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Faber-Theorie Iiir Riemannsche Fl~id~en

Herrn H~m~iA~ SCm~IDT zum 60. Geburtstag

Von

ANNELIESE EISENBACa und HORST TI~rz

1. Einleitung.

1.1. Zu jedem einfach-zusammenh~ingenden beschr~inkten Gebiet G c C mit analy- tischem Rand gibt es eine Folge von Pol)momen, nach denen sich jede in G holo- morphe Funktion in eine in G kompakt konvergente Reihe ent~dckeln lgi3t.

Dieses Resultat yon G. FABE~ [3] ist nach verschiedenen Richtungen hin erweitert worden; hier interessieren die beiden folgenden :

1.2. Die Aussage 1.1. bleibt ~c4iltig, wenn G die Vereiniffung yon endlich vielen disjunkt liegenden 1) Gebieten der angegebenen Art ist (J. L. WALSH [8]).

1.3. Das Teilgebiet G der kompakten oder nicht-kompakten Riemannschen Fl~che R besitze ein kompaktes Komplement und einen zusammenhgngenden analytischen Rand; es gibt ein dutch die Menge Z der ganzen Zahlen indiziertes System { ~bn I n e Z) auf R meromorpher Funktionen, nach denen sieh jede Funktion, die in G eine Cauchysche IntegTaldarstellung besitzt, in eine in G kompakt-konvergente Reihe entwickeln IgSt ([5], [6]).

1.4. Ziel dieser Arbeit ist es zu zeigen, dab 1.2. geeignete Hilfsentwicklungen liefert, um 1.3. auf den noch ausstehenden Fall auszudehnen, dab der Rand yon G auf R aus mehreren Komponenten besteht, die nicht einzeln zu beranden brauchen. Ferner braucht das Bestehen einer Cauchyschen IntegTaldarstellung nicht gefordert zu werden, wenn man zul~Bt, dab vor der gewfinsehten Reihenentwicklung yon der zu entwickelnden Funktion ein auf R meromorpher Summand abgespalten wird. Da- durch wird auch die Annahme, R -- G sei kompakt , entbehrlich. Diese liefert F~lle, in denen man ohne die erw~ihnten meromorphen Summanden auskommt und be- friedigende Aussagen fiber Nullentwicklungen erh~lt; da solche FKlle in [5], [6] und [2] behandelt werden, ~ird hier auf eine n~ihere Analyse dieser an sich interessanten Frage verzichtet.

Gleichzeitig ergibt die angewandte Methode, dab man ftir die gewfinschten Ent- wicklungen mit einer einfachen, d. h. auf natfirliche Weise nur durch Z indizierten Folge yon Entwieklungsfunktionen auskommt. I)as bedeutet eine weitere erhebliche

1) D. h. die abgeschlossenen Hiillen der Gebiete sind disjunkt.

Vol. XIV, 1963 Faber-Theorie fiir Riemannsche Fl~ichen 153

Versch/~rfung yon 1.3., wo wegen der gv6Beren Menge yon Ent~icklungsfunktionen eine gr613ere Menge yon Nullentwicklungen auftritt.

2. Reduktion des Problems. Unsere Methode beruht wieder auf dem Kalkfil der Laurent-Trennung, der hier noch einmal in der ffir unser Ziel brauchbaren Form zu- sammengestellt werden soll.

2.1. Die offene Teilmenge G der Riemannschen F1/~che R besitze ein nieht-leeres Komplement R -- G und denselben Rand wie dieses, aG bestehe aus endlich vielen disjunkten, einfach-geschlossenen analytischen Jordankurven.

Die im folgenden betrachteten Funktionen und Differentiale sind in inneren Halb- umgebungen des Randes 0G holomorph; das bedeutet: zu jeder solchen Gr6Be ~ b t es eine Umgebung U yon OG auf R, derart dab die betrachtete GrSl3e in G c~ U holo- morph ist. Diese Funktionen bzw. Differentiale bilden komplexe Vektorr/~ume und 3r ~', da es ja zu je zwei solchen Funktionen oder Differentialen stets ein solehes U ~bt , dab in G c~ U die Summe der beiden GrSl3en erkl/~rt ist. Ebenso wie es hierbei nicht auf die n~here Bestimmung yon U ankommt, wird es fiberhaupt zweckm~Big sein, eine auf einer Teilmenge yon R meromorphe GrSl3e nicht yon ihren Beschr/inkun- gen auf geeignete G c~ U zu unterscheiden.

e 9ff und da ~ a%z' seien in G c~ U holomorph. Ist nun 7 ein endliches System ge-

sehlossener Kurven in G n U und homolog zu 0G, so ist ~ q)de yon der

speziellen Auswahl yon U und ~ unabh/i, ngig; diese Zahlen definieren also eine Bi- linearform auf , ~ • ~,~', deren Werte wit mit (~, de> bezeiehnen.

2.2. Nun sei dF(y, z) ein fest gewg~hltes Elementardifferential auf R: es iiber-

dy auf C spielt, ist also in y ein mero- nimmt auf .R die Rolle, die der Cauehykern y _ z

morphes Differential mit dem einfaehen Pol y = z vom Residuum + I. Bei festem

Y = Y0 ist dF (y, z) eine meromorphe Funktion von z mit dem Pol Y0; dabei be- dy y = y. deute dy das Differential eines lokalen Parameters. Weitere Pole treten nicht auf, wenn R nicht-kompakt ist, andernfalls benSti~ man noch feste Hilfspole, fiber die man weitgehend verffigen kann (vgl. [5]).

Zu einer Funktion V e J( ' und einer beliebigen Stelle z0 bilden ~4r den Wert <r (y), dF (y, zo)). Er h~tngt yon z0 sowohl in G als auch in R -- G meromorph 2) ab. Man erhiilt so zwei Funktionen aus ~f, die wir mat L~ und -- L*~ bezeichnen. Analog werden jedem de e ~'t ~' vermSge <dF(yo, z), de(z)> zwei Differentiale - - L ' d e und L ' * d e zugeordnet, die in G bzw. in R - G meromorph 2) sind, insbesondere also wieder zu ~ ' gehSren.

Die Operatoren L und L* bzw. L' und L'* sind lineare Abbildungen der Rs bzw. 5~' in sich, sie sind komplementdr :

(I) L q - L * = I , L ' + L ' * = I '

(I und I ' sind die identischen Abbildungen yon ,~f bzw. ~f ' )

2) genauer: holomorph bis auf Pole bei den etwaigen Hilfspolen yon dF.

154 A. ElSr:NBACH und H. Tmrz ARCH. MATH.

und in folgendem Sinne stetig: wenn die Folge ~vn (~n �9 ~ ) in einer Halbumgebung G n U von OG kompakt gegen

~v konvergiert, so konver~ert 3) die Folge L ~vn in G kompakt gegen L ~v; entsprechen- des gilt fiir L*, L' , L'*.

2.3. ~[it Jg(R) und dt ' (R -- G) bezeichnen wir die R/~ume der in R bzw. R -- G meromorphen Funktionen ; dagegen bedeute Mg (G) den Raum der in G meromorphen Funktionen, deren Pole sich in G nicht nach OG h/~ufen. Diese R/~ume sind somit Teil- r/~ume yon ~g.

Die Bemerkungen aus 2.2. enthalten unser Prinzip zur Gewinnung yon Approxima- tionen in G/iir Funktionen aus Jr(G) durch Funktionen aus J [ (R): ist ftir die Funk- tion ] eine Darstellung

(2) [ = Lq: § /~ mat q ~ e ~ , / ~ � 9

bekannt -- dann is t yon selbst ] e Jt '(G) -- und fiir ~ eine Approximation in einer Halbumgebung G (~ U yon OG dutch Funktionen ~, �9 ~s -- G), so wird / in G approximiert durch die Funktionen Lq~n + It, die wegen (1) zu dr' (R) geh6ren.

2.4. R -- G kann durch punktweise Verheftung der Komponenten yon OG mit dem

Rand je einer Kreisscheibe zu einer Riemannschen Fl~iche R, die im allgemeinen nicht zusammenh~ngt, sondern aus ebenso vielen Komponenten wie R -- G besteht, so

fortgesetzt werden, dai] OG auf -~ wieder aus analytischen Jordankurven besteht.

Daher ist die Injektionsabbildung yon R -- G in R in eine Umgebung yon OG hinein biholomorph fortsetzbar. Verm6ge dieser Abbildung shad folglich die R~ume , ~ und

identifizierbar, wobei ~ in bezug auf das Komplement G yon R -- e in _~ ebenso definiert ist wie st{ in bezug auf G. Zudem betrachten wir in offensiehtlicher Bedeu-

tung R~iume Jt ' (R), dd(R -- G), tit'(G) meromorpher Funktionen; es gilt offenbar

wieder J [ (R -- G) ---- ~ (R -- G). Zu R definieren ~dr analog wie zu R die Operatoren

L, ~,* durch Fixierung eines Elementardifferentials dF: zu jeder Komponente R~ yon

wird ein Elementardifferential dF~ ausgezeiehnet und dF(y, z) = dF, (y, z) gesetzt,

wenn y �9 und z e R~, dagegen dF(y, z) ~ O, wenn y und z verschiedenen Kompo- nenten angeh6ren.

2.5. Nun k6nnen wir /igr [ ~ J// ( G) die Integralqleichung (2) soffar mit q)~df(G) 15sen: Wir se',zen zu diesem Zwecke

(a) /~: = L * / + L L * !

-- diese Funktion geh6rt nach (1) zu J t ' (R) -- und stellen lest, dab

/ - - /~= L / - - L L * [ = LL/

gilt, so dal~ also tats~chlich mit

(4) ~: = L I

3) aul3er evtl. an den Hiffspolen yon dF.

Vol. XIV, 1 9 6 3 Faber-Theorie fiir Riemannsche Fliidlen 155

die Beziehung

I = L ~ + ~ , ~ e ~ ( G ) , ~e~/C(R) besteht.

2.6. Fiir Funktionen ~ e J l (G) lassen sich schlieBlich aus 1.2. die gewiinschten

I-Iilfsentwicklungen gewinnen, wenn eine Funktion v e JL(R) bekannt ist -- wir

werden sie im folgenden Abschnitt konstruieren --, die auf G <J 0G biholomorph ist.

])as Paar (/~, v) ist dann eine konkrete Riemannsche Fl~che fiber der kompakten

v-Ebene Pv, und T(G), das bijektive Bfld yon G, ist eine Punktmenge yon der in 1.2.

genannten Art. Definieren wir entsprechend wie oben den Raum Jt'(v(G)) und die

Operatoren A , A*, bzgl. v(G) *nit dem gew6hnlichen Cauehykern der T-Ebene, so k6nnen wir sagen:

e J l ( G ) hat ~ o~le Jt'(~(G)) zur Folge, und in der Zertegung --I --1 --I

9 o z = A(~o v) + A*(~0o T)

ist daher A* (9 o 7~ x) rational in 3, w~hrend der in z (G) holomorphe Anteil A (9 o-~)

nach 1.2. dort in z-Polynome entwiekelt werden kann. Diese, verm6ge z naeh R ge-

lifteten, approximierenden Funktionen geh6ren zu dt '(/~, also erst reeht zu ~ / ( /~ - - G~) und somit, auf R betraehtet, zu J t ' (R -- G).

2.7. Wir fassen zusammen :

Satz 1. R sei eine -- kompakte oder nicht-kompakte -- Riemannsche FlSche, G eine oOene Punktmenge au] R, die denselben Rand wie ihr Komplement be~itzt: aG bestehe aus endlich vielen, di~jun~en, analytischen Jordankurven. R - G sei eingebettet in

eine ( nicht notwendig zusammenh~ngende ) Riemannsche Fldche R, die durch analytische Verhe/tung von Kreisscheiben mit je einer Komponente von aG entsteht. Ferner sei

eine meromorphe Funktion au] R, die au/ 5: = R -- (R -- G) biholomorph ist. Au/

R und R und der kompakten ~-Ebene Pv seien Elementardi~erentiale/est gewdhlt, letzteres

als Cauchy~rn "-4--C7--t" Diese erzeugen in bezug au/ G, G, %G die Paare L, L* bzw. L,

L* bzw. A, A* von ,,Laurent" operatoren. Jede in G meromorphe Funktion, deren Pole sich nicht nach OG hdu/en, ltiflt sieh in

der Form /= L(S/) + T/

schreiben, wobei die linearen Operatoren S und T dutch

S/: = A ( L / o - ~ ; ) o v bzw.

T/: = / -- L(A (L l o-~1) o z)

erkldrt sind und so bescha~en sind, daft (SI)o-z 1 in z'G holomorph und T/ auf R meromorph ist.

156 A. EISE,','BACH und H. TIETZ Aacm ~tAva.

Ein entspreehendes Ergebnis besteht ftir jedes m G meromorphe Differential dg, dessen Pole sich nicht nach aG hiiufen: man hat in obigen Formeln lediglich die

Operatoren L, L, A dutch die analog definierten L ' , / ~ , A ' zu ersetzen.

3. Die Abbildung ~ r : R - + Pt. Zu dem noch ausstehenden Beweis der Existenz einer Funkt ion v yon der in Satz 1 genannten Art werden wir nicht, wie in Ab-

schnit t 2 angenommen, die Riemannsche Fl~iche R als vorgegeben betrachten, son- dcrn deren Konst rukt ion , die ja auf mannigrfache Weise m6glich ist, umgekehr t erst an die, zun~ichst nur auf R - - G konstruierte Abbildung T anschliegen.

3.1. Im Spezialfall, dab R - - G kompak t ist und jede Komponen te yon aG eine Komponen te yon R - - G berandet, liegt ein Abbildungssatz der gewiinschten Art vor (vgl. [4]) : es gibt auf R - - G eine meromorphe Funkt ion z, die jede Komponen te yon R - - G der T-Ebene Pr so fiberlagert, dab diese 13berlagerung aus einer gewissen Anzahl yon Vollebenen besteht, an die das ~'6ullere eines Kreises angeheftet ist; da offenbar diese Kreise und ihre R~tnder fiir alle Komponen ten als dis junkt angenom- men werden kSnnen, erh~tlt man aus R -- G durch H m z u n a h m e dieser Kreise mit

der durch z gegebenen natiirlichen Verheftung die Riemannsche Fl/iche R; definiert

man z auf R - - (R - - G) als Identit~it, so hat z auf -~ die in Satz 1 genannten Eigen- schaften.

3.2. .N'un liege der al]gememe Fall vor, dab fiber R - - G keine einschr~inkenden Annahmen gemacht werden; wir ben6tigen lediglich die in Satz 1 gemachte Voraus- setzung, dal3 - - a G , der Rand yon R -- G, aus endlich vielen analyt ischen Jordan- kurven besteht.

Satz 2. Es existiert au[ R -- G eine merornorphe Funkt ion T, die au[ aG biholomorph ist - - T ( aG) besteht also aus endlich v~elen disjunkten analytischen Jordankurven in der endlichen z-Ebene - - , v ( ~G) ist in der v-Ebene positiv orientiert und berandet dort lauter disjunkte ein]ach-zusammenhtingende Gebiete.

B e w e i s . CI + "-" + Cn sei die Komponentenzer legung von OG. U =- U1 w . . . t_) Un sei auf R eine re la t iv-kompakte Umgebung yon OG, die in die schlichtartigen, zweifach-zusammenhgngenden Komponen ten U1 . . . . . Un zerf~illt. Uj (j : 1 . . . . . n) werde durch die Funkt ion ,~j biholomorph auf einen Kreisring rj < ] ~1 - - 3j] < 1 abgebildet, und zwar so, dal3 ~j(Cj) positiv orientiert ist. Wir betrachten auf U die Abbildung "" = . . . . . . . . . . ~(z) ~j(z) fiir z �9 U i ( j = 1. n). Es seien V j ( j = 1, n) weitere Umgebungen yon Cj mit Vj c Uj und V = V1 ~J . . . w Vn. Nach einem ApproxJmationssatz yon BEH~-K~.-STEIN (vgl. [1], Satz 13) gibt es auf (R -- G) k) U eine meromorphe Funkt ion T, ffir die auf V gilt

I ~. - - ~l < 1/2..

und die Approximat ion kann so stark gew~/hlt werden, dal3 v auf V noch schlicht ist. Insbesondere wird ~G durch ~ au f analytische, positiv orientierte Kurven ab- gebildet, yon denen keine eine andere umsehliel3t. Dami t ist Satz 2 bewiesen.

Da in diesem Satz ~ (0G) positiv, T (-- 0G) also negativ orientiert ist, gTenzt ~ (R -- G) yon aul3en an dieses Kurvensys tem. Verheftet man wieder die einfaeh-zusammen-

Vol. XIV, 1963 Faber-Theorie fiir Riemannsche Fl~idaen 157

h~ngenden endlichen Gebiete der ~-Ebene, welche von diesen Kurven berandet wer- den, vermSge der Zuordnung ~ mit R -- G und setzt T dorthin als Identi t~t fort,

so erh~ilt man wieder eine Riemannsche Fl~che R und eine auf ihr meromorphe Funktion 3, die den Voraussetzungen yon Satz 1 gentigen.

4. Die Faber-Reihen.

4.1. Unter Beibehaltung der in Satz 1 gegebenen Bezeichnungen und ihren Be- deutungen kSnnen wir jetzt auf den in 1.2. zitierten Satz von WALSH zurfiekgreifen.

T(G) ist eine Punktmenge yon der in 1.2. genannten Art. Folglich ~ b t es (vgl. [8])

eine Folge yon T-Polynomen b0, bl . . . . . derar t dab jede in ~(G) holomorphe Funk- tion eine dort kompakt konvergente Reihenentwicklung nach diesen Polynomen zuls

I s t nun ] e ~((G) u n d / = L(S[) -F T / d i e in Satz 1 angegebene Zerlegung von ],

so ist $1o~1-= A(L]o-~ 1) holomorph in TG, besitzt dort also eine Entwicklung

b (5) S/o ~1 = ~ a.k k mit gewissen Koeffizienten ~k- 0

~bk : = L (bk o T), k = 0, 1, 2 . . . . sind nun die gesuchten Verallgemeinerungen der Faber- schen Polynome: sie sind meromorph auf R, und aus (5) fo l~

(6) 1 = ~ ~ Ck + TI. 0

Die Reihe (6) konvergiert in G kompak t auI~erhalb etwaiger Polstellen der ~bk. Damit haben wit unser Hauptresul ta t erhalten, das wir zusammenfassen in

Satz 3. Au/ der kompakten oder nicht-kompakten Riemannschen Fldche R bestehe der Rand aG des Teilgebietes G aus endlieh vielen disjunkten analytischen Jordankurven. Es gibt ein System von Funktionen q~o, qS1 . . . . . die au/ R meromorph sind, und einen linearen Operator T, der jeder in G meromorphen Funktion ], deren Pole 8ich nicht nach aG Miu/en, eine au/ R meromorphe Funktion zuordnet, derart daft jede solche Funktion / in G durch

o o

/ = ~ .~kr + T~ 0

dargestellt wird, wobei die Reihe in G au/3erhalb etwaiger Pole der qS~: kompakt kon- vergiert.

Fiir Differentialc, die in G im selben Sinne meromorph sind, gilt cin entsprechendes Resultat.

4.2. Die Ck -- und die entsprechenden Differentiale d~Jk -- sind in G holomorph, wenn das Elementardifferential dF dort nur den Pol y = z besitzt. Eine solche Wahl yon dF ist stets mSglich, wenn R nicht-kompakt ist. Andernfalls treten jedoch Hilfspole auf, die aber auch hier auBerhalb G gew~hlt werden kSnnen.

Wenn R - G den Voraussetzungen von 3.1. gentigt, kann fiir die Hilfsentwick- lungen (5) speziell ein System yon Taylorentwicklungen genommen werden; die

158 A. Exse.~AcH und H. TIETZ ARCH..~ '̂r~i.

En twick lungen fiir die Gr6Ben au f G werden dann endl iche Summen einfach zu tiber- b l ickender Fabe r -Re ihen .

Wenn R - - G k o m p a k t ist, ge s t a t t e t der do r t gii l t ige Res iduensa tz die Fes ts te l - lung, d a b unsere Fabe r re ihen nur sehr wenige Nul len twick lungen zulassen.

Diese Bemerkungen werden in [2] ausgefi ihr t .

Literaturverzeiehnis

[1] H. BEm'~KE und K. STEI.~, Entwicklungen analytischer Funktionen auf Riemannschen Flachen. Math. Ann. 120, 430--461 (1948).

[2] A. EISENBAC~, Fabertheorie auf Riemannsehen Fl~chen. Schriftenreihe des Math. Inst. der Univ. Miinster 1961, Heft Nr. 19.

[3] G. FA~Eg, tiber polsmomische Entwicklungen I. Math. Ann. 57, 389--408 (1903). [4] H. TIETZ, Eine Normalform berandeter Riemannscher Fl~chen. Math. Ann. 129, 44--49 (1955). [5] H. TIETZ, Laurent-Trennung und zweifach-unendliche Faber-Systeme. Math. Ann. 129, 431

bis 450 (1955). [6] H. TIETZ, Faber-Theorie auf nicht-kompakten Pdemannschen Fli4chen. Math. Ann. 132,

412--429 (1957). [7] H. TIETZ, Funktionen mit Cauchyscher Integraldarstellung auf nicht-kompakten Gebieten

Riemannscher F]iichen. Ann. Acad. Sci. Fenn. 250/36 (1958). [8] J. L. W.~tstt, A Generalization of Faber's Polynomials. Math. Ann. 136, 23--33 (1958).

Eingegangen am 24. 1. 1962

Anschrift der Autoren: Anneliese Eisenbach 43 Essen-Rtittenscheid FlorastraBe 39

Horst Tietz Technische Hochschule 3 Hannover Weffengarten 1