Fachbereich Maschinenbau Prof. · 7.4 Elektrische Maschinen, Erzeugung eines Drehfeldes, Asynchron-, Synchronmaschine 7.5 Transformatoren 7.6 Gleichstrommaschinen, Anschlussschaltpläne

CUsersMonikaDocumentsFH MaschinenbauVorlesungsmanuskript Maschinenbaudoc

Prof Dr-Ing H Alt

Fachbereich Maschinenbau Elektrotechnik fuumlr Mechatroniker

Vorlesungsmanuskript Elektrotechnik Stand 752012

fuumlr Maschinenbauer und Mechatroniker SS 2012 Inhaltsuumlbersicht der Vorlesung in Stichworten

1 Von der Ladung zu Strom und Spannung

11 Im Herzen der Materie 12 Stromleiter Driftgeschwindigkeit Impulsgeschwindigkeit 13 Einheit der Stromstaumlrke 14 Belastbarkeit von Leitungen 15 Widerstand von Leitungen Temperaturabhaumlngigkeit des Widerstandes 16 Erdungswiderstaumlnde Spannungstrichter Sicherheitsregeln

2 Gesetze im elektrischen Stromkreis

21 Zaumlhlpfeilsysteme 22 Ohmsches Gesetz 23 Erstes und zweites Kirchhoffsches Gesetz 24 Leistung und Arbeit 25 Systembedingte Stromkosten fuumlr die Bereitstellung von Leistung und Arbeit

3 Berechnung elektrischer Netzwerke

31 Quellenarten Spannungs- und Stromquellen Leistungsanpassung 32 Strom und Spannungsberechnung elektrischer Netzwerke 33 Spannungsteiler 34 Ideale und reale Spannungs- und Stromquellen

4 Elektrische und magnetische Felder der magnetische Kreis 41 Dualitaumlt elektrischer und magnetischer Groumlszligen 42 Durchflutungsgesetz 43 Induktionsgesetz 44 Kraftgesetz stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld 45 Kraftgesetz im Luftspalt magnetischer Felder 46 Kraftgesetz im elektrischen Feld

47 Hysterese- und Wirbelstromverluste beim magnetisieren von Eisen

5 Berechnung von Schaltvorgaumlngen Halbleiter und Anwendungskomponenten

51 Schaltvorgaumlnge in Stromkreise mit einem Energiespeicher 52 Einschaltung schwingungsfaumlhiger Systeme 53 Grundlagen der Halbleitertechnik

6 Wechselstrom- und Drehstromsysteme 61 Mittelwerte arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert) und Effektivwert 62 Erzeugung elektrischer Energie durch Rotation im Magnetfeld 63 Zeigerdarstellung von Strom und Spannung in der komplexen Ebene 64 Leistungsbegriffe bei Wechselstrom Wirk- Blind- und Scheinleistung 65 Leistungen in der Energietechnik

7 Elektrische Energieverteilungssysteme und Stromanwendung

71 Stromerzeugung und Strombelastung im Drehstromsystem 72 Allgemeine Belastung im Drehstromnetz Steinmetzschaltung 73 Wechselstromleistung nicht sinusfoumlrmiger Stroumlme 74 Elektrische Maschinen Erzeugung eines Drehfeldes Asynchron- Synchronmaschine 75 Transformatoren 76 Gleichstrommaschinen Anschlussschaltplaumlne 77 Kurzschlussstromberechnung 78 Kraftwirkung durch Kurzschlussstroumlme 79 Dualitaumlt Mechanik versus Elektrik 710 Entwicklung der Batterietechnik

Literatur [ 1] FlegelBirnsteinNerreter Elektrotechnik fuumlr Maschinenbau und Mechatronik Carl Hanser Verlag [ 2] Wolfgang Nerreter Grundlagen der Elektrotechnik Carl Hanser Verlag [ 3] Gert Hagemann Grundlagen der Elektrotechnik AULA-Verlag [ 4] Wilfried Knies Klaus Schierack Elektrische Anlagentechnik Carl Hanser Verlag [ 5] Eckhard Spring Elektrische Maschinen Eine Einfuumlhrung Springer Verlag [ 6] Helmut Lindner Harry Brauer Constans Lehmann Taschenbuch der Elektrotechnik Hanser Verlag

- 2 -


Rutherfords Streuexperiment

1 Von der Ladung zu Strom und Spannung 11 Im Herzen der Materie Lecture room in the Ernest Rutherford museum Arts Centre Christchurch Canterbury Neuseeland

Im Jahr 1911 schossen Rutherfords Team Hans Geiger und Ernest Marsden in einem bahnbrechenden Experiment Alphateilchen auf eine duumlnne Goldfolie und beobachteten zu ihrer Verbluumlffung dass einige Alphateilchen unter sehr groszligen Streuwinkeln gestreut wurden waumlhrend die meisten praktisch ohne Ab-lenkung durch die Goldfolie flogen Ein solches Streuexperiment ist im Rutherford Museum im Arts Cent-re in Christchurch Neuseeland zu beobachten Ernest Rutherford erklaumlrte diese Beobachtung mit der Annahme dass Atome aus einem kleinen positiv geladenen Kern bestehen um den Elektronen kreisen Im Atomkern wirken sehr starke Kernkraumlfte der Nuklide anziehend die elektrischen Kraumlfte jedoch absto-szligend wobei bei engem Kontakt der Nuklide die Kernkraumlfte uumlberwiegen (wie bei klebrigen Bonbons)

Um die physikalischen Eigenschaften der Elektrizitaumlt zu verstehen ist eine kurze Betrachtung des ato-maren Aufbaus der Materie anhand des Periodensystems der Elemente erforderlich Literaturempfehlung OtterHonecker Atome-Molekuumlle-Kerne Bd1 Atomphysik Bd 2 Molekuumll- und Kernphysik Teubner Ver-lag 1998

Masse und Ladung der Protonen mP = 167265middot10-27

kg QP =1602 middot10-19

C Elementarteilchen (Nuklide) Neutronen mN = 167495middot10

-27 kg QP = 0 C

enp 0

1

1

0

1

1 Elektronen mE = 91091middot10-31

kg QP = -1602 middot10-19

C

Atome eines Elements koumlnnen bei gleicher Protonenzahl eine unterschiedliche Neutronenzahl aufweisen Solche Atome mit gleicher Kernladungszahl (Ordnungszahl) aber mit unterschiedlicher Massenzahl bezeichnet man als Isotope

Radioaktiv Alpha-Teilchen (Helium-Kerne T12 = 1602 a)

- 3 -


N

Cu- Atom

12 Stromleiter Driftgeschwindigkeit Impulsgeschwindigkeit

Die Elemente der 11 Gruppe im Periodensystem der Elemente sind dadurch gekennzeichnet dass in der aumluszligeren Elektronenschale nur ein Elektron als relativ freies Elektron verfuumlgbar ist Dieses Elektron ist unter der Einwirkung eines elektrischen Feldes besonders frei im Kristallgitter des Materials beweglich und daher Traumlger des elektrischen Stromes in einem Leiter Die dort verfuumlgbaren

Elemente sind Kupfer Cu29

64 Silber Ag47

108 und Gold Au79

197 Daher wird das

mit technisch guumlnstigen Materialeigenschaften und kostenmaumlszligig noch vertretbare Kupfer bei den meisten Anwendungen als Leiterwerkstoff verwendet

Ein Kupferatom Cu29

64 hat 29 Protonen und 35 Neutronen im Kern sowie

29 Elektronen auf den Schalen K = 2 L = 8 M = 18 N = 1 Elektronen in der Atomhuumllle

Ein Silberatom Ag47

108 hat 47 Protonen 61 Neutronen im Kern sowie 47 Elektronen

auf den Schalen K = 2 L = 8 M = 18 N = 18 O = 1 Elektronen in der Atomhuumllle Bei Kupfer ist ein freies Elektron auf der N-Schale bei Silber ist dieses mit geringerer Bindungsenergie auf der weiter entfernten O-Schale daher ruumlhrt die noch bessere Leitfaumlhigkeit von Silber

Mit der Avogadro- Konstanten N0 = 6022 middot1023

1mol und dem spezifischen Gewicht von Kupfer γ= 89 gcm

3 errechnet sich die Anzahl der im Kupfer

(Atomgewicht CuA = 63546) verfuumlgbaren freien Elektronen je cm3 zu

322323

0 110438

54663

981100226cm

molg

cmgmol

A

Nn

Cu

CuCuE

Sowohl durch mechanische wie durch elektrische Vorgaumlnge lassen sich Elektronen von einen Raumbereich in einen anderen Raumbereich uumlbertragen so dass Bereiche mit Elektronenuumlberschuss und Bereiche mit Elektronenmangel entstehen Bereiche mit uumlberschuumlssigen Elektronen (nEgtnP) sind negativ geladene Bereiche solche mit Mangel an Elektronen (nEltnP) sind positiv geladenen Bereiche Mit Hilfe einer Probe-

ladung stellt man fest dass zwischen den beiden Bereichen ein elektrisches Feld E besteht welches auf

die Probeladung QP eine Kraft F ausuumlbt EQF P Diese Kraft (Coulombkraft) ist in der Richtung orts-

abhaumlngig und proportional der Groumlszlige der Probeladung hat also Vektorcharakter

Kraft mal Weg ist Arbeit dh im elektrischen Feld kann eine Arbeit geleistet werden

sEQsFW P ddd daraus folgt

2

1

21

21d UsE

Q

W

P

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld nennen wir elektrische Spannung mit der Bezeichnung U gemessen in Volt mit der Bezeichnung V Wenn man zwei Bereiche unterschiedlicher elektrischer Ladung mit einem elektrischen Leiter verbindet kommt es zu einem Ausgleich der Ladungen indem freie Elektronen von dem Bereich des Elektronen-uumlberschusses in den Bereich des Elektronenmangels flieszligen Diese gerichtete Elektronenstroumlmung durch einen Leiter nennen wir elektrischen Strom

Die positive Richtung des elektrischen Stromes entspricht der negativen Richtung des Elektronenflusses Fliest der Strom uumlber einen Widerstand R so ergibt sich ein Spannungsfall an diesem Widerstand nach dem ohmschen Gesetz zu

RIU

Der Strom I entspricht der in der Zeit dt abflieszligenden Ladungsmenge dQ

t

QI

d

d

Flieszligen die Elektronen durch einen runden Kupferdraht mit dem Querschnitt A ab so gilt mit der Elektronendichte n = 843 middot10

22 cm

-3 im Draht und der Elektronenladung e = - 1602middot10

-19 As

(Fuumlr die Ladungsmenge gilt 1 As = 1 Coulomb = 1 C oder entsprechend 624middot1018

Elektronen)

DvAendtdxAendtdVendtdQ

Hierin ist vD die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Draht mit dem Querschnitt A = 15 mm2 Cu

Fuumlr die Driftgeschwindigkeit gilt

s

cmI

cmAscm

I

Aen

IvD

004940

105110602110438 2219322 fuumlr I in A

QP +Q -Q

F

E

+Q

-Q -e

R

I

U

- 4 -


Betraumlgt der Strom in dem Draht 10 A so ist die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen

h

m771

s

cm0494010

sA

cm004940

AvD

Die Driftgeschwindigkeit darf nicht verwechselt werden mit der Geschwindigkeit des Stromes die als Impulsgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter mit der Lichtgeschwindigkeit c = 300000 kms erfolgt Die Lichtgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines elektromagnetischen Feldes im lee-ren Raum

13 Einheit der Stromstaumlrke Die Einheit der Stromstaumlrke ist 1 A Sie ist eine der Fundamentalkonstanten im internationalen SI-Einheitensystem Das Ampere ist die Staumlrke eines konstanten elektrischen Stromes der durch zwei pa-rallele geradlinige unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeord-nete Leiter von vernachlaumlssigbar kleinem kreisfoumlrmigem Querschnitt flieszligend zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlaumlnge die Kraft 2 middot10

-7 Newton hervorrufen wuumlrde

Im Reichsgesetzblatt von 1898 wurde 1 Ampere als die Staumlrke des Stromes definiert der aus einer Silbernitrat-Loumlsung mittels Elektrolyse in einer Sekunde 1118 mg Silber abscheidet (AAg=10787 zW=1) Die Stromstaumlrke von 1 A entspricht dem Abfluss von 624middot10

18 Elektronen pro Sekunde In der Elektro-

lyse gilt mit der Faraday-Konstanten fuumlr den Materialtransport

14 Belastbarkeit von Leitungen

Kennzeichnend fuumlr die Belastung einer elektrischen Leitung ist die Stromdichte

Die Belastungsgrenze wird durch die Erwaumlrmung des Leiters infolge der Wechselwirkungen des Elektro-nendurchflusses mit den Atomen des Leiters bestimmt

Da das Verhaumlltnis der Oberflaumlche eines Drahtes zu seinem Querschnitt mit zunehmendem Querschnitt immer kleiner wird dh die zum Waumlrmeaustausch mit der Umgebung verfuumlgbare Oberflaumlche wird relativ geringer nimmt die zulaumlssige Stromdichte mit zunehmendem Leiterdurchmesser ab Fuumlr einen kunststoffisolierten Kupferleiter NYA 15 mm

2 betraumlgt der zulaumlssige Strom in der Hausinstalla-

tion 16 A fuumlr 16mm2 betraumlgt dieser 50 A Dies entspricht einer zulaumlssigen Stromdichte S von

A = 15 mm

2 A = 16 mm

2

Bei Wicklungen in elektrischen Geraumlten liegt die maximal zulaumlssige Stromdichte bei 3 Amm

2

15 Widerstand von Leitungen Temperaturabhaumlngigkeit des Widerstandes Der elektrische Widerstand einer Leitung ist abhaumlngig von dem spezifischen Widerstand ρ des Leiter-

materials in und ist proportional der Leitungslaumlnge sowie umgekehrt proportional

dem Leitungsquerschnitt wobei der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ρ gleich dem Leitwert κ

in ist Fuumlr den Widerstand einer Leitung gilt

Der Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert R

G1

in S (Siemens)

Weiter ist der Widerstand von der Temperatur des Leiters abhaumlngig Bei den meisten Materialen ist der Temperaturkoeffizient positiv dh der Widerstand nimmt mit zunehmender Temperatur zu

Die Abhaumlngigkeit des Widerstandes von der Temperatur wird durch die Temperaturkoeffizienten α und β beschrieben Einige ausgewaumlhlte Materialwerte

Silber 2

562mm

mS

K

11083 3

20

2

6

20K

11070 Silber wird fuumlr Kontakte verwendet

Kupfer 2

056mm

mS

K

110923 3

20

2

6

20K

11060 Leitermaterial Kontakte Kabel

Aluminium 2

035mm

mS

K

110773 3

20

2

6

20K

11031 Freileitungsmaterial

Konstantan 2

2mm

mS

K

1100030 3

20

Konstantan wird als Widerstandsdraht verwendet

Erdreich m100 Porzellan m1010 reines Wasser m1052 5

2mm

m

mΩoder m

mm2

A

l

A

lR

1S1

20

20

0

2020 C20C201 RR

22 mm

A31

mm16

A50S

22 mm

A710

mm51

A16

A

IS

mol

AsNeF 965000

Wz

AtI

Fm

1

A

IS

- 5 -


16 Erdungswiderstaumlnde Spannungstrichter Sicherheitsregeln Bei der Gefaumlhrdung des Menschen durch elektrische Spannungen und Stroumlme spielt die Erdung der Anlagen zur Vermeidung gefaumlhrlicher Beruumlhrungsspannungen eine wichtige Rolle Eine einfache Berechnung des Erdungswiderstandes kann man aus der Ersatzvorstellung eines

Halbkugel-Erders ableiten 22 r

dr

A

dldRE

E

E

r

r

Err

drR

1

22 2

E

Er

R

2

Beim Eintritt des Fehlerstromes an einem Erder tritt ein Spannungstrichter auf dessen Gradient dem Abstand vom Erder umgekehrt proportional ist Bei Lehmboden mit dem typischen spezifischen Widerstand von 100 Ωm ist dieser Spannungstrichter nach etwa 20 m weitgehend abgeklungen Die Diagramme zeigen den Verlauf des Erdungswiderstandes und den Spannungstrichter fuumlr einen Erdstrom von 100 A und einem Erderradius von 1 m im Bereich bis 20 m bzw bis 5 m Abstand

Die gesamte Erdspannung an der Eintrittsstelle des Stromes betraumlgt rd1500 V Die Schrittspannung bei 4 m Abstand betraumlgt noch rd 200 V Daher ist es wichtig dass zB ein Baggerfahrer beim einem Kontakt des Geraumltes mit spannungsfuumlhrenden Leitungen (Kabel oder Freileitung) beim verlassen des Geraumltes keinen Handkontakt zu dem Geraumlt hat wenn er den Erdboden betritt in moumlglichst kleinen Schritten die Gefahrenstelle verlaumlszligt und diese gegen weiteres Betreten - bis zur Freischaltung der spannungsfuumlhrenden Anlagen - absichert

5 Sicherheitsregeln zu Arbeiten

in elektrischen Anlagen

1 allpolig abschalten 2 gegen Wiedereinschalten sichern 3 auf Spannungsfreiheit pruumlfen 4 Erden und Kurzschlieszligen 5 benachbarte spannungsfuumlhrende Teile abschranken

Bei einer Koumlrperdurchstroumlmung mit einer Stromstaumlrke ab 30 mA kann es zu Herzkammerflimmern mit der Folge von Herzstillstand kommen Die Loslaszliggrenze beschreibt das folgende Diagramm mit 995 der Testpersonen fuumlr die obere Kurve und 05 fuumlr die untere Kurve

dr

r rE Erde mit dem spezifi-

schen Widerstand zB fuumlr Lehmboden

m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m

Normales EEG Herzkammerflimmern

Folgen der Koumlrperdurch- stroumlmung mit elektr Strom 1 Keine spuumlrbare Reaktion 2 keine physiologisch gefaumlhrliche Wirkung 3 Muskelverkrampfungen Atembeschwerden reversibler Herzstillstand 4 Herzkammerflimmern Herzstillstand Atemstillstand Verbrennungen

Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US Schrittspannung

IE = 100 A m100

rE = 1m

entspricht 312middot1015

Elektronens

RE = 1592 Ω Fuumlr rE =1 m ρ =100 Ωm

- 6 -


2 Gesetze im elektrischen Stromkreis 21 Zaumlhlpfeilsysteme Je nach Anwendungsfall unterscheidet man zwischen dem Erzeuger - Zaumlhlpfeilsystem und dem Verbraucher - Zaumlhlpfeilsystem Bei der Darstellung von Spannungsquellen verwendet man das Erzeuger-Zaumlhlpfeilsystem dabei ist der Wert des Stromes positiv wenn der Strom entgegen der Spannungsrichtung flieszligt Bei der Darstellung von Widerstaumlnden oder sonstigen Lasten verwendet man das Verbraucher-Zaumlhlpfeilsystem dabei ist der Wert der Spannung positiv wenn die Stromrichtung in Spannungsrichtung gerichtet ist Negative Zahlenwerte der Stroumlme oder Spannungen bedeutet dass die physikalische Richtung umgekehrt wie die festgelegte Pfeilrichtung ist (Energietransportrichtung gemaumlszlig dem Poyntingvektor) Dieser gibt die Energiestroumlmung im Feldraum in Wsm

2 an

Bei der Anwendung der Maschen- und Knotenpunktsaumltze ist es wichtig dass die Zaumlhlpfeilsysteme auf beiden Seiten der Knotenpunkte korrespondieren dh es muss ein einheitliches Zaumlhlpfeilsystem ange-wandt werden Obige Schaltung mit einheitlichem Verbraucher-Zaumlhlpfeilsystem An dem Knotenpunkt 1 ist die Summe der Stroumlme gleich Null wenn I1 = - I2 ist Im Verbraucher - Zaumlhlpfeilsystem liefert der Generator (Stromerzeuger) einen negativen Strom

R

UI 2 0UU 21 II 2IUPR RG PIUP 1

Die Summe aus erzeugter Leistung und Verbrauchsleistung ist gleich Null

22 Ohmsches Gesetz Das ohmsche Gesetz wurde 1826 von Georg Simon Ohm (1789-1854) experimentell gefunden und formuliert dass die Spannung an einem konstanten Widerstand dem Strom proportional ist

23 Erstes und zweites Kirchhoffsches Gesetze Die Kirchhoffschen Gesetze wurden 1854 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert Erstes Kirchhoffsches Gesetz In jedem Knotenpunkt eines elektrischen

Netzwerkes ist die Summe aller Stroumlme gleich Null

Zweites Kirchhoffsches Gesetz In jedem elektrischen Netzwerk ist die Summe aller in einer geschlossenen Masche auftretenden Spannungen gleich Null

24 Leistung und Arbeit Die elektrische Leistung P ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I

wobei gilt 1 VA = 1 W (Watt) 1 W = 1 Nmiddotms

Die elektrische Arbeit (Energie) W ergibt sich aus dem Produkt von Leistung und der Zeit in der diese Leistung in konstanter Weise wirksam ist

wobei gilt 1 Ws = 1 Nmiddotm Bei zeitlich wechselnder Leistung gilt Eine in der Energiewirtschaft wichtige Kenngroumlszlige ist

die Benutzungsdauer mT der Maximalleistung

25 Systembedingte Stromkosten fuumlr die Bereitstellung von Leistung und Arbeit Bei der Anwendung elektrischer Energie zum Zweck der Erleichterung oder Ermoumlglichung physikalisch technischer Prozesse mechanischer waumlrmetechnischer oder informationstechnischer Art mittels bdquoStromldquo muss angepasste Leistung verfuumlgbar sein die Fixkosten verursacht und uumlber die Nutzungsdauer infolge des Verbrauches von Primaumlrenergie zusaumltzlich variable Kosten erfordert

Fuumlr die haumlusliche Stromversorgung sei eine Leistung von Pmax = 6 kW und ein Jahresenergiebedarf in Form von elektrischer Energie von WJ = 4000 kWh erforderlich Die elektrische Leistung erfordere Fix-kosten von pL = 100 eurokW die elektrische Arbeit erfordere Brennstoffkosten pA = 6 ctkWh Die systembedingten Stromkosten sind = (600 + 240) euro = 840 euro

Spezifische Durchschnittskosten

I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I

3 Berechnung elektrischer Netzwerke 31 Quellenarten Spannungs- und Stromquellen Leistungsanpassung Bei den Quellen unterscheidet man zwischen Spannungsquellen und Stromquellen Die Spannungsquellen sind durch einen geringen Innenwiderstand Ri gekennzeichnet so dass die Spannung der Quelle an den Klemmen fast unabhaumlngig von der Belastung ist Es gilt Ri ltlt RLast Bei den Stromquellen ist der Strom als Kurzschlussstrom als fast eingepraumlgter Strom an den Klemmen der Quelle wirksam da der Leitwert Gi sehr klein ist gegenuumlber dem Leitwert der Last ist Es gilt Gi ltlt GLast Fuumlr maximale Leistungsabgabe einer Quelle gilt Rv = Ri

Wirkungsgrad fuumlr maximale Leistungsabgabe (Rv = Ri)

32 Strom- und Spannungsberechnung elektrischer Netzwerke Bei elektrischen Netzwerken handelt es sich um lineare Systeme deren Berechnung der Stroumlme und Spannungen so viele linear unabhaumlngige Gleichungen erforderlich sind wie unbekannte Stroumlme vorhan-den sind Diese Gleichungen entstammen den moumlglichen Maschengleichungen und Kontenpunktglei-chungen des vorhandenen Systems

Einiges Grundsaumltzliche zur Topologie von Netzwerken Ein beliebiges - aus Zweipolen - zusammengesetztes Netzwerk besteht aus k Knoten und z Zweige Daher sind z unbekannte Stroumlme zu berechnen fuumlr die man z linear unabhaumlngige Gleichungen benoumltigt Fuumlr die k Knoten lassen sich k-1 unabhaumlngige Knotenpunktgleichungen mit den Zweigstroumlmen aufstel-len Die dann noch z-(k-1) fehlenden Gleichungen muumlssen in Form von Maschengleichungen hinzu gefuumlgt werden

Mit dem Aufsuchen eines vollstaumlndigen Baumes in dem Netzwerk der zwar alle Knoten miteinander ver-bindet aber keine geschlossene Masche bildet kann man die Zahl der notwendigen Gleichungen von z auf z-k+1 verringern Die Stroumlme in den z-k+1 Zweigen die allesamt nicht Baumzweige sind sind dann unmittelbar identisch mit den fuumlr diese z-k+1 Maschen definierten Maschenstroumlme

Es gibt viele Verfahren um zu der Loumlsung zu gelangen die sich durch den mehr oder weniger groszligen Rechenaufwand voneinander unterscheiden Dies soll an den nachfolgenden Beispielen aufgezeigt werden

a) Aufstellung von z linear unabhaumlngigen Gleichungen

fuumlr die z unbekannten Stroumlme in einem Netzwerk

mit z = 3 Zweige Maschengleichung 1) E = I1 R1 +I2 R2 Maschengleichung 2) -I2 R2 +I3 R3 = 0 Knotenpunktgleichung I1 = I2+I3

Beispiel U=12V R1 = 1 Ω R2 = 2 Ω R3 = 3 Ω Loumlsung I1 = 545 A I2 = 327 A I3 = 218 A

Die Matrizengleichung fuumlr die unbekannten Stroumlme I1 I2 Und I3 hat drei Zeilen und drei Spalten

Knotenpunkt-Gleichung 0321 III

Maschengleichung Gl 1) ERIRI 2211

Maschengleichung Gl 2) 03322 RIRI

Diese Systemmatrix ist zB mit Gauss-Jordan Elimination zu loumlsen

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0

b) Ein zweiter Loumlsungsweg waumlre der uumlber die Netzumwandlung Durch Zusammenfassung der beiden Parallelwiderstaumlnde laumlsst sich der Strom I1 sofort bestimmen

32

312

RR

RII

32

213

RR

RII

oder (Probe) 213 III

c) Loumlsung nach dem Maschenstromverfahren In dem Netzwerk ist ein Baum zu suchen der alle Knotenpunkte erfasst und nur noch Verbindungszweige uumlbrig laumlsst Ein solcher Baum mit nur einem Baumzweig sind die Anschlusspunkte des Widerstandes R2 Daher ist I1 = IM1 und I3 = IM3 sowie I2 = IM1 ndash IM2 Das Netzwerk besteht aus drei Zweige und zwei Knoten so dass sich die zuvor angewandten drei Gleichungen (zwei Maschengleichungen und eine Knotengleichung) zum Ziel der Berechnung aller Stroumlme fuumlhren Bei Anwendung des Maschenstromverfahrens genuumlgen aber z-k+1= 3-2+1 = 2 Gleichungen um das Ziel zu erreichen Damit ergeben sich aus zwei Maschengleichungen die beiden Stroumlme in den Verbindungszweigen zu

M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI

Hier ergibt sich die Loumlsung aus nur zwei Gleichungen fuumlr die beiden unbekannten Stroumlm I1 und I3

Beispiel eines Netzwerkes mit drei Baumzweige Der Baum wir hier durch den inneren Stern gebildet Es lassen sich somit drei Maschengleichungen der Maschen mit je einem Verbindungszweig und den uumlbrigen Baumzweigen formulieren

M1) IM1 (R1+R2+R4) ndash IM2 R2 ndash IM3 R4 = 0

M2) -IM1 R2 + IM2 (R2 +R3+R5) ndash IM3 R5 = 0

M3) -IM1 R4 ndash IM2 R5 + IM3 (R4+R5) = E mit I1 = IM1 I3 = IM2 I0 = IM3

Dies sind drei unabhaumlngige Gleichungen fuumlr die drei unbekannten Maschenstroumlme IM1 IM2 und IM3

Mit den Werten R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω R4 = 40 Ω R5 = 50 Ω E = 100 V ergibt sich das folgende Gleichungssystem

100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035

Alternative Berechnung Das Netzwerk mit z = 6 Zweige und 4 Knoten erfordert 6 Gleichungen davon k-1 = 4-1 = 3 Knotenglei-

chungen und z-k+1 = 3 Maschengleichungen fuumlr die 6 unbekannten Stroumlme I0 bis I5

Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -


In Matrizenschreibweise folgt fuumlr die 6 Gleichungen fuumlr die unbekannten Stroumlme I0 bis I5

EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1

Neben dem Maschenstromverfahren bei dem ausschlieszliglich Maschengleichungen zur Loumlsung fuumlhren kann man auch den Loumlsungsweg ausschlieszliglich uumlber k-1 Knotengleichungen beschreiten Dieses Ver-fahren nennt man das Knotenpotenzialverfahren Es wird besonders vorteilhaft in der elektrischen Ener-gietechnik angewandt um die Potenziale aller Netzknoten und daraus den Lastfluss zu ermitteln

d) Ersatzspannungsquelle

Das Verfahren der Ersatzspannungsquelle ist in der Praxis oft in sehr vorteilhafter Weise anzuwenden

Hierzu moumlge das folgende Beispiel eines Netzwerkes mit zwei Spannungsquellen und drei Widerstaumlnden dienen Uq1 = 20 V Uq2 = 10 V R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω

Gegebene Schaltung zur Berechnung des Stromes I3

Ersatzspannungsquelle

Es muumlssen der Innenwiderstand Ri und die Leerlaufspannung U0 bestimmt werden

Beide Spannungsquellen kurzgeschlossen

676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi

Bestimmung der Leerlaufspannung 012211 qq UURRI

A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i

Nun sei Uq2 mit umgekehrter Polaritaumlt Uq2 = -Uq2vorher = 10 V angenommen Gegebene Schaltung zur Berechnung des Stromes I3 Bei dieser Variante ist die Spannung Uq2 mit umgekehrter Polung angenommen

012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i

e) Uumlberlagerungsverfahren Nach diesem Verfahren werden der Reihe nach - bis auf eine - alle anderen Spannungsquellen kurzgeschlossen betrachtet (deren Innenwiderstand bleibt jedoch wirksam) und so alle Stroumlme I` I`` I``` bestimmt und der resultierende Gesamtstrom durch vorzeichenrichtige Addition berechnet

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2

I1 I2 Knoten- punkt 1

R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -


f) Wheatstone`sche Bruumlckenschaltung

Wenn bei Netzwerken mit mehreren ohmschen Widerstaumlnden zwischen bestimmten Netzwerkpunkten gleiches Potenzial besteht koumlnnen Widerstaumlnde zwischen diesen potenzialgleichen Punkten unbeachtet bleiben

Dies ist zB bei nebenstehendem Netzwerk der Fall wenn gilt

3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R

Dann ist I1 = I2 = 3 A und I3 = I4 = 075 A U1 = U3 = 30 V und U2 = U4 = 90 V

Somit muss U5 = 0 V sein so dass der Widerstand R5 beliebige Werte annehmen kann ohne das sich die Stromverteilung aumlndert weil sich die Bruumlcke im abgeglichenen Zustand befindet

Daraus laumlsst sich ein nuumltzliches Messprinzip zur Bestimmung von Widerstaumlnden herleiten indem man an Stelle von R1 den unbekannten Widerstand einsetzt an Stelle von R2 einen temperatur- unabhaumlngigen exakt bekannten Normalwiderstand und an Stelle von R3 und R4 einen von Null bis Unendlich skalierten Schiebewiderstand einsetzt An Stelle des Widerstandes R5 fuumlgt man eine empfindlichen Spannungsmesser ein der mit dem Schieberwiderstand auf Null Volt abgeglichen wird (Nullvoltmeter) dh die Bruumlcke ist dann abgeglichen

Eine solche Messeinrichtung nennt man eine Wheatstone`sche Bruumlcke Sie wurde 1833 von dem Englaumlnder Samuel Hunter Christie (1784 - 1865) erfunden jedoch nach dem britischen Physiker Sir Charles Wheatstone benannt der ihre Bedeutung erkannte und ihre Verbreitung foumlrderte Aufbau einer Wheatsonschen Bruumlcke zur Widerstandsmessung

Dies ist die Schaltung einer Wheatstone`sche Bruumlcke zur Widerstandsmessung Der unbekannte zu messende Widerstand sei Rx Hier im Beispiel soll Rx = R1 = 10 Ω sein

R ist der temperaturstabilisierte Normalwiderstand mit dem Wert R = R2 = RN = 30 Ω R3 und R4 wird durch einen Widerstand mit einem Schieberabgriff gebildet

R3+R4 = RSchieber =160 Ω Bei der Schieberstellung 750160

1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90

Durch entsprechende Wahl des Normalwiderstandes kann man den Messbereich beinflussen bzw den Widerstandswert bei der Mittelstellung des Schiebers festlegen

R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω

Stellung des Spannungsabgriffs x = 0 x = 1

R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01

33 Spannungsteiler Der Spannungsteiler bietet eine einfache schaltungstechnische Moumlglichkeit um aus einer hohe Span-nung mittels eines kontinuierlich verstellbaren Widerstandsabgriffes eine kleinere kontinuierlich einstell-bare Spannung verfuumlgbar zu machen Ohne Last gilt ( RL = infin)

R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202

Mit Lastwiderstand RL gilt

L

L

RR

RRR

UI

2

21

1 mit RaRRxRRRRxR L )1( 212 gilt

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11

Der Quotient der Spannung U2 mit Last zu der Leerlaufspannung U20 ergibt sich zu

)1(20

2

xxa

a

U

U

Dieser Quotient ist gleich 1 fuumlr x = 0 und x = 1 und gleich 1 fuumlr ararrinfin (Leerlauf) Das Maximum findet sich wenn man das Differenzial gleich Null setzt

0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2

Allgemein gilt fuumlr die Spannung unter Last mit R2 = a middot R )1(

12xxa

xaUU

Nachteil des Spannungsteilers sind die hohen Verluste und die zunehmende Nichtlinearitaumlt wenn a = R2R lt 1 wird Fuumlr a gt 100 ist die Linearitaumlt praktisch perfekt gegeben dh RLast gtgt R des Spannungsteilers aber die Verluste sind mit U

2R dauernd wirksam

34 Ideale und reale Spannungs- und Stromquellen

Ideale Quellen Eine Quelle elektrischer Energie die unabhaumlngig von der Belastung an ihren Klemmen eine konstante

Spannung - die Klemmenspannung Uq - aufweist wird ideale Spannungsquelle genannt Gibt sie unabhaumlngig von der Belastung einen konstanten Strom ab - den Quellenstrom Iq - nennt man sie eine

ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

xa

UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =

Schaltzeichen Spannungsquelle Kennlinie Stromquelle Kennlinie oder oder

Lineare Quellen reale Quellen Unter einer linearen Quelle versteht man eine ideale Quelle mit einem strom- und spannungsunabhaumlngi-gen wirksamen Innenwiderstand Ri Dies entspricht auch im zulaumlssigen Arbeitsbereich den meisten rea-len Quellen Man unterscheidet zwischen einer Spannungsquelle mit konstanter Leerlaufspannung U0 = Uq und einer Stromquelle mit konstantem Kurzschlussstrom Ik = Iq

Ik = U0 Ri U0 = Ik Gi

Ersatzspannungsquelle Ersatzstromquelle

Ersatzspannungsquelle Ersatzstromquelle Ein beliebiges lineares Widerstandsnetzwerk mit beliebig vielen linearen Quellen kann in Bezug auf ein Klemmenpaar durch eine Ersatzspannungsquelle oder durch eine Ersatzstromquelle ersetzt werden Hierzu stellt man an dem Klemmenpaar die Leerlaufspannung zB durch Messung oder Rechnung fest und ermittelt durch Messung oder Rechnung den Innenwiderstand oder den Kurzschlussstrom Den In-nenwiderstand Ri erkennt man wenn man von dem Klemmenpaar aus in die gegeben Schaltung hinein blickt und als Spannungsquellen als kurzgeschlossen und alle Stromquellen als Stromkreisunterbre-chung betrachtet Das Diagramm zeigt die Arbeitskennlinien einer Quelle mit 12 V Leerlaufspannung 1 Ω Innenwiderstand und 12 A Kurzschlussstrom

Jede reale Quelle kann nur eine bestimmte maximale Leistung abgeben die durch den Innenwiderstand der Quelle bestimmt ist Den Betrieb einer Quelle mit der maximal moumlglichen Leistung nennt man Leis-tungsanpassung Diese wird erreicht wenn der Abschlusswiderstand gleich dem Innenwiderstand ist Der Wirkungsgrad der Energieuumlbertragung ist dann allerdings nur 50 also sehr schlecht

Daher wird dieser Betrieb in der Energietechnik nicht angewandt vielmehr strebt man dort Ra gtgt Ri an damit der Wirkungsgrad nahe bei 100 bleibt Dies ergibt im Kurzschlussfall aber hohe Kurzschluss-stroumlme die Sicherungen erforderlich machen

Wohl aber wird dieser Betrieb in der Nachrichtentechnik angestrebt wo es darauf ankommt die niedrige Leistung des Senders zumindest zu 50 beim Empfaumlnger nutzbar werden zu lassen zB Verstaumlrker-ausgang 5 Ω erfordert bei Leistungsanpassung einen Lautsprecherwiderstand von 5 Ω

00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0

Arbeitsgerade des Lastwiderstands

Energie- technik

Nachrichten- technik

Schweiszlig- technik

Arbeitskennlinie einer Spannungsquelle

0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -


4 Elektrische und magnetische Felder der magnetische Kreis 41 Dualitaumlt elektrischer und magnetischer Feldgroumlszligen

Elektrische Groumlszligen Magnetische Groumlszligen Elektrische Ladung Q in As Magnetischer Fluss in Vs

ADQ AB

Elektrische Flussdichte D in Asm2 Magnetische Flussdichte B in Vsm

2

ED HB

Elektrische Feldstaumlrke E in Vm Magnetische Feldstaumlrke H in Am

l

UE

ll

wIH

Permittivitaumlt r 0 in As(Vm) Permeabilitaumlt r 0 in Vs(Am)

Elektrischer Strom I in A Magnetischer Fluss in Vs

UGI

Elektrische Spannung U in V Magnetische Spannung Vm in A

RIU lHVm

Elektrischer Widerstand in Ω Magnetischer Widerstand Rm in H-1

GA

lR

1

1

A

lR m

m

Kapazitaumlt C in F = AsV Induktivitaumlt L in H = VsA

d

AC

ml

AwwL

22

elektrische Energiespeicherung magnetische Energiespeicherung

2

2

1UCW

2

2

1ILW

42 Durchflutungsgesetz (1 Maxwellsche Gleichung) Das Umlaufintegral des Skalarproduktes aus dem Vektor der magnetischen Feldstaumlrke und dem Vektor des Wegelements ds ist gleich der umschlossenen Durchflutung des Stromes

AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom

Magnetisches Feld und Kraftwirkung in der Umgebung stromdurchflossener Leiter

Mit dem Durchflutungsgesetz gilt im Raumbereich auszligerhalb des Leiters fuumlr die magnetische In der aumluszligeren Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters mit dem Radius r0 der den Strom I

fuumlhrt gilt daher fuumlr die magnetische Feldstaumlrke H r

IrHa

2 fuumlr r gt r0 dh auszligerhalb des Leiters

Innerhalb des Leiters wird von dem konzentrischen Umlauf bei 0rr und homogener Stromverteilung

uumlber den Querschnitt des Leiters nur ein Teil I` des Stromes erfasst 2

0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r

Damit gilt fuumlr die Feldstaumlrke im inneren Bereich des Leiters

fuumlr r lt r0

Fuumlr die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im magnetischen Feld gilt BlIF

x

Mit HB

0 folgt fuumlr die Kraft F HlIF

x 0

Fuumlr eine parallel verlaufende Leiterschleife mit 10 mm Leitungsdurchmesser und dem Mittenabstand von 50 mm die von einem Strom I = 100 A durchflossen wird ergibt sich fuumlr die magnetische Feldstaumlrke der Leitung L2 am Ort der Leitung L1 zu

m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -


Bezogen auf die Laumlngeneinheit wird auf die Leitung L1 eine Kraft ausgeuumlbt

m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7

Die magnetische Feldstaumlrke H(r) erreicht hat am Umfang des Leiters ein Maximum und klingt auszligerhalb des Leiters mit 1r ab

Feldbild der Hin- und Ruumlckleitung einer Leiterschleife (H1 blau H2 gruumln H1+H2 rot)

Feldbild von 2 parallelen Leitungen die gleichsinnig von Strom durchflossen sind

43 Induktionsgesetz (2 Maxwellsche Gleichung) Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemuumlhen entdeckt die Funktionsweise eines Elektromagneten (bdquoStrom erzeugt Magnetfeldldquo) umzukehren (bdquoMagnetfeld erzeugt Stromldquo) Dabei entdeckte er folgende Gesetzmaumlszligigkeit Wird eine Spule mit der Windungszahl w von einem zeitlich sich aumlndernden magnetischen Fluss Φ durchsetzt so wird in der Spule eine Spannung ui induziert die der Ursache ihrer Entstehung entgegengerichtet ist Da ein zeitlich sich aumlnderndes magnetisches Feld stets ein elektrisches Feld bewirkt (und umgekehrt) spricht man von einem elektromagnetischen Feld Das Induktionsgesetz entstammt der zweiten der vier Maxwellschen Gleichungen Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektrischen Maschinen wie Generatoren Elektromotoren und Transformatoren genutzt Bei diesen Anwendungen treten stets Wechselspannungen auf

dt

dwui

A

AdBdt

dsdE

Magnetische Feldstaumlrke in der

Umgebung einer Leiterschleife

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821

Die dritte Maxwellsche Gleichung beschreibt das elektrische Feld als Quellenfeld QAdDA

Die vierte Maxwellsche Gleichung beschreibt das magnetische Feld als Wirbelfeld 0A

AdB

Wird eine Leiterschleife der Breite h laumlngs der Koordinate x in ein magnetischen Feld hinein bewegt so

gilt mit xhBAB fuumlr die induzierte Spannung

dt

dvhB

dt

dxhBui

Die induzierte Spannung ist der Geschwindigkeit der Flussaumlnde-

rung proportional und der Ursache ihrer Wirkung entgegengesetzt gerichtet (analog der Traumlgheitskraft) Beispiel Die Kupferstaumlbe des Laumlufers einer Asynchronmaschine sind h = 15 cm lang Der Laumlufer hat einen Durchmesser von 20 cm und arbeitet im Nennbetrieb mit 1450 min

-1 Die magnetische Induktion im Luft-

spalt der Maschine betraumlgt 1 T Welche Spannung wird in den Staumlben beim Anlauf und im Nennbetrieb induziert Die Netzfrequenz ist 50 Hz die Maschine hat 4 Pole Die relative Umfangsgeschwindigkeit der Staumlbe beim Anfahren zum rotierenden Drehfeld ist

s

m

smnrvU 7115

60

15001022

Die induzierte Spannung ist Vs

mm

m

Vsu 36271151501

2

Die relative Umfangsgeschwindigkeit der Staumlbe im Nennbetrieb ist

(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022

Die induzierte Spannung ist nun nur noch Vs

mm

m

Vsu 07805201501

2

44 Kraftgesetz stromdurchflossener Leiter oder bewegter Ladung im Magnetfeld Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld der Staumlrke B so wird auf den Leiter eine Kraft (Lorentzkraft) in der Richtung ausgeuumlbt so dass die Ursache der Wechselwirkung zwischen dem Magnetfeld des Leiters und dem Magnetfeld des Bereiches gemindert wird

BlIF

x anlog gilt fuumlr bewegte Ladung BvQF

x

Stehen der Leiter senkrecht zu dem magnetischen Feld so gilt fuumlr die Kraft F senkrecht zu Kreuzprodukt

BlIF BvQF

Die Kraft F ist gleich dem Strom mal der Laumlnge l des Leiters

in der Wechselwirkungszone mal mag Induktion B Beispiel Zwei Leiter sind im Abstand von 10 cm von einem Strom mit 100 A belastet welche Kraft wirkt

je Meter Leitungslaumlnge Die magnetische Feldstaumlrke am Ort der zweiten Leitung ist

m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB

Fuumlr die Kraft je m gilt Nm

Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4

ist die magnetische Feldkonstante (Permeabilitaumlt) des magnetischen Kreises r 0

0 ist die absolute Permeabilitaumlt und gilt fuumlr Luft mit 0 = 4 10-7 Hm (1Hm = 1 Ωsm)

r ist die relative Permeabiltaumlt

ist die elektrische Feldkonstante (Permittvitaumlt) im elektrischen Feldbereich

0 ist die absolute Dielektrizitaumltskonstante und gilt fuumlr Luft mit 0 = 8854 10-12

Fm (1Fm = 1 sΩm)

r ist die relative Dielektrizitaumltskonstante

Die elektrische und magnetische Feldkonstante ist mit der Lichtgeschwindigkeit c verknuumlpft

Der Quotient aus der absoluten Permeabilitaumlt 0 und der absoluten Dielektrizitaumltskonstanten 0 ist auch

F

l

B

N

S

v ui

B h

Induktionsgesetz angewandt auf eine Leiterschleife im magnetischen Feld

N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428

maszliggebend fuumlr den Wellenwiderstand des leeren Raumes der in der Hochfrequenztechnik fuumlr die Signaluumlbertragung mittels elektromagnetischer Wellen von groszliger Bedeutung ist Die elektrische Feldkraft (Coulombkraft) wirkt in Richtung der elektrische Feldstaumlrke und eignet sich da-her zur Beschleunigung von Ladungstraumlgern

Die magnetische Feldkraft (Lorentzkraft) wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungstraumlger und eignet sich daher fuumlr die Ablenkung (Fokussierung) von Ladungstraumlgern

Die elektrische Feldkraft ist fuumlr groszligtechnisch relevante Anwendungen sehr viel geringer als die magne-tische Feldkraft deshalb sind elektrische Maschinen immer durch magnetische Wirkungen und Einrich-tungen gekennzeichnet und zeigen daher induktives Lastverhalten

Daher gibt es auch keine Speicher fuumlr groszlige elektrische Energiemengen nur indirekte zB uumlber Was-serspeicher in Form von Pumpspeicherkraftwerke Chemische Speicher wie aufladbare Batterien zB auf BleiSchwefelsaumlure- oder besser Lithium-Ionen-Basis koumlnnen wegen der chemischen Prozessbasis der Ladungstraumlgerbildung im elektrischen Feld leider nur kleine Mengen elektrische Energie speichern da hier nur die sehr geringe Bindungsenergie der Elektronen von einigen wenigen Elektronenvolt bis zu rd 3 eV nutzbar ist Zur Erinnerung 1eV = 1602middot10

-19 Ws = 445middot10

-26 kWh (1 Ws = 1 J)

Ganz im Gegensatz zu kerntechnischen Prozessen wie Kernspaltung oder Kernfusion wo die um sechs bis acht Groumlszligenordnungen houmlhere Bindungsenergie der Atomkerne nutzbar ist

200 MeV je Kernspaltung gegenuumlber 1 bis 3 eV je Atomreaktion bei chemischen Umwandlungs-

prozessen in Batterien

45 Kraftgesetz im Luftspalt magnetischer Felder

Fuumlr die Energie im magnetischen Feldbereich V gilt VHBW 2

1

Fuumlr Luft zwischen zwei Magnetpolen gilt dxFAdxB

BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1

Beispiel Ein Hubmagnet mit einer Flaumlche von 500 cm

2 erreicht eine magnetische Induktion von 05 T

(1 T = 1Vsm2 = 10000 G) Mit welcher Kraft zieht dieser Eisenschrott an

46 Kraftgesetz im elektrischen Feld eines Kondensators Fuumlr die Energie im elektrischen Feldbereich V zwischen zwei Kondensatorplatten gilt

dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el

Kraftberechnung nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung

dsAEdWel 2

2

1 dsFdWmech 0 elmech dWdW

Fuumlr die elektrische Feldkonstante (Permittivitaumlt) gilt

47 Hysterese- und Wirbelstromverluste beim magnetisieren von Eisen Hysterese-Verluste beim vollstaumlndigen Durchlaufen der Hystereseschleife

dBHVWH

Die Hysterese-Verluste werden mit den Wirbelstromverlusten zu den Eisenverlusten WFe zusammengefasst

Von 1 nach 2 wird der waagerecht gekennzeichnete Energieinhalt aufge- wandt von 2 nach 3 wird der kariert gekennzeichnete Energieanteil wieder zuruumlck geliefert Bei einem vollstaumlndigen Umlauf verbleibt der Energieanteil der inneren Flaumlche als Hysterese-Verluste in Form von Waumlrmeenergie im Eisenkern (Dynamoblech)

BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

5 Berechnung von Schaltvorgaumlngen Halbleiter und Anwendungskomponenten 51 Schaltvorgaumlnge in Stromkreise mit einem Energiespeicher

a) Einschaltvorgang eines induktiven Stromkreises

Der Strom durch die Spule ist Traumlger der Energie

2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT

Homogene Gleichung 01 dt

diTi h

h 1T

t

h eki

Partikulaumlre Loumlsung durch Ansatz in Form des Stoumlrgliedes Ai p eingesetzt in die Dgl ergibt

Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA

Gesamte Loumlsung ph iiti 1

01

R

Uekti T

t

Anfangsbedingung 000 titi da L Energiespeicher ist kann i nicht springen

Damit folgt fuumlr die Konstante k 1

000R

Uek

1

0

R

Uk

Somit ergibt sich die Loumlsung zu

11

1

0 T

t

eR

Uti

Loumlsung mit dem Praktiker- Ansatz

T

t

T

t

eIeIti 10

In diesem allgemeinen Ansatz fuumlr die Uumlbergangsfunktion erster Ordnung sind die drei Unbekannten

0I aus der Anfangsbedingung I als stationaumlrer Endwert und T als Zeitkonstante des Systems zu

bestimmen Den Widerstand R der Zeitkonstanten T=LR findet man wenn man am Einbauort des Energiespeichers in die Schaltung bdquohineinldquo sieht alle Spannungsquellen als kurzgeschlossen betrachtet und so den Widerstand durch Widerstandsberechnung der Zweipolschaltung bestimmt Im vorliegenden Fall ist R = R1

Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti

Mit den Daten U0 = 12 V R = 10 Ω L = 100 mH folgt fuumlr die die Zeitkonstante T1 = 10 ms Die Uumlbergangsfunktionen fuumlr den Strom und die Spannung an der Induktivitaumlt sind

ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121

Man beachte Der Strom kann als Traumlger der Energie nicht springen die Spannung springt bei t = 0 von Null auf 12 V

2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2

b) Ausschaltvorgang induktiver Stromkreise R2 sei gleich 1000middotR1

Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R

LT Das groumlszliger oder gleich 0 gilt da der Strom bei geschlossenem Schalter als Energietraumlger

nicht springen kann da der Energieinhalt gespeicherte Energie nur stetig veraumlnderbar ist


diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R

Utiti da L Energiespeicher ist und daher i nicht springen kann


00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti

Diese Loumlsung ist aus dem Praktiker- Ansatz

T

t

T

t

eIeIti 10 unmittelbar abzulesen

Mit den vorgenannten Werten R2 =1000middotR1 folgt sT

R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti

Die Spannung am Schalter zur Zeit t = 0 des Oumlffnens betraumlgt

VARIUS 000121010002120

Dies fuumlhrt in der Praxis zu einem Lichtbogen der sich zwangsweise aus dem Energieabbau der in der Induktivitaumlt gespeicherten Energie und der extrem hohen Spannung zwischen den oumlffnenden Schaltkontakten ergibt Eine schaltungstechnische Moumlglichkeit zur Vermeidung von Schaltuumlberspannungen und zur Kontakt-schonung ist die Einfuumlgung einer Freilaufdiode parallel zu dem induktiven Zweig

R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0

Uumlbergangsfunktion Kondensatorladung

00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W

Leistung PR Leistung Pges Leistung Pc

c) Einschaltung kapazitiver Stromkreise (Aufladeparadoxon beim Kondensator)

Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT

Die Differentialgleichung 1 Ordnung hat die Loumlsung T

t

eki

Mit der Anfangsbedingung 000 tutu CC

da C Energiespeicher ist kann

UC nicht springen Mit R

Ui 00 folgt fuumlr die Konstante k

1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0

Fuumlr die Spannung am Kondensator ergibt sich

00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10

Die elektrische Verlustleistung bei der Aufladung ist

T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02

Der Aufladevorgang laumluft theoretisch von t = 0 bis t = ist aber praktisch nach 4 bis 5 Zeitkonstanten beendet da der Endwert zu 982 bis 993 erreicht ist Nach Beendigung der Aufladung nach t = ist im Widerstand R die Verlustenergie WR in Waumlrme umgewandelt worden

2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR

Diese Verlustenergie ist unabhaumlngig von der Groumlszlige des Widerstandes R ein Paradoxon

Der energetische Wirkungsgrad der Aufladung des Kondensators ist somit

CR

C

WW

W

wobei

2

02

1UCWC ist Damit folgt fuumlr 50

Fuumlr die Zeitabhaumlngigkeit der Wirkungsgrades gilt

tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00

Damit folgt fuumlr den differentiellen Wirkungs- grad in Abhaumlngigkeit von der Zeit

T

t

ges

CD e

tp

tpt 1

Fuumlr die Diagramme gilt U0 = 12 V R = 10 Ω C = 1 mF Zeitkonstante T = RmiddotC = 10 ms Das Maximum der Kondensator Ladeleistung ergibt sich durch Diffferentation und Nullsetzen der Leis-

tungsgleichung zu mslnTpt maxC 9362

2

2

1uCWC

- 20 -


Eta - Kondensatorladung RC = 10 ms

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in

eta von t=0 bis t0 eta (t) Spg Quelle

Aufladung des Kondensators mit hoher Energieeffizienz mittels Konstant-Stromquelle Nimmt man anstatt der Spannungsquelle eine Konstant-Stromquelle zur Aufladung des Kondensators kann man den Aufladevorgang wesentlich energieeffizienter gestalten

Fuumlr 0t gilt konstR

UaIti k 0

Fuumlr a = 1 ist Ik gleich dem Kurzschluszligstrom bei einer Ersatzspannungsquelle mit der Spannung U0

tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0

Damit ergibt sich fuumlr a = 1 die Zeit t = t0 die erforderlich ist um den Kondensator mit dem Anfangsstrom

einer Ersatzspannungsquelle auf die Spannung U0 aufzuladen 00

0 tT

UaU T

a

Tt 0

Fuumlr den Wirkungsgrad der Aufladung des Kondensators ab t = 0 bis t = t0 gilt

0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0

Fazit Ab Tt 20 ist die Aufladung mit konstanter Stromquelle effizienter gegenuumlber der Aufladung

mit konstanter Spannungsquelle wobei der Wirkungsgrad unabhaumlngig vom Widerstand R immer gleich 50 ist

Wie ist das zu erklaumlren

Hierzu betrachten wir den differentiellen Auflade-Wirkungsgrad tD waumlhrend der Zeit

von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD

Fuumlr CRTt 440 folgt

t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0

Der differentielle Wirkungsgrad erreicht fuumlr CRTt 0 bereits 50 und geht fuumlr Tt 0

gegen 100 Es ist somit schneller und weit effizienter den Kondensator mittels einer Konstant-Stromquelle aufzuladen Bei der Aufladung mit einer Konstant-Spannungsquelle ist der Endwert zwar nach 4 Zeitkonstanten zu 982 erreicht aber der Wirkungsgrad der Aufladung betraumlgt nur 50 Fuumlr a = 025 ist der Endwert der Spannung am Kondensator nach 4 Zeitkonstanten zu 100 erreicht und das bei dem erheblich verbesserten Wirkungsgrad von η = 80

R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -


52 Einschaltung schwingungsfaumlhige Systeme Systeme mit zwei Energiespeicher

Spannung beim Einschalten eines Reihenschwingkreises

a) mit erregender Gleichspannung Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen einem induktiven und einem kapazitiven Widerstand soll an eine Gleichspannungsquelle E = 100 V angeschaltet werden

Weitere Daten L = 01H C = 20 μF R = 100 Ω Anfangsbedingungen i(0) = 0 uc(0) = -100V

Differentialgleichung des Systems fuumlr uc(t)

Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22

Fallunterscheidung Fall 1) Wgt0 Fall 2) W=0 Fall 3) Wlt0 (ωd ist die Eigenkreisfrequenz)

Fall 1) uc(t) = A middotem

1middott + B middot e

m2middott + ucp 2 reelle Wurzeln m1 und m2 m12= -δ plusmn W

Fall 2) uc(t) = (A middot t + B)middote-δmiddott

+ ucp 2 gleiche reelle Wurzeln m1 = m2 = -(R2 L)= -δ Fall 3) uc(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)middote

-δmiddott + ucp 2 konjugiert komplexe Wurzeln m1 m2 m12=-δ plusmn jωd

Partikulaumlre Loumlsung Eu pc

da 000250W s-2 negativ ist liegt Fall 3 vor Diesen Fall nennt man den Schwingungsfall

Fuumlr die partikulaumlre Loumlsung ergibt sich durch Ansatz in Form des Stoumlrgliedes Eu PC

Damit folgt fuumlr den zeitlichen Verlauf der Spannung uC(t) gemaumlszlig der Loumlsung nach fuumlr Fall 3)

uC(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)middote-δmiddott

+ E

Anfangsbedingungen Wegen uC(0) = -100 V folgt -100 V = A + E dh A = -100V - E = -200V

0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t

ddC 100500sin500cos200sincos)(500

b) Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung und des Stromes

Mit VAB 200 und 1500 sd = 05 ms-1 folgt fuumlr den Strom

s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)

Strom i und Spannung uc im Reihenschwingkreis

-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V

Spannung uc(t)Strom i(t)

- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0

c) mit erregender Wechselspannung Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen einem induktiven und einem kapazitiven Widerstand soll an eine Spannungsquelle mit cosinusfoumlrmiger Wechselspannung angeschaltet werden Welches Zeitverhalten hat die Kondensatorspannung uc(t) fuumlr die drei Faumllle unterschiedlicher ohmscher Widerstaumlnde E = 100 V ω = 2πf f = 50 Hz L = 01H C = 100 μF = 10

-4 F

Fallunterscheidung Fall 1) R = 1000 Ω Fall 2) R = 6325 Ω Fall 3) R = 10 Ω Anfangsbedingungen i(0) = 0 uc(0) = 0

Differentialgleichung des Systems (ω0 ist die Kennkreisfrequenz des Systems ω02=1(LC)

dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd

Loumlsung der homogenen Differentialgleichung 2 Ordnung mit konstanten Koeffizienten

01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud








Partikulaumlre Loumlsung durch Ansatz in Form des Stoumlrgliedes tDtCu ppc sincos

Die Konstanten C und D werden durch Koeffizientenvergleich bestimmt

tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2

(Vorsicht den Buchstabe C fuumlr die Kapazitaumlt nicht mit der Konstanten Cp verwechseln)

tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22

Der Koeffizient der sin-Funktion muszlig gleich Null sein der Koeffizient der cos-Funktion muszlig gleich E(LC) sein Nach Multiplikation mt LC dieser beiden Gleichungen fuumlhrt die Determinantengleichung fuumlr die Unbekannten Cp und D zu der Loumlsung

E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221

Damit folgt fuumlr die partikulaumlre Loumlsung

tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2

Fuumlr den Fall dass die anliegende Spannung E eine Gleichspannung ist gilt mit ω=0 Cp = E D = 0

Eu pc das vorherige Ergebnis

Die Konstanten A und B der Gesamtloumlsung ergeben sich aus den Anfangsbedingungen uc(0) = U0 und i(0) = I0 = 0

Fuumlr i(0) gilt 000 tdt

duCti c In den meisten Faumlllen ist auch uc(t=0) = U0 = 0

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = U0 und i(t=0) = I0 gilt fuumlr die drei Faumllle allgemein

- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = U0 = 0 und i(t=0) = I0 = 0 gilt fuumlr die drei Faumllle

Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB

Fuumlr Gleichspannungs- Anregung gilt mit ω = 0

EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD

Mit den Anfangsbedingungen uC(t=0) = 0 und i(t=0) = 0 gilt fuumlr die drei Faumllle bei Gleichspannungsanregung

Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B

Fuumlr uc(t) gilt dann

Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t

dc etEEetEtu cos1cos)(

ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(

Fuumlr den Strom gilt dt

duCti C)(

- 24 -


Begriffliche Festlegungen in der Internationalen Normung zB IEV 351 Leittechnik

(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011

Internationales elektrotechnisches Woumlrterbuch - International electrotechnical Vocabulary

Da die Loumlsung der Differentialgleichung 2 Ordnung mit konstanten Koeffizienten in der Mechanik und Elektrotechnik von fundamentaler Bedeutung ist wurden die hierbei verwendeten Begriffe im Internatio-nalen Woumlrterbuch IEV im Abschnitt 351 Leittechnik mit den Benennungen und Begriffsbestimmungen aufgenommen

351-45-19 Daumlmpfungsgrad

Ein lineares zeitinvariantes System wird durch eine Differentialgleichung 2 Ordnung beschrieben

0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x

mit dem Koeffizienten als Daumlmpfungsgrad

t ist die Zeit x ist die Zustandsgroumlszlige des Systems

0 ist die Kennkreisfrequenz des Systems

Anmerkung Fuumlr lt 1 ist 2

0d 1

die Eigenkreisfrequenz des Systems

mit Abklingkoeffizient 0 falls 1

12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1

Anmerkung ist der Abklingkoeffizient der gedaumlmpften Schwingung des Systems nach IEC 60027-6

ist der Reziprokwert der Zeitkonstanten der abklingenden Zeitfunktion (351-45-32)

Zur Loumlsung der homogenen Differentialgleichung sind drei Faumllle zu unterscheiden

Fallunterscheidung Fall 1) gt1 Fall 2) =1 Fall 3) lt1

Fall 1) x(t) = A middotem


m2middott 2 reelle Wurzeln m1 und m2 m12= -δ plusmn 12

0

Fall 2) x(t) = (A middot t + B)middote-δmiddott

2 gleiche reelle Wurzeln m1 = m2 = -δ

Fall 3) x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)middote-δmiddott

2 konjugiert komplexe Wurzeln m1 m2 m12= -δ plusmn jωd

Die Konstanten A und B ergeben sich aus den beiden Anfangsbedingungen x(t = 0) und 0d

dt

t

x

351-45-19 Damping ratio for a linear time-invariant system described by the second order differential equation

0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x

the value of the coefficient where

t is the time x is a state variable of the system

0 is the characteristic angular frequency of the system

NOTE When lt 1 2

0d 1 is the eigen angular frequency of the system

with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1

d ist die eigen angular frequency 0 is the characteristic angular frequency of the system

by the solution of this homogeneous equation are three cases to differentiate

Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1

Case 1) x(t) = A middotem


m2middott 2 real numbers m1 und m2 m12= -δ plusmn 12

0

Case 2) x(t) = (A middot t + B)middote-δmiddott

2 two equal real number rootes m1 = m2 = -δ

Case 3) x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)middote-δmiddott

2 conjugate complexe rootes m1 m2 m12= -δ plusmn jωd

The constant numbers A und B are arise from the circumstances x(t = 0) und 0d

dt

t

x

Zustandsgroumlszlige x(t) der homog Dgl 2 Ordnung

-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -


53 Grundlagen der Halbleitertechnik Silizium ist das meistverwendete Basismaterial fuumlr Halbleiterbauelemente Reines Silizium besteht aus vierwertigen Siliziumatomen das kubisch flaumlchenzentriert kristallisiert Die vier Valenzelektronen (Au-szligenelektronen) eines jeden Siliziumatoms bauen vier Atombindungen zu seinen Nachbaratomen auf und bilden dadurch die Kristallstruktur dies macht alle vier Elektronen zu Bindungselektronen

Eine Dotierung oder das Dotieren (von lat dotare bdquoausstattenldquo) bezeichnet in der Halbleitertechnik das Einbringen von Fremdatomen in eine Schicht oder in das Grundmaterial eines Halbleiters Die dabei ein-gebrachte Menge ist dabei sehr klein im Vergleich zum Traumlgermaterial (zwischen 01 ppb und 100 ppm) Die Fremdatome sind Stoumlrstellen im Halbleitermaterial und veraumlndern gezielt die Eigenschaften des Aus-gangsmaterials meistens die Leitfaumlhigkeit oder die Kristallstruktur Es gibt verschiedene Dotierungsver-fahren zum Beispiel Diffusion Elektrophorese Sublimation aus der Gasphase oder Beschuss mittels hochenergetischen Teilchenkanonen unter Vakuum (Ionenimplantation)

Soll die elektrische Leitfaumlhigkeit von Halbleitern geaumlndert werden dann wird zwischen p- und n-Dotierung unterschieden Bei der p-Dotierung werden Fremdatome implantiert die als Elektronen-Akzeptoren die-nen (1 Akzeptor10

6 Atome) Bei der n-Dotierung werden hingegen Elektronen-Donatoren (1 Dona-

tor107 Atome) implantiert Fuumlr die Aumlnderung der elektrischen Leitfaumlhigkeit bei gaumlngigen Halblei-

terbauelementen der vierten Hauptgruppe im Periodensystem der Elemente aus Silizium oder Germani-um kommen fuumlr p-Gebiete die Elemente aus der dritten Hauptgruppe wie beispielsweise Bor Indium Aluminium oder Gallium und fuumlr n-Gebiete die Elemente aus der fuumlnften Hauptgruppe wie beispielsweise Phosphor Arsen oder Antimon zum Einsatz

n - Dotierung im Siliziumkristallgitter mit 5 - wertigen Phosphoratomen Bei der n-Dotierung (n fuumlr die freibewegliche negative Ladung) werden fuumlnfwertige Elemente die so genannten Donatoren in das Siliziumgitter eingebracht und ersetzen dafuumlr vierwertige Silizium-Atome Ein fuumlnfwertiges Element hat fuumlnf Auszligenelektronen fuumlr Atombindungen zur Verfuumlgung so-dass beim Austausch eines Siliziumatoms durch ein Fremdatom im Kristall ein Auszligenelektron des Donators (quasi) freibeweglich zur Verfuumlgung steht Es ist in einem Energieniveau dicht unterhalb des Leitungsbandes gebun-den Dieses Elektron kann beim Anlegen einer Spannung Strom bilden An der Stelle des Donator-Atoms entsteht eine ortsfeste positive Ladung der eine negative Ladung des freibeweglichen Elektrons gegenuumlbersteht Wir erhalten eine n-Halbleitertyp

p - Dotierung im Siliziumkristallgitter mit 3 - wertigen Aluminiumatomen Bei der p-Dotierung (p fuumlr die freibewegliche positive Luumlcke auch Loch oder Defektelektron genannt) werden dreiwertige Elemente die so genann-ten Akzeptoren in das Siliziumgitter eingebracht und ersetzen dafuumlr vier-wertige Silizium-Atome Ein dreiwertiges Element hat drei Auszligenelektronen fuumlr Atombindungen zur Verfuumlgung Fuumlr die vierte Atombindung im Silizium-kristall fehlt ein Auszligenelektron Diese Elektronenfehlstelle wird als bdquoLochldquo oder Defektelektron bezeichnet Beim Anlegen einer Spannung verhaumllt sich dieses Loch wie ein freibeweglicher positiver Ladungstraumlger im Valenzband und kann analog zum negativ geladenen Elektron Strom leiten allerdings mit niedrigerer Beweglichkeit Dabei springt ein Elektron - angetrieben durch das aumluszligere Feld - aus einer Atombindung heraus fuumlllt ein Loch und hinterlaumlsst ein neues Loch An der Stelle des Akzeptor-Atoms entsteht eine

ortsfeste negative Ladung der eine positive Ladung des freibeweglichen Loches gegenuumlbersteht Wir erhalten einen p-Halbleitertyp

Die Bewegungsrichtung der Loumlcher verhaumllt sich dabei entgegengesetzt zu der Bewegungsrichtung der Elektronen und ist somit in Richtung der technischen Stromrichtung Eine genauere Beschreibung der elektrischen Effekte erfolgt durch das Energieniveau-Baumlndermodell

Die Halbleiterdiode Eine Diode entsteht wenn reines 4 wertiges Silizium mit 3 wertigem Aluminium (p-Halbleiter) und 5 wer-tigem Phosphor (n-Halbleiter dotiert wird und dann beide Metalle miteinander in Kontakt gebracht wer-den

- 26 -


p - Halbleiter n - Halbleiter

Nach der Kontaktierung beider Siliziummetalle diffundieren dann die uumlberschuumlssigen Elektronen des n-Halbleiters in den p-Halbleiter und die Fehlstellen (Loumlcher) der p-Halbleiters in den n-Halbleiter Dieser Diffusionsvorgang findet sein natuumlrliches Ende wenn wieder ein Gleichgewicht hergestellt ist zwischen dem Diffusionspotenzial und der Kraftwirkung F = QmiddotE in dem sich aufbauenden elektrischen Feld E

Anode Kathode Die Diode arbeitet im Durch- lassbetrieb wenn der Pluspol an den p - Halbleiter und der Minuspol an den n - Halbleiter angeschlossen ist In der Raumladungszone sind alle Elektronen und Loumlcher rekombiniert Bei Durchlass- betrieb ist die Sperrschicht kleiner bei Sperrbetrieb ist sie groumlszliger wie ohne aumluszligere Spannung Schaltzeichen

Dioden sind haumlufig einsetzte Bauelement in elektronischen Schaltungen bis hin zu Stromrichterschaltungen in Hochspannungssystemen zur Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom Das dann folgende elektronische Bauelement ist der Transistor als Verstaumlrkerelement Er besteht aus zwei in Reihe geschal-tete pn-Uumlbergaumlnge mit den Anschluumlssen Kollektor Basis und Emitter als pnp-Typ oder npn-Typ Hierbei laumlsst sich durch einen geringen Basisstrom ein wesentlich groumlszligerer Strom zwischen Kollektor und Emit-ter steuern

+ -

Das elektrisches Feld E verleiht den Ladungstraumlgern eine Kraft die der Diffusion entgegen wirkt (F=QmiddotE)

E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф

6 Wechselstrom- und Drehstromsysteme 61 Mittelwerte

a) arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert) und Effektivwert

Fuumlr den arithmetischen Mittelwert einer in T periodischen Groumlszlige u(t) gilt

duT

UT

0

1

Dieser Mittelwert ergibt fuumlr symmetrische Wechselgroumlszligen wie zB sinusfoumlrmige Groumlszligen uumlber eine volle Periode integriert den Wert 0

tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU

Uumlber eine Halbwelle integriert ergibt sich der Gleichrichtwert zu

uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0

b) Effektivwert Fuumlr den Effektivwert einer in T periodischen Groumlszlige u(t) gilt

2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T

Partielle Integration xu sin dxxdv sin vduvuudv

dxxdu cos xv cos

dxxxxdxxxxxdx )sin1(cossincoscoscossinsin 22

xxxx cossinsin2 2 )cossin(

2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T

Fuumlr den Effektivwert sinusfoumlrmiger Groumlszligen gilt

62 Erzeugung elektrischer Energie durch Rotation im Magnetfeld mit der Drehzahl n

Nach dem Induktionsgesetz wird in einer Spule die von einem zeitlich sich veraumlnderndem magnetischen Feld mit dem magneti-schen Fluss Ф durchdrungen wird eine elektrische Spannung ui induziert die der Ursache ihrer Wirkung entgegengesetzt ist

dt

dwu i

Mit tt cosˆ folgt twu i sinˆ

Die induzierte Spannung ist der Flussaumlnderung proportional dh bei cosinusfoumlrmiger Flussaumlnderung in der Leiterschleife entsteht an den Klemmen eine sinusfoumlrmige Spannung

Mit der Winkelgeschwindigkeit n 2 folgt tnwui sin2ˆ

Hieraus ergibt sich fuumlr den Effektivwert der induzierten Spannung Ui

tnwtui sin2ˆ nwU i 2

2ˆ

nwUi ˆ444 (Fuumlr n in s-1 und Φ in Vs folgt U in V)

uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I

tuu sinˆ titiiC cosˆ)90sin(ˆ titiiL cosˆ)90sin(ˆ

Fuumlr die Kreisfrequenz ω gilt Tf 122

T ist die Periodendauer der Schwingung in Sekunden f ist die Frequenz der Schwingung in Perioden pro Sekunde Diese wird in Hz angegeben Beim technischen Wechselstrom im europaumlischen Netz ist die Frequenz f = 50 Hz T= 1f = 20 ms In den USA ist f = 60 Hz T = 1f = 16667 ms Fuumlr den Effektivwert der Spannung gilt

63 Zeigerdarstellung von Strom und Spannung in der komplexen Ebene In der Elektrotechnik lassen sich Strom und Spannungen als rotierende Zeiger in einer komplexen Ebene uumlbersichtlich hinsichtlich der Phasenlage zueinander darstellen

tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos

Fuumlr die Leistung gilt

sincos jIUeIUIeUeIUS jtjtj

jQPS mit cos IUP und sin IUQ

Die mit Stern gekennzeichneten Groumlszligen sind die jeweils zugeordneten konjugiert komplexen Groumlszligen Konjugiert komplexe Groumlszligen entstehen durch Spiegelung an der reellen Achse In der Elektrotechnik ist es uumlblich in den Zeigerdiagrammen die Spannung in die reelle Achse der komplexen Ebene zu legen Zweckmaumlszliggerweise (Hochformat des Blattes) zeichnet man diese nach oben und die +j - Achse dann nach links (es gilt dann U = U dh die Spannung liegt in der reellen Achse)

Fuumlr tuu sinˆ ergeben sich folgende Zeigerdiagramme fuumlr die ohm`sche induktive und kapazitive

Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10

0 90 180 270 360 450Phasenwinkel in Grad

Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u

Spannung Strom kapazitiv Strom induktiv

90deg voreilend 90deg nacheilend

Spannung und Strom bei ohmscher induktiver und kapazitiver Last

ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2

Gleichrichtwert=2 pu

- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi

ohm`sche Last Wirkleistung induktive Last ind Blindleistung kapazitive Last kap Blindleistung

R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC

Fuumlr die Leistung gilt jQPS

PS 0Q jQS 0P jQS 0P

64 Leistungsbegriffe bei Wechselstrom

Wirk- und Blindleistung als Komponenten der komplexen Leistung

jeUU

jeII

0 der Strom eilt der Spannung nach

(induktive Last) (Merkregel I nach dem U)

0 der Strom eilt der Spannung vor

(kapazitive Last)

0 Strom und Spannung Phasengleich

(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos

Der Mittelwert der Leistung ist gleich dem Integralwert uumlber eine Periode von 0 bis ωt = 2

Der erste Term ist gleich dem Argument des Terms selbst da er zeitunabhaumlngig ist der zweite Term ergibt uumlber eine Periode T integriert den Integralwert Null

tjtj eIUUIIUeIUtitutp 22

2

1

tjtj eIUeIUUIIUtp 22

2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q

Bei ohmscher Last sind Strom und Spannung in Phase φ = 0deg

Bei induktiver Last eilt der Strom der Spannung um 90deg nach φ = -90deg

Bei kapazitiver Last eilt der Strom der Spannung um 90deg vor φ = +90deg

tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos

ˆ titCui cosˆcosˆ

- 30 -


Blindleistung

Wirkleistung Scheinleistung

Fuumlr die Leistung gilt allgemein UIIUdttpT

PT

02

11

Diesen Wert der Leistung nennt man Wirkleistung da der Mittelwert uumlber eine Periode ungleich Null ist wenn U gt 0 und I gt 0 sind Dieser Mittelwert ist gleich der Haumllfte der Summe aus dem Produkte aus der konjugiert komplexen Spannung mal dem komplexen Stromwert und dem konjugiert komplexen Strom mal dem komplexen Spannungswert Es ist fuumlr die Wirkleistung daher auch zulaumlssig und richtig eines der beiden Produktwer-te zu ermitteln ohne diesen Wert dann zu halbieren

Diese Beliebigkeit hat allerdings eine Auswirkung auf das Vorzeichen der Blindleistung die man als den imaginaumlren Anteil der komplexen Leistung definiert

Man definiert daher die Scheinleistung zu

IUoderIUjQPS

Wir waumlhlen die Form

IUjQPS weil dann die induktive Blindleis-

tung als positive Blindleistung in der komplexen Leistungsebene erscheint

Hier wird auch deutlich dass im physikalischen Sinne die Leistung nur

als Wirkleistung existiert die Blindleistung ist eine Wirkleistung mit der

Eigenschaft dass sie uumlber eine Periode gemittelt den Wert Null ergibt

In oberschwingungsbehafteten Netzen ist nur die Grundschwingung

des Stromes Traumlger der Wirkleistung

Leistung bei sinusfoumlrmigem Wechselstrom fuumlr unter-

schiedliche Phasenlagen des Stromes in bezug zur Spannung

tuu sinˆ tii sinˆ tuu sinˆ 90sinˆ tii

Die Spannung u sei auf den Bezugswert uU ˆ0 und der Strom i auf den Bezugswert iI ˆ

0 normiert

ttiutitutitutp sinsinˆˆˆsinˆ

sincossincossinˆˆ)sincoscos(sinsinˆˆ 2 tttiutttiutp

Anmerkung tt 2cos12

1cos2

Fuumlr 0 dh 1cos 0sin gilt Fuumlr 90 dh 0cos 1sin gilt

Fuumlr den Mittelwert gilt

IUP in W 0Q 0P IUQ in var

Blindleistung ist Wirkleistung mit dem Mittelwert Null Fuumlr der Spannung nacheilende Stroumlme (induktive Lasten) ergeben sich folgende Liniendiagramme

sin2sin

2

1coscos1ˆˆ 2 ttiutp

tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ

tIUtIUtp cos21cos12 2 tIUtp 2sin

Wechselstrom -Spannung und -Leistung

-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmittelwert cos-Glied

P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -


Leistungsganglinie der Erzeugung in Deutschland am 3 Mittwoch

dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23Zeit (Stundenmittelwerte)

Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll

30cosIUP 30sinIUQ 60cosIUP 60sinIUQ

65 Leistungen in der Energietechnik In der Energietechnik wird die elektrische Leistungserzeugung in Form von Tagesganglinien aller Leis-tungsbeitraumlge als frac14 h - Mittelwerte im Kraftwerksmix dargestellt Die Verbraucherlasten werden ebenfalls als frac14 h Leistungswerte messtechnisch erfasst da dieser Wert fuumlr die Erwaumlrmung der Betriebsmittel von maszliggeblicher Bedeutung ist

Da man elektrische Energie in groszliger Menge nicht speichern kann (nur indirekt zB uumlber Wasser- speicher) muss die Leistung zeit- gleich mit dem Verbrauch uumlber Generatoren erzeugt werden

Sehr verschieden vom taumlglichen Leistungsbedarf stellt sich die Windstromerzeugung in Deutschland dar wie beispielhaft fuumlr den Monat Januar 2012 zu ersehen ist Die Windleistung muss daher zu nahezu 100 durch die Leis- tung aus Gaskraftwer- ken abgesichert werden was zu sehr hohen Stromerzeugungskosten fuumlhrt

Minimaler Leistungswert in MW 345

Maximaler Leistungswert in MW 24086

mittlere Leistung in MW 9326

Gesamte Arbeit in MWh 6938423

Minimaler Arbeitstageswert in MWh 27472

Maximaler Arbeitstageswert in MWh 526078

60sinˆ tii 30sinˆ tii cos IUP sin IUQ


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmittelwert


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Strom Leistung Leistungsmitttelwert

P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea

66 Uumlbertragungsverhalten passiver Vierpol - Glieder

Tiefpass

Hochpass

Berechnung und Darstellung der Uumlbertragungsfunktion uaue

Als Grenzfrequenz wird diejenige Frequenz definiert bei der

das Amplitudenverhaumlltnis uaue um 2 abgesunken ist

ω1 = 2πf1 =1RC

Die Uumlbertragungsfunktion uaue als Funktion der Frequenz f dargestellt durch den Amplitudengang und den Phasengang

2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu

Uumlbertragungsfunktion uaue als Funktion der Frequenz f

11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f

Beispiel Mit R = 1 kΩ C = 10 μF ergibt sich fuumlr die Grenzfrequenz f1

Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf

Nur bei Frequenzen unterhalb von 1592 Hz ist die Ausgangsspannung groumlszliger als 0707 mal der Ein-gangsspannung Houmlhere Frequenzen daumlmpfen das Eingangssignal unter diesen Wert gegen Null ge-hend ab daher die Benennung als Tiefpass

Mit den gleichen Daten gilt fuumlr den analogen Hochpass

2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu

Hierbei werden die tiefen Frequenzen gedaumlmpft und ab der Grenzfrequenz die hohen Frequenzen mit nur geringer Daumlmp- fung uumlbertragen Daher die Benennung Hochpass

ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I

Paradoxon I ne f(R) fuumlr Xc = 2X

L

Paradoxon I ne f(R) fuumlr Xc = X

L2

XL

U0

R X

C

I

67 Stromparadoxon bei Blindwiderstaumlnden in RLC Schaltungen

Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ

Beispiel L = 100 mH C = 5066 μF U0 = 230V f = 50 Hz ergibt XL = 31416 Ω XC = 62833 Ω

I = 732 A ne f(R)

Nach Betrag und Phase gilt I = 732 A ejφ

= f(R) mit -90deglt φ lt90deg Fazit Nur der Betrag des Stromes I ist unabhaumlngig vom Widerstand R Die Phasenlage ist sehr wohl abhaumlngig vom Widerstand

LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)

Nach Betrag und Phase gilt I = 1464 A ejφ = f(R) mit -90deglt φ lt90deg

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -



71 Stromerzeugung und Strombelastung im Drehstromsystem Farben der Phasen gelb gruumln violett

Fuumlr ein symmetrisches Stromerzeugungssystem sind die drei Spannungen der Phasen L1 L2 und L3 gleich groszlig In den Versorgungsnetzen betraumlgt die Normwert die Phasenspannung 230 V Bei der in der Praxis ebenfalls in der Regel vorliegenden symmetrische Belastung sind auch die drei Lastwiderstaumlnde gleich Die Spannungen zwischen den Auszligenleitern nennt man die verkettete Spannungen U12 U23 U31 Da die drei Phasenspannungen in elektrischen Maschinen erzeugt werden deren Wicklungen raumlumlich um 13 der Umfangs versetzt angeordnet sind sind die Phasenspannungen zeitlich um 120deg gegenei-nander verschoben

tutu sinˆ11 120sinˆ

22 tutu tututu 2121

120sincos120cossinˆsinˆ2121 ttututu cos 120deg =

2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21

30sin3ˆcos30sinsin30cos3ˆ21 tuttutu

Die verkettete Spannung tu 21 ist gegenuumlber ser Phasenspannung tu1 um 30deg voreilend

Der Effektivwert der verketteten Spannung U12 ist um den Faktor 3 groumlszliger als die Phasenspannung

U1 In der Energietechnik bezeichnet man die verkettete Spannung (Leiterspannung) mit U und die Phasen-spannung mit Uph oder auch mit dem Index 1 U1

Dreieck-Schaltung Sternschaltung

3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph

Wirkleistung cos3 IUP

Blindleistung sin3 IUQ

Scheinleistung IUS 3

U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31

Spannungen im Drehstromsystem 400230 V

-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII

Bei der Berechnung elektrischer Netze ist es haumlufig sehr nuumltzlich Dreieckstrukturen in Sternstrukturen umzurechnen Nachfolgend werden die hierzu erforderlichen Umrechnungsgleichungen in komplexer Schreibweise angegeben Selbstverstaumlndlich sind diese Gleichungen auch in Gleichstrom-Netzstrukturen fuumlr reelle Groumlszligen gleich-ermaszligen guumlltig

a) fuumlr Dreieck-Stern- Umwandlung

Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ

Ausgehend von einer Dreieckstruktur ergibt sich der entsprechende Sternwiderstand aus der Multiplikati-on der beiden anliegenden Widerstaumlnde dividiert durch die Summe aller drei Dreieckswiderstaumlnde

b) fuumlr Stern-Dreieck- Umwandlung

Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ

Ausgehend von einer Sternstruktur ergibt sich der entsprechende Dreieckwiderstand aus der Addition der beiden anliegenden Phasenwiderstaumlnde plus dem Produkt aus diesen beiden dividiert durch den verbleibenden dritten Widerstand

Bei elektrischen Drehstrommaschinen wird die Stern-Dreieck-Umschaltung auch angewandt um den Anlaufstrom der Maschinen auf rd Ein Drittel des Wertes bei Dreieck-Direktanlauf zu verringern

Haumlufig gelangt man auch zu der Aufgabe die Teilstroumlme einer Parallelschaltung bei gegebenem Gesamtstrom zu berechnen

Nach der Kirchhoffschen Regel verhalten sich die Teilstroumlme umgekehrt wie die Widerstaumlnde oder Impe-danzen der Parallelzweige Damit lassen sich die Teilstroumlme sehr schnell mit Hilfe folgender Gleichungen bei gegebenem Gesamtstrom bestimmen

Der Teilstrom ist gleich dem Verhaumlltnis der gegenuumlber liegenden Impedanz zur Summenimpedanz der Parallelschaltung multipliziert mit dem Gesamtstrom Es ist daher problematisch - in Uumlbertragungsnetzen parallel zu Freileitungsabschnitten - Kabelstrecken einzufuumlgen da die niedrigere Impedanz der Kabel einer parallelen Freileitung den Strom bdquowegsaugtldquo mit der Folge dass die Kabelstrecke uumlberlastet wird obschon die zulaumlssige Gesamtlast beider Uumlbertra-gungsstrecken noch nicht erreicht ist

Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31

72 Allgemeine Belastung im Drehstromnetz Steinmetzschaltung

a) Leiterstroumlme im Vierleitersystem

Die allgemeine Bestimmungsgleichungen fuumlr die komplexen Leiterstroumlme 1I 2I 3I

und 0I in einem Vierleiter-Drehstromnetz lauten (alle UI und Z-Groumlszligen komplex)

1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI

Fuumlr den in der Praxis im allgemeinen vorliegenden Fall ist die Belastung symmetrisch und der Widerstand im Mittel- punktsleiter ist gleich Null zu setzen Damit vereinfache sich die Gleichungen erheblich

Z

UIIII 321 00 I

b) Leiterstroumlme im Dreileitersystem

In dem hier vorliegenden Dreileiternetz muss der Widerstand im Nullleiter gleich unendlich gesetzt werden (I0 = 0 da kein Nullleiter vorhanden) so dass sich die drei Bestimmungs- gleichungen fuumlr die Leiterstroumlme wie folgt vereinfachen

133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

Ein Beispiel ist die Symmetrierschaltung im Induktionsofenbau (Steinmetz-Schaltung 1896) Damit wird die Einphasenlast eines Schmelzofens in eine symmetrische Drehstromlast umgewandelt

Fuumlr die Leiterstroumlme gilt R

U

R

UIII Ph

3321

Die Stroumlme sind in Phase mit den zugehoumlrigen Phasenspannungen dh die Schaltung wirkt wie eine rein ohmsche Last mit dem Widerstand R Der Strom I1 ist unabhaumlngig von der Groumlszlige des Widerstandes Z1 = R da Z2 = - Z3 ist Da die Induktionsspule zur Erzeugung des Wechselfeldes im Schmelzmaterial ein ohmsch-induktiver Widerstand ist muss dieser durch eine gesteuerte Parallelkompensation auf cos φ = 1 kompensiert werden

L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -


73 Wechselstromleistung nicht sinusfoumlrmiger Stroumlme Mit zunehmenden elektronischen Steuerungs- und Schaltgeraumlten im Netz nehmen die Oberschwin-gungsstroumlme stark zu Obschon die Spannung noch fast sinusfoumlrmig ist kann der Strom aufgrund von Phasenanschnittsteuerungen oberschwingungsbehaftet und daher nicht mehr sinusfoumlrmig sein

Mit den Effektivwerten I der -ten Oberschwingung gilt fuumlr die Leistungs- und Kenngroumlszligen

Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1

Traumlger der Wirkleistung P ist nur die Grundschwingung des Stromes I1

111 cos IUPP

Fuumlr die Blindleistung Q gilt

22 PSQ

Die Blindleistung Q besteht aus der Grundschwingungsblindleistung Q1 und der

Verzerrungsblindleistung D 111 sin IUQ

n

n IUIIIUD2

222

3

2

2

Fuumlr die Grundschwingungsscheinleistung S1 gilt 11 IUS

Fuumlr den Leistungsfaktor als das Verhaumlltnis von Wirkleistung zu Scheinleistung gilt

122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P

mit Faktor gi als dem Grundschwingungsgehalt des Stromes I

n

i

I

Ig

1

2

1

cosφ1 ist der Grundschwingungs-Leistungsfaktor oder Verschiebungsfaktor

Fuumlr nicht sinusfoumlrmige Stroumlme gilt grundsaumltzlich 1cos

Fuumlr die Scheinleistung gilt Fuumlr die Blindleistung Q gilt

22

1

2 DQPS 22

1 DQQ

Traumlger der Wirkleistung ist nur der Grundschwingungsgehalt des Stromes dh die Oberschwingungen tragen nicht zur Wirkleistungsbildung bei belasten aber sehr wohl die Leitungen und erfordern die Be-reitstellung einer entsprechen houmlheren Wirkleistung und von Blindleistung durch den Generator

Strom und Leistung eines Fernsehgeraumltes oder einer Energiesparlampe mit kapazitivem Netzteil

Der Mittelwert der Wirkleistungsanteile oberschwingungs- behafteter Stroumlme ist gleich Null Es werden wohl die Lei- tungen im Netz belastet

P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

sinusfoumlrmige Spannung (Effektivwert = 0707 pu)

Grundschwingungsstrom + 3+5+7+9+11 Oberschwingung

Leistung aus Grundschwingungsstrom

Leistung aus Analysestrom

Leistungsmittelwert = 014 pu

Effektivwert des Stromes = 031 pu


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt

Spannung Sinus Strom 3 Oberschwingung Leistung

- 38 -


74 Elektrische Maschinen Asynchron- Synchron und Gleichstrommaschinen Entstehung des Drehfeldes in einer Drehfeld - Maschine In der Drehfeldmaschine (Synchron- oder Asynchronmaschine) sind in den Nuten des Stator-Blech-paketes - bei der zweipoligen Maschine jeweils raumlumlich um 120deg verdreht - drei Wicklungen unterge-bracht die von drei sinusfoumlrmigen Wechselspannungen gespeist werden deren Phasenlage um jeweils 120 deg zeitlich gegeneinander verschoben sind Jede dieser drei Wicklungen erzeugt im Innern der Maschine einen magnetischen Wechselfluss der

Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj

Die drei Wicklungen U-X V-Y und W-Z sind raumlumlich um 120 deg rechtswendig forschreitend in den Stator eingebracht Damit folgt fuumlr den resultierenden Flus aus der Summe aller drei Wicklungen

tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3

=0 Dies ist ein konstanter magnetischer Fluss der rechtsdrehend im Innern der Maschine wirksam ist Die Drehzahl des umlaufenden Magnetfeldes ist proportional der Frequenz des Stromes

p

fn

60

p ist die Polpaar- zahl

Dieses rechtsdrehend umlaufende Magnetfeld tritt mit dem Magnetfeld des Polrades der Synchronma-schine in Wechselwirkung und nimmt dieses in synchroner Drehzahl mit Dabei wirkt diese magnetische Kraftkopplung wie eine elastische Federverbindung Durch vertauschen von zwei Phasen dreht sich die Drehrichtung um Bei der Asynchronmaschine werden in den Kurzschlussstaumlben des Laumlufers Spannungen induziert die einen Strom zur Folge haben deren Magnetfeld ebenfalls eine Kraftschluumlssigkeit mit dem Statorfeld begruumlndet Daher kann der Asynchronmotor im Gegensatz zum reinen Synchronmotor auch aus dem Stillstand von selbst anlaufen und faumlllt bei Uumlberlast nicht aus dem synchronen bdquoTrittldquo

ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10

0 120 240Phasenwinkel

Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u

Phase U Phase V Phase W

X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0

a) Asynchronmaschine

Heylandkreis der Asynchronmaschine auf Basis des vereinfachten Ersatzschaltbildes Maschinendaten einer 3 kW - Asynchronmaschine Δ400 V 50 Hz 59 A 3 kW cos φ = 086 2890 min

-1 Der Leerlaufstrom betraumlgt I0 = 162 A induktiv

Vereinfachter Ersatzschaltplan

I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`

2 Fuumlr Nennbetrieb gilt III n 1

`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V

Berechnung Ik (fuumlr s=1) und Iinfin fuumlr (s= )

j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k

Fuumlr den Strom I1 in Abhaumlngigkeit vom Schlupf s gilt allgemein (erstmals von Ossanna hergeleitet)

Dies ist als Ortskurve ein Kreis in der komplexen Ebene genannt Heylandkreis (nach Alexander Heinrich Heyland geb in Iserlohn 1869-1943 erstmals 1894 1896 in vereinfachter Form veroumlffentlicht danach taumltig bei Lahmeyer in Frankfurt Charleroi Bruumlssel) Der Heylandkreis ist die grafische Darstellung der Zustandsgroumlszligen wie Drehzahl Schlupf Strom Pha-senlage zur Spannung Leistung und Drehmoment einer Asynchronmaschine in der komplexen Ebene

Maszligstaumlbe fuumlr den Heylandkreis Strommaszligstab

cm

A2Im

Leistungsmaszligstab

cm

kW422V40033

cm

AmUm IP

Drehmomentenmaszligstab

cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M

Kipp- und Nennmoment aus dem Kreisdiagramm

Mkipp = 28 cm middot 764 Nmcm = 214 Nm Mn = 13 cm middot 764 Nmcm = 99 Nm

Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn

Die Asynchronmaschine wird als Schleifringlaumlufer mit Laumluferwicklung oder als Kurzschlusslaumlufer gebaut Der Kurzschlusslaumlufer besteht aus trommelfoumlrmigen Kupferstaumlben die an den Stirnseiten mittels einem Ring kurzgeschlossen sind Dies ist neben den permanent erregten Synchronmaschinen die robusteste Bauart elektrischer Maschinen und wird daher fuumlr die E-Mobilitaumlt vornehmlich angewandt

Die Synchronmaschine hat als Laumlufer ein gleichstromerregtes oder uumlber Permanentmagnete erregtes Polrad

Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -


Aufbau und Kennlinie der Asynchronmaschine

Der Asynchronmotor ist der am meisten verwendete Industriemotor Er kann direkt (mit Motorschutz-schalter) ans Drehstromnetz angeschlossen werden und ist sehr robust und einfach zu bauen Grosse Asynchronmotoren haben einen guten Wirkungsgrad Wegen dieser guten Eigenschaften ist dieser An-trieb international normiert und er wird auf der ganzen Welt in groszligen Stuumlckzahlen produziert

Schnitt durch einen Asynchronmotor Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine am 50 Hz Netz

Der Asynchronmotor hat seinen Namen von der Tatsache dass er sich nicht genau mit der Netzfrequenz dreht Er hat nur ein Drehmoment wenn seine Drehzahl von der synchronen Drehzahl abweicht Im Be-triebsbereich ist das Drehmoment proportional zu dieser Abweichung welche als Schlupf bezeichnet wird Bei uumlbersynchroner Drehzahl geht er in den Generatorbetrieb uumlber

Bei der Asynchronmaschine wird die Rotorspannung uumlber das Statormagnetfeld induziert aus diesem Grund wird sie auch Induktionsmaschine genannt In die Nuten des Stators sind die Wicklungspakete eingelegt Im Rotor ist beim Kurzschlussankermotor nur ein Leiter pro Nut eingelegt oder eingegossen Die Rotorleiter werden uumlber je einen Ring an den Stirnflaumlchen des Rotors kurzgeschlossen

Der dreiphasige Asynchronmotor wird direkt an das Drehstromnetz (3 x 400 V) angeschlossen Fuumlr kleine Leistungen (unter 2 kW) kann der Asynchronmotor mit einem Kondensator auch an das Wechselstromnetz (1 x 230 V) angeschlossen werden Fuumlr noch kleinere Leistungen gibt es den Spaltpolmotor (einphasiger Asynchronmotor mit gespaltenem Stator) welcher einen schlechten Wirkungsgrad hat

Typenschild

eines Asynchronmotors

1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11

6 Isol Kl F IP 44 12

Kloszligsche Formel der Asynchron-maschine zur naumlherungsweisen Drehmomentenberechnung M bei gegebenem Kippmoment MK (Xh unendlich angenommen und R1 vernachlaumlssigt)

s

s

s

sM

M

K

K

K

2

Aus diesen Daten lassen sich folgende Nenngroumlszligen ableiten

Feld Symbol Bezeichnung Bemerkungen

1 Hersteller

2 Motortyp Typenbezeichnung des Herstellers

oft Baugroumlszlige und Polzahl

3 U Nennspannung es wird die verkettete Spannung

angegeben

4 P Nennleistung Zulaumlssige dauernde mechanische

Abgabeleistung

5 n Nenndrehzahl Drehzahl bei der Belastung mit der

Nennleistung

6 Isolationsklasse Temperaturfestigkeit der Wicklung

7 Effizienzklasse EFF1 ist am besten

ohne Bezeichnung EFF3

8 Seriennummer

9 I Nennstrom Stromaufnahme bei Nennspannung

und Nennbelastung

10 cosφ Leistungsfaktor Phasenwinkel bei Nennspannung

und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz

12 Schutzklasse Schutz gegen das Eindringen von Fremdkoumlrper und Wasser

Motorbetrieb

Generator- betrieb Nennbetriebs-

bereich

- 41 -


Formel Ein-heit

Bezeichnung Beispiel Bemerkungen

Umin Leerlaufdrehzahl 3000 1min aus der Nennfrequenz und Polpaar-zahl oder von der Nenndrehzahl auf-gerundet

rads

Nennwinkel- geschwindigkeit

3026 rads bei 50 Hz Netzfrequenz ein 2-poliger Motor entsprechend nn=2890 min

-1

Nm Nenndrehmoment 99 Nm Nenndrehmoment an der Welle

W Elektrische Leistung 3515 W aufgenommene elektrische Leistung

- Wirkungsgrad 853 Das Minimum fuumlr Effizienzklasse EFF2 ist 826 fuumlr EFF1 867

W Verluste 515 W

Verluste in der Statorwicklung der Rotorwicklung im Eisen dem Luumlfter und der Lagerreibung

Iw = I cosφ A Wirkstrom 51 A Bei Nennspannung und Nennlast

Im = I sinφ A Magnetisierungs-strom

30 A Blindstrom

Das Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine ist sehr aumlhnlich dem eines Transformators Im Ersatz-schaltbild wird als Last an den Sekundaumlrklemmen ein Widerstand eingesetzt welcher vom Schlupf s abhaumlngig ist Bei Drehzahlen um die Leerlaufdrehzahl Ω0 [rads] wird dieser Widerstandswert gross Bei Drehzahlen uumlber der Leerlaufdrehzahl wird der Widerstandswert negativ der Widerstand wird zur Quelle (Generatorbetrieb) Die Leistung im Widerstand Rr (1-s)s Irsup2 [W] im Widerstand entspricht der mechanischen Leistung M Ω = M Ω0 (1-s) [W] das Drehmoment ist somit M = Rr Irsup2 (s Ω0) [Nm]

Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine Drehmoment-Drehzahl-Kennline einer 2-poligen 3 kW 50 Hz Asynchronmaschine

Wirkungsgradkennlinien einer streuarmen Asynchronmaschine beim Betrieb mit einem Frequenzumrichter in Abhaumlngigkeit von der Drehzahl und Belastung

- 42 -


Aus dem einphasigen Ersatzschaltbild lassen sich folgende Grundgleichungen herleiten

Formel Einheit Bezeichnung Bemerkungen

Nm Drehmoment als Funktion der Statorspannung Us

Nm Drehmoment als Funktion des Statorstromes Is

1s Leerlaufdrehzahl auch synchrone Drehzahl genannt

0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r

- Schlupf im Stillstand ist s = 1 im Leerlauf s = 0 im Generatorbetrieb ist s negativ (s lt 0)

Nm Kippmoment das maximale Drehmoment des Motors

im Betriebsbereich

- Kippschlupf der Schlupf bei dem das Kippmoment

wirkt

- Streuung

- Rotorhilfswert drehzahlabhaumlngig

Nm Drehmoment Formel von Kloss

Mk = Kippmoment sk = Kippschlupf

Formelzeichen (Symbol) Einheit Bezeichnung Bemerkungen

Us V Statorspannung Strangspannung (Phase -Null)

Is A Statorstrom Strangstrom (Sternschaltung)

ωs rads Statordreh- frequenz

ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)

f Hz Statorfrequenz uumlblicherweise 50 Hz in Amerika 60 Hz

Rs Ω Statorwiderstand bei groszligen Motoren zu vernachlaumlssigen

Lσs H Statorstreu- induktivitaumlt

Ls H Statorinduktivitaumlt Ls = Lσs + Lh

Lh H Hauptinduktivitaumlt gemeinsame Induktivitaumlt von Stator und

Rotor

Ur V Rotorspannung bei Kurzschlussankermotoren ist Ur = 0

Ir A Rotorstrom

ωr rads Rotordrehfre-

quenz im Stillstand ist ωr = ωs im Leerlauf ωr = 0

Rr Ω Rotorwiderstand bei Industriemotoren schlupfabhaumlngig

Lσr H Rotorstreu- induktivitaumlt

Lr H Rotorinduktivitaumlt Lr = Lσr + Lh

m - Anzahl Phasen uumlblicherweise 3 (fuumlr Drehstrom)

p - Polpaarzahl eine 2-polige Maschine hat 1 Polpaar

Ω rads Drehzahl 3000 Umin sind 314 rads

- 43 -


Aus diesem Gleichungssystem lassen sich die nachfolgenden Kennlinien ableiten Bei Schleifringankermotoren wird uumlber Schleifringe und Buumlrsten die Verbindung zu der Rotorwicklung hergestellt und diese an externe Widerstaumlnde oder Phasenanschnittgeraumlte angeschlossen Im Nennbetrieb sind die Rotorwicklungen intern oder extern kurzgeschlossen

Stromverdraumlngungslaumlufer

Die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie eines Asynchronmotors mit einer runden Leiterform im Rotor ist fuumlr den Netzbetrieb nicht universell geeignet da das Anlaufmoment (auch Anzugsmoment genannt) gering ist Fuumlr den Betrieb mit Frequenzumrichter waumlren runde Rotorleiter aber besser jedoch sind solche Motoren sind nicht Standard Fuumlr ein hohes Anlaufmoment setzt man spezielle Leiterformen ein welche auch einen geringen Anlaufstrom ergeben

Verschiedene Formen der Rotorlaumlufer

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien von 2-poligen 3 kW Asynchronmaschinen mit unterschiedlichen For-men der Rotorleiter Zusaumltzlich ist die Kennlinie eines Rotors mit Magneten (SM) eingetragen

Bei hoher Rotorfrequenz (beim Anlauf) wird durch das wechselnde Magnetfeld des Rotorstroms der Strom aus den inneren Zonen des Rotor Richtung Luftspalt gedraumlngt (Stromverdraumlngung) Dadurch erhoumlht sich der Widerstand der Rotorwicklung und der Kippschlupf wird groumlsser was ein houmlheres Moment bei tiefen Drehzahlen ergibt Wenn der Motor in den Bereich der Nenndrehzahl gelangt wird die Rotorfrequenz immer kleiner (fast Gleichstrom) und die Stromverdraumlngung wirkt kaum noch Dadurch steht der ganze Rotorleiterquerschnitt zur Verfuumlgung was einen geringen Widerstandswert und somit einen kleinen Kippschlupf ergibt Durch die steile Kennlinie laumluft der Motor auf einer hohen Nenndrehzahl (geringer Schlupf) und hat eine groszlige Leistung und geringe Rotorverluste (hohen Wirkungsgrad) Beim Rundstablaumlufer ist der Stromverdraumlngungseffekt gering dafuumlr hat er die beste Nennleistung Standardmotoren haben einen Hochstab- oder Doppelstablaumlufer Es gibt auch noch weitere Laumluferformen wie der Tropfenstab und Keilstab Die Leiterformen bewirken die nachfolgend angegebenen Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien Fuumlr die Abschaumltzung der Ursache-Wirkungs-beziehungen von Asynchronmaschinen gelten folgende vereinfachte Beziehungen


Nm Drehmoment

das Drehmoment ist im Bereich der Nenndrehzahl ungefaumlhr gleich dem Produkt aus Wirkstrom und Magnetisierungsstrom

Nm Drehmoment das Drehmoment ist zwischen der Haumllfte der Kippmomente gleich dem Produkt aus Nennmoment und dem relativen Schlupf ssn

s

IRmP rr

2

W Luftspaltleistung Die Luftspaltleistung teilt sich auf in die mechanische Leistung

)1( sPPmech und die Laumluferverlustleistung sPPel Pel

V Spannung

die Spannung ist ist im Bereich der Nenndrehzahl etwa proportional zum Magnetisierungsstrom und zur Drehzahl

Symbol Einheit Bezeichnung Bemerkungen

Iw A Wirkstrom Iw = I cosφ wird uumlber eine Wirkleistungsmessung ermittelt

Im A Magnetisierungsstrom Im = I sinφ auch Blindstrom genannt

Mn Nm Nennmoment Nennleistung durch Nenndrehzahl in rads

sn - Nennschlupf Schlupf bei der Nenndrehzahl

Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -


Veraumlnderung der Statorspannung

Beim Anlauf nimmt der Asynchronmotor sehr ho-he Stroumlme auf Um die Belastung des Stromnet-zes zu reduzieren wird der Motor bei groumlszligeren Leistungen mit einer tieferen Spannung angefah-ren Mit dem SternDreieck Anschluss liegen in der Sternschaltung 400 V uumlber zwei Windung an Nach einer gewissen Zeit wird durch einen exter-nen Schalter in die Dreieckschaltung umgeschal-tet und 400 V an eine Windung angelegt In der Sternschaltung hat der Motor nur ein Drittel des Nenndrehmomentes Auf dem Typenschild sind die erforderlichen Spannungen fuumlr die Nennleis-tung in Dreieck und Sternschaltung angegeben (Nennspannung 400690 V) Die hohen Anlauf-stroumlme und die mechanischen Anfahrstoumlsse koumln-nen auch mit einem Sanftanlaufgeraumlt reduziert werden Der Softstarter (Phasenanschnittgeraumlt zur kontinuierlichen Spannungserhoumlhung) wird normalerweise nach dem Hochfahren uumlberbruumlckt

Motoren sind zur maximalen magnetischen Ausnuumlt-zung des Eisens oft sehr knapp ausgelegt Das heisst wenn sie mit einer zu hohen Spannung betrieben werden kommt das Eisen in die Saumlttigung und der Strom nimmt uumlberproportional (hohe Leerlauf-verluste) zu Industriemotoren werden oft knapp unter der Saumlttigungsgrenze ausgelegt eine houmlhere Be-triebsspannung bewirkt eine uumlberpro- portionale Zunahme des Stromes erhoumlht kaum das Drehmoment und kann den Motor zerstoumlren

Veraumlnderung des Rotorwiderstandes

Fuumlr besondere Anwendungen (Aufzuumlge ) werden auch Asynchronmotoren mit einem hohen Laumluferwi-derstand (Rotorwiderstand) gebaut Je houmlher der Widerstand ist desto mehr verschiebt sich das ma-ximale Drehmoment (Kippmoment) zu tiefen Dreh-zahlen Solche Widerstandslaumlufermotoren haben einen schlechten Wirkungsgrad und brauchen des-halb ein groszliges Gehaumluse um die Verlustwaumlrme loszuwerden Bei groumlszligerer Leistung wird statt des Kurzschlussankers im Rotor eine Drehstrom-Wicklung eingelegt deren Enden uumlber 3 Schleifrin-ge von auszligen abgegriffen werden Die Rotorleis-tung wird dann in externen Widerstaumlnden in Waumlrme umgesetzt (Anlaufwiderstaumlnde) oder uumlber ein Steuergeraumlt (Untersynchrone Kaskade) ins Netz zuruumlckgespeist

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine mit unter-schiedlichen Statorspannungen Das Dreh-moment nimmt mit dem Quadrat der Stator-spannung zu M ~ Ussup2

Leerlaufstrom als Funktion der Span-nung

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine mit un-terschiedlichen Rotorwiderstaumlnden Der Kippschlupf nimmt mit dem Rotorwider-stand proportional zu sk ~ Rr

Das Kippmoment Mk ist unabhaumlngig vom Rotorwiderstand

- 45 -


Veraumlnderung der Statorfrequenz

Mit einem Frequenzumrichter kann die Statorspannung und Frequenz des Asynchronmotors stufenlos veraumlndert werden Dadurch wird aus dem Standard- motor ein drehzahlveraumlnderliches Antriebssystem Mit einem Rotorlagegeber dem Errechnen der Magnetisierung und dem Einpraumlgen der entsprechenden Statorstroumlme (Vektorregelung) hat ein Asynchron- motor die Eigenschaften eines Servoantriebes Wenn die Frequenz uumlber die Nennfrequenz erhoumlht wird was fuumlr den Frequenzumrichter kein Problem ist nimmt der Magnetisierungsstrom ab da die Ausgangs- spannung normalerweise nicht uumlber den Nennwert erhoumlht werden kann Wie bei der Gleichstrommaschine bei geschwaumlchtem Erregerfeld nennt man diesen Bereich Feldschwaumlchebereich Das Kippmoment faumlllt quadratisch mit der Frequenz das Nennmoment proportional zur Frequenz Daraus ergibt sich ein Bereich konstanter Nennleistungsabgabe bis das Kippmoment kleiner als das Nennmoment wird

Veraumlnderung der Streuung

Die standardisierten Asynchronmotoren sind fuumlr den Betrieb am Drehstromnetz konstruiert Das heisst sie haben ein hohes Anlaufmoment (Stromverdraumlngungs- nuten) und sind getrimmt auf einen moumlglichst niedrigen Anlaufstrom (Kippmoment das 2 bis 3-fache des Nennmomentes) Auch Asynchronmaschinen im Megawattbereich welche in Einzelstuumlcken hergestellt werden unterliegen dieser Orientierung am Netzbetrieb Ein Antriebssystem welches aus einem Frequenzum- richter und einer Asynchronmaschine besteht stellt andere Anforderungen an den Motor Durch eine geschickte Konstruktion welche die Streuung minimiert kann das Kippmoment sehr viel houmlher liegen Dadurch kann der Asynchronmotor kurzzeitig ein mehrfaches seines Nennmomentes abgeben ohne uumlberdimensioniert zu sein Bei Anwendungen welche uumlber einen weiten Bereich konstante Leistung benoumltigen (spanabhebende Bearbeitung Zentrumswickler Traktion ) erlaubt dieses hohe Kippmoment einen grossen Feldschwaumlchbereich indem der Wirkungsgrad besser als im Nennpunkt ist

Quelle GLOOR ENGINEERING CH-7434 SUFERS (Internethttpwwwenergiechatasmindexhtm

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine mit un-terschiedlichen Statorfrequenzen Die syn-chrone Drehzahl ist proportional zur Fre-quenz Ω0 ~ ωs Das Kippmoment faumlllt oberhalb der Nennfrequenz mit dem Quadrat der Frequenz ab Mk ~ 1 ωssup2

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien einer 2-poligen 3 kW Asynchronmaschine mit unter-schiedlicher Streuung Das Drehmoment und der Anlaufstrom nehmen mit abnehmender Streuung zu

- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2

Anwendung der Asynchronmaschine im Generatorbetrieb zur elektrischen Energieerzeugung mittels Windenergieanlagen Die Energieerzeugung erfolgt durch Umwandlung der kinetischen Energie des Windes in Rotationsener-gie mittels aerodynamischer Kraftwirkung an den Fluumlgelprofilen uumlber den Generator in elektrische Ener-gie Ableitung der Leistungsgleichung

2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP

Mit der mittleren Windgeschwindigkeit im Wechselwirkungsbereich mit den Fluumlgeln

2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP

Maximum der Leistung v1 = v v2v1 = x )1()1()( 23 xxvPf

0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3

12 folgt fuumlr die Leistung

Leistung cP ist der Leistungsbeiwert cP = 03 bis 05

(Betz-Faktor) Fuumlr die Schnelllaufzahl gilt

Windenergieanlagen (WEA) werden in Leistungsbereiche von 1 bis 75 MW gebaut Der Anlauf beginnt bei einer Windgeschwindigkeit von 3 bis 4 ms Die Nennleistung wird bei rd 13 ms Windgeschwindigkeit erreicht Die Abschaltung und Anlagensicherung durch Windfahnenstellung erfolgt bei rd 25 ms Windgeschwindigkeit Im Windbereich von 3 bis 12 ms gilt das v

3 Gesetz der Leistung

bdquoRaywaversldquo fuumlr die Energie der Zukunft zwei Prototypen eines neuen Windrades auf Avantis am 1622012 vorgestellt B

v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11

b) Synchronmaschine Die Synchronmaschine besteht aus einem Stator als Traumlger einer Drehstromwicklung und einem rotie-renden mit Gleichstrom oder auch durch Permanetmagnete erregtem Polrad Das im Inneren des Sta-tors durch die drei um je 120 deg raumlumlich versetzte Wicklungen die mit zeitlich um 120deg versetzte Wech-selstroumlme gespeist werden sich ausbildende rotierendeMagnetfeld ist entsprechend einer elastischen Federverbindung mit dem Magnetfeld des Polrades in kraftschluumlssiger Verbindung und nimmt das Polrad in synchroner Drehzahl mit Die Synchronmaschine wird als Schenkelpolmaschine oder als Vollpolmaschine mit Trommellaumlufer ge-baut und hauptsaumlchlich als Generator zur Stromerzeugung eingesetzt Die Drehzahl der Synchronmaschine ist fest mit der Frequenz des Drehstromnetzes gekoppelt

p

fnn s

60n mit f in 1s und n in 1min

Wegen der Massentraumlgheit des Rotors kann die Synchronmaschine nicht von selbst anlaufen sondern muss mechanisch in die Naumlhe der synchronen Drehzahl beschleunigt werden oder der Selbstanlauf wird mittels einer der Asynchronmaschine entsprechenden Zusatzwicklung gewaumlhrleistet

Vereinfachter Ersatzschaltplan der Synchronmaschine

dP jXRIUU 11

Xd ist die Laumlngsreaktanz Xq ist die Querrreaktanz

PU ist die Polradspannung Diese ist proportional

dem Erregerstrom der Erregerwickung

d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1

Phasenschieberbetrieb Beim uumlbererregten Betrieb wird induktive Blind- leistung ins Netz eingespeist (Die Maschine wirkt als Kondensator) Uumlbererregter Betrieb Untererregter Betrieb

Die Wirkleistungseinspeisung der Synchronmaschine wird durch Aumlnderung des Polradwinkels erreicht Hierzu ist eine entsprechende Steigerung der Antriebsleistung bzw des Antriebsmomentes erforderlich

Fuumlr die Wirkleistungseinspeisung gilt MnMP 2

IUP 11 mit MnP 21 und

sinUXI Pd folgt fuumlr 1P Synchronisierung vor der

Parallelschaltung mit dem Netz Dunkelschaltung Die Polradspannung wird uumlber den Erregerstrom IE eingestellt Die Spannung U1 wird vom Netz vorgegeben die Drehzahl n ist uumlber die Frequenz festgelegt ebenso die Impedanz X1 so dass die Wirkleistungseinspeisung fast nur vom Drehmoment der Antriebsmaschine beinfluszligt wird Durch Aumlnderung der Polradspannung dh durch Aumlnderung der Erregung wird die Blindleistungseinspeisung und damit das Spannungsniveau im Netz bestimmt

UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I

Spannung U1 unveraumlndert

- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU

Spannungs- Leistungsdiagramm der

Synchronmaschine am Netz

00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14

Wirkleistung Kurzschlussleistung p1

Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1

tan phi =0 tan phi =1 tan phi = -1 p1 max

zulaumlssiger

Betriebsbereich

kapazitive Last phi = -45deg

rein ohmsche Last phi = 0deg

induktive Last phi = 45deg

Kurzschluss

Leerlauf

Leistungsdiagramm fuumlr die Leistungseinspeisung der Synchronmaschine

dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d

Die Wirk- und Blindleistungen werden zur Darstellung in pu Werte (per unit) auf

die Kurzschluszligleistung d

n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP

Bei kapazitiver Last ist Q1 negativ dh die Spannung U1 wird angehoben Bei rein ohmscher Last ist der Spannungsfall am geringsten Bei induktiver Last ist der Spannungsfall groszlig

Die mittels der Erregung einstellbare Generator-spannung bestimmt die Blindleistungsabgabe und der mittels Antriebsdrehmo-ment einstellbare Polradwin-kel bestimmt die Wirkleis-tungsabgabe

Der Polradwinkel darf die Stabilitaumltsgrenze nicht uumlber-schreiten da der Laumlufer der Maschine dann dem mit syn-chroner Drehzahl rotieren-dem Drehfeld des Staumlnders nicht mehr folgen kann und auszliger Tritt faumlllt

Die Maximumpunkte markie-ren das durch die Generator-impedanz gegebene Last-maximum

Die Wirkleistungsein-speisung ist neben der Be-grenzung durch die Wick-lungserwaumlrmung durch die Stabilitaumltsgrenze des Pol-

radwinkels mit 30 (Sicherheitsabstand 90 als absolute bdquoAuszliger-Tritt-Grenzeldquo) zu begrenzt

UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -


Berechnungbeispiel fuumlr eine Sychronmaschine im Generatorbetrieb Ein dreiphasiger Synchrongenerator mit Vollpollaumlufer hat folgende Nenndaten Un =9 kV f = 60 Hz Pn = 90 MW nn = 720 min

-1 cosφn = 06 kapazitiv und Wirkungsgrad η = 96

(Reibung und magnetische Saumlttigung werden vernachlaumlssigt)

Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111

Synchronreaktanz Sychroninduktivitaumlt und die Spannung U1n

kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn

fp Polpaare (10 polige Maschine)

Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d

Nennstrom Nennmoment und Polradspannung

kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U

PI 135360cosarcn (da kapazitiv)

Drehmoment kNm1941kWs719317202

60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001

Berechnung des Widerstandes der Staumlnderwicklung uumlber die Verluste bei vernachlaumlssigter Reibung

mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR

dh Gegen 52 kV Phasenspannung ist der ohmsche Spannungsfall von 124 V vernachlaumlssigbar Somit gilt

j24533697j369711 ekV5214e1002kV52kVΩ1e1kA021025 jkVXIjUU dP

oder nndnndP cosIjXsinIXUU 111

524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU

Zeigerbild der Spannungen und Stromortskurven

Drehmomentengleichung

sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494

Fuumlr die Schenkelpolmaschine mit mit der Laumlngsreaktanz Xd und der Querreaktanz Xq gilt mit Xq lt Xd

211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15

Grenze der Antriebsleistung (Wirkleistung)

Grenze Ro-torerwaumlrmung

uumlberererregt untererregt

Motor- betrieb

P

P ist der Arbeitspunkt im Nennbetrieb

δ

- 50 -


75 Transformatoren

Ein Transformator besteht aus einem Eisenkern der aus Dynamoblech zusammengestellt wird und aus einer oberspannungsseitigen und einer unterspannungsseitigen Wicklung aus isoliertem Kupferdraht Ersatzschaltplan des Transformators

Die ohmschen Widerstaumlnde R1k und R2k kennzeichnen die Kupferverluste die beiden Laumlngsinduktivitaumlten X1σ und X2σ kennzeichnen die Streuung der Wicklungen der ohmsche Quelle Widerstand im Querzweig RFe kennzeichnet die Eisen- httpslpuni-goettingendegettext360 verluste und die Induktivitaumlt Xh die ideale Induktionswirkung des magnetischen Flusses in den beiden Spulen Da die Laumlngswiderstaumlnde sehr viel kleiner sind als die Querwiderstaumlnde ist es zweckmaumlszligig fuumlr den Normalbetrieb einen vereinfachten Esatzschaltplan aus den beiden Grenzbetriebszustaumlnden

bdquoLeerlaufldquo und bdquoKurzschlussldquo abzuleiten Leerlauf-Ersatzschaltplan Kurzschluss-Ersatzschaltplan

Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0

Legt man nun an die Primaumlrwicklung eine Spannung U1 an so flieszligt ein Strom I1 durch die Spule wel-cher einen magnetischen Fluss Φ erzeugt der gemaumlszlig dem eingezeichneten Windungssinn im Uhrzei-gersinn durch das Eisenjoch gerichtet ist Dieser magnetische Fluss Φ durchsetzt die zweite Spule vollstaumlndig Ist die angelegte Spannung U1eine Wechselspannung so wird nun durch den Fluss Φ in der Sekundaumlrspule eine Spannung induziert Die an der Primaumlrspule angelegte Spannung sei eine Wechselspannung der Form

tutu cosˆ11 mit dem Effektivwert U1

Nach dem Induktionsgesetz wird durch den zeitlich sich aumlndernden Fluss Φ(t) in der erregenden Spule selbst eine Spannung induziert die so gerichtet ist das sie der Ursache ihrer Entstehung entgegen wirkt

dt

dwtu i

1 Damit gilt 01 tutu i dh es flieszligt nur ein kleiner Leerlaufstrom zur Abdeckung

der Verluste die bei der Ummagnetisierung im Eisen und als Kupferverluste in der Wicklung entstehen

Unter der Annahme dass die Spule der sekundaumlren Wicklung vollstaumlndig vom Fluss Φ durchdrungen wird wird in dieser Wicklung auch eine Spannung induziert

dt

dwtu

22 Damit ergibt sich fuumlr das Verhaumlltnis beider Spannungen fuumlr den Transformator im Leer-

lauf 2

1

2

1

w

w

tu

tu entsprechend gilt das auch fuumlr die Effektivwerte

2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v

Da fuumlr den Transport elektrischer Energie uumlber Leitungen die Uumlbertragungsverluste dem Quadrat des

Stromes proportional sind RIPv 2 ist es zweckmaumlszligig den Strom sehr klein zu halten und dafuumlr die

Spannung moumlglichst hoch zu waumlhlen damit die erforderliche Leistung IUP weiterhin verfuumlgbar bleibt

In der heutigen Zeit wird sehr viel elektrische Energie benoumltigt Will man diese zB uumlber Hochspan-nungsleitungen uumlber weite Wege transportieren so ist es guumlnstig eine hohe Spannung zu waumlhlen Dies ist sinnvoll da bei vorgegebener uumlbertragender Leistung der Leistungsverlust durch Waumlrmeentwicklung infolge des Leitungswiderstandes moumlglichst gering ausfaumlllt Kurzum Ist die Spannung sehr hoch ist der Leistungsverlust geringer als bei niedrigen Spannungen Daher benoumltigt man viele Transformatoren im Netz der oumlffentlichen Versorgung und auch in vielen elektrischen Geraumlten

R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La

76 Gleichstrommaschinen Mit dem verstaumlrkten Einsatz kostenguumlnstiger statischer Frequenzumrichter zur Drehzahlsteuerung von Drehstrommaschinen hat die Gleichstrommaschine den entscheidenden Vorteil der guten Drehzahlre-gelbarkeit verloren Dadurch ist die Anwendung von Gleichstrommaschinen in der Industrie stark zuruumlck gegangen

Kraft- linienweg des Flusses in der Laumlngsachse (Hauptfluss) erregt durch die Hauptpolwicklung Der Kraftlinienweg in der Querachse ist durch die Anker- plus Wendepol- plus Kompensationswicklung erregt

Betriebsverhalten Das Betriebsverhalten der Gleichstrommaschinen ist durch drei Gleichungen charakterisiert Beim Motor ist Ia positiv beim Generator ist Ia negativ

Bia

aaaa UUdt

dILRIU

Fuumlr den stationaumlren Betrieb ist der Differentialquotient gleich Null Die Buumlrstenspannung UB ist rd 2 V

Das Betriebsverhalten der Gleichstrommaschine wird durch drei Gleichungen beschrieben

Baaia URIUU nkUi 1 ai IkM 2

Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1

Gleichstrommaschinen werden je nach Anwendungsfall als Nebenschluss- Reihenschluss- oder Dop-pelschlussmaschinen eingesetzt Nebenschlussmaschinen koumlnnen selbst- oder fremderregt sein

Anschlussschaltplaumlne fuumlr Gleichstrommaschinen

- 52 -


Motoren

Generatoren

Man beachte Beim Generator ist die Ankerstromrichtung umgekehrt gegenuumlber dem Motorbetrieb

Fremderregter Motor L+

2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+

1L- Man beachte Durch den Neben-schlusskontakt am Anlasswiderstand ist sichergestellt dass der Nebenschlusskreis vorrangig eingeschaltet ist (VDE 530)

L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1

Fremderregter Generator

1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1

Nebenschlusswicklung

1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1

Doppelschlusswicklung

1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

Reihenschlusswicklung

- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI

77 Kurzschlussstromberechnung

tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R

LT ist die Zeitkonstante des Systems

Homogene Gleichung 0dt

diTi h

h mit dem Loumlsungsansatz T

t

h eki

Partikulaumlre Loumlsung durch Ansatz in Form des Stoumlrgliedes

tBtAi p cossin

tBtAdt

dip sincos mit L multipliziert und eingesetzt in die

Ausgangsdifferenzialgleichung 1 Ordnung ergibt mit R

X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi

Der Koeffizientenvergleich ergibt zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden unbekannten Groumlszligen A

und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA

Diese ergeben sich aus den Matrizengleichungen

221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA

sinˆcossinsincosˆcossin

îi

Z

X

Z

R

Z

uA entsprechend folgt

fuumlr B

cosˆsinsincoscosˆsincos

îi

Z

X

Z

R

Z

uB

Gesamte Loumlsung tititi ph mit der Anfangsbedingung 00 ti folgt

Aus 1cos0sinˆ0 ik

folgt cosik folgt die

Gesamte

Loumlsung

Fuumlr φ = 90deg ist φi = -90deg

R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R

Kurzschlussstrom i(t)

-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV

i(t) i(t) oG i(t) uG u(t)kA

coscosˆ T

t

etiti

- 54 -


78 Kraftwirkungen durch Kurzschlussstroumlme in Anlagen Die magnetischen Kraumlfte durch Kurzschlussstrom-belastete Leitungen sind fuumlr die statische Dimensionierung von Hochspannungs- schaltanlagen von groszliger Bedeutung Fuumlr die Kraftwirkung gilt die Vektorgleichung

Die magnetische Induktion am Ort des vom Strom I durchflossenen Leiters setzt sich aus dem jeweiligen Anteil der magnetischen Feldstaumlrke der beiden anderen Leiter zusammen Sie ergibt sich aus der elektrischen Feldstaumlrke H(r) wobei r der radiale Abstand vom Betrachtungsort zum Leiter ist

Mit tItiti sin2sinˆ111 120sin222 tIti 240sin233 tIti

gilt fuumlr die Kraumlfte auf die Sammelschienenstuumltzer

la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011

Fuumlr die Stroumlme eines Dreileiter- Drehstromnetzes gilt 0321 III und falls es sich um symmetrische

Verhaumlltnisse handelt ist I1 = I2 = I3 = I dh die Effektivwerte der Kurzschlussstroumlme sind gleich groszlig

lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1

Fuumlr die laumlngenbezogenen Kraumlfte der drei Leiter jeweils durch die Magnetfelder der beiden anderen gilt

2

240sin120sinsin 021 t

ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022

(hier sind beide Abstaumlnde gleich a)

120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF

Fuumlr I = 1000 A ist 2ˆ Ii = 1414 A

Daten I=1000 A a=01m Mit Am

Vs6

0 10251 und a = 01 m

Fmax = plusmn 345 Nm Folgt fuumlr m

N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel

Stroumlme und Kraumlfte im Drehstromsystem

I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -


Weg x und Geschwindigkeit v

0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50

100cms Spannung uc und Strom i

0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F

79 Dualitaumlt Mechanik - Elektrik

EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C

Daten m = 1 kg D = 100 Nm μ = 1N(ms) EuuRCuLC CCC

Anfangsbedingungen x(t=0) = 0 uc(t=0) = 0 v0 = dxdt(t=0) = 0 i(t=0) = 0

gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1

Relationsbeziehungen

R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D

LC ( 0 ist die Kennkreisfrequenz) F

s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V

Loumlsung der charakteristischen Gleichung 999501002

1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021

dh es liegt Fall 3 vor da 0W ist

Fuumlr die partikulaumlre Loumlsung gilt cm 10m10m09810kg100

mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p

VEupC 100 mit Spannungsmaszligstab mu=10 Vcm

Loumlsung fuumlr Fall 3) x(t) = (A cos ωdt +B sin ωdt)middote-δmiddott

+ xp ( d ist die Eigenkreisfrequenz)

Anfangsbedingung Wegen x(t=0) = 0 muss A = -xp sein Dh A = -10 cm

0sincoscossin tBtAeetBtAdt

dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd

Zeitlicher Verlauf des Weges x(t) Zeitlicher Verlauf der Spannung uC(t)

m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu

Geschwindigkeit v(t) Strom i(t)

t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0

Direktions- konstante D = 100Nm (Federkonstante)

Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel

Quelle ABB technik 210

Wettbewerbsproblem zwischen Fluumlssig-

brennstoff und E-Fahrzeug Der Brennstoff bdquoDiesel oder Benzin ist in einem Blechtank der fast nichts kostet laumlnger haumllt als das Fahrzeug und ganz ohne Abnutzung in Abhaumlngigkeit von der Anzahl der bdquoAufladungenldquo ist Eine Aufladung (tanken) dauert zwei Minuten eine Aufladung der Batterie 3 - 5 Stunden mit begrenzter Lebensdauer

Da die Effizienz des E - Antriebs um den Faktor 3 guumlnstiger ist (allerdings ohne Heizung) sind die obigen Werte entsprechend zu relativieren

710 Entwicklung der Batterietechnik Der bestimmende Nachteilsfaktor des Elektroantriebs nicht schienengebundener Fahrzeuge ist nach wie vor das Energiespeicherproblem Die Entwicklung wieder aufladbarer Systeme auf elektrochemischer Basis hat bereits gewaltige Fortschritte gemacht Von der Blei-Saumlure Batterie bis zur Lithium-Ionen Batte-rie war eine Verbesserung des spezifischen Speichervermoumlgens elektrischer Energie etwa um den Fak-tor zehn realisiert in Relation zu dem Konkurrenten BenzinDiesel waumlre aber nochmals ein Steigerungs-faktor von 10 gefordert Das ist jedoch auf dieser eV - Technologie wohl nicht zu erwarten

Wenn uumlberhaupt waumlre der Einstieg in die MeV-Technolgie der Kerntechnik jedoch ohne Tabuisierung der Radioaktivitaumlt moumlglicherweise ein erfolgversprechender Weg bei dem die Energiebasis bereits phy-

sikalisch mit 2cmE um den Faktor 10

6 houmlher liegt (von der eV zur MeV - Technologie)

Bei den amerikanischen Mondlandemissionen hatte man zur Strom- und Waumlrmeerzeugung eine Plutoni-um - Batterie an Bord

Kernenergie laumlsst sich uumlber drei Wege

in Form von Waumlrme nutzen

a) beim radioaktiven Zerfall zB

238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV

b) uumlber den Aufbau schwerer Kerne aus leichten Kernen (Kernfusion) z B

2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV

c) uumlber die Spaltung schwerer Kerne (Kernspaltung)

z B 235

U + 1n rarr 2 Spaltprodukte + 2-3 Neutronen + 200 MeV entsprechend 228 Mio kWhkg

Das wichtigste Nuklid fuumlr Isotopenbatterien ist 238

Pu da es mit einer Halbwertszeit von 8774 Jahren beim Zerfall nur gut abschirmbare α-Strahlen mit 55 MeV emittiert und die Zahl der Spontanspaltneutro-nen wegen der langen Spontanspalthalbwertszeit von

238Pu niedrig ist

Saumlmtliche im Rahmen des Apollo-Mondlandungsprogramms benutzten Isotopenbatterien enthielten 238

PuO2 als Energiequelle (SNAP-27 mit ca 4 kg 238

PuO2 lieferte bei 1480 Wth eine elektrische Leistung von ca 60 W) Fuumlr die Erforschung der aumluszligeren Planeten unseres Sonnensystems sind Pu-Isotopen-Batterien die bis-her einzige zuverlaumlssige Energiequelle Fuumlr die thermische Leistung obiger Plutonium-Quelle gilt

WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23

100 Watt Pu-238 Quelle wie sie in einer Raumfahrtmission 1970 verwendet worden ist Die Quelle ist 250 g schwer und ungefaumlhr 3 cm im Durch-messer Quelle Los Alamos National Laboratory USA

- 2 -


Rutherfords Streuexperiment

1 Von der Ladung zu Strom und Spannung 11 Im Herzen der Materie Lecture room in the Ernest Rutherford museum Arts Centre Christchurch Canterbury Neuseeland

Im Jahr 1911 schossen Rutherfords Team Hans Geiger und Ernest Marsden in einem bahnbrechenden Experiment Alphateilchen auf eine duumlnne Goldfolie und beobachteten zu ihrer Verbluumlffung dass einige Alphateilchen unter sehr groszligen Streuwinkeln gestreut wurden waumlhrend die meisten praktisch ohne Ab-lenkung durch die Goldfolie flogen Ein solches Streuexperiment ist im Rutherford Museum im Arts Cent-re in Christchurch Neuseeland zu beobachten Ernest Rutherford erklaumlrte diese Beobachtung mit der Annahme dass Atome aus einem kleinen positiv geladenen Kern bestehen um den Elektronen kreisen Im Atomkern wirken sehr starke Kernkraumlfte der Nuklide anziehend die elektrischen Kraumlfte jedoch absto-szligend wobei bei engem Kontakt der Nuklide die Kernkraumlfte uumlberwiegen (wie bei klebrigen Bonbons)

Um die physikalischen Eigenschaften der Elektrizitaumlt zu verstehen ist eine kurze Betrachtung des ato-maren Aufbaus der Materie anhand des Periodensystems der Elemente erforderlich Literaturempfehlung OtterHonecker Atome-Molekuumlle-Kerne Bd1 Atomphysik Bd 2 Molekuumll- und Kernphysik Teubner Ver-lag 1998

Masse und Ladung der Protonen mP = 167265middot10-27

kg QP =1602 middot10-19

C Elementarteilchen (Nuklide) Neutronen mN = 167495middot10

-27 kg QP = 0 C

enp 0

1

1

0

1

1 Elektronen mE = 91091middot10-31

kg QP = -1602 middot10-19

C

Atome eines Elements koumlnnen bei gleicher Protonenzahl eine unterschiedliche Neutronenzahl aufweisen Solche Atome mit gleicher Kernladungszahl (Ordnungszahl) aber mit unterschiedlicher Massenzahl bezeichnet man als Isotope

Radioaktiv Alpha-Teilchen (Helium-Kerne T12 = 1602 a)

- 3 -


N

Cu- Atom




64 Silber Ag47

108 und Gold Au79

197 Daher wird das


Ein Kupferatom Cu29



Ein Silberatom Ag47







322323

0 110438

54663

981100226cm

molg

cmgmol

A

Nn

Cu

CuCuE







2

1

21

21d UsE

Q

W

P



RIU


t

QI

d

d


22 cm


-19 As


Elektronen)




s

cmI

cmAscm

I

Aen

IvD

004940

105110602110438 2219322 fuumlr I in A

QP +Q -Q

F

E

+Q

-Q -e

R

I

U

- 4 -



h

m771

s

cm0494010

sA

cm004940

AvD













A = 15 mm

2 A = 16 mm

2


2






G1

in S (Siemens)



Silber 2

562mm

mS

K

11083 3

20

2

6

20K


Kupfer 2

056mm

mS

K

110923 3

20

2

6

20K


Aluminium 2

035mm

mS

K

110773 3

20

2

6

20K


Konstantan 2

2mm

mS

K

1100030 3

20



2mm

m

mΩoder m

mm2

A

l

A

lR

1S1

20

20

0

2020 C20C201 RR

22 mm

A31

mm16

A50S

22 mm

A710

mm51

A16

A

IS

mol

AsNeF 965000

Wz

AtI

Fm

1

A

IS

- 5 -




dr

A

dldRE

E

E

r

r

Err

drR

1

22 2

E

Er

R

2







dr



m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m



Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US Schrittspannung

IE = 100 A m100

rE = 1m


Elektronens


- 6 -



2 an


R















I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 3 -


N

Cu- Atom




64 Silber Ag47

108 und Gold Au79

197 Daher wird das


Ein Kupferatom Cu29



Ein Silberatom Ag47







322323

0 110438

54663

981100226cm

molg

cmgmol

A

Nn

Cu

CuCuE







2

1

21

21d UsE

Q

W

P



RIU


t

QI

d

d


22 cm


-19 As


Elektronen)




s

cmI

cmAscm

I

Aen

IvD

004940

105110602110438 2219322 fuumlr I in A

QP +Q -Q

F

E

+Q

-Q -e

R

I

U

- 4 -



h

m771

s

cm0494010

sA

cm004940

AvD













A = 15 mm

2 A = 16 mm

2


2






G1

in S (Siemens)



Silber 2

562mm

mS

K

11083 3

20

2

6

20K


Kupfer 2

056mm

mS

K

110923 3

20

2

6

20K


Aluminium 2

035mm

mS

K

110773 3

20

2

6

20K


Konstantan 2

2mm

mS

K

1100030 3

20



2mm

m

mΩoder m

mm2

A

l

A

lR

1S1

20

20

0

2020 C20C201 RR

22 mm

A31

mm16

A50S

22 mm

A710

mm51

A16

A

IS

mol

AsNeF 965000

Wz

AtI

Fm

1

A

IS

- 5 -




dr

A

dldRE

E

E

r

r

Err

drR

1

22 2

E

Er

R

2







dr



m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m



Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US Schrittspannung

IE = 100 A m100

rE = 1m


Elektronens


- 6 -



2 an


R















I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

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RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 4 -



h

m771

s

cm0494010

sA

cm004940

AvD













A = 15 mm

2 A = 16 mm

2


2






G1

in S (Siemens)



Silber 2

562mm

mS

K

11083 3

20

2

6

20K


Kupfer 2

056mm

mS

K

110923 3

20

2

6

20K


Aluminium 2

035mm

mS

K

110773 3

20

2

6

20K


Konstantan 2

2mm

mS

K

1100030 3

20



2mm

m

mΩoder m

mm2

A

l

A

lR

1S1

20

20

0

2020 C20C201 RR

22 mm

A31

mm16

A50S

22 mm

A710

mm51

A16

A

IS

mol

AsNeF 965000

Wz

AtI

Fm

1

A

IS

- 5 -




dr

A

dldRE

E

E

r

r

Err

drR

1

22 2

E

Er

R

2







dr



m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m



Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US Schrittspannung

IE = 100 A m100

rE = 1m


Elektronens


- 6 -



2 an


R















I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 5 -




dr

A

dldRE

E

E

r

r

Err

drR

1

22 2

E

Er

R

2







dr



m100

Erdschluss- strom

IE

Erdungswiderstand

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20

Entfernung in m

Wid

ers

tan

d in

Oh

m



Spannungstrichter

der Erderspannung

0

400

800

1200

1600

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Entfernung in m

Erd

ers

pan

nu

ng

in

V

rE

US

US Schrittspannung

IE = 100 A m100

rE = 1m


Elektronens


- 6 -



2 an


R















I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

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RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 6 -



2 an


R















I

U0 G = U

R

I

I2

U0 G = U R

I1 1

2

01

n

k

kI

01

n

k

kU

IUP

TPW ttPW

t

t

d2

1

AJL pWPpK max

kWhctkWhcth

kWp

T

p

W

Kp A

m

L

J

21667666

euro100

H x ES

RIU

maxP

WTm

- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


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diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







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diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 7 -


0

0

0

0

111

3

2

1

32

21 E

I

I

I

RR

RR

0

12

0

320

021

111

3

2

1

I

I

I

8

12

0

3

1100

130

111

3

2

1

I

I

I

0

12

0

320

130

111

3

2

1

I

I

I
















R1

R3 R2

I1 I3

I2 E M1

M2

Ri

Rv

I

U0 Uv = Gi Rv

I

Uv = Ik v

v

vi R

U

RR

UI

0

vi URIU 0

v

v

i

kv RI

RG

IU

1

i

iR

G1

IGUI ivk

502

12

0

0

00

2

U

RR

U

U

RI

IU

RI

P

Pv

ivv

auf

ab

2 Zeile- 1 Zeile

3 Zeile+ 23 2Zeile

8

3

113 I A1828

11

33 I

- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

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RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

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Fall 2 pCUB 0 DCUC

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C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

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Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

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22

2

1

1

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1 22

E

LCRC

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Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

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mm

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Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

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c

21

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ememEtu

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c

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c 1989799

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999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 8 -


03

1

322

221 E

I

I

RRR

RRR

0

12

52

23

3

1

I

I

8

12

3

110

23

3

1

I

I

ERIRI

RIRIRI

RIRIRI

III

III

III

5544

553322

442211

053

321

041

0

0

0

0

0


32

312

RR

RII

32

213

RR

RII



M1) ERIRRI 23211

M2) 021323 RIRRI








100

0

0

905040

5010020

402070

3

2

1

M

M

M

I

I

I

0

3

1

3

2

1

A

693

402

792

I

I

I

I

I

I

M

M

M

AAIII 390402792312 AAIII 900792693104

AAIII 291693402035



Knotengleichung KP1

Knotengleichung KP2

Knotengleichung KP3

Maschengleichung M1

Maschengleichung M2

Maschengleichung M3

32

321

1

RR

RRR

EI

M1 M2

R1

R3 R2

I1 I3

I2 E

K1

K2

M2

M3

M1

R1 R3

R2

I0

E

R4 R5

I3

I1

I2

I5 I4

- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 9 -



EI

I

I

I

I

I

RR

RRR

RRR

M

M

M

KP

KP

KP

0

0

0

0

0

0000

000

000

111000

000111

101001

3

2

1

3

2

1

0

5

4

3

2

1

54

532

421

A

I

I

I

I

I

I

693

291

900

402

390

792

100

0

0

0

0

0

05040000

050030200

004002010

110100

000111

101001

0

5

4

3

2

1









676

30

200

2010

2010

21

21

RR

RRRi


A3330A30

10

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

1667VV103330201110 RIUU q

A45030667

V6716

3

03

RR

UI

i


012211 qq UURRI

A01A30

30

Ω2010

V1020

21

21

1

RR

UUI

qq

V10V1001201110 RIUU q

A27030667

V10

3

03

RR

UI

i


R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knoten- punkt 1

Ri R1

U3 Uq1 = Uq2 =

I3

R2


R3 Ri

Ri

U0 U0

=

R1

U0

Uq1 = Uq2 =

R2

I1 Knotenpunkt 1

Ri

- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

xa

UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 10 -





3

1

120

40

30

10

4

3

2

1 R

R

R

R








1204

21

2

SchieberR

R

ll

lx

30

1114

3

4

32

x

xR

x

xR

Rx

xRR

R

R

R

RRR NN

Schieber

Schieber

Nx

x 0 025 05 075 1

Rx in Ω 0 10 30 90


R1 = 10 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω R4 = 120 Ω R5 = 20 Ω U0 =120 V

x=0 x=1

Parametrierung Rx

10 Ω 30 Ω 90 Ω 0 Ω Ω


R1

R3

R2

I0

R4

R5

I3

I1

I4

I5

U0

=

I2

- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

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RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 11 -


Spannungsteiler

0

25

50

75

100

0 05 1x

U2 in

v

on

U1

Leerlauf a gt 100

a = 1

a = 01


R

UI 1 mit 21 RRR

xUR

RU

RR

RURIUU

1

21

21

212202


L

L

RR

RRR

UI

2

21


xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxxR

UI

)1()1(

11


)1(20

2

xxa

a

U

U


0)]1([

])1[(2

20

2

xxa

axx

U

U

da

d

02120

2 xU

U

da

d

a

a

a

a

U

Ux

41

4

41][21 max

20

2


12xxa

xaUU


2R dauernd wirksam




ideale Stromquelle

R

R1

R2

IL

I

RL

U1

U2 x=0

x=1

xa

xax

xa

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UxaR

Rxa

xa

RxaxR

U

RaRx

RaRxI

RR

RRIU

L

L

)1()()1(1

2

1

2

22

)1()()1()()1(1

11112

xxa

xaU

xaxxa

xaU

xa

xaxUU

- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

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LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 12 -


Uq =









00

2

111U

RI

IU

RI

P

P

P

PP

P

P ii

zu

v

zu

vzu

zu

ab

mit

ai RR

UI

0 folgt 501

ai

i

RR

R

Uq

I

U

Iq Uq Iq

I

U

Iq

U0 = Ri

U

I

Gi U Ik

I

Ri

Rv

I

U0 Uv =

Gi Rv

I

Uv = Ik

Ik

U0

U

I 0 0


Energie- technik




0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12Strom I in A

Sp

an

nu

ng

U in

V

0

10

20

30

40

Le

istu

ng

Pv

in

W

Leistung Pv

Uv = f ( I )

Rv = Ri = 1 Ohm

maximale Leistung

Rv = 10 Ri = 10 Ohm

Rv = 100 Ri = 100 Ohm

Kurzschluss

- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 13 -




ADQ AB


2

ED HB


l

UE

ll

wIH



UGI


RIU lHVm


GA

lR

1

1

A

lR m

m


d

AC

ml

AwwL

22


2

2

1UCW

2

2

1ILW


AA

AdDdt

dAdJsdH

dsH lHwI

A

AdJsdH

fuumlr Gleichstrom




IrHa




0

2

0

`r

rI

A

AII

r

r


fuumlr r lt r0


x

Mit HB


x 0


m

A

mm

A

mm

A

r

IH 3183180

502

100

2

2

0

2

0

2

22 r

rI

r

r

rI

rH i

02 r

rIrH i

- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 14 -



m

N

m

Ws

m

A

Am

VsA

l

F040040318104100

2

7





dt

dwui

A

AdBdt

dsdE



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 F2 F1 L2



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50Entfernung in mm

H in

Am

m

X X

I = 100 A

Kraftwirkung

F = 004 Nm

L1 L2

F2

F1

- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 15 -


r 0

s

mc 8

00

1099821



AdB



dt

dvhB

dt

dxhBui





s

m

smnrvU 7115

60

15001022


mm

m

Vsu 36271151501

2


(1500-1450) min-1

= 50 min-1

s

m

smnrvU 520

60

501022


mm

m

Vsu 07805201501

2


BlIF


x


BlIF BvQF




m

A

m

A

r

IH 2159

102

100

2

2

47

0 1022159104m

Vs

m

A

Am

VsHB


Nm

m

Ws

m

VsmAF 0200200201021100

2

4






Fm (1Fm = 1 sΩm)




F

l

B

N

S

v ui

B h


N

S

X F

B

- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 16 -


73760

0

WZ

2

2

1EAF

Vm

As121085428






-26 kWh (1 Ws = 1 J)






1


BdW 02

1

A

BF

0

2

2

1





dDElAdW `0

dDEVWD

22

1``

22

00

DEdEEdDE

V

Ww

ED

el


dsAEdWel 2

2




dBHVWH



BxvQF

EQF

kpNm

Ws

Vsm

mAmsVA

BF 50710974410

8

500250

1042

1050050

2

1 33

74

24222

0

2

- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 17 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0




2

2

1iLW

Fuumlr 0t gilt dt

diLRiU 10

dt

di

R

Li

R

U

11

0 dt

diTi

R

U1

1

0 mit 1

1R

LT


diTi h

h 1T

t

h eki


Adt

diTi

R

U p

p 1

1

0 1

0

R

UA


01

R

Uekti T

t



000R

Uek

1

0

R

Uk


11

1

0 T

t

eR

Uti


T

t

T

t

eIeIti 10




Somit gilt 1

1

TR

LT 00 I

1

0

R

UI

11

1

0 T

t

eR

Uti


ms

t

T

t

eAeR

Uti 10

1

0 1211 1

ms

t

T

t

L eVeUtu 100 121


2

2

1iLWL

- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



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20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

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02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 18 -


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

R2


Fuumlr 0t gilt dt

diLRRiU 210

dt

di

RR

Li

RR

U

2121

0

dt

diTi

RR

U2

21

0

mit 1

1R




diTi h

h 2T

t

h eki


Adt

diTi

RR

U p

p

2

21

0 21

0

RR

UA


02

RR

Uekti T

t

Anfangsbedingung 1

000R



00

1

0

RR

Uek

R

U

21

0

1

0

RR

U

R

Uk


22 1

21

0

1

0 T

t

T

t

eRR

Ue

R

Uti


T

t

T

t



R

LT 10

10011001

1

1

2

1222

1001

1

0

1

0

1

0

1

0

1001

199901

1001

T

t

T

t

T

t

T

t

eR

Ue

R

Ue

R

Ue

R

Uti


VARIUS 000121010002120


R1

L

i(t)

U0 = uL(t)

t=0

- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 19 -


R

C

i(t)

U0 = uC(t)

t=0


00

04

08

12

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Str

om

i in

A

0

4

8

12

uc

V

Strom i Spannung uc


0

5

10

15

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Le

istu

ng

en

in

W



Fuumlr 0t gilt diC

RiUt

0

0

1

iC

Rdt

di

10 i

dt

diCR 0

mit CRT folgt 0 idt

diT


t

eki





1

0

R

Uk die Loumlsung T

t

eR

Uti

0


00

0

0

0

111t

t

t

T

t

C TeR

U

Cde

R

U

Cdi

Ctu

T

t

C eUtu 10


T

t

T

t

R eR

URe

R

URitp

22

0

22

02


2

0

2

0

0

2

0

2

0

22

0

02

101

2

1

2UCCUe

T

R

Ude

R

UdpW TT

RR



CR

C

WW

W

wobei

2

02



tp

tp

tptp

tpt

ges

C

CR

CD

T

t

T

t

CC eeR

Ututitp

1)(

2

0

T

t

ges eR

UtiUtp

2

00


T

t

ges

CD e

tp

tpt 1



2

2

1uCWC

- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 20 -



0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

Wir

ku

ng

sg

rad

in




UaIti k 0


tC

IdI

Ctu k

t

kC

0

1 t

CR

UatuC

0

mit CRT folgt tT

UatuC 0



0 tT

UaU T

a

Tt 0


0

000

00

1

1

tW

tWtWtW

tWt

C

RRC

C

0

2

0

2

0

0

00

tRIdRidptW k

tt

RR

2

0

22

0

2

000

02

1

2

000

tIC

t

C

IdI

C

IdiudptW k

kk

t

k

t

C

t

CC

000

00 2

1

1

21

1

1

1

t

T

t

CR

tW

tWt

C

R

mit CRT

Fuumlr Tt 0 folgt

t

Tt 3333330

3

1

21

1

21

1

0

0

Fuumlr Tt 40folgt

t

Tt 7666670

51

1

501

1

21

1

0

0





von 0tt bis dttt 0

000

2

0

0

0

000

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

CR

C

tI

RI

Itu

RI

tp

tp

tW

tWtWtW

tWt

k

k

kC

k

C

R

CD

RDRDCD

CD

D

0

0

1

1

t

TtD


t

T

t

CRtD 8080

251

1

4

11

1

1

1

1

1

00

0



R

C

i(t)=Ik

uC(t) t=0 Ik

uR(t)

- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 21 -







Eudt

diLRi C dti

CuC

1 i

dt

duC C

dt

di

dt

udC C

2

2

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udEu

dt

udCL

dt

duCR C

CCC

CC 1

2

2

2

2

mit djWLCL

R

L

Rm

1

22

2

21 1500

102

100

2

s

sL

R

djs

jss

ssLCL

RW

1500

1000500500

10210

1

102

1001

2

2

5

22













+ E


0sincoscossin0 0

tBtAeetBtAdt

duCi dd

tt

ddddt

C fuumlr t = 0

VVABABABd

dd 200500

5002000

Ves

t

s

tVEetBtAtu s

t

t




s

t

t

ddddC e

s

tAetABtABC

dt

duCti

500

500sin2sincos)(

t in ms 0 1 2 5 10

05 middot t 0 05 1 25 5 te 50 1 0607 0368 0082 0007

)50cos( t 1 0878 0540 -0801 0284

)50sin( t 0 0479 0841 -0598 -0959

-200middot[hellip] 1 -271 -276 4053 135

uC(t) in V -100 -647 -170 1033 1009

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t)


-10

-05

00

05

10

15

20

0 2 4 6 8 10Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 22 -


tEdtiCdt

diLRi cos

1

C

R L=L

i(t)

E cosωt ~ uc(t)

t=0


-4 F



dt

duCi c t

LC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udtEu

dt

udLC

dt

duRC c

ccc

cc cos1

cos2

2

2

2

mit WLCL

R

L

Rm

1

22

2

21

LCL

RW

1

2

2

fuumlr Wlt0

2

2

1

L

R

LCd


01

2

2

ccc u

LCdt

du

L

R

dt

ud










tLC

Eu

LCdt

du

L

R

dt

udpc

pcpccos

1

2

2


tLC

EtDtC

LCtDtC

L

RtDtC ppp cossincos

1cossinsincos 22

tLC

EtC

L

RD

LC

CtD

L

RC

LC

Dp

p

p coscossin 22


E

LCRC

LCCp

22

2

1

1

E

LCRC

RCD

221


tE

LCRC

RCtE

LCRC

LCu pc

sin

1cos

1

12222

2







- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 23 -



-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

-100

-50

0

50

100

150

200

V


000

002

004

006

008

010

0 100 200 300 400 500Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V


00

05

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50Zeit in ms

A

0

25

50

75

100

125

V

Fall 1

21

200

mm

DmCUC

I

Ap

ACUB p 0

Fall 2 pCUB 0 DCUC

IDB

C

IA p 0

00

Fall 3 pCUA 0 dd

DC

IB

0


Fall 1 21

2

mm

DmCA

p

ACB p

Fall 2 pCB DCDBA p

Fall 3 pCA d

DB


EELCRC

LCCp

22

2

1

1

0

1 22

E

LCRC

RCD


Fall 1 21

2

mm

mEA

21

1

21

2

mm

mE

mm

mEEAEB

Fall 2 EB EA

Fall 3 EA 0B


Fall 1 Eememmm

Etu tmtm

c

21

12

21

)(

21

1221

1)(mm

ememEtu

tmtm

c

s

eesVtu

ts

ts

c 1989799

01101

999899

1100)(

1999899

10110

Fall 2

tt

c etEEeEtEtu 11)(

ts

c ets

Vtu

123316

11

233161100)(

Fall 3

t

d

t


ts

c ets

Vtu1

50125312cos1100)(


duCti C)(

- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 24 -



(DIN IEC 60050-351) UK 9211 Stand 10 2011





0d

d2

d

d 2

002

2

xt

x

t

x





0d 1



12

0021 m 2

0 1 d falls 1 12

02121 m falls 1








0






dt

t

x


0d

d2

d 2

002

2

xt

x

dt

x




NOTE When lt 1 2


with 12

0021 m 2

0 1 d when 1 12

021 when 1



Cases 1) gt1 2) =1 3) lt1




0






dt

t

x


-50

-25

0

25

50

75

100

0 5 10 15 20 25 30Zeit in s

x(t)

Fall 1 05 1

0 1 s

Fall 2 01 1

0 1 s

Fall 3 20 1

0 1 s

Anfangsbedingungen

100)0( tx 0)0(

tx

- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 25 -













- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 26 -






+ -


E

- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 27 -


N

S

Ф ui

ω α = ωt Ф




duT

UT

0

1


tuu sinˆ

TT

duT

duT

U00

sinˆ11

0112

ˆcos

2

ˆsin

1ˆ 2

0

2

0

ut

ud

T

uU


uuu

cosu

dsinuT

duT

U

T

66632

1122

0

0

2

0


2

0

22

0

2 sinˆ

)(1

dT

udu

TU

T


dxxdu cos xv cos



2

1sin2 xxxdxx

2

ˆcossin

2

1

2

1ˆsin

ˆ)(

1 2

0

2

0

22

0

2 uud

T

udu

TU

T




dt

dwu i






2ˆ


uuuU 77070702

1

- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 28 -


Re

j U

I φ ωt

U

I





tjtUeUU tj sincos

tjtIeII tj sincos






Last

sHzf

11

uuu

tdtu

dttuT

UT

ˆ70702

ˆ

2

ˆsin

2

ˆ1 22

0

22

0

2

Re

j u(t)

iL(t)

iC(t)

ωt

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u




ωt = 0 π2 π 32 π 2π 52 π

Effektivwert=1 2


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 29 -


Z

I

U ~

U

I

Re

j

φ

δ ε

ωt

R

ui

t

duL

i0

1

dt

duCi


R

UI II

90j

LL

eX

U

jX

UI II

90j

CC

eX

U

jX

UI II

LfLXL 2 CfC

XC

2

11

A

lR

ml

AwL

2

d

AC


PS 0Q jQS 0P jQS 0P



jeUU

jeII




(kapazitive Last)


(ohmsche Last)

jtjjtjtjtj eeeeUeeu

tutu2

1

2cos

tjtj eUeUtu

2

1

jtjjtjtjtj eeeeUeei

titi2

1

2cos




2

1


2

1

2

1

Re

j

U U

I I

U I U I

P

Q




tjtj eIeIti

2

1

C U

I

R U

I

L U

I Re

j

U

ωt I

φ

Re

j

U ωt

I I φ

Re

j

U

ωt

titR

ui sinˆsin

ˆ tit

L

ui

cosˆcos


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 30 -


Blindleistung



PT

02

11




IUoderIUjQPS













0 normiert



Anmerkung tt 2cos12

1cos2





sin2sin

2


tiutiutp 2cos12

1ˆˆcos1ˆˆ 2

tiutp 2sin

2

1ˆˆ



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 050 pu Q = 0 pu

P = 0 pu Q = 050 pu

- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 31 -



dem 21 1 2009

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000


Leis

tun

g i

n M

W

Windleistung

Pumparbeit

Sonstige

Pumpspeicherwasser

Speicherwasser

Oumllkraftwerke

sonstige Waumlrme

Erdgas

Steinkohle

Braunkohle

Kernenergie

Laufwasser

Braunkohle

Steinkohle

Erdgas

Kernenergie

PumparbeitPSW

Laufwasser

Wind

Erdoumll













-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt



-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


P = 0433 pu Q = 025 pu

P = 025 pu Q = 0433 pu

- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 32 -


2

1

1

1

1

11

f

f

f

f

f

fj

f

fj

u

u

e

a

1

1

11

j

j

uRCj

RCjuu eea


Tiefpass

Hochpass




ω1 = 2πf1 =1RC


2

2

2

1

1

11

1

1

1

145

1

j

eeeaea

eu

ju

juuist

RCfuumlr

RCj

CjR

Cj

uu

4545 7102

1 j

e

j

ea eueuu


11

1

1

1

1

f

fjj

u

u

e

a

2

11

1

1

1

1

f

ff

fj

u

u

e

a 1

arctanf

f


Hz9215

1010102

1

2

1

631

sCRf



2

2

2

1

1

1

11

45

1

j

eeeaea

eu

ju

j

juuist

RCfuumlr

RCj

RCj

CjR

Ruu


ue ~ ua

R i

C

RC-Tiefpass

00

02

04

06

08

10

0 1 2 3 4ff1

uaue

-75

-60

-45

-30

-15

0

phi in deg

Amplitudengang

Phasengang

ue ~ ua

L i

R

ue ~ ua

R i

L ue ~ ua

C i

R

ue ~ ua

R i

C

- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 33 -


XL

U0

R

XC

I


L


L2

XL

U0

R X

C

I


Z

UI

C

CL

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2 folgt

L

LL

XjR

XjRjXZ

2

2

LXZ


I = 732 A ne f(R)



LC XX 2

Z

UI

L

LC

jXR

jXRjXZ

fuumlr

LC XX 2

1 folgt C

CC

XjR

XjRjXZ

2

2


I = 1464 A ne f(R)


z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRL

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0

induktiv

kapazitiv

induktiv

kapazitiv

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = XL

R = infin

R = 0

U0

I - Ebene

Re

j

I = f(R)

R = 2XL

R = infin

R = 0

U0

induktiv

kapazitiv

z - Ebene

Re

j

Z

ges

ZRC

R = 0

R = infin

R = infin

R = 0 induktiv

kapazitiv

- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 34 -






22 tutu tututu 2121


2

1 sin120deg= 3

2

1

ttututu cos3

2

1120cossin

2

1ˆsinˆ

2121 VVuuu 3252230ˆˆˆ21

ttuttutu cos

2

1sin

2

33ˆcos3

2

1sin

2

3ˆ

21






3

IIph phUU

3

UUph phII

Komplexe Leistung

33 IUIUS phph




U

V

W

L1

L2

L3

Z1

Z2

Z3

N

Mp

U1

U2

U3

I3

I1

I2

U12

U23

U31


-700

-350

0

350

700

0 120 240 360Winkel

Sp

an

nu

ng

in

V

U1 U2 U3 U12 U23 U31

L1

ZY

U

I

Uph

L2

L3

ZY

ZY

L3

ZΔ

U

I

Iph

ZΔ

ZΔ

L1

L2

- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 35 -


L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I1

I3

L1

L3

L2

Z1

Z3

Z2

Mp

Z0

I1

I3

I2

I0

U1

U2

U3

I1

I2 U12

U31 U23

Z12

Z23

Z31

I3

L1

L2

L3

21

21

ZZ

ZII

21

12

ZZ

ZII



Δ - Ү

Z0 rarr

312312

31121

ZZZ

ZZZ

312312

12232

ZZZ

ZZZ

312312

23313

ZZZ

ZZZ



Ү - Δ

3

212112

Z

ZZZZZ

1

323223

Z

ZZZZZ

2

131331

Z

ZZZZZ






Z1

Z2

I1

I2

I

- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

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UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

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LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

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Lm LC

Eg Hkg 11

mL

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2

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1

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D


s

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kg

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1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

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Eu

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010

1100 fuumlr u in V


1

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12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






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tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

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m10sin50cos1050

cetttx s

t

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V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 36 -


L1

L3

L2

Z1=R

Z3=R

Z2=R

I1

I3

I2 U12

U23

U31





1332210321

233203203211

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

311301301322

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

1332210321

122102102133

ZZZZZZZZZZ

ZUZUZZZZZZUI

321

1332210321

2133123210 III

ZZZZZZZZZZ

ZZUZZUZZUI


Z

UIIII 321 00 I



133221

23323211

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

31131322

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI

133221

12212133

)(

ZZZZZZ

ZUZUZZUI



U

R

UIII Ph

3321


L1

L2

L3

Z1

Z3

Z2

I1

I3

I2 U1

U2

U3

L1

L3

L2

Z1=3R

Z3=-jX

Z2=jX

I1

I3

I2 U12

U23

U31 I2 U12 U31

U23

Z12=jX

Z23=R Z31=-jX

I1

I3

L1

L2

L3

X= 3 R

Z1 I1 L1

L3

L2

Z3

Z2

N

Z0

I3

I2

I0

U1

U2

U3

U1

U3 U2 U12

U23

U31 Re

j

I1

I2

I3

1

2 3

- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

1202403

1

240

3

120

212

ˆ

tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

33

2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







UP ~

Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

cossinˆ

1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

cossinˆ22222 Z

X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

i(t)

~

X

u(t) ik(t)

tiekttiekti T

t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 37 -




Scheinleistung S

n

n IUIIIIUIUS1

222

3

2

2

2

1


111 cos IUPP


22 PSQ



n

n IUIIIUD2

222

3

2

2



122

3

2

2

2

1

11

22

3

2

2

2

1

11 coscoscos

i

nn

gIIII

I

IIIIU

IU

S

P


n

i

I

Ig

1

2

1




22

1

2 DQPS 22

1 DQQ




P

S

Q1

D Q

S1


-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt








-100

-075

-050

-025

000

025

050

075

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ArgumentFu

nk

tio

ns

we

rt


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

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3 teet tjtj


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1202403

1

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33

2

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tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



ωmiddott ωmiddott

Φ2

Re

j

-10

-05

00

05

10


Sp

an

nu

ng

un

d S

tro

m p

u


X X X

UUUY Y Y

VVV

Z Z Z

Φ

Φ

Φ

WWW

teet tjtj cosˆ2

ˆ1

- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

VhX 03670

3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

j34-eA341A3

A)741932()510860(

95sincos

31 jjj

II n

n

A)810932()940()741932(`

2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

jXs

Rj

jI

UZ

`

2

`

2

`

2 )063583126()810932(

400

A

V


j8302-

21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

jXRjXUI

k

`h

k

j90-e A1235A35120635

400940 j

jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

Iμ s

R `

2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

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1

1







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Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

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uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

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d


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n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

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90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

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n

vnnvn

1124 UVUR




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P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





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U1 ~ RFe

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X1σ

R1k

Xh

I1

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I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

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U1 ~

Xk

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- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



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t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

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und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

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ˆ

R

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1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

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T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

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cossinˆ

cossinˆ

1

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X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


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Z

X

Z

R

Z

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Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

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R

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tiekttiekti T

t

T

t

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φ

U

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φi =-φ

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j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

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1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

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1

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smNL

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2

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D


s

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kg

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1001

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1100

s

mx

sxx

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Eu

suu CCC

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1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

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sm

1999

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Nm100

s

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2

D

gm

D

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tt

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m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 38 -



Form tt cosˆ

120cosˆ2

ˆ120)120(

2 teet tjtj

240cosˆ2

ˆ240)240(

3 teet tjtj


tjjtjjtjtjjj

ges eeeeeeeet

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1

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tjjjtjtj

ges eeeeet

ˆ2

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2

ˆ120240

tj

ges et ˆ2

3


p

fn

60



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j

-10

-05

00

05

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Sp

an

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un

d S

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X X X

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Φ

Φ

Φ

WWW

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- 39 -


Re

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Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

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- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

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v

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2


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dt

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2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

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vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

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Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

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9

3

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mit vv 1 und vv3







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- 47 -


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- 48 -


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Sp

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ng

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1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

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P

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1

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P

2

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4

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1

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2

1

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2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





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U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

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E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

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ˆ

R



diTi h


t

h eki


tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

uBTA


221

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1

cosˆ

sinˆ

1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

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X

Z

Ru

XR

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R

R

T

T

R

uA


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Z

X

Z

R

Z


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Z

X

Z

R

Z

uB


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Loumlsung


R

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~

X

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tiekttiekti T

t

T

t

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φ

U

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φi =-φ

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j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

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-20

-10

0

10

20

30

40

kV


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t

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- 54 -






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tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

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22

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32011



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2

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1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

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120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



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0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

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-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

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a

r

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2

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x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

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R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


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diLRi

1

dt

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gm

m

Gx

m

Dx

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LC

Eu

LCu

L

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1


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D1

Lm LC

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1

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kg

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2

0

1

m

D


s

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kg

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1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

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Eu

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222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

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sj

sm

1999

15021



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Nm100

s

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2

D

gm

D

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tt

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d

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s

t

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t

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t sincos

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s

t

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50

s

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t

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t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 39 -


Re

-j

Pk

Pn Motor

Pinfin

Pn Generator

s=100

s=50

s=25

s=0

s=75

Mk

Mn

Generatorbetrieb

Motorbetrieb

Bremsbetrieb

U

SnMotor = 4

Skipp = 18

s=- 25

SnGenerator = -4

In

Ik

InGenerator

Iinfin I0





I

UX h 1

AA

9403

621

3

0 I

I

5425940

4001

A

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3000

289011

0

n

ns n

n

III 1

`


`

2

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31 jjj

II n

n

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2 jjjI 6548312603670`

2R 0635kX

k

n

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Rj

jI

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`

2

`

2

`

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A

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21

e1224AA15124911

0635654

1

5425

1400

11)j(

jjV

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k

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k

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jj

jX

UII

k




cm

A2Im


cm

kW422V40033

cm

AmUm IP


cm

Nm647

60

30002

kWs42

2 0

n

mm P

M



Aus Daten Nm9928902

603

skWPM

n

nn



Xk

X1h

I1

I2acute

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2

U

`khk

`kh

k

`

h

R

sXXjX

R

sXXj

U

jXs

RjXUsI

2

1

2

1

21

1

111

- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




dP jXRIUU 11




d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







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Xd

R1 I

U1

UP U1

Re

j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

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1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

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k U

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1

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1

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2122

ptanupu

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- 49 -





Maschengleichung

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31 nn

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Verlustleistung MW

MW

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elnnV 753960

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1001


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MW753

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sincos Pd UIX

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instabiler Bereich

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Motor- betrieb

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- 50 -


75 Transformatoren




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w

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- 51 -


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Daraus folgt

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- 52 -


Motoren

Generatoren



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- 53 -


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- 54 -






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0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

E =

t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


EdtiCdt

diLRi

1

dt

duCi C



gm

gm

m

Gx

m

Dx

mx

LC

Eu

LCu

L

Ru CCC

1


R C

D1

Lm LC

Eg Hkg 11

mL

R 11

1

)(1s

kg

smNL

mR

2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

fuumlr x in m Ess

Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

dj

sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






dxdd

tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

05m100 ccABABAB

d

dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

dd

V100sin5cos10050

s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

t

dddd etBAtBAtx

cossin

s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

sin10)(

t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 40 -








Typenschild


1 Motorenwerke

ACME EFF2 7

ASM 100L-2 0123456 8

3 ∆ 400 V 59 A 9

4 3 kW cosφ 086 10

5 2890 Umin 50 Hz 11



s

s

s

sM

M

K

K

K

2



1 Hersteller




angegeben


Abgabeleistung


Nennleistung




8 Seriennummer


und Nennbelastung


und Nennbelastung

11 f Nennfrequenz


Motorbetrieb


bereich

- 41 -


Formel Ein-heit



rads



-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

dt

dsA

dt

dEP


2

21 vv

dt

dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

1vv

vvAP


0)1(2()1()( 23 xxxv

dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

0123 2 xx

9

3

9

1

3

121x

3

11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

Y

W

Z

X

sinX

UUP

d

P

11


p

fnn s




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d

P

d

P

d

P

X

UUj

jX

UU

jXR

UUI 11

1

1







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Xd

R1 I

U1

UP U1

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j

j XdmiddotI

I

δ

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U1

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j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

1UcosUU

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d



n

d

n

kX

U

X

US

22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

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1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

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1

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uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

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4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

diLRitu )(

dt

diTi

R

tu

)( mit

R

X

R

L

R

LT

Dgl 1Ordnung tR

u

dt

diTi cos

ˆ

R



diTi h


t

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tBtAi p cossin

tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

cossin ttR

utTABtTBA

dt

diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

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221

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1

cosˆ

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1

1

1cosˆ

sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

A

cossinˆ

cossinˆ

1

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X

Z

Ru

XR

XRu

R

R

T

T

R

uA


îi

Z

X

Z

R

Z


fuumlr B


îi

Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

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R

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~

X

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tiekttiekti T

t

T

t

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φ

U

I φi

φi =-φ

Re

j

Z

X

R


-50

-25

0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


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t

etiti

- 54 -






la

tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



lt

ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

sin240sin120sin 022


120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

ˆ0

2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

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I1 I2 I3 F1 F2 F3

a

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F2

I2

31 HH

2H

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a

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2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

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E =

t = 0

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R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


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1

dt

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gm

m

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m

Dx

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Eu

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1


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Lm LC

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smNL

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2

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D


s

mNs

kg

DL

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1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

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Eu

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1100

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1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

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sm

1999

15021



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Nm100

s

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2

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gm

D

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tt

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t

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t

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t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

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kWh

mol

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87607487

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23


- 41 -


Formel Ein-heit



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-1




W Verluste 515 W




30 A Blindstrom




- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

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nr

v

v

2


2

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2

12

1vvmE

22

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2

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2

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dsvm

ergibt sich 2

22

121

22

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dx

Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

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3

9

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11 x v2 =13 v1

mit vv 1 und vv3







v1

v2

ds

A

2

3vAcP P

227

16 3vAP

- 47 -


U

V

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P

11


p

fnn s




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d

P

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P

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1

1







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Re

j

j XdmiddotI

I

δ

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U1

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j

j X1middotI

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j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

ddP

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UXQ

UU



00

02

04

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10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


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sinX

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d

P

11

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d



n

d

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13 bezogen mit

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U

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1

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Pp

1

11

kS

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1

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P

2

11

1

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uucos

P

22

11

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1

2

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4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

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1

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- 49 -





Maschengleichung

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kV25

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MW90

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min

min

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nn

Verlustleistung MW

MW

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I

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2

2

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Usin

X

UUP

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Pel

UP ~

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R1 I

U1

Re

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Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





R2k`

U1 ~ RFe

X2σ`

X1σ

R1k

Xh

I1

U2`

I2`

Iμ IFe

U1 ~ RFe Xh

I0

U20 Iμ IFe

U1 ~

Xk

Rk Ik

U2k`=0

- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


tutu cosˆ)( dt

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dt

diTi

R

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R

X

R

L

R

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u

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ˆ

R



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t

h eki


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tBtAdt



X

R

LT

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dt

diTi


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R

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ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

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1

cosˆ

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1

1

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sinˆ

T

T

R

u

T

TR

u

R

u

T

T

R

u

TR

u

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cossinˆ

1

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Z

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R

R

T

T

R

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Z

X

Z

R

Z


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Z

X

Z

R

Z

uB


Aus 1cos0sinˆ0 ik


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Loumlsung


R

i(t)

~

X

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t

T

t

cosˆcoscossinsinˆ

φ

U

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φi =-φ

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j

Z

X

R


-50

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0

25

50

0 20 40 60 80 100Zeit in ms

Ku

rzs

ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


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t

etiti

- 54 -






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tI

a

tItIl

a

i

a

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2

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22

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32011



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tItF

2

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1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

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120sin

2

sin240sin 023 t

t

atI

l

tF



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a

i983

2

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2

F1

I1

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-2

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2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

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in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


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F2

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31 HH

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a

r

IrH

2

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x

- 55 -



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5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

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0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

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t = 0

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R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


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diLRi

1

dt

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gm

m

Gx

m

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L

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1


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1

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kg

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2

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D


s

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kg

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1001

1

22819

1100

s

mx

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Eu

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1100

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1100 fuumlr u in V


1

2

12

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sm

1999

15021



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Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

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t

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t

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tBtAe dd

t sincos

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s

t

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cmsin100)( s

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t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

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3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


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WkW

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238

1100226

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23


- 42 -







0

1n

n

Ω

ΩΩ

ω

ωs

0

0

s

r



im Betriebsbereich


wirkt

- Streuung








ω = 2 π f (bei 50 Hz = 314 rads)






Rotor


Ir A Rotorstrom









- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

1vvmE

22

21

2

1vv

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dt

dEP


2

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ergibt sich 2

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121

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3

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- 47 -


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V

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W

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P

11


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P

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1

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j

j XdmiddotI

I

δ

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j

j X1middotI

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j

j X1middotI

I


- 48 -


22

1

2

11

22

1

2

122

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UXQ

UU



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10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

111

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XQ P

d



n

d

n

kX

U

X

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22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

nU

Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

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1

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P

2

11

1

1uq

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P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

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4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

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S

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1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

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1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







UP ~

Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

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cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

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90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

sin3 1 d

P

X

UU

5324

1

5214253

2

sinkV

Pel

MWPel 0494

sinX

UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




Fe

FeR

UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




dt

dwtu i




dt

dwtu


lauf 2

1

2

1

w

w

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2

1

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1

w

w

U

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1

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2

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w

w

I

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I0

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- 51 -


Ra

Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

Un Baaai ai I

kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

A1

B1

A2

B2

L-

F2 F1

1L+


L +

A1

B1

A2

B2

L -

F2 F1


1 2 3

1L+ 1L-

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


1

2 3

L +

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -

E2

E1


1 2

3

L +

A1

B1

A2

B2

L -

E2

E1


2

3 1 2

3

L +

2

3

A1

B1

A2 B2

D2

D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


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diLRitu )(

dt

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R

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R

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L

R

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u

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R



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t

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R

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und B sinˆ

R

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R

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ˆ

R

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1

1

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T

R

u

T

TR

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R

u

T

T

R

u

TR

u

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cossinˆ

1

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Z

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R

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T

R

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Z

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Z

R

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Z

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Aus 1cos0sinˆ0 ik


Gesamte

Loumlsung


R

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X

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tiekttiekti T

t

T

t

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φ

U

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φi =-φ

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j

Z

X

R


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- 54 -






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a

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a

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a

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22

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32011



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1


2


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tIl

tF

tt

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l

tF

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2

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0 10251 und a = 01 m


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a

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1000

2000

0 120 240 360

Kra

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in

Nm

Str

om

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A

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31 HH

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2

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- 55 -



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15

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0 2 4 6Zeit in s

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0

50

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150

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V

-10

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C

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R = 1 Ω L = 1 H

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m

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15021



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t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

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238

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55 20

23


- 43 -









Nm Drehmoment



s

IRmP rr

2



V Spannung







Synchronmaschine

Asynchronmaschinen

- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


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22

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)( 223 xxxvdx

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mit vv 1 und vv3







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- 47 -


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P

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j

j XdmiddotI

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- 48 -


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Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


dPdP jXIUjXRIUU 11

sinX

UUP

d

P

11

2

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1UcosUU

XQ P

d



n

d

n

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13 bezogen mit

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U

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1

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Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

Qq

sinuup P 11 1

1

1p

uusin

P

2

11

1

1uq

uucos

P

22

11

2

12

1

2

11 uqp

uuP

4

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 2 uuqqpuuP 02 2

1

2

1

2

1

2

1

4

1 qpuquu P 02 2

1

2

1

2

1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2122

pqqu

qu

x PP

mit

1

1

p

qtan folgt fuumlr

2

1

1

1

111

n

d

k U

XQ

S

Qtanpq

1

2

1

22

1

2

2122

ptanupu

tanpu

x PPP

1

2

1

22

1

2

122

ptanupu

tanpu

u PPP







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Xd

R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

kV9

31 nn

UU

601

npf

5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

1

1

I

UX

k

nd mH652

s602

Ω1

2 1

f

XXL dd

d


kA021096060kV93

MW90

cos31

n

nn

U



60MW90

1

min

min

sP

Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

PPP n

elnnV 753960

90040

1001

1001


mΩ4512Ω012450kV02103

MW753

33

22

1

1

2

11 )(

I

PRIRP

n

vnnvn

1124 UVUR




524521401262161360021080021025 j

P ekVkVjkVkVjkVkVU



sincos Pd UIX

cosIUPPel 11 33

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P

X

UU

5324

1

5214253

2

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Pel

MWPel 0494

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UU

n

PPM

d

Peleli

1

00

32

MNmsMW

M i 24717202

600494


211

2

2

11 sinXX

Usin

X

UUP

dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

UP Ud

δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




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UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




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dwtu i




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dwtu


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1

2

1

w

w

tu


2

1

2

1

w

w

U

U

1

2

2

1

w

w

I

I 112 PPPP v





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Xh

I1

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I2`

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U1 ~ RFe Xh

I0

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Xk

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- 51 -


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Ia Ui = Ua

La




Bia

aaaa UUdt

dILRIU




Daraus folgt

11 k

URIU

k

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kM

2

1



- 52 -


Motoren

Generatoren



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3

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B1

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B2

L-

F2 F1

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L +

A1

B1

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L +

2

3

A1

B1

A2 B2

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D1

L -


- 53 -


-40

0

40

0 5 10 15 20

ωt

ms

ε

u(t)

j

je

Z

U

eZ

U

Z

UI


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diLRitu )(

dt

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R

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L

R

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Dgl 1Ordnung tR

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ˆ

R



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t

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tBtAdt



X

R

LT

sinsincoscosˆ

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utTABtTBA

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diTi


und B sinˆ

R

uTBA cos

ˆ

R

uTAB oder cos

ˆ

R

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221

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1

cosˆ

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1

1

1cosˆ

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T

T

R

u

T

TR

u

R

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T

T

R

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TR

u

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cossinˆ

1

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Z

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R

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T

R

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Z

X

Z

R

Z


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Z

X

Z

R

Z

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t

T

t

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U

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j

Z

X

R


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0

25

50

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ch

lus

ss

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m

-40

-30

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0

10

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30

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t

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- 54 -






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a

tItIl

a

i

a

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1


2


ta

tIl

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tt

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l

tF

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2

sin240sin 023 t

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atI

l

tF



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N

a

i983

2

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2

F1

I1

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-2

0

2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


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a

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1H

F2

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31 HH

2H

I3

3H

a

r

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2

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x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

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t = 0

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R = 1 Ω L = 1 H

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1

dt

duCi C



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gm

m

Gx

m

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Eu

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1


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D1

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Eg Hkg 11

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1

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smNL

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2

0

1

m

D


s

mNs

kg

DL

mC 010010

1001

1

22819

1100

s

mx

sxx

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Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

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sj

sm

1999

15021



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Nm100

s

m981kg1

2

D

gm

D

Gx p






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tt

dddd fuumlr t = 0

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dd


m10sin50cos1050

cetttx s

t

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s

t

ddC etttu


t

dddd etBtAtx cossin

tBtAe dd

t sincos

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dddd etBAtBAtx

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s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

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Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

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2D +

3T rarr

4He +

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z B 235




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a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23


- 44 -











- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

A

WindWind

U

v

nr

v

v

2


2

2

2

12

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22

21

2

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dt

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dt

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2

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ergibt sich 2

22

121

22

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Pdf 0221

)( 223 xxxvdx

Pdf

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3

9

1

3

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3

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mit vv 1 und vv3







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v2

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2

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227

16 3vAP

- 47 -


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W

Z

X

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d

P

11


p

fnn s




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P

d

P

d

P

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UU

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1

1







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R1 I

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j

j XdmiddotI

I

δ

UP

U1

Re

j

j X1middotI

I UP

U1

Re

j

j X1middotI

I


- 48 -


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1

2

11

22

1

2

122

ddP

dP XPUXQ

UXQ

UU



00

02

04

06

08

10

12

14

00 02 04 06 08 10 12 14


Sp

an

nu

ng

N

en

ns

pa

nn

un

g u

1


zulaumlssiger

Betriebsbereich




Kurzschluss

Leerlauf


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sinX

UUP

d

P

11

2

111

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d



n

d

n

kX

U

X

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22

13 bezogen mit

n

PP

U

Uu

1

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Uu

1

11

1

11

kS

Pp

1

11

kS

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1

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P

2

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1

1uq

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P

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1

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1

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1

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1

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4

1 qpuquu P 02 2

1

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1

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1

2 qpuqxx P

2

1

2

1

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1

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1

2

2122

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x PP

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1

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d

k U

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1

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x PPP

1

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122

ptanupu

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u PPP







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R1 I

U1

- 49 -





Maschengleichung

dP XIjRIUU 1111


kV253

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31 nn

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601

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5720

606060 1

nn


Ω1kA25

kV25

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1

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kA021096060kV93

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n

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U



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1

min

min

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nn

Verlustleistung MW

MW

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90040

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1001


mΩ4512Ω012450kV02103

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1124 UVUR




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MWPel 0494

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2

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11 sinXX

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X

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dqd

Pel

UP ~

Xd

R1 I

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Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

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δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




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kk

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I

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III Fe 0




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w

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w

w

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w

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- 51 -


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Daraus folgt

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2

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- 52 -


Motoren

Generatoren



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B1

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A1

B1

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B1

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- 53 -


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0

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0 5 10 15 20

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ms

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t=0


Masse m = 1kg

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- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

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3T rarr

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238

1100226

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23


- 45 -









- 46 -


Koumllner Dom

157 m

Flaumlche

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WindWind

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nr

v

v

2


2

2

2

12

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- 47 -


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- 48 -


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1


zulaumlssiger

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- 49 -





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- 50 -


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Nm

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- 47 -


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- 48 -


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1


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- 49 -





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- 50 -


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- 53 -


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m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

kV


coscosˆ T

t

etiti

- 54 -






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tI

a

tItIl

a

i

a

iitF

2

240sin2120sin2

2sin2

22

3201

32011



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ta

tItF

2

240sin120sinsin 02

1


2


ta

tIl

tF

tt

atI

l

tF

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120sin

2

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t

atI

l

tF



Vs6

0 10251 und a = 01 m


N

a

i983

2

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2

F1

I1

H2+H3

I2 I3

-4

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2

4

-2000

-1000

0

1000

2000

0 120 240 360

Kra

ft F

in

Nm

Str

om

in

A

Winkel


I1 I2 I3 F1 F2 F3

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I1

1H

F2

I2

31 HH

2H

I3

3H

a

r

IrH

2

BlIF

x

- 55 -



0

5

10

15

20

0 2 4 6Zeit in s

cm

-100

-50

0

50


0

50

100

150

200

0 2 4 6Zeit in s

V

-10

-5

0

5

10A

C

R L=L

i(t)

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t = 0

uC(t) E = 100 V

R = 1 Ω L = 1 H

C = 001 F


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diLRi

1

dt

duCi C



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gm

m

Gx

m

Dx

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LC

Eu

LCu

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1


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1

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2

0

1

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D


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kg

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mC 010010

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1

22819

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s

mx

sxx

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Eu

suu CCC

222

1100

010

1100 fuumlr u in V


1

2

12

21 jWm

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sj

sm

1999

15021



mkg819

Nm100

s

m981kg1

2

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gm

D

Gx p






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tt

dddd fuumlr t = 0

m50999

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V100sin5cos10050

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t

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t

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t sincos

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dddd etBAtBAtx

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s

t

d ettvtx

50

s

cmsin100)( s

t

dC eAttituC

50

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t=0


Masse m = 1kg

x

- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

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g

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kWh

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87607487

125104514

238

1100226

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23


- 49 -





Maschengleichung

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31 nn

UU

601

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5720

606060 1

nn


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1

1

I

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k

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2 1

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d


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n

nn

U



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1

min

min

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Mn

nn

Verlustleistung MW

MW

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90040

1001

1001


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33

22

1

1

2

11 )(

I

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n

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1

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2

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Pel

MWPel 0494

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UU

n

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d

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1

00

32

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600494


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2

2

11 sinXX

Usin

X

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dqd

Pel

UP ~

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U1

Re

j I1k

Generator- betrieb

instabiler Bereich

U1

I2

I1 φ

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δ

I2I1k=05

I2I1k=1

I2I1k=15




Motor- betrieb

P


δ

- 50 -


75 Transformatoren




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UI 1

kk

kjXR

UI

1

hjX

UI 1

n

kk

I

UZ

III Fe 0




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1

2

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w

w

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- 51 -


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La




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Daraus folgt

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Un Baaai ai I

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2

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- 52 -


Motoren

Generatoren



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3

A1

B1

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L +

A1

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A1

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3

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2

3

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B1

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- 53 -


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0

40

0 5 10 15 20

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ms

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j

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Z

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eZ

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1

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T

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R

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T

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t

T

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j

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0

25

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0 20 40 60 80 100Zeit in ms

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m

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- 54 -






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tI

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-1000

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0 120 240 360

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R L=L

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s

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Masse m = 1kg

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238Pu niedrig ist




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75 Transformatoren




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w

w

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w

w

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- 51 -


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Daraus folgt

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Un Baaai ai I

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2

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- 52 -


Motoren

Generatoren



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3

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Masse m = 1kg

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11800 Whkg

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Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


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z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

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87607487

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X

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25

50

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ch

lus

ss

tro

m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

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- 54 -






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2

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1


2


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tIl

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2

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H2+H3

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4

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-1000

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1000

2000

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in

Nm

Str

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A

Winkel


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x

- 55 -



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-100

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50

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5

10A

C

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C = 001 F


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gm

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1

2

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15021



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Masse m = 1kg

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- 56 -


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Diesel













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3T rarr

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kWh

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87607487

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23


- 52 -


Motoren

Generatoren



2

3

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B1

A2

B2

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L +

A1

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- 53 -


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0

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0 5 10 15 20

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T

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R = 1 Ω L = 1 H

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1


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238

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23


- 56 -


11800 Whkg

9910 Whl

Diesel













238

Pu rarr 234

U + α + 55 MeV


2D +

3T rarr

4He +

1n + 175 MeV


z B 235




238Pu niedrig ist




WkW

a

ha

g

MeV

kWh

mol

gmolMeVP 710010070

87607487

125104514

238

1100226

55 20

23
