Embed Size (px)
Citation preview
Rolf Kindmann
Henning Uphoff
FE-BEULEN
IDEALE BEULSPANNUNGEN VON RECHTECKIGEN
BEULFELDERN
Entwurf vom 05.06.2014
Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann
Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: [email protected] http://www.rub.de/stahlbau
2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum
Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.
2.1 Spannungsgrößen 3
Inhaltsverzeichnis
1 Leistungsumfang 1
2 Grundlagen 2
2.1 Spannungsgrößen 3
2.2 Verschiebungsgrößen 4
2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen 5
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 6
3 Eingabe 10
4 Ausgabe 14
5 Berechnungsbeispiele 15
5.1 Vorbemerkung 15
5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung 15
5.3 Ausgesteiftes Beulfeld 21
Literatur 27
1 Leistungsumfang
Das Programm FE-Beulen ist ein Finite-Elemente-Programm zur Stabilitäts-
untersuchung von ebenen Flächentragwerken, die scheibenartig beansprucht werden.
Im Stahlbau handelt es sich dabei meist um zumindest teilweise gedrückte oder durch
Schubspannungen beanspruchte dünne Bleche. Hauptanwendung des Programms ist
die Berechnung idealer Beulspannungen und Beulwerten von rechteckigen Blechen,
die durch Normalspannungen oder Schubspannungen beansprucht werden. Der
Umfang des Programms lässt sich wie folgt zusammenfassen:
Ermittlung idealer Beulspannungen und Beulwerte von rechteckigen Blechen
(Beulfeldern)
Berücksichtigung von konstanten oder linear veränderlichen
Normalspannungen x und y sowie Schubspannungen
Berücksichtigung beliebiger Lagerungsbedingungen an den Rändern
Stabilitätsuntersuchungen unausgesteifter sowie ausgesteifter Beulfelder durch
Berücksichtigung beliebiger Steifentypen in Längs- und in Querrichtung
Ermittlung des 1. bis 20. Eigenwertes des Stabilitätsproblems Plattenbeulen
sowie Ausgabe der zugehörigen Eigenform (Beulfigur)
FE-Beulen liefert somit die Möglichkeit Beulwerte für eine Vielzahl von unter-
schiedlichen Beulfeldern zu ermitteln. Mit den ermittelten Beulwerten bzw. Beul-
spannungen können anschließend die Nachweise gegen das Plattenbeulen gemäß DIN
EN 1993-1-5 [1] geführt werden, bspw. mit der Methode reduzierter Spannungen
unter Verwendung von Abminderungsfaktoren.
Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden
im Stahlbau“ [3] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette
und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen
Hintergründe und enthält zahlreiche weitere Beispiele.
Zusätzlich wird eine schnelle und einfache Methode zur visuellen Stabilitäts-
untersuchung ausgesteifter Beulfelder zur Verfügung gestellt.
2 Grundlagen 2
2 Grundlagen
FE-Beulen untersucht das Stabilitätsverhalten von ebenen Flächentragwerken im
Stahlbau, das Plattenbeulen. Die Ermittlung der Eigenwerte und den zugehörigen
Beulfiguren, Beulwerten und idealen Beulspannungen erfolgt mittels der Methode der
finiten Elemente.
Bei Flächentragwerken handelt es sich um Bauteile, deren Dicke im Verhältnis zu
Länge und Breite klein ist. Es ist daher ausreichend die Flächentragwerke auf ihre
Mitteleben zu reduzieren. Dieses Vorgehen ist vergleichbar mit der Reduktion eines
Stabes auf seine Stabachse.
Es gilt folgende Definitionen zu beachten:
Koordinaten, Ordinaten
x, y Achsen in der Ebene des Flächenelementes
z Achse senkrecht zur Mittelebene
Spannungsgrößen
x, y Normalspannungen in Richtung der x- bzw. y-Achse
xy, yx Schubspannungen
Verschiebungsgrößen
w Verschiebung in z-Richtung
w′ Verdrehung um die y-Achse
w• Verdrehung um die x-Achse
w′•, w•′ Verdrillung ′ bzw. Änderung der Verdrehung y in y-Richtung
Werkstoff
E Elastizitätsmodul
G Schubmodul
Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl
Querschnittswerte
t Blechdicke
I Trägheitsmoment der Steife, inklusive Steineranteil des mittragenden
Plattenquerschnitts ohne Eigenträgheitsmoment der Platte
I Wölbflächenmoment der Steife, ohne Anteile des mittragenden
Plattenquerschnitts
2.1 Spannungsgrößen 3
IT Torsionsflächenmoment, ohne Anteile des mittragenden
Plattenquerschnitts
A Querschnittsfläche der Steife, ohne Anteile des mittragenden
Plattenquerschnitts
Plattenbeulen
cr,P Eigenwert für das Plattenbeulen
cr, cr ideale Beulspannungen
k, k Beulwerte
2.1 Spannungsgrößen
Die Lasten beulgefährdeter Bleche wirken in ihrer Ebene. Der Belastung nach handelt
es sich somit um Scheiben, s. Bild 2.1. Aus den Belastungen Fx, px bzw. Fy, py in
Richtung der Mitteleben resultieren Normalspannungen x und y sowie Schub-
spannungen xy = yx.
Bild 2.1 Ebene Flächentargwerke: Scheiben und Platten
Bild 2.2 zeigt die Wirkungsrichtungen der Spannungen an den positiven Schnitt-
flächen x = konst. und y = konst. Es soll lediglich die Richtungen und Bezeichnungen
aufzeigen, ohne auf das Gleichgewicht am Element einzugehen.
2 Grundlagen 4
Bild 2.2 Spannungen bei einem Scheibenelement
2.2 Verschiebungsgrößen
Das Stabilitätsproblem Plattenbeulen ist dadurch charakterisiert, dass durch Be-
lastungen in Richtung der Blechebene Verschiebungen senkrecht zur Mittelebene
auftreten. Im Sinne der Verschiebungen handelt es sich bei den untersuchten Flächen-
tragwerken somit um Platten.
Zur Stabilitätsuntersuchung der rechteckigen Beulfelder mit FE-Beulen werden die
Beulfelder in rechteckige finite Plattenelemente mit vier Eckknoten aufgeteilt. In
jedem Eckknoten hat das Plattenelement vier Knotenfreiheitsgrade, s. Bild 2.3.
Bild 2.3 Verschiebungsgrößen der Plattenelemente
Die Verschiebungsgröße w beschreibt die Verschiebung in z-Richtung bzw. die
Durchbiegung der Platte. Die Ableitungen der Durchbiegung w′ und w• beschreiben
die Verdrehung um die y- bzw. x-Achse. Analog zu den Verschiebungsgrößen an
einem Stabelement gilt: y -w′ und w• = x. Hinzu kommt mit w′• die
Ableitung der Durchbiegung w nach x und y. Diese Verschiebungsgröße entspricht
der Verdrillung ′ bei Stäben. Es gilt w′• = w•′, so dass diese Verschiebungsgröße
auch der Veränderung der Verdrehung y in y-Richtung entspricht, d.h. w′• -y•.
2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen 5
2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen
Die Ermittlung der Beulwerte und zugehörigen Beulflächen erfolgt mit der Methode
der finiten Elemente. Für das Eigenwertproblem „Plattenbeulen“ ergibt sich folgende
homogene Matrizengleichung:
rcr,p,rK + α G v = 0 (2.1)
Auf die Herleitung der Steifigkeitsmatrix K und der geometrischen Steifigkeitsmatrix
G für Beulfelder wird an dieser Stelle verzichtet. Sie können explizit aus der
virtuellen Arbeit für Scheiben und Platten formuliert werden. Eine vollständige
Darstellung der virtuellen Arbeit und die Herleitung der Steifigkeitsmatrizen kann
Kapitel 6.5, 6.7 und 6.8 [3] entnommen werden.
In Gleichung (2.1) ist cr,p,r der Verzweigungslastfaktor für das Plattenbeulen, der für
die Berechnung der Beulwerte und idealen Beulspannungen benötigt wird. rv ist der
Eigenvektor, der die Beulfläche beschreibt. Durch den Index „r“ ist die Nummer des
Eigenwertes gekennzeichnet.
Die Lösung des Eigenwertproblems erfolgt mit einem Matrizenzerlegungsverfahren.
Die Ermittlung der zugehörigen Eigenform bzw. Beulfläche erfolgt mittels inverser
Vektoriteration. Kapitel 9 [3] enthält umfangreiche Informationen zur Lösung des
Eigenwertproblems. Im Kapitel 2.4.4 der Erläuterungen zu FE-STAB [5] wird die
Lösung des Eigenwertproblems für Stäbe erläutert. Allerdings ergeben sich für das
Plattenbeulen drei wesentliche Unterschiede:
Der Rechenaufwand für die Matrizenzerlegung ist aufgrund der häufig großen
Bandbreite der Matrizengleichung (2.1) deutlich größer.
Beim Plattenbeulen wird in vielen Fällen nicht nur der 1. Eigenwert benötigt.
Vor allem bei ausgesteiften Beulfeldern ist oftmals die Kenntnis höherer
Eigenwerte und der zugehörigen Beulflächen notwendig, s. Kapitel 5.3.
Die Eigenwerte liegen beim Plattenbeulen oftmals sehr dicht beieinander. Die
Lösungsverfahren müssen entsprechend modifiziert werden.
Da die Eigenwerte relativ nahe beieinander liegen können, sollte die Toleranz der
Matrizenzerlegung mit 10-3 gewählt werden. Damit die Beulflächen korrekt ermittelt
werden, sollte die Toleranz der Vektoriteration mit mindestens 10-5 angegeben
werden.
FE-Modellierung von Beulfeldern
Beulfelder sollten so aufgeteilt werden, dass sich annähernd quadratische Platten-
elemente ergeben. Wie viele Plattenelemente zu wählen sind hängt in erster Linie von
der untersuchten Problemstellung ab. Da nur Knotenfreiheitsgrade berücksichtigt
werden, muss sichergestellt sein, dass die Anzahl der gewählten Elemente ausreicht
2 Grundlagen 6
um die sich einstellende Beulfläche ausreichend genau beschreiben zu können. Durch
genaue Betrachtung der Beulfläche sollte man stets feststellen können, ob Wellen
auftreten, die durch die gewählte Aufteilung nicht korrekt dargestellt werden können.
Eine sinnvolle erste Wahl für baupraktische Problemstellungen stellt die Aufteilung
des Beulfeldes in 10 bis 20 Plattenelemente in Längsrichtung und 5 bis 20
Plattenelemente in Querrichtung dar. Für genauere Untersuchungen empfiehlt sich
eine Konvergenzstudie.
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder
Um Beulfelder auszusteifen werden Längs- oder Quersteifen angeordnet, so dass ein
ausgesteiftes Beulfeld entsteht. Bild 2.4 zeigt den Ausschnitt aus einem durch eine
Längs- und eine Quersteife ausgesteiftes Beulfeld. Es ist zu sehen, dass Steifen stets
auf Kanten von Plattenelementen anzuordnen sind.
Bild 2.4 Beulfeld mit einer Längs- und einer Quersteife
Zur Stabilitätsuntersuchung des ausgesteiften Beulfeldes mit der finiten Elemente
Methode werden die Steifen als Stabelemente aufgefasst. Bild 2.5 zeigt je ein Stab-
element in x-Richtung (Längssteife) und ein Stabelement in y-Richtung (Quersteife)
mit der Zuordnung der vier Freiheitsgrade der Plattenelementknoten.
Zur Lösung des Eigenwertproblems, s. Kapitel 2.3, werden neben den Steifigkeits-
beziehungen der Plattenelemente die Steifigkeitsmatrizen der Stabelemente gemäß
Kapitel 2.4 der Erläuterungen zu FE-STAB [5] berücksichtigt. Die Steifigkeits-
matrizen der Stabelemente sind entsprechend den Plattenfreiheitsgraden auszuwerten.
Da in die Steifigkeitsbeziehungen der Stabelemente auch Streckenfedern cw und c
eingehen, können diese ebenfalls für das Plattenbeulen berücksichtigt werden. In der
geometrischen Steifigkeitsmatrix der Stabelemente sind für das Plattenbeulen nur die
von der Normalkraft N abhängigen Elemente relevant. Wobei zu beachten ist, dass
Mrr ebenfalls von der Normalkraft N abhängig ist.
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 7
Bild 2.5 Stabelement in x- und y-Richtung sowie Zuordnung der Plattenfreiheitsgrade
FE-Modellierung von ausgesteiften Beulfeldern
Bild 2.6 zeigt beispielhaft ein durch eine Längssteife ausgesteiftes Beulfeld. Das
Beulfeld ist an allen vier Seiten gelenkig gelagert und wird durch eine konstante
Normalspannung x beansprucht.
Bild 2.6 Beulfeld mit einer Längssteife und Querschnittswerten der Steife
2 Grundlagen 8
Für die FE-Berechnung wird die Platte in Längs- und Querrichtung in finite Platten-
elemente aufgeteilt, hier werden beispielhaft sechs Plattenelemente in Querrichtung
gewählt, s. Bild 2.6b. Die Plattenelemente weisen eine Plattenbiegesteifigkeit auf und
werden durch Scheibenspannungen beansprucht. Die Steifen werden einseitig zur
Plattenmittelfläche angeordnet, s. Bild 2.6a. Da es sich bei Beulfeldern meist um
Bestandteile von Gesamtsystemen handelt, wird die Spannung x näherungsweise als
konstant über die Höhe angesetzt. Steifen werden durch Stabelemente idealisiert. Sie
weisen Biegesteifigkeiten EIy sowie Torsionssteifigkeiten GIT und EI auf. Für die
Stabilitätsuntersuchung der Steifen mittels Theorie II. Ordnung werden die wirkende
Normalkraft N = x ∙ A und N ∙ ip2 zur Aufstellung der geometrischen
Steifigkeitsbeziehungen benötigt. Bei der Berechnung der Werte gilt es folgendes zu
beachten:
Trägheitsmoment Iy – Biegesteifigkeit
Das ausgesteifte Blech wirkt als Obergurt der Steife mit, d.h. das Trägheits-
moment Iy ist unter Berücksichtigung der effektiven Gurtbreiten (b1 + b2) des
ausgesteiften Bleches zu berechnen. Allerdings darf das Eigenträgheitsmoment
der Platte nicht berücksichtigt werden, sondern ausschließlich der Steiner-
Anteil, da die Blechbiegung bereits in der Steifigkeitsmatrix des Platten-
elementes berücksichtigt wird.
Torsionsträgheitsmoment IT – primäre Torsion
Es darf nur das Torsionssteifigkeitsmoment der Steife selbst und nicht das des
anteiligen Blechfeldes berücksichtigt werden, da die Torsionssteifigkeit des
Bleches bereits in der Steifigkeitsmatrix des Plattenelementes enthalten ist.
Wölbwiderstand I – sekundäre Torsion
Da sich die Platte seitlich nicht verschieben kann, wird der Drehpunkt D zur
Ermittlung des Wölbwiderstandes I in Plattenmitte angenommen, s. Bild 2.6.
Sowohl bei Handrechnungen als auch bei FE-Berechnungen werden allerdings die
Torsions- und Wölbsteifigkeiten oftmals vernachlässigt, so dass angenommen wird
GIT = EI = 0.
Drucknormalkraft N – Biegeknicken
Zur Stabilitätsuntersuchung der Steifen wird die Normalkraft in den Steifen
benötigt. Die Normalkraft ergibt sich zu N = x ∙ A. A ist dabei die Fläche des
Steifenquerschnittes. Vergleichbar mit der Ermittlung des Trägheitsmomentes
Iy darf auch hier die anteilige Gurtbreite des ausgesteiften Bleches nicht
berücksichtigt werden, da die Druckspannung x bereits in der Steifigkeits-
matrix des Plattenelementes enthalten ist.
Bei der Stabilitätsuntersuchung ausgesteifter Beulfeldern mittels FE-Berechnung
können Einzelfeldbeulen, Gesamtfeldbeulen und Knicken der Steife auftreten. Bild
2.6c zeigt das Einzelfeldbeulen des ausgesteiften Blechfeldes und Bild 2.6d das
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 9
Ausbeulen des gesamten Beulfeldes. Beim Gesamtfeldbeulen weicht die Steife nach
unten, bzw. nach oben aus. Das Biegeknicken der Steife stellt somit den wesentlichen
Stabilitätsfall dar. Sofern die Stützung der Plattenränder keinen oder nur kaum
Einfluss hat, spricht man vom knickstabähnlichen Verhalten des Beulfeldes.
3 Eingabe 10
3 Eingabe
Im Tabellenblatt „Eingabe“ erfolgt durch die Eingabe der System- und Berechnungs-
parameter die Definition des zu berechnenden Systems. In den Zeilen „Projekt“ und
„Kommentar“ besteht die Möglichkeit, die durchgeführte Berechnung kurz zu
beschreiben.
Bild 3.1 Eingabemaske FE-Beulen: Systemparameter
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 11
Mit den Materialparametern E-Modul, Schubmodul G und Querkontraktionszahl ist
das verwendet Material für die Berechnung ausreichend definiert.
Gemäß Bild 3.2 können die Abmessungen des rechteckigen Beulfeldes eingegeben
werden und die Anzahl der Elemente zur Berechnung mit der Methode der finiten
Elemente pro Richtung festgelegt werden. Bei der Anzahl der gewählten Elemente ist
darauf zu achten, dass eine ausreichende Anzahl gewählt wird, da die Methode der
finiten Elemente nur Ergebnisse in den Elementknoten ausgibt. Allerdings nimmt der
Rechenaufwand und damit verbunden die Rechenzeit bei zunehmender Element-
anzahl zu. Ein guter Anhaltswert für eine erste Berechnung ist die Wahl 10 bis 20
Plattenelementen in Längsrichtung und 5 bis 20 Plattenelementen in Querrichtung mit
annähernd quadratischer Größe.
Bei der Untersuchung von ausgesteiften Beulfeldern ist darauf zu achten, dass die
Elementanzahl an die Steifenlage anzupassen ist, da Steifen stets auf einer Element-
kante liegen müssen. Sollen bspw. in x-Richtung orientierte Längssteifen in den
Drittelspunkten des Feldes angeordnet werden, muss die Anzahl der Elemente in y-
Richtung ny durch drei teilbar sein.
Bild 3.2 Eingabemaske FE-Beulen: Koordinatensystem
Die Normalspannungen x und y sowie die Schubspannung sind entsprechend
Bild 3.2 einzugeben. Falls die Normalspannungen linear veränderlich wirken, ist die
entsprechende Option auszuwählen, s. Bild 3.4.
Lagerbedingungen können pro Freiheitsgrad und Seite frei gewählt werden. Dafür
sind in der Tabelle, s. Bild 3.1, die Kennzahlen „0“ (frei) oder „-1“ (fest) einzutragen.
Wird eine Zahl > 0 eingetragen, fasst das Programm dies als Drehfedersteifigkeit auf.
Voreigestellt ist im Programm die Navier-Lagerung. Sie stellt eine gelenkige
Lagerung aller vier Seiten des Beulfeldes dar.
3 Eingabe 12
In der Tabelle „Steifentypen definieren“ können bis zu 9 Steifentypen definiert
werden. Das Trägheitsmoment I muss entsprechend dem in Bild 3.2 gezeigten
Koordinatensystem wirken, so dass ggf. eine Transformation der Hauptträgheits-
momente des verwendeten Steifenquerschnitts notwendig ist.
Bild 3.3 Eingabemaske FE-Beulen: Steifen und Berechnungsparameter
2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 13
Die Lage der Steifen wird gemäß dem in Bild 3.2 dargestellte Koordinatensystem
definiert. Wie bereits erwähnt müssen Steifen stets auf Elementkanten angeordnet
werden. Es können sowohl Längssteifen, mit Ausdehnung in x-Richtung, als auch
Quersteifen, mit Ausdehnung in y-Richtung, angeordnet werden.
Das Programm FE-Beulen ermöglicht die Ermittlung des 1. bis 20. positiven Eigen-
wertes. Entsprechend sind die Zahlen 1 bis 20 in das Feld „gesuchter Eigenwert“
einzutragen, s. Bild 3.3.
Die Toleranz für den Abbruch der inversen Vektoriteration, zur Ermittlung der
Eigenform, sollte im Bereich von ca. 10-5 bis 10-6 gewählt werden und ist damit
deutlich höher als die Toleranz der Matrizenzerlegung zur Berechnung des
Eigenwertes. Die Toleranz für den Abbruch der Matrizenzerlegung sollte im Bereich
von ca. 10-3 bis 10-4 liegen.
Bild 3.4 Eingabemaske FE-Beulen: Berechnungsoptionen
Zusätzlich zu den Standartausgaben, s. Kapitel 4, können weitere Hilfsausgabe
angezeigt werden. Es ist möglich, dass die Steifigkeitsmatrizen K und G ausgegeben
werden. Dies erzeugt allerdings eine erhebliche Steigerung des Rechenaufwandes. Es
sollte daher in der Regel von der Matrizenausgabe abgesehen werden. Zusätzlich sind
die Ausgabe der Spannungsverteilung im Blech sowie die Ausgabe von
Informationen zur iterativen Eigenwertermittlung möglich.
Der Button „Berechnung starten“ startet die Berechnung.
Der Button „Informationen anzeigen“ zeigt eine kurze Zusammenfassung des
Programms und der wichtigsten Eingaben.
4 Ausgabe 14
4 Ausgabe
Die Ausgabe der Ergebnisse erfolgt im Tabellenblatt „Ausgabe“. Es wird der
ermittelte Eigenwert ausgegeben und es erfolgt die grafische Ausgabe der
zugehörigen Eigenform bzw. Beulfigur. Zusätzlich erfolgt die Ausgabe der zum
gewählten Eigenwert korrespondierenden idealen Beulspanungen und der zu-
gehörigen Beulwerte.
Die Ausgabe aller System- und Berechnungsparameter im Tabellenblatt „Ausgabe“
ermöglicht das eindeutige Nachvollziehen der durchgeführten Berechnung.
Das Tabellenblatt „Ausgabe“ ist so formatiert, dass es ohne weiter Skalierung auf
zwei Seiten des Formats DIN-A4 passt.
Zusätzlich können weiter Hilfsausgaben angezeigt werden (s. Kapitel 4), die in den
Tabellenblättern „K-Matrix“, „G-Matrix“, „Spannungen“ und „Iteration“ zu finden
sind.
5.1 Vorbemerkung 15
5 Berechnungsbeispiele
5.1 Vorbemerkung
In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die wichtigsten
Grundlagen des Programms FE-Beulen erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen
detaillierte Erläuterungen zur Eingabe von System- und Berechnungsparametern
sowie eine Beschreibung der Ergebnisausgabe. Zur weiteren Veranschaulichung von
FE-Beulen und insbesondere der Ergebnisausgabe folgen an dieser Stelle zwei
Berechnungsbeispiele:
Gelenkig gelagertes Einzelbeulfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung
Ausgesteiftes Stegblech eines Durchlaufträgers
Anhand der beiden vorliegenden Beispiele sollen die Möglichkeiten der Stabilitäts-
und Eigenwertsanalyse mit FE-Beulen behandelt werden. Da das Programm keine
Nachweise gegen das Stabilitätsproblem Plattenbeulen beinhaltet, wird auf diese an
dieser Stelle nicht näher eingegangen. Hinweise zur weiteren Nachweisführung
können bspw. [2] entnommen werden.
Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf dem Tabellenblatt „Ausgabe“, s.
Kapitel 4. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur ausgewählte Teile der Ein-
und Ausgabe wiedergegeben.
5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung
Bild 5.1 zeigt das untersuchte Beulfeld. Die zusammengesetzte Beanspruchung aus
Druck- und Schubspannungen erfordert einen kombinierten Nachweis für den
zunächst eine Eigenwertberechnung für die Wirkung der Normalspannung x und für
die Schubspannung erfolgen muss.
Bild 5.1 Gelenkig gelagertes Beulfeld mit zusammengesetzter Beanspruchung
5 Berechnungsbeispiele 16
Zur Stabilitätsuntersuchung und Eigenwertberechnung des Beulfeldes mit FE-Beulen
wird die Anzahl der Plattenelemente in x- und y-Richtung so gewählt, dass jeweils
quadratische Plattenelemente mit einer Fläche von 10x10 cm² entstehen. Die
angezeigte Beulfigur und die berechneten Ergebnisse lassen darauf schließen, dass
die Anzahl der gewählten Elemente ausreichend ist. Da die Rechenzeit nur wenige
Sekunden beträgt, ist eine eventuelle Reduzierung der Elementanzahl unnötig.
Bei alleiniger Wirkung von x ergibt sich ein Eigenwert von cr,x = 1,85 mit einer
zugehörigen Beulfigur mit zwei Welle in Längsrichtung. Die Beulfigur zeigt, dass
das Blech im unteren Bereich ausbeult, wo die Druckspannungen wirken. Die ideale
Beulspannung ergibt sich zu x,cr = 33,31 kN/cm2 und der Beulwert zu k = 23,89.
Bild 5.2 zeigt die Ausgabe in FE-Beulen in gekürzter Form.
Die Ergebnisse der entsprechenden Eigenwertanalyse für die Schubspannung sind
in Bild 5.3 dargestellt. Der Eigenwert berechnet sich zu cr, = 4,15. Die Berechnung
der idealen Beulspannung bzw. des Beulwertes führt zu cr = 8,30 kN/cm2 und
k = 5,96. Die Ausgabe der Beulfigur zeigt ein für das Schubbeulen charakteristisches
Ausbeulen des Bleches.
Eine Berechnung der idealen Beulspanungen mittels Handrechnung und Berechnung
der Bezugsspannung e führt zu nahezu identischen Ergebnissen wie bei der FE-
Berechnung:
2 2
e 2
100 t 100 12 kNσ = 1,898 = 1,898 = 1,394
b 1400 cm
für Baustahl S 235
x,cr σ e 2
kNσ = k σ = 23,9 1,394 = 33,32
cm
cr t e 2
kNτ = k σ = 5,91 1,394 = 8,24
cm
Allerdings müssen neben diesen Formeln noch weitere Formeln zur Bestimmung der
Beulwerte k und k ausgewertet werden, so dass die Berechnung mit FE-Beulen eine
schnell Alternative darstellt.
Für das Beulfeld mit zusammengesetzter Beanspruchung muss der Nachweis gegen
Plattenbeulen bei gleichzeitiger Wirkung von Drucknormal- und Schubspannungen
erfolgen. Die Nachweisführung mit der Methode der reduzierten Spannungen gem.
Kapitel 10 DIN EN 1993-1-5 [1] benötigt den Eigenwert der zusammengesetzten
Beanspruchung. Bild 5.4 zeigt das Ergebnis der FE-Berechnung mit FE-Beulen. Der
Eigenwert ergibt sich zu cr,p = 1,7109. Alternativ kann cr per Handrechnung
ermittelt werden, gem. Gleichung (10.6) [1]:
5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung 17
2 2
x x xcr2 2 2 2
cr cr,x cr,x cr,x cr,τ
1- -11 + ψ 1 + ψ 1 - ψ1 1 1-1 1-1 1 = + + + = + + + α =1,690
α 4 α 4 α 2 α α 4 1,85 4 1,85 2 1,85 4,15
Mit: x,2
x
x,1
σ -18ψ = = = -1
σ 18
Vergleicht man die Ergebnisse der Handrechnung mit den Ergebnissen der
Berechnung mit FE-Beulen sieht man, dass FE-Beulen günstigere Ergebnisse liefert.
Allerdings liegen für das unausgesteifte Beulfeld die Ergebnisse der Handrechnung
und der FE-Rechnung nahe beieinander. Aber gerade für zusammengesetzte
Beanspruchungen aus Druck- und Schubspannungen müssen für die Handrechnung
eine Reihe Formeln ausgewertet werden, was bei der Berechnung mit FE-Beulen
entfällt.
5 Berechnungsbeispiele 18
Bild 5.2 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung bei Normalspannungswirkung
5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung 19
Bild 5.3 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung bei Schubspannungswirkung
5 Berechnungsbeispiele 20
Bild 5.4 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung der zusammengesetzten Beanspruchung
5.3 Ausgesteiftes Beulfeld 21
5.3 Ausgesteiftes Beulfeld
Ein typisches Beispiel für beulgefährdete Bleche sind hohe Stegbleche von
Durchlaufträgern wie sie bspw. im Brückenbau vorkommen. Im Bereich der Stützen
des Durchlaufträgers werden die Stegbleche infolge vertikaler Lasten durch linear
veränderliche Normalspannungen x und Schubspannungen beansprucht. Die große
Höhe der Stegbleche erfordert die Verwendung von Steifen. Bild 5.5 zeigt das aus-
gesteifte Beulfeld, das zwischen zwei kräftigen Vertikalsteifen im Abstand von
3,0 m liegt. Zur Aussteifung werden Längssteifen aus Winkelprofilen 100x50x6 in
den Drittelspunkten der Blechöhe verwendet. Weitere Informationen zum Beispiel
können Kapitel 11.12.4 [2] entnommen werden.
Bild 5.5 Ausgesteiftes Stegblech eines Durchlaufträgers
Für die Berechnung mit FE-Beulen wird das Beulfeld in jeweils 30 Plattenelemente
in x- und y-Richtung aufgeteilt, damit die Längssteifen in den Drittelspunkten der
Höhe, bzw. Ly angeordnet werden können. Die berechneten Ergebnisse und
Beulfiguren zeigen, dass die Anzahl der Elemente ausreichend ist. Um die Rechenzeit
zu reduzieren, könnte die Elementanzahl allerdings reduziert werden.
Als Längssteifen werden Winkelprofile der Abmessung 100x50x6 verwendet, siehe.
[4]. Die Fläche der Steife ohne anteiliges Stegblech beträgt 8,71 cm². Das Trägheits-
moment Iy des Profils muss zunächst in das Koordinatensystem des Blechfeldes
transformiert werden. Unter Berücksichtigung des Steineranteils der effektiven mit-
wirkenden Breiten des Stegbleches ergibt sich das anzusetzende Trägheitsmoment
Isl,1,eff = 479 cm4. Das Torsionsträgheitsmoment IT des offenen Steifenquerschnitts
wird auf der sicheren Seite liegend vernachlässigt.
Für das ausgesteifte Beulfeld muss sowohl das Einzelfeldbeulen als auch das Gesamt-
feldbeulen untersucht werden.
5 Berechnungsbeispiele 22
Einzelfeldbeulen
Die Eigenwertberechnung für die alleinige Wirkung der Normalspannung x liefert
den 1. Positiven Eigenwert cr,x,1 = 2,8181, s. Bild 5.6. Die zugehörige Beulfigur
zeigt das Ausbeulen des unteren Einzelbeulfeldes zwischen dem Rand und der
unteren Steife, in dem die größten Druckspannungen auftreten. Die FE-Berechnung
ergibt eine ideale Beulspannung von x,cr = 36,63 kN/cm². Die Berechnung der
idealen Beulspannung per Handrechnung, s. Kapitel 11.12.4 [2] liefert mit
x,cr = 32,29 kN/cm² einen deutlich kleineren Wert. Bei der Berechnung mit FE-
Beulen werden die aussteifenden Effekte des restlichen Bleches auf das untersuchte
Einzelbeulfeld berücksichtigt. Mit der Handrechnung ist das nicht möglich. Die FE-
Berechnung liefert somit günstigere Ergebnisse als die Handrechnung.
Die Stabilitätsuntersuchung des Einzelbeulfeldes bei wirkender Schubspannung
liefert für die ersten zwanzig positiven Eigenwerte kein Einzelfeldbeulen. Zwar ist ab
dem achten Eigenwert cr,,8 = 5,5144 eine Tendenz zum Einzelfeldbeulen zu
erkennen, allerdings liegt immer auch ein Ausweichen der Längssteifen vor. Eine
Überprüfung des hw/t-Verhältnisses gemäß [1] zeigt, dass für die Schubspannungen
eine Beulgefahr ausgeschlossen werden kann.
Gesamtfeldbeulen
Die Stabilitätsuntersuchung des ausgesteiften Beulfeldes bei alleiniger Wirkung x
zeigt für den vierten positive Eigenwert cr,x,4 = 3,1405 das Beulen des Gesamtfeldes
an, s. Bild 5.7. Bei alleiniger Wirkung der Schubspannung tritt bei der zum ersten
positiven Eigenwert cr,,1 = 2,5573 korrespondierenden idealen Beulspannung
cr = 17,90 kN/cm² Gesamtfeldbeulen auf, s. Bild 5.8. Alternativ zur FE-Berechnung
müssten diese Ergebnisse mit den Beultwerttafeln für ausgesteifte Rechteckplatten
nach Klöppel/Scheer [6] bzw. Klöppel/Möller [7] bestimmt werden.
Der für den Nachweis mit Abminderungsfaktoren nach DIN EN 1993-1-5 [1]
benötigte Eigenwert cr,p = 1,6829 für die zusammengesetzte Beanspruchung aus
Normalspannung x und Schubspannung lässt sich mit dem Programm FE-Beulen
einfach bestimmen, s. Bild 5.9.
5.3 Ausgesteiftes Beulfeld 23
Bild 5.6 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 1. positiven Eigenwertes der
Normalspannung x
5 Berechnungsbeispiele 24
Bild 5.7 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 4. positiven Eigenwertes der
Normalspannung x
5.3 Ausgesteiftes Beulfeld 25
Bild 5.8 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 1. positiven Eigenwertes der
Schubspannung
5 Berechnungsbeispiele 26
Bild 5.9 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 1. positiven Eigenwertes
zusammengesetzten Beanspruchung aus x und
Literatur
[1] DIN EN 1993-1-5 (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von
Stahlbauten - Teil 1-5: Plattenförmige Bauteile; nationaler Anhang (12/10)
[2] Kindmann, R.: Stahlbau -Teil 2: Stabilität und Theorie II. Ordnung, 4.
Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2008
[3] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag
Ernst & Sohn, Berlin 2007
[4] Kindmann, R., Kraus, M., Niebuhr, H. J.: STAHLBAU KOMPAKT
Bemessungshilfen, Profiltabellen, 3. Auflage. Verlag Stahleisen, Düsseldorf
2014
[5] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen.
FE-STAB, Tragfähigkeit und Stabilität von Stäben bei zweiachsiger Biegung
mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Veröffentlichung des Lehrstuhls für
Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014
[6] Klöppel, K., Scheer, J.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten. Verlag Ernst
& Sohn, Berlin 1960
[7] Klöppel, K., Möller, K. H.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten, II. Band.
Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1968
