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Paul Pfinzing Gymnasium Hersbruck Kollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005 FACHARBEIT aus der Mathematik MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE KONSTRUKTION VON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHREN Verfasser: Sebastian Ullherr Leistungskurs: Mathematik Kursleiter: OStR T. Blassl Abgabetermin: 28.01.2005 Schriftliche Wertung: _______________ Mündliche Wertung: _______________ Gesamtwertung (einfach): _______________ Gesamtwertung (doppelt): _______________ Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________ ------------------------------------------------------- (Unterschrift des Kursleiters)

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Paul Pfinzing GymnasiumHersbruck

Kollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005

FACHARBEITaus der Mathematik

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE KONSTRUKTION VON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHREN

Verfasser: Sebastian Ullherr

Leistungskurs: Mathematik

Kursleiter: OStR T. Blassl

Abgabetermin: 28.01.2005

Schriftliche Wertung: _______________

Mündliche Wertung: _______________

Gesamtwertung (einfach): _______________

Gesamtwertung (doppelt): _______________

Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________

------------------------------------------------------- (Unterschrift des Kursleiters)

-2-

Gliederung

1. Einleitung 3

2. Zeitformen und ihr Zusammenhang 3

2.1. Sternzeit 3

2.2. Wahre Ortszeit 3

2.3. Mittlere Ortszeit 4

3. Bewegung der Erde 5

3.1. Exzentrizität der Erdbahn 5

3.2. Schiefe der Ekliptik 8

3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung 11

3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma 13

3.5. Erdrotation, Präzession und Nutation 14

3.6. Die Deklination und der Tagbogen 15

4. Sonnenuhren 17

4.1. Definition und Aufgaben 18

4.2. Sonnenuhrentypen 19

4.3. Zifferblätter 19

4.4. Die Analemma auf der Uhr 22

5. Faszination Sonnenuhr 23

6. Literaturverzeichnis 24

7. Selbstständigkeitserklärung 25

-3-

1. Einleitung

Sonnenuhren scheinen heutzutage als Zeitmesser ungeeignet, da sie in Deutsch-

land bis zu 45 Minuten falsch gehen. Tatsächlich muss man beim Ablesen der

Zeit an einer Sonnenuhr fast immer beträchtliche Korrekturen vornehmen, um

ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Warum Sonnenuhren aber, wenn sie einen

solchen Unterschied zur mitteleuropäischen Zeit aufweisen, eigentlich genau

richtig gehen und woher diese Zeitdifferenz kommt möchte ich im folgenden so

anschaulich wie möglich erklären.

2. Zeitformen und ihr Zusammenhang

2.1. Sternzeit

Ein Sterntag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes.

Definiton: Meridiandurchgang

Der Zeitpunkt, an dem sich aus dem Mittelpunkt des jeweiligen

Objekts, dem Erdmittelpunkt und einem Punkt des Längengrads

der momentanen Position eine Linie bilden lassen.

Das heißt gegenüber der praktisch unbeweglichen Sphäre der Fixsterne findet

eine Rotation der Erde um 360° statt. Ein Sterntag dauert bezogen auf Sonnen-

zeit 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden (s.u.). Dadurch erhöht sich die

Winkelgeschwindigkeit der Sonne (von der Erde aus gesehen) von 15° auf

15.04°. Die Dauer eines Sternjahres beträgt 365.26 Tage.

2.2. Wahre Ortszeit

»Eine Sonnenuhr zeigt stets die wahre Ortszeit, die wirkliche

›Sonnenzeit‹, an. Die Beobachtung des Sonnenstandes im Tages-

verlauf liefert uns der Ortsstundenwinkel der Sonne, die wahre

Ortszeit (WOZ).« [Quelle 1, Seite 38]

Die wahre Ortszeit ist für jede geographische Länge (siehe Kasten) verschieden,

die geographische Breite spielt dabei keine Rolle.

-4-

Definiton: geographische Länge

Der Längengrad beschreibt eine der beiden Koordinaten eines

Ortes auf der Erdoberfläche, und zwar seine Position östlich oder

westlich vom Nullmeridian durch den Ort Greenwich bei London.

Dabei erfolgt die Angabe des Längengrads durch einen Winkel von

0° am Nullmeridian bis 180° in östlicher und westlicher Richtung.

[nach Quelle 5.1]

Definition: geographische Breite

Der Breitengrad (auch: die geografische Breite) beschreibt die

zweite der beiden Koordinaten eines Ortes, und zwar ihre Position

nördlich oder südlich des Äquators. Der Breitengrad ist eine

Winkelangabe im Wertebereich von 0° (am Äquator) bis +90°

oder -90° (am Nord- bzw. Südpol) der Erde. [nach Quelle 5.2]

Eine Differenz von 15° Länge machen eine Stunde wahrer Ortszeit aus

( 360° /24h ), Orte mit gleicher Länge haben zum selben Zeitpunkt die selbe

Ortszeit.

Beispiel

Hersbruck hat die geographische Länge 11.45°, Nürnberg 11.05°.

Der Unterschied WOZ ist damit 60min /15°⋅∣11.45°−11.05°∣=1.6

Minuten. Das heißt die Sonne kulminiert (sie steht im Süden) in

Hersbruck 1 Minute und 36 Sekunden früher als in Nürnberg.

2.3. Mittlere Ortszeit

Mit der mittleren Ortszeit (MOZ) verhält es sich im Prinzip genau so wie mit der

wahren Ortszeit - nur dass man hier von einer mittleren Erde (siehe 3.1.) aus-

geht, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Kreisbahn um die Sonne

bewegt. Damit wird das Zeitmaß vom Jahresverlauf unabhängig, ein Sonnentag

dauert genau 24 Stunden. Da die Erde aber in der Realität eine elliptische Bahn

hat und die Ebene der Erdbahn schief steht, gibt es einen Unterschied zwischen

wahrer und mittlerer Ortszeit: Die sog. Zeitgleichung:

WOZ−MOZ=Zeitgleichung

Genauer wird darauf weiter unten eingegangen.

-5-

3. Die Bahn der Erde um die Sonne

3.1. Exzentrizität der Erdbahn

Abbildung A:»Erläuterung der Keplerschen Formel« [nach Quelle 6, Seite 4]

Die Erde beschreibt in ihrer Bahn um die Sonne eine Ellipse, in deren einen

Brennpunkt sich die Sonne befindet (1. Kepler-Gesetz). Dadurch ergibt sich eine

nicht konstante Distanz Erde - Sonne, die ihr Maximum in ae⋅a hat. Die

zugehörige Position der Erde wird als Aphel, die gegenüberliegende als Periphel

bezeichnet. Das Verhältnis ZS zur großen Halbachse a bezeichnet man als

numerische Exzentizität e . Ihr Wert ist mit

e= ZSa=1,7⋅10−2 [Quelle 12, Seite 84]

sehr gering, was darauf schließen lässt dass sich die Umlaufbahn der Erde um

die Sonne an einen Kreis annähert.

Nach dem 2. Kepler-Gesetz überstreicht der von der Sonne nach der Erde gezo-

gene Ortsvektor in gleichen Zeiten jeweils gleiche Flächen. Da die Bahn aber

eine Ellipse ist (mit der Sonne in ihrem Brennpunkt), folgt daraus dass die

Bahngeschwindigkeit der Erde ebenfalls nicht konstant ist. Sie erreicht im

Periphel ihr Maximum (30,29km/sec) und im Aphel ihr Minimum

(29,29km/sec). Die mittlere Bahngeschwindigkeit beträgt 29,79km/sec.

A

SonneBE M R

mittlere Erdewahre Erde

e·a PeriphelAphela

b

-6-

JOHANNES KEPLER erdachte eine mittlere Erde, die die Sonne auf einer perfekten

Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit umkreist (-> Abbildung A). Die

Abweichung der realen Erdbahn von der Bahn der mittleren Erde ist einer der

Gründe warum Sonnenuhren »falsch« gehen, da Sonnenuhren auf der Basis

einer mittleren Erde arbeiten. Eine Funktion dieser Abweichung würde uns also

einen ersten Hinweis auf die Form der Zeitgleichung geben. Nach der Kepler-

Gleichung ist E=Me⋅sin E , was sich als z=x y⋅f z ausdrücken lässt.

LAGRANGE stellte fest, dass man jede Funktion g z durch eine Serie, die von x

und y abhängt, ersetzen kann:

g z =g y xg ' y f y x2

2! y

g ' y [ f ' y]2...

Im Falle der Kepler-Gleichung setzen wir

z=E ; y=M ; x=e ; f z =sin E ; f y =sin M ; g z =z

und erhalten:

E=Me sin M e2

2

Msin2M ...

Man kann damit R, den wahren Winkel (dessen Abweichung wir im Bezug auf

M erhalten wollen) ausdrücken als

R=M2e sinM54e2sin 2M ...

Anmerkung

Eine ausführlichere Lösung findet sich in der Arbeit »Equation of

time-- Problem in Astronomy« von M. MÜLLER [Quelle 2, Schritte

(28) bis (36)], würde aber den Rahmen einer Facharbeit sprengen.

Diese Arbeit wurde im Rahmen eines Wettbewerbes namens »First

Step to Nobel Prize in Physics« erstellt, ausgezeichnet und veröf-

fentlicht.

Die Genauigkeit des 2. Grades reicht dabei für unsere Zwecke aus.

-7-

Man kann nun e=1,7⋅10−2 (s.o.), die numerische Exzentizität der Erdbahn

einsetzen und bekommt:

R=M0.034sinM0.0003sin 2M ...

Nun multiplizieren wir die obige Gleichung mit 180°/ , um Angaben in Grad

zu erhalten und teilen durch die Rotationsgeschwindigkeit 0.25067°/min.

Dadurch erhalten wir eine Formel für die Abweichung der wahren Erdbahn von

der mittleren Erdbahn in Minuten:

M−R≈−7.771sin M −0.068sin 2M [min]

Um die Abweichung in Abhängigkeit vom Tag des Jahres zu bekommen, muss

man nun M durch t−1.042⋅0.986 ersetzen. -1,042 ist erforderlich, um den

»Startpunkt«, das Periphel, auf der x-Achse auf den 2. Januar um 1 Uhr GMT

(Greenwich Mean Time, also MEZ - 1 Stunde) zu verschieben. An diesem Zeit-

punkt befindet sich laut dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] die Erde 2005 im

Periphel. Der Faktor 0.986 kommt vom Term 360/365.24, der nötig ist um

vom Gradmaß auf Tage zu kommen. Der Graph der entstehenden Funktion

E t =−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin 2⋅t−1.042⋅0.986 [min]

veranschaulicht die Abweichung von einer kreisförmigen Erdbahn:

Abbildung B: »Auswirkungen der Exzentrizität der Erdbahn im Jahresverlauf«

(t) in Minuten

t in Tagen

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

+7.8

-12

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

G

-7.8

-8-

Nach dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] steht die Erde am 5. Juli um 5 Uhr

im Aphel. Das entspricht einer Tagesnummer von 186.21. In obige Gleichung

eingesetzt ergibt das 0.05 Minuten. Eigentlich müsste das Einsetzen zwar

0 Minuten ergeben, die Genauigkeit ist aber trotzdem recht hoch.

Der Unterschied der noch vorhanden ist lässt sich vermutlich darauf zurück-

führen, dass beim U.S. NAVAL OBSERVATORY

1. mit exakteren Werten

2. unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation (siehe 3.4.)

3. nicht nur bis zum 2. Grad

gerechnet wird. Um die Abweichung einer Sonnenuhr zu bestimmen reichen die

oben errechnerten Werte allerdings aus. Die meisten Sonnenuhren sind nicht in

der Lage so eine kleine Zeitspanne (0.05 Minuten = 3 Sekunden) anzuzeigen.

3.2. Die Schiefe der Ekliptik

Bezeichnung: Ekliptik

»Die wirkliche Bewegung der Sonne verursacht ein scheinbares

Wandern der Sonne entlang der 12 bekannten Tierkreissternbilder

um täglich rund 1° von West nach Ost [...] - entgegen der täglichen

Sonnenbewegung [...]. Somit befindet sich die Sonne in jedem

Monat vor einem anderen Sternbild des Tierkreises. Diese schein-

bare Jahresbahn der Sonne [...] wird als Ekliptik bezeichnet.«

[Quelle 1, Seite 33]

Auf Sternkarten findet man die Ekliptik oft als gestrichelte Linie. Zusammen mit

dem Himmelsäquator (einem zum Erdäquator parallelen Großkreis mit der

Sonne im Mittelpunkt) bildet sie einen Winkel von 66°33'. Dadurch gibt es bei

uns auf der Erde über das Jahr unterschiedliche Tageslängen.

Es entsteht also wieder eine Abweichung von der mittleren Erde, die den zwei-

ten Aspekt der Zeitgleichung ausmacht. Die Ekliptik schneidet den Himmels-

äquator in zwei Punkten. Einen davon durchläuft die Sonne im Frühling

(-> Frühlingspunkt) und einen im Herbst (-> Herbstpunkt). Weil hier die Tages-

länge auf der ganzen Erde gleich lang ist, werden sie auch als Äquinoktien be-

zeichnet.

-9-

Abbildung C: »Wirkung der Schiefe der Erdbahn« [nach Quelle 6, Seite 5]

Diese zwei Punkte teilen die Ekliptik in zwei Hälften, in dessen einer die

Deklination δ der Sonne immer negativ ist und ihr Minimum hat

( ==−23° 27 ' ) und in dessen anderer die Deklination immer positiv ist und

ihr Maximum hat ( ==−23° 27 ' ) .

Der Hochpunkt fällt aber nicht wie zu erwarten wäre mit Aphel oder Periphel

zusammen, sondern ist bezüglich des Aphels um 12°15' Richtung Frühlings-

punkt verschoben. Deshalb fällt die Wintersonnenwende (Wintersolstitium)

nicht mit dem Periphel- bzw. die Sommersonnenwende (Sommersolstitium)

nicht mit dem Apheldurchgang zusammen. Sie liegen etwa 12 Tage und

10 Stunden ( 12°15 '⋅365.24d /360°=12.43d≈12d 10h ) auseinander.

Wie in 3.1. ist unser Ziel eine Funktion haben, die uns die Abweichung von der

mittleren Erde in Minuten bei Angabe des Tages liefert. Der erste Schritt besteht

aus der Verlagerung des Anfangspunktes vom Periphel auf den Frühlingspunkt

(Äquinoktium -> keine Abweichung).

mittlere Erde

wahre Erde

e

dSonne

Winter-solstitium

Sommer-solstitium

Frühlings-punkt

Herbst-punkt

AB

-10-

Die für uns relevante Differenz A-B lässt sich auch (wie bei 3.1.) in einer Reihen-

entwicklung darstellen:

A−B≈ tan2/2⋅sin 2 L−12tan4/2⋅sin 4 L

L ist dabei die wahre Länge, analog zum wahren Winkel R in 3.1. Beim Einsetzen

von =23.45° erhält man:

A−B≈−0.043⋅sin 2 L−0.001⋅sin 4 L

Anmerkung

Wie schon bei 3.1. folgen wir hier in groben Zügen den Argu-

mentationen in »Equation of time-- Problem in Astronomy«

[Quelle 2, Schritte (37) bis (40)] und »Analemma, die Zeit-

gleichung: Warum ist aus unserer Sicht die Sonne so

unpünktlich?«[Quelle 6, Seite 6].

Analog zu 3.1. multiplizieren wir mit 180°/ und teilen durch 0.25067°/min.

Das Ergebnis ist die Formel der Abweichung der wahren Erdbahn von der mitt-

leren Erde in Minuten:

A−B≈−9.829sin 2 L−0.229sin 4 L[min ]

Um wie in 3.1. auf eine Funktion zu kommen, die die Abweichung in Abhängig-

keit vom Tag ausgibt, gehen wir auch exakt so vor wie oben, nur dass der

»Startpunkt« nicht auf den 2. Januar sondern auf den Zeitpunkt des Winter-

solstitiums (der Zeitpunkt an dem die Erde den höchsten Punkt ihrer Bahn er-

reicht), der laut U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] der 21. Dezember, 12:42 Uhr

ist. Hier muss logischerweise die Angabe aus dem Jahr 2004 hergenommen

werden. Die Korrektur ist also +10.507 Tage. Damit gilt also:

t =−9.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min]

-11-

Der zugehörige Graph:

Abbildung D: »Auswirkungen der Schiefe der Ekliptik im Jahresverlauf«

3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung

Zum Begriff »Zeitgleichung«

»Die allgemein verbreitete [Anmerkung: deshalb findet sie auch

hier Verwendung] Bezeichnung ›Zeitgleichung‹ wird [...] zurecht

kritisiert. Es handelt sich hierbei um keine mathematische

Gleichung, sondern lediglich um die Differenz zwischen der wahren

und mittleren Ortszeit.« [Quelle 1, Seite 39]

Da wir es bereits geschafft haben die Abweichung von einer mittleren Erde in

Minuten, verursacht durch die Exzentrizität der Erdbahn einerseits und der

Schiefe der Ekliptik andererseits, in zwei Gleichungen auszudrücken, müssen

wir diese beiden nur noch addieren, um die endgültige Zeitgleichung für 2005

zu erhalten. Sie lautet folglich:

Z t =E t t =−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin 2⋅t−1.042⋅0.986

9.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min ]

G

(t) in Minuten

t in Tagen

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

+9.8 +9.8

-9.8 -9.8-12

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-12-

Auch graphisch sieht man schön das Ergebnis der Addition:

Abbildung E: »Die Zeitgleichung im Jahresverlauf«

Eine Sonnenuhr geht vor, wenn die Zeitgleichung positiv ist und nach, wenn sie

negativ ist. Es gibt vier Nullstellen: 18. April, 17. Juni, 1. September und 28. De-

zember. An diesen Tagen gehen Sonnenuhren richtig!

Lokale Maxima sind der 18. Mai mit 3.9 Minuten und der 5. November mit

16.5 Minuten. Lokale Minima sind der 14. Februar mit -14.5 Minuten und der

28. Juli mit -6.3 Minuten.

G

G

G

(t) in Minuten

t in Tagen

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-14

-16

-18

12

14

16+16.5

+3.9

-6.3

-14.5

-13-

Beispiel

Berechnung der wahren Ortszeit am 28.01.2005 um 16 Uhr

mitteleuropäischer Zeit (MEZ). Hersbruck hat die geographische

Länge 11.45°. Es ist damit 4∗11.45−15 Minuten von der MEZ

entfernt. Die Zeitgleichung beträgt am 28. Januar -13.09 Minuten.

Um 16 Uhr ist es in Herbruck

WOZ=16 h60min15°

⋅11.45°−15.00° −13.09min=15h33min

also 15:33 Uhr wahrer Ortszeit!

3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma

Bei aufmerksamer Beobachtung der Sonne fällt auf dass sie nicht jeden Tag um

12 Uhr wahrer Ortszeit an der gleichen Stelle steht. Tatsächlich ergibt sich wenn

man in regelmäßige Abständen immer um die gleiche Uhrzeit ein Foto der

Sonne macht etwa diese Form:

Abbildung F: »Analemma« gefunden aufhttp://www.vittayasart.net/articles/analemma.html

Diese formtypische liegende Acht bezeichnet man als Analemma. Der Begriff

αναλημμα selbst stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet so viel wie

»Ausgleich«, also Zeitgleichung [nach Quelle 6, Seite 9]. Im Prinzip haben wir

hier also wieder die Zeitgleichung vor uns, nur in anderer Darstellung. Sie ver-

anschaulicht die oben ausgeführten Effekte noch, weil sie empirisch überprüf-

bar ist.

Doch wie kommt man denn von der Zeitgleichung zur Analemma?

-14-

Der Weg lässt sich recht einfach in zwei Schritten zusammenfassen:

1. Schritt:

Eine Linie, auf der die Sonne hin und her wandert. Sie kommt durch die

zwischen -23°27' und +23°27' pendelnde Deklination und die daraus

resultierenden Tagbögen (siehe 3.6.) zustande. Die Neigung der

Analemma ändert sich folglich im Tagesverlauf. Mittags steht sie

senkrecht, zum Zeitpunkt des Sonnenauf- bzw. unterganges liegt sie

waagrecht.

2. Schritt:

Entstehung einer liegenden Acht durch die Effekte der Exzentrizität der

Erdbahn (3.1.) und der Schiefe der Ekliptik (3.2.). Deshalb sieht die

Analemma auch jedes Jahr anders aus, da sie vor allem durch die Aus-

wirkungen der Präzession und der Nutation (3.5.) verändert wird.

3.5. Erdrotation, Präzession und Nutation

Prinzipiell sind drei Bewegungen der Erdachse zu unterscheiden: Die Rotation,

die Präzession und die Nutation. Die Dauer

für eine Rotation um 360° beträgt genau

24 Stunden Sonnenzeit.

Die Nutation hat eine Periodendauer von

18.6 Jahren, wodurch die Präzession mal

9.3 Jahre beschleunigt und dann wieder

9.3 Jahre verlangsamt wird. Die Ursache der

Nutation liegt in der Neigung der Mondbahn

zur Ekliptik um 5.1°.

Bezeichnung: Präzession der Erde

»Durch die Abplattung des Erdellipsoids können die Gezeitenkräfte

von Mond und Sonne ein Drehmoment bewirken, das zur

Präzession der Erdachse führt. Für eine volle Kegelbewegung be-

nötigt die Erdachse etwa 25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird auch

platonisches Jahr oder Großjahr genannt.« [nach Quelle 5.3]

Abbildung G: »Bewegungen derErdachse« [aus Quelle 5.3]

-15-

Da die Präzession der Bewegung der Erde um die Sonne sozusagen entgegen-

wirkt und die Umlaufdauer verkürzt, ist sie für die Einzigartigkeit der Zeit-

gleichung bzw. der Analemma eines bestimmten Jahres verantwortlich

Sowohl die Auswirkungen der Präzession als auch die der Nutation werden bei

der Berechnung einer Sonnenuhr in dieser Facharbeit nicht berücksichtigt, da

sie auf die korrekte Zeitanzeige auf einer Sonnenuhr einen sehr geringen Ein-

fluss haben.

3.6. Die Deklination und der Tagbogen

Abbildung H: »Tagbögen im Jahresverlauf« [aus Quelle 9, Seite 85]

Durch die Erdrotation wandert die Sonne täglich von Osten nach Westen und

beschreibt dabei einen Bogen. Da sich aber die Deklination δ (siehe 3.2., Ab-

bildung C) im Jahresverlauf ändert, ändert sich auch die Tageslänge und damit

der Tagbogen der Sonne.

Anmerkung

Bisher stand immer die Sonne im Mittelpunkt des Geschehens. Für

eine Sonnenuhr stellt aber der Ort an dem sie aufgestellt wird das

Zentrum dar, weshalb wir nun von einem geozentrischen System

ausgehen.

Zunächst ist die Kenntnis der Tage nötig, an denen die Sonne in den Solstitien

(d.h. dass die Deklination δ ihre Extrema hat) steht. Hier greifen wir wieder auf

das U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] zurück, welches uns für das Sommer-

solstitium den 21. Juni um 6:46 Uhr und für das Wintersolstitium den 21. De-

zember 18:35 Uhr liefert.

-16-

Um auch an anderen Tagen des Jahres die Deklination bestimmen zu können,

werden wir nun eine Funktion aufstellen, die uns die Deklination in Abhängig-

keit vom Tag des Jahres liefert. Da δ am Frühlingspunkt den Wert 0° hat,

nehmen wir ihn zunächst als »Startpunkt«. Bis zum Erreichen des Herbst-

punktes ist δ negativ, danach positiv, also liegt die Verwendung einer negativen

Sinus-Funktion nahe. Die Multiplikation vom Tag t mit 2 /365.24 führt zur

Verlängerung auf Jahresdauer. Damit die Funktion zwischen +23°27' und

-23° 27' schwankt muss man sie nur noch mit 23.45° multiplizieren und erhält:

t =−sin t⋅0.986⋅23.45°

Wie bisher bleibt noch, den »Startpunkt« auf das richtige Datum zu ver-

schieben, den 20. März um 12:33 Uhr (Tagesnummer 79.52). Es muss also eine

Korrektur von -79.52 erfolgen. Die Funktion lautet dann für 2005:

t =−sin t−79.52⋅0.986⋅23.45°

Der zugehörige Graph:

Abbildung I: »Die Deklination der Sonne im Jahresverlauf«

Neben der Deklination wirkt sich auch die geographische Breite auf den Tag-

bogen aus. Sie beeinflusst die Höhe h, die maximale und die minimale Mittags-

höhe hmax bzw. hmin , sowie die Tageslänge.

(t) in °

t in Tagen

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

-25-23.45

-30

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

G

+23.45

-17-

h ist offensichtlich am größten, wenn die

Sonne kulminiert. hmax ist die Höhe h, die

am Tag des Sommersolstitiums am wahren

Mittag (dem Meridiandurchgang der

Sonne) erreicht wird. Sie ist mit

90°−− zu berechnen. Hier wird auch

klar, dass die Sonne nur zwischen Breiten

von 0° und 23°27' im Zenit, also auf einer

Höhe von 90° stehen kann.

Die Tageslänge muss uns noch inter-

essieren, weil Sonnenuhren nach Sonnenuntergang nur schwerlich funktion-

ieren. sei im Folgenden der Winkelabstand zum Meridian. Aus der sphär-

ischen Trigonometrie erhalten wir (als Formel für die aktuelle Höhe):

sin h=sin⋅sin−cos⋅cos−⋅cos

Für den halbenTagbogen gibt das bei sin h=0 und durch cos⋅cos− dividiert:

cos=−tan⋅tan− [nach 8.2]

2 ist dann die Länge eines ganzen Tagbogens, also der Winkel, den wir die

Sonne im Tagesverlauf überstreichen sehen. 2 /15° ergibt die Tageslänge in

Stunden. Sie wird zur Zeit des Sommersolstitiums maximal. Bei uns ist der

Tagbogen dann 241° lang, was einer Tageslänge von 16.07 Stunden entspricht.

Beispiel

Hersbruck liegt auf der Breite 49.5°. Am 28. Januar 2005 beträgt

die Deklination 18.17°. Der halbe Tagbogen ist damit:

=cos−1−tan 49.50°⋅tan−18.17°=67.40°

Für die Tageslänge ergibt das 67.408°⋅2h/15.00°=8.99 Stunden.

Aus der maximalen Tageslänge lassen sich die frühest und die spätest nötige

Stundenlinie auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr schließen. Mit Hilfe der für

jeden Tag berechneten Höhe h lassen sich zudem Datumslinien einzeichnen.

Abbildung J: »Das Horizontsystem«[aus Quelle 0, Seite 22]

h O

A

A' J

Horizont

Z (Zenit)

Z' (Nadir)

Süden

-18-

4. Sonnenuhren

Da jetzt alle Abweichungen der wahren Erde von der fiktiven mittleren Erde be-

kannt und für 2005 berechnet sind und wir uns mit der Bewegung der Sonne

aus Sicht der Erde auskennen, können wir ab hier von einer mittleren Erde aus-

gehen. Diese Basis ermöglicht es, eine Sonnenuhr zu verstehen und richtig anzu-

wenden.

4.1. Definition und Aufgaben

Definiton: Sonnenuhr

»In knappen, aber zutreffenden Worten gibt PROF. DR. G.

AULENBACHER das Prinzip einer Sonnenuhr an: ›Die Sonnenuhr ist

ein Instrument, das Funktionen der Sonnenkoordinaten anzeigt.‹

Sonnenuhren dienen nicht nur der Zeitanzeige, sondern vermögen

auch kalendarische, mathematisch-astronomische (Höhe, Azimut),

geographische und sogar astrologische Information zu vermitteln.«

[Quelle 1, Seite 43]

Eine Sonnenuhr ist also primär nicht ein Werkzeug zur Zeitbestimmung, son-

dern eher ein »Winkelmesser« für die Sonne. Wir können ihre Höhe (siehe Ab-

bildung I, an der Schattenlänge) und ihren Azimut α (an der Richtung des

Schattens) ablesen.

Die Aufgabe einer Sonnenuhr heute ist auch in erster Linie nicht die Zeitanzeige,

da die Zeit nicht unmittelbar abgelesen werden kann wie etwa von einer Arm-

banduhr. Um eine Sonnenuhr richtig zu lesen ist Vorwissen oder eine Erklärung

notwendig. Deshalb dient die Sonnenuhr eher als Zierobjekt in vielen Gärten

oder an Hauswänden und ist damit auch heute noch sehr beliebt, wie auch

einige in der Nürnberger Innenstadt (z.B. am Nassauerhaus) zu findende

Sonnenuhren beweisen.

Im pädagogischen Sinne ist eine Sonnenuhr hervorragend geeignet, mathe-

matische Sachverhalte in Astronomie und Geographie zu veranschaulichen und

zu verstehen [nach Quelle 7, Seite 110].

-19-

4.2. Sonnenuhrentypen

Abbildung K: »Bilder von Sonnenuhren« [aus Quelle 1, CD-Rom]

Die Namen der Uhren bezeichnen die Lage der Zifferblattebene: das Zifferblatt

horizontaler Uhren ist parallel zur Horizontebene, das vertikaler Uhren bildet

mit der Horizontebene einen rechten Winkel. Eine äquatoriale Uhr hat ein zum

Äquator paralleles Zifferblatt.

Der Gnomon (Schattenstab) allerdings muss immer parallel zur Erdachse sein.

Nur so kann gewährleistet werden, dass sich der Schatten jeden Tag des Jahres

gleichförmig über das Zifferblatt bewegt. Mit der Horizontebene bildet er den

Winkel φ, mit der Vertikalebende den Winkel 90°-φ.Es ist also für den Bau

einer Sonnenuhr essentiell, die geographische Breite des Ortes zu kennen, an

dem sie aufgestellt werden soll.

Bei der horizontalen und der vertikalen Sonnenuhr handelt es sich um die

gebräuchlichsten Sonnenuhrentypen. Während man horizontale Uhren

beispielsweise in Gärten findet, sind vertikale Uhren für Hauswände optimal

geeignet. Diese beiden Typen bietet außerdem einen höheren Grad an Kom-

plexität als eine äquatoriale Uhr, deren Zifferblatt sich sehr einfach konstruieren

lässt: 1 Stunde enpricht 15°.

-20-

4.3. Zifferblätter

Das gerade genannte Zifferblatt E der äquatorialen Uhr muss nämlich in die

Horizontebene E' bzw. die Vertikalebene E'' projeziert werden. Von der Ost-

West-Linie abweichende vertikale Sonnenuhren werden von der Ebene E'''

vertreten.

Abbildung L: »Zifferblätter einer Sonnenuhr« [Quelle 4, Seite 230]

Der Abbildung ist zu entnehmen: tan t '=∣RS∣∣RM '∣ und ∣RS∣=∣RM∣⋅tan t

Die Neigung des Gnomons ist die geographische Breite φ, also gilt:

∣RM∣=∣RM '∣⋅sin und damit tan t '=sin⋅tan t

t ist der Stundenwinkel (z.B. 30°=2h⋅360° /24h für 14 Uhr).

Entsprechende Überlegungen für t'' (bei M'') führen zu: tan t ' '=cos⋅tan t

S

R

α

T

M''

M' Nord

West

Ost

Süd

M

t''t'''

t

t'

E'' E'''

E

E'

φ

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Für den Fall, dass eine vertikale Uhr nicht genau nach Süden ausgerichtet ist

sondern um den Winkel α abweicht, entnimmt man der Abbildung L:

tan t ' ' '= ∣RT∣∣RM ' '∣

Da der Winkel RTM '=180°−90°−−t ' ist gilt nach dem Sinussatz:

∣RT∣⋅sin [90°−t '−]=∣RM '∣⋅sin t ' und folglich ∣RT∣=∣RM '∣⋅sin t 'cost '−

Nachder Abbildung L: ∣RM ' '∣=∣RM '∣⋅tan

tan t ' ' '= ∣RM '∣⋅sin t '∣RM '∣⋅tan⋅cost '−

= sin t 'tan⋅cos t '⋅cossin t '⋅sin

cos t '= sin t 'tan t '

; tan t '=sin⋅tan t tan t ' ' '= 1tan⋅cossin⋅tan t

tan⋅sin

tan t ' ' '=sin⋅tan t

tan⋅costan⋅sin⋅sin⋅tan t; Es gilt :

sintan

=cos

tan t ' ' '=cos

cos⋅cot tsin⋅sin[nachQuelle 4, Seite 231]

Jetzt kann man Zifferblätter horizontaler und beliebig abweichender vertikaler

Uhren konstruieren. Der Winkel α darf dabei weder 90° noch 270° sein, weil

sonst der Gnomon in der Zifferblattebene läge. φ muss kleiner als 90° sein, was

sinnvoll ist da man am Nordpol ohnehin nicht wüsste in welche Richtung man

eine vertikale Sonnenuhr ausrichten sollte. Eine Sonnenuhr mit entsprechend

konstruiertem Zifferblatt zeigt uns nun die wahre Ortszeit an.

Beispiel

Man möchte die Linie für 16 Uhr auf einer horizontalen Uhr zeich-

nen, das entspricht einem t von 60° ( 60°=4h⋅360° /24 h ). Da die

Uhr in Hersbruck aufgestellt wird ist φ gleich 49.5°.

t '=tan−1sin 49.5°⋅tan 60° =52.8°

Die Mittagslinie (Südlinie) und die 16 Uhr Linie müssen also einen

Winkel von 52.8° bilden, welchen man nun antragen kann.

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4.4. Die Analemma auf der Uhr

Jeder Sonnenuhr ein Tabellenwerk beizulegen, um stets die exakte Zeit errech-

nen zu können ist jedoch sehr unpraktisch. Deswegen wenden wir an dieser

Stelle unsere Kenntnisse aus 3.4. an: wenn die Sonne nämlich im Jahresverlauf

am Himmel die Form der Analemma beschreibt, muss es doch auch möglich

sein, eben diese auf das Zifferblatt zu übertragen. Die folgende Abbildung M

zeigt das Ergebnis:

Abbildung M: »Zifferblatt einer analemmatischen Horizontaluhr« [Java-Applet»Analemma Sundial Applet« von JÜRGEN GIESEN, zu finden unter Quelle 8.1]

Die Länge des Gnomons (hier 10cm) ist anders als bei normalen horizontalen

Uhren festgelegt und wird bei der Berechnung des Zifferblattes berücksichtigt.

Bei obiger Grafik fällt zudem auf, dass die 12 Uhr Analemma nicht genau über

der Mittagslinie liegt. Das kommt daher, dass in dieser Grafik bereits der

Längenunterschied 15°-11.45° berücksichtigt wurde, damit die Sonnenuhr nicht

die mittlere (!) Ortszeit sondern die mitteleuropäische Zeit anzeigt.

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Stellt man eine hoizontale Sonnenuhr an einem Ort auf, für dessen Breite sie

nicht gemacht wurde, kann man dies durch Schrägstellen um die Breiten-

differenz (so dass der Gnomon wieder parallel zur Erdachse steht) korrigieren.

[nach 10, Seite 27] Für vertikale Uhren würde das auch funktionieren, allerdings

steht man hier in den meisten Fällen vor einem praktischen Problem: eine

Hauswand um wenige Grad zu neigen.

5. Faszination Sonnenuhr

Auch wenn Sonnenuhren schon viele Jahrhunderte im Einsatz sind, haben sie

doch nichts von ihrer Faszination verloren. Nahezu endlos viele Möglichkeiten,

Gnomon und Zifferblatt kreativ zu gestalten, gepaart mit Unverständnis, das die

meisten Leute Sonnenuhren entgegenbringen, machen diese Faszination aus.

Die Konstruktion ist mit relativ einfachen praktischen Methoden möglich.

R. SOLER, der Leiter der mallorcinischen Sonnenuhrenvereinigung beweist dies

auf der sonnen(uhren)reichen Insel Mallorca mit einigen sehenswerten Uhren

[nach Quelle 1, CD-Rom].

Da die wichtigsten »mathematischen Grundlagen für die Konstruktion einer

Sonnenuhr« nun erarbeitet sind, zum Abschluss noch 2 Fotos besonders erwäh-

nenswerter Sonnenuhren: Die »Mittagskanone«, bei welcher mittags durch ein

Brennglas eine Kanone gezündet wird und die »Digitale Sonnenuhr«, die mit

Hilfe von 2 gemusterten Schichten das Sonnenlicht nur in Ziffern durchlässt.

Weitere Fotos finden sich auf der beigelegten CD-Rom im Verzeichnis »Bilder«.

Abbildung N: »Mittagskanone«und »Digitale Sonnenuhr« [aus Quelle 1, CD-Rom]

-24-

6. Literaturverzeichnis

[0] RENÉ R. J. ROHR, »Sundials - History, Theory and Practice«, Totonto 1970

[1] ARNOLD ZENKERT, »Faszination Sonnenuhr«, Frankfurt 2002― Inhalt der CD-Rom auf der dieser Arbeit beigelegten CD: ZenkertCD/

[2] M. MÜLLER, »Equation of time-- Problem in Astronomy«Internetseite: http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html

― auf der CD: Quellen/mueller.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004

[3] U.S. NAVAL OBSERVATORY, »Earth's Seasons Equinoxes, Solstices, Perihelion, and Aphelion«Internetseite: http://aa.usno.navy.mil/data/docs/EarthSeasons.html

― auf der CD: Quellen/EarthSeasons.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004

[4] H.-G. BIGALKE, »Kugelgeometrie«, Frankfurt/Berlin/München 1984

[5] WIKIPEDIA, Internetseite aufgerufen am 29.12.2004:[5.1] »Längengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4ngengrad

― auf der CD: Quellen/Laengengrad.htm[5.2] »Breitengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/Breite

― auf der CD: Quellen/Breitengrad.htm[5.3] »Präzession« http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession

― auf der CD: Quellen/Praezessiom.htm[5.4] »Nutation« http://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_%28Astronomie%29

― auf der CD: Quellen/Nutation.htm

[6] CHRISTIAN STRUTZ, »Analemma, die Zeitgleichung: Warum ist aus unserer Sicht die Sonne so unpünktlich?«Internetseite: http://www.schulphysik.de/strutz/zeitgl.pdf

― auf der CD: Quellen/zeitgl.pdfo.J., aufgerufen am 03.01.2005

[7] LOTZE/SCHNEIDER, »Wege in der Physikdidaktik Band 5«, Erlangen 2002

[8] JÜRGEN GIESEN, Internetseite aufgerufen am 18.01.2005:[8.1] »Analemma Sundial Applet« http://www.geoastro.de/analemma/

― auf der CD: Quellen/Geoastro.htm Applet: quellen/geoastro.zip[8.2] »Length of Day« http://www.jgiesen.de/astro/solarday.htm

― auf der CD: Quellen/lengthofday.htm

[9] DAVID H. LEVY, »Abenteuer Astronomie«, Stuttgart 1997

[10] HEINRICH GÖRING, »Die Sonnenuhr«, Arnsberg 1864

[11] Barth/Mühlbauer/Nikol/Wörle, »Mathematische Formeln und Definitionen«, München 1998

[12] HAMMER/HAMMER, »Physikalische Formeln und Tabellen«, München 2002

[13] ALBERT E. WAUGH, »Sundials - Their Theory and Construct.«, New York 1973

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7. Selbstständigkeitserklärung

Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nurdie im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Happurg, den 27.01.2005 _______________________