Mathematische Zeitsdarift, Band 55, Heft 8, S. 346--352 (195"2).

Extremalprobleme fiir konvexe Bereiche der euklidischen Ebene').

Von

D. Ohmann in Frankfurt a. M.

LEBESGUE zeigte als erster i dait ein Reuleauxdreieck un te r allen Bereichen gleicher kons tan te r Breite minimalen Inhal t besitzt~).-Mit einem der LEBESGUESChen Beweismethode nachgebi lde ten Verfahren soll hier gezeigt werden, dal~ un te r allen Bereichen B, ,die bez~iglich eines Eichbereichs Bo gleiche k o n s t a n t e R-Breite (R ~ , ,Relativ, )

b * ( @ - - 2b(ef)~ .(b(@.i, bo(q~). = Breite .yon B, Bo in tier Richtung cp)

besitzen, .einem dem R'euleauxdreieck analogen dreieeksf6rmigen Bereieh die entsprechende )/Iinimaleigensehaft zukommtS).

Darauf aufbaUend Werden dann die Bereiehe minimalen Inhalts bestimmt, fiir welehe Dieke J und Umfang L bzw. Dieke J und Dureh -:

mes~sel: D unter tier Bedingung 2 V3-J _~ L ~ ~ A ~) bzw, ~- V3z/~_~ D ~ J vorgegeben sind.

w

Vorbetrachtungen.

1, Es beschreibe der (h ' tsvektor l: den Rand des zentralsymmetr ischen konvexen Bereiches B*, und es mSgen die Vektoren r , , r~, r.~ so gew~thlt sein, dais r , + r ~ - r:, --- 0. so daft sie gleichsinnig aneinandergelegL ein gesehlossenes Dreieck A,A.~A~ bilden (Fig. 1). Verbindet man da0n die Eckpunkte .4j paarweise dutch emsprechend gelegene Bogen yon B*. so ents teht ein dreieeksfSrmiger konvexer Bereich, 'den wir wegen seiner �9 Verwandtsehaf t mit dem Reuleauxdreieek als allgemeines Reuleaux- dreieck mit R bezeiehnen (beim Reuleauxdreieck Selbst ist B* ein Kreis).

1~ Diese Arbeit stellt eifie Umarbei~ung eines Tei]es memer Dissertation dar (Marburg 1948):

2) H. LEBESGUE: Sur leprobleme des isop6rim~tres et sur les domaines de largeur constante, iBull. Soc. Math. France C. R. 1914: S. 72 76.,

3) Dies bewies K. GONTHER gleichzeitig und unabh~ngig ~n seiner Dissertation (Marburg 1948).

9) Fiir die LSsung dieses Problems liegt eine hier zu best~ttigende Vermutung v o n ]VI.. YAMANOUTI vor. (Notes on closed convex figures; Proc. Phys.-Math. Soc. Jap. (3) Bd. 14 (1932); S.:605--609.)

D. Ohmann : Ex t rema tp rob leme f/.ir konvexe Berefehe usw. 3 4 7

Aus der Konstruktion ist sofort zu entnehmen, daft B* den Vektor- bereieh zu R darstellt, so dab ffir die Breite zu folgern ist:

b (B*; cp) - - 2 b (R, q)). A 3

Bezeiehnen wir die Summe t = -~- ~ cp~. der �9 j = l

Riehtungswmkel ~j der bei der Konstruktion yon R beteiligten Vektoren r j a l s Parameter yon A ~. _..~ R = R(B*; t), so ist R(B*; t) bei festem ,,Bezugs: bereieh" B*'offenbar eindeutig und stetig auf seinen Parameter t bezogen.

2. Aus der Konstruktion des a l tgemeinen Reuleauxdreieeks folgt, dag sieh ihm in seinen Fig. 1. Eckpunkten A~; A,; A~ wenigstens e in Sechseek mit paarweise parallelen Seiten umbesehreibentN~t. Von jedem solehen Seehseek sagen wir dann, es sei R als Grundsechseck G(R) zugeordnet.

Mit oj(G) (] = 1, 2;3) bezeichnen wir nun den Richtungswinkel der

. ,'qz

Fig. 2.

bei Aj im Orientierungssinn beginnenden sei te yon G(R) und mit ~ ( R ) ; e}'(R) seine Extremalwerte bei festgehaltenem R (Fig. 2):

~p~ (R) = rain ~b s ((3), ~0~ (R) = max~p/G), =

Werden dann ffir die Grundseehseeke G).(R) die Seitenriehtungen dureh

e;(R ; X) = e; (n) + X (,;: ( R ) - 03 (R))

(0 <_ z <_ 1)

gegeben, so lassen sich die G~.(R) bei festem Bezugsbereich B* und 3

variablem R eindeutig und stetig auf den P a r a m e t e r s - - �89 ~ ~j(R; ).) j = l

beziehen : Gx(R) = G ~B* ; sl. 3. Die Umkehrung zu 2. stellt die gleicI~ zu beweisende TatSuehe

dar, daf~ ein Bereich B ein allgemeines Reuleauxdreieck ist, wenn sieh ihm ein konvexes Seehseck S mit paarweise parallelen Sei(en~'derart umbeschreiben l~tt3t, d~l~ S mit B drei paarweise nicht benaehbarte Eekpunkte gemeinsam, hat.

Zum Beweis habe S die Eckpunkte AI, A3 und A5 mit B gemeinsam. Da S paarweise parMlele Seiten besitzt, bertthren die zu Stiitzgerade n dureh A j ( ] - 1, 3, 5) paralellen Sttitzgeraden an dela Bereich B diesen

in Punkten des Aj gegeniiberliegenden Rand bogens AkAz (l, k ~ 1~ 3, 5;

1 ~= k; 1, k ~=,'j). Damit weisen sleh die Bogen AkAz aber als Randbogen des zu B geh6renden Vektorenbereiehs B* aus, w~hrend die Streeken A~Az die gleiehe Eg, nge besitzen wie die gleiehgeriehteten Ortsvektoren

348 D. Ohmann:

der auf ihren Mittelpunkt bezogenen Randkurve yon B :'~. Der Definition der allgemeinen Reuleauxdreiecke ist damit schon zu entnehmen, daft B ein solches darstellt, d a s B* als BezUgsbereich besitzt.

4. H i l f s s a t z 1. Jedem kon, vexen Bereich 1Mtt sich ein zentral- symmetrische s Sechseck umbeschreiben, dessen Seiten 4enen eines Grundsechsecks mit vorgegebenem Bezugsbereich paarweise parallel sind.

Be w e i s . Bezeichnet B den beliebigen konvexen Bereich und B* den v0rgegebenen zentra!symmetrischen Bezugsbereich, so m6ge C(s) das dem Bereich B umbeschriebene Sechseck sein i dessen Seiten denen des Grundsechsecks G(B* i s) paarweise parallel sind. Da G(B*; s + ~ ) aus G(B*; s) dureh Drehung um z hervorgeht, ist C(s +~)~-C(s) , so dag ffir die Mtnge a,!s) (t~ - - 1, 2, . . . 6) der im Umlaufsinn numerierten Seiten yon C(s)

a.+~(s) - - a . (s + ~)

gilt. Auf (0, ~} m u g es daher aus Stetigkeitsgriinden eine Stelle s ==--S o geben, an der a,,+3 (so) -= a,(so) statthat und C(so) mithin einen Mittelpunkt besitzt.

5. t I i l f s s a t z 2. Symmetrisiert man ein allgemeines Reuleaux- dreieck parallel zu de'r Verbindungssehne zvceier seiner Eckpunkte, so entsteht ein allgemeines Reuleauxdreieck nicht geringerer Dicke (Dicke ~ Minimum der Breite).

B e w e i s . Es sei R(A,; A~; Ao) ein allgemeines Reuleauxdreieck mit dem Bezugsbereich B*. Durch Symmetrisierung (nach Steiner) yon B* in der Richtung A~A 8 m Sge der wiederum zentralsymmetrische Bereich

Fig. 3.

B** entstehen. Hatten wir dabei R derart auf B* gelegt, dab A, mit dem Mittelpunkt von B* Zusammenfiel, so erkennt man, dag das Dreieck A,A~A3 be i dieser Symmetrisierung in ein Vektordreieck A~A*A* ~on B** iibergeht (Fig. 3). Das zu A*A*A*~ geh6rige allgemeine Reuleaux- dreieck R* zum Bezugsbere ich B** ist dabei ersichtlich aus R dutch die gleiche Symmetrisie- rung hervorgegangen. Beachten

wir, dag die Dicke eines zentralsymmetrischen Bereichs bei Symmetri- sierung nicht abnimmt, so folgt J(B**) >/A(B*) und daraus schlieglich

,J (R*) > a (R).

6 . tI i 1 f s s a t z 3. Eine konvergente Folg e yon atlgemeinen Reuleaux- dreiecken konvergiert wieder gegen ein allgemeines Reuleauxdreieck.

Extremalprobleme fiir konvexe Bereiche der euklidischen Ebene. 349

B e w eis. Die Folge von a!lgemeinen Reuleauxdreiecken R~(v = 1, 2,... sei gegen den Bereich R* konvergent. Dann last sieh aus der Folge der' zugeordneten Grundseehseeke G, eine konvergente Teilfolge G~,, G , , . . . aussondern (Anwendung des BLASCHKESehen Auswahlsatzes)~ die etwa gegen G* konvergieren m(ige. G* stellt dann wie die G, ein Sechseck mit paarweise parallelen Seiten dar, wobei man den entsprechenden Verhi~ltnissen bei den G, und R~ entnehmen darf, dal~ G* dem Bereieh R* umbeschrieben ist, und da$ dreipaarweise nieht benachbarte Eekpunkte yon G* zu R* geh(iren. Damit folgt aus 3., dai~ R* ein allgemeines Reuleauxdreieek darstellt.

w Die Minimaleigenschaft des allgemeinea Reuleauxdreiecks.

Es sei B ein beliebiger Bereich konstanter R~Breite bei festem Eich- bereich Bo und C das B umbeschriebene zentralsymmetrische Sechseck, dessen Seiten gem~tl~ Hilfssatz 1 denen des Grundseehseeks G paar- weise parallel seien. Hatten wir dabei den Vektorbereich B* yon B als Bezugsbereich fiir G zugrundegelegt, so besitzen d a n n B und das all- gemeine Reuleaux.dreieck R, dem G zugeordnet ist, n a c h w !~ 1 derf gleichen Vektorbereich und mithin in gleichen Richtungen gleiche Breite. Damit weist sich aber auch R als ~r konstanter R-Breite bezijglich Bo als Eiehbereich aus, wie der Definition der R-Breite un- mittelbar zu entnehmen ist.

Nun approximieren wir den Bereich B dutch eine Folge ihm um- beschriebener Polygone B,, B~, B3, . . . ; wobei B, = C und B,.+, (v ~ 1 ,2 , . . . ) aus B, dad urch hervorgeht, da$ wir dureh ein Paar paralleler Sttitz- geraden an B yon B, zwei Dreieeke fl' und fl: abtrennen. Ist dann R, das R umbesehriebene Polygon, das mit B, paarweise parallele Seiten besi~zt, so ist R , = G , w~hrend R~+, ,a; / aus /~ durch Ab- trennung nur eines /-__ Y,

geht, da eine y o n zwei p~rallelen Stt~tz- geraAen an R stets dureh einen gemein- \ ~ / ~ ~ f 1 7 samen Eckpunkt yon ~ - R und G hindurch~ gehen muf~ (Fig. 4).

Die Eigenschaft, in Fig. 4. gleichen Richtungen gleiche Breite zu besitzen, fibertr~tgt s ich vom Bereichpaar B und R offensichtllch auf die Polygonpaare B ~ ; / ~ so dab ~tir d ie Grund-

Mathematische Z,eitsehrift. Bd. 55. ~3

350 D. Ohmann:

linien a und HShen h der abgeschnittenen Dreieeke die "Beziehungen bestehen

a (fl~') + a (fl;) = a (y,),

h(fl') + h(fl'~) = h(~,),

aus denen, auf die Ungleichung zwischen den Inhalten geschlossen werden kann

F(fl~) + F(fl'~) = �89 + a(fl;)hfl;) ~ �89 ~- F(7,).

Hieraus folgt fiir die Fl~che der B, und R,

F(B,) -- F(B,.+,) <__ F(R,) = F(R,,~,).

Wir brauehen nur n0ch hinzuzufiigen, dab das Seehseek C---~ B, auf Grund seine[ Zentra!symmetrie keinen geringeren Fl~cheninhalt besitzt

a l s das Grundseehseek G = R,, um die Ungleiehung

F (B,) ~ F (R,.) ablesen zu .k6nnen.

Da Sich B beliebig genau durch die B~ approximieren lal~t, folgt daraus schon die zu erweisende Beziehung

F (S) ~ F (/~),

die sich als Satz so formulieren laf$t: Unter allen Bereiehen konstanter R-Breite besitzt tin allgemeines

Reuleauxdreieck minimaien Inhalt.

w

Bereidae minimalen Inhahs bei vorgegebenem /!, L bzw. A, D.

Bei V0rgabe von Dieke A und Umfang L bzw. Dicke J und Durch- messer D erhalten wir unter de r Zusatzbedingung

(I) 2 V 3 , / ~ L ~ J bzw. ~ V 3 A ~ D ~ _ A

die gleichen Bereiche minimalen Fl~tcheninhalts, die sich folgendermalten beschreiben Iassen: Es bezeichne K den Kreis

Fig. 5.

vom Radius q (D ~ O ~ ~ V ~ A) um den Eekpunkt As( ] ~ 1, 2~ 3) des regul~ren Dreiecks P des Durch- messers D~ und Sj das von Ki durch die Aj gegentiberliegende Seite Yon F abgetrennte Segment. Dann stellt die konvexe Htille der Vereinigungsmenge von F mit den Segmenten Sj den gesuchten Minimalbereicb dar, den wir, da er von M. YAMANOUTr zuerst betrachtet wurde, als Y-Dreieck (Y ~ YAMANOUTI) bezeichnen.

Wir erweitern das Problem noch dadurch , daf~ wir neben A statt L oder D ein atlgemeineres Funktional O vor-

Extremalprobleme ffir konvexe Bereiche der euklidischen Ebene. ~51

geben, das den Bedingungen genfigen m(ige:

(a) q) ist additiv, d. h. ftir B,>B2 gilt: q)(B,)> (~(B2).

(b) �9 nimmt bei Symmetrisierung nicht zu.

(c) Unger allen Bereichen gleicher konstanter R-Breite besitzen (2) die allgemeinen Reuleauxdreiecke minimales Funktional q).

(d) Die Y=Dreiecke lassen sich eindeutig und stetig auf die Para- meter z/ und ~ beziehen, wobei ihr Inhalt F = F(z/; q)) bei zunehmendem z/bzw, abnehmendem (/) monoton nicht zunimmt.

Da L und D diesen Bedingungen unterworfen sind, geniigt es, die folgenden Untersuchungen fiir das Funktional �9 durchzuffihren. An die Stelle yon (1) tritt dabei als Nebenforderung ftir z/ und q), dab ein Y-Dreieck existiere, das gerade die Funktionalwerte z/ und q) annimmt.

Es sei nun B ein beliebiger konvexer Bereich und Y* das Y-Dreieck, fiir das

(3) A(Y*) = A(B) + ( Y * ) = ~(B)

besteht. Dann existiert ein allgemeines Reuleauxdreieck Ro, das beztig- lich B als Eichbereich konstante R-Breite besitzt, und ffir das nach w 2 und (2c)

(4) ,J (Ro) = J(B); (P (Ro) ~ O ( S ) ; F (Ro) <_ F (B)

stat t hat.

Nun erzeugen wir aus Ro dadurch eine Folge yon allgemeinen Reuleauxdreiecken R/(v ~ 1, 2 . . . ) mit den Eckpunkten A,~. ( ] = 1,2,3),

dal~ wir R,+, aus R, durch Symmetrisierung in der Richtung A , ~ , x hervorgehen lassen, wobei x und ~ bei vorzugebendem v durch v -- u + 1 (m0d 3) x -- ;L + 1 (mod 3) bestimmt seien. Dal~ dabei jeweils wieder allgemeine Reuleauxdreiecke entstehen, kOnnen wit Hilfssatz 2 entnehmen. Sondern-wir v0n den R, dem BLASCHKEschen Auswahlsatz entsprechend eine k0nve]'gente Tei]folge aus, so strebt diese verm6ge Hilfssatz 3 gegen ein mit R* z u bezeichnendes allgemeines Reuleaux- dreieck, ftir das Wir wegen der Invarianz des Fl~tcheninhalts bei Symmetrisierung sowie Hilfssatz 2 und (2 b) die drei Aussagen, machen kSnnen:

(5) J(R*) ~ J.(Ro); O(R*)<~ q)(Rz): F(R*) = F(Ro).

Da R* der Konstruktion der Folge Rf entsprechgnd drei ~ymmetr, ie- achsen besitzen mul~, wird das Y-Dreieck gleicher Dicke, dessen Eck- punkte sich mit denen yon R* decken, ganz yon R* bedeckt . .Wenn

23*

352 D. Ohmann: .Extremalprobleme ffir konvexe Bereiche usw,

wir es mit Y~ bezeichnen, folgt aus (3), (4) und (5) also

(6) ~(Yo) ->_ A(Y,), ~(Yo) _-_G a,(Y*), sowie

(7) F (Yo) ~_~ F (B).

Fiir den Inhalt von Y* ergibt sich dann wegen (6) unter Berticksichtigung von (2d) F(Y*)~ F(Yo) und daher wegen (7) die zu erweisende Un- gleichung

F(Y*) G F(B).

(Eingegangen am 27. Juli 1951.)