Exponential- und Logarithmusfunktionschuelerunterlagen.barmetler.de/.../uploads/...und_Logarithmusfunktion.pdf · Der Logarithmus von 1 ist fur jede Basis˜ a > 0 immer die Zahl Null:

Exponential- undLogarithmusfunktion

(BOS 12. Jahrgangsstufe)

c© 2005, Thomas Barmetler

Stand: 7. Mai 2005

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c© 2005, Thomas Barmetler Exponential- und Logarithmusfunktion

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 3

1.1 Die Euler’sche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Die Exponentialfunkion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Exponentielle Abnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Besondere Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Graphen 7

2.1 Graph einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Graph einer Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Rechenregeln 10

3.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Differenzialrechnung 12

4.1 Ableitung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Ableitung der Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Integralrechnung 21

5.1 Integration einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Logarithmen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.1 Der Logarithmus ausgedruckt als Integral . . . . . . . . . 22

2


1 Einfuhrung

1.1 Die Euler’sche Zahl

Die Euler’sche Zahl kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert wer-den. Die zwei bekanntesten Darstellungen lauten:

e = limn→∞

n∑

k=0

1k!

= 1 +11!

+12!

+13!

+ · · ·+ 1n!

e = limn→∞

(1 +

1n

)n

e = 2, 71828 . . .

Die Folge der Summen ist zur naherungsweisen Berechnung der Euler’schenZahl viel besser geeignet als die Folge der Produkte

(1 + 1

n

)n, da diese außer-ordentlich langsam konvergiert.

Den Grenzwert der zweiten Formel kann man folgendermaßen deuten:Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiertihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist seinGuthaben am 1. Januar des nachsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen Kn = K0 ·(1 + p)n, wobei K0 das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl derVerzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K0 = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlagjahrlich erfolgt, oder p = 100%

n = 1n , wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr

erfolgt.

Bei jahrlichem Zuschlag ware K1 = 1 · (1 + 1)1 EUR = 2, 00 EUR. Beihalbjahrlichem Zuschlag hat man p = 1

2 , also K2 = 1 · (1 + 0, 5)2 EUR = 2, 25EUR, also schon etwas mehr. Bei taglicher Verzinsung (p = 1

365) erhalten wirK365 = 1 · (1 + 1

365

)365 = 2, 714567 . . . EUR.

Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommtdie oben angegebene 2. Formel fur die Euler’sche Zahl e.

1.2 Die Exponentialfunkion

Wird in einer Potenz y = an der Exponent nicht mehr als feste Zahl, sondernals freie Variable angesehen, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift jedemx-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet. Es ist eine reelle Funktion x → ax

definiert worden.

3


Die Funktion f , die durch die Zuordnung x → ax mit a ∈ R+ und x ∈ R fest-gelegt ist, heißt allgemeine Exponentialfunktion oder kurz Exponentialfunkionzur Basis a.

Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.

Wird in einer Exponentialfunktion die Basis a durch die Euler’sche Zahl e =2, 71828 . . . ersetzt, so spricht man von einer naturlichen Exponentialfunktiony = ex.

1.2.1 Exponentielles Wachstum

Viele Wachstumsprozesse (z. B. die Kapitalbildung mit Zinseszinsen, die Zunah-me der Bevolkerungszahl oder einer Tierpopulation, das Wachstum eines Wald-bestandes, . . . ) verlaufen so, dass sie durch Exponentialfunktionen beschriebenwerden konnen.

Hierfur ist charakteristisch, dass fur die Funktion f(t), die den Bestand nacht (ganzzahligen) Einheiten beschreibt, gilt:

f(t + 1) = f(t) + f(t) · p

100=

(1 +

p

100

)· f(t) = q · f(t)

Dabei ist p der prozentuale Zuwachs pro Einheit, q wird als Wachstumsfaktorbezeichnet.

Es kann bewiesen werden dass durch fortgesetzte Anwendung folgende Funk-tionsgleichung entsteht:

f(t) = a ·(1 +

p

100

)t= a · qt

Dabei gibt a den Anfangsbestand (an Kapital, Menschen, Baumen, . . . ) an.

Beispiel:Ein Kapital von 10000 Geldeinheiten (GE) wird zu 6% verzinst. Gesucht sinddie Wachstumsfunktion und das Kapital in 8 Jahren.

Wachstumsfunktion:

Kt = 10000 ·(

1 +6

100

)t

= 10000 · 1, 06t

Kapital nach 8 Jahren:

K8 = 10000 · 1, 068 = 15938, 48GE

1.2.2 Exponentielle Abnahme

Degressive Abschreibung, radioaktive Zerfalle, Durchlassigkeit von Korpern furelektromagnetische Strahlungen, . . . verlaufen in Abhangigkeit der Zeit oft so,dass sie durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden konnen.

4


Dabei erfahrt ein Anfangsbestand a pro Zeiteinheit die gleiche prozentua-le Abnahme p. Der Bestand f(t) nach t Zeiteinheiten ergibt sich dann durchfolgende Formel:

f(t) = a ·(1− p

100

)t= a · qt

Beispiel:Eine Maschine mit einem Anschaffungswert von 250000 Geldeinheiten (GE)wird mit 15% degressiv 4 Jahre lang abgeschrieben. Wie lautet die Abschrei-bungsfunktion? Wie groß ist der Restwert der Maschine?

Abschreibungsfunktion:

Bt = 250000 ·(

1− 15100

)t

= 250000 · 0, 85t

Restwert:B4 = 250000 · 0, 854 = 130501, 56GE

1.3 Der Logarithmus

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur Exponenten lautet:

Fur a ∈ R+\{1} hat nach Vorgabe einer Zahl r ∈ R+ die Gleichung ax = rgenau eine Losung x ∈ R.

In vielen Fallen kann die Losung dieser Gleichung sofort angegeben werden:

• 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3In Worten: ”Die Zahl x = 3 ist derjenige Exponent, mit dem man dieBasis 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten.“.

• 3x = 181 ⇒ 3x = 1

34 ⇒ 3x = 3−4 ⇒ x = −4In Worten: ”Die Zahl x = −4 ist derjenige Exponent, mit dem man dieBasis 3 potenzieren muss, um 1

81 zu erhalten“.

• 5x =√

5 ⇒ 5x = 512 ⇒ x = 1

2In Worten: ”Die Zahl x = 1

2 ist derjenige Exponent, mit dem man dieBasis 5 potenzieren muss, um

√5 zu erhalten“.

• 5x = 7 . . . ? . . .In Worten: ”Die Zahl x ist derjenige Exponent, mit dem man die Basis 5potenzieren muss, um 7 zu erhalten“.

Ist in einer Exponentialgleichung der Exponent die freie Variable, so gibt manihr eine neue Bezeichung: x ist der Logarithmus einer Zahl zu einer bestimmtenBasis. In obigem Beispiel: x ist der Logarithmus von 7 zur Basis 5 - oder inKurzschreibweise: x = log5 7.

5


Der Exponent x in der Gleichung ax = r mit a ∈ R+\{1} und r ∈ R+ heißtder Logarithmus von r zur Basis a. In mathematischer Schreibweise:

ax = r ⇔ x = loga r

1.4 Besondere Logarithmen

Aus der Gleichung a1 = a folgt: loga a = 1In Worten: ”Die Zahl 1 ist derjenige Exponent, mit dem man die Basis a po-tenzieren muss, um a zu erhalten“.

Fur jede zulassige Basis a gilt: loga a = 1.

Aus der Gleichung: ax = ax folgt: loga(ax) = xIn Worten: ”Die Zahl x ist derjenige Exponent, mit dem man die Basis a po-tenzieren muss, um ax zu erhalten.“.Anders ausgedruckt: Wird eine zulassige Basis a mit x potenziert, und bildetman anschließend von dieser Potenz ax wieder den Logarithmus zur Basis a, soerhalt man wieder die Zahl x.→ Liegt die Basis einer Potenz in R+\{1}, dann sind Potenzieren und Loga-rithmieren einander entgegengesetzte Rechenoperationen.

In jeder zulassigen Basis a gilt: loga(ax) = x.

Die Gleichung ax = 1 mit a ∈ R+ hat nach den Gesetzen der Exponential-rechnung immer die Losung x = 0.

Der Logarithmus von 1 ist fur jede Basis a > 0 immer die Zahl Null: loga 1 = 0.

Einige Basen - und damit auch die zugehorigen Logarithmen - kommenin den Naturwissenschaften besonders haufig vor. Deshalb haben sich dafurbesondere Kurzschreibweisen durchgesetzt:

• Logarithmen zur Basis 10 (”Zehner-Logarithmen“ ):statt log10 schreibt man lg(Achtung: auf dem Taschenrechner steht meist log!)

• Logarithmus zur Basis 2 (”logarithmus dualis“ ):statt log2 schreibt man ld(sprich: ”ell-dee“ )

6


• Logarithmus mit der Euler’schen Zahl e = 2, 71828 . . . als Basis (”loga-rithmus naturalis“ ): statt log2,718 schreibt man ln(sprich: ”ell-enn“ )

2 Graphen

2.1 Graph einer Exponentialfunktion

Fur alle Exponentialfunktionen mit den Gleichungen y = ax (wobei a > 0) gilt:

• y ist stets positiv → die zugehorigen Graphen verlaufen oberhalb derx-Achse

• unabhangig von der Basis a verlaufen alle Graphen fur x = 0 durch denPunkt (0|1)

• Monotonie:

– fur a > 1: je großer x, desto großer y → der Graph steigt strengmonoton

– fur a = 1: unabhangig von x betragt y = 1 → waagrechter Graphdurch y = 1

– fur a < 1: je großer x, desto kleiner y → der Graph fallt strengmonoton

−3−2−1 1 2 3

123456

- x

6

y

.................................................................................................................................................

..............................................................

............................................................................................a = 1, 5

.......................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

a = 2

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 4

........................................................................................................................................................................................................................................ a = 1

−3−2−1 1 2 3

123456

- x

6

y

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 0, 25..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 0, 5

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 23

7


• Alle Graphen von Exponentialfunktionen verlaufen im I. und II. Quadran-ten.

• Sie haben die x-Achse als Asymptote.

• Sie schneiden die y-Achse im Punkt (0|1).

• Fur Basen mit a > 1 verlaufen die Graphen streng monoton steigend, furBasen mit 0 < a < 1 verlaufen sie streng monoton fallend.

• Zwei Graphen zu den Basen a und 1a verlaufen spiegelbildlich zur y-Achse

zueinander.

2.2 Graph einer Logarithmusfunktion

Fur alle Logarithmusfunktionen mit y = loga x (wobei a ∈ R+\{1}) gilt:

• Unabhangig von a verlaufen alle Graphen durch den Punkt 1|0), denn esgilt immer: 1 = a0.

• Jeder Graph verlauft durch den Punkt (a|1), denn es gilt immer: a = a1.

• Fur a > 1 gilt:

– x > 1: y muss positiv sein; je großer x, desto großer muss y sein.– 0 < x < 1: y muss negativ sein; je kleiner x, desto negativer muss y

sein.→ Der Graph verlauft streng monoton steigend.

• Fur 0 < a < 1 gilt:

– x > 1: y muss negativ sein; je großer x, desto negativer muss y sein.– 0 < x < 1: y muss positiv sein; je kleiner x, desto großer muss y sein.→ Der Graph verlauft streng monoton fallend.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−4−3−2−1

1234

- x

6y

.....................

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................

...................................................................................

........................................................................ a = 1, 5

.................

............................................................................................................................................................

.........................................................................

.................................................................................................................................

....................................................... a = 2

......................................................................................

...........................................................................................................................................

.................................................................................................................................. a = 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−4−3−2−1

1234

- x

6y

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = 0, 5

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = 0, 25

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = 23

8


Aus den Graphen kann man bereits vermuten, dass die Logarithmuskurvender Basen a und 1

a spiegelbildlich zur x-Achse liegen. Dies lasst sich auch rechteinfach nachweisen:

Bei einer Spiegelung an der x-Achse gilt, dass eine Kurve bei einem bestimm-ten x-Wert den Punkt (x|y) hat, wahrend die zweite Kurve den Punkt (x| − y)beinhaltet. Damit muss die Gleichung y = loga x zur Spiegelung umgeschriebenwerden in −y = loga x.

Dazu gehort die Exponentialgleichung x = a−y, was wiederum vereinfachtwerden kann zu x =

(1a

)y.

• Alle Graphen von Logarithmusfunktionen verlaufen im I. und IV. Qua-dranten.

• Sie haben die y-Achse als Asymptote.

• Sie schneiden die x-Achse im Punkt P (1|0).

• Fur Basen mit a > 1 verlaufen die Graphen streng monoton steigend, furBasen mit 0 < a < 1 verlaufen sie streng monoton fallend.

• Zwei Graphen zu den Basen a und 1a verlaufen spiegelbildlich zur x-Achse

zueinander.

• Jede Logarithmusfunktion y = loga x ist die Umkehrfunktion der zu-gehorigen Exponentialfunktion x = ay. Deshalb verlaufen die Kurvendieser beiden Funktionen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden durchden I. und III. Quadranten.

9


3 Rechenregeln

3.1 Exponentialfunktionen

Hierbei sollte es sich eigentlich um ein Wiederholung handeln, deshalb nur inaller Kurze:

• Multiplikationax · az = ax+z

ax · bx = (ab)x

• Divisionax

az= ax−z

ax

bx=

(a

b

)x

• Potenz einer Potenz(ax)z = ax·z

• Negativer Exponent

a−x =1ax

bz =1

b−z

3.2 Logarithmen

Nach der Vorgabe einer festen Basis a ∈ R+\{1} kann jede beliebige positiveZahl u, v, . . . als Potenzwert der Basis a angegeben werden. Mit der Definitiondes Logarithmus als Exponenten gilt:

u = ax ⇔ x = loga u

v = az ⇔ z = loga v

Damit gelten folgende Rechenregeln:

1. Logarithmus eines Produktes

u · v = ax · az

u · v = ax+z

x + z = loga(u · v)loga u + loga v = loga(u · v)

10


Bezuglich einer festen Basis a ist der Logarithmus eines Produktes gleich derSumme der Logarithmen der einzelnen Faktoren (gilt auch fur mehr als zweiFaktoren!):

loga(u · v · w) = loga u + loga v + loga w

2. Logarithmus eines Quotienten

u

v=

ax

az

u

v= ax−z

x− z = loga

u

v

Bezuglich einer festen Basis a ist der Logarithmus eines Quotienten gleich derDifferenz aus dem Logarithmus des Zahlers und dem Logarithmus des Nenners:

loga

u

v= loga u− loga v

3. Logarithmus einer Potenz

ur = (ax)r

ur = ax·r

x · r = loga(ur)

loga u · r = loga(ur)

Bezuglich einer festen Basis a wird der Logarithmus einer Potenz gebildet, in-dem man den Exponenten mit dem Logarithmus der Basis der Potenz multipli-ziert:

loga(ur) = r · loga u

11


4. Basiswechsel Aufgabe: Wie lautet der Logarithmus von 5 zur Basis 3 inder neuen Basis 7?Aus y = log3 5 erhalt man die Exponentialgleichung 3y = 5.

3y = 5log7(3

y) = log7 5y · log7 3 = log7 5

y =log7 5log7 3

Aus Angabe y = log3 5 : log3 5 =log7 5log7 3

Um den Logarithmus bezuglich einer beliebigen Basis a ∈ R\{1} mit demTaschenrechner zu berechnen muss ein Basiswechsel zur Basis 10 oder zur Eu-ler’schen Zahl vollzogen werden:

loga x =lg x

lg a

4 Differenzialrechnung

4.1 Ableitung der Exponentialfunktion

Mit Hilfe der h-Methode und diverser Substitutionen kann gezeigt werden dassdie Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion y = ax den Logarithmusbeinhaltet.

Die allgemeine Exponentialfunktion y = ax mit a ∈ R+\{1} hat die Ablei-tungsfunktion y′ = ax · ln a.

Betrachtet man nun nicht die allgemeine, sondern die naturliche Exponen-tialfunktion, so bekommt man mit obiger Regel folgende Ableitung:

Die naturliche Exponentialfunktion y = ex hat die Ableitungsfunktion

y′ = ex · ln e = ex

.

12


Die naturliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Ablei-tungsfunktion gleich der Funktion selbst ist! Dies gilt auch fur alle hoherenAbleitungen.

Fur die Funktion y = b · ekx erfolgt die Berechnung der Ableitung mit derKettenregel:

y′ = b · ekx · k = k · b · ekx = k · y

Beispiel:Bestimmen Sie die max. Definitionsmenge und die erste Ableitung der Funktionh(x) = 7 · e3k+2x.

Losung:Da der Exponent jeden beliebigen Wert annehmen darf gilt: Dmax = R.

h′(x) = 7 · e3k+2x · 2 = 14 · e3k+2x

4.2 Ableitung der Logarithmusfunktion

Da jeder Logarithmus mit Hilfe eines Basiswechsels durch den naturlichen Lo-garithmus ausgedruckt werden kann gilt:

y = loga x =lnx

ln a=

1ln a

· ln x

Ist nun die Ableitung y′ gesucht, so erkennt man dass ln a nur im Faktor auftritt.Zur Berechnung der Ableitung von y = loga x muss nur die erste Ableitung vonln x bekannt sein.

Es gilt:y = ln x ⇔ ey = x

Diese Exponentialfunktion wird sowohl auf der linken, als auch auf der rech-ten Seite nach x differenziert. Dabei muss auf der linken Seite die Kettenregelangewendet werden, da y ja selbst eine Funktion von x ist!

ex = y |Beide Seiten nach x ableiten

ey · y′ = 1

y′ =1ey

| ey = x wieder einsetzen

y′ =1x

13


Die in R+ erklarte naturliche Logarithmusfunktion y = lnx hat die Ableitungy′ = 1

x .

Damit kann auch die Ableitung jeder beliebigen Logarithmusfunktion ange-geben werden.

Die allgemeine Logarithmusfunktion y = loga x = 1ln a · ln x hat die Ableitung

y′ =(

1ln a

· ln x

)′=

1ln a

· 1x

=1

x · ln a

.

Die verkettete Funktion y = ln g(x), in der die Funktion g differenzierbar undg(x) > 0 erfullt ist, hat die Ableitung y′ = 1

g(x) · g′(x).

Beispiel:Wie lauten die ersten Ableitungen der Funktionen f(x) = lnx2 undg(x) = (lnx)2?

Losung:Bei beiden Funktionen muss die Kettenregel angewendet werden. Bei f(x) istder Logarithmus die außere Funktion und das Quadrat die innere, bei g(x)genau umgekehrt.

f(x) = lnx2 g(x) = (lnx)2

f ′(x) =1x2· 2x g′(x) = 2 · ln x · 1

x

f ′(x) =2x

g′(x) =2x· ln x

1

1- x

6

y

...........................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

1

1- x

6

y

..................

.................

.................

.................

..................

..............................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

14


Ubungsaufgaben

1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten sowie die Lage und Art der Ex-trempunkte des Graphen von

f : y = 2 · x + 1e2x

2. Geben Sie die max. Definitionsmenge und das Monotonieverhalten derFunktion g(x) an.

g(x) =ex

ex − 1

3. Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von fa.

fa(x) =a · xex−a

mit: a 6= 0

4. Wie lautet die max. Definitionsmenge und die erste Ableitung der Funk-tion f(x)?

h(x) = lnx2

x2 + 1

5. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven mit den Gleichungeny = ln(x + 3) und ln(7− x)?

6. Bestatigen Sie folgende Zusammenhange:

(a) f(x) = ln(2x+1)x ⇒ f ′(1) = −0, 4319

(b) h(x) = esin(π·x) ⇒ h′′(1) = π2

15


Losungen

1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten sowie die Lage und Artder Extrempunkte des Graphen von

f : y = 2 · x + 1e2x

Erste Ableitung mit Quotientenregel:

f ′(x) = 2 · e2x · 1− (x + 1) · e2x · 2e2x · e2x

= 2 · e2x · (1− 2x− 2)e2x · e2x

= 2 · −2x− 1e2x

Der Zahler e2x ist immer positiv, d. h. das Vorzeichen der ersten Ableitunghangt nur vom Nenner −2x− 1 ab.

f ′(x) < 0 f ′(x) = 0 f ′(x) > 0−2x− 1 < 0 −2x− 1 = 0 −2x− 1 > 0

x > −12

x = −12 x < −1

2

→ Hochpunkt HP(−1

2

∣∣ e)

−1 1 2 3

1

2

3

- x

6y

....................

.................

................

...............

...............

................

................

..................

.....................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Geben Sie die max. Definitionsmenge und das Monotoniever-halten der Funktion g(x) an.

g(x) =ex

ex − 1

Fur den Zahler gibt es keine Beschrankung, aber die Division durch Nullmuss ausgeschlossen werden.

ex − 1 6= 0 → ex 6= 1 → x 6= 0 ⇒ Dg,max = R\{0}

1. Ableitung mit Quotientenregel:

g′(x) =ex · (ex − 1)− ex · ex

(ex − 1)2=

(ex)2 − ex − (ex)2

(ex − 1)2=

−ex

(ex − 1)2

Zahler ist immer negativ, der Nenner immer positiv → g′(x) < 0 fur allex ∈ Df,max.

16


Achtung: Da Dg,max kein Intervall ist (die Null ist ausgenommen!) mussdas Monotonieverhalten von g in den Teilintervallen ]−∞; 0[ und ]0; +∞[untersucht werden. Da g′(x) < 0 in diesen Teilintervallen gilt, ist die Funk-tion in diesen Teilintervallen jeweils streng monoton abnehmend, jedochnicht in Dg,max.

1 2 3

1

2

3

- x

6y

..................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

3. Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von fa.

fa(x) =a · xex−a

mit: a 6= 0

Erste Ableitung berechnen:

f ′a(x) =a · ex−a − ax · ex−a

ex−a · ex−a=

a− ax

ex−a= a · 1− x

ex−a

Der Nenner ex−a ist stets positiv, aber sowohl der Parameter a, als auchder Zahler 1− x konnen das Vorzeichen wechseln. Fallunterscheidung:

• a > 0

f ′a(x) < 0 f ′a(x) = 0 f ′a(x) > 01− x < 0 1− x = 0 1− x > 0

x > 1 x = 1 x < 1

→ Hochpunkt fur a > 0: HP(1

∣∣aea

e

)

• a < 0

f ′a(x) < 0 f ′a(x) = 0 f ′a(x) < 01− x > 0 1− x = 0 1− x < 0

x < 1 x = 1 x > 1

→ Tiefpunkt fur a < 0: TP(1

∣∣aea

e

)

17


−1 1 2 3 4 5 6−4

4

8

12

16

20

24

- x

6y

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 2, 2

..................

.................

.................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 2, 6

....................

.................

...............

...............

...............

...............

................

..................

......................

..................

.................

.................

.................

.................

.................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 3

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

..

Die Graphen fur a < 0 entsprechen den oben abgedruckten, aber an der x-Achse gespiegelten Graphen. Allerdings liegt der Tiefpunkt stets zwischenca. −0, 14 < y < 0.

4. Wie lautet die max. Definitionsmenge und die erste Ableitungder Funktion f(x)?

h(x) = lnx2

x2 + 1Das Argument eines Logarithmus großer Null sein. Sowohl der gegebeneZahler (x2), als auch der Nenner (x2 + 1) sind stets positiv. Aber derZahler konnte auch Null werden. ⇒ Dmax = R\{0}.Allgemein gilt:

h(x) = ln g(x) → h′(x) =1

g(x)· g′(x)

Die erste Ableitung wird mit Hilfe der Ketten- und der Quotientenregelbestimmt:

h′(x) =1x2

x2+1︸︷︷︸1

g(x)

· 2x · (x2 + 1)− x2 · 2x

(x2 + 1)2︸︷︷︸g′(x)

=x2 + 1

x2· 2x3 − 2x− 2x3

(x2 + 1)2

=x2 + 1

x2· 2x

(x2 + 1)2

18


=2

x · (x2 + 1)

5. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven mit den Glei-chungen y = ln(x + 3) und ln(7− x)?

Schnittpunkt bestimmen:

ln(x + 3) = ln(7− x)eln(x+3) = eln(7−x)

x + 3 = 7− x

x = 2 mit TR: y ≈ 1, 61 ⇒ S(2|1, 61)

Erste Ableitungen berechnen:

y = ln(x + 3) y = ln(7− x)

y′ =1

x + 3· 1 y′ =

17− x

· (−1)

y′ =1

x + 3y′ =

1x− 7

Steigungen im Schnittpunkt bestimmen:

y′(2) =1

2 + 3y′(2) =

12− 7

y′(2) =15

y′(2) = −15

Steigungswinkel bestimmen:

α = arctan(

15

)β = arctan

(−1

5

)

α ≈ 11, 31◦ β ≈ −11, 31◦

Schnittwinkel ermitteln:

ϕ = α− β = 11, 31◦ − (−11, 31◦) = 22, 62◦

6. Bestatigen Sie folgende Zusammenhange:

(a) f(x) = ln(2x+1)x ⇒ f ′(1) = −0,4319

Mit der Quotientenregel und der Ableitungsregel fur Logarithmengilt:

f ′(x) =2

2x+1 · x− ln(2x + 1) · 1x2

19


=2x

2x+1 − ln(2x + 1)x2

f ′(1) =2·1

2·1+1 − ln(2 · 1 + 1)12

=23 − ln(3)

1

≈ 23− 1, 0986 ≈ −0, 4319

(b) h(x) = esin(π·x) ⇒ h′′(1) = π2

Erste Ableitung mit der Ableitungsregel fur Exponentialfunktionenund der Kettenregel:

f ′(x) = esin(π·x) · cos(π · x) · π

Zweite Ableitung mit der Ableitungsregel fur Exponentialfunktionenund der Produktregel. Dabei wird beachtet, dass π aus der erstenAbleitung nur ein Faktor ist → vor die Klammer schreiben:

f ′′(x) = π ·

esin(π·x) · cos(π · x) · π︸︷︷︸

Ableitung von esin(πx)

· cos(π · x) + esin(π·x) · − sin(π · x) · π︸︷︷︸Ableitung von cos(πx)

= π2 · esin(π·x) · [cos2(π · x)− sin(π · x)]

f ′′(1) = π2 · esin(π·1) · [cos2(π · 1)− sin(π · 1)]

= π2 · 1 · [1− 0] = π2

20


5 Integralrechnung

5.1 Integration einer Exponentialfunktion

Da die Ableitung einer naturlichen Exponentialfunktion y = ex wieder y′ = ex

ergibt, gilt fur das Integral:∫

y′ dx = y + C ⇒ ∫ex dx = ex + C.

Das Integral uber eine naturliche Exponentialfunktion ergibt wieder einenaturliche Exponentialfunktion:

∫ex dx = ex + C

Berucksichtigt man hierbei noch die Regeln bezuglich Exponenten und derenUmformung, sowie der linearen Abwandlung

∫f(ax + b) dx =

1a· F (ax + b) + C a 6= 0

erhalt man folgende Integrationsregel:

∫ax dx =

∫eln ax

dx =∫

ex·ln a dx =1

ln a· ex·ln a + C =

1ln a

· ax + C

Ist eine Funktion g(x) = ef(x) gegeben, so erhalt man deren Ableitung durchAnwendung der Kettenregel:

g(x) = ef(x) ⇒ g′(x) = ef(x) · f ′(x)

Kehrt man die Kettenregel um, so erhalt man gleich wieder eine Regel zumIntegrieren:

∫f ′(x) · ef(x) dx = ef(x) + C

21


5.2 Logarithmen und Integrale

5.2.1 Der Logarithmus ausgedruckt als Integral

Zur Wiederholung soll noch einmal die grundlegendste Regel zum Integrierenbetrachtet werden:

∫xn dx =

1n + 1

· xn+1 + C n ∈ Z\{−1}

Der Exponent des Integranden darf dabei den Wert −1 nicht annehmen, weilsonst in der Stammfunktion eine Division durch Null stattfinden wurde.

Doch was wurde n = −1 uberhaupt bedeuten? Das Integral hieße damit:∫x−1 dx =

∫1x dx. Ferner soll noch einmal daran erinnert werden, wie man das

Ergebnis F (x) einer Integration uberpruft: Man leitet F (x) und muss dann denIntegranden erhalten: F ′(x) = f(x).

Spatestens nun muss das Ergebnis von Seite 13 wieder prasent sein, welchesfur die Ableitung des naturlichen Logarithmus besagt: (lnx)′ = 1

x .

Der naturliche Logarithmus kann auch als Integral dargestellt werden:

ln x =∫

1x

dx

Mit der Regel zur lineare Abwandlung∫

f(ax + b) dx =1a· F (ax + b) + C a 6= 0

folgt:

∫1

ax + bdx =

1a· ln |ax + b|+ C

⇒ a ·∫

1ax + b

dx =∫

a

ax + bdx = ln |ax + b|+ C

allgemein:∫

f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ C f(x) 6= 0

22


Ubungsaufgaben

1. Bestimmen Sie folgende Integrale:

(a)∫

(2x− 1) · ex2−x dx

(b)∫ √3−2 x · ex2

dx

(c)∫

e−2x dx


(a)∫

7x dx

(b)∫

24x+1 dx

(c)∫ −5

x3 dx

3. Zeigen Sie durch Rechnung dass gilt:∫ 2

1

7x2 + 4x− 9x2

dx ≈ 5, 27

4. Gegeben sei das bestimmte Integral∫ β

6

2x− 8x2 − 8x + 15

dx

(a) Fur welche β existiert das obige Integral?

(b) Bestimmen Sie β so, dass gilt:

∫ β

6

2x− 8x2 − 8x + 15

dx = ln53

23


5. Gegeben sei fur k ∈ R+ die Schar von Funktionen

fk : x 7→ − x2

x + k

(a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk,max von fk an.

(b) Bestimmen Sie die Nullstellen von fk.

(c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Grenzen desDefinitionsbereichs.

(d) Ermitteln Sie das Monotonieverhalten von fk und bestimmen Sie Artund Lage der Extrempunkte des Graphen Gk.(Zwischenergebnis: f ′k(x) = −x·(x+2k)

(x+k)2)

(e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der die Extrem-punkte aller Graphen gk liegen.

Im Folgenden sei k = 1.

(f) Ermitteln Sie eine Gleichung der schiefen Asymptote des GraphenG1 und zeigen Sie, dass diese den Graphen nicht schneidet.

(g) Zeigen Sie, dass

F : x 7→ −12x2 + x− ln(x + 1)

fur x > −1 Stammfunktion von f1 ist.

(h) Der Graph G1, die y-Achse und die zwei Geraden mit den Gleichun-gen y = −x + 1 sowie x = u(u > 0) schließen ein Flachenstuck vomInhalt A(u) ein.Bestimmen Sie A(u) und berechnen Sie u so, dass A(u) = 1 ist.

24


Losungen

1. (a) Direkte Anwendung der Regel∫

f ′(x) · ef(x) dx = ef(x) + C moglich:∫

(2x− 1) · ex2−x dx = ex2−x + C

(b) Vor ex2steht zwar nicht die Ableitung des Exponenten, durch eine

kleine Umformung erhalt man diese jedoch leicht:

∫ √3

−2x · ex2

dx =12·∫ √

3

−22 · x · ex2

dx

=12·[ex2

]√3

−2

=12· (e3 − e4)

≈ −17, 26

(c) Kleine Umformung vornehmen um die Regel∫

f ′(x) · ef(x) dx =ef(x) + C anwenden zu konnen:

∫e−2x dx = −1

2·∫−2 · e−2x dx

= −12· e−2x + C

2.∫ 2

1

7x2 + 4x− 9x2

dx =∫ 2

17 +

4x− 9

x2dx

=[7x + 4 · ln x +

9x

]2

1

= 14 + 4 · ln 2 + 4, 5− 7− 4 · ln 1− 9= 2, 5 + 4 · ln 2≈ 5, 27


(a) Direkte Anwendung der Logarithmusregel:∫

7x

dx = 7 ·∫

1x

dx = 7 · ln |x|+ C

(b) Anwendung der linearen Abwandlung der Logarithmusregel:∫

24x + 1

dx = 2 ·∫

14x + 1

dx = 2 · 14· ln |4x + 1|+ C

25


(c) Diese Aufgabe hat nichts mit e-Funktion oder Logarithmus zu tun:∫ −5

x3dx = −5 ·

∫1x3

= −5 ·(−1

2

)· 1x2

+ C =5

2x2+ C

4. (a) Von der unteren Grenze ausgehend kann so weit nach links oderrechts integriert werden, wie der Integrand stetig ist. Da dabei keineDefinitionslucke uberschritten werden darf gilt:

5 < β < ∞

(b) Der Zahler des Integranden ist die Ableitung vom Nenner, deshalbgilt: ∫

f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ C

∫ β

6

2x− 8x2 − 8x + 15

dx = [ln |x2 − 8x + 15|]β6= ln |β2 − 8β + 15| − ln |62 − 8 · 6 + 15|= ln |β2 − 8β + 15| − ln 3

ln53

!= ln |β2 − 8β + 15| − ln 3

ln 5− ln 3 != ln |β2 − 8β + 15| − ln 3ln 5 = ln |β2 − 8β + 15|

5 = |β2 − 8β + 15|

β2 − 8β + 15 = 5 oder β2 − 8β + 15 = −5β2 − 8β + 10 = 0 β2 − 8β + 20 = 0

→ β1/2 = 4±√

6 Keine reelle Losung!→ β1 ≈ 6, 45

β2 ≈ 1, 55

Da fur β in der vorherigen Teilaufgabe bereits der Definitionsbereich5 < β < ∞ gefunden wurde kommt als Losung hier nur β1 = 4 +

√6 in

Betracht.

26


5. (a) fk ist definiert fur alle x-Werte, außer fur x = −k, da dann derNenner zu Null wird. ⇒ Dk,max = R\{−k}.

(b)

fk!= 0 ⇒ x2 != 0

Doppelte Nullstelle bei x1/2 = 0, d. h. jeder Graph Gk beruhrt diex-Achse im Punkt P (0|0).

(c)

limx→−∞ fk = lim

x→−∞

(− x2

x + k

)→ +∞

limx→+∞ fk = lim

x→+∞

(− x2

x + k

)→ −∞

limx→−k−h

fk = limx→−l−h

(− x2

x + k

)= −(−k − h)2

−h→ +∞

limx→−k+h

fk = limx→−l+h

(− x2

x + k

)= −(−k + h)2

h→ −∞

→ Senkrechte Asymptote bei x = −k (Pol mit Vorzeichenwechsel)

(d) Erste Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen:

f ′k(x) = −2x · (x + k)− x2 · 1(x + k)2

= −x2 + 2kx

(x + k)2

= −x · (x + 2k)(x + k)2

Der Nenner ist immer positiv, d. h. das Vorzeichen der ersten Ablei-tung hangt vom Zahler ab. Die erste Ableitung ist großer Null, wennder Zahler kleiner Null ist (wg. Minuszeichen vor Bruch!) → die zweiFaktoren im Zahler mussen unterschiedliche Vorzeichen haben:

f ′k(x) > 0x > 0 ∧ x + 2k < 0 x < 0 ∧ x + 2k > 0

x > 0 ∧ x < −2 x < 0 ∧ x > −2k

L1 = { } L2 =]− 2k; 0[

Unter Berucksichtigung dass Dk,max = R\{−k} gilt: f ′k(x) > 0 unddamit Gk streng monoton steigend fur x ∈]−2k; k[ und fur x ∈]−k; 0[,wahrend fur x ∈]−∞;−2k[ und x ∈]0;∞[ der Graph streng monotonfallt.

Somit ergibt sich ein Tiefpunkt bei x = −2k und ein Hochpunktbei x = 0:

TP (−2k|4k) HP (0|0)

27


(e) Alle Graphen haben den gemeinsamen Hochpunkt HP (0|0). Dieserliegt auf der y-Achse. Damit ist der y-Abschnitt der gesuchten Ge-raden gleich Null. Die Gerade muss die folgende Form haben:

g : y = m · x=

∆y

∆x· x

=y(TP ) − y(HP )

x(TP ) − x(HP )· x

=4k − 0−2k − 0

· xg : y = −2x

(f)

f1(x) = − x2

x + 1mit: D1,max = R\{−1}

Schiefe Asymptote erhalt man durch Polynomdivision:

(−x2) : (x + 1) = −x + 1− 1x + 1

Gleichung der schiefen Asymptote ist der ganzrationale Anteil derPolynomdivision:

h : y = −x + 1

Mogliche Schnittpunkte durch gleichsetzen bestimmen:

f1(x) = h(x)

− x2

x + 1= −x + 1

−x2 = −x2 + 1 Nicht moglich!0 = 1 Kein Schnittpunkt, da Widerspruch!

(g) Wenn F1 Stammfunktion von f1 sein soll, so muss gelten:

F ′1 = f1

F ′1 = 2 ·

(−1

2

)· x + 1− 1

x + 1· 1 = −x + 1− 1

x + 1

Dies entspricht f1 (vgl. Teilaufgabe 5f, Polynomdivision)

(h) Die gesuchte Flache liegt rechts von der y-Achse (da die y-Achse undx = u, mit u > 0 als Grenzen angegeben sind). Da jeder Graph Gk,also auch G1 den Hochpunkt HP (0|0) hat und die Gerade a(x) :y = −x + 1 die y-Achse bei 1 schneidet weiß man, dass die Gerade

28


oberhalb des Graphen verlauft.

A(u) =∫ u

0[a(x)− f1(x)] dx

=∫ u

0[(−x + 1)− (−x + 1− 1

x + 1)] dx

= −∫ u

0

1x + 1

dx

= [ln(x + 1)]u0= ln(u + 1)− ln(0 + 1)= ln(u + 1)− 0

1 != ln(u + 1)

⇒ e1 != u + 1e = u + 1u = e− 1 (≈ 1, 7182)

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Documents

Exponential- und Logarithmusfunktionschuelerunterlagen.barmetler.de/.../uploads/...und_Logarithmusfunktion.pdf · Der Logarithmus von 1 ist fur jede Basis˜ a > 0 immer die Zahl Null: