ERNST-MORITZ-ARNDT-UNIVERSITÄT GREIFSWALD · 2016. 4. 5. · eigentlich für das SCM entwickelten Advanced Planning and Scheduling Systems (APS-Systeme)2 häufig nur zur integrierten

ERNST-MORITZ-ARNDT-UNIVERSITÄT GREIFSWALD Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Produktionswirtschaft

Ellipsenverfahren zur betriebsübergreifenden simultanen Losgrößen- und Bestellmengenplanung

Michael Lerm, Roland Rollberg

Diskussionspapier 06/2003

August 2003

Wirtschaftswissenschaftliche Diskussionspapiere

ISSN 1437 − 6989

http://www.rsf.uni-greifswald.de/bwl/paper.html

Dieses Werk ist durch Urheberrecht geschützt. Die damit begründeten Rechte, insbesondere die der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, des Nachdrucks, der Übersetzung, des Vortrags, der Mikro-verfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanalgen, bleiben, auch bei nur in Auszügen erfolgender Verwendung, vorbehalten. Eine vollständige oder teilweise Vervielfältigung dieses Werkes ist in jedem Fall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen der jeweils geltenden Fassung des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 zulässig. Grundsätzlich ist die Vervielfältigung vergütungspflichtig. Verstöße unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis........................................................................................................... II

Symbolverzeichnis................................................................................................................. III

1 Problemstellung und Aufbau des Arbeitsberichts ............................................................ 1

2 Konkretisierung der Planungssituation ............................................................................. 4

3 Modellbildung....................................................................................................................... 5

3.1 Subsystem Lieferant ....................................................................................................... 5

3.2 Subsystem Abnehmer ................................................................................................... 10

3.3 Subsystem Umschlag und Transport ............................................................................ 11

3.4 Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten des Zulieferer-Abnehmer-Segments... 12

4 Lösungsalgorithmus zur Ermittlung der kostenminimalen Losauflage- und Bestellhäufigkeit unter Ganzzahligkeitsbedingungen .................................................... 14

4.1 Kostenminimum unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingungen............... 14

4.2 Ableitung des einfachen Ellipsenverfahrens ................................................................ 19

4.3 Modifikation des einfachen Ellipsenverfahrens zum korrigierten Ellipsenverfahren .. 25

4.4 Kombination von einfachem und korrigiertem Ellipsenverfahren zum zweistufigen Ellipsenverfahren .................................................................................... 30

4.5 Veranschaulichung des zweistufigen Ellipsenverfahrens an Hand eines Beispiels ..... 30 4.5.1 Beispieldaten des Zulieferer-Abnehmer-Segments............................................ 30 4.5.2 Optimierung mit dem zweistufigen Ellipsenverfahren ...................................... 31

5 Kritische Würdigung ......................................................................................................... 37

Anhang .................................................................................................................................... 39

Literaturverzeichnis............................................................................................................... 46

Abkürzungsverzeichnis

APS Advanced Planning and Scheduling bspw. beispielsweise bzw. beziehungsweise et al. et alii f. folgende ff. fortfolgende Hrsg. Herausgeber Nr. Nummer S. Seite(n) SCM Supply Chain Management SNM Supply Network Management vgl. vergleiche

Symbolverzeichnis

Indizes

ext Extremwertindex; ext { }maxmin,∈ i Summationsindex X Produktionslos- bzw. Bestellindex; X { }B,L∈

Variable

a Ellipsenhalbachse a Isokostenringhalbachse b Ellipsenhalbachse b Isokostenringhalbachse

22H × HESSE-Matrix für eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen

TK Gesamtkosten im Planungszeitraum ATK Kosten des Subsystems Abnehmer im Planungszeitraum LTK Kosten des Subsystems Lieferant im Planungszeitraum minTK reellwertiges Gesamtkostenminimum im Planungszeitraum rundTK Gesamtkosten im Planungszeitraum, die sich aus ganz

Bn und rundLn ergeben

UTTK Kosten des Subsystems Umschlag und Transport

LA Lagerabgang beim Lieferanten während AZt

AbL kumulierter Lagerabgang beim Lieferanten während AZt geschZuL kumulierter Lagerzugang beim Lieferanten während AZt bei geschlossener

Produktion offenZuL kumulierter Lagerzugang beim Lieferanten während AZt bei offener

Produktion Pt

ZuL kumulierter Lagerzugang beim Lieferanten während Pt Wt

ZuL kumulierter Lagerzugang beim Lieferanten während Wt n Gesamtanzahl von Produktions- oder Transportlosen im Planungszeitraum

Bn Gesamtanzahl von Transportlosen im Planungszeitraum (Bestellhäufigkeit) exBn möglicherweise kostenminimierende Bestellhäufigkeit im Planungszeitraum ganzBn sich aus dem Produkt von rund

Ln und rundq ergebende ganze Zahl MitteBn Mittelpunktkoordinate des Isokostenrings optBn kostenminimierende Bestellhäufigkeit im Planungszeitraum

Ln Gesamtanzahl von Produktionslosen im Planungszeitraum (Auflagehäufigkeit) exLn möglicherweise kostenminimierende Auflagehäufigkeit im Planungszeitraum MitteLn Mittelpunktkoordinate des Isokostenrings optLn kostenminimierende Auflagehäufigkeit im Planungszeitraum rundLn gerundete kostenminimierende Auflagehäufigkeit im Planungszeitraum

IV Symbolverzeichnis

q ganzzahliges Verhältnis von Bn zu Ln optq Verhältnis von opt

Bn zu optLn

rundq gerundetes Verhältnis von optBn zu opt

Ln t Integrationsvariable über die Zeit

AZt Dauer eines Auflagezyklus

LZt Dauer eines Bestell- und Lieferzyklus

Pt Zeit, in der während eines Auflagezyklus Zwischenprodukte gefertigt werden

Wt Zeit, in der während eines Auflagezyklus der Abnehmer beliefert wird x beliebige reelle Zahl x zweidimensionaler Spaltenvektor x durchschnittlicher Lagerbestand beim Lieferanten während des

Planungszeitraumes

AZx durchschnittlicher Lagerbestand beim Lieferanten während eines Losauflagezyklus

geschAZx durchschnittlicher Lagerbestand beim Lieferanten während eines

Losauflagezyklus bei geschlossener Produktionsweise offenAZx durchschnittlicher Lagerbestand beim Lieferanten während eines

Losauflagezyklus bei offener Produktionsweise y beliebige reelle Zahl

By Bestellmenge des Abnehmers und Transportlosgröße

Ly Produktionslosgröße des Lieferanten

Konstante

Cl Lagerkostensatz

ACl Lagerkostensatz des Abnehmers

LCl Lagerkostensatz des Lieferanten Cr Rüstkostensatz

LCr Rüstkostensatz des Lieferanten Ct Transportkostensatz

ACu Kostensatz je Bestellung und Umschlag eines Transportloses beim Abnehmer

LCu Kostensatz je Umschlag eines Transportloses beim Lieferanten Cut zusammengefaßter Kostensatz für Bestellung, Umschlag und Beförderung

eines Transportloses NB Substitutionsfaktor NL Substitutionsfaktor P Produktionsgeschwindigkeit des Lieferanten R zu deckender Gesamtbedarf im Planungszeitraum T Planungszeitraum V Verbrauchs- oder Weiterverarbeitungsgeschwindigkeit des Abnehmers

1 Problemstellung und Aufbau des Arbeitsberichts

Der amerikanische Historiker CHANDLER unterschied bereits Anfang der 60er Jahre des ver-gangenen Jahrhunderts zwei Phasen, die von expandierenden Unternehmen durchlaufen wer-den:1 Während in der ersten Phase Strategien der Produktionsausweitung (Marktdurchdrin-gung, Marktentwicklung) und der vertikalen Integration mit verrichtungsorientierten unternehmensinternen Strukturen (Funktionalorganisation) einhergehen, ist die zweite Phase durch Diversifikationsstrategien und objektorientierte unternehmensinterne Strukturen (Divisionalorganisation) gekennzeichnet. Seit Ende der 80er Jahre des 20. Jahrhunderts tritt verstärkt eine dritte Phase in den Vordergrund, die in Abkehr von vertikaler Integration und Diversifikation die Strategie der Konzentration auf das Kerngeschäft in Verbindung mit prozeßorientierten unternehmensübergreifenden Strukturen (Netzwerkorganisation) umfaßt.2

Unternehmen mit reduzierter Fertigungstiefe, die sich auf ihre Kernkompetenzen konzentrie-ren, sind gezwungen, verstärkt miteinander zu kooperieren, um gemeinschaftlich konkurrenz-fähige Sach- und/oder Dienstleistungen für den Endverbraucher produzieren zu können. Aus diesem Grunde kommt es zu vertikalen strategischen Allianzen in Form von Wertschöpfungs-partnerschaften3 zwischen Unternehmen, „die ihre Aktivitäten auf bestimmte Stufen der Wertkette konzentrieren und entlang der Wertkette kooperieren“ 4 . Dabei ist es nicht ungewöhnlich, daß ein Unternehmen mit mehreren Partnern zusammenarbeitet und somit Teil mehrerer Wertketten ist. Folglich korrespondiert die strategische Notwendigkeit einer kundenorientierten Kopplung der Kernkompetenzen verschiedener Unternehmen mit einer organisatorischen Verknüpfung der Strukturen und Prozesse dieser Unternehmen zu einer Netzwerkorganisation.5

Diese strategisch-organisatorische Entwicklung gipfelt in einem neuen Managementkonzept, das gegenwärtig unter dem Schlagwort „Supply Chain Management“ (SCM) oder „Supply Network Management“ (SNM) intensiv in Theorie und Praxis diskutiert wird.6 Hierunter ist die Analyse, Planung, Steuerung und Kontrolle der Geschäftsprozesse innerhalb eines Netz-werks von Unternehmen zu verstehen, die ihre Aktivitäten auf bestimmte Glieder der Wert-schöpfungskette konzentrieren und entlang dieser an der Entwicklung, Produktion und Ver-wertung von Sach- und/oder Dienstleistungen zielorientiert und partnerschaftlich zusammen-arbeiten.7

1 Vgl. im folgenden CHANDLER (1962), (1969), S. 383 ff.

2 Vgl. BÜHNER (1989), S. 225 und SYDOW (1992), S. 3 f.

3 Zu Wertschöpfungspartnerschaften vgl. bspw. ROLLBERG (1996).

4 SYDOW (1992), S. 64.

5 Vgl. auch SCHINZER (1999), S. 857 f.

6 Vgl. bspw. STADTLER (2000), WERNER (2000), CORSTEN/GÖSSINGER (2001), KEUPER (2001), S. 164 ff. und BUSCHER (2003a). Siehe auch Abbildung 1.2 in KNOLMAYER/MERTENS/ZEIER (2000), S. 3, in der die „Supply Chain“ als Ausschnitt eines „Supply Network“ dargestellt wird.

7 Diese Arbeitsdefinition ergibt sich als eine Kombination aus zum Teil wörtlich übernommenen Passagen der Wertschöpfungspartnerschaftsdefinition von SYDOW (1992), S. 64, der SCM-Definition von HAHN (2002), S. 1064 und der SNM-Definition von BUSCHER (2003a), S. 57 f.

2 1 Problemstellung und Aufbau des Arbeitsberichts

Aus Wertschöpfungspartnerschaften bestehende Netzwerkorganisationen im Sinne des SCM verlangen also nach einer integrierten Unternehmensverbundplanung, während man sich in unverbundenen Funktional- oder Divisionalorganisationen noch auf eine integrierte Unter-nehmensplanung1 konzentrieren kann. Unternehmens- und Unternehmensverbundplanung unterscheiden sich letztlich „nur“ durch die Zahl zu berücksichtigender Daten, Variablen und Restriktionen, weil der Unterschied zwischen einer mehrstufigen Produktion in einem Einzel-unternehmen und einer auf mehrere rechtlich selbständige Unternehmen aufgeteilten mehr-stufigen Produktion eher bedeutungslos ist. Insofern kann es auch nicht verwundern, daß die eigentlich für das SCM entwickelten Advanced Planning and Scheduling Systems (APS-Systeme)2 häufig nur zur integrierten Planung innerbetrieblicher Logistikketten eingesetzt werden, bei der die Koordination der Aktivitäten mehrerer Werke ein und desselben Unter-nehmens im Mittelpunkt des Interesses steht.3

Vor dem Hintergrund der aufgezeigten Entwicklungen soll im vorliegenden Arbeitsbericht mit der kurzfristigen Abstimmung der Produktionsprozesse von zwei Wertschöpfungspartnern nur ein kleiner Ausschnitt des Gesamtplanungsproblems thematisiert werden. Konkret geht es um die simultane Ermittlung der Produktionslosgröße eines Lieferanten und der mit der Transportlosgröße identischen Bestellmenge des weiterverarbeitenden Abnehmers.

Die zahlreichen in der Literatur zu findenden kostentheoretischen Ansätze4 zur Lösung der-artiger Probleme basieren allesamt auf dem klassischen Grundmodell der optimalen Auftrags-größe5, das von HARRIS entwickelt und von STEFANIC-ALLMAYER und ANDLER in Deutsch-land verbreitet wurde.6 Beispielhaft zu nennen sind hier vor allem die ersten Ansätze von GOYAL und BANERJEE sowie Modelle jüngeren Datums von PANICHI, TOPOROWSKI, BOGA-SCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG und BUSCHER.7

Im folgenden werden weder die Unterschiede zwischen den einzelnen Ansätzen herausge-arbeitet, noch wird die umfangreiche Modellgruppe durch eine weitere Variante ergänzt. Der Schwerpunkt des Arbeitsberichts liegt vielmehr in der Präsentation eines neuartigen, auf Ellipsengleichungen beruhenden Algorithmus zur Auswertung entsprechender Modelle − oder genauer zur Ermittlung einer ganzzahligen Optimallösung des Problems über eine effiziente Suchfeldeingrenzung.

1 Zur integrierten Unternehmensplanung vgl. bspw. SCHWEIM (1969), KOCH (1982) und ROLLBERG (2001).

2 Zu APS-Systemen vgl. bspw. TEMPELMEIER (1999), GÜNTHER/TEMPELMEIER (2000), S. 339 ff., STADTLER/ KILGER (2000), S. 73 ff. (Teil II), KNOLMAYER/MERTENS/ZEIER (2000), S. 105 ff., CORSTEN/GÖSSINGER (2001), S. 151 ff., KRÜGER/STEVEN (2002) und ROLLBERG (2002), S. 147 ff.

3 Vgl. KNOLMAYER/MERTENS/ZEIER (2000), S. 187.

4 Zu den im folgenden nicht thematisierten zahlungsstromorientierten Ansätzen vgl. HOFMANN (1995), S. 19 ff. und die dort zitierte Literatur.

5 Die Auftragsgröße sei im folgenden als Oberbegriff für die Losgröße bei Eigenfertigung und die Bestellmenge bei Fremdbezug zu verstehen; vgl. ADAM (1998), S. 475.

6 Vgl. HARRIS (1913), (1915), STEFANIC-ALLMAYER (1927) und ANDLER (1929) sowie ferner TAFT (1918) und VON DOBBELER (1920).

7 Vgl. GOYAL (1976), BANERJEE (1986), PANICHI (1996), TOPOROWSKI (1999), BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ ROLLBERG (1999) und BUSCHER (2003b).

1 Problemstellung und Aufbau des Arbeitsberichts 3

Zunächst wird das Planungsproblem im folgenden Kapitel 2 genauer beschrieben. Kapitel 3 ist dann der unter Nebenbedingungen zu minimierenden Kostenfunktion des betrachteten Kunden-Lieferanten-Segments gewidmet. Getrennt nach den drei Subsystemen des Segments „Lieferant“, „Abnehmer“, „Umschlag und Transport“ werden alle für die Modellbildung rele-vanten Details erläutert und subsystemspezifische Kostenfunktionen entwickelt. Die abschlie-ßend aufgestellte segmentspezifische Gesamtkostenfunktion entspricht letztlich dem auf kurz-fristige Fragestellungen reduzierten Modell von BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG, ist je-doch mit Blick auf die zum Einsatz gelangenden Variablen etwas zweckmäßiger konstruiert. Kapitel 4 dient schließlich der Herleitung eines zweistufigen Verfahrens, mit dem der Lösungsraum so lange sukzessiv eingeschränkt wird, bis nur noch das gesuchte Kosten-minimum darin enthalten ist. In der ersten Stufe gelangt ein zwar einfaches Ellipsenverfahren zur Anwendung, das aber das gesuchte Kostenminimum verfehlen kann. Deshalb wird in der zweiten Stufe das Ergebnis der ersten mit dem sogenannten korrigierten Ellipsenverfahren überprüft und die gefundene Lösung entweder bestätigt oder durch das tatsächliche Kosten-minimum ersetzt. Die Funktionsweise des zweistufigen Ellipsenverfahrens wird abschließend an Hand eines Zahlenbeispiels verdeutlicht, bevor in Kapitel 5 Modell und Algorithmus einer kritischen Würdigung unterzogen werden.

2 Konkretisierung der Planungssituation

Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen ist eine auf mehrere Wertschöpfungspartner auf-geteilte mehrstufige Produktion eines bestimmten Erzeugnisses. In jeder Stufe werden Input-güter zu Outputgütern transformiert, wobei der Output einer Stufe mit dem Input der Folgestufe identisch ist und der Output der letzten Stufe dem Endprodukt entspricht.1 Aus dieser Wertschöpfungskette wird ein beliebiges Kunden-Lieferanten-Segment zur genaueren Betrachtung herausgelöst. 2 Der Zulieferer dieses Segments produziert ein Zwischenerzeugnis, das der Abnehmer weiterverarbeitet. Dabei ist es unerheblich, ob der Abnehmer ein marktfähiges Finalprodukt für den Endkunden erzeugt oder seinerseits lediglich Vorlieferant ist. Ziel des gemeinsamen Produktionsengagements ist die Maximierung des Gesamtgewinns.

Innerhalb eines definierten Planungszeitraums muß der weiterverarbeitende Abnehmer einen mit einer konstanten Rate je Zeiteinheit auftretenden Bedarf an (Zwischen-)Produkten decken, wobei Fehl-, Verzugs- und Lagermengen unzulässig sind (absatzsynchrone Produktion). Es ist von einem fixen Stückverkaufspreis der Güter des Abnehmers auszugehen, womit der Erlös des Kunden-Lieferanten-Segments innerhalb des Planungszeitraums konstant und entscheidungsirrelevant ist. Mithin sind die Ziele Gewinnmaximierung und Kostenminimierung äquivalent. Da sowohl beim Zulieferer als auch beim Abnehmer fixe Produktionsstückkosten unterstellt werden, sind im folgenden ausschließlich die Logistikkosten (Bestell-, Rüst-, Lager-, Umschlag- und Transportkosten) des Segments entscheidungsrelevant.

Damit der weiterverarbeitende Abnehmer in der Lage ist, absatzsynchron zu produzieren, muß er zuverlässig von seinem Zulieferer mit Vorprodukten versorgt werden. Also sind auch innerhalb des Kunden-Lieferanten-Segments Fehl- und Verzugsmengen nicht erlaubt. Die vom Abnehmer bestellten und vom Zulieferer in gleichen zeitlichen Abständen und konstan-ten Transportlosen bereitgestellten Zwischenprodukte liegen nach der Anlieferung bis zur Weiterverarbeitung im Wareneingangslager des Kunden. Weder darf die Bestellmenge des Abnehmers in mehrere Transportlose aufgespalten noch dürfen mehrerer Bestellungen zu einem Transportlos zusammengefaßt werden. Ob der Transport der Zwischenprodukte vom Lieferanten, vom Abnehmer oder von einem externen Transporteur als Intermediär übernom-men wird, ist unter diesen Bedingungen belanglos, solange die damit verbundenen Kosten im aufzustellenden Modell Berücksichtigung finden. Die Produktion der Zwischenerzeugnisse erfolgt in stets gleich großen Fertigungslosen, wobei bereits gefertigte, aber noch nicht ab-transportierte Zwischenprodukte beim Lieferanten im Warenausgangslager liegen. Die Ver-sorgung des Lieferanten mit benötigten Rohstoffen und Vorprodukten erfolgt produktions-synchron und wird damit aus der weiteren Betrachtung ausgeklammert. Produktions-, Lager- und Transportkapazitäten sind in ausreichendem Maße vorhanden.

Als Planungsaufgabe ergibt sich die Ermittlung der mit der Transportlosgröße identischen Bestellmenge des Abnehmers und der gegebenenfalls von ihr abweichenden Produktionslos-größe des Lieferanten, die die entscheidungsrelevanten Logistikkosten minimieren. Der Aus-

1 Vgl. CORSTEN/GÖSSINGER (2001), S. 203.

2 Vgl. im folgenden auch BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG (1999), S. 136.

3.1 Subsystem Lieferant 5

tausch sämtlicher planungsrelevanten Daten ist sichergestellt, weil es sich bei den betrachteten Unternehmen um Wertschöpfungspartner handelt.

3 Modellbildung

Zur Aufstellung eines kostentheoretischen Modells müssen die entscheidungsrelevanten Logi-stikkosten im einzelnen herausgearbeitet werden. Hierzu wird die Prozeßkette vom Lieferan-ten zum Abnehmer in einzelne Subsysteme untergliedert. Als Subsysteme lassen sich (a) der Lieferant mit seiner Produktionsleistung und seinem Warenausgangslager, (b) der Abnehmer mit seinem Wareneingangslager und seiner Weiterverarbeitungsleistung und (c) der Trans-portprozeß mit seinen Schnittstellen zum Lieferanten und zum Abnehmer einschließlich der zugehörigen Umschlagsleistungen abgrenzen. Sowohl das Wareneingangslager des Zulieferers als auch das Warenausgangslager des Abnehmers werden nicht berücksichtigt, weil annahmegemäß die Belieferung des Lieferanten produktionssynchron und die Fertigung des Abnehmers absatzsynchron erfolgen soll, sich also weder ein Wareneingangslager beim Lieferanten noch ein Warenausgangslager beim Abnehmer aufbaut.

3.1 Subsystem Lieferant

Der Lieferant fertigt losweise die Zwischenprodukte mit konstanter Produktionsgeschwindig-keit P und lagert sie bis zur Lieferung an den Abnehmer in seinem Warenausgangslager. Da-mit der Lieferant stets lieferfähig ist, darf seine Produktionsgeschwindigkeit P nicht kleiner als die Weiterverarbeitungsgeschwindigkeit V des Abnehmers sein; mithin hat P ≥ V zu gel-ten. Um eine auch in dieser Situation noch mögliche temporäre Lieferunfähigkeit durch Leer-laufen des Warenausgangslagers beim Lieferanten zu vermeiden, wird unterstellt, daß die Produktionsmenge yL eines Fertigungsloses ein ganzzahliges Vielfaches q der Bestell- und mit ihr identischen Transportmenge yB darstellt. Diese Voraussetzung hat auch Auswirkungen auf den Zusammenhang zwischen der Anzahl aufzulegender Produktionslose nL und der Anzahl auszulösender Bestellungen nB im Planungszeitraum. Während aus einem Produktionslos genau q Bestellungen und Transportlose resultieren, ergeben sich aus nL Produktionslosen Lnq ⋅ Bestellungen, es gilt also LB nqn ⋅= . Zudem sollten bei Betrachtung eines endlichen Planungszeitraums auch die Bestell- und Losauflagehäufigkeiten ganzzahlig sein. Nur alle geforderten Ganzzahligkeitsbedingungen gemeinsam führen zu zyklischen Bestandsverläufen im Warenausgangslager des Lieferanten und in jedem Planungszeitraum zu vollständigen Zyklen, was einer problemlosen Berechnung des durchschnittlichen Lagerbestands dienlich ist. Jeder Zyklus umfaßt dabei die Fertigung eines kompletten Produktionsloses durch den Lieferanten und den vollständigen Abtransport der entsprechenden Gütermengen zum Abnehmer in mindestens einem, wenn nicht gar mehreren Transportlosen.

In der dargestellten Situation muß der Lieferant entscheiden, wie viele Mengeneinheiten des Zwischenprodukts er in einem Fertigungslos produzieren will. Die Auflage eines Loses führt zu losauflagefixen Rüstkosten Cr und durch die sich anschließende Lagerung der Zwischen-produkte zu Lagerkosten, determiniert durch den Lagerkostensatz je Mengen- und Zeiteinheit Cl sowie den durchschnittlichen Lagerbestand und die Dauer eines Losauflagezyklus. Die reinen Produktionskosten seien auf Grund mengenunabhängiger Stückkosten bei gegebenem

6 3 Modellbildung

Gesamtbedarf im Planungszeitraum entscheidungsirrelevant. Durch die gegenläufige Ent-wicklung der Rüst- und Lagerkosten bei steigender Losgröße und damit sinkender Auflage-häufigkeit ergibt sich beim Lieferanten der bekannte klassische Kostenkonflikt. Insofern ist die modellhafte Abbildung der Situation des Lieferanten fast identisch mit dem klassischen Modell der optimalen Losgröße. Der einzige Unterschied zum klassischen Modell besteht im Lagerabgang, der im hier vorliegenden Fall nicht kontinuierlich, sondern in gleichmäßig über den Planungszeitraum verteilten diskreten Sprüngen erfolgt. Bei der Herleitung der Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten des Lieferanten ist dies zu berücksichtigen und darüber hinaus zwischen geschlossener und offener Fertigung zu differenzieren.

Während es für die formale Ermittlung der Rüstkosten irrelevant ist, ob offen oder geschlos-sen gefertigt wird, ist diese Frage für die resultierenden Lagerkosten von entscheidender Bedeutung, da sich durch die Produktionsweise ganz unterschiedliche Lagerbestandsverläufe und damit durchschnittliche Lagerbestände x über den Planungszeitraum ergeben. Bei ge-schlossener Produktion muß der Lieferant sein Fertigungslos zunächst vollständig abgearbei-tet haben, bevor er Mengeneinheiten daraus zum Abnehmer transportieren kann. Im Gegen-satz dazu steht eine produzierte Mengeneinheit bei offener Produktion sofort zum Abtransport bereit, auch wenn das zugehörige Los noch nicht komplett fertiggestellt wurde.

Mit Hilfe der Lagerbestandsveränderungen läßt sich die durchschnittlich während des gesam-ten Planungszeitraums T beim Lieferanten gelagerte Menge x ermitteln, woraus die gesuch-ten Lagerkosten berechnet werden können. Wegen der oben erwähnten Ganzzahligkeitsbedin-gungen reicht es aus, zur Bestimmung des durchschnittlichen Lagerbestands x im Planungs-zeitraum T nur einen Produktionslosauflagezyklus zu betrachten und den zugehörigen durch-schnittlichen Lagerbestand AZx herzuleiten, der für alle nL Zyklen des Planungszeitraums T gilt. Somit wird über den gesamten Planungszeitraum T hinweg die Gütermenge AZxx = durchschnittlich beim Lieferanten gelagert.

Das allgemeine Vorgehen zur Ermittlung des durchschnittlichen Lagerbestands beim Liefe-ranten innerhalb eines Auflagezyklus besteht darin, die über die Auflagezykluszeit AZt ku-mulierten (diskreter Fall) bzw. integrierten (stetiger Fall) Lagerzu- und -abgänge zu saldieren und diese Differenz anschließend durch die Auflagezykluszeit zu dividieren.1

Innerhalb des Zeitraums eines Auflagezyklus kann die Zeit der Produktionsloserstellung von der Zeit der Lieferung des Produktionsloses (eventuell aufgeteilt in mehrere Transportlose) an den Abnehmer abgegrenzt werden. Beide Zeiträume können sich auch überschneiden oder in ihrer Summe die Auflagezykluszeit nicht ganz ausfüllen, bspw. wenn bereits das gesamte Produktionslos an den Abnehmer geliefert wurde, er aber noch weiterverarbeitet und die Vorlaufproduktion beim Lieferanten noch nicht beginnen muß. In der Zeit Pt wird beim Lieferanten die Menge Ly eines Produktionsloses hergestellt, und in der Zeit Wt erfolgt die Weiterleitung der Menge Ly an den Abnehmer. Zu beachten ist, daß die Menge Ly zwar innerhalb der Auflagezykluszeit LZAZ tqt ⋅= ( LZt = Lieferzykluszeit) beim Abnehmer weiterverarbeitet wird, aber die Belieferung an den Abnehmer innerhalb des Zeitraums

Wt = ( ) LZAZLZ ttt1q −=⋅− erfolgt!

1 Die Herleitung der durchschnittlichen Lagerbestände bei offener und geschlossener Produktion erfolgt analog

zum Vorgehen von BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG (1997), S. 39 ff. und PANICHI (1996), S. 61 ff., allerdings mathematisch exakt auf der Grundlage der Integralrechnung.


Ermittlung des gesamten kumulierten Lagerzugangs geschZuL für einen Losauflagezyklus bei

geschlossener Produktion durch Integration des Lagerzugangs über die Zeit:

Betrachtung des Zeitraums Pt : ( )0tP21tP

21dttPL 2

P

t

0

2t

0

tZu

PPP −⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫

PL2P ty

21tP

21

⋅⋅=⋅⋅=

Betrachtung des Zeitraums Wt : ( )LZAZLttL

t

tL

tZu ttytydtyL AZ

LZ

AZ

LZ

W −⋅=⋅== ∫

gesamter kumulierter Lagerzugang: ( )LZAZLPLgeschZu ttyty

21L −⋅+⋅⋅=

Ermittlung des gesamten kumulierten Lagerzugangs offenZuL für einen Losauflagezyklus bei

offener Produktion durch Integration des Lagerzugangs über die Zeit:

Betrachtung des Zeitraums Pt : ( )0tP21tP

21dttPL 2

P

t

0

2t

0

tZu

PPP −⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫

PL ty21

⋅⋅=

Betrachtung des Zeitraums Wt : ∫∫ −=P

B

AZ

LZ

Wt

Py

L

t

tL

tZu dtydtyL

PB

AZLZ

t

PyL

ttL tyty ⋅−⋅=

−−−⋅=

Pyttty B

PLZAZL

Durch die Entnahme und Versendung von Produkten als Transportlose noch während der Auflage des Produktionsloses überschneiden sich die Zeiträume Pt und Wt . Dadurch wird der Lageraufbau (und damit auch der kumulierte Lageraufbau) in dem Abschnitt des Zeit-raums Wt , in dem noch das Produktionslos erstellt wird, bereits durch den oben betrachteten Zeitraum Pt beschrieben. Somit muß vom Integral der Produktionslosmenge Ly über den Zeitraum LZAZW ttt −= das Integral der Produktionslosmenge Ly über diesen Überschnei-dungszeitraum abgezogen werden. Um den Überschneidungszeitraum zu bestimmen, in wel-chem das betrachtete Produktionslos noch produziert, aber auch schon teilweise zum Abneh-mer weitertransportiert wird, muß man sich veranschaulichen, wann der erste Transport zum Abnehmer erfolgt. Dies geschieht genau dann, wenn innerhalb des Produktionsloses die pro-duzierte Menge genau der Menge By einer Bestellung entspricht. Da der Lieferant stets mit der Geschwindigkeit P produziert, wird in P/yB Zeiteinheiten die Menge By vom Lieferant produziert.

8 3 Modellbildung

gesamter kumulierter Lagerzugang:

−−−⋅+⋅⋅=

Py

tttyty21L B

PLZAZLPLoffenZu

Ermittlung des gesamten kumulierten Lagerabgangs AbL für einen Losauflagezyklus (bei geschlossener und offener Produktion identisch):

Während eines Auflagezyklus erfolgt die Entnahme von Transportlosen der Menge By in Abständen von LZt Zeiteinheiten aus dem Lieferantenlager genau so oft, bis die Summe aller Transport- bzw. Bestellmengen gerade das Fertigungslos Ly ergibt (nach Voraussetzung ste-hen die Produktionsmenge eines Fertigungsloses und die Bestellmenge in dem ganzzahligen Verhältnis q zueinander). Dadurch, daß alle Transportlose stets gleich groß sind und jeweils genau die Menge einer Bestellung umfassen, wird der Auflagezyklus in q zeitlich gleiche Unterabschnitte (der Lieferzeit LZt ) zerlegt. Die erste Entnahme aus dem Fertigungslager erfolgt innerhalb eines Auflagezyklus nach LZt Zeiteinheiten und die letzte der q Entnahmen nach AZLZ ttq =⋅ Zeiteinheiten. Soll der Lagerabgang LA über die Auflagezykluszeit kumu-liert erfaßt werden, müssen die q Lagerentnahmen einzeln über die Zeit von ihrer jeweiligen Entnahme an bis zur Auflagezykluszeit integriert und summiert werden:

( )( ) ( )( )( )∑∑ ∫∑ ∫∫

=

⋅+−⋅

=

⋅

−−⋅= ⋅−−

⋅=

=

==

q

1i

tq1iqtB

q

1i

tq

1iqtB

q

1i

t

t1itB

t

0Ab

LZLZ

LZ

LZ

AZ

LZAZ

AZ

tydtydtydtLAL

( )( ) ( )∑∑==

−⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅=q

1iLZB

q

1iBLZBLZBLZ 1ityyt1iytqytq

( )2

1qqty LZB−⋅

⋅⋅=

Mit Hilfe der hergeleiteten kumulierten Lagezu- und -abgänge sowohl für die geschlossene als auch für die offene Produktionsweise kann die Berechnung des durchschnittlichen Lagerbestands für einen Auflagezyklus durch Subtraktion des kumulierten Lagerabgangs vom kumulierten Lagerzugang und anschließende Division der Differenz durch die Auflagezykluszeit erfolgen.

Ermittlung des durchschnittlichen Lagerbestands geschAZx für einen Losauflagezyklus bei ge-

schlossener Produktion:

( ) ( )

AZ

LZBLZAZLPL

AZ

AbgeschZugesch

AZ t2

1qqtyttyty21

tLL

x

−⋅⋅⋅−−⋅+⋅⋅

=−

=

( )

AZ

AZB

AZAZ

AZL

t2

1qqq

tyq

ttPtV

21y −⋅

⋅⋅−

−+

⋅⋅⋅

=

( )2

1qyq11

PV

21yq BB

−⋅−

−+⋅⋅⋅=


−

+⋅⋅=

−

−−+⋅⋅=211

PV

2q

nR

21q1q

PV

2qy

BB

−

+⋅⋅=

−

+⋅⋅=

BLBB n1

PV1

n1

2R

n11

PV

nq

2R

Ermittlung des durchschnittlichen Lagerbestands offenAZx für einen Losauflagezyklus bei offe-

ner Produktion:

( )

AZ

LZBB

PLZAZLPL

AZ

AboffenZuoffen

AZ t2

1qqtyP

ytttyty21

tLL

x

−⋅⋅⋅−

−−−⋅+⋅⋅

=−

=

( )

AZ

AZB

LAZAZAZ

AZL

t2

1qqq

tyPq

yPtV

qtt

PtV

21y −⋅

⋅⋅−

⋅

+⋅

−−+⋅

⋅⋅=

( )2

1qyPqt

yPV

q11

PV

21yq B

AZ

LB

−⋅−

⋅⋅

+−−+⋅⋅⋅=

+−

−+−⋅⋅=

−

−+−+⋅−⋅=PV

2112

PV

2q

nR

21q

PV1q

PV

2qy

BB

⋅−⋅−

−⋅⋅=

−⋅−

−⋅

⋅⋅=

PV21

n1

PV1

n1

2R

PV

21

n1

PV1

2nqR

BLBB

Die durchschnittlichen Lagerbestände geschAZx und offen

AZx unterscheiden sich nur in den zu den Reziproken von Ln und Bn zugehörigen Faktoren. Wird der zu 1

Ln− gehörige Faktor mit NL und der zu 1

Bn− gehörige Faktor mit NB bezeichnet, läßt sich definieren:

−

+=

oduktionProffenerbeiPV1

oduktionPrneressolhcsegbeiPV1

:NL

⋅−

= oduktionProffenerbeiPV21

oduktionPrneressolhcsegbei1:NB

Durch diese Definitionen ergibt sich als verallgemeinerter, unabhängig von der Produktions-weise gültiger durchschnittlicher Lagerbestand AZx für einen Losauflagezyklus:

⋅−⋅⋅= NB

n1NL

n1

2Rx

BLAZ

Wie bereits erläutert, entspricht der durchschnittliche Lagerbestand für einen Auflagezyklus dem durchschnittlichen Lagerbestand x über den gesamten Planungszeitraum T. Dies kann auch mathematisch gezeigt werden:

10 3 Modellbildung

Der Auflagezyklus wiederholt sich während des Betrachtungszeitraums ( AZt/T )-mal. Daraus ergibt sich, daß der durchschnittliche Lagerbestand für einen Auflagezyklus ( AZt/T )-mal summiert und anschließend durch die Anzahl der Summanden, also ( AZt/T )-mal, dividiert werden muß, um den durchschnittlichen Lagerbestand im gesamten Betrachtungszeitraum zu berechnen.

AZBL

AZ

tT

1i BL xNBn1NL

n1

2R

tT

NBn1NL

n1

2R

x

AZ

=

⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅

=∑=

Mit Hilfe des durchschnittlichen Lagerbestands während des Planungszeitraums läßt sich die Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten des Lieferanten bezogen auf Produktion (Rüst-kosten) und Lagerung (Lagerhaltungskosten) in Abhängigkeit von Produktions- und Trans-portlosauflagehäufigkeit (= Bestellhäufigkeit) formulieren:

( ) TClNBn1NL

n1

2RnCrTClxnCrn,nK L

BLLLLLLBL

LT ⋅⋅

⋅−⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=

Zu den im Subsystem Lieferant entstehenden Kosten zählen auch die durch die Abnehmer-bestellung beim Lieferanten verursachten Umschlagkosten, die beispielsweise durch die Kommissionierung der Waren im Warenausgangslager entstehen. Wegen ihrer Strukturgleichheit mit den Umschlagkosten beim Abnehmer, die mit dem Transportloseingang in seinem Wareneingangslager verbunden sind, werden diese Kosten jedoch zusammengefaßt zum Subsystem Umschlag und Transport weiter unten in einem eigenen Unterkapitel thematisiert.

3.2 Subsystem Abnehmer

Der Abnehmer verarbeitet die Zwischenprodukte des Lieferanten mit konstanter und mit sei-nem Absatz synchronisierter Weiterverarbeitungsgeschwindigkeit V. Durch diese Synchroni-sation muß der Abnehmer ohne Unterbrechung Produkte fertigen, wenn die gesamte Nach-frage im Planungszeitraum befriedigt werden soll. Damit stellt sich dem Abnehmer das Pro-blem der Produktionslosgrößenfestlegung nicht. Aus der Forderung, keine Nachfrage unbe-friedigt zu lassen, ergibt sich wie schon zuvor für den Zulieferer die vom Abnehmer im Pla-nungszeitraum zu fertigende Produktionsmenge. Bei mengenunabhängigen Stückkosten sind die reinen Produktionskosten somit auch für den Abnehmer entscheidungsirrelevant.

Da die Zwischenprodukte in den Zeitabständen LZt jeweils in Höhe eines Transportloses mit einer quasi unendlichen Lagerzugangsgeschwindigkeit im Wareneingangslager des Abneh-mers eintreffen und der Lagerabgang (= Weiterverarbeitungsgeschwindigkeit) kontinuierlich erfolgt, ergibt sich für den Abnehmer das Problem der Bestimmung der kostenminimalen Bestellmenge By (= Transportlosgröße). Je größer die Bestellmenge ist, desto mehr wird vor-übergehend im Wareneingangslager zwischengelagert. Ist diese Warenmenge verbraucht (ver-

3.3 Subsystem Umschlag und Transport 11

einfachend wird angenommen, daß im Lager kein Sicherheitsbestand gehalten wird), trifft die neue Lieferung ein. Damit liegt während eines Bestellzyklus durchschnittlich die halbe Bestellmenge auf Lager, was Lagerkosten verursacht. Da sich innerhalb des Planungszeit-raums der Bestellzyklus permanent wiederholt, wird auch während dieses Zeitraums durch-schnittlich 2/yB gelagert. Dadurch, daß mit zunehmender Bestellmenge der durchschnitt-liche Lagerbestand ansteigt, erhöhen sich auch die Lagerkosten. Minimierte der Abnehmer nur diese Kosten, strebte er eine produktionssynchrone Zulieferung an (Just-in-Time-Konzept)1, denn dann entstünden ihm keine Lagerkosten.

Allerdings sind auch bestellfixe Kosten und Warenumschlagkosten des Abnehmers nicht zu vernachlässigen, die mit zunehmender Transportfrequenz steigen und damit einer produk-tionssynchronen Belieferung tendenziell entgegenwirken. Diese von der Bestellhäufigkeit abhängigen Kosten sollen aber erst in Unterkapitel 3.3 zum Subsystem Umschlag und Trans-port gemeinsam mit den Transportkosten näher beleuchtet werden, um der Übersichtlichkeit halber einen „aggregierten Bestell-, Umschlag- und Transportkostensatz“ formulieren zu kön-nen.

Mithin sind bei Betrachtung des Subsystems Abnehmer zunächst nur die Wareneingangs-lagerkosten von Interesse. Sie ergeben sich als Produkt aus Lagerkostensatz ACl pro Mengen- und Zeiteinheit, durchschnittlichem Lagerbestand 2/yB und Lagerdauer (= Planungszeitraum T):

( ) ( ) ( )BBAB

BATA

BB

AT nyRdaTCl

2nR

nKTCl2

yyK ⋅=⋅⋅=⇔⋅⋅=

Der aus der klassischen Bestellmengenplanung bekannte Konflikt zwischen Lagerkosten und bestellhäufigkeitsabhängigen Kosten ergibt sich erst im Zusammenspiel mit den anderen Sub-systemen des Zulieferer-Abnehmer-Segments.

3.3 Subsystem Umschlag und Transport

In periodischen Abständen von LZt Zeiteinheiten wird dem Warenausgangslager des Lieferanten ein Transportlos von By Mengeneinheiten mittels Umschlagleistung entnommen und zum Abnehmer transportiert. Wie der Transport mit welcher Transportvariante (Trans-portmittel und Transportroute) konkret erfolgt, soll nicht Gegenstand des Modells sein. Wei-terhin wird angenommen, daß die ausgewählte Transportalternative unabhängig von der Transportlosgröße ist, daß es also keine Transportmengenschwellenwerte gibt, bei deren Er-reichen ein Wechsel des eingesetzten Transportmittels erforderlich wäre. Mit Eintreffen der Zwischenprodukte beim Abnehmer steigt wiederum durch eine Umschlagleistung die in seinem Wareneingangslager befindliche Warenmenge sprunghaft an.

Obwohl auch der Transport der Zwischenprodukte eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt und der Transportprozeß somit als mobiles Lager mit spezifischem Lagerhaltungskostensatz ver-

1 Zu produktionssynchronen Zulieferungskonzepten vgl. bspw. BOGASCHEWSKY/ROLLBERG (2002).

12 3 Modellbildung

standen werden könnte, ist eine Berücksichtigung im Modell nicht notwendig, da letztlich jedes Zwischenprodukt den Transportprozeß zwischen Lieferant und Abnehmer durchlaufen muß und die Transportzeit nicht variierbar ist. Damit sind aber die anfallenden Lagerhal-tungskosten während des Transports nicht beeinflußbar und somit auch nicht entscheidungs-relevant.

Die mit der Bestellung durch den Abnehmer, mit dem Umschlag des Transportloses beim Lieferanten und beim Abnehmer sowie mit dem Transport der Bestellmenge verbundenen Kosten können danach unterschieden werden, ob sie unabhängig von der zu transportierenden Menge (losgrößenfixe Kosten) oder pro Mengeneinheit anfallen (losgrößenvariable Kosten).

Umschlag- und Transportstückkosten seien genauso wie die Produktionsstückkosten mengen-unabhängig. Da zudem die Transportmenge im Planungszeitraum durch den vorgegebenen Gesamtbedarf determiniert ist, sind auch die losgrößenvariablen Kosten des Umschlags und Transports entscheidungsirrelevant.

Die losgrößenfixen Kosten UTTK im Planungszeitraum T entsprechen dem Produkt aus der

Bestell- oder Transporthäufigkeit Bn und der Summe der Kostensätze für den Transport Ct, für den Umschlag beim Lieferanten LCu sowie für die Bestellung und den Umschlag beim Abnehmer ACu :

( ) ( ) ( )CtCuCu:CutnCutnKnCtnCunCunK ALBBUTTBBABLB

UTT ++=⋅=⇒⋅+⋅+⋅=

3.4 Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten des Zulieferer-Abnehmer-Segments

Die einzelnen Subsysteme Lieferant, Abnehmer sowie Umschlag und Transport bilden in ihrer Gesamtheit modellhaft die betrachtete Kunden-Lieferanten-Beziehung ab. Um die kostenminimale Dimensionierung der Fertigungs- und Transportlose bzw. die kostenminimalen Produktionslosauflage- und Bestellhäufigkeiten zu bestimmen, müssen alle entscheidungsrelevanten Kosten simultan berücksichtigt werden. Hierzu sind die relevanten Kostenfunktionen der einzelnen Subsysteme durch Addition zu einer Gesamtkostenfunktion zu aggregieren. Die Herleitung der Gesamtkostenfunktion erfolgt in Abhängigkeit von den Produktionslosauflage- und Bestellhäufigkeiten, weil sich die einzuhaltenden Ganzzahligkeitsbedingungen im Modell originär auf jene und ihre Abhängigkeit voneinander beziehen. Als Funktion der zu minimierenden entscheidungsrelevanten Kosten im Planungszeitraum ergibt sich:1

1 Auf Grund der Äquivalenz des betrachteten Entscheidungsproblems entspricht die hergeleitete

Kostenfunktion (bei offener Produktion) letztlich der Gesamtkostenfunktion von MÜLLER (2000), S. 318 und damit dem auf kurzfristige Fragestellungen reduzierten Modell von BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG (1999), S. 142. Jedoch wird in diesen Modellen die Produktionslosauflagehäufigkeit bzw. die Bestellhäufigkeit durch den Quotienten aus Bestell- und Losauflagehäufigkeit substituiert, wodurch das Problem unnötig verkompliziert wird und die Separabilität der Variablen verlorengeht.

3.4 Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten des Zulieferer-Abnehmer-Segments 13

( ) min!nCutTCln2RTClNB

n1NL

n1

2RnCrn,nK BA

BL

BLLLBLT →⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅−⋅⋅+⋅=

( ) ( ) min!nCutClNBCln2TRClNL

n2TRnCrn,nK BLA

BL

LLLBLT →⋅+⋅−⋅

⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

+⋅=

unter den Nebenbedingungen: LB nqn ⋅= und q,n,n LB sind positive ganze Zahlen.

4 Lösungsalgorithmus zur Ermittlung der kostenminimalen Losauflage- und Bestellhäufigkeit unter Ganzzahligkeitsbedingungen

4.1 Kostenminimum unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingungen

Um das Minimum der hergeleiteten Kostenfunktion in Abhängigkeit von Losauflage- und Transporthäufigkeit unter Berücksichtigung der Restriktionen zu ermitteln, sollte ein mathe-matisches Optimierungsverfahren unter Nebenbedingungen angewandt werden. Ein in diesem Sinne klassischer Algorithmus ist das LAGRANGE-Verfahren. Für diesen Algorithmus ist es jedoch unerläßlich, daß die Nebenbedingungen in Gleichungsform vorliegen. Im hier be-trachteten Fall bestehen die Nebenbedingungen jedoch hauptsächlich aus restringierenden Vorschriften zum Definitionsbereich der Entscheidungsvariablen, die nur diskrete Werte an-nehmen dürfen. Derartige Nebenbedingungen sind nicht in Gleichungsform abbildbar, womit das LAGRANGE-Verfahren als Lösungsweg ausscheidet. Auch andere bekannte Optimierungs-algorithmen unter Nebenbedingungen, wie Gleichsetzungs- oder Substitutionsverfahren, kön-nen, bedingt durch die spezifische Struktur der Nebenbedingungen, nicht eingesetzt werden.

Deshalb sollen bei der Bestimmung des Kostenminimums die das Problem stark verkompli-zierenden Nebenbedingungen in einem ersten Berechnungsschritt ignoriert und die kosten-minimalen Produktionslosauflage- und Transporthäufigkeiten durch einfache partielle Diffe-rentiation als reelle Zahlenwerte bestimmt werden. Nur in einem eher unwahrscheinlichen Ausnahmefall wird die so gefundene Lösung ganzzahlig und damit zulässig sein. Im Regelfall wird sich eine unzulässige Lösung ergeben, die in einem zweiten Schritt mit Hilfe eines noch zu entwickelnden Algorithmus in eine alle Ganzzahligkeitsbedingungen einhaltende und da-mit zulässige kostenminimale Lösung zu überführen ist. Da durch die einzuhaltenden Restrik-tionen Freiheitsgrade bei der Lösungsfindung verlorengehen, wird das zulässige Kostenmini-mum mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit über dem unter Vernachlässigung der Nebenbedingungen ermittelten Kostenminimum liegen.

Zunächst werden durch Bildung der partiellen Ableitungen nach Ln und Bn sowie an-schließendes Nullsetzen und Auflösen nach den beiden Variablen die extremwertverdächtigen Stellen ermittelt:

0ClNLn2TRCr

nK !

L2L

LL

T =⋅⋅⋅

⋅−=

∂∂

→ L

LexL Cr2

NLClTRn⋅

⋅⋅⋅=

0Cln2TRCutClNB

n2TR

nK !

A2B

L2BB

T =⋅⋅

⋅−+⋅⋅

⋅

⋅=

∂∂

→ ( )Cut2

ClNBClTRn LAexB ⋅

⋅−⋅⋅=

Der Term für exLn entspricht dem Ausdruck der kostenminimalen Losauflagehäufigkeit des

klassischen Losgrößenmodells.1 Die Ausdrücke für exLn und ex

Bn besitzen formale Ähnlich-

1 Die kostenminimalen Losauflagehäufigkeiten des klassischen Modells bei offener und bei geschlossener

Produktion ergeben sich per Division der im Planungszeitraum insgesamt zu fertigenden Produkte durch die jeweilige optimale Losgröße; vgl. bspw. BLOECH et al. (2001), S. 266 ff., insbesondere S. 269.

4.1 Kostenminimum unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingungen 15

keit. Beide Terme sind Wurzelausdrücke und enthalten als Faktor die Hälfte des Produkts aus der im Planungszeitraum insgesamt zu produzierenden Menge und der Länge des Planungs-zeitraums. Die Summe der Kostensätze für Umschlag und Transport Cut ist als „Rüstkosten-satz“ für die Durchführung eines Transports in ex

Bn anzusehen und stellt damit das Pendant zum Rüstkostensatz LCr für die Produktion eines Fertigungsloses durch den Lieferanten in ex

Ln dar. Während der Ausdruck für die Losauflagehäufigkeit exLn des Lieferanten nur

durch seine eigenen Parameter bestimmt wird (mit Ausnahme der Weiterverarbeitungsge-schwindigkeit V des Abnehmers in NL, die durch die Synchronisation mit der Absatzge-schwindigkeit jedoch auch kein eigener Produktionsparameter des Abnehmers ist), enthält der Ausdruck für die Bestellhäufigkeit ex

Bn des Abnehmers sowohl den Lagerkostensatz LCl als auch in NB die Produktionsgeschwindigkeit P des Lieferanten. Damit bildet ex

Bn letztlich die Kunden-Lieferanten-Beziehung in der reellwertigen Lösung formal ab.

Im folgenden muß noch geprüft werden, ob die Wurzelausdrücke für exLn und ex

Bn stets definiert sind, also ob die Terme unter den Quadratwurzeln keine negativen Werte annehmen, und ob die extremwertverdächtige Stelle ( ex

Ln , exBn ) auch tatsächlich ein lokales oder sogar

das gesuchte globale Kostenminimum repräsentiert.

Damit exLn stets definiert ist, muß gelten: 0

Cr2NLClTR

L

L ≥⋅

⋅⋅⋅

Ein Produkt nimmt insbesondere dann nichtnegative Zahlenwerte an, wenn alle seine Faktoren nichtnegativ sind. Dies ist erfüllt für ClL, CrL, R, T. Da NL für geschlossene und offene Produktionsweise unterschiedlich definiert ist, muß eine differenzierte Betrachtung erfolgen:

−

+=

oduktionProffenerbei,PV1

oduktionPrneressolhcsegbei,PV1

:NL

Da V und P größer null sind, gilt bei geschlossener Produktion stets NL > 0. Im Falle der offenen Produktion ergibt sich durch die Voraussetzung der ständigen Lieferfähigkeit ein Staulager zwischen Lieferant und Abnehmer (also P > V) bzw. gar kein Lager (bei P = V). Also gilt:

0PV11

PVVP ≥−⇔≤⇔≥

Damit ist gezeigt, daß jeder Faktor des betrachteten Produkts niemals negative Werte an-nimmt, demzufolge auch das Produkt insgesamt ein nichtnegatives Ergebnis liefert und somit

exLn für alle zulässigen Datenkonstellationen berechenbar ist.

Damit exBn stets definiert ist, muß gelten:

( )0

Cut2ClNBClTR LA ≥

⋅⋅−⋅⋅

16 4 Lösungsalgorithmus

Wieder ist zu prüfen, ob die Einzelfaktoren nichtnegativ sind. Dies ist gegeben für Cut, R und T. Hinsichtlich NB muß äquivalent zu NL eine differenzierte Betrachtung für geschlossene und offene Produktion erfolgen:

⋅−

=oduktionProffenerbei,

PV21

oduktionPrneressolhcsegbei,1:NB

Bei geschlossener Produktion muß gelten 0ClCl LA ≥− bzw. LA ClCl ≥ . Diese Forderung erscheint plausibel, weil Lagerkostensätze in der Regel nur zu einem kleinen Teil aus La-gerverwaltungskosten und zum größeren Teil aus Kapitalbindungskosten bestehen. Beim Ab-nehmer sind die Kapitalbindungskosten pro Stück und Zeiteinheit jedoch im allgemeinen hö-her als beim Lieferanten, weil letzterer in den Verkaufsstückpreis (welcher ein Bestandteil der Kapitalbindungskosten beim Abnehmer ist) einen Fixkostenanteil und einen Gewinnaufschlag einrechnet.

Im Falle der offenen Produktion muß folgende Ungleichung erfüllt sein:

LALA ClPV21Cl0Cl

PV21Cl ⋅

⋅−≥⇔≥⋅

⋅−−

Der Faktor vor ClL ist für die weitere Untersuchung bedeutend. Gilt P >> V, kann dieser Faktor näherungsweise gleich eins gesetzt werden. Dies ist gleichzeitig die für diesen Vor-faktor erreichbare obere Schranke, und es ergibt sich für diesen speziellen Fall:

LALALA ClClCl1ClVPClPV21Cl ≥⇒⋅≥⇒>>⇒⋅

⋅−≥

Die Plausibilität der Beziehung LA ClCl ≥ kann wie bei geschlossener Produktion begrün-det werden. Zur Vollständigkeit sei erwähnt, daß der Vorfaktor für P = V den Wert minus eins annimmt, was seiner unteren Grenze entspricht. Weiterhin wird der Faktor im Bereich

V2PV ⋅<≤ negativ, wodurch der rechte Teil der betrachteten Ungleichung negativ wird, während der linke Teil positiv bleibt (da sowohl ClA als auch ClL größer als null sind). Inner-halb des Bereichs V2PV ⋅<≤ ist die Ungleichung deshalb stets erfüllt, unabhängig davon, in welchem Größenverhältnis ClA und ClL zueinander stehen.

Unter der plausiblen Annahme LA ClCl ≥ ist exBn stets berechenbar, da durch diese Prämisse

der Term unter der Quadratwurzel nur nichtnegative Werte annehmen kann.

Zum Nachweis eines lokalen Minimums der Kostenfunktion an der Stelle ( exLn , ex

Bn ) sind die partiellen Ableitungen zweiten Grades der Kostenfunktion bezogen auf Ln und Bn zu bilden, und es ist zu überprüfen, ob gilt:

( ) ( ) ( ) 0n,nnn

Kn,nnKn,n

nK

2exB

exL

LB

T2

exB

exL2

B

T2

exB

exL2

L

T2

>

∂∂∂

−∂

∂⋅

∂

∂ und

( ) 0n,nn

K exB

exL2

L

T2

>∂

∂ ( )

>

∂

∂⇔ 0n,n

nK ex

BexL2

B

T2

4.1 Kostenminimum unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingungen 17

Nachweis des lokalen Kostenminimums bei ( exLn , ex

Bn ):

L3L

L3L

2L

T2

ClNLn

TRClNLn2

TR2n

K⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅

⋅⋅=

∂

∂

( )LA3B

A3B

L3B

2B

T2

ClNBCln

TRCln2

TR2ClNBn2

TR2

n

K⋅−⋅

⋅=⋅

⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅

⋅⋅−=

∂

∂

0nn

Knn

K

BL

T2

LB

T2

=∂∂

∂=

∂∂∂

( ) ( ) ( )2

exB

exL

LB

T2

exB

exL2

B

T2

exB

exL2

L

T2

n;nnn

Kn,nnKn,n

nK

∂∂∂

−∂

∂⋅

∂

∂

( ) ( )( ) 0ClNBCl

n

TRClNLn

TRLA3ex

BL3ex

L

−⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

( )( ) 3

LA

LA3

L

L

L

Cut2ClNBClTR

ClNBClTR

Cr2NLClTR

ClNLTR

⋅⋅−⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

( )Cut2

ClNBClTRCut2

Cr2NLClTR

Cr2

LA

L

L

L

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅=

0n

Cut2n

Cr2exB

exL

L >⋅

⋅⋅

=

(Ungleichung ist erfüllt, da jeder Faktor größer null ist.)

( )( ) L3ex

L

exL2

L

T2

ClNLn

TRnn

K⋅⋅

⋅=

∂

∂

L

L

L3

L

L

L

Cr2NLClTR

Cr2

Cr2NLClTR

ClNLTR

⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

0n

Cr2exL

L >⋅

= (Ungleichung ist erfüllt, da Faktor größer null ist.)

Damit ist erwiesen, daß die Kostenfunktion an der Stelle ( exLn , ex

Bn ) ihr einziges lokales Minimum besitzt.

Es gilt: L

LoptL Cr2

NLClTRn

⋅⋅⋅⋅

= ; ( )

Cut2ClNBClTRn LAopt

B ⋅⋅−⋅⋅

=


Zum Nachweis des globalen Minimums der Kostenfunktion an der Stelle ( optLn , opt

Bn ) ist zu zeigen, daß die Kostenfunktion innerhalb der Definitionsbereiche von Ln und Bn konvex verläuft. Besitzt die Kostenfunktion nur ein lokales Minimum und einen konvexen Verlauf, so ist das lokale gleichzeitig auch das globale Kostenminimum, da ausgehend vom lokalen Kostenminimum (einziger Punkt mit einer waagerechten Tangentialebene) die Kosten in alle Richtungen innerhalb der Definitionsbereiche ansteigen.

Nachweis des konvexen Verlaufs der Kostenfunktion für 0n,0n BL >> :

Eine mehrdimensionale Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre HESSE-Matrix H (Matrix der zweiten partiellen Ableitungen mit den „reinen“ Ableitungen nach nur einer Variablen auf der Hauptdiagonale) positiv semidefinit ist. Positiv semidefinit ist eine Matrix genau dann, wenn sie quadratisch ist, und es gilt:1

nnn

T x0xAx)x(Q ℜ∈∀≥⋅⋅= × mit x als Spaltenvektor

Konkret ist für die vorliegende zweidimensionale Kostenfunktion zu zeigen:

ℜ∈∀≥

⋅

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂

⋅=

⋅⋅ × y;x0

yx

n

Knn

K

nnK

n

K

)yx(yx

H)yx(

2B

T2

LB

T2

BL

T2

2L

T2

22

Zunächst werden die partiellen Ableitungen in den Ausdruck eingesetzt, und es wird verein-facht:

( )

⋅

⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅ × y

x

ClNBCln

TR0

0ClNLn

TR

)yx(yx

H)yx(LA3

B

L3L

22

( )

⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅

⋅=

yClNBCln

TRx0

y0xClNLn

TR

)yx(

LA3B

L3L

( )

⋅

⋅−⋅

⋅+⋅⋅+

⋅⋅+⋅

⋅⋅

⋅= 2

LA3B

2L3

LyClNBCl

nTRyx0yx0xClNL

nTR

( ) 2LA3

B

2L3

LyClNBCl

nTRxClNL

nTR

⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅=

1 Zur Konvexität mehrdimensionaler Funktionen vgl. RÅDE/WESTERGREN (1997), S. 366; zum Nachweis, daß

eine Matrix positiv semidefinit ist, vgl. ebenda, S. 100.

4.2 Ableitung des einfachen Ellipsenverfahrens 19

Es ist noch zu zeigen, daß der erhaltene Ausdruck nichtnegativ ist:

( ) 0yClNBCln

TRxClNLn

TR 2LA3

B

2L3

L≥⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅⋅

⋅

Eine Summe ist insbesondere dann nichtnegativ, wenn alle ihre Summanden nichtnegativ sind. Im folgenden werden die Summanden einzeln betrachtet:

0xClNLn

TR 2L3

L≥⋅

⋅⋅

⋅ ,

da R > 0, T > 0, 0n L > , NL > 0, 0ClL > , ℜ∈∀≥ x0x 2

( ) 0yClNBCln

TR 2LA3

B≥⋅

⋅−⋅

⋅ ,

da R > 0, T > 0, 0n B > , [ClA – NB LCl⋅ ] > 0 (denn annahmegemäß LA ClCl ≥ ), ℜ∈∀≥ y0y2

Damit ist gezeigt, daß beide Summanden und somit die Summe insgesamt niemals negativ werden. Daraus folgt, daß die HESSE-Matrix der Kostenfunktion positiv semidefinit ist. Dies bedeutet einen konvexen Verlauf der Kostenfunktion innerhalb der Definitionsbereiche

0n L > und 0nB > . Die Ausdrücke für optLn und opt

Bn führen folglich zum gesuchten globa-len Kostenminimum.

4.2 Ableitung des einfachen Ellipsenverfahrens

Da in den formalen Ausdrücken für optLn und opt

Bn die jeweils andere Variable nicht enthalten ist, sind die Optima völlig unabhängig voneinander. Dies bedeutet, daß man bei zusätzlicher Beachtung der Ganzzahligkeitsbedingungen (vorerst ohne die Bedingung LB nqn ⋅= ) unabhängig von der konkreten Höhe des ganzzahligen Wertes einer der beiden Variablen immer versuchen wird, mit dem jeweiligen anderen ganzzahligen Variablenwert so nah wie möglich bei dem entsprechenden reellwertigen Optimum zu bleiben.

Der konvexe Verlauf der Kostenfunktion bewirkt, daß ein Abweichen vom Optimum einer Variablen in positiver oder negativer Richtung stets zu einem Kostenanstieg führt. Mithin ist eine ganzzahlige Lösungskonstellation beider Variablen stets schlechter als eine andere, wenn beide Variablenwerte stärker in der gleichen Richtung vom Optimum abweichen als bei der Vergleichslösung.

Die Variablenwerte für Ln und Bn können jedoch nicht völlig frei durch Runden in mög-lichst nahe bei den reellen Werten von opt

Ln und optBn liegende ganze Zahlen überführt wer-

den, weil zusätzlich noch die Nebenbedingung eines ganzzahligen Verhältnisses q der beiden Losauflagehäufigkeiten zueinander einzuhalten ist. Da aber das Verhältnis opt

LoptB

opt n/nq =


im allgemeinen nicht ganzzahlig sein wird, muß auch diese Größe durch Runden in eine ganze Zahl überführt werden.

Daraus ergibt sich als triviales Lösungsverfahren zur Bestimmung der minimalen Kosten unter Einhaltung aller Ganzzahligkeitsbedingungen die vollständige Enumeration aller ganz-zahligen Ln und Bn , die „möglichst nahe“ bei opt

Ln und optBn liegen und zusätzlich in einem

ganzzahligen Verhältnis q zueinander stehen, welches sich wiederum „möglichst nahe“ bei optq befindet. Anschließend sind für alle gefundenen potentiellen kostenminimalen Konstel-

lationen von Ln und Bn die zugehörigen Kosten zu bestimmen, bevor durch Vergleich die Minimalkostenkonstellation identifiziert werden kann.

Eine Einschränkung des Suchraums ergibt sich nur aus der obengenannten Tatsache, daß eine neu gefundene ganzzahlige Kombination von Ln und Bn , bei der im Vergleich zu einem anderen bereits identifizierten zulässigen ( Ln , Bn )-Paar beide Variablenwerte in positiver bzw. negativer Richtung weiter von den Optimalwerten entfernt liegen, zwingend mit höheren Kosten verbunden ist als die betrachtete Vergleichslösung. Jedoch ist andererseits zu berück-sichtigen, daß die Verhältniszahl q sowohl durch Auf- als auch durch Abrunden von optq bestimmt werden kann und daß nicht nur die unmittelbaren ganzzahligen Nachbarn von optq in die Betrachtung mit einzubeziehen sind, da sonst das erreichbare Kostenminimum verfehlt werden könnte. Diese Vielzahl möglicher Ausprägungen von q dehnt den relevanten Lösungsraum wiederum aus.

Ausgangspunkt eines auf den beschriebenen Vorüberlegungen gründenden Suchverfahrens sind also die Werte opt

Ln , optBn und optq . Durch Runden und Einschränken des Suchraums

werden daraufhin zulässige Lösungskonstellationen entwickelt, die immer weiter von der reellwertigen Optimallösung entfernt liegen, was letztlich einem „Stochern im Nebel von innen nach außen“ entspricht. Ein derartiges Verfahren bricht ab, wenn auf der Basis der jeweiligen Kriterien zur Suchraumeinschränkung keine neuen zulässigen Lösungskonstella-tionen mehr gebildet werden können. Dasjenige zulässige ( Ln , Bn )-Paar aus der Menge der gefundenen potentiellen Lösungen, welches die geringsten Kosten verursacht, ist die gesuchte Lösung.1 Selbst wenn Kriterien gefunden werden, mit denen sich der Suchraum bei Anwen-dung des Algorithmus recht effizient einschränken läßt, führt dies bestenfalls dennoch nur zu einem „intelligenteren Stochern im Nebel von innen nach außen“, wobei die Ausdehnung des letztlich zu untersuchenden Lösungsraums nicht von vornherein bekannt ist.

Im Gegensatz zur skizzierten Lösungsidee soll im folgenden ein Verfahren entwickelt werden, das zwar ebenfalls von den Optimalwerten opt

Ln , optBn und optq ausgeht und durch

anschließendes Runden ganzzahlige Werte für Ln , Bn und q erzeugt, aber bereits mit der ersten zulässigen Lösung den relevanten Suchraum eingrenzt. Dieser wird durch Intervalle beschrieben, in denen die alle Ganzzahligkeitsbedingungen erfüllenden kostenminimierenden Losauflagehäufigkeiten Ln und Bn liegen müssen. Nur innerhalb dieses Lösungsraums muß nachfolgend systematisch nach besseren Lösungen gesucht werden.

Das im folgenden herzuleitende Verfahren basiert auf der Grundidee, das Funktionsgebirge der Kostenfunktion in einer ganz bestimmten Höhe (Isokostenebene), determiniert durch ge-

1 Ein derartiges Verfahren nutzt MÜLLER (2000), S. 320 ff. zur Ermittlung kostenminimaler ganzzahliger Pro-

duktionslosauflage- und Transporthäufigkeiten.


rundete, zulässige Ln - und Bn -Werte, „durchzuschneiden“ und bei der weiteren Lösungs-suche nur noch solche zulässigen Ln und Bn zu betrachten, die innerhalb der entstehenden Schnittfigur (ringförmige Isokostenlinie) liegen. Bedingt durch den konvexen Verlauf der Ko-stenfunktion stellt das zugehörige Funktionsgebirge einen nach unten geschlossenen und sich nach oben hin öffnenden Trichter dar. Dadurch verursachen alle ( Ln , Bn )-Paare, die sich innerhalb des durch eine Isokostenebene gebildeten Isokostenrings befinden, geringere Kosten als dasjenige ( Ln , Bn )-Paar, das zur Bestimmung des Isokostenrings verwandt wurde. Deshalb ist es sinnvoll, nur innerhalb des so abgegrenzten Gebiets nach weiteren potentiellen Lösungen zu suchen. Damit verändert sich die oben als „Stochern im Nebel von innen nach außen“ bezeichnete Vorgehensweise hin zu einer Lösungssuche von außen nach innen innerhalb eines fest eingegrenzten Gebiets des Lösungsraums. Innerhalb des eingegrenzten Lösungsraums kann ganz gezielt nach einer möglichst nah an der reellwertigen Optimallösung liegenden zulässigen Lösung gesucht werden, die mit niedrigeren Kosten als die Anfangslösung verbunden ist und eine neue Isokostenebene für die folgende Lösungsfindung vorgibt.

Die Herleitung des Verfahrens geht von der Funktion der entscheidungsrelevanten Kosten aus:

( ) ( ) BLAB

LL

LLBLT nCutClNBCln2TRClNL

n2TRnCrn,nK ⋅+⋅−⋅

⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

+⋅=

Ausklammern von Ln/1 bzw. Bn/1 :

( ) ( )

⋅+⋅−⋅

⋅⋅+

⋅⋅

⋅+⋅⋅= 2

BLAB

L2LL

LBLT nCutClNBCl

2TR

n1ClNL

2TRnCr

n1n,nK

Vergleich der nicht von Ln bzw. Bn abhängigen Summanden in den Klammern mit optLn

bzw. optBn :

( )2optLL

2

L

LLL nCr

Cr2NLClTRCrClNL

2TR

⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

( ) ( ) ( )2optB

2LA

LA nCutCut2

ClNBClTRCutClNBCl2

TR⋅=

⋅⋅−⋅⋅

⋅=⋅−⋅⋅

Substituieren des jeweiligen Summanden durch den von optLn bzw. opt

Bn abhängigen Ausdruck:

( ) ( ) ( )

⋅+⋅⋅+

⋅+⋅⋅=

2optB

2B

B

2optLL

2LL

LBLT nCutnCut

n1nCrnCr

n1n,nK

An diesem Ausdruck wird die Symmetrie des betrachteten Problems hinsichtlich der Produk-tionslosauflage- und der Bestellhäufigkeit erkennbar. Insbesondere im reellwertigen Kosten-minimum (also opt

LL nn = und optBB nn = ) ergibt sich aus obiger Beziehung eine ganz ein-

fache Berechnungsvorschrift für die in einer konkreten Situation minimalen Kosten:


( ) ( ) ( )optB

optLL

2optBopt

B

2optLLopt

L

minT nCutnCr2nCut2

n

1nCr2n

1K ⋅+⋅⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

Ausklammern der Kostensätze in der allgemeinen Formel für ( )BLT n,nK :

( ) ( ) ( )

+⋅+

+⋅=

2optB

2B

B

2optL

2L

L

LBLT nn

nCutnn

nCr

n,nK

Anwendung einer binomischen Formel und quadratische Ergänzung:

( ) ( ) ( )

⋅⋅+−⋅+

⋅⋅+−⋅= opt

BB2opt

BBB

optLL

2optLL

L

LBLT nn2nn

nCutnn2nn

nCr

n,nK

( ) ( )

⋅+

−⋅+

⋅+

−⋅= opt

BB

2optBBopt

LL

2optLL

L n2n

nnCutn2

nnn

Cr

Ausmultiplizieren und Umsortieren:

( ) ( ) ( ) optB

optLL

B

2optBB

L

2optLL

LBLT n2Cutn2Crn

nnCut

nnn

Crn,nK ⋅⋅+⋅⋅+−

⋅+−

⋅=

Substituieren der letzten beiden Summanden durch minTK :

( ) ( ) ( ) minT

B

2optBB

L

2optLL

LBLT Kn

nnCut

nnn

Crn,nK +−

⋅+−

⋅=

Der erhaltene Ausdruck der Kostenfunktion kann durch Umstellen leicht in die Koordinaten-gleichung einer Ellipse überführt werden. Bevor dies geschieht, soll kurz generell auf eine solche Ellipsengleichung eingegangen werden. Die allgemeine Form der Koordinatenglei-chung einer Ellipse mit parallel zu den Koordinatenachsen verlaufenden Ellipsenachsen lautet wie folgt:1

( ) ( )2

20

2

20

b

yy

a

xx1

−+

−=

Der Mittelpunkt der durch die Gleichung beschriebenen Ellipse befindet sich bei ( 00 y,x ). Die Parameter a und b repräsentieren die halbe Länge von Haupt- und Nebenachse der Ellipse. Beide erwähnten Achsen verlaufen durch den Mittelpunkt der Ellipse und stehen senkrecht aufeinander. Die längere der beiden Achsen wird als Hauptachse (sie verbindet die beiden am weitesten voneinander entfernt gegenüberliegenden Punkte der Ellipse miteinander) und die kürzere als Nebenachse (sie verbindet die beiden einander am nächsten

1 Zur Koordinatengleichung einer Ellipse und deren Interpretation vgl. bspw. BOSCH (1998), S. 222.


gegenüberliegenden Punkte der Ellipse miteinander) bezeichnet. Variabel in der Gleichung sind x und y.

Umformung der Kostenfunktion zur Koordinatengleichung einer Ellipse:

( ) ( )B

2optBB

L

2optLL

LminTT n

nnCut

nnn

CrKK−

⋅+−

⋅=−

( ) ( )Cutn

nn

Crn

nnKK

B

2optBB

L

L

2optLLmin

TT−

+−

=−

( )

( )( )

( )minTT

B

2optBB

minTT

L

L

2optLL

KKCutn

nn

KKCrn

nn1

−⋅

−+

−⋅

−=

Die hergeleitete Gleichung entspricht in ihrer Struktur der formalen Darstellung der Koordi-natengleichung einer Ellipse mit parallel zu den Koordinatenachsen verlaufenden Ellipsenachsen. Den Mittelpunkt der Ellipse stellt das Kostenminimum bei opt

Ln und optBn dar. Die Variablen zur Bestimmung der Ellipse sind Ln und Bn . Die

Variablenwerte werden so variiert, daß TK konstant bleibt, was der Fixierung des Höhenniveaus des Funktionsgebirges entspricht. Als quadrierte Ellipsenparameter a und b sind die Nenner der beiden Brüche aufzufassen:

( )minTT

L

L2 KKCrna −⋅= → ( )min

TTL

L KKCrn

a −⋅=

( )minTT

B2 KKCutnb −⋅= → ( )min

TTB KK

Cutnb −⋅=

Unter Zuhilfenahme dieser Ellipsengleichung kann ein generelles Vorgehen zur Ermittlung der minimalen Gesamtkosten unter den verlangten Ganzzahligkeitsbedingungen entwickelt werden, das sich aus mehreren Lösungsschritten zusammensetzt:

1. Berechnung von optLn , opt

Bn und optq sowie der zugehörigen Kosten minTK

2. Runden von optLn und optq auf ganze Zahlen nach den Rundungsregeln, Ermittlung des

zugehörigen ganzzahligen Bn -Wertes mittels der Beziehung rundrundL

ganzB qnn ⋅= und

Berechnung der entstehenden Kosten rundTK

3. Berechnung der Ellipsenparameter a und b mit den Werten rundLn , ganz

Bn und rundTK


4. Die hergeleitete Ellipsengleichung beschreibt unter Verwendung der ermittelten Parameter a und b eine Ellipse mit dem Mittelpunkt ( opt

Ln , optBn ), die durch den Punkt ( rund

Ln , ganzBn ) auf dem konstanten Niveau rund

TK des Funktionsgebirges verläuft. Jene die Ganz-zahligkeitsbedingungen erfüllenden ( Ln , Bn )-Tupel, die im Inneren der Ellipse liegen, lassen geringere resultierende Kosten erwarten. Die Ermittlung aller innerhalb der Ellipse liegenden zulässigen ( Ln , Bn )-Tupel mit Hilfe der Ellipsengleichung ist jedoch analy-tisch aufwendig; darum wird an dieser Stelle auf eine Vereinfachung zurückgegriffen. Da die Ellipse parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, werden tangential an die Ellipse zu den Koordinatenachsen parallele Geraden so angelegt, daß das durch die Gera-den gebildete Rechteck die Ellipse gerade einschließt. Die Geraden tangieren die Ellipse nur in den Punkten, in denen auch die Haupt- und Nebenachse den Ellipsenrand berühren. Somit erfolgt eine Approximation der Ellipse durch ein Rechteck um den Mittelpunkt. Analytisch bedeutet diese Rechteckapproximation eine Intervallbildung um den Ellipsen-mittelpunkt mit Hilfe der Längen der Halbachsen a und b:

[ an;an optL

optL +− ], [ bn;bn opt

BoptB +− ]

Durch diese analytische Vereinfachung wird der Suchraum für zulässige ( Ln , Bn )-Tupel jedoch wieder erweitert, und es kann nicht davon ausgegangen werden, daß alle innerhalb des Rechtecks liegenden, die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllenden ( Ln , Bn )-Paare auch tatsächlich geringere Kosten als die zur Ellipsenbildung herangezogene zulässige Lösung verursachen. Dieser Tatsache muß im nächsten Verfahrensschritt Rechnung getragen werden.

5. Alle ganzen Zahlen innerhalb der beiden im vierten Schritt ermittelten geschlossenen Intervalle sind potentielle Werte entweder für Ln oder für Bn , wenn sie in einem ganz-zahligen Verhältnis LB n/nq = zueinander stehen. Beginnend mit dem entgegen den Rundungsregeln auf eine ganze Zahl gerundeten opt

Ln -Wert wird geprüft, ob durch Multi-plikation mit ganzen Zahlen Werte berechnet werden können, die im Intervall von Bn liegen. Können solche Bn -Werte gefunden werden, sind die zum entsprechenden ( Ln , Bn )-Tupel gehörenden Kosten TK zu ermitteln, und es ist zu prüfen, ob diese Kosten geringer sind als die Kosten rund

TK , die aus rundLn und ganz

Bn berechnet wurden.

Gilt rundTT KK > , wird das ( Ln , Bn )-Paar als lösungsirrelevant verworfen, und es ist der

optLn nächstliegende, noch unberücksichtigte ganzzahlige Ln -Wert in äquivalenter Art

und Weise zu betrachten. Mithin ergibt sich bei wiederholtem Ablehnen der gefundenen ( Ln , Bn )-Paare ein um opt

Ln alternierendes und sich dabei gleichzeitig von optLn entfer-

nendes Suchverfahren. Dieses Vorgehen innerhalb des Suchraums ist vorteilhaft, weil, be-dingt durch den konvexen Verlauf der Kostenfunktion, mit zunehmender Entfernung von

optLn die Kosten ansteigen, also gerade die ganzzahligen Ln -Werte nahe opt

Ln geringere Kosten versprechen. Allerdings ist zu bedenken, daß die aus der relativen Nähe zu opt

Ln resultierenden niedrigen Kosten bei ungünstigem ganzzahligem Verhältnis von Bn zu

Ln durch entsprechend höhere Kosten durch große Entfernung zu optBn überkompensiert

werden können.

Gilt jedoch rundTT KK ≤ , wird mit der gefundenen ( Ln , Bn , TK )-Kombination eine

neue Ellipse gebildet, die sich durch kleinere Ellipsenhalbachsen a und b auszeichnet und somit den Suchraum weiter eingrenzt. Eine fortgesetzte Suche von zulässigen Lösungen

4.3 Modifikation des einfachen Ellipsenverfahrens zum korrigierten Ellipsenverfahren 25

innerhalb der größeren Ellipse, genauer innerhalb des daraus gebildeten Rechtecks, ist nicht zweckmäßig, denn es können noch viele unberücksichtigte ganzzahlige Ln -Werte innerhalb des alten, aber außerhalb des neu zu bildenden kleineren Rechtecks liegen, die jedoch als potentielle Lösungen nicht mehr in Betracht kommen. Mit den neu zu berech-nenden a und b wird wieder eine Rechteckapproximation durch Intervallbildung vorge-nommen. Das alternierend sich von opt

Ln entfernende Verfahren wird innerhalb des neuen Ln -Intervalls an der Stelle fortgesetzt, an der es vor der erneuten Ellipsenbildung unterbrochen wurde, und Schritt fünf wiederholt sich. Die Verfahrensschleife bricht ab, wenn innerhalb der abgegrenzten Intervalle keine weiteren ( Ln , Bn )-Paare als potentielle Lösungen identifiziert werden können. Das bis dahin ermittelte ganzzahlige ( Ln , Bn )-Tupel mit den geringsten zugehörigen Kosten TK ist im Sinne dieses „einfachen“ Ellip-senverfahrens die gesuchte Lösung des Kunden-Lieferanten-Problems.

4.3 Modifikation des einfachen Ellipsenverfahrens zum korrigierten Ellipsenverfahren

Das im vorhergehenden Unterkapitel entwickelte Ellipsenverfahren basiert auf einer sukzessi-ven Verkleinerung des Suchbereichs für potentielle Lösungen. Dadurch, daß die erste zuläs-sige Lösung in unmittelbarer Nähe zur von den geforderten Ganzzahligkeitsbedingungen abstrahierenden und daher in der Regel reellwertigen, unzulässigen Optimallösung gesucht wird, kann der Lösungsraum schon beim erstmaligen Verfahrensdurchlauf im vierten Lösungsschritt sehr stark eingeschränkt werden. Dabei wird erwartungsgemäß nur eine begrenzte Zahl möglicher Lösungskonstellationen innerhalb der auf der Basis der Ellipsen-parameter a und b gebildeten Suchintervalle liegen.

Jedoch vernachlässigt der Lösungsalgorithmus bei der Rechteckapproximation eine wesent-liche Eigenschaft der abgeleiteten Ellipsengleichung, wodurch das Verfahren mit einem Feh-ler behaftet ist, der dazu führen kann, daß die alle Ganzzahligkeitsbedingungen erfüllende kostenminimale Lösung nicht gefunden wird. Der Fehler besteht darin, daß die Ellipsenpara-meter a und b als Konstanten aufgefaßt werden, die mit Hilfe eines zulässigen ( rund

Ln , ganzBn )-Tupels berechnet werden. Bei der anschließenden Intervallbildung um den Mittel-

punkt ( optLn , opt

Bn ) wird davon ausgegangen, daß a und b für die gesamte Ellipse konstant, also unabhängig von den Variablen Ln und Bn sind. Aber im Zähler von a steht Ln , und im Zähler von b befindet sich Bn . Dies hat zur Konsequenz, daß für alle ( Ln , Bn )-Tupel, die auf derselben Schnittfigur (Isokostenring) des Funktionsgebirges in einer bestimmten Kosten-höhe liegen, andere (a, b)-Kombinationen gehören. Anders ausgedrückt beschreibt die aus der Kostenfunktion abgeleitete Ellipsengleichung keine ideale, gleichförmige Ellipse; vielmehr besitzt sie graphisch betrachtet eine unregelmäßige, nur an eine Ellipse erinnernde Gestalt.

Je enger die ermittelte Ellipse um den Mittelpunkt verläuft (also je näher das ( rundLn , ganz

Bn )-Tupel beim Mittelpunkt ( opt

Ln , optBn ) liegt), desto geringer ist der mit dem Verfahren verur-

sachte Fehler, weil sich der tatsächliche Isokostenring mit zunehmender Nähe zum absoluten Kostenminimum einer idealen Ellipsengestalt annähert. Dann reichen zur Beschreibung des Isokostenrings kleinere Zahlenbereiche aus, innerhalb derer Ln und Bn schwanken können, und auch die Schwankungsbreiten der zugehörigen Ellipsenparameter a und b schrumpfen. Dies führt zu einer Verringerung des verfahrensbedingten absoluten Fehlers, der sich daraus


ergibt, daß a und b nur aus dem ( rundLn , ganz

Bn )-Tupel berechnet und anschließend als kon-stant angenommen werden.

Das im vorhergehenden Unterkapitel hergeleitete einfache Verfahren soll daher im folgenden als unkorrigiertes Ellipsenverfahren bezeichnet werden. Die Idealisierung des Isokosten-schnitts durch das Funktionsgebirge zu einer gleichmäßigen Ellipse kann bewirken, daß das gesuchte ganzzahlige und gleichzeitig kostenminimale ( Ln , Bn )-Tupel zwar innerhalb des tatsächlichen Isokostenrings, aber außerhalb des eingeschränkten ellipsenförmigen Suchraums liegt. Somit besteht die Möglichkeit, daß durch das Verfahren die optimale Lösung verfehlt wird. Das unkorrigierte Ellipsenverfahren ist daher nur als eine einfache Heuristik anzusehen, die allerdings recht gute Ergebnisse erwarten läßt, weil bereits der erste Lösungsschritt eine Ellipse erzeugt, die nah am Mittelpunkt ( opt

Ln , optBn ) liegt und dadurch

dem tatsächlichen Isokostenring des entsprechenden Kostenniveaus annähernd entspricht.

Im folgenden wird das unkorrigierte, fehlerbehaftete zu einem korrigierten und damit exakten Ellipsenverfahren weiterentwickelt. Das schrittweise Vorgehen als solches mit seinem reell-wertigen Ausgangspunkt ( opt

Ln , optBn ) und der davon abgeleiteten Ermittlung von rund

Ln und ganzBn kann beibehalten werden. Jedoch ist der Fehler bei der analytischen Behandlung der

Ellipsenhalbachsen a und b sowie der darauf aufbauenden Rechteckapproximation zu be-seitigen. Die mathematisch exakte Analyse der Ellipsengleichung entspricht der analytischen Ermittlung der formalen, expliziten Funktionen (im Gegensatz zur bisher genutzten impliziten Ellipsengleichung) des Isokostenrings. Für diese expliziten Funktionen gibt es zwei mögliche Darstellungsformen: Entweder wird Ln als Funktion von Bn oder Bn als Funktion von Ln bei jeweils konstantem Kostenniveau TK aufgefaßt und anschließend die hergeleitete Ellip-sengleichung nach der jeweils abhängigen Variablen umgestellt. Eine Ellipsengleichung stellt ähnlich wie eine Kreisgleichung keine mathematische Funktion im Sinne einer eindeutigen Abbildung dar, denn jedem Urbild (Ausprägung der unabhängigen Variablen) werden zwei Bilder (Ausprägungen der abhängigen Variablen) zugeordnet. Durch die Umstellung wird die Ellipsengleichung in zwei Funktionen vom Typ )n(fn BL = oder in zwei Funktionen vom Typ )n(fn LB = aufgeteilt, wobei die beiden Funktionen eines Abhängigkeitstyps den oberen und unteren Teil des Isokostenrings, geteilt durch eine durch den Mittelpunkt ( opt

Ln , optBn ) verlaufende waagerechte Trennachse, beschreiben.

Mit Hilfe dieser vier Funktionen (zwei Funktionen je Abhängigkeitstyp) können unter Beibe-haltung des jeweiligen Kostenniveaus die Minimal- und Maximalausdehnungen des tatsäch-lichen, unregelmäßigen Isokostenrings ermittelt werden, indem für jede dieser Funktionen eine Extremwertbetrachtung vorgenommen wird. Zu erwarten sind als Extrema der vier Funktionen zwei Minima (zu den unteren Isokostenringabschnitten) und zwei Maxima (zu den oberen Isokostenringabschnitten). Mit den Minima und Maxima ist der Isokostenring mittels Bildung von Zulässigkeitsintervallen für Ln und Bn durch ein Rechteck zu approxi-mieren (entspricht der Rechteckapproximation mit a und b beim unkorrigierten Ellipsenver-fahren). Dieses Rechteck kann zur Begrenzung des Suchbereichs für die analog zum unkorri-gierten Ellipsenverfahren weiter durchzuführenden Untersuchungen genutzt werden. Diese allgemeine, mathematisch exakte Lösungsfindung ist dem Anhang beigefügt und führt zu dem gleichen Ergebnis, wie ein viel einfacherer Lösungsweg, der im folgenden verfolgt werden soll.


Aus der hergeleiteten Ellipsengleichung wurden im vorhergehenden Unterkapitel als charakteristische Ellipsengrößen der Mittelpunkt ( opt

Ln , optBn ) und die Ellipsenhalbachsen a

und b ermittelt. Zur Rechteckapproximation wurden weiterhin die Intervalle [ an,an opt

LoptL +− ] und [ bn,bn opt

BoptB +− ] gebildet. Da a von Ln und b von Bn abhängt,

sind diese Intervalle für alle Wertepaare ( Ln , Bn ) ermittelbar, die den tatsächlichen Isokostenring als Schnittfigur des Funktionsgebirges der Kostenfunktion bilden. Für jedes Wertepaar ( Ln , Bn ) ergibt sich ein spezielles Intervallpaar für Ln und Bn , weil jeweils spezifische a und b in die Berechnung einfließen.

Allgemein gilt, daß bei jeder Ellipsengleichung die Ellipsenachsen durch den Ellipsenmittel-punkt verlaufen und somit die Ellipsenhalbachsen a und b den Mittelpunkt mit den Maximal- und Minimalpunkten der Ellipse verbinden. Diese Extrempunkte der Ellipse werden durch die Wertepaare ( )n(an min

LoptL − , opt

Bn ), ( )n(an maxL

optL + , opt

Bn ) in Ln -Richtung und ( )n(bn min

BoptB − , opt

Ln ), ( )n(bn maxB

optB + , opt

Ln ) in Bn -Richtung charakterisiert. Damit kön-nen folgende Gleichungen für die Extremstellen des Isokostenrings aufgestellt werden:

( )minTT

L

minLopt

LminL

optL

minL KK

Crnn)n(ann −⋅−=−=

( )minTT

L

maxLopt

LmaxL

optL

maxL KK

Crnn)n(ann −⋅+=+=

( )minTT

minBopt

BminB

optB

minB KK

Cutnn)n(bnn −⋅−=−=

( )minTT

maxBopt

BmaxB

optB

maxB KK

Cutnn)n(bnn −⋅+=+=

Durch Umstellen jeder Gleichung nach extXn mit { }B,LX∈ und { }maxmin,ext∈ werden

die exakten Intervalle [ maxL

minL n,n ] und [ max

BminB n,n ] ermittelt, um das

Suchbereichsrechteck abzugrenzen.

Umstellung nach minLn :

( )minTT

L

minLopt

LminL

optL

minL KK

Crnn)n(ann −⋅−=−=

optL

L

minTTmin

LminL n

CrKK

nn0 −−

⋅+= (quadratische Gleichung für minLn )

optL

L

minTT

L

minTTmin

L nCr

KK41

CrKK

21n

2/1+

−⋅±

−⋅−=


(Lösung mit negativem Vorzeichen vor dem hinteren Wurzelausdruck braucht nicht weiter untersucht zu werden, weil in diesem Fall Wurzel min

Ln negativ sein müßte, was aber nicht möglich ist!)

optL

L

minTT

L

minTTmin

L nCr

KK41

CrKK

21n +

−⋅+

−⋅−=

L

minTTopt

LL

minTTopt

LL

minTT

L

minTTmin

L CrKKn

CrKK

41

22n

CrKK

41

CrKK

41n −

⋅+−

⋅⋅−+−

⋅+−

⋅=

L

minTTopt

LL

minTT

L

minTTopt

LminL Cr2

KKn2

Cr2KK

Cr2KK

nn⋅−

⋅⋅+⋅−

−⋅−

+=

L

minTTopt

LL

minTT

L

minTTopt

LminL Cr2

KKn2Cr2KK

Cr2KKnn

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

−⋅−

+=

Analog zu obiger Herleitung können die Bestimmungsgleichungen für maxLn , min

Bn und maxBn ermittelt werden, und es ergeben sich die vier Ausdrücke:

L

minTTopt

LL

minTT

L

minTTopt

LminL Cr2

KKn2Cr2KK

Cr2KKnn

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

−⋅−

+=

L

minTTopt

LL

minTT

L

minTTopt

LmaxL Cr2

KKn2

Cr2KK

Cr2KK

nn⋅−

⋅

⋅+

⋅−

+⋅−

+=

Cut2KK

n2Cut2KK

Cut2KK

nnminTTopt

B

minTT

minTTopt

BminB ⋅

−⋅

⋅+

⋅−

−⋅−

+=

Cut2KK

n2Cut2KK

Cut2KK

nnminTTopt

B

minTT

minTTopt

BmaxB ⋅

−⋅

⋅+

⋅−

+⋅−

+=

Der zu optLn bzw. opt

Bn addierte in allen Fällen identische positive Quotient in den formalen Darstellungen der Extremwerte min

Ln und maxLn bzw. min

Bn und maxBn zeigt, daß sich der

Mittelpunkt der Schnittfigur des Kostengebirges mit zunehmender Höhe des Kostenniveaus TK vom Punkt ( opt

Ln , optBn ) hin zu größeren Ln - und Bn -Werten verschiebt. Dabei ist zu

beachten, daß die Verbindungsgeraden der Extrempunkte, also die Ellipsenachsen, nach wie vor durch den Ellipsenmittelpunkt ( opt

Ln , optBn ) verlaufen. Die Wurzelterme der vier Aus-

drücke repräsentieren die „korrigierten Halbachsen“ a und b für den unsymmetrischen Iso-kostenring. Um das korrigierte Ellipsenverfahren äquivalent zum unkorrigierten Verfahren darstellen zu können, wird definiert:


L

minTTopt

LMitteL Cr2

KKn:n⋅−

+= , L

minTTopt

LL

minTT

Cr2KKn2

Cr2KK:a

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

=

Cut2KKn:n

minTTopt

BMitteB ⋅

−+= ,

Cut2KKn2

Cut2KK:b

minTTopt

B

minTT

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

=

Unter Verwendung dieser neuen Größen wird die im vierten Schritt des unkorrigierten Ellip-senverfahrens vorgenommene Rechteckapproximation modifiziert. Der tatsächliche, unsymmetrische Isokostenring wird mittels der Intervalle [ an,an Mitte

LMitteL +− ] und

[ bn,bn MitteB

MitteB +− ] durch ein Suchbereichsrechteck approximiert, welches den Isokosten-

ring gerade einschließt.

Das korrigierte Ellipsenverfahren läßt sich durch Übertragung der fünf Schritte des unkorri-gierten Ellipsenverfahrens folgendermaßen darstellen:


Bn und optq sowie der zughörigen Kosten minTK

2. Runden von optLn und optq auf ganze Zahlen nach den Rundungsregeln, Ermittlung des

zugehörigen ganzzahligen Bn -Wertes mittels der Beziehung rundrundL

ganzB qnn ⋅= und

Berechnung der entstehenden Kosten rundTK

3. Berechnung der Parameter MitteLn , Mitte

Bn , a und b mit dem Wert rundTK

4. Rechteckapproximation des Isokostenrings als Suchraum für bessere Lösungen mit Hilfe der Intervalle [ an;an Mitte

LMitteL +− ], [ bn;bn Mitte

BMitteB +− ]

5. Beginnend mit dem entgegen den Rundungsregeln auf eine ganze Zahl gerundeten optLn -

Wert wird geprüft, ob durch Multiplikation mit ganzen Zahlen Werte berechnet werden können, die im Intervall von Bn liegen. Können solche Bn -Werte gefunden werden, sind die zum entsprechenden ( Ln , Bn )-Tupel gehörenden Kosten TK zu ermitteln, und es ist zu prüfen, ob diese Kosten geringer sind als die Kosten rund

TK , die aus rundLn und ganz

Bn berechnet wurden.

Gilt rundTT KK > , wird das ( Ln , Bn )-Paar als lösungsirrelevant verworfen, und es ist der

optLn nächstliegende, noch unberücksichtigte ganzzahlige Ln -Wert in äquivalenter Art

und Weise zu betrachten. Auch hier ergibt sich bei wiederholtem Ablehnen der gefunde-nen ( Ln , Bn )-Paare ein um opt

Ln alternierendes und sich dabei gleichzeitig von optLn

entfernendes Suchverfahren.

Gilt jedoch rundTT KK ≤ , wird mit der gefundenen ( Ln , Bn , TK )-Kombination ein

neuer Isokostenring gebildet, der sich durch kleinere Halbachsen a und b auszeichnet und somit den Suchraum weiter eingrenzt. Eine fortgesetzte Suche von zulässigen Lösungen innerhalb des größeren Isokostenrings, genauer innerhalb des daraus gebildeten Rechtecks, ist nicht zweckmäßig, denn es können noch viele unberücksichtigte ganzzahlige Ln -Werte innerhalb des alten und außerhalb des neu zu bildenden kleineren Rechtecks liegen, die jedoch als potentielle Lösungen nicht mehr in Betracht kommen. Mit den neu zu berechnenden a , b , Mitte

Ln und MitteBn wird wieder eine


Rechteckapproximation durch Intervallbildung vorgenommen. Das alternierend sich von opt

Ln entfernende Verfahren wird innerhalb des neuen Ln -Intervalls an der Stelle fortgesetzt, an der es vor der erneuten Rechteckbildung unterbrochen wurde, und Schritt fünf wiederholt sich. Die Verfahrensschleife bricht ab, wenn innerhalb der abgegrenzten Intervalle keine ( Ln , Bn )-Paare mehr als potentielle Lösungen identifiziert werden können. Das bis dahin ermittelte ( Ln , Bn )-Tupel mit den geringsten zugehörigen Kosten TK ist die gesuchte kostenminimale Lösung des Zulieferer-Abnehmer-Problems.

4.4 Kombination von einfachem und korrigiertem Ellipsenverfahren zum zweistufigen Ellipsenverfahren

Das korrigierte, exakte Ellipsenverfahren unterscheidet sich vom einfachen, unkorrigierten Ellipsenverfahren nur durch die Verwendung anderer Formeln zur Eingrenzung des Such-raums. Die fünf Lösungsschritte sind indes identisch. Da die mathematischen Ausdrücke des exakten Verfahrens im Vergleich zur einfachen Heuristik einen höheren Rechenaufwand erfordern, insbesondere muß der Mittelpunkt bei jeder neuen Rechteckapproximation neu berechnet werden, ist es naheliegend, beide Verfahren zu einem zweistufigen Lösungsalgo-rithmus zu verbinden. Solch ein kombiniertes Vorgehen nutzt in einer ersten Stufe den heuri-stischen Ansatz, um den Suchraum so weit einzuschränken, bis die im Sinne der Heuristik ko-stengünstigste Lösung gefunden ist. In der zweiten Stufe wird das Ergebnis mit dem exakten Ellipsenverfahren überprüft und die gefundene Lösung entweder bestätigt oder verworfen und das tatsächliche Kostenminimum ermittelt. Ein solches Vorgehen hat im Vergleich zur aus-schließlichen Nutzung des korrigierten Ellipsenverfahrens den Vorteil, daß durch die Ellip-senheuristik bereits der Suchraum sehr effizient eingeschränkt wird und die exakten, aber komplizierteren Formeln des korrigierten Verfahrens nur in einem sehr begrenzten Suchraum Verwendung finden müssen.

4.5 Veranschaulichung des zweistufigen Ellipsenverfahrens an Hand eines Beispiels

4.5.1 Beispieldaten des Zulieferer-Abnehmer-Segments

Das illustrierende Beispiel geht von einem Planungshorizont T von 100 ZE (ZE = Zeitein-heit(en)) aus. Der Lieferant stellt bei produktionssynchronisierter Anlieferung der Rohstoffe in offener Fertigung mit Staulager die Vorprodukte mit einer Geschwindigkeit P von 250 ME je ZE her (ME = Mengeneinheit(en)). Sein Rüstkostensatz LCr je Rüstvorgang beträgt 700 GE (GE = Geldeinheit(en)), und sein Ausgangslagerkostensatz LCl beläuft sich auf 1 GE je ME und ZE. Die Kosten Cut für eine Lieferung inklusive der bewerteten Umschlagleistungen bei Lieferant und Abnehmer summieren sich zu 800 GE. Der Eingangslagerkostensatz des weiterverarbeitenden Abnehmers ACl beträgt 4 GE je ME und ZE. Er produziert absatzsynchron mit der Geschwindigkeit V von 200 ME je ZE, wobei jedes fertiggestellte Produkt sofort zur Weiterleitung an einen Kunden bereitsteht.

4.5 Veranschaulichung des zweistufigen Ellipsenverfahrens an Hand eines Beispiels 31

Gesucht wird die kostenminimale Dimensionierung der Produktions- und Transportlose bei Ganzzahligkeit der Losauflage-, Bestell- und damit Transporthäufigkeit sowie des Verhält-nisses der Häufigkeiten im Planungszeitraum.

Zur Lösung des Problems kann das Ellipsenverfahren in seiner Kombination aus Heuristik und exaktem Verfahren angewandt werden, da alle Einsatzvoraussetzungen erfüllt sind. Die Beispielsituation entspricht in ihrer Struktur dem beim Ellipsenverfahren zugrunde gelegten Modell. Insbesondere gilt auch LA ClCl > , obwohl der Lieferant offen produziert und die Bedingung V2PV ⋅<< erfüllt ist, so daß die Restriktion LA ClCl ≥ nicht zwingend zur Lösungsfindung erfüllt sein muß.

4.5.2 Optimierung mit dem zweistufigen Ellipsenverfahren

Stufe 1: Anwendung des unkorrigierten Ellipsenverfahrens

Die Ermittlung der die Ganzzahligkeitsbedingungen erfüllenden und vermeintlich kostenminimalen Produktionslosauflage- und Bestellhäufigkeit erfolgt in den genannten fünf Schritten.


Bn und optq sowie der zugehörigen Kosten minTK :

90308509,167002

25020011100200100

Cr2NLClTRn

L

LoptL =

⋅

−⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

( )82875444,75

8002

1250

200214100200100

Cut2ClNBClTRn LAopt

B =⋅

⋅

⋅−−⋅⋅⋅

=⋅

⋅−⋅⋅=

486089612,490308509,1682875444,75

n

nq opt

L

optBopt ===

( ) ( ) GE3262,990.14482875444,7580090308509,167002nCutnCr2K optB

optLL

minT =⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

2. Runden von opt

Ln und optq auf ganze Zahlen, Berechnung von ganzBn und rund

TK :

17n rundL = 4qrund = 68417qnn rundrund

LganzB =⋅=⋅=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) GE7647,711.14582875444,756868

80090308509,161717700

nnn

Cutnnn

CrK

2222

2optB

2ganzBganz

B

2optL

2rundLrund

L

LrundT

=+⋅++⋅=

+⋅+

+⋅=

3. Berechnung der Ellipsenparameter a und b mit den Werten rundLn , ganz

Bn und rundTK :

( ) ( ) 185767467,43262,990.1447647,711.14570017KK

Crna min

TrundT

L

rundL =−⋅=−⋅=


( ) ( ) 830853881,73262,990.1447647,711.14580068KK

Cutn

b minT

rundT

ganzB =−⋅=−⋅=

4. Intervallbildung um den Ellipsenmittelpunkt mit Hilfe der Längen der Halbachsen a und b:

[ an,an optL

optL +− ] = [ 185767467,490308509,16;185767467,490308509,16 +− ]

= [ 08885256,21;71731762,12 ]

[ bn,bn optB

optB +− ] = [ 830853881,782875444,75;830853881,782875444,75 +− ]

= [ 65960832,83;99790056,67 ]

5. Suche zulässiger Lösungen beginnend mit 16n L = (Abrundung von optLn ):

16n L = → 80n B = (einziger Wert, der als Produkt aus 16 und einer ganzen Zahl im Bn -Intervall liegt: 80516 =⋅ )

( ) ( ) ( ) GE200.14582875444,75808080090308509,1616

1670080,16K 2222

T =+⋅++⋅=

( ) ( )68,17K80,16K TT < → neues potentielles Kostenminimum

Berechnung der Ellipsenhalbachsen a und b für 16nL = und 80nB = :

( ) 189187977,23262,990.144200.14570016a =−⋅=

( ) 579015178,43262,990.144200.14580080b =−⋅=

Intervallbildung um den Ellipsenmittelpunkt:

[ an,an optL

optL +− ] = [ 09227307,19;71389711,14 ]

[ bn,bn optB

optB +− ] = [ 40776962,80;24973926,71 ]

Fortsetzung der Suche alternierend mit 18n L = = 117 + :


( ) ( ) ( ) GE200.14582875444,757272

80090308509,16181870072,18K 2222

T =+⋅++⋅=

( ) ( )80,16K72,18K TT = → keine Kostenverringerung

Fortsetzung der Suche alternierend mit 15n L = = 116 − :


( ) ( ) ( ) GE6667,166.14582875444,757575

80090308509,16151570075,15K 2222

T =+⋅++⋅=


Berechnung der Ellipsenhalbachsen a und b für 15n L = und 75n B = :


( ) 943894056,13262,990.1446667,166.14570015a =−⋅=

( ) 065946131,43262,990.1446667,166.14580075b =−⋅=

Intervallbildung um den Ellipsenmittelpunkt:

[ an,an optL

optL +− ] = [ 84697915,18;95919103,14 ]

[ bn,bn optB

optB +− ] = [ 89470057,79;76280831,71 ]

Suche zulässiger Lösungen durch Fortsetzung des alternierenden Verfahrens ist nicht möglich, da alle ganzzahligen Ln -Werte innerhalb des neuen Intervalls bereits untersucht wurden! → Abbruch des Verfahrens!

Die zulässige Lösung mit den geringsten Kosten im Sinne der Heuristik lautet:

15n L = , 75n B = , ( ) GE6667,166.14575,15KT =

Stufe 2: Lösungsüberprüfung mit dem korrigierten Ellipsenverfahren

Mit der vermeintlich kostenminimalen Lösung der Heuristik wird ein neues Suchbereichs-rechteck abgegrenzt und anschließend überprüft, ob sich weitere „lösungsverdächtige“ und zulässige ( Ln , Bn )-Kombinationen innerhalb des Rechtecks befinden. Wenn dies der Fall ist, werden die jeweils entstehenden Kosten auf Minimalität überprüft. Anschließend werden aus den kostenminimalen Auflagehäufigkeiten für die Produktions- und die Transportlose die zugehörigen Produktions- und Transportlosgrößen berechnet.

1. Verwendung von ( Ln , Bn ) = (15, 75) zur Rechteckapproximation

Berechnung von MitteLn , Mitte

Bn , a und b für 15n L = und 75nB = :

02904259,177002

3262,990.1446667,166.14590308509,16nMitteL =

⋅−

+=

93896725,758002

3262,990.1446667,166.14582875444,75nMitteB =

⋅−

+=

067366918,27002

3262,990.1446667,166.14590308509,1627002

3262,990.1446667,166.145a

=

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

=

089834649,48002

3262,990.144667,166.14582875444,7528002

3262,990.1446667,166.145b

=

⋅−

⋅

⋅+

⋅−

=

Intervallbildung um den Mittelpunkt des Isokostenrings:

[ an;an MitteL

MitteL +− ] = [ 09640951,19;96167567,14 ]


[ bn;bn MitteB

MitteB +− ] = [ 0288019,80;8491326,71 ]

2. Suche zulässiger Lösungen durch Neustart des alternierenden Verfahrens bei 16n L = (Abrundung von opt

Ln ; ein Neustart des Suchverfahrens ist deshalb notwendig, weil sich beim exakten Verfahren das Suchbereichsrechteck im Vergleich zur Heuristik verschiebt; also bisher nicht zu berücksichtigende Werte eventuell in den neuen Suchbereich fallen):

16n L = → 80n B = (bereits mit Heuristik untersuchte und verworfene Lösung)

Fortsetzung der Suche alternierend mit 17nL = = 116+ :

17n L = → Bn existiert nicht (kein Wert liegt als Produkt aus 17 und einer ganzen Zahl im Bn -Intervall: 68417 =⋅ , 85517 =⋅ )

Fortsetzung der Suche alternierend mit 15nL = = 116 − :

15nL = → 75nB = (bereits zur Ableitung des Isokostenrings verwendete Lösung)

Fortsetzung der Suche alternierend mit 18nL = = 117 + :

18n L = → 72n B = (bereits mit Heuristik untersuchte und verworfene Lösung)

Fortsetzung der Suche alternierend mit 14nL = = 115 − :

14nL = → Wert liegt außerhalb des abgegrenzten Suchintervalls für Ln

Fortsetzung der Suche alternierend mit 19nL = = 118+ :


( ) ( ) ( ) GE6316,152.14582875444,757676

80090308509,16191970076,19K 2222

T =+⋅++⋅=


Mit 19n L = sind alle ganzzahligen Ln -Werte innerhalb des abgegrenzten Ln -Intervalls erreicht, und das Verfahren bricht ab. Die kostenminimale Lösung unter Beachtung der Ganzzahligkeitsbedingungen lautet:

19n L = , 76n B = , ( ) GE6316,152.14576,19KT =

3. Berechnung von Ly und By aus Ln und Bn :

ME631579,052.119

200100nRyL

L =⋅

== ME1578947,26376

200100nRyB

B =⋅

==

Da beide Losgrößen nicht ganzzahlig sind, ist, um in ganzen Stücken losweise fertigen und ausliefern zu können, eine Rundung vorzunehmen:

=sonst,053.1

ygendefol3ndAbstaimweiterejedesfüry.1beimbeginnend,052.1y LL

L


=sonst,263

y.6jedesfür,264y B

B

Bei derartiger Aufteilung ergeben sich im Zeitraum T 20.000 ME als Fertigungsmengen sowohl für die Zwischenprodukte ( )052.16)053.1053.1052.1( +⋅++ als auch für die Fer-tigprodukte ( ).26326326326312)264263263263263263( ++++⋅+++++ Jedoch ist zu beachten, daß durch die variierenden Losgrößen unterschiedlich lange Zyklen entstehen und so die Abbildung der Lagerbestände und dadurch auch die hergeleiteten Lagerkosten verfälscht werden. Aber aufgrund der recht großen Produktionslose und Bestellmengen und deren jeweiligen Schwankungn um nur eine Mengeneinheit sind diese Abweichungen vernachlässigbar.

Abschließend wird die Vorgehensweise des zweistufigen Ellipsenverfahrens anhand des Beispiels durch zwei Graphiken veranschaulicht. Die umkreisten Zahlen numerieren die ( Ln , Bn )-Tupel in der Reihenfolge ihrer verfahrensbedingten Ermittlung.


Abbildung 1: Sufe 1 des zweistufigen Ellipsenverfahrens – Unkorrigiertes Ellipsenverfahren

Abbildung 2: Stufe 2 des zweistufigen Ellipsenverfahrens – Korrigiertes Ellipsenverfahren

nL

nB0 72

15

16

i

i

i

i

i

i

(nBopt, nL

opt)

(nBMitte, nL

Mitte)

Ergebnis der Heuristik (nB, nL) = (75, 15)

Optimallösung unter Ganzzahlig-keitsbedingungen (nB, nL) = (76, 19)

kleinste Idealellipse und kleinstes Suchbereichs-rechteck der Heuristik

Isokostenring und Suchbereichsrechteckdes exakten Verfahrens

bb

aa

17

18

Lösungspfad

2

1

73 74 75 76 77 78 79 80

194

3

nL

nB0 68 69 70

12

13

14

15

16

71 72 73 74 75

i

i

i

i

(nBopt, nL

opt)

Ergebnis der Heuristik (nB, nL) = (75, 15)

Idealellipsen der Heuristik

b

a

17

18

19

20

21

76 77 78 79 80 81 82 83

i

Lösungspfad

1

3

42

Suchbereichsrechtecke der Heuristik

5 Kritische Würdigung

Im vorliegenden Arbeitsbericht wurde zunächst ein Modell zur kurzfristigen Abstimmung der Produktionsprozesse zweier Wertschöpfungspartner präsentiert, um darauf aufbauend einen neuartigen, auf Ellipsengleichungen beruhenden Algorithmus zur Bestimmung einer ganzzah-ligen Optimallösung des Problems entwickeln zu können. Mit der Betrachtung eines aus einer produktspezifischen Wertschöpfungskette herausgelösten Kunden-Lieferanten-Segments wur-de ein kleiner, aber zentraler Ausschnitt aus der im Supply Chain Management erforderlichen integrierten Unternehmensverbundplanung thematisiert.

Das präsentierte Modell bildet die gesamte logistische Prozeßkette von der Produktion eines Zulieferers bis zum Wareneingangslager des weiterverarbeitenden Kunden ab, wobei alle kurzfristig relevanten Kosten der Teilprozesse „Produktion“, „Umschlag“, Transport“ und „Lagerung“ erfaßt werden. Allerdings wird nur die Beziehung zwischen einem produktions-synchron versorgten Lieferanten und einem absatzsynchron fertigenden Abnehmer modelliert, die mit der Herstellung eines einzigen (Zwischen-)Produkts befaßt sind.

Durch die Konstruktion des Modells ist es aber zumindest theoretisch möglich, mehrere Zulieferer-Abnehmer-Segmente miteinander zu koppeln, indem beispielsweise das Wareneingangslager des Lieferanten (als Kunde eines Vorlieferanten) und/oder die Produktion und das Warenausgangslager des Abnehmers (als Lieferant eines nachgelagerten Abnehmers) sowie die übrigen Subsysteme der angefügten Segmente mit abgebildet werden. Auf diese Weise könnte die betrachtete Wertschöpfungsteilkette entsprechend verlängert werden. Dadurch steigt aber die Modellkomplexität in nicht unerheblichem Maße. In einer Netzwerkorganisation existieren an den Segmentschnittstellen aber nicht nur 1:1-, sondern in der Regel m:n-Geschäftsbeziehungen, die ebenfalls zu erfassen sind.1 Und letztlich müßten auch Interdependenzen mit den übrigen Produkten der kooperierenden Wertschöpfungspartner berücksichtigt werden. Ein netzwerkweites Totalmodell, das alle relevanten Interdependenzen zwischen allen beteiligten Unternehmen und Produkten abbildet, wird es aber auf Grund der beschränkten menschlichen Informationsgewinnungs- und -verarbeitungsgeschwindigkeit nicht geben können. Selbst wenn es gelänge, ein derartiges Modell aufzustellen, so wäre man nicht in der Lage, es auszuwerten.

Schließlich geht das vorgestellte Modell nur von statisch deterministischen Größen aus. Eine erste Möglichkeit, sowohl geplante als auch zufällige Datenänderungen zu erfassen, besteht in der Entwicklung und Verwendung unterschiedlicher Planungsszenarien (Szenariotechnik2). Die Produktions- und Transportlosgrößen werden dann jeweils abhängig vom eintretenden Szenario angepaßt. Um drohende Fehlmengen infolge zufällig eintretender Parameteränderungen abfangen zu können, müssen auf der Basis stochastischer Größen Sicherheitsbestände geplant und gehalten werden.

Das entwickelte Ellipsenverfahren zur simultanen Ermittlung der Produktionslosgröße eines Lieferanten und der mit der Transportlosgröße identischen Bestellmenge des von ihm belieferten Abnehmers umfaßt zwei Planungsschritte. Zunächst wird mit einer heuristischen

1 Vgl. hierzu GUO/GANESHAN (1995), S. 892 ff. und HOMBURG (1995), S. 828 ff.

2 Zur Szenarioplanung vgl. bspw. GÖTZE (1993).

38 5 Kritische Würdigung

Variante des Ellipsenverfahrens der Lösungsraum so weit eingeschränkt, bis die im Sinne der Heuristik kostengünstigste Lösung gefunden ist. Sodann wird das Ergebnis mit der optimierenden Variante des Ellipsenverfahrens überprüft und die gefundene Lösung entweder bestätigt oder verworfen, um anschließend das tatsächliche Kostenminimum zu berechnen. Mit Hilfe der einfachen Ellipsenheuristik wird der Suchraum bereits effizient eingegrenzt, so daß das aufwendigere korrigierte Verfahren nur in einem relativ kleinen Raum zur Anwendung gelangen muß. Die Konvergenz des Verfahrens ist gesichert.

Auch wenn der Geltungsbereich des vorliegenden Modells auf variierbare Kapazitäten und/ oder Rationalisierungsinvestitionen und damit auf längerfristige logistische Gestaltungsfragen ausgedehnt wird, bleibt das zweistufige Ellipsenverfahren anwendbar.1

Abschließend ist zu resümieren, daß das präsentierte Modell zur Minimierung der Logistikko-sten in Kunden-Lieferanten-Systemen Erweiterungen in viele Richtungen zuläßt und daß das zweistufige Ellipsenverfahren als theoretische Grundlage für die Entwicklung von Heuristiken zur Auswertung auch komplexerer Modelle im Sinne des SCM eingesetzt werden kann. Es ist jedoch zu erwarten, daß durch Erweiterungen die analytische Handhabbarkeit recht schnell stark eingeschränkt wird oder gar verlorengeht.

1 Beispielsweise könnte das in BOGASCHEWSKY/MÜLLER/ROLLBERG (1999), S. 142 f. vorgestellte dreistufige

Verfahren zur Optimierung logistischer Zulieferer-Abnehmer-Systeme unter Berücksichtigung kapazitiver Anpassungsmaßnahmen vereinfacht werden, wenn in der zweiten Stufe das kombinierte Ellipsenverfahren angewandt würde.

Anhang

Zur allgemeinen und mathematisch exakten Ermittlung von maxLn und min

Ln in Abhängigkeit von Bn bei konstantem TK ist von der hergeleiteten Ellipsengleichung auszugehen:

( )( )

( )( )min

TTB

2optBB

minTT

L

L

2optLL

KKCutn

nn

KKCrn

nn1

−⋅

−+

−⋅

−=

( ) ( )B

2optBB

L

2optLL

LminTT n

nnCut

nnn

CrKK−

⋅+−

⋅=−

( ) ( ) ( )

L

B

2optBBmin

TT

L

2optLL

Crn

nnCutKK

nnn

−⋅−−

=−

( )( ) ( )

L

B

2optBBmin

TT

L2opt

LL Crn

nnCutKK

nnn

−⋅−−

⋅=−

( )( ) ( )

L

B

2optBBmin

TT

L2opt

LoptLL

2L Cr

nnn

CutKKnnnn2n

−⋅−−

⋅=+⋅⋅−

( ) ( )( )2opt

LLoptL

L

B

2optBBmin

TT2L nnn2

Crn

nnCutKK

n0 +⋅

⋅+

−⋅−−

−=

( ) ( )

( ) ( )( )2opt

L

2

L

B

2optBBmin

TToptL

L

B

2optBBmin

TToptL21L

nCr2

nnn

CutKKn

Cr2n

nnCutKK

nn

−

⋅

−⋅−−

+−±

⋅

−⋅−−

+=

40 Anhang

Obige Lösung der quadratischen Gleichung stellt die explizite Form der impliziten Ellipsen-gleichung des Isokostenrings dar. Der Ausdruck besteht also nicht nur aus einer Funktion (im Sinne einer eindeutigen Abbildung). Vielmehr beinhaltet die Gleichung zwei Funktionen (steht vor der Wurzel ein Minus, erfaßt die gesamte Gleichung den unteren Teil des Rings, durch ein Plus vor der Wurzel bildet der gesamte Ausdruck den oberen Teil des Rings ab).

Das Maximum maxLn in Abhängigkeit von Bn des oberen Ringteils erhält man durch Ablei-

tung der Funktion (vor der Wurzel steht ein Plus!) nach Bn , Nullsetzen und Auflösen nach Bn . Äquivalent dazu ergibt sich das Minimum min

Ln in Abhängigkeit von Bn des unteren Ringteils durch Ableitung der Funktion (vor der Wurzel steht ein Minus!) nach Bn , Null-setzen und Auflösen nach Bn .

Ableitung des Gesamtausdrucks 2/1Ln nach Bn :

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )0

n

nnnnn2Cr2

Cut

Cr2n

nnCutKK

n2

nCr2

nnn

CutKKn

21

n

nnnnn2Cr2

Cutdn

dn

!

2B

2optBBB

optBB

L

L

B

2optBBmin

TToptL

21

2optL

2

L

B

2optBBmin

TToptL

2B

2optBBB

optBB

LB

21L

=

−−⋅−⋅

⋅⋅

−⋅

⋅

−⋅−−

+−⋅⋅

−

⋅

−⋅−−

+−⋅±

−−⋅−⋅⋅

⋅−=

−

Anhang 41

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

⋅

−⋅

⋅

−⋅−−

+−⋅

−

⋅

−⋅−−

+−±

⋅−

⋅

−−⋅−⋅=

−

L

L

B

2optBBmin

TToptL

21

2optL

2

L

B

2optBBmin

TToptL

L

2B

2optBBB

optBB!

Cr2Cut

Cr2n

nnCutKK

n

nCr2

nnn

CutKKn

Cr2Cut

n

nnnnn20

Ein Produkt wird null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Betrachtung des ersten Faktors:

( ) ( )2B

2optBBB

optBB

n

nnnnn20

−−⋅−⋅=

( ) ( )2optBBB

optBB nnnnn20 −−⋅−⋅=

( ) ( ) ( ) BoptBB

optBB

optBB nnn2nnnn ⋅−⋅=−⋅− → erfüllt für: opt

BB nn =

wenn optBB nn ≠ : B

optBB n2nn ⋅=− → opt

BB nn −=

→ irrelevant, weil 0nB < außerhalb des Definitionsbereichs liegt

→ Sowohl für den oberen als auch für den unteren Ellipsenast ist optBB nn = eine extrem-

wertverdächtige Stelle.

42 Anhang

Betrachtung des zweiten Faktors:

( ) ( )( )

( ) ( )

⋅

−⋅

⋅

−⋅−−

+−⋅

−

⋅

−⋅−−

+−

±⋅

−=

−

LL

B

2optBBmin

TToptL

21

2optL

2

L

B

2minBBmin

TToptL

L

Cr2Cut

Cr2n

nnCutKK

n

nCr2

nnn

CutKKn

Cr2Cut0

Ausklammern und Kürzen:

( ) ( )( )

( ) ( )

⋅

−⋅−−

+−⋅

−

⋅

−⋅−−

+−

±=

−

L

B

2optBBmin

TToptL

21

2optL

2

L

B

2optBBmin

TToptL

Cr2n

nnCutKK

n

nCr2

nnn

CutKKn

10

( ) ( )

( ) ( )( )2opt

L

2

L

B

2optBBmin

TToptL

L

B

2optBBmin

TToptL

nCr2

nnn

CutKKn

Cr2n

nnCutKK

n1

−

⋅

−⋅−−

+−

⋅

−⋅−−

+±=

Anhang 43

( ) ( )( )

( ) ( )

L

B

2optBBmin

TToptL

2optL

2

L

B

2optBBmin

TToptL

Cr2n

nnCutKK

n

nCr2

nnn

CutKKn

⋅

−⋅−−

+

=−

⋅

−⋅−−

+−±

Quadrieren:

( ) ( )( )

( ) ( ) 2

L

B

2optBBmin

TToptL

2optL

2

L

B

2optBBmin

TToptL

Cr2n

nnCutKK

n

nCr2

nnn

CutKKn

⋅

−⋅−−

+

=−

⋅

−⋅−−

+−

Vereinfachen (quadrierte Klammerausdrücke ergeben auf beiden Gleichungsseiten dasselbe):

( ) ( ) ( )2optL

22 n(...)(...) −−= wegen ( ) ( )22 (...)(...) −= → ( )2optLn0 −= → 0nopt

L =

Der zweite Faktor der Ableitung sowohl des Ausdrucks für die obere als auch für die untere Hälfte der Ellipse (Vorzeichenunterschied ist durch das Quadrieren verschwunden) wird nur null, wenn 0nopt

L = . Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Variablen Bn und kann somit nicht zu den gesuchten Extrema der Funktionen vom Typ )n(fn BL = in Abhängigkeit von

Bn führen.

Fazit: Sowohl das Maximum maxLn der oberen Ellipsenhälfte als auch das Minimum min

Ln der unteren Ellipsenhälfte liegen an der Stelle opt

Bn , da für jedes Extremum jeweils nur eine extremwertverdächtige Stelle existiert.

44 Anhang

Ermittlung von maxLn und min

Ln bei optBB nn = und konstantem TK :

( ) ( )

( ) ( )( )2opt

L

2

L

B

2optBBmin

TToptL

L

B

2optBBmin

TToptL

minmax/L

nCr2

nnn

CutKKn

Cr2n

nnCutKK

nn

−

⋅

−⋅−−

+−±

⋅

−⋅−−

+=

( ) ( )

( ) ( )( )2opt

L

2

L

optB

2optB

optBmin

TToptL

L

optB

2optB

optBmin

TToptL

minmax/L

nCr2

n

nnCutKK

n

Cr2n

nnCutKK

nn

−

⋅

−⋅−−

+−±

⋅

−⋅−−

+=

( )2optL

2

L

minTTopt

LL

minTTopt

Lminmax/

L nCr2KK

nCr2KK

nn −

⋅−

+−±⋅−

+=

( ) ( )2optL

2

L

minTT

L

minTTopt

L2opt

LL

minTTopt

Lminmax/

L nCr2KK

Cr2KK

n2nCr2KK

nn −

⋅−

+⋅−

⋅⋅+±⋅−

+=

L

minTT

L

minTTopt

LL

minTTopt

Lminmax/

L Cr2KK

Cr2KK

n2Cr2KK

nn⋅−

⋅

⋅−

+⋅±⋅−

+=

Damit ergibt sich für maxLn :

L

minTT

L

minTTopt

LL

minTTopt

LmaxL Cr2

KKCr2KK

n2Cr2KK

nn⋅−

⋅

⋅−

+⋅+⋅−

+=

und für minLn :

L

minTT

L

minTTopt

LL

minTTopt

LminL Cr2

KKCr2KK

n2Cr2KK

nn⋅−

⋅

⋅−

+⋅−⋅−

+=

Anhang 45

Zur allgemeinen und mathematisch exakten Ermittlung von maxBn und min

Bn in Abhängigkeit von Ln bei konstantem TK ist analog vorzugehen, wobei sich folgende Ausdrücke ergeben:

( ) ( )

( ) ( )( )2opt

B

2

L

2optLL

LminTT

optB

L

2optLL

LminTT

optB21B

nCut2

nnn

CrKKn

Cut2n

nnCrKK

nn

−

⋅

−⋅−−

+−±

⋅

−⋅−−

+=

Cut2KK

Cut2KK

n2Cut2KK

nnminTT

minTTopt

B

minTTopt

BmaxB ⋅

−⋅

⋅−

+⋅+⋅−

+=

Cut2KK

Cut2KKn2

Cut2KKnn

minTT

minTTopt

B

minTTopt

BminB ⋅

−⋅

⋅−

+⋅−⋅−

+=

Literaturverzeichnis

ADAM, D. (1998): Produktionsmanagement, 9. Auflage, Wiesbaden 1998. ANDLER, K. (1929): Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgröße,

München/Berlin 1929. BANERJEE, A. (1986): A Joint Economic-Lot-Size Model for Purchaser and Vendor, in: Deci-

sion Sciences, 1986, Nr. 3, S. 292−311. BLOECH, J., BOGASCHEWSKY, R., GÖTZE, U., ROLAND, F. (2001): Einführung in die Produk-

tion, 4. Auflage, Heidelberg 2001. BOGASCHEWSKY, R., MÜLLER, H., ROLLBERG, R. (1997): Kostenorientierte Optimierung logi-

stischer Kunden-Lieferantenbeziehungen, Dresdner Beiträge zur Betriebswirtschaftslehre, Nr. 8, Dresden 1997.

BOGASCHEWSKY, R., MÜLLER, H., ROLLBERG, R. (1999): Kostenorientierte Optimierung logi-stischer Zulieferer-Abnehmersysteme, in: Logistik Management, 1999, Nr. 2, S. 133–145.

BOGASCHEWSKY, R., ROLLBERG, R. (2002): Produktionssynchrone Zulieferungskonzepte, in: HAHN, D., KAUFMANN, L. (Hrsg.), Handbuch Industrielles Beschaffungsmanagement, 2. Auflage, Wiesbaden 2002, S. 281–300.

BOSCH, K. (1998): Mathematik-Taschenbuch, 5. Auflage, München/Wien 1998. BÜHNER, R. (1989): Strategie und Organisation, in: Zeitschrift Führung + Organisation, 1989,

Nr. 4, S. 223–232. BUSCHER, U. (2003a): Konzept und Gestaltungsfelder des Supply Network Managements, in:

BOGASCHEWSKY, R. (Hrsg.), Integrated Supply Management, München/Neuwied/Köln 2003, S. 55−86.

BUSCHER, U. (2003b): Kostenorientiertes Logistikmanagement in Metalogistiksystemen, Wiesbaden 2003.

CHANDLER, A.D. (1962): Strategy and Structure, Cambridge/London 1962. CHANDLER, A.D. (1969): Strategy and Structure (Paperback-Ausgabe von CHANDLER

(1962)), Cambridge/London 1969. CORSTEN, H., GÖSSINGER, R. (2001): Einführung in das Supply Chain Management, Mün-

chen/Wien 2001. VON DOBBELER, C. (1920): Berechnung der wirtschaftlichsten Fertigungseinheit bei der Auf-

stellung eines Fertigungsplanes, in: Der Betrieb, 1920, Nr. 9, S. 213−215. GÖTZE, U. (1993): Szenario-Technik in der strategischen Unternehmensplanung, 2. Auflage,

Wiesbaden 1993. GOYAL, S. K. (1976): An Integrated Inventory Model for a Single-Supplier Single-Customer

Problem, in: International Journal of Production Research, 1976, Nr. 1, S. 107−111. GÜNTHER, H.-O., TEMPELMEIER, H. (2000): Produktion und Logistik, 4. Auflage, Berlin et al.

2000. GUO, Y., GANESHAN, R. (1995): Are More Suppliers Better?, in: Journal of the Operations

Research Society, Band 46, 1995, Nr. 7, S. 892−895. HAHN, D. (2002): Problemfelder des Supply Chain Management, in: HAHN, D., KAUFMANN,

L. (Hrsg.), Handbuch Industrielles Beschaffungsmanagement, 2. Auflage, Wiesbaden 2002, S. 1061−1071.

HARRIS, F. W. (1913): How Many Parts to Make at Once, in: Factory − The Magazine of Management, 1913, Nr. 2, S. 135−136, 152.

HARRIS, F. W. (1915): Operations and Cost, Chicago 1915.

Literaturverzeichnis 47

HOFMANN, C. (1995): Interdependente Losgrößenplanung in Logistiksystemen, Stuttgart 1995.

HOMBURG, C. (1995): Single Sourcing, Double Sourcing, Multiple Sourcing …?, in: Zeit-schrift für Betriebswirtschaft, 1995, Nr. 8, S. 813−834.

KEUPER, F. (2001): Strategisches Management, München/Wien 2001. KNOLMAYER, G., MERTENS, P., ZEIER, A. (2000): Supply Chain Management auf Basis von

SAP-Systemen, Berlin et al. 2000. KOCH, H. (1982): Integrierte Unternehmensplanung, Wiesbaden 1982. KRÜGER, R., STEVEN, M. (2002): Funktionalitäten von Advanced Planning Systems, in: Wirt-

schaftswissenschaftliches Studium, 2002, Nr. 10, S. 591−595. MÜLLER, H. (2000): Betriebsübergreifende simultane Losgrößen- und Bestellmengenplanung,

in: BURCHERT, H., HERING, T., ROLLBERG, R. (Hrsg.): Logistik, München/Wien 2000, S. 311−324.

PANICHI, M. (1996): Wirtschaftlichkeitsanalyse produktionssynchroner Beschaffungen mit Hilfe eines prozeßorientierten Logistikkostenmodells, Lohmar/Köln 1996.

RÅDE, L., WESTERGREN, B. (1997): Springers Mathematische Formeln, 2. Auflage, Berlin et al. 1997.

ROLLBERG, R. (1996): Wertschöpfungspartnerschaften und Electronic Data Interchange (EDI), in: Industrie Management, 1996, Nr. 6, S. 51–55.

ROLLBERG, R. (2001): Integrierte Unternehmensplanung, Wiesbaden 2001. ROLLBERG, R. (2002): Integrierte Produktionsplanung – Vom theoretischen Ideal der Simul-

tanplanung bis zum praktischen Kompromiß des „Advanced Planning and Scheduling (APS)“, in: KEUPER, F. (Hrsg.), Produktion und Controlling, Wiesbaden 2002, S. 127–155.

SCHINZER, H. (1999): Supply Chain Management, in: Das Wirtschaftsstudium, 1999, Nr. 6, S. 857−863.

SCHWEIM, J. (1969): Integrierte Unternehmungsplanung, Bielefeld 1969. STADTLER, H. (2000): Supply Chain Management − An Overview, in: STADTLER, H., KILGER,

C. (Hrsg.), Supply Chain Management and Advanced Planning, Berlin et al. 2000, S. 7−28.

STADTLER, H., KILGER, C. (Hrsg.) (2000): Supply Chain Management and Advanced Plan-ning, Berlin et al. 2000.

STEFANIC-ALLMAYER, K. (1927): Die günstigste Bestellmenge beim Einkauf, in: Sparwirt-schaft − Zeitschrift für wirtschaftlichen Betrieb, 1927, S. 504-508.

SYDOW, J. (1992): Strategische Netzwerke, Wiesbaden 1992. TAFT, E. W. (1918): The Most Economical Production Lot (Formulas for Exact and Approxi-

mate Evaluation Handling Cost of Jigs and Interest Charges of Product Manufactured), in: The Iron Age, 1918, Nr. 5, S. 1410−1412.

TEMPELMEIER, H. (1999): Advanced Planning Systems, in: Industrie Management, 1999, Nr. 5, S. 69–72.

TOPOROWSKI, W. (1999): Unternehmensübergreifende Optimierung der Bestellpolitik − Das JELS-Modell mit einem Intermediär, in: Schmalenbachs Zeitschrift für betriebswirtschaft-liche Forschung, 1999, Nr. 10, S. 963−989.

WERNER, H. (2000): Supply Chain Management, Wiesbaden 2000.

Documents

ERNST-MORITZ-ARNDT-UNIVERSITÄT GREIFSWALD · 2016. 4. 5. · eigentlich für das SCM entwickelten Advanced Planning and Scheduling Systems (APS-Systeme)2 häufig nur zur integrierten