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Institut für Angewandte Materialien – Werkstoffe der Elektrotechnik Leiterin: Prof. Dr.-Ing. Ellen Ivers-Tiffée

Elektrotechnik II

für Wirtschaftsingenieure

Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie

von Dr.-Ing. Wolfgang Menesklou

Institut für Angewandte Materialien – Werkstoffe der Elektrotechnik (IAM-WET)

Geb. 50.40 (FZU), Raum 316, Tel: 0721 608 47493 Email: menesklou@kit.edu Link: http://www.iam.kit.edu

Juni 2015

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Ergänzung zu Kapitel 6:

Messtechnik, Impedanz-Spektroskopie

Inhaltsverzeichnis

Impedanzspektroskopie .......................................................................................................... 3

1.1 Grundlagen ............................................................................................................. 5

1.1.1 Grundelemente der Impedanzspektroskopie (R, L, C) ....................................... 6

1.1.2 Element Konstanter Phase und RQ-Element...................................................... 9

1.1.3 Gerischer-Element ............................................................................................ 10

1.1.4 Warburg Impedanz ........................................................................................... 12

1.2 Darstellungsformen .............................................................................................. 14

1.2.1 Bode-Diagramm ............................................................................................... 15

1.2.2 Ortskurven ........................................................................................................ 17

1.3 Messung ............................................................................................................... 19

1.3.1 Voraussetzungen .............................................................................................. 20

Literaturverzeichnis .............................................................................................................. 22

3

Impedanzspektroskopie Die Impedanzspektroskopie ist ein Analyseverfahren, das in vielen Bereichen zur

Charakterisierung elektrischer Materialeigenschaften eingesetzt wird. Mit diesem Verfahren ist es

möglich sowohl statische als auch dynamische Vorgänge in einem Festkörper oder einer

Flüssigkeit zu untersuchen. Dabei ist es unerheblich, ob das zu untersuchende Objekt ein Isolator,

ein Halbleiter, ein Ionenleiter, ein metallischer Leiter oder eine Kombination davon ist. Dass mit

dieser Analysemethode eine zerstörungsfreie Prüfung mit geringem präparativem und

messtechnischem Aufwand möglich ist, macht die Impedanzspektroskopie zu einem mächtigen

Analyseverfahren. Da die Analyse und Charakterisierung von Werkstoffen immer wichtiger wird

– beispielsweise in der Sensorentwicklung oder Materialforschung – und die

Impedanzspektroskopie gerade in diesem Bereich sehr gut eingesetzt werden kann ist es

notwendig, diese Messmethode detailliert vorzustellen. Der in dieser Arbeit beschriebene

Praktikumsversuch baut auf den theoretischen Grundlagen des Grundstudiums auf und stellt die

Mächtigkeit sowie die Anwendungsmöglichkeiten der Impedanzspektroskopie, nicht nur für den

Sensor- und Aktorbereich, dar. Der Versuch zeigt außerdem, dass komplexe Messproben aus

elektrotechnikfernen Bereichen, mit hoher Aussagekraft einfach analysiert werden können.

Der Begriff „Impedanz“ leitet sich vom lateinischen Wort „impedire“ ab, was soviel bedeutet wie

„hemmen“ oder „hindern“. In der Elektrotechnik wird mit Impedanz der komplexe

Wechselstromwiderstand (Scheinwiderstand) bezeichnet. Spektroskopie bedeutet allgemein die

Lehre von der Erzeugung, Beobachtung, Registrierung, Ausmessung und Deutung der Spektren

(in Naturwissenschaften und Technik: elektromagnetisches Spektrum). Der Begriff wird in der

Regel für die Darstellung von Strahlungen jeglicher Art (Licht, Photonen, Mikrowellen,

Elementarteilchen etc.) in Abhängigkeit von der Wellenlänge, Frequenz, Energie, Masse etc.

verwendet (nach Internetchemie.info). Die verschiedenen Spektroskopiearten (wie beispielsweise

IR-, Laser-, Massen oder Röntgenspektroskopie) unterscheiden sich im zu untersuchenden

Spektrum (Frequenzbereich) und den daraus resultierenden Messzielen.

Die Impedanzspektroskopie ist ein in vielen Bereichen einsetzbares, zerstörungsfreies

Analyseverfahren, das mit geringem Präparationsaufwand zu schnellen Messergebnissen führt.

4

Mit Hilfe dieser Messergebnisse ist es möglich, auch nicht elektrotechnische Proben in Form

elektrotechnischer Ersatzschaltbilder zu modellieren und die einzelnen Bauelemente quantitativ

zu bestimmen.

Die Nachteile der Impedanzspektroskopie treten hauptsächlich bei der Interpretation der

Messergebnisse und der Modellbildung hervor. Da bei der Messung reale Proben untersucht

werden, bei der Modellierung jedoch von idealen Bauelementen ausgegangen wird, kann es bei

der Analyse der Messungen zu Fehlinterpretationen kommen. Dass verschieden aufgebaute

Schaltungen dasselbe Ausgangssignal liefern können, kann bei der Modellierung zu falschen

Ersatzschaltbildern führen.

In diesem Kapitel werden die Bereiche der Impedanzspektroskopie beschrieben, welche für das

Verständnis und die Durchführung des Laborversuchs notwendig sind.

5

1.1 Grundlagen

Die zum Verständnis dieser Arbeit notwendigen mathematischen und elektrotechnischen

Grundlagen der komplexen Wechselstromrechnung werden vorausgesetzt. Zu diesem Thema sei

auf einschlägige Literatur verwiesen wie beispielsweise Papula (xxx) oder Moeller et al (xxx). In

Tabelle sind die wichtigsten Begriffe zusammengefasst und im Folgenden werden die

grundlegenden Zusammenhänge sowie die wesentlichen Elemente kurz erläutert.

Tab. 1 Begriffe und Symbole der komplexen Wechselstromrechnung

Symbol

Z Scheinwiderstand Impedanz

R Wirkwiderstand Resistanz

X Blindwiderstand Reaktanz

Y Scheinleitwert Admittanz

G Wirkleitwert Konduktanz

B Blindleitwert Suszeptanz

XC Kapazitiver Blindwiderstand Kondensanz oder Kapazitanz

XL Induktiver Blindwiderstand Induktanz (auch Reaktanz)

ϕ Phasenwinkel bzw.

Phasenverschiebung

Nach Moeller et. al. (S. 328)

Die Impedanz bezeichnet in der Elektrotechnik den komplexen Wechselstromwiderstand Z, der

aus einem Real- und Imaginärteil besteht:

Z = R + jX (Gl. 1: Darstellung in algebraischer Form)

Z = Z’ + jZ“ bzw. Z = Re(Z) + jIm(Z) (Gl. 2: alternative Darstellungen von Gl. 1)

ϕjeZZ ⋅= (Gl. 3: Darstellung in Polarkoordinaten)

6

Definiert ist sie als Quotient aus der komplexen Wechselspannung u(t) und dem komplexen

Wechselstrom i(t):

)(

)(

ti

tuZ = (Gl. 4)

Elektrische Bauelemente besitzen nur dann einen komplexen Wechselstromwiderstand, wenn es

sich um Speicherelemente handelt. Bei solchen Elementen können Ladungsträger in einem

elektrischen Wechselfeld nicht schnell genug abfließen. Der Stromfluss reagiert zeitverzögert auf

die Änderung der Spannung. Diese Verzögerung verursacht eine Phasenverschiebung ϕ zwischen

Spannung und Strom deren Zusammenhang wie folgt definiert ist:

R

X=ϕtan (Gl. 5)

Phasenverschiebung und Impedanz sind von der Frequenz der Wechselgrößen abhängig. Dieses

Verhalten wird in der Impedanzspektroskopie genutzt.

1.1.1 Grundelemente der Impedanzspektroskopie (R, L, C)

Ideale Bauelemente besitzen entweder einen Real- oder einen Imaginäranteilteil. Die Impedanzen

dieser Grundelemente sind folgendermaßen definiert:

( ) RZR =ω (Gl. 6)

( )C

jZC ⋅−=

ωω 1

(Gl. 7)

( ) LjZL ⋅⋅= ωω (Gl. 8)

Abb. 1 zeigt die Darstellung der Impedanz idealer Grundelemente als Ortskurve am Beispiel

eines Widerstandes und eines Kondensators. Aus den Gleichungen 6 und 7 ist zu erkennen, dass

der Widerstand nur eine frequenzunabhängige reale Komponente und der Kondensator nur eine

frequenzabhängige Imaginärkomponente besitzt. Der Kondensator wird somit als Gerade parallel

zur Imaginärachse dargestellt. Der Verlauf dieser Ortskurve reicht von ( ) −∞=ZIm für 0=ω bis

( ) 0Im =Z für ∞=ω . Der Widerstand wird – aufgrund seiner Frequenzunabhängigkeit – als

7

Punkt auf der reellen Achse abgebildet. Die Reihenschaltung beider Bauelemente stellt den

Kondensator als Gerade parallel zur Imaginärachse mit einem Versatz auf der Realachse in der

Größe des Widerstands R dar.

Abb.1. Ortskurve der Reihenschaltung eines idealen Widerstands und einem idealen

Kondensator (Quelle: nach Sauerwald)

Werden reale Bauelemente verwendet oder ideale Bauelemente zusammengeschaltet ergeben sich

charakteristische Ortskurven. Einer der häufigsten Fälle in der Praxis ist das RC-Glied, die

Parallelschaltung aus Kondensator und Widerstand. Aus den Gleichungen 6 und 7 ergibt sich, für

ein RC-Glied, folgende Gesamtimpedanz:

( )CRj

RZRC ⋅⋅+

=ω

ω1

(Gl. 9)

Durch Umformung lassen sich Real- und Imaginärteil in getrennten Termen darstellen:

( )( ) ( )2

2

2 11 CR

CRj

CR

RZRC ⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅+

=ω

ωω

ω (Gl. 10)

Werden für ω Frequenzen zwischen 0 und ∞ eingesetzt, ergibt sich die in Abb. 2 dargestellte

8

Ortskurve, bei der folgende 3 Punkte von Bedeutung sind:

• ( ) RZ =→= 000ω

Im Gleichstromfall wirkt der Kondensator wie ein unendlich großer Widerstand. Die

Gesamtimpedanz entspricht dem ohmschen Widerstand R.

• ( ) 0=∞→∞=∞ Zω

Bei unendlich hoher Frequenz wirkt der Kondensator wie ein Kurzschluss.

• 22

11 Rj

R

RCZ

RCR −=

→=ω

In diesem Fall sind die Beträge von Real- und Imaginärteil gleich groß. Sie entsprechen

jeweils der Hälfte des ohmschen Widerstands. Der Kehrwert dieser Kreisfrequenz wird

Relaxationszeit genannt. Sie ist identisch mit der Zeitkonstanten des RC-Glieds:

RRC CR

ωτ 1=⋅= (Gl. 11)

Der Betrag der Reaktanz ist in diesem Punkt maximal (siehe Abb. 2).

Abb.2. Ortskurve der Parallelschaltung eines idealen Widerstands und eines idealen

Kondensators (Quelle: nach Sauerwald)

9

1.1.2 Element Konstanter Phase und RQ-Element

Bei einer stochastischen Modellbildung – wie beispielsweise beim Ersatzschaltbild von

biologischem Gewebe – tritt kein ideales RC-Verhalten auf, welches durch eine einzige

Relaxationszeit charakterisiert wird, sondern eine Verteilung von Relaxationszeiten, die sich um

einen Hauptwert gruppieren. Der Grund hierfür liegt, beim genannten Beispiel, an der

Inhomogenität der Zellgröße und Anordnung. Im Impedanzspektrum zeigen diese Prozesse

deshalb keinen perfekten Halbkreis (nach Mac Donalds und Andre Weber). Um solche

Impedanzverläufe beschreiben zu können, wurde das so genannte Element Konstanter Phase

(Constant Phase Element) oder auch Q-Element eingeführt (Mac Donalds). Die Impedanz des

CPE-Elements ist wie folgt definiert:

( ) ( )( )

njn

nCPE eYYj

QZ 2

00

11 π

ωω

ωω−−=== 0 1n≤ ≤ , 0 .Y const= (Gl. 12)

Der Betrag und die Phase ergeben sich somit zu:

0

1( ) nQ

Yω ω−= (Gl. 13)

( )2

nπϕ ω = − (Gl. 14)

Für n = 1 erhält man den Ausdruck für die Impedanz einer idealen Kapazität mit Y0 = C. Die

Parallelschaltung eines CPE mit einem Widerstand wird als RCPE-Element oder RQ-Element

bezeichnet. Die komplexe Impedanz eines RQ-Elements lautet dementsprechend,

( )1 ( )RQ

RZ

RQω

ω=

+ (Gl. 15)

Für die Zeitkonstante τ und die Eckfrequenz maxf eines RQ-Elements gilt:

0( )nRQ RYτ = (Gl. 16)

und

10

,

0

1 1

2 2max RQ

nRQ

fRYπτ π

= = (Gl. 17)

In Abb. 3 sind die Impedanzkurven von RQ-Elementen für verschiedene n gezeigt. Für n = 1

entspricht der Impedanzverlauf dem eines RC-Elements, für n = 0 dem eines Ohmschen

Widerstandes (Andre Weber).

Z‘/Ohm0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

0,00

0,25

0,50

0,75

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

n 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

ωMax= 1/τRQ

ω → 0ω → ∞

n2π

ω → ∞

-Z“/

Ohm

Y‘/S

Y“/

S

. . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Z‘/Ohm0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

0,00

0,25

0,50

0,75

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

n 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

ωMax= 1/τRQ

ω → 0ω → ∞

n2π

ω → ∞

-Z“/

Ohm

Y‘/S

Y“/

S

. . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Abb.3. Ortskurven der Impedanz Z und der zugehörigen Admittanzen Y von RQ-Elementen

mit verschiedenen Exponenten n. Für n = 1 entspricht die Impedanzkurve der eines RC-

Elements (idealer Halbkreis), für kleinere n ist der Halbkreis flacher (Quelle Schichlein).

1.1.3 Gerischer1-Element

Ein wichtiges Impedanzelement bei der Modellierung von porösen Elektrodenstrukturen – wie

beispielsweise bei einer Brennstoffzelle – ist das Gerischer-Element. Die Impedanz dieses

Elements kann aus einer Leiterstruktur, wie sie in Abb. 4 zu sehen ist, abgeleitet werden (nach

Mac Donalds, Andre Weber). Diese Leiterstruktur modelliert vereinfacht das keramisch-

metallische Verbundsystem der Anode durch zwei parallel geschaltete ionische (r ion) und

1 Heinz Gerischer (1919-1994, dt. Chemiker); Doktorvater von Gerhard Ertl (*1936, dt. Physiker, Nobelpreisträger

2007)

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elektronische (rel) Strompfade, die an den Aktiven Zonen jeweils mit dem Reaktionsgas

zusammentreffen und zur Ladungstransferreaktion (rct, cct) führen.

∞

relrel

rionrion

rct rctcct cct

Keramische Phase (Ionenleitung)

Metallische Phase (Elektronenleitung)

Elektrolyt

x

Stromsammler

Nickel

ScSZ

Abb.4. Vereinfachte Leiterstruktur einer CerMet Anode als elektrisches Ersatzschaltbild

(Quelle: de Boer)

Der Impedanzausdruck eines Gerischer-Elements kann aus der oben gezeigten Leiterstruktur mit

der vereinfachenden Annahme, dass r ion >> rct >> rel ist, hergeleitet werden und ergibt sich zu

(Bisquert):

0

1

/( )

( )

ion ctG

ct ct

r c ZZ

k jr c jω

ωω−= =

++ (Gl. 18)

In Abb. 5 ist ein Beispiel einer simulierten Impedanzkurve eines Gerischerelements gezeigt. Im

niederfrequenten Bereich verhält sich die Kurve wie ein RC-Element, wobei sich im

hochfrequenten Ast der Kurve das Verhalten dem eines CPE-Elements mit Exponenten n = 0.5

annähert, d.h. die Kurve nähert sich dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45°.

12

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

ZGerischer

Z‘/Ohm

Z“/

Ohm

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

ZGerischer

Z‘/Ohm

Z“/

Ohm

Abb.5. Simulierte Impedanzkurve einer Gerischer Impedanz für k=1910 s-1 und

Z0 =15.898 Ωs-0.5. (Quelle: Leonide)

1.1.4 Warburg Impedanz

Ein häufig in der Elektrochemie benutztes Impedanzelement ist das FLW-Element. Dieses

Element beschreibt die komplexe Impedanz einer idealen eindimensionalen Diffusion von

Partikeln in einer endlichen Diffusionsschicht der Länge l (daher auch der Name Finite Length).

Durch Einführung geeigneter Randbedingungen erhält man die folgende Impedanzgleichung

(Mac Donalds):

tanh

( )FLW W

j TZ R

j T

ωωω

= ⋅ (Gl. 19)

mit 2l

TD

= (Gl. 20)

D: Effektiver Diffusionskoeffizient der Teilchen (m2s-1).

l: Effektive Diffusionslänge der Diffusionsschicht (m).

RW: Diffusionswiderstand (Ohm).

Die charakteristische Frequenz fmax der Warburg Impedanz kann durch den folgenden Ausdruck

approximiert berechnet werden (Mac Donalds),

13

max 2

2.53

2

Df

lπ⋅=

⋅ (Gl. 21)

In Abb. 6 ist ein Beispiel einer simulierten Impedanzkurve eines Warburgelements gezeigt. Im

niederfrequenten Bereich verhält sich die Kurve wie ein RC-Element, wobei im hochfrequenten

Ast der Kurve das Verhalten sich dem eines CPE-Elements mit Exponenten n = 0.5 annähert, d.h.

die Kurve nähert sich dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45°.

-0.45-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ZWarburg

Z‘/Ohm

Z“/

Ohm

-0.45-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ZWarburg

-0.45-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ZWarburg

Z‘/Ohm

Z“/

Ohm

Abb.6. Simulierte Impedanzkurve einer Warburg Impedanz für T=0.01 s und RW = 1 Ω. Die

Kurve nähert sich für ω→∞ dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45° (Quelle:

Andre Weber)

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1.2 Darstellungsformen

Die Impedanz kann, wie eine komplexe Zahl, in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor

dargestellt werden (siehe Abb. 7).

Abb.7. Darstellung der Impedanz in der komplexen Ebene in kartesischen und

Polarkoordinaten (Quelle: Wikipedia)

In algebraischer Form wird dieser Vektor aus den Komponenten Wirkwiderstand (Abszisse) und

Blindwiderstand (Ordinate) dargestellt (kartesische Form). In Polarkoordinaten wird er aus dem

Betrag des Scheinwiderstands Z und dem Phasenwinkel ϕ gebildet.

Impedanzspektroskopische Messungen werden innerhalb eines Frequenzbereichs durchgeführt,

das heißt, Betrag und Phase werden über einem dynamischen Frequenzbereich gemessen. Die

frequenzabhängige Veränderung der Impedanz kann in verschiedenen Diagrammen dargestellt

werden.

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1.2.1 Bode-Diagramm

Beim Bode2-Diagramm wird auf der Abszisse die Frequenz – in der Regel logarithmisch –

aufgetragen. Auf der Ordinate werden Betrag und Phase der Impedanz entweder in einem (siehe

Abb. 8) oder in zwei (siehe Abb. 9) Diagrammen dargestellt.

100 101 102 103 104 105100

101

102

Frequency (Hz)

|Z|

-25

0

25

50

theta

Abb.8. Impedanzspektrum eines Lautsprechers in einem Bode Diagramm bei dem Phase und

Betrag in einer Grafik dargestellt werden (Quelle: eigene Darstellung mit Z-View)

2 nach Hendrik Wade Bode (1905 – 1982, US-amerikanischer Elektrotechniker)

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100 101 102 103 104 105100

101

102

Frequency (Hz)

|Z|

100 101 102 103 104 105

-25

0

25

50

Frequency (Hz)

thet

a

Abb.9. Impedanzkurve eines Lautsprechers im Bode Diagramm bei dem Phase und Betrag in

getrennten Grafiken dargestellt werden (Quelle: eigene Darstellung mit Z-View)

Vorteil dieser Darstellung ist, dass der Verlauf des Betrags bzw. der Phase der Impedanz über der

Frequenz einzeln abgelesen werden können.

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1.2.2 Ortskurven

In der Elektrotechnik stellt eine Ortskurve (siehe Abb. 10) den Verlauf der Impedanz – in

Abhängigkeit von der Frequenz als Laufvariable – in der komplexen Ebene dar.

Abb.10. Impedanz als Funktion der Frequenz in Ortskurvendarstellung (Quelle: eigene

Darstellung)

In der Regel wird der Realteil auf der Abszisse und der Imaginärteil auf der Ordinate aufgetragen.

Da bei impedanzspektroskopischen Messungen meist Kapazitäten (seltener Induktivitäten)

gemessen werden, wird der negative Abschnitt der Ordinate oft oberhalb der Abszisse

aufgetragen. Der Vorteil der Ortskurve gegenüber dem Bode-Diagramm ist, dass der

Impedanzverlauf der zu messenden Probe direkt abgelesen und leichter interpretiert werden kann.

Ersatzschaltbilder können somit einfacher modelliert werden. Für die Impedanzspektroskopie

werden deshalb meist Ortskurven verwendet. Je nach Anwendung und Einsatz werden folgende

Varianten unterschieden:

18

• Das Cole-Cole3-Diagramm wird meist zur Darstellung der relativen Permittivität von

dielektrischen Materialien verwendet. (komplexe Stoffparameter)

• Das Nyquist4-Diagramm findet vor allem Anwendung bei der Untersuchung

regelungstechnischer Systeme, die auf ihre Stabilität hin untersucht werden.

• Ortskurven werden in der Kern- und Teilchenphysik oft als Argand5-Diagramm

bezeichnet.

• Andere Ortskurven, wie beispielsweise das in der Hochfrequenztechnik eingesetzte

Smith6-Diagramm, sind im der Impedanzspektroskopie von untergeordneter

Bedeutung.

Wesentliche Unterschiede zwischen den verschiedenen Ortskurven existieren nur, wenn – wie

beispielsweise beim Smith-Diagramm – charakteristische Übertragungsfunktionen verwendet

werden.

3 nach den Brüdern Kenneth Steward Cole (1900 – 1984, US-amerikanischer Biophysiker) und Robert H. Cole (US-

amerikanischer Biophysiker); die Brüder Cole führten 1931 experimentelle Untersuchungen bezüglich der Impedanz

an biologischem Gewebe durch.

4 nach Harry Nyquist (1889 – 1976, schwedisch–US-amerikanischer Physiker)

5 nach Jean-Robert Argand (1768 – 1822, schweizerischer Mathematiker)

6 nach Phillip Hagar Smith (1905 – 1987, US-amerikanischer Ingenieur)

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1.3 Messung

Grundsätzlich werden bei der Impedanzspektroskopie Betrag und Phase eines Messobjektes

innerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs gemessen. Start und Endfrequenz sowie die Anzahl

der Messungen hängen vom Ziel der Messung und dem Messobjekt selbst ab. Abb. 11 zeigt den

prinzipiellen Messaufbau einer Impedanzspektroskopie.

Abb.11. Messprinzip einer Impedanzspektroskopie (Quelle: eigene Darstellung nach Andre

Weber)

Dem Messobjekt wird ein sinusförmiger Strom

( ) )sin(ˆ tii ωω ⋅= (Gl. 22)

aufgeprägt und die zugehörige Spannungs-Antwort

( ) )sin(ˆ ϕωω +⋅= tuu (Gl. 23)

gemessen. Abhängig vom Ziel der Messung kann auch der umgekehrte Fall – das Messobjekt

wird mit einer Spannung angeregt und der Strom gemessen – erfolgen. In komplexer

Schreibweise lassen sich die Gleichungen wie folgt darstellen:

( ) tjeii ωω ⋅= ˆ (Gl. 24)

( ) )(ˆ ϕωω +⋅= tjeuu (Gl. 25)

und daraus die Impedanz berechnen:

Z

Probe

u(ω)

i(ω)

20

( ) ( )( )ωωω

i

uZ = (Gl. 26)

Aus der komplexen Schreibweise lassen sich – wie in Kapitel 3.1 beschrieben – Betrag und Phase

berechnen und in einem passenden Diagramm (siehe Kapitel 3.2) darstellen.

1.3.1 Voraussetzungen

Um verwertbare Ergebnisse zu erhalten muss das Messsystem folgende Voraussetzungen

erfüllen:

1. Kausalität

Die zu untersuchende Sprungantwort muss aufgrund einer definierten Anregung erfolgen

(kausaler Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal).

2. Linearität

Das Ausgangssignal muss sinusförmig und das System somit linear sein. Bei der Messung

eines nichtlinearen Systems muss dieses innerhalb eines Bereiches angeregt werden, in

dem die Übertragungskennlinie einen linearen Abschnitt besitzt. Eine weitere Möglichkeit

besteht darin, den Hub des Eingangssignals so klein zu wählen, dass das Ausgangssignal

einer linearen Übertragung entspricht (siehe Abb. 12).

3. Zeitinvarianz

Während der kompletten Messung darf sich das System nicht verändern. Darauf ist

besonders bei langen Messungen (viele Messpunkte oder Messungen bei sehr niedrigen

Frequenzen) zu achten.

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Abb.12. Nichtlineare Kennlinie einer Probe (Quelle: eigene Darstellung nach Andre

Weber)

U 0

+ I

U

U 0

I

U

IDC+i(ω)

UDC+u(ω)

Linearer Abschnitt

Arbeitspunkt

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Literatur

Gruden, R., Didaktische und technische Konzeption eines Impedanzspektroskopie-Messplatzes, Masterarbeit, IWE, KIT (2009).

Menesklou, W., Praktikum Sensoren und Aktoren - Versuch 1, IWE, KIT (2009)

Barsoukov, E. & Macdonald, J.R., Impedance Spectroscopy, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons (2005)

Funke, K., Impedanzspektroskopie, Münster: Institut für physikalische Chemie der Universität Münster (2002)

Ivers-Tiffée, E., Brennstoffzellen und Batterien, Vorlesungsskript, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2008)

Leonide, A., Impedanzanalyse von Ni/CerMet-Andoden, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2005)

Schichlein, H., Experimentelle Modellbildung für die Hochtemperatur-Brennstoffzelle SOFC, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2003)

Weber, A., Hochtemperatur-Brennstoffzelle SOFC, elektrochemische Impedanzspektroskopie, Praktkum Brennstoffzellenlabor (Versuch Nr. 6), Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2008)