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Erste Experimente mit entarteten Fermigasen
Christoph Petri
Inhalt Seite 2
Inhalt
Theoretische Grundlagen
Symmetrisierungspostulat, FD-Statistik
Wechselwirkung identischer Fermionen
Experimentelle Ergebnisse
Grenzen des evaporativen Kühlens
Auftreten von Entartungseffekten
Ausblick auf aktuelle Forschung
BCS-Übergang und Superfluidität
Theorie Seite 3
Symmetrisierungspostulat
P sei Vertauschungsoperator, so dass gilt:
Desweiteren ergibt sich:
Experimenteller Befund besagt die Existenz von 2 Teilchensorten:
- Bosonen:
- Fermionen:
Antisymmetrischer Zustand für 2 Fermionen ist somit:
...'...''......'...'' 11 iijjii
ij...kkkkkkkkkkP
}1,1{)(1 und 2 ijijjiij PEigPPP
nsBosonenidentischeNBosonenidentischeNPij ;
2)1( ; nsFermionenidentischeNFermionenidentischeNPij
0'')''''''(2
1''' kkkkkkkk Pauli-Ausschlussprinzip
Theorie Seite 4
Fermi-Dirac-Statistik
Besetzung von Energieniveaus in einem Fermigas nach Fermi-Dirac-Verteilung:
Für T=0 Entartung der FD-Verteilung zur Sprungfunktion („entartetes Fermigas“)
Besetzung aller Zustände bis Fermi-Energie
Fermi-Temperatur (Entartungstemperatur)
- für ist System fast entartet bzw. für liegt klass. Grenzfall vor
mit chem. Potential
FETE )0(
N
U
1
1)(
/)( TkE Be
En
B
FF k
ET
FTT FTT
Theorie Seite 5
Verdünnte, gefangene Fermigase
N spinpolarisierte Fermionen mit Masse m in zylindersymmetrischen harmonischen Potential
- Einteilchen-Hamiltonoperator
- Einteilchen-Energieniveaus
Übergang zu kontinuierlicher Beschreibung möglich, da gilt:
- Zustandsdichte und chem. Potential aus
- Fermi-Energie
- Fermi-Radius Fermi-Wellenzahl
Fermi-Temperatur für
Anzahldichte im Phasenraum für Thomas-Fermi-Näherung
)(2
)(2
1),( 2222222 zyx
mppp
mprH r
zyx
rzr ,
)(,, zyxrnnn nnnEzyx
rBTk
3
2
)(2)(
r
EEg
dEEnEgN )()(
3/1)6(),0( NENTE rFF 22 rFF mER
KTHzK F 3.044.0 , 276 ,10N , 640
1
1
)2(
1),,,(
/)),((3
TkkrH BeTkrw
22 FF mEK
Theorie Seite 6
Verdünnte, gefangene Fermigase
Integration über Impulsraum ergibt räumliche Verteilung
Analytische Auswertung des Integrals nur für T=0 möglich
- Wolke umfasst Ellipsoid mit Durchmesser in der x-y-Ebene und entlang der z-Achse
Analog ergibt Integration über Ortsraum die Impulsverteilung (für T=0)
- Impulsverteilung isotrop unabhängig vom Fallenpotential
kdTkrwTrn 3
),,,(),(
2/32
2
23)1(
8)0,(
FF RR
NTrn
2/12222 )( zyx mit effektiver Radius
FR2 FR2
2/3223
)1(8
)0,(~
FF K
k
K
NTkn
Theorie Seite 7
Verdünnte, gefangene Fermigase
Räumliche Dichteverteilung für
klassisches Ergebnis ist gegeben durch Gaußkurve, beschreibt akkurat numerischem Ergebnis für
sukzessiver Übergang vom klassischen in entarteten Grenzfall im Gegensatz zur Bose-Einstein-Kondensation
0.1 ,75.0 0.5, ,0FB ETk
1/ FB ETk
Theorie Seite 8
Verdünnte, gefangene Fermigase
Mittlere quadratische Ausdehnung der Wolke
Radius bleibt für Fermigas im Falle
endlich
Radius des klassischen Gases verschwindet für
sukzessiver Übergang zwischen den Grenzfällen
0T
0T
)(3 22FBFC ETkR
Theorie Seite 9
Wechselwirkung identischer Fermionen
Antisymmetrie des Zustandes hat gravierende Folgen für WW identischer Fermionen für kleine T
Betrachtung von Stößen zwischen spinpolarisierten Fermionen
Gesamtwellenfunktion zweier Fermionen beim Stoß lässt sich Bahnanteil in Relativkoordiaten und Spinanteil separieren
Im spinpolarisierten Zustand gilt ,d.h. muss antisymmetrisch sein
Teilchenvertauschung führt zu Vorzeichenänderung des Abstandsvektors
)2,1(),( rR
)1,2()2,1( ),( rR
r
),(),( rRrR
Theorie Seite 10
Wechselwirkung identischer Fermionen
Asymptotische Wellenfunktion muss somit antisymmetrisiert werden
Streuquerschnitt folgt aus , daher Betrachtung von
ausreichend
Entwicklung von nach Legendre-Polynomen
)()( fr
eer
ikrrki
)]()([)( ffr
eeer
ikrrkirki
a
2)()( f )()()( fffa
0
)( )()(l
lff
)(f
)(cos)()( ll Pf mit
Theorie Seite 11
Wechselwirkung identischer Fermionen
Es folgt für l-te Partialwelle der antisymmetrisierten Streuamplitude
Aufgrund folgender Eigenschaft der LP ergibt sich
Unter anderem verschwindet s-Welle (l=0), welche für kleine Temperaturen den einzig relevanten Beitrag zum Streuquerschnitt liefert
Zusammengefasst gilt:
Bei genügend kleinen Temperaturen gibt es in einem Gas aus spinpolarisierten Fermionen praktisch keine Stöße mehr
)cos()(cos))(cos()(cos)()( lllll
a PPPPf
)()1()( xPxP ll
l
0)()( laf mit l gerade
sehr lange Thermalisierungszeiten, evoparitives Kühlen ineffizient
Experiment Seite 12
Experimente
Experimentelle Ansätze zur Lösung des Problems der ineffizienten Thermalisierung
- Mischung zweier Gase:
Zwei unterschiedlicher Gase in eine Falle. Bose-Gas wird evaporativ gekühlt. Fermi-Gas lediglich durch thermischen Kontakt
- Mischung zweier Spinzustände:
Verwendung eines Gases einer Spezies in verschiedenen m-Zuständen, so dass Thermalisierung zwischen unterschiedlichen m-Quantenzahlen möglich ist
- Verstärkung der p-Wellenkollision:
elektrisches Feld erhöht Streuung für p-Partialwelle (l=1)
Experiment Seite 13
Sympathetisches Kühlen
Sympathetisches Kühlen durch Mischung zweier Spinzustände
- Verwendung einer fermionischen Spezies in unterschiedlichen m-Zuständen
s-Wellen-Streuung ist erlaubt
- und
- gleichmäßiges Entfernen beider Spinzustände
mittels Mikrowellenfeld
- Übergang in ungebundenen Spinzustand
K40
29 ,29 FmF 27 ,29 FmF
GHz 3.1 , 2729
27 ,27 FmF
Experiment Seite 14
Experimentelle Ergebnisse
Grenzen des evaporativen Kühlens für Fermi-Gase
- Steigung der Kurve kann als Effizienz interpretiert werden
- deutliche Effizienzabnahme für
2 Gründe:
- Fermi-Druck:
Verringerung der Ausmaße der Wolke wird verhindert
- Pauli-Blocking:
zunehmende Besetzung in Fermi-Kugel für kleine T unterdrückt Stöße mit Übergang in Niederenergie-Endzustände
5.0FTT
FRT 6.00 2
Experiment Seite 15
Experimentelle Ergebnisse
Nachweis von Entartungseffekte anhand der inneren Energie
- klassisch gilt für innere Energie U
- für Fermi-Gas gilt bei T=0
Erwartung der Divergenz für
TNkU Bcl 3
FBFD TNkU4
3
clUU
0T
clUUU mit
Experiment Seite 16
Experimentelle Ergebnisse
Nachweis von Entartungseffekten anhand der optischen Dichte
A, B, R, L beziehungsweise sind Fitparameter; B und R aus Randbedingungen
2222zx zx
zx ,
Experiment Seite 17
Experimentelle Ergebnisse
Interpretation des Fitparameters L
L gibt Abweichung der Impulsverteilung von einer Gaußkurve an
L ist Maß für die Größe des entarteten Kerns
)1(22 LR
00 LT Entartung
1 LTT F klassischer Grenzfall
Experiment Seite 18
Sympathetisches Kühlen
Sympathetisches Kühlen durch Mischen zweier Gase
- Falle wird mit Fermi-Gas und Bose-Gas geladen
- kaum Verlust an Atomen im Fermi-Gas
- Bose-Gas bietet bessere Kontrolle
über Temperatur
- Grenze für Temperatur erreicht, wenn
Wärmekapazität des Bose-Gases kleiner
als die des Fermi-Gases
Li6Li7
Minimierung von Pauli-Blocking
Experiment Seite 19
Experimentelle Ergebnisse
Quadrat des Radius des klassischen und Fermigases über Temperatur
kontinuierlicher Übergang zwischen den Grenzfällen
Radius des Fermi-Gases bleibt endlich
Abweichung von klassischer Erwartung aufgrund Fermidruck
Ausblick Seite 20
BCS-Übergang und Superfluidität
Für negative Streulängen besteht attraktive Wechselwirkung bzw Möglichkeit für die Bildung von Cooper-Paaren
exponentielle Abhängigkeit der kritischen Temperatur von
a von der Größenordnung des mittleren atomaren Abstands
Realisierung des BCS-Übergang in stark wechselwirkenden Fermi-Gasen
0a
)12
exp(3
5
aKTT
FFC
aKF
1
1aKF
kritische Temperatur ist viele Größenordnungen kleinerals momentan erreichbare Temperaturen
Ausblick Seite 21
BCS-Übergang und Superfluidität
Bilder der Vortices in einem stark wechselwirkenden Fermi-Gas
Ausblick Seite 22
BCS-Übergang und Superfluidität
Gegenüberstellung von Supraleitung und Superfluidität
Ausgangspunkt ist makroskopische Wellenfunktion
- Betrag der Wellenfunktion ist Dichte der Cooper-Paare
- relle Funktion beschreibt makroskopisch Phase der Wellenfunktion
Flussquantisierung für einen supraleitenden Ring
Analog gilt für die Zirkulation bei Superfluidität
)(0
rie
Cn 2
0*
)(r
22 AdBsde
nsd 2
e
hn
2
m
hn
Ausblick Seite 23
BCS-Übergang und Superfluidität
Verteilung des Magnetflusses im Supraleiter
Magnetfeld tritt durch normalleitende Inseln (Flussschläuche)
Flussschlauch trägt ein Fluxoid
Auftreten von Wirbeln in rotierendem He-II
Wirbel besitzen normalfluiden Kern
Wirbel trägt ein Zirkulationsquant
Hier steht Ihre Fußzeile Seite 24
Zusammenfassung