Event Horizon Mathematik und Physik über, am und unter (?) dem Schwarzschildradius

Event Horizon

Mathematik und Physik über, am und unter (?) dem

Schwarzschildradius

Abschnitt 1:Der Ereignishorizont

Oder die Antwort auf die Frage:

Was ist ein Schwarzes Loch?

Abschnitt 1: Der Ereignishorizont

Eigenschaften eines SL‘s:

- Masse

- Drehimpuls (eventuell)

- Ladung (nur kleine SL‘s)

Frage: Was ist der Unterschied zu anderen (kosmischen) Objekten?

Antwort: Die Masse liegt innerhalb des Schwarzschildradius in Form einer Singularität vor.


Schwarzschildradius einer Masse m:

2

2

c

GMRS

Frage: Was ist das besondere an dieser Größe?

Antwort darauf liefert die ART

Schwarzschildradius hat aber auch Bedeutung jenseits der ART

Abschnitt 1b: Der klassische „Ereignishorizont“Rotverschiebung im Gravitationspotential

Abschnitt 1b: Der klassische „Ereignishorizont“Rotverschiebung im Gravitationspotential

hE Energie eines Photons:

„Masse“ eines Photons:

Aufstiegsarbeit:

Endenergie/-frequenz:

Rotverscheibung:

Gravitationspotential:

22 c

h

c

Em

UmA

AEE '

2

1'c

U

22 rc

GM

c

U

r

GMrU

2

2

c

GMRS

r

RS

2

Abschnitt 1b: Der klassische „Ereignishorizont“

Weitere „klassische“ Relation von RS:

r

RSN

Lichtablenkung bei Passage eines Lichtstrahls nahe derOberfläche einer Masse

r

RSART

2Die ART liefert später

Exkurs: Allgemeine Relativität

Gravitationskraft nach Newton: rG er

mmGrF

221

ART nach Einstein:

- Es gibt keine Gravitationskraft

- Die Masse „sagt“ der Raumzeit, wie sie sich krümmen muss.

- Die gekrümmte Raumzeit sagt der Masse wie sie sich bewegen muss - Teilchenbahnen sind Geodäten in der gekrümmten Raumzeit (Geodäte: kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten -> Bewegung kräftefrei)

Exkurs: Allgemeine RelativitätRaumkrümmung und Geodäten im gekrümmten Raum

Exkurs: Allgemeine RelativitätDie Metrik

22222 dzdydxrdds

Die Metrik eines beliebigen Raumes gibt an, wie sich der Abstand zweier Punkte aus ihren Koordinaten ergibt.

222222222 dtcdzdydxdtcrdds

Euklidische Metrik (Newtonsche Physik)

In SRT wird Raummetrik zu Raumzeitmetrik

SRT-Metrik:

Exkurs: Allgemeine RelativitätDie Metrik

222222

2

2

2

22 sin2

1

121 drdrdr

rc

GMdt

rc

GMcds

Aus den Grundannahmen zur Raumzeit entwickelte Einstein die Feldgleichungen, die die geometrischen Eigenschaften der Raumzeit bestimmen.

Die Metriken der ART sind Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen.

Im folgenden wird vor allem die Schwarzschildmetrik benutzt.

Sie beschreibt die Krümmung der Raumzeit um eine sphärisch symetrische Masse ohne Q und L, die sich im vakuumleeren Raum befindet.

Schwarzschildmetrik:


Besonderheit des Ereignishorizonts:

Singularität der Schwarzschildmetrik

Noch eine Singularität bei r=0

Das ist mathematische Bedeutung!

Was aber ist physikalische Bedeutung?

Betrachtung eines zum und durch den Schwarzschildradius

fallenden Objektes zur Klärung.

Benötigen zuerst geeignete Koordinaten zum Beschreiben.

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeit

Das wo und wann der gekrümmten Raumzeit

um ein nichtrotierendes, ungeladenes und sphärisch symetrisches SL im

vakuumleeren Raum


Im folgenden 3 Koordinatensystem in Benutzung

Die Buchhalter-Koordinaten:

Ereignisse aus Sicht sehr weit entfernt und in relativer Ruhe zum SL

Die Schalen-Koordinaten:Ereignisse aus Sicht einer konzentrischen Schale außerhalb RS in relativer Ruhe

DDie Freier-Fall-Koordinaten:Ereignisse aus Sicht eines frei fallenden Beobachters


12

12

rc

GM

dtdtdds BK

a) Die Buchhalter Koordinaten

Beobachter „außerhalb“ Raumzeitkrümmung, r sehr groß

22222222 drdrdrdrdds BK

Krümmungsfaktor

Für gleichzeitige Ereignisse an unterschiedlichen Orten wird der „Abstand“:

Für Ereignisse zu unterschiedlichen Zeiten am gleichen Ort ergibt sich:

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeita) Die Buchhalter Koordinaten

Problemstellung: Wie kann man Buchhalterkoordinaten in der gekrümmten Raumzeit messen?

tBK und dtBK: Messung über angepasste und Synchronisierte Uhren

rBK und drBK: Messung über den reduzierten Umfang

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeita1) Der reduzierte Umfang

2U

rred

Jede Kugelschale hat einen Umfang U, der für innere Schalen kleiner wird.U kann man abschreiten und Messen, z.Bsp. mit Maßstab.

Berechne rred mit:BKred rr

BKBKBKredredred drrrrrdr 1212

Berechne dr zwischen Punkten als Differenz der rred der zugehörigen Schalen:

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeita2) die „weit-weg“-Zeit (far-away-time)

Problemstellung: Uhr muss so justiert werden, dass sie tfa anzeigt, die Zeit desWeit entfernten Buchhalters.

Dazu beschleunige die Uhr zuerst um den Faktor:

Als nächstes sende eine Zeitabfrage an den Buchhalter.Die Zeit ergibt sich dann zu:

wobei Δtfa die Zeitverzögerung zwischen Absenden der Frage und Erhalt derAntwort und tBK die Antwort ist.

2

1

2

21

redrc

GM

2fa

BKfa

ttt

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeita3) „Messung“ der BK-Koordinaten / Vor- und Nachteile

Der Buchhalter misst nichts wirklich selbst!

Der Schalenbeobachter sendet Berichte der Form:„Hier Schale mit rred, melde Ereignis X zur Zeit tfa.

Der Buchhalter sammelt alle Berichte,ordnet sie,und erstellt so eine Landkarte der Raumzeit.

Vorteil: Absolute Landkarte in der man jedes Ereignis einordnen kann.

Nachteil: Experimente in gekrümmter Raumzeit werden nichtBK-Koordinaten gemessen.

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeitb) Die Schalen-Koordinaten

22

2

22222

21

dr

rc

GMdr

drdrd redShell

2

1

2

21

rc

GM

drdrShell

dtrc

GMdtd Shell

2

1

2

21

Für gleichzeitige Ereignisse an unterschiedlichen Orten wird der „Abstand“:

Für radiale Entfernungen folgt:

Für Ereignisse zu unterschiedlichen Zeiten am gleichen Ort ergibt sich:

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeitb1) Besonderheiten, Vor- und Nachteile der Schalenkoord.

Messungen des Abstandes zweier Kugelschalen mit Maßstab (Messung von drShell) liefert ein anderes Ergebnis als die Differenz der reduzierten Radien der Schalen (Messung von drred).

Vorteile: Messungen in der gekrümmten Raumzeit können durchgeführtWerden Geschwíndigkeiten fallender Objekte können direkt an diesenGemessen werden.

Nachteile: Ab dem Schwarzschildradius abwärts gibt es keine Schalen. Beobachtungen sind nicht frei von Gravitationseinflüssen. Auftretende Kräftesind sehr groß, nahe RS geraten alle Materialien an ihre Belastbarkeitsgrenze.

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeitc) Die Freier-Fall-System-Koordinaten (free-float-frame)

Ein Beobachter im freien Fall kann seine Umgebung der Raumzeit, ähnlich der Schalenumgebung, beliebig genau mit der Metrik der SRT beschreiben, wenn man das System klein genug wählt.

Man kann also die gemessenen Zeiten und Entfernung im free-float-frame über die Lorentztransformationen in dtShell und drShell der gerade passierten Schale umrechnen, und diese Werte dann in far-away-time und reduced circumference.

Vorteile: Im free-float-frame kann man Experimente in gekrümmter Raumzeit durchführen. Man kann dort existieren, auch im und unterhalb RS!

Keine störende Gravitations-Einflüsse. Teilchen in relativer Ruhe bleiben so.

Nachteile: Messwerte sind nicht mit anderen frames vergleichbar.

Abschnitt 2: Koordinaten der Raumzeitd) Grenzen des lokal flachen Raums

In Schale und free-float-frame ist Raum lokal flach.

Je größer aber das System, umso ausgeprägter sind Effekte der Raumkrümmung.

Im free-float-frame treten Gezeitenbeschleunigung auf.

Getrennte Teilchen mit unterschiedlichem θ werden tangential zueinander beschleunigt ohne dass Kräfte wirken.

Getrennte Teilchen mit unterschiedlichem r werden radial auseinander beschleunigt.

Beschrieben durch Gezeitenbeschleunigung/Gezeitenkräfte.

Nahe der zentralen Singularität werden diese Kräfte beliebig groß.

Abschnitt 2: Koordinaten der RaumzeitDer lokal flache Raum

Abschnitt 3: Sturz durch den Ereignishorizont

Oder die Antwort auf die Frage:

„Mama, ist es noch weit? Wie lang dauert es denn noch?“

Abschnitt 3: Sturz durch Ereignishorizont

Teilchen startet „am Rand“ des Potentials und fällt dann radial auf das Schwarze Loch zu.

Der Buchhalter:

In Buchhalter Koordinaten ergeben die Gleichungen:

2

1

22

221

rc

GM

rc

GM

dt

drvBK

Geschwindigkeit wird erst schneller, wie intuitiv erwartet.

Ab bestimmter Nähe zu RS wird Geschwindigkeit aber immer kleiner.

Objekt erreicht RS nie, Zeit „friert ein“.

Russische Bezeichnung für SL ist „gefrorener Stern“.

Dennoch Objekt schwarz, weil Rotverschiebung alle Signale schnell jenseits aller Messbarkeit abschwächt.


Der Schalenbeobachter:

In Schalenkoordinaten ergeben die Gleichungen:

2

1

2

2

rc

GM

dt

drv

shell

shellshell

Geschwindigkeit steigt mit zunehmender Annäherung an RS.Für Schalen sehr nahe am Horizont geht v beliebig nahe gegen dieLichtgeschwindigkeit.

Aber: Geschwindigkeit am Horizont kann in Schalenkoordinaten nicht gemessenwerden.


Der frei fallende Beobachter:

Die eigene Geschwindigkeit ist für den fallenden Beobachter natürlich gleich 0.

Da keine Schale mehr ab RS abwärts existiert, kann auch keine Relativgeschwindigkeit zu diesen gemessen werden.

Allerdings liefern die Gleichungen, dass beim Sturz aus der Unendlichkeit zwischen der Passage einer beliebigen Schale und RS ein konkrete Eigenzeit des fallenden Beobachters vergeht.

Im Gegensatz zu den Buchhalterkoordinaten fällt der Beobachter nicht erst nach unendlicher Zeit durch den Horizont.

Abschnitt 3: Sturz durch EreignishorizontDie scheinbare Singularität:

Schwarzschildradius ist nur Singularität der Buchhalter-Koordinaten.

Kein physikalische Bedeutung einer Singularität „vor Ort“.

Deshalb wird der Ereignishorizont mathematische Koordinatensingularität genannt.

Es gibt umfassende Koordinatensysteme in denen keine Singularität bei r = RS auftritt.

Es bleibt somit nur noch die Singularität bei r=0.

Sie wird im folgenden untersucht.

Abschnitt 4: Der Kollaps der Materie

„Das also war des Pudels Kern!

Ein fahrender Skolast?

Der Kasus macht mich lachen…“

Abschnitt 4: Der Kollaps der MaterieInterstellare Staubwolken kollabieren, wenn sie den Virialsatz verletzen.

KollapsEEEE PotkinPotkin ;

Stabilität durch Innendruck wird erst durch Kernfusion wieder erreicht.

Nach Kernfusion und komplizierten Übergängen läuft der Stern ins Endstadium.

Bei genügend großer Masse entsteht Weißer Zwerg. Materie wird metallisch, Elektronengas baut hohen Gegendruck auf.

Bei größerer Masse entsteht Neutronenstern. Inverser β-Zerfall „erzeugt“ Neutronen, Atome zerfallen zu einheitlicher Neutronenmaterie, Neutronen übernehmen Rolle der Elektronen, Druck steigt wieder an.

Bei noch größerer Masse nicht genug. Vor Erreichen des Horizonts tritt keine Stabilisierung mehr ein, danach ist keine mehr möglich.


Die Masse kollabiert zu einem Punkt, einer Singularität, „Masse ohne Materie“.

Hier liegt echte physikalische Singularität vor, die experimentell feststellbar ist für fallenden Beobachter.

Dieses Endstadium ist unabhängig von der Verteilung der kollabierenden Masse, sie muss nicht sphärisch symmetrisch sein.


Es lässt sich die Eigenzeit ermitteln, die der Kollaps für einen auf der Sternoberfläche stehenden Beobachter benötigt.

Mathematisch einfaches Modell des frei-fallend-kollabierenden Sterns (Druck sinkt schlagartig auf 0):

Zeit bis zum Kollaps ergibt sich zu: 2

1 GtK

In Buchhalter-Koordinaten dauert Kollaps unendlich lange.

Abschnitt 5: Im Schwarzen Loch

Warum wir keine Rückfahrkarte brauchen.


Allgemein bekannt: Aus der Region unterhalb des Horizonts gibt es keinen Rückweg, nichts kann von dort nach draußen dringen.

Frage: Warum ist das so?

Es gibt verschiedene Arten dies zu beantworten.

Möglichkeit 1 (nur für Licht):

Für ein Lichtsignal wird die Rotverschiebung ab dem Horizont so groß, dass nichts mehr beim Beobachter ankommt.

Möglichkeit 2:

Die Anziehungskräfte übersteigen den bestmöglichen Antrieb

Abschnitt 5: Im Schwarzen LochMöglichkeit 3 (eleganter):

Wie aus der Schwarzschildmetrik ersichtlich ist, tauschen dr und dt innerhalb von RS ihren Charakter.

Dies geschieht, weil der Krümmungsfaktor hier negativ wird und dr und dt so ihre Vorzeichen tauschen.

Dies bedeutet, dass der frei fallende Beobachter innerhalb RS genauso unausweichlich zu kleineren r fällt, wie er sich vorher unausweichlich in der Zeit vorwärtsbewegt hat.

Es lässt sich sogar die Zeit berechnen, die ein free-float-frame vom Durchqueren von RS bis zur Ankunft in der zentralen Singularität benötigt:

Sun

crunch M

Ms 61057,6


Möglichkeit 4:

Man berechnet den Zukunftslichtkegel des fallenden Beobachters.

Der Zukunftslichtkegel umfasst alle Ereignisse in der Raumzeit, die in der möglichen Zukunft eines Teilchen an einem Ort der Raumzeit liegen.

Der Rand der Zukunftslichtkegel wird gebildet durch die Geodäten radial abgestrahlten Lichts.

Bei Durchquerung des Schwarzschildradius neigt sich der Zukunftslichtkegel so weit zur Singularität, dass er vollständig innerhalb des SL‘s liegt. Es kann also nicht einmal mehr Licht entkommen.


Die Kruskal-Lösung

Kruskal-Koordinaten entstehen durch Koordinatentransformation aus Schwarzschildmetrik.

Ziel íst zum Beispiel die Beseitigung der Singularität bei RS.

Die Kruskal-Lösung ist die „eindeutige, maximal analytische“ Fortsetzung.

Sie umfasst die ganze Mannigfaltigkeit der Raumzeit.

In der Kruskal-Lösungen haben alle Zukunftslichtkegel einen Winkel von 90° und eine senkrecht nach oben orientierte Ausrichtung.

Die eingezeichnete Weltlinie ist die eines ab t = -5, r = 3 frei fallenden Körpers.

Abschnitt 6: Alternative Metriken

„Und sie dreht sich doch!“


Wenn Q oder L eines Schwarzen Lochs ungleich null sind, wird Raumzeit nicht durch Schwarzschild-Metrik beschrieben.

Außerdem verliert RS seine Bedeutung als Ereignishorizont.

Kerr-Metrik:

Lösung für Schwarze Löcher mit Drehimpuls aber ohne Ladung

Reissner-Nordström-Metrik:

Lösung für Schwarze Löcher mit Ladung aber ohne Drehimpuls.

Kerr-Newman-Metrik:

Lösung für Schwarze Löcher mit Ladung aber ohne Drehimpuls.


Das Kerr-SL:Horizont stimmt nicht mit RS überein. Im Extremfall ist der Horizont nur halb so groß.

Dafür erzeugt das Kerr-SL eine Ergosphäre, in der es den Raum mit seiner Rotation mitreißt. Äußere Rand heißt statische Grenze, weil darunter nichts mehr in Ruhe bleiben kann, aber nicht unbedingt in die Singularität stürzen muss.

Am Äquator liegt ist die statische Grenze mit RS, an den Polen mit dem Horizont identisch.

In der Ergosphäre können Massen negative Energie haben, abhängig von ihrer Rotationsrichtung.

Es ist möglich, dem SL so Energie zu stehlen. Zwei Teilchen in Ergospähre stoßen sich ab, eines bekommt negative Energie und fällt ins SL, das andere bekommt positive und entkommt, das SL „zahlt den Kredit“.

Literaturverzeichnis:

„Exploring Black Holes“ E.F.Taylor/J.A.Wheeler

„Weiße Zwerge-Schwarze Löcher“ R.U.Sexl/H.Sexl

„Eine kurze illustrierte Geschichte der Zeit“ S.W.Hawking

„Gravitation und Kosmologie“ R.U.Sexl/H.K.Urbantke

Wikipedia

Bildquellenverzeichnis:

„Exploring Black Holes“ E.F.Taylor/J.A.Wheeler

„Eine kurze illustrierte Geschichte der Zeit“ S.W.Hawking

http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de /~zahn/paperswww.mpe-garching.mpg.de/~amueller

http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de/

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