F 1

Mathematik Vertiefungskurs

„Ich habe eben die Ergebnisse in Mathe bekommen, gerade

mit 3,3 geschafft. Was mich aber aus der Fassung gebracht hat, ist die Tatsache, dass 3/4 des Gesamtjahrgangs (Maschinenbau) durchgefallen ist. Jetzt weiß ich, warum alle vor Mathe Schiss haben. Das muss man sich echt auf der Zunge zergehen lassen: 3/4 von 500 Studenten müssen die Klausur noch mal schreiben, wenn die nicht bestanden wird, dann sieht es echt düster mit dem Studium aus“.

F 2

Erster vorläufiger BildungsplanJahrgangsstufe 11 : Verbindlicher Teil (21 Wochen)

(1) Einführung in die Aussagenlogik (4 Wochen)(2) Einführung in Beweisverfahren (3Wochen)(3) Gleichungen und Ungleichungen lösen (5Wochen)(4) Folgen, Reihen, Konvergenz (6 Wochen)(5) Mengen, Relationen, Graphen l (3 Wochen)

Jahrgangsstufe 12 : Verbindlicher Teil (11 Wochen) (1) Mengen, Relationen, Graphen ll (3 Wochen)(2) Parameterdarstellung und Polardarstellung (4 Wochen)(3) Komplexe Zahlen (4 Wochen)

Jahrgangstufe 11 und 12: Beispiele für Wahlmodule(1) Integrationstechniken(2) Zahlentheorie und Kryptographie(3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen

F 3

Vorschlag RPF Pflichtmodule

1. Komplexe Zahlen• Gauß’sche Zahlenebene, • Rechnen mit komplexen Zahlen, • Lösen von Gleichungen

2. Weiterführung der Funktionsuntersuchungen• Gleichungslehre• Rationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen• Umkehrfunktionen• Differentiations- und Integrationstechniken 3. Vertiefte Untersuchungen von Folgen und Reihen• Konvergenz• vollständige Induktion• rekursive Folgen• arithmetische und geometrische Folgen und Reihen.

F 4

Vorschlag RPF Wahlmodule 1. Zahlentheorie und Kryptographie• Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung• Rechnen mit Restklassen• Verschlüsselungsverfahren

2. Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen• Potenzreihen, Konvergenzradius• Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen 3. Weiterführung der Stochastik• bedingte Wahrscheinlichkeit.• Wahrscheinlichkeitsverteilungen• Markoff-Ketten 4. Elemente der linearen Algebra• Matrizenrechnung• Abbildungen

F 5

Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung(Empfehlung der Regierungspräsidien)

Leitgedanken• Einführung in besondere Denk- und Arbeitsweisen

mit Schwerpunkt auf begrifflichen Strukturen und hierarchischen Verknüpfungen

• Vertieftes Kennenlernen und aktives Anwenden von ausgewählten inhaltlichen und fachmethodischen Grundlagen

• Ausbau der Rechenfertigkeiten• Kennenlernen grundlegender Beweisverfahren• Treffen begründeter Studienentscheidungen• Geschichtliches

F 6

Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler können• grundlegende mathematische Begriffe, Notationen und

Konzepte verstehen und anwenden,• komplexe symbolische Rechnungen ohne Hilfsmittel

ausführen,• Beweise nachvollziehen und Beweisverfahren in einfachen

Fällen auf neue Sachverhalte übertragen.

F 7

Pflichtmodule(1) Aussagenlogik und Beweistechniken

Aussage, Existenz- und Allquantor, Verknüpfung von Aussagen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz), Beweise mit Wahrheitstabelle, aussagenlogische Gesetze;Voraussetzung, Behauptung, Satz, Umkehrsatz, Kontraposition, notwendige und hinreichende Bedingung, direkter und indirekter Beweis, vollständige Induktion

(2) Vertiefung der GleichungslehreDefinitionsmenge, Lösungsmenge, Äquivalenzumformungen, Bruchgleichungen , Wurzelgleichungen, Polynomdivision, Betragsgleichungen, Ungleichungen

F 8

Pflichtmodule

(3) Folgen und Reihen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz, Konvergenzsätze

(4) Komplexe Zahlen Gauß‘sche Zahlenebene, Rechnen mit komplexen Zahlen, auch Polardarstellung, Lösen von Gleichungen

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Wahlmodule(1) Weiterführung der Funktionsuntersuchungen

Rationale, trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen, Differentiations- und Integrationstechniken

(2) Zahlentheorie und Kryptographie Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung, Rechnen mit Restklassen, Verschlüsselungsverfahren

(3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen Konvergenzradius, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen

(4) Weiterführung der Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Markoffketten

(5) Elemente der Linearen Algebra Matrizenrechnung, Abbildungen

F 10

Kontakt ILIAS

Die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart(Integriertes Lern-,Informations- und Arbeitskooperations-System)

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/schuelerzirkel/matheplus.html

Anmeldung: (1) Name auf die Liste oder Nachweis der Schule(2) e-mail an Peter.Lesky@math.uni-stuttgart.de

F 11

Zertifikat

Freiwillige zentrale Zertifikatsklausur am Freitag, den 27.9.an den Universitäten Konstanz, Freiburg, Tübingen, Ulm, Karlsruhe,

Stuttgart, Heidelberg

Ausstellung eines Zertifikats

F 12

Beispiel für KlausuraufgabenAussagenlogik und Beweisverfahren (ohne Hilfsmittel)

Vollständige Induktion:

(1) (leicht)

(2) (mittelschwer)

Lösung: ….

n

k 1

1 nfür n lN

k(k 1) n 1

2n

3

k 1

n(n 1)k für n lN

2

2

3k(k 1)(k 1)

2

2(k 1) (k 4k 4)

4

F 13

Beispiel zu Klausuraufgaben

Konvergenz(1) Gegeben ist die Folge a) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge.b) Geben Sie die Definition der Konvergenz an.c) Beweisen Sie für die oben angegebene Folge und den

von Ihnen gefundenen Grenzwert a, dass die Definition der Konvergenz erfüllt ist. (mittel)

(2) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert durch Anwendung der Sätze über konvergente Folgen (schwer)

2

n 2

na , n lN

2n 5

nna lim a

na

nna lim a

n n

n n n

2 3a , n lN

2 3

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Zertifikatsklausur

Die Probeklausur…..

F 15

Unterrichtsumsetzung

1. Komplexe Zahlen2. Folgen 3. Vollständige Induktion4. Funktionen:

Reelle Funktionen, ganzrationale Funktionen, Polynome, Nullstellen (auch doppelte, dreifache,…), Linearfaktorzerlegung, Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen, Umkehrfunktionen

5. IntegrationsmethodenPartielle Integration, Integration durch Substitution

F 16

Andere Unterrichtsgänge (1)

(1) Folgen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen, Fibonacci-Folge, Heron- und Newtonverfahren

(2) Vollständige Induktion Summenformeln, Teilbarkeit, n-te Ableitung

(3) Eigenschaften von FolgenKonvergenz, Monotonie, Beschränktheit

(4) Reihenarithmetische und geometrische Reihe, einfache Konvergenzbetrachtungen bei der harmonischen Reihe, Paradoxon von Zenon

(5) IntegrationsmethodenSubstitution, partielle Integration, Kombination der Verfahren (Kreis)Taylorreihe

F 17

Andere Unterrichtsgänge (2)(1) Ableitung: Beweis der Potenzregel für ganze Zahlen(2) Zahlbereichserweiterung (z = a + ib)

Addition, Subtraktion, Multiplikation(3) Nullstellen von Polynomen; Linearfaktorzerlegung

Polynomdivision;Exkurs in die gebrochenrationalen Funktionen (Asymptoten - Anwendung der Polynomdivision)Lösungen in C

(4) Division komplexer Zahlen; konjugiert komplexe Zahl(5) Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene(6) Polarkoordinaten einer komplexen Zahl; Euler-Formel(7) Mandelbrotmenge und Julia-Menge(8) Taylor-Polynom des Sinus und Cosinus(9) Begründung der Euler-Formel mit (8)(10) Approximation der Zahl e(11) Ableitung der Umkehrfunktion(12) Beweis der Euler-Formel ohne Taylorreihen;

dazu braucht man die vollständige Induktion

lR C

F 18

Andere Unterrichtsgänge (3)

Komplexe Zahlen_________________________________________________________Funktionen und Gleichungen1. Algebraische Gleichungen - ganzrationale Funktionen

Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung, Beweise mit dem Fundamentalsatz, transzendente und algebraische Zahlen (auch deren Anzahl – Cantor), abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich, gleichmächtige Mengen, Bijektion,Newton-Verfahren, Horner-Schema

2. Gebrochenrationale FunktionenDefinition und Asymptoten, Quotientenregel, Integration durch Partialbruchzerlegung

3. Exponentialfunktionen – HyperbelfunktionenUmkehrfunktion, injektiv, Ableitung der Umkehrfunktion, Produktintegration, Integration durch Substitution,hyperbolische Funktionen, Bogenlänge

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Komplexe Zahlen

Der Einstieg…..

F 20

Komplexe ZahlenZahlbereichserweiterungen:

Ein paar Rechenaufgaben zum Warmwerden

Satz 1: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine weitere rationale Zahl. (erster Beweis)

Die rationalen Zahlen liegen dicht.

Hilfssatz: Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade. (erster eigenständiger Beweis)

Satz 2:

ist keine rationale Zahl (indirekter Beweis)

lN Z Q lR

2

F 21

VorgehensweiseHilfssatz:

Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade.

Tipp: Jede gerade ganze Zahl lässt sich in der Form , jede ungerade ganze Zahl lässt sich in der Form darstellen.

Beweis des Hilfssatzes:

g 2 k mit k Z u 2 k 1mit k Z

2 2 2g (2k) 2 (2k)

2 2 2 2u (2k 1) 4k 4k 1 2 (2k 2) 1

F 22

Komplexe Zahlen

2. Komplexe Zahlen z = a + ib Definition von iAddition, Subtraktion, Multiplikation und Division Einschub: binomische Formeln, Wdh DG, Rechnen mit Wurzeln (teilweise Radizieren, Nenner rational machen – auch mit 3. binomischer Formel)

3. Konjugiert komplexe ZahlenDefinition und Lage im KoordinatensystemDie Rollen von i und –iAddition, Subtraktion, Multiplikation und Division

F 23

Komplexe Zahlen

4. Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen ZahlenebeneDarstellung der Zahl z als Punkt oder Ortsvektor, PolarkoordinatenBetrag einer komplexen Zahl, insbesondere Lösungen von zn = aTrigonometrische Form einer komplexen Zahl

5. Einschub: Beweis der Additionstheoremezur Vorbereitung der Multiplikation

z r (cos( ) isin( ))

F 24

Komplexe Zahlen 5. Multiplikation und Division in Polarkoordinatendarstellung

Geometrische Deutung als Drehung bzw. Drehstreckung

6. Einschub: Folgen und Vollständige Induktion Die Türme von Hanoi (explizite und rekursive Darstellung) Gauss Summe, Summe aller geraden Zahlen (ungeraden Zahlen, Quadratzahlen) Summenzeichen

7. Potenzen komplexer Zahlen Potenzen einer Zahl z auf dem Einheitskreis Formel von Moivre mit vollständiger Induktion bewiesen geometrische Lage von Potenzen z,z2,z3,…,zn (Kreis, Spirale)

F 25

Komplexe Zahlen 8. Wurzeln

n-te Einheitswurzeln und Kreisteilungsgleichung zn = 1n-te Wurzeln als Eckpunkte eines regulären n-Ecks

9. Funktionen in C Lineare Funktionen:Translation f(z) = z + bDrehstreckung f(z) = Allgemein: f(z) = Komplexwertige Folgen: (Mandelbrotmenge, Fraktale)Physikalische Anwendung:Beschreibung von Kreisbewegungen, Wechselstrom

10. Lösungen algebraischer Gleichungen (Geschichtliches)

a za z b

300 v. Chr. Euklid

 

2000 v. Chr. Babylonier  

 

16.Jahrhundert

 

1540 - 1603 F. Vieta

 

 

1500 -1557 N. Tartaglia

 

1501 - 1576 G. Cardano

 

„Klaut“ diese Formeln Cardanosche Formeln

1522 – 1565 L. Ferrari

 

1802 -1829 N.H. Abel  

 

1811 - 1832 E. Galois

 

1777 - 1855 C.F. Gauß

 

Formulierte Bedingungen, mit denen sich für jede gegebene Gleichung beliebigen Grades entscheiden lässt, ob sie auflösbar ist.

Verknüpfte die Theorie der Gleichungen mit dem Gruppenbegriff Galoistheorie

Letzte Zusammenfassung in der Nacht vor seinem tödlichen Duell.

F 33

Komplexe Zahlen

11. Der Fundamentalsatz der Algebra (Fassung von C.F. Gauß) Jede Gleichung der Form

hat in C mindestens eine Lösung.

Es gibt viele Beweise für diesen Satz.

n n 1 n 2

n 1 n 2 1 0 if(z) z a z a z ... a z a 0 mit n 1 und a C

F 34

Der Fundamentalsatz der Algebra

Von einem der Beweise wird mithilfe von Geogebra eine Grundidee vermittelt, und zwar am Beispiel eines Polynoms vom Grad 3:

1. Betrachtet werden zunächst die Funktionen g und hmit und .

3 2

g(z)h(z)

f(z) z (2 i) z i z (4 3i)

3g(z) z h(z) i z (4 3 i)

F 35

Der Fundamentalsatz der Algebra Ein Kreis Kz um den Ursprung in der z-Ebene wird durch g mit w =

g(z) in einen Kreis Kw um den Ursprung in der w-Ebene abgebildet.

Wird Kz einmal durchlaufen, wird der Bildkreis K dreimal durchlaufen.

F 36

Der Fundamentalsatz der Algebra

Kreis Kz um den Ursprung der z-Ebene mit dem Radius r wird durch h mit w = h(z) = iz + (4 + 3i) in einen Kreis in der w-Ebene abgebildet, der den Mittelpunkt und den Radius hat.

0w 4 3i wr i r r

F 37

Der Fundamentalsatz der Algebra

2. Die weitere Idee ist nun, dass sich die Funktion f mit wie im Reellen

für große lzl = r annähernd wie g undfür sehr kleine lzl = r näherungsweise wie h verhält.Verkleinert man den Radius r des Kreises Kz stetig, geht die Bildfigur 1 stetig in die Bildfigur 2 über.

3 2

g(z)h(z)

f(z) z (2 i) z i z (4 3i)

F 38

Der Fundamentalsatz der Algebra

F 39

Der Fundamentalsatz der Algebra

Großer Radius r1: Das Bild von Kz bei f ist noch eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene dreimal durchläuft.

F 40

Der Fundamentalsatz der Algebra

Kleiner Radius r2: Das Bild von Kz bei f ist eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene nicht mehr durchläuft.

F 41

Der Fundamentalsatz der Algebra Verkleinert man den Radius stetig von r1 nach r2, so wird die

Bildfigur aus Abb. 3 stetig in die Bildfigur aus Abb. 4 deformiert. Dann muss es mindestens einen Radius geben, bei dem die Bildkurve

den Ursprung der w-Ebene trifft,d.h. aus dem zugehörigen Kreis Kz gibt es eine Zahl zo mit f(zo)=0

F 42

Folgen – ein „Proseminar“(1) Definition von Folgen

explizite und rekursive Folgen; arithmetische und geometrische Folgen

(2) Nullfolgen(3) Eigenschaften von Folgen - Monotonie und Beschränktheit

bei expliziten und rekursiven Folgen (vollständige Induktion)(4) Der Grenzwert einer Folge(5) Grenzwertsätze (Beweise)(6) Der Grenzwert von monotonen und beschränkten Folgen

(Satz und Umkehrsatz)(7) Die Vollständigkeit der reellen Zahlen; Intervallschachtelung(8) Geometrische Reihe(9) Eulersche Zahl

F 43

Partielle Integration und Integration durch Substitution

(1)

(2)

1. Versuch:

also 0 = 0 ?????

(3)

1. Versuch:

Wie erhält man v?????

4

x

2

e cos(x) dx

2

0

sin(x) dx

2 2

00 0

sin(x) dx [ sin(x) cos(x)] sin(x) dx

5

2

4

x ln(x 9) dx

5

2

4 uv '

x ln(x 9) dx

F 44

Notenfindung

• Zertifikatsklausur (nicht !!)• Klausur• Klausur mit Skript• Referate (Beweise, schwierige Aufgaben,…)• Seminararbeit• Planarbeit

F 45

Probleme1. Notenabgrenzung gegenüber den anderen Wahlfächern (Psychologie,

…)

2. Nachmittagsunterricht / Hausaufgaben

3. Vor allem im 2. Halbjahr längere Unterbrechungen (Unterrichtsausfall durch Studienfahrt, Konferenz, Feiertag,…)

4. Problem der Nachhaltigkeit

5. Unklarheit über Inhalte (Probierphase)

6. Einige Schüler machen nicht weiter in 12 (Abitur schon im März, bereits genügend Kurse…)

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Ausblick aufs nächste Schuljahr

(1) Integration durch Partialbruchzerlegung(2) Gebrochenrationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen

und eines der Wahlmodule (3) Zahlentheorie und Kryptographie (4) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen(5) Weiterführung der Stochastik(6) Elemente der linearen Algebra

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Rückmeldung • Warum hast Du den Kurs gewählt?

• Waren die Inhalte verständlich?

• Rückwirkungen auf den normalen Matheunterricht

(1) Themen noch besser verstanden

(2) Wiederholung der Grundkenntnisse

(3) Andere Problemlösestrategien kennengelernt

(4) Anwendung einzelner Inhalte (z.B. Satz von Vieta)

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Rückmeldung

Was hat Dir an diesem Kurs gefallen/nicht gefallen

(1) Gute Atmosphäre

(2) sich intensiv mit mathematischen Inhalten vertieft zu beschäftigen (mehr als Standard)

(3) Kein Druck, dass man gleich alles verstehen muss

(4) Das „Proseminar“ - die Vorträge gingen zu schnell(5) Unterricht am Nachmittag

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Fazit

Das „Proseminar“ effektiver gestalten oder ganz weglassen

Aufgaben aus anderen Ländern in anderen Sprachen

Warum wirst Du den Kurs nicht weiter belegen?Zu viele Aktivitäten außerhalb der Schule und frühzeitiges Abitur

Werbung für neue Kurse???