliche Prfung erstreckt sich auf die in Abschnitt 1 genannten Prfungsge-genstnde und bezieht sich auf mindestens zwei der in Abschnitt 1.2 genannten Sachge-

biete. Dabei sollen die Prflinge zeigen, dass sie ber mathematische Sachverhalte infreiem Vortrag berichten und im Gesprch zu mathematischen Fragen Stellung nehmen


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knnen. Sie sollen insbesondere nachweisen, in welchem Umfang sie

- einen berblick ber grundlegende Stze, Begriffe und Verfahren der Mathematikbesitzen,

- Verstndnis fr mathematische Denk- und Arbeitsweisen haben,

- Einblick in mathematische Problemstellungen und Ergebnisse gewonnen haben.

Um in der zur Verfgung stehenden Zeit diese Kompetenzen berprfen zu knnen,muss sich die Aufgabenstellung fr die mndliche Prfung grundstzlich von der fr dieschriftliche Prfung unterscheiden. Im Vordergrund soll die Darstellung und Begrn-dung von Sachverhalten und Verfahren stehen. In der Prfung ist der Nachweis ver-schiedener fachlicher und methodischer Kompetenzen zu fordern. Umfangreiche Rech-nungen und zeitaufwndige Konstruktionen sind zu vermeiden.

Einerseits bieten sich dazu an:

- die Nutzung geeigneter Werkzeuge zur Erarbeitung der Lsungen (z.B. Taschenrech-ner, Software, Fachliteratur),

- der Einsatz von Hilfsmitteln zur Prsentation der Lsungswege und Ergebnisse (z.B.Folien, Displays, Modelle).

Andererseits sind Aufgabenstellungen besonders geeignet, die

- Teilaufgaben enthalten, die sich auf eine Erluterung des Lsungsweges beschrnken,ohne dass die zugehrigen Rechnungen im Einzelnen auszufhren sind,

- Ergebnisse, Skizzen, Lsungswege usw. vorgeben, an denen wesentliche Gedanken-gnge zu erlutern sind.

Aufgaben, die sich in Teilaufgaben zunehmend ffnen, bieten dem Prfling eine beson-dere Chance, den Umfang seiner Fhigkeiten und die Tiefe seines mathematischen Ver-

stndnisses darzustellen. Fr den Prfungsausschuss ermglichen sie die differenzierteBeurteilung der Leistungsfhigkeit des Prflings.

Die Prfungsaufgabe muss einen einfachen Einstieg erlauben. Sie muss andererseits soangelegt sein, dass in der Prfung unter Beachtung der Anforderungsbereiche (vgl. 2),die auf der Grundlage eines Erwartungshorizontes zugeordnet werden, grundstzlich je-de Note erreichbar ist.

4.2 Kriterien fr die Bewertung

Bei der Bewertung der mndlichen Prfungsleistung sollen neben den in Abschnitt 1.1beschriebenen fachlichen und methodischen Kompetenzen vor allem folgende Kriterien

bercksichtigt werden:

- Umfang und Qualitt der nachgewiesenen mathematischen Kenntnisse und Fertig-keiten,

- sachgerechte Gliederung und folgerichtiger Aufbau der Darstellung, Beherrschungder Fachsprache, Verstndlichkeit der Darlegungen, adquater Einsatz der Prsentati-onsmittel und die Fhigkeit, das Wesentliche herauszustellen,

- Verstndnis fr mathematische Probleme sowie die Fhigkeit, Zusammenhnge zuerkennen und darzustellen, mathematische Sachverhalte zu beurteilen, auf Fragen undEinwnde einzugehen und gegebene Hilfen aufzugreifen,

- Kreativitt und Selbststndigkeit im Prfungsverlauf.

4.3 Fnfte Prfungskomponente

Die Abiturprfung umfasst mindestens 4, hchstens 5 Komponenten. Fnfte Kompo


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nente ist entweder eine schriftliche oder eine mndliche Prfung in einem weiterenFach oder eine besondere Lernleistung. (Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialenOberstufe in der Sekundarstufe II (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom07.07.1972 i.d.F. vom 16.06.2000), 8.2.1) Im Rahmen der fnften Prfungskomponenteknnen die Lnder neue Prfungsformen entwickeln. Fr alle Formen der fnften Pr-fungskomponente gelten die Abschnitte 1 bis 4.2 sinngem.

Im Folgenden werden fr die fnfte Prfungskomponente als mndliche Prfung inneuer Form fr das Fach bzw. Referenzfach Mathematik Festlegungen getroffen, dieber die Bestimmungen der Abschnitte 1 bis 4.2 hinausgehen.

4.3.1 Besonderheiten

Die fnfte Prfungskomponente als mndliche Prfung in neuer Form zielt insbeson-dere auf die Einbeziehung grerer fachlicher Zusammenhnge und fachbergreifenderAspekte in die Abiturprfung. Sie sollte deshalb vor allem gekennzeichnet sein durch

- einen lngeren zeitlichen Vorlauf und

- einen besonderen Stellenwert der vorbereiteten Prsentation.

Hinzu kommt die Mglichkeit, Gruppenprfungen durchzufhren. Dabei ist durch Be-grenzung der Gruppengre, die Aufgabenstellung und die Gestaltung des Prfungsge-sprchs dafr Sorge zu tragen, dass die individuelle Leistung eindeutig erkennbar und

bewertbar ist. Fr Gruppenprfungen eignen sich im Fach Mathematik insbesonderePrfungsaufgaben, bei denen unterschiedliche Aspekte eines Problems behandelt wer-den.

Die Gewhrung eines lngeren zeitlichen Vorlaufs kann insbesondere ntig sein beiPrfungsaufgaben mit komplexerer Fragestellung oder aufwndigerer Erschlieungz. B. durch Literatur- oder Internet-Recherche, projektartige Bearbeitung, Experiment,

Exkursion.

Die Prsentation wird bestimmt durch die verfgbaren technischen Mglichkeiten, z. B.Folien, Modelle, fr Mathematik geeignete Software, Prsentationssoftware. Sie gehtaus von einer vorzulegenden Dokumentation der Vorbereitung.

4.3.2 Bewertung

Bei der Bewertung der fnften Prfungskomponente als mndliche Prfung in neuerForm kommen neben der nachgewiesenen Fach- und Methodenkompetenz

- der dokumentierten Vorbereitung,

- der Klarheit, Vollstndigkeit und Angemessenheit von Dokumentation und Prsenta-

tion,- der Selbststndigkeit und dem Einfallsreichtum bei der Ausfhrung der Arbeitsanteile

und Arbeitsschritte,

- dem Grad der Durchdringung und den aufgezeigten Vernetzungen sowie

- der Souvernitt im Prfungsgesprch

besondere Bedeutung zu.

4.3.3 Beispiele fr Themenbereiche

Die Themenstellung soll durch Reichhaltigkeit der innermathematischen oder fachber-

greifenden Bezge gekennzeichnet sein. Sie soll in hohem Mae Originalitt und Krea-tivitt bei der Bearbeitung ermglichen.

Die folgenden Beispiele beschreiben Themenbereiche, aus denen Teilaspekte als Pr


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fungsthemen fr die fnfte Prfungskomponente als mndliche Prfung in neuerForm besonders geeignet erscheinen:

- Modellierungsprozesse

- Erhebung und Auswertung von Daten

- Dynamische Vorgnge

- Mehrstufige Prozesse

- Codierungs- und kryptologische Verfahren

- Optimierungsprobleme

- Kurven und gekrmmte Flchen

- Geometrie der Erdkugel

- Fibonacci (z. B. Folgen, Irrationalitt, goldener Schnitt, Phylotaxis)

- Mathematische Logik

- Besondere Leistungen von Mathematikerinnen und Mathematikern


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II Aufgabenbeispiele

Mit Rcksicht auf die unterschiedliche Praxis in den Lndern bilden die aufgefhrtenBeispiele fr sich keine geschlossenen Prfungsaufgaben; sie ergeben vielmehr erstdurch Hinzufgen weiterer Aufgaben auch unterschiedlichen Umfangs eine vollstndigePrfungsaufgabe. Dabei muss sichergestellt werden, dass in der vollstndigen Prfungs-

aufgabe alle Bedingungen entsprechend den Festlegungen in Teil I, 3.3 bzw. 4.1 be-rcksichtigt werden.

Durch die ausgewhlten Beispiele sollen weder besondere thematische Schwerpunktegesetzt noch thematische Festlegungen getroffen werden. Vielmehr soll die Vielfalt derMglichkeiten bei der Themenauswahl, bei der Aufgabenkonstruktion sowie bei denverwendeten Ausdrucks- und Schreibweisen verdeutlicht werden. Die Beispiele betonenneuere fachdidaktische Entwicklungen, ohne auf bewhrte Aufgabenstellungen zu ver-zichten. Sie sind jedoch nicht reprsentativ hinsichtlich formaler und anwendungsbezo-gener Anteile der Prfungsaufgabe.

Besondere Aspekte wie z.B.

- inhaltliche Reflexion und Interpretation von Begriffen und Verfahren,

- Modellierung,

- ffnung von Fragestellungen

- Vernetzung von Sachgebieten und Themenbereichen

- Verwendung von Rechnern

werden bei den einzelnen Aufgabenbeispielen unter Zielsetzung benannt.

Taschenrechner (nicht programmierbar), Tabellenwerk und Formelsammlung (ohneausfhrliche Musterbeispiele) sind zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben generellzugelassen. Zustzliche Hilfsmittel wie GTR (grafikfhige Taschenrechner ohne CASund ohne aufgespielte Programme), CAS oder Programme werden ggf. genannt. DieZulassung von grafikfhigen und programmierbaren Taschenrechnern als Hilfsmittel frdie schriftliche Abiturprfung ist nicht verpflichtend.

1 Aufgabenbeispiele fr die schriftliche Prfung

Die Aufgabenbeispiele enthalten Angaben ber die Zielsetzung der Aufgabe, die unter-richtlichen Voraussetzungen, die zugelassenen Hilfsmittel und ber die vorgeseheneBearbeitungszeit. Die Beispiele in Abschnitt 1.1 sind ausfhrlicher dargestellt. Sie ent-halten zustzlich die Lsungsskizzen, die Zuordnungen zu den Anforderungsbereichenund die vorgesehenen Bewertungseinheiten.

Die in den Anmerkungen beschriebenen unterrichtlichen Voraussetzungen dienen dazu,die Angemessenheit der jeweiligen Aufgabenstellung zu beurteilen. Bei allen Zeitanga-ben handelt es sich um Richtwerte.

1.1 Ausfhrlich kommentierte Beispiele

1.1.1 Wachstum von Fichten LK

Fichten stellen in Deutschland mit ber 40% der Gesamtwaldflche die wichtigsteHolzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:

Alter des Baumes

in Jahren

0

(Setzling)

20 40 60 80 100 120 140 160

Durchmesser in m(bei lteren Fichten gemes-sen in 1,30 m Hhe)

0,05 0,10 0,22 0,33 0,54 0,75 0,83 0,91 0,95


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a) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten in dieser Region kann durch eine

Funktion d mit ( )80t04,0e1

1)t(d += nherungsweise beschrieben werden.

Skizzieren Sie die gemessenen Durchschnittswerte sowie den Graphen von d inein gemeinsames Koordinatensystem.

Ermitteln Sie, in welchem Jahr die Funktion d das strkste Dickenwachstum be-schreibt und bestimmen Sie dieses maximale Dickenwachstum.

b) Nennen Sie Annahmen, die logistischem Wachstum zu Grunde liegen.

Stellen Sie die Differentialgleichung fr die zeitliche Entwicklung der Dicke derFichten auf unter der Annahme, dass logistisches Wachstum vorliegt.

Zeigen Sie, dass d diese Differentialgleichung lst.

c) Oft kennen Forstleute das Alter eines Baumes nicht. Der Umfang ist meist einfacherzu messen als der Durchmesser.

Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion d eine weitere Funktion, die das Alter

einer Fichte in Abhngigkeit von ihrem Umfang nherungsweise beschreibt.

d) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten soll durch eine Funktion anderenTyps als im Aufgabenteil a) approximiert werden.

Beschreiben Sie mindestens zwei unterschiedliche Lsungsanstze in Kurzform undfhren Sie einen aus.

Beurteilen Sie die Qualitt Ihrer Approximation im Vergleich mit der Approximati-on durch die Funktion d.

ANMERKUNGEN:

Zielsetzung:

Das Aufgabenbeispiel ist gekennzeichnet durch eine sich zunehmend ffnende Aufga-benstellung. Zu ihrer Bearbeitung ist ein GTR erforderlich, so dass Lsungen grafischermittelt werden knnen. Die volle Bandbreite der Mglichkeiten erschliet sich durchVerwendung eines CAS.

Unterrichtliche Voraussetzungen:

Vergleichbare Aufgaben wurden im Unterricht bearbeitet. Umkehrfunktionen warenUnterrichtsgegenstand; entsprechende bungen wurden an anderen Beispielen durchge-fhrt. Die Schlerinnen und Schler sind im Umgang mindestens mit einem GTR ver-traut.Steht ein CAS zur Verfgung, dann sind die folgenden Bewertungen und ggf. die vor-gesehene Bearbeitungszeit entsprechend anzupassen.

Zustzliche Hilfsmittel: GTR ggf. CAS

Vorgesehene Bearbeitungszeit: 120 minLsungsskizze, vorgesehene Bewertungseinheiten und ihre Zuordnungen zu den Anfor-

derungsbereichen:

Lsungsskizze

Zuordnung,Bewertung

I II IIIa

Das strkste Dickenwachstum entspricht dem Maximum der Ableitung

50 100 150

0,5

1,0

Alter des Baumesin Jahren

Durchmesser in Metern


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der Dicke-Zeit-Funktion.Mittels GTR wird grafisch das Maximum von d(t) an der Stellet 80 zu 0,01 ermittelt, mittels CAS werden die Lsung von d(t) = 0zu t = 80 und die von d(80) zu 0,01 bestimmt.Im Alter von ca. 80 Jahren tritt das strkste Dickenwachstum auf; es

betrgt 0,01 Meter pro Jahr. 5 2

b Momentane nderungsrate der Dicke ~ Bestand (Sttigung Be-stand): ( ) ( ) ( )[ ]tdStdct'd =

Bestimmen der Sttigung: ( ) 1ee1

1limtdlimS

t04,02,3tt=

+==

Durch Einsetzen ergibt sich, dass die Differentialgleichung fr c = 0,04erfllt wird. 2 7

cAus ( ) ( )

( )0tmit

e1tdtu

80t04,0

+

== ergibt sich durch

Umstellung ( ) 0umitln2580utu

u >= . 5 3

d Beschreibungen mglicher Lsungsvarianten in Kurzform

Lsungsvariante 1:Approximation mittels GTR. Eingabe der gegebenen Daten, grafischeDarstellung der Daten. Festlegung einer Approximationsfunktion ausmehreren Mglichkeiten (ganzrationale Funktion ersten, zweiten, drit-ten oder vierten Grades; Logarithmus-; Exponential-; Potenzfunktion).Durchfhrung der Approximation; grafische Darstellung der Approxi-mationsfunktion in der Darstellung der Daten; bei greren Abwei-chungen Approximation durch einen anderen Funktionstyp.Mgliches Ergebnis:

( ) 05,0t1087,1t1014,1t1003,5td 424372 +++=

Lsungsvariante 2:Approximation durch eine abschnittweise definierte Funktion. Festle-gung der Anzahl der Abschnitte und ihrer Intervalle, z.B. zwei Ab-schnitte fr die Intervalle 160t80.bzw80t0


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( )8,31

80t2 arctan38,05,0td

+=

Hinweis:Wurden zustzliche Themenbereiche behandelt, dann stehen den Sch-lerinnen und Schlern weitere Lsungsmglichkeiten zur Verfgung,

z.B. eine Approximation durch kubische Splines oder durch ein Bezier-polynom.

Beurteilung der Qualitt der gewhlten Approximation:Aussagen zu Abweichungen (Qualittsmerkmal Genauigkeit);Grafische Veranschaulichung und Angabe eines Abweichungsmaes;Vorhandensein oder Fehlen einer Modellannahme fr den zu approxi-mierenden Vorgang.Unter Umstnden auch:Angabe von realittsbezogenen Grnden fr Abweichungen (wachs-tumsfrdernde oder wachstumshemmende Einflsse durch Pflegema-nahmen, Wetterbedingungen, Umwelteinflsse, Schdlingsbefall usw.);Aussagen zu Extra- und Interpolation. 6 9 5

Insgesamt 44 BWE 18 21 5

1.1.2 Flugbahnen LK

In einem Koordinatensystem beschreibt die x1-x2-Ebene eine flache Landschaft, in dersich ein Flughafen befindet. Die x1-Achse weise in die Ostrichtung und die x2-Achse indie Nordrichtung.Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt das Flugzeug F1geradlinig auf.

Die Flugbahn von F1 verluft auf der Geraden g:

= +

1228

21

s014

5,10

x

r

.

Ein zweites Flugzeug F2 bewegt sich entlang der Geraden h:

= +

034

t12

6,92,7

xr

.

Die Lngeneinheit ist 1 km.

a) Beschreiben Sie die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen.

Das Flugzeug F1 berfliegt in 6 km Hhe das Zentrum einer Stadt.

Berechnen Sie den Abstand des Stadtzentrums vom Abhebepunkt P.

Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von F1 .

b) Als das Flugzeug F1 in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Punkt P einenAbstand von 37 km. In welcher Hhe taucht F1 in die Wolkendecke ein?

Zeigen Sie, dass die Flugzeuge F1 und F2 auf den angegebenen Bahnen nicht kolli-dieren knnen.

Berechnen Sie den Abstand der beiden Flugzeuge fr den Fall, dass sich F2 genau -ber F1 befindet. Ist dieses der Abstand der beiden Flugbahnen?

c) Nahe der Startbahn befindet sich im Punkt R(-10,2|-13,6|0) eine Radarstation mit ei-nem halbkugelfrmigen berwachungsbereich mit dem Radius 85 km.

Wie viele Kilometer fliegt das Flugzeug F2 im berwachungsbereich des Radars?

d) Die geradlinige Grenze zu einem Nachbarstaat verluft durch die Punkte G1(84|-3|0)

und G2(12|-99|0).Wie weit hinter der Grenze kann ein im Nachbarland landendes Flugzeug von demRadar noch erfasst werden?


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Erlutern Sie Argumente, welche die errechnete Lsung in Frage stellen knnen.

ANMERKUNGEN:

Zielsetzung:

Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert eine sichere Orientierung im Anschauungsraum

und ermglicht die berprfung bekannter analytischer Verfahren zur Untersuchungder gegenseitigen Lage von Geraden, Ebenen und Kugeln im Raum. Sie erfordert insbe-sondere eine inhaltliche Reflexion und Interpretation der Rechenergebnisse.


Die Schlerinnen und Schler sind gebt in der Berechnung von Abstnden und Win-keln. Schnittprobleme bei Geraden und Kugeln sind behandelt. Besondere Schwierig-keiten liegen beim bertragen realer rumlicher Sachverhalte in ein geeignetes mathe-matisches Modell.

Zustzliche Hilfsmittel: keine

Vorgesehene Bearbeitungszeit: 120 min

Lsungsskizze, vorgesehene Bewertungseinheiten und ihre Zuordnungen zu den Anfor-

derungsbereichen:

Lsungsskizze

Zuordnung,Bewertung

I II IIIa

Richtung von F1 (ber Grund):

043

, zwischen NO und N (Kurs 037)

Richtung von F2 (ber Grund):

034

, zwischen SO und O (Kurs 127)

Der Abhebepunkt liegt in P(10,5|14|0), das Zentrum der Stadt inZ(0|0|0), denn s = 0,5 liefert x3 = 6 .

Abstand km5,17PZ =Steigungswinkel fr F1: cos = 0,946 ; = 18,9 4 6

bAus 222 122821s37 ++= folgt entsprechend der Aufgabenstel-lung s = 1; das Flugzeug taucht also in 12 km Hhe in die Wolken ein.F2 bewegt sich parallel zur Erdoberflche in der Ebene mit x3 = 12 .F1 durchstt diese Ebene im Punkt T(10,5|14|12).T liegt nicht auf der Flugbahn von F2 , denn 7,2+4t=10,5 liefertt0 = 4,425, aber 9,6+t0(3) 14 .

F1 befindet sich genau ber F2 , wennt36,9s2814

t42,7s215,10

=++=+

Damit erhlt man als Orte der Flugzeuge die Punkte H1(7,2|9,6|1,9) ,

bzw. H2(7,2|9,6|12) . die Flugzeuge befinden sich somit 10,1 km -bereinander.

21HH ist nicht der Abstand der Flugbahnen, da 21HH nicht senkrecht

auf der Flugbahn von F1 steht. 4 10

c Schnittpunkte der Flugbahn mit der Kugel um R mit dem Radius 85km:

12x

t36,9x

t42,7x

85x)6,13x()2,10x(

3

2

1

223

22

21

==+=

=++++

Lsung: t = 16,8

F2 fliegt zwischen den Punkten )12|)3(8,166,9|48,162,7(S1 und )12|)3(8,166,9|48,162,7(S2 ++ im berwachungsbereich;seine Flugstrecke betrgt 168 km. 7 6


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dGerade

=+= +

09672

r03

84

1 urvx:grrr

Abstand der Geraden G1G2 von R:

( ) 69u)vp()vp(d 202 ==rrrr

Ein im Nachbarland landendes Flugzeug kann hiernach noch 16 kmhinter der Grenze vom Radar erfasst werden.Die berechnete Lsung bercksichtigt die Erdkrmmung nicht, die beieiner Entfernung von 85 km bereits zu mehr als 500 m Hhendifferenzfhrt (evtl. Rechnung z.B. ber Satz des Pythagoras oder trigonomet-risch oder analytisch). Damit wird ein landendes Flugzeug nicht mehrvom Radar erfasst. 2 4 4


1.1.3 Wrfelschnitte LK

Die Punkte O(0|0|0), A(4|0|0), B(0|4|0), C(0|0|4) und F(4|4|4) sind Eckpunkte einesWrfels.

a) Die Ebene E: x1 + x2 + x3 = 6 schneidet den Wrfel in einem Sechseck.

Zeichnen Sie den Wrfel und das Sechseck in ein Koordinatensystem.

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC und das Sechseck den gleichen Umfang haben.

b) Fr welche Werte von a schneidet die Ebenenschar Ea: x1 + x2 + x3 = a denWrfel?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Anzahl der Ecken der Schnittfigurund den Werten von a ?

c) Gibt es Ebenen auerhalb der Schar Ea , die den Wrfel in einem Fnfeck schnei-den?

ANMERKUNGEN

Zielsetzung:

Die Aufgabenstellung ist offen hinsichtlich der mglichen Lsungswege. Sie kann intraditioneller Weise formal rechnerisch bearbeitet werden, empfiehlt sich aber eher freine Lsung durch berlegung und Hineindenken in die vorgegebene Situation.Die Aufgabe berprft die Fhigkeit, rumlich zu strukturieren. Diese wird eingefordert

bei der Darstellung des Wrfels und der Sechseck-Schnittfigur in einem Schrgbild. Diesystematische Untersuchung der verschiedenen Flle kann dann bei gutem Vorstel-lungsvermgen und Verstndnis fr die allgemeine Form einer Ebenengleichung durchBetrachtung der Sonderflle mit geringem Rechenaufwand gelst werden.Die formal rechnerische Bestimmung der Schnittpunkte von Ebene und Wrfelkantenist zwar jeweils einfach, wird aber durch die Betrachtung aller Wrfelkanten aufwndigund erfordert eine sorgfltige Auflistung und Unterscheidung der Teilergebnisse.


Behandelt wurden Ebenengleichungen sowie die Berechnung von Streckenlngen. DieSchlerinnen und Schler sind es gewohnt, Krper und Schnittebenen rumlich darzu-stellen sowie Ebenenscharen zu untersuchen.




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Lsungsskizze, vorgesehene Bewertungseinheiten und ihreZuordnungen zu den Anforderungsbereichen:

Lsungsskizze

Zuordnung,Bewertung

I II IIIa Schrgbild des Wrfels und des Sechsecks

Umfangvergleich:Schnittpunkte der EbeneE: x1 + x2 + x3 = 6 mit den Wrfelkanten:x1 = 4 und x3 = 0 ergibt x2 = 2 ; P1(4|2|0)

x2 = 4 und x3 = 0 ergibt x1 = 2 ; P2(2|4|0)analog: P3(0|4|2); P4(0|2|4); P5(2|0|4); P6(4|0|2).Die Ecken des Sechseckes sind Mitten von Wrfelkanten.Es handelt sich um ein regelmiges Sechseck mit den Seitenlngen

22PPPPPPa 163221 ===== K .

Der Umfang des Sechsecks ist 212u1 = .Das Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlngen

24CABCAB === .

Der Umfang des Dreiecks betrgt 212243u2 == .Die beiden Umfnge stimmen berein.

8 11b Schnittfiguren der Ebene Ea: x1 + x2 + x3 = a mit dem Wrfel:

Das Sechseck und das Dreieck aus a) sind Sonderflle.Grenzsituationen erhlt man fr O Ea, also a = 0, bzw. fr F Ea,also a = 4 + 4 + 4 = 12.

Fr 12a0 schneidet Ea den Wrfel.

Fr 12a0


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1.1.4 Luftvolumen in der Lunge GK

Die momentane nderungsrate des Luftvolumens in der Lunge eines Menschen kann

durch die Funktion f mit )tsin()t(f52

21 = modelliert werden. ( f(t) in Litern pro Se-

kunde; Zeit t in Sekunden).

Wir nehmen vereinfachend an, dass zur Zeit t = 0 keine Luft in der Lunge ist.

a) Welche inhaltliche Bedeutung hat die Funktion F mit =t

0

dx)x(f)t(F ?

Zeigen Sie, dass )]tcos(1[)t(F5

245 = gilt.

b) Das nebenstehendeDiagramm zeigt denzeitlichen Verlauf desLuftvolumens in derLunge und den zeitli-chen Verlauf der mo-

mentanen nderungs-rate des Luftvolu-mens.

Welche der beiden Kurven beschreibt den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens inder Lunge?

Bestimmen Sie das maximale und das minimale Luftvolumen in der Lunge.

Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die Lunge jeweils die Hlfte des maxima-len Luftvolumens enthlt.

c) Wie gro ist die mittlere nderungsrate des Luftvolumens whrend der Zeitinter-valle [0 ; 2,5] , [2,5 ; 5] und [0 ; 5] ?

Wie gro ist das mittlere Luftvolumen in der Lunge whrend der Zeitintervalle[0 ; 2,5] , [2,5 ; 5] und [0 ; 5] ?

ANMERKUNGEN:

Zielsetzung:

Die Lsung der Aufgabe erfordert die Interpretation der Begriffe Ableitung und In-tegral unter den Aspekten nderungsrate und Gesamtnderung im Kontext einerrealittsnahen Situation.Whrend in Teilaufgabe b) der Integralbegriff zur Beschreibung der Gesamtnderung(Wirkung) dient, muss er in c) als Mittelwert verstanden und angewendet werden.


Die Schler und Schlerinnen sind es gewohnt, die Begriff Ableitung und Integral

in realittsnahen Situationen unter unterschiedlichen Aspekten anzuwenden. Sie sind si-cher in der Handhabung des GTR und setzen ihn fr numerische Berechnungen ein.

Zustzliche Hilfsmittel: GTR



derungsbereichen:

Lsungsskizze

Zuordnung,Bewertung

I II IIIa Die Integralfunktion F beschreibt zu jedem Zeitpunkt das Luftvolumen

in der Lunge. Wegen F(0) =0 ist zur Zeit t=0 keine Luft in der Lunge.Weiter ist F(t) = f(t) . 2 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tin Sekunden

y

(1)(2)


28/50

Seite 28 von 50

b Beim Einatmen (Ausatmen) treten positive (negative) nderungsratendes Luftflusses auf. Dabei nimmt das Luftvolumen in der Lunge zu(ab). Wegen dieses Zusammenhangs kann nur die Kurve (1) das Schau-

bild der Volumenfunktion sein.

Aufgrund des periodischen Verhaltens von f (Periodenlnge 5) gengtes, das Zeitintervall [ 0 ; 5 ] (einen vollstndigen Atemzug) zu betrach-

ten.Da f an der Stelle t = 2,5 das Vorzeichen von plus nach minus wechselt,ist 2,5 eine Maximalstelle der Volumenfunktion.

8,02

5dt)t(f

5,2

0

= ; d.h. das Maximum betrgt ca. 0,8 Liter.

Wegen der Punktsymmetrie des betrachteten Kurvenstcks zum Punkt

( )0|5,2P gilt =5

5,2

5,2

0

dt)t(fdt)t(f ; d.h. bei einem Atemzug wird ge-

nau soviel Luft ausgeatmet, wie zuvor eingeatmet wurde. Da nach derModellannahme zum Beginn eines Atemzugs (t = 0) keine Luft in der

Lunge ist, wird das Minimum von null Litern am Ende des Ausatmens(t = 5) erneut erreicht.

Das zum Zeitintervall [ 0 ; 2,5 ] gehrende Kurvenstck der Funktion fist symmetrisch zur Geraden x = 1,25. In diesem Modell ist die Lungealso jeweils 1,25 Sekunden nach Beginn des Einatmens halb gefllt.Das zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehrende Stck des Schaubilds von f istsymmetrisch zum Punkt ( )0|5,2P . Die Lunge ist also auch jeweils 1,25Sekunden vor dem Ende des Ausatmens halb gefllt. Die Lunge ist alsonach jeweils 2,5 Sekunden wieder halb voll.

7 8

cZeitintervall [ 0 ; 2,5 ] : 3,0

1dt)t(f

5,2

15,2

0

=Der zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehrende Teil des Schaubilds von f istsymmetrisch zum Punkt ( )0|5,2P . Damit ergibt sich fr das Zeitinter-

vall [2,5 ; 5 ] eine mittlere Luftflussrate von 1 .

Da beide Teilintervalle gleich lang sind, hat die mittlere Luftflussrateim Zeitintervall [ 0 ; 5 ] den Wert Null.

Zeitintervall [ 0 ; 2,5 ] : 4,04

5dxdt)t(f

5,2

15,2

0

x

0

=

Das zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehrende Stck des Schaubilds der Vo-lumenfunktion ist symmetrisch zur Geraden x = 2,5. Daraus folgt auch

fr das Zeitintervall [2,5 ; 5] ein mittleres Luftvolumen von 4,045 .Da in beiden Teilintervallen das mittlere Luftvolumen gleich gro ist,

betrgt das mittlere Luftvolumen auch im Zeitintervall [0;5] : 4,045 .

6 6 4


1.1.5 Sugetiere GK

Die Entwicklung einer Art von Sugetieren vollzieht sich in den drei Stadien:Neugeborene (N), Junge (J) und Fortpflanzungsfhige (F).Folgende Tabelle beschreibt die bergnge zwischen diesen Stadien:

vonnach

N J F

N 0 0 c


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Seite 29 von 50

J a 0 0F 0 b 0 (0 < a 1 ; 0 < b 1 ; c > 0)

a) Zeichnen Sie einen bergangsgraphen fr die bergnge zwischen den einzelnenEntwicklungsstadien.

Formulieren Sie ein mathematisches Modell zur Ermittlung der jeweiligen Ent-

wicklungsstadien, die nach 1, 2, ..., n Generationen beobachtet werden knnen.Geben Sie die inhaltliche Bedeutung der Variablen a, b und c an.

b) Die Anfangsverteilung bestehe aus 1 000 Neugeborenen, 500 Jungen und 100 Fort-pflanzungsfhigen.Bestimmen Sie die Werte von a, b und c so, dass sich die Population dieser Art nachzwei Generationen reproduziert.

c) Untersuchen Sie, ob es Werte fr a, b und c gibt, bei denen sich jede Anfangsver-teilung nach drei Generationen wiederholt.

d) Beurteilen Sie das von ihnen verwendete mathematische Modell.

ANMERKUNGEN:

Zielsetzung:

Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert die Modellierung eines realittsnahen Sachver-halts mit Hilfe von bergangsgraph, Tabelle und bergangsmatrix, inhaltliches Ver-stndnis bei der Deutung der Variablen und die Beurteilung des verwendeten mathema-tischen Modells.


Die Schlerinnen und Schler kennen ein mathematisches Modell unter Verwendungvon bergangsmatrizen und Zustandsvektoren zur Modellierung analoger Aufgabenund sie beherrschen die Multiplikation von Matrizen. Zyklen im Verlauf einer Populati-onsdynamik spielten im Unterricht eine untergeordnete Rolle.




derungsbereichen:

Lsungsskizze

Zuordnung,Bewertung

I II IIIa

bergangsgraph

Beschreibung eines mathematischen Modells:

Aus der Tabelle ergibt sich die bergangsmatrix:

=

0b0

00a

c00

M .

Der Zustandsvektor zum Zeitpunkt Null sei:

=

F0

J0

N0

0v

v

v

vr

.

Mit der bergangsmatrix und dem Zustandsvektor zum Zeitpunkt Nulllassen sich die Zustandsvektoren nach 1, 2, ..., n Generationen ermit-teln:

0n

n02

12;

F1

J1

N1

J0

N0

F0

01 vMv...;vMvMvvMvv

v

v

vb

va

vcrrrrrrr

===

== =

N

J

Fa b

c


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Seite 30 von 50

0n

n02

12;

F1

J1

N1

J0

N0

F0

01 vMv...;vMvMvvMvv

v

v

vb

va

vcrrrrrrr

===

== =

Inhaltliche Bedeutung der Variablen a, b und c:a: Anteil der Jungen an den Neugeborenen der vorhergehenden Gene-ration

b Anteil der Fortpflanzungsfhigen an den Jungen der vorhergehendenGenerationc Anzahl der Nachkommen pro Fortpflanzungsfhigem

2 6 2

b Reproduktion nach 2 Generationen: 02 vvrr

=

=

=

ba0001

ca100

cb500

100

500

00012

0b0

00a

c00

2vr

;

10c;

5

1b;

2

1a

100

500

0001

ba0001

ca100

cb500

===

=

2 3c Reproduktion nach 3 Generationen: 03 vv

rr

=

=

=

F0

J0

N0

F0

J0

N03

0b0

00a

c00

3vcba

vcba

vcba

v

v

v

vr

;

1cba

F0

J0

N0

F0

J0

N0

v

v

v

vcba

vcba

vcba

=

=

2 3 1

d Beurteilung des mathematischen ModellsDas Modell setzt die Konstanz des bergangsgraphen voraus. DieseForderung ist zumindest bei frei lebenden Tieren nur in einem be-

grenzten Lebensraum und ber einen relativ kleinen Zeitraum realis-tisch. Beispielsweise werden insbesondere Wechselwirkungen mit an-deren Arten (z. B. Konkurrenz, Symbiose) und Umwelteinflsse (z. B.

Nahrungsangebot, Wetterbedingungen) zu Vernderungen im Fort-pflanzungszyklus fhren. Im Modell bewirken diese Vernderungenandere Werte der Parameter, die z. B. ein zyklisches Verhalten der Po-

pulation aus dem Gleichgewicht bringen knnen. Man sollte keine lang-fristigen Prognosen aus diesem Modell ableiten. 4

Insgesamt : 25 BWE 6 16 3

1.1.6 Flugbuchungen GK

Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plt-zen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flge auf dieser Strecke vorab stets aus-gebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Pltze kurzfristigstorniert.

Fr die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schlieungder Passagierliste den Flug tatschlich antreten wollen.

a) Unter welchen Annahmen sind die mglichen Anzahlen dieser Passagiere binomial-verteilt?

Nennen Sie Flle, in denen diese Annahmen nicht zutreffen.

Im Folgenden wird angenommen, dass die mglichen Anzahlen dieser Passagiere bi-nomialverteilt sind. Durch eine Person, die tatschlich fliegt, nimmt die Fluggesellschaft200 ein, bei einer Stornierung nur 100 .


31/50

Seite 31 von 50

b) Wie gro ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass beim nchsten Flug- genau 84 Pltze,- hchstens 84 Pltze,- mindestens 90 Pltzetatschlich genutzt werden?

Welche Einnahmen kann die Fluggesellschaft pro Flug erwarten?

Um die Flugzeuge besser auszulasten, bietet die Fluggesellschaft stets 8% mehr Pltzeals verfgbar zum Verkauf an. Da auch diese Pltze alle im Voraus gebucht werden,geht die Fluggesellschaft damit das Risiko einer berbuchung ein.

c) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu berbuchungen kommt?

d) Fr jeden Fluggast, der wegen berbuchung abgewiesen werden muss, entstehender Fluggesellschaft negative Einnahmen (Unkosten) in Hhe von 1000 .

Wie gro sind die Einnahmen der Fluggesellschaft, wenn bei Schlieung der Passa-gierliste genau 105 Personen den Flug antreten mchten?

Formulieren Sie einen Term, mit dem sich berechnen lsst, welche Einnahmen dieFluggesellschaft pro Flug erwarten kann.

Erklren Sie die Bedeutung der auftretenden Teilterme.

ANMERKUNGEN:

Zielsetzung:

Es mssen eine Modellbildung begrndet und Darstellungsformen und Methoden ausdem Themenfeld Binomialverteilung angewendet und in einem Sachkontext interpre-tiert werden.


Die Binomialverteilung und der Erwartungswert einer Zufallsvariablen wurden im Un-terricht behandelt. Die Schler und Schlerinnen sind mit einem GTR vertraut.

Zustzliche Hilfsmittel: GTR (der Speicher darf Programme enthalten)



derungsbereichen:

LsungsskizzeZuordnung,Bewertung

I II IIIa Der Sachverhalt wird wie folgt modelliert:

Es wird angenommen, dass jeder der n Kunden, der ein Flugticket ge-kauft hat, den Flug mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,9 unab-hngig von der Entscheidung aller anderen Kunden tatschlich antritt.Damit wird der Sachverhalt durch eine Bernoulli-Kette der Lnge n mitdem Parameter p = 0,9 beschrieben.Die Annahmen treffen z.B. dann nicht zu, wenn- die Wahrscheinlichkeit einer Stornierung bei verschiedenen Kunden

oder Kundengruppen (z.B. Geschfts- und Privatkunden) unter-schiedlich ist,

- eine ganze Familie wegen Krankheit eines einzelnen Mitgliedes stor-niert oder wenn mehrere Stornierungen auf Grund hherer Gewalt imZielgebiet erfolgen. 5

b X : Anzahl der tatschlich genutzten PltzeX ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,9

( ) ( ) %9,184;9,0;100B84XP ==( ) ( ) %0,4k;9,0;100B84XP

84

0k

= =


32/50

Seite 32 von 50

( ) ( ) %3,58k;9,0;100B90XP100

90k

= =

Erwartungswert der Einnahmen in : E = 200 90 + 100 10 = 19 0005 5

c Y : Anzahl der Passagiere, die den Flug tatschlich antreten wollen

Y ist binomialverteilt mit n = 108 und p = 0,9

%3,14)k;9,0;108(B)101Y(P108

101k

= =

2 4

d Einnahmen im Fall Y = 105 in : 100200 + 3100 51000 = 15 300

Erwartungswert der Einnahmen in :

( )

( )

=

=

+

++=+=

108

101k

100

0k21

)k;9,0;108(B1000)100k(100)k108(200100

)k;9,0;108(B100)k108(200kTTE

T1 beschreibt fr Flge ohne berbuchung die Einnahmen durch k Pas-sagiere, die tatschlich fliegen, und die Einnahmen fr (108 k) Stor-nierungen.

T2 beschreibt fr Flge mit berbuchung die Einnahmen durch 100Passagiere, die tatschlich fliegen und die Einnahmen durch (108 k)Stornierungen abzglich der Unkosten fr (k 100) berbuchungen. 3 6 5


1.2 Weitere Beispiele fr das Leistungskursfach

1.2.1 Telefondauer LK

Die Lngen von Telefongesprchen lassen sich als Funktionswerte einer Zufallsvariab-len X auffassen. X soll so festgelegt sein, dass 5 Minuten als eine Zeiteinheit dient.Die Dichtefunktion ist durch folgende Funktion approximiert:

=

42.Insofern ist die Nullhypothese zu verwerfen, die Behauptung ist statistisch signifi-kant auf dem 5% - Niveau begrndet.

2.9 Bergsteiger

ber den berhmten Bergsteiger Wolfgang Bergfried stand unter der berschrift

berlebt - Al le 14 Ach ttausender'

vor einigen Jahren in der Zeitung:

Wenn man bedenkt, dass die Todesquote bei den Achttausender-Bergsteigern 3,4%

betrgt, htte Wolfgang Bergfried bei seinen bisher 29 Expeditionen zu den hchstenBergen der Welt mit 99% Wahrscheinlichkeit umkommen mssen.

Dieser Artikel liegt schon einige Jahre zurck. Inzwischen hat Wolfgang Bergfried wie-der einige Achttausender bestiegen und er lebt immer noch.

Ist das ein Wunder?

ANMERKUNG:

Die Aufgabe kann in dieser Form nur verwendet werden, wenn die Schlerinnen undSchler es gewohnt sind mit offenen Aufgabenstellungen umzugehen und auch Model-lierungsfragen im Unterricht eine wesentliche Rolle gespielt haben. Andernfalls sindStrukturierungshilfen unverzichtbar.

LSUNGSSKIZZE:

Es fllt auf, dass der Zeitungsredakteur die Wahrscheinlichkeit 3,4% mit 29, der Anzahlder Expeditionen, multipliziert hat. Das kann auf keinen Fall richtig sein, da sich ab 30

Expeditionen ein Wert grer als 100% ergbe.Nimmt man eine stochastische Unabhngigkeit der Achttausender-Besteigungen hin-sichtlich des tdlichen Verlaufs an, so kann man das Geschehen bei 29 Besteigungen alsBernoulli-Kette der Lnge n = 29 mit p = 0,034 modellieren und erhlt im Gegensatz


50/50

zur Aussage in der Zeitung die Wahrscheinlichkeit fr mindestens einen Todesfall zu

%63966,01 29 .

Aber auch in anderer Hinsicht sind die Ausfhrungen im Zeitungsartikel daraufhin kri-tisch zu hinterfagen, woher die angegebene Todesquote von 3,4% eigentlich kommt.Wenn sie der amtlichen Statistik der Behrden, die die Achttausender-Expeditionen ge-

nehmigen, entnommen ist, so bezieht sie sich wahrscheinlich auf alle Personen, die mitdem Ziel einer Achttausender-Besteigung gestartet sind; darunter sind viele Unerfahre-ne und Leichtsinnige. Der berhmte Bergsteiger ist aber besonders qualifiziert undsehr leistungsfhig. Fr seinen Fall msste man daher sicher von einer deutlich niedri-geren Todeswahrscheinlichkeit als 3,4% ausgehen.

2.10 Zeichenbertragung

Beim Lesen eines bestimmten Dokuments betrgt fr jedes bertragene Zeichen dieWahrscheinlichkeit einer fehlerhaften bertragung 5 %.

a) Beschreiben Sie das Erkennen der Zeichenkette fliegemorgennachmittag als Zu-

fallsversuch.

b) Wie viele fehlerhafte Zeichen kann man beim Erkennen dieser Zeichenkette erwar-ten?

c) Fr ein bestimmtes Ereignis E erhlt man P(E) = 202 95,005,0231 .Erlutern Sie, um welches Ereignis E es sich in diesem Zusammenhang handelnkann, welche Bedeutung die Faktoren haben und warum man diese mit einandermultiplizieren muss, um P(E) zu bekommen.

LSUNGSSKIZZE:

a) Man kann das Senden von n Zeichen mit Beobachtung von bertragungsfehlern alsn-gliedrige Bernoulli-Kette auffassen mit p = 5% , wenn man annimmt, dass dasAuftreten von Fehlern stochastisch unabhngig mit gleicher Wahrscheinlichkeit er-folgt.

b) Mit = np fr die Binomialverteilung gilt hier = 220,05 = 1,1 . Man kann alsoein fehlerhaftes Zeichen erwarten.

c) Es handelt sich um das Ereignis E Auftreten von genau zwei Fehlern bei der ber-tragung einer Zeichenkette von 22 Zeichen.

Die Berechnung von P(E) kann mit der Formel fr die Binomialverteilung gesche-

hen )kn(k )p1(pk

n)k,p,n(B

= , die in einer Bernoulli-Kette der Lnge n die

Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erzielen, angibt.Fr die Aufgabe sind n = 22 , p = 0,05 und k = 2 einzusetzen.

Die Begrndung kann z.B. anhand eines Baumdiagramms erfolgen:

k

ngibt die

Anzahl der Wege fr das genannte Ereignis mit der jeweils gleichen Wahrschein-

lichkeit )kn(k )p1(p an. Diese ergibt sich aus der Multiplikationsregel fr Wegein einem Baumdiagramm, da k Teilpfade die bedingte Wahrscheinlichkeit p und(n-k) Teilkanten die bedingte Wahrscheinlichkeit (1-p) besitzen.

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