Erhaltung der Masse

Die Masse des Systems bleibt bei Bewegung durch das Strömungsfeld konstant

B = mb , für b = 1

0=⋅+∂

∂= ∫∫ KFKV

sysdAnvdV

tdt

dmrr

ρρ

integrale Form

differentielle Form über Gaußschen Satz oder am Element

∂tdt

y∆

x∆

z∆

x

y

u

v

w

Zeitliche lokale Massenänderung :

x∆

z

Massenfluss über die Oberfläche des Elements (in x-Richtung) :

( )zy

xuu ∆∆

∆∂

−ρ

ρ( )

zyxu

u ∆∆

∆∂

+ρ

ρ

y∆

uρ( )zy

x

x

uu ∆∆

∆

∂

∂−

2

ρρ

( )zy

x

x

uu ∆∆

∆

∂

∂+

2

ρρ

x∆

z∆

uρ

Nettomassenfluss in x-Richtung

zyxx

uzy

x

x

uuzy

x

x

uu ∆∆∆

∂

∂=∆∆

∆

∂

∂−−∆∆

∆

∂

∂+

)(

2

)(

2

)( ρρρ

ρρ

In y- und z-Richtung erhält man

zyxz

wzyx

y

v∆∆∆

∂

∂∆∆∆

∂

∂ )(,

)( ρρ

zy ∂∂

differentielle Form der Kontinuitätsgleichung

bzw.

⇒

mit

lok. konvek.

=

=dt

dρ

t∂

∂ρ

zw

yv

xu

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

ρρρ

ρρ

∇⋅+∂

∂v

t

r

Mit

folgt :

bzw. 0=+=⋅∇+ vdivdt

dv

dt

d rrr

ρρ

ρρ

Sonderfälle :

• stat. Strömung

• Inkompressibles Fluid ρ = konstant

0=⋅∇ vr

r

Erhaltung des Impulses

: Impuls

Anwendung auf ein differentielles Massesystem:

: Auf die Fluidmasse wirkende resultierende KraftFr

∫=Sys

dmvIr

r

: Oberflächen- und Volumenkräfte

konstant=∆ sysm

dt

mvdF

)( ∆=∆

r

r

amdt

vdmF

r

r

r

∆=∆=∆

Fr

∆

Gewichtskraft maßgeblich

in kartesischen Koordinaten:

Volumenkraft :

zbz

yby

xbx

mgF

mgF

mgF

∆=∆

∆=∆

∆=∆

Oberflächenkraft:

Element ↔ Umgebung

A∆

nF∆

sFr

∆

beliebige Oberfläche

AFFF n ∆⊥∆∆⊥∆ ,21

2F∆1F∆

Normalspannung:

Schubspannung:

A

Fn

An

∆

∆=

→∆lim

0

σ

F∆ 1

A

F

A

F

A

A

∆

∆=

∆

∆=

→∆

→∆

2

02

1

01

lim

lim

τ

τ

die übliche Zeichenkonvektion gilt

y

C

D

C′

D′

xxσ

xyτ

xxσ ′xzτ ′

x

zA

B

A′

B′xxσ

xzτxyτ ′

Bedeutung der Indizes :

ijS : i Richtung der Normalen der Ebene

j Richtung der Spannung

Spannungen auf 3 orthogonalen, durch einen Punkt gehende Ebenen definieren den Spannungszustand eindeutig

Oberflächenkräfte (nicht vollständig):

zxy

y

yxyx ∆∆

∆

∂

∂+

2

ττ yx

z

z

zxzx ∆∆

∆

∂

∂−

2

ττ

y ∂ 2

zyx

x

xxxx ∆∆

∆

∂

∂−

2

σσ zy

x

x

xxxx ∆∆

∆

∂

∂+

2

σσ

zxy

y

yxyx ∆∆

∆

∂

∂−

2

ττyx

z

z

zxzx ∆∆

∆

∂

∂+

2

ττ

x∆

y∆

z∆

Summation liefert die Komponenten der resultierenden Oberflächenkraft:

Kräfte in x- / y- / z-Richtung:

zyxzyx

F xzyxxxSx

∂∂∂

∆∆∆

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆

τστ

ττσ

kFjFiFF SzSySxS

rrrr

∆+∆+∆=∆

zyxzyx

F

zyxzyx

F

zzyzxzSz

zyyyxy

Sy

∆∆∆

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆

∆∆∆

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆

σττ

τστ

Einsetzen in

mit

amFr

r

∆=∆

bs FFFrrr

∆+∆=∆

zyxm ∆∆∆=∆ ρ

z

vw

y

vv

x

vu

t

va

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

rrrr

r

ergibt kwjviuvrrr

r

++=

Differentielle Form der Impulserhaltung

X

Y

wwww

zyxg

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

zyxg

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

zyyyxy

y

zxyxxxx

∂∂∂ ∂∂∂∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

σττ

τστρρ

ττσρρ

Zzyx

gz

ww

y

wv

x

wu

t

w zzyzxzz

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ σττρρ

Kinematik des Fluidelements

Aufgabe : Spannungen durch Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken

Bewegung eines Elements

Änderung seiner Lage und seiner Form

Bestimmung der Verformung mittels der relativen Bewegung zwischen 2 Punkten I und II

⇒

vr

Ortsvektor:rr

runggkeitsändeGeschwindi:vdr

O

rdrrr

+rr

I

v

IIvdvrr

+

(t = konst.)

Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

dzz

vdy

y

vdx

x

vdv

dzz

udy

y

udx

x

udu

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

vdr

in Komponentenschreibweise

Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und Scherung zu erkennen, wird umgeschriebenvd

r

dxdydzdydxdw

dzdxdzdydxdv

dydzdzdydxdu

zxyzzzyzx

yzxyyzyyx

xyzxxzxyx

ωωεεε

ωωεεε

ωωεεε

−+++=

−+++=

−+++=

&&&

&&&

&&&

iε&

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

=

=

z

w

x

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

y

v

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

x

u

d

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

εεε

εεε

εεε

&&&

&&&

&&&

&

Der Vergleich beider Gleichungssysteme ergibt folgende

Definitionen für und bzw.ijε&ijω

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

zx

yz

xy

2

1

2

1

2

1

ω

ω

ω

Bedeutung von ijiji ε ωε , && , ?

Unverformtes Element bewegt sich in der Strömung

Translation:

dtu

dtv

x∆

y∆

Rotation:

dtyy

u∆

∂

∂−

γd

sω

dtxx

v∆

∂

∂

ϕd

dty

udt

x

vd

∂

∂−=

∂

∂=ϕ

ϕϕ dd ≈)tan(

Zeitliche Winkeländerung aus dem arithmetischen Mittel

Drehung um z-Achse

In 3D erhält man :

⇒

⇒

dt

dϕϕ =&

xyzy

u

x

vωω =

∂

∂−

∂

∂=

2

1

yzxz

v

y

wωω =

∂

∂−

∂

∂=

2

1

: Rotation des unverformten Elements

ωr ⇒

⇒ Terme-ijω

zxyx

w

z

uωω =

∂

∂−

∂

∂=

2

1

kji zyx

rrrr

ωωωω ++=

Dreh- oder Wirbelvektor

Relative Volumenänderung (Volumendilatation)dt

Vd

V

)(1 ∆

∆

dtzyxdtz

z

wzdty

y

vydtx

x

ux

Vdt

Vd

V

11)(1

∆∆∆−

∆

∂

∂+∆⋅

∆

∂

∂+∆⋅

∆

∂

∂+∆

∆=

∆

∆

vdivvz

w

y

v

x

u

dt

Vd

V

rrr

=⋅∇=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∆

∆

)(1

Kontinuitätsgleichung für inkompr. Fluide

RechteckScherung

Parallelepiped

βαγ ddd +=

zyxdtV ∂∂∂∆

Verformung des Elements

Dehnung

dtxx

u∆

∂

∂

dtyy

v∆

∂

∂

y∆

x∆

Scherung

dtyy

u∆

∂

∂

dtxx

v∆

∂

∂

x∂

βd

αd

Dehnungsgeschwindigkeit entspricht der zeitlichen Dehnungsänderung pro Kantenlänge

entspricht den Hauptdiagonalen der Matrix ijd

dtx

vd

∂

∂=α

dtu

d∂

=β

z

w

y

v

x

uzyx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= εεε &&& ,,

dty

ud

∂

∂=β

dt

d

dt

d

dt

d βαγ;: gesamte Winkeländerung pro Zeit

Schergeschwindigkeit über arithmetische Mittelungijγ&

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

z

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

u

zx

yz

xy

2

1

2

1

2

1

γ

γ

γ

&

&

&

Vergleiche mit : Matrixd ij −

Matrix−ijd : enthält Dehnung und Scherung

Tensor der Deformation

⇒ Terme−= ijij γε && ˆ

⇒

⇒

Spannungstensor in der Impulserhaltung ijτ

ijτ ijd&Zusammenhang zwischen und durch Newtonschen Reibungsansatz :

Tangentiale Spannung ~ Schergeschwindigkeit

und mittels Isotropie des Elements

vdivzyxr

&&& undεεε ,, viskositätsbedingte Normalspannungen

Ansatz:Ansatz:

vdivp

vdivp

vdivp

zzz

yyy

xxx

r

&

r

&

r

&

λεησ

λεησ

λεησ

++−=

++−=

++−=

2

2

2

zxxzzx

yzzyyz

xyyxxy

γηττ

γηττ

γηττ

&

&

&

2

2

2

==

==

==

Die Normalspannungen werden i. a. umformuliert

: dynamische Viskositätη

vdivvdivp

vdivvdivp

vdivvdivp

zzz

xxx

yyy

rr

&

rr

&

rr

&

ηεησ

ηεησ

ηεησ

ˆ3

22

ˆ3

22

ˆ3

22

+

−+−=

+

−+−=

+

−+−=

Die Größen η und λ sind Proportionalitätsfaktoren

: dynamische Viskosität

ηλη3

2ˆ += : Volumenviskosität

03

2ˆ =+= ηληStokes‘sche Hypothese :

inkompressible Strömungen : 0=vdivr

mittlere Normalspannung σ :⇒

η

( ) vdivpzzyyxx

r

ησσσσ ˆ3

1+−=++=

Navier- Stokes Gleichungen

Einsetzen der Normal- und Tangentialspannung

⇒

∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

x

v

y

u

xy

w

z

v

zvdiv

y

v

yy

pg

dt

dv

z

u

x

w

zx

v

y

u

yvdiv

x

u

xx

pg

dt

du

y

x

ηηηρρ

ηηηρρ

r

r

3

22

3

22

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

y

w

z

v

yz

u

x

w

xvdiv

z

w

zz

pg

dt

dwz ηηηρρ

r

3

22

Navier- Stokes Gleichungen für ein ink. Fluid

inkompressible Strömung, η = konst

0=vdivr

Vereinfachung der 2. Ableitungen

⇒

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

z

w

y

v

x

u

xz

u

y

u

x

uηηη

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pg

dt

dw

z

v

y

v

x

v

y

pg

dt

dv

z

u

y

u

x

u

x

pg

dt

du

z

y

x

ηρρ

ηρρ

ηρρ

Energiegleichungen

Q : Wärme; E : Energie; W : Arbeit

1. Hauptsatz der Thermodynamik :

Volumenelement :

Wärmeleitung nach Fourier :

dt

dW

dt

dE

dt

dQ+=

Vm

zyxV

∆=∆

∆∆∆=∆

ρ

TdQ ∂1Wärmeleitung nach Fourier : : Wärmeleitfähigkeit

Betrachtung für die Fläche ∆y ∆z (x-Richtung)

abgegebene Wärme:

aufgenommene Wärme:

n

Tq

dt

dQ

A ∂

∂−== λ

1 λ

zyx

x

T

xx

T∆∆

∆

∂

∂

∂

∂−

∂

∂−

2λλ

zyx

x

T

xx

T∆∆

∆

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

2λλ

Nettowärmestrom in x- , y- und z-Richtung

2

x

x

xzxz

∆

∂

∂−

ττ

2

x

x

xyxy

∆

∂

∂+

ττ

xxx ∆∂−

σσ x∆∂σ

y∆

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂∆=

z

T

zy

T

yx

T

xVdtdQ λλλ

2

x

x

xxxx

∆

∂

∂−

σσ

2

x

x

xxxx

∆

∂

∂+

σσ

2

x

x

xyxy

∆

∂

∂−

ττ

2

x

x

xzxz

∆

∂

∂+

ττ

x∆

z∆

x

y

z

zeitliche Änderung der Gesamtenergie:

e : massenbezogene innere Energie

Arbeit pro Zeit anhand von σxx :

+++∆= )(

2

1 222wvu

dt

d

dt

deV

dt

dEρ

∆

∂

∂−

∆

∂

∂−−∆∆−=

22

x

x

x

x

uuzdtydW xx

xxxx

σσσ

∆

∂

∂+

∆

∂

∂++

22

x

x

x

x

uu xx

xx

σσ

)( xx

xxxx

ux

Vdt

xx

u

xuzdty

σ

σσ

∂

∂∆−=

∆

∂

∂+

∂

∂∆∆−=

analoge Vorgehensweise für den gesamten Spannungstensor :

Mittels Impulserhaltung (z.B. x-Impuls) :

zyxdt

du xzxyxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ττσρ

( ) ( ) ( )

++

∂

∂+++

∂

∂+++

∂

∂∆−= zzzyzxyzyyyxxzxyxx wvu

zwvu

ywvu

xV

dt

dWστττστττσ

Umformung der -Therme :dt

dW

dt

dE und

zyxdt ∂∂∂

Vdt

dww

dt

dvv

dt

duu

dt

de

dt

dE∆

+++= ρρρρ

K

K

K

z

u

zu

y

u

yu

x

u

xu

Vdt

dW

zxzx

xy

xy

xxxx

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−=

∆

ττ

ττ

σσ1

x

w

x

v

x

u

dt

de

Vdt

dW

dt

dExzxyxx

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−=

∆

+ ττσρ

1

z

w

z

v

z

u

y

w

y

v

y

u

xxxdtVdtdt

zzzyzx

yzyyyx

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂∂∆

σττ

τστ

Einführung der Spannungen ergibt die Energiegleichung

0ˆ =η für mitΦ

Φ+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=+ ηλλλρ

z

T

zy

T

yx

T

xvdivp

dt

de r

2

2222

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Φ

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

mechanische Energie thermische Energie

nsfunktionDissipatio=Φ

03

2222

>

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

z

w

y

v

x

u

x

w

z

u

z

v

y

w

Energiegleichungen für ideale Gase

kalorische Zustandsgleichungen:

)(),( Tfp

ehTfe =+==ρ

dTcdTT

hdhdTcdT

T

ede p

pv =

∂

∂==

∂

∂=

ρ

1

−−=

−=pddpdT

c

pd

dhde ρρ 1

Kontinuitätsgleichung:

vdivz

w

y

v

x

u

dt

d r

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=−

ρ

ρ

1

⇒

⇒

−−=−=

dt

pd

dt

dp

dt

dTc

dtdt

dh

dt

dep

ρ

ρ

ρ

ρ 1

Φ+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+= ηλλλρ

z

T

zy

T

yx

T

xdt

dp

dt

dTcp

Form der Energiegleichung in CFD-Untersuchungen

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ]zzzyzxz

yyzyyxy

xxzxyxx

qwvuz

qwvuy

qwvux

pEwz

pEvy

pEuxt

E

−++∂

∂

+−++∂

∂

+−++∂

∂

=+∂

∂++

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

τττ

τττ

τττ

bzw. mit

lauten die räumlichen 1. Ableitungen der linken Seite

2

2v

hH

r

+=

Epv

epH +=

++=

2

2r

ρρ

( ) ( ) ( )wHz

vHy

uHx

ρρρ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Formen der Erhaltungsgleichungen

Vektorschreibweise unter Berücksichtigung des Nabla-Operators

Masse:

oder

Impuls: Spannungstensor τ

0)( =⋅∇+∂

∂v

t

rr

ρρ

0=⋅∇+ vdt

d rr

ρρ

ττσ

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σττ

τστ

ττσ

τ

p

p

vdivvdivp

zzz

yyy

xxxx

+=

+=

+

−=+=

σσ

σσ

ηεησσrr

& ˆ3

22

Formen der Navier-Stokes Gleichungen:

oder:

oder:

⇒

vv rr

mit

= 2

2

vwvvu

uwuvu

vvrr

τρρ ⋅∇+∇−=rr

r

r

pgdt

vd

τρρ ⋅∇+∇−=

∇⋅+

∂

∂ rrrr

rr

r

pgvvt

v)(

τρρρ ⋅∇+∇−=⋅∇+∂

∂ rrrrr

rr

pgvvvt

)()(

inkompressibles Fluid mit η = konstant:

+ stationär

vv mit

=2

2

wwvwu

vwvvuvvrr

vpgdt

vd rr

r

r

2∇+∇−= ηρρ

( ) vpgvvr

rrr

rr 2∇+∇−=∇⋅ ηρρ

Energie

: Gesamtenergie

plus Kontinuitätsgleichung

+=

2

2v

eE ρ

)()()( vvpqvgvEt

E rr

rr

rr

rrrr

⋅⋅∇+⋅∇−⋅∇−⋅=⋅∇+∂

∂τρ

)()(2

2

vvpqvgv

edt

d rr

rr

rr

rr

r

⋅⋅∇+⋅∇−⋅∇−⋅=

+ τρρ

ρ

EpH

+= : Gesamtenthalpie

2dt

⋅∇+

∂

∂−=

+

⋅∇+⋅∇−∂

∂+⋅=

)(1

2

)(

2

vpt

p

dt

dHve

dt

d

vqt

pvg

dt

dH

rr

r

rr

rr

rr

ρ

τρρ

mit

: innere Energie

vvpqdt

de rr

rr

rr

∇⋅+⋅∇−⋅∇−= τρ

e

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇⋅

τττσσσ

στττστττστ

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z

u

y

v

x

u

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

uv

zxyzxyzyx

zzyzxyzyyxxzxyx

rr

h : innere Enthalpie

bzw. bei idealem Gas:

Φ=

∂∂

∂∂

∂∂∂∂∂

η

zxyzxyzyxzxyzxyzyx

vdt

dpq

dt

dh rr

rr

∇⋅++⋅∇−= τρ

vdt

dpq

dt

dTcp

rr

rr

∇⋅++⋅∇−= τρ