Die Analyse periodischerSchwingungsvorgange

mithilfe derFourier-Reihe

Fachbereichsarbeit

unter der Betreuung von

Fr. Prof. Dr. Bohnel

Mathias Wagner

Abendgymnasium Wien

Brunner Straße 72, 1210 Wien

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Die Idee der Fourier-Reihe 3

3 Vorbereitung 103.1 Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Symmetrieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Definition Symmetrie; Spiegelsymmetrie . . . . . . . . 133.2.2 Achsensymmetrie (bzgl. der Y-Achse) . . . . . . . . . . 163.2.3 Punktsymmetrie (bzgl. des Koordinatenursprungs) . . 18

3.3 Manipulation von Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1 Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3 Phasenlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.4 Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Summen, Folgen, Reihen (bevors endlich losgeht :) . . . . . . . 28

4 Die reelle Fourier-Reihe 294.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Berechnung der reellen Fourier-Koeffizienten 305.1 Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Differenzial,- und Integralrechnung - Ein Crashkurs . . . . . . 305.3 Rechteckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Dreieckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 Sagezahnschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Kapitel 1

Einleitung

Die Untersuchung von Schwingungsvorgangen ist fur das Verstandnis vonder Welt und der Phanomene die in ihr stattfinden von fundamentaler Be-deutung. Schwingende Systeme findet man in allen naturwissenschaftlichenDisziplinen, in der Technik und sogar in der Wirtschaft. Man braucht je-doch gar nicht soweit denken, denn im Alltag sind wir ebenfalls jederzeit mitSchwingungen konfrontiert. Dementsprechend ist die Vielfalt an verschiede-nen Schwingungstypen groß, und eine eindeutige Klassifikation ist schwierig.

Eine mogliche und recht intuitive Einteilung ist jene in periodische und nicht-periodische Schwingungen. Selbst wenn man die formalen Kriterien fur dieseBegriffe nicht kennt, hat man bereits eine gute Vorstellung davon, wie siegemeint sind. Doch so einfach diese Unterteilung vielleicht wirken mag, soweitreichend ist sie gleichzeitig.

Periodische Schwingungen haben namlich, als mathematische Funktionenaufgefasst, eine ganz erstaunliche Eigenschaft:Man kann sie, unter der Bedingung dass sie die selbe Periodendauer besitzen1,beliebig ,,zusammenmischen”, und als Resultat darf man wieder eine Funkti-on mit der ursprunglichen Periodendauer erwarten. Diese Eigenschaft erlaubtes uns (mit einiger List und Tucke), eine bereits ,,zusammengeschmischte”Funktion in ihre, leichter verstandlichen, Bestandteile zu zerlegen.

1(sich also nach der selben Zeit wiederholen)

1

Weiß man dann von einer periodischen Funktion wie sie zusammengesetzt ist,offenbaren sich wichtige Informationen uber sie, uber Schwingungsvorgangeim Allgemeinen und somit (wenn man sich klar macht dass Schwingungenbeinahe uberall sind) schließlich, in gewisser Weise uber die Welt als Ganzes.

Das Werkzeug, dass man fur diese Zwecke verwendet und zugleich Hauptge-genstand dieser Arbeit ist, nennt sich Fourier-Reihe.

Wir werden im Zuge dieser Arbeit lernen, wie man mit ihrer Hilfe die ublichstenSignale zerlegt und was man daraus fur Informationen ableiten kann.

Im folgenden Kapitel erfahren wir aber zunachst, was man uberhaupt vonder Fourier-Reihe erwarten kann, und welches Konzept sie verfolgt.

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Kapitel 2

Die Idee der Fourier-Reihe

Die Grundbehauptung von Fourier war, dass man mit seiner Fourier-Reihejede periodische Funktion durch Uberlagerung trigonometrischerFunktionen - beliebig genau - annahern kann.

Auch wenn sich diese Arbeit nicht primar an ein Publikum richtet, dassBedarf daran hat, trigonometrische Grundbegriffe wiederholt zu bekommen,soll dennoch ein moglichst große Anzahl potentiell Interessierter (insbeson-dere sind damit AHS-Schuler gemeint) angesprochen werden, also fassen wirdas Allerwichtigste in einer Grafik zusammen und fahren dann fort:

Abbildung 2.1: Sinus, Kosinus und der Einheitskreis

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Joseph Fourier(1768-18301) entwickelte seine Fourier-Reihe (auch trigonome-trische Reihe genannt) im Laufe seiner Forschungsarbeit uber Warmeausbreit-ung und leistete damit einen wichtigen Beitrag zu deren Fortschritt.Eine genaue und vollstandige mathematische Beweisfuhrung blieb Fourierschuldig (sicher auch aufgrund hinreichender Zweckmaßigkeit). Dennoch hat-te er mit seiner Erfindung unglaubliches Potenzial freigelegt, waren dochkompliziertere Schwingungsvorgange bis zu diesem Zeitpunkt mathematischnoch schwer fassbar.

Fouriers Behauptung wurde - seiner großen Leistung Rechnung tragend -von vielen nachfolgenden Mathematikern, bis hinein ins 20. Jahrhundert,grundlichst auf mathematische Vollstandigkeit hin untersucht. Es stellte sichrasch heraus, dass durchaus nicht jede beliebige periodische Funktion durchUberlagerung trigonometrischer Funktionen angenahert werden kann. Wenneine Funktion mit der Fourier-Reihe dargestellt werden soll, muss sie gewis-sen Bedingungen genugen, auf welche aber im Zuge dieser Arbeit bewusstnicht naher eingegangen, und zwar aus zwei Grunden:

Zum einen wurde es den Rahmen sprengen. Zum anderen, und das ist vielwichtiger, werden die Funktionen welche in dieser Arbeit untersucht werden,und allgemeiner gesprochen, alle ublichen Schwingungsfunktionen die manin der Natur antrifft, diese Bedingungen erfullen. Die Frage nach der All-gemeingultigkeit ist somit eher theoretischer Natur. Wir laufen bei diesemThema also nicht Gefahr, jemals die Frage aufkommen zu lassen, was dasmit der Wirklichkeit zu tun haben soll.

1https://www.wolframalpha.com/input/?i=joseph+fourier

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Ganz im Gegenteil: Fur die moderne, computergestutzte Schwingungsanaly-se sind, auf der Fourier-Reihe basierende, Algorithmen1 auch heute noch einmachtiges Werkzeug. Das soll nur zeigen, dass Fourier unumstritten etwasnachhaltig Wichtiges geschaffen hat.

Bevor wir weitermachen noch eine Anmerkung zum Begriff ,,sinusformig”:Auch die Kosinusfunktion hat einen sinusformigen Verlauf. Beim reinen Ko-sinus ist der Unterschied zum Sinus noch leicht zu sehen (vgl. Abb. 2.1), seinGraph ist lediglich um π

2nach links verschoben. Grundsatzlich ist aber jede

Funktion, die durch Projektion eines gleichmaßig um einen Kreis bewegtenPunktes abgebildet werden kann, also eine gleichmaßige Auf,-Abbewegungmacht, sinusformig. Dabei spielt weder die Geschwindigkeit, mit der sich derPunkt um den Kreis bewegt (Frequenz) noch der Radius des Kreises (Ampli-tude) oder die Anfangsposition des Punktes (Phase) eine Rolle. Mehr dazuin Kapitel 3.

1Achtung, Mini-Definition: Ein Algorithmus ist eine Abarbeitungsvorschrift. Um einenAlgorithmus zur Losung eines komplexen Problems zu finden, muss dieses komplexe Pro-blem zunachst in moglichst atomare Teilprobleme zerlegt werden. Alle Teilprobleme vereintdie Eigenschaft, leichter losbar als das Hauptproblem zu sein. Die Berechnung der einzel-nen Teilprobleme (um zur Gesamtlosung zu gelangen) findet in wohldefinierter Abfolgestatt (darum auch ,,Abarbeitungsvorschrift”, die einzelnen Teilprobleme werden nach undnach abgearbeitet).

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Um aber nun einen ersten Eindruck zu bekommen, was man sich uberhauptunter Uberlagerung von Funktionen vorstellen kann, sehen wir uns einmalfolgende Grafik an:

Abbildung 2.2: Uberlagerung von Schwingungen

Wir sehen in dieser Darstellung1 die drei Funktionen

g : t→ sin(t)h : t→ sin(2t)

f : t→ g(t) + h(t)

1Wir verwenden in dieser Arbeit, wenn nicht anders gekennzeichnet, t (fur time) alsabhangige Variable, da Schwingungen/Signale ublicherweise Funktionen nach der Zeit sind(also von der Zeit abhangen). In rein mathematischer Literatur wird, wie wir es aus derSchule gewohnt sind, x als abhangige Variable verwendet.

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Funktion g ist die ,,normale” Sinusfunktion wie wir sie schon auf Abb. 2.1gesehen haben. Sie besitzt die Periodendauer 2π, denn so ist sie ja geradedefiniert (eine Periode entspricht einer vollen Umdrehung um den Einheits-kreis, dieser hat genau den Umfang 2π).

Die Funktion h ist eine Sinusfunktion mit doppelter Frequenz. Sie hat eben-falls die Periode 2π, macht in dieser Zeit aber 2 komplette Durchgange, undhat somit auch die Periode π (denn sie wiederholt sich bereits nach π). Manstoßt hier in der Tat auf eine gewisse Mehrdeutigkeit auf die wir spater (inKapitel 4) noch genauer eingehen werden.

Die Funktion f schließlich ist die Funktion die entsteht, wenn man g undh miteinander addiert (es wird dabei einfach jeder einzelne Funktionswertbeider Funktionen addiert) f hat, wie in der Einleitung versprochen, eben-falls die Periode 2π.

Man sieht in diesem Beispiel gut, dass beim Zusammenfugen periodischerFunktionen mit selber Periodendauer die Periode erhalten bleibt. Dabei istes egal wenn eine der Funktionen zusatzlich noch andere Perioden besitzt.

Hat man nun eine periodische Funktion gegeben, z.B. ein gemessenes Si-gnal, wurde diese der Funktion f von eben entsprechen. Die Aufgabe wareherauszufinden, aus welchen Funktionen sie zusammengesetzt ist. Bei obigenBeispiel ware die Antwort sin(t) + sin(2t).

Dabei konnen nun glucklicherweise nicht alle Funktionen in Frage kommen.Die ,,Bestandteile” mussen zwei wichtige Bedingungen erfullen und eine da-von, die Gleichheit der Periode, kennen wir bereits. Die zweite spielt in derAkustik ebenfalls eine außerordentlich wichtige Rolle. Die einzelnen Funktio-nen - in der Akustik ist dann naturlich primar von Schwingungen die Rede -mussen in einem ganzzahligen Frequenzverhaltnis stehen.

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Was passiert wenn eine der Funktionen ein rationales (gebrochenes) Verhaltnisaufweist sehen wir uns auch kurz anhand einer Grafik an.

Abbildung 2.3: Verlust der Periodizitat

Es wurde hier nur die Funktion h umdefiniert, sodass ihre Frequenz 2.3 statt2 ist (siehe Kapitel 3), wir sehen also jetzt

g : t→ sin(t)

h : t→ sin(2.3t)

f : t→ g(t) + h(t)

Es benotigt vielleicht kurz, aber man kann erkennen dass die Periodizitat derFunktion f verschwunden ist.

Ein alter Bekannter, Pythagoras, fand als erstes heraus, dass Klange furdas menschliche Ohr besonders harmonisch klingen, wenn die einzelnen Toneein ganzzahliges (Frequenz,-)Verhaltnis zueinander aufweisen. Aus dieser Zeitstammen auch heute noch gebrauchliche Begriffe wie z.B. Oktav (1:2 Verhaltnis)oder Quint (2:3 Verhaltnis).

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Dies fuhrt uns direkt zu den sogenannten Harmonischen. Unter diesemBegriff werden sinusformige Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzen ver-standen. Die 1. Harmonische mit 1-facher Frequenz (Grundfrequenz) wirdGrundschwingung (Grundton) genannt. Alle Harmonischen mit hoheren Fre-quenzen, also mit 2-facher Grundfrequenz beispielsweise, werden mit demBegriff Oberschwingungen (Oberwellen, Obertone) zusammengefasst. Die-se werden dann einfach durchnummeriert (2. Harmonische, 3. Harmonischeusw.).Hier im Schema:

Abbildung 2.4: 3 Harmonische

Genau da setzt die Fourier-Reihe an. Fouriers Rezept um periodische Funk-tionen mit anderen Funktionen darzustellen macht von diesen HarmonischenGebrauch. Es wird dabei im Grunde eine Summe aus diesen ganzzahligen, si-nusformigen Schwingungen gebildet (Uberlagerung) und die eigentliche Frageist nur, mit welchen Anteilen die einzelnen Schwingungen in der Summeenthalten sind.

Erstaunlich ist dabei die Tatsache, dass man beim Beantworten dieser Frageauf sehr ahnliches Rustzeug zuruckgreift, dass man auch braucht wenn manwissen mochte, mit welchen Anteilen die Basisvektoren in einem beliebigenanderen Vektor enthalten sind.

Aber eins nach dem anderen.Bevor wir uns selbstbewusst an eine ordentliche Formulierung der Fourier-Reihe machen konnen, mussen wir noch ein wenig mit den wichtigsten ma-thematischen Grundlagen befassen.

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Kapitel 3

Vorbereitung

Inhaltsangabe3.1 Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Symmetrieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Definition Symmetrie; Spiegelsymmetrie . . . . . . 13

3.2.2 Achsensymmetrie (bzgl. der Y-Achse) . . . . . . . 16

3.2.3 Punktsymmetrie (bzgl. des Koordinatenursprungs) 18

3.3 Manipulation von Funktionsgraphen . . . . . . . 20

3.3.1 Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.3 Phasenlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.4 Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Summen, Folgen, Reihen (bevors endlich losgeht :) 28

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3.1 Periodizitat

Wir starten mit dem Begriff der Periodizitat. Wir haben jetzt schon einigeMale das Wort ,,periodisch” verwendet und es fiel uns nicht allzu schwer da-mit umzugehen. Fur weitere Zwecke ist es aber durchaus sinnvoll eine genaueDefinition zu schaffen.

Gegeben also sei eine von der Zeit t abhangige periodische Funktion f mitPeriodendauer T, der Verlauf des Graphen soll sich also nach der Zeit T wie-derholen.

Die Behauptung ist nun folgende:Man suche sich einen beliebigen Punkt auf f , der Wert f(t0), der Funkti-onswert von f an der Stelle t0 also, muss den den selben Wert haben, wieder Punkt auf der Funktion der genau eine Periodenlange spater liegt. DenPunkt der eine Periodenlange spater liegt kann man auch kurz mit f(t0 +T )bezeichnen. f(t0) soll also gleich f(t0 + T ) sein.

Uberprufen wir das auf einer Grafik:

Abbildung 3.1: Periodendauer

Wir sehen hier eine 2π-periodische Funktion (T = 2π). Ausgehend von dembeliebig gewahlten Punkt A wurde eine Strecke der Lange 2π nach rechtsabgetragen (der Punkt B der dabei entstand liegt also bei t0 + T ). An denKoordinaten der beiden Punkte kann man nun die Gleichheit der Y-Werte(0.71) erkennen (die Funktionswerte von f sind also an den Stellen A und Bgleich).

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Man kann sich jetzt noch uberlegen, ob dies wirklich fur jedes t gilt:

Tragt man, vom ersten Punkt innerhalb einer Periode ausgehend, eine Streckeder Lange T nach rechts ab, landet man beim ersten Punkt der nachsten Pe-riode (eine Hilfe das nachzuvollziehen ist auf der Grafik eingezeichnet). AllePerioden haben aber nach Definition exakt den selben Verlauf (da sich ihrVerlauf nach jeder Periode einfach nur wiederholen soll), es kann also garnicht zu einer nachfolgenden Abweichung kommen.

Wir fassen dies kompakt zusammen:

Eine Funktion f ist periodisch, wenn fur jedes t auf f gilt:

f(t+T) = f(t) (3.1)

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3.2 Symmetrieverhalten

Bei der Analyse einer Funktion kann das Aufsuchen von Symmetrieverhaltenviel Aufschluss uber den Verlauf des Graphen, und damit uber die Eigen-schaften der Funktion, bringen. In der Schule haben wir Polynomfunktionenuntersucht und gelernt, dass es gerade und ungerade Funktionen gibt undwie man sie auseinanderhalt.Untersucht man nun wie in unserem Fall eine periodische Funktion, um sieim Anschluss mit der Fourier-Reihe darstellen zu konnen, erspart es einemsehr viel Rechenarbeit, wenn man weiß, ob die untersuchte Funktion geradeoder ungerade ist (die Funktion kann auch weder gerade noch ungerade sein,naheres spater). Eigentlich wurde es fur unsere Zwecke reichen, konnten wirerkennen ob eine gerade Funktion, eine ungerade Funktion oder keins von bei-dem vorliegt. Nun nutzen wir aber die Zeit, die wir uns durch dieses Wissenersparen, um uns eingehender mit dem Thema Symmetrie zu beschaftigen.

3.2.1 Definition Symmetrie; Spiegelsymmetrie

Symmetrie ist in der Mathematik definiert als ,,Invarianz unter einer Opera-tion”, oder ausformuliert: Weist ein Objekt Symmetrien auf, so ist etwas andiesem Objekt bei einer gewissen Operation invariant. Das klingt furchtbarkryptisch, aber wir analysieren diesen Satz einfach:

Variare ist das lateinische Wort fur verandern, daher verwendet man in derMathematik fur veranderliche Großen das Wort Variable. Das Wort Invari-anz, die Negierung also, bedeutet folgerichtig, dass sich etwas nicht andert.Dieses ,,etwas” hangt vom betrachteten Objekt ab. Die Operation die statt-findet kann z.B eine Spiegelung sein, aber auch eine Drehung oder vielesmehr.Um die Operation vollstandig beschreiben zu konnen, braucht man noch eindazugehoriges Bezugsobjekt, bei einer Spiegelung ware das jenes Objekt,an dem die Spiegelung stattfindet (ein Spiegel z.B.).

Die Objekte die wir betrachten werden sind Funktionen und bei ihnen istes der Graph (und damit eigentlich die Funktionswerte), der sich, auf be-stimmte Weise (das wiederum hangt von der Operation ab), nicht andert.

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Wir werden in dieser Arbeit nur spiegelsymmetrische Funktionen1 betrach-ten, die Operation die ,,stattfindet” ist somit eine Spiegelung2.Wir stellen also weiter fest: Ist eine Funktion spiegelsymmetrisch, so andertsich - bei Spiegelung am Bezugsobjekt - ihr Graph, hinsichtlich dieses Be-zugsobjekts, nicht. In welcher Weise sich also die Spiegelung auf den Graph,,auswirkt”, hangt von der Art des Bezugsobjekts ab.Glucklicherweise gibt es bei spiegelsymmetrischen Funktionen nur zwei wirk-lich relevante Arten von Bezugsobjekten: Achsen und Punkte.Funktionen konnen also entweder bezuglich einer Achse symmetrisch liegen(Achsensymmetrie), oder bezuglich eines einzigen Punktes (Punktsymmetrie).

Wir konnen fur beide dieser Symmetriearten leicht Beispiele nennen, dennder Sinus ist eine punktsymmetrische Funktion, der Kosinus wiederum istachsensymmetrisch.Beim Sinus ist das Bezugsobjekt der Koordinatenursprung, beim Kosinusdie Y-Achse.

Uberprufen wir das:

Abbildung 3.2: Achsen und Punktsymmetrie

1Spiegelsymmetrie ist auch die wichtigste Art von Symmetrie bei Funktionen.

2An dieser Stelle muss zur Sicherheit erwahnt werden, dass naturlich nicht aktiv ge-spiegelt wird, sondern dass man anhand gegebener Werte einer Funktion feststellen kann,ob ihr Graph so aussieht, als hatte man ihn gespiegelt

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Wir betrachten jetzt die Kosinusfunktion, von der wir wissen, dass die Y-Achse ihr Bezugsobjekt bei der Spiegelung ist, und uberlegen uns dann, wasdas Wort ,,spiegeln” eigentlich bedeutet:

Bei der Spiegelung eines Objekts entsteht, in bestimmter Weise, ein Abbilddieses Objekts mit gewissen, teilweise von der Art der Spiegelung abhangigen,Eigenschaften.

So findet man z.B. (und das haben alle Spiegelungen gemein) fur jeden Punktim betrachteten Objekt einen zu ihm gehorigen Punkt im Abbild, der exaktden selben Abstand zum Bezugsobjekt (,,Spiegel”) hat. Anschaulich gespro-chen hat also jeder Punkt sein gespiegeltes Pendant und beide sind gleichweit von ihrem jeweiligen Bezugsobjekt entfernt. Wir vereinbaren, dasssolche, im Rahmen einer Spiegelung zusammengehorigen, Punkte auch ein-fach kurz als Punktepaar bezeichnet werden durfen.

Nun sagt aber einzig die Entfernung eines Punktes zu seinem Bezugsobjektnicht automatisch etwas uber dessen Aufenthaltsort aus. Wo ein gespiegelterPunkt tatsachlich sitzt, hangt stark von der Art der Spiegelung ab. Bei derklassischen Spiegelung, der an einem ublichen Spiegel namlich, ist das vielweniger trivial als es bei uns sein wird. Betrachtet man namlich ein Objektder echten Welt in einem Spiegel passiert eine Art Transformation von drei-dimensionalen Informationen auf eine zweidimensionale Ebene (etwas zumnachdenken!).Bei uns, da wir uns mit zweidimensionalen Funktionen beschaftigen wer-den, meint Spiegeln eigentlich nur das Umkehren des Vorzeichens. Manbetrachtet bei einem gegebenen Funktionsgraph den Bereich der positiven x-Werte1, sieht sich dann den Bereich der negativen x-Werte an, und schließtdann so auf das Symmetrieverhalten der Funktion. Um das besser verste-hen zu konnen, werden wir uns im Anschluss anhand der beiden, fur unswichtigsten, Funktionen - Sinus und Kosinus - ansehen, wie man die Art dervorliegenden Symmetrie erkennt und wie man das auf mathematischer Ebeneformulieren kann.

1Wir verwenden in diesem Zusammenhang x als abhangige Variable um klar zu machen,dass auch Funktionen die nicht von der Zeit abhangen, Symmetrien aufweisen konnen.

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3.2.2 Achsensymmetrie (bzgl. der Y-Achse)

Setzen wir mit unserer Betrachtung der Kosinusfunktion fort und bringennun die Punktepaare ins Spiel. Auf folgender Grafik ist eines der Punkte-paare des Kosinus eingezeichnet (Punkt A und Punkt B). Punkt A ist einFunktionswert der Funktion an einer beliebig gewahlten positiven x-Stelle,hier mit x0 bezeichnet. Punkt B ist der Funktionswert an der zu x0 im Vor-zeichen umgekehrten Stelle −x0.

Abbildung 3.3: Achsensymmetrie

Wir konnen nun folgende Eigenschaften feststellen:

Die beiden Punkte eines Punktepaares liegen auf selben Hohe, das entsprichtder Wertigkeit auf der Y-Achse und somit der Hohe des Funktionswertes ander jeweiligen x-Stelle. Die Funktionswerte sind also fur alle positivenx-Werte gleich derer der negativen x-Werte. Anders ausgedruckt: Die Funk-tionswerte der positiven x-Werte, f(x0) also, sind gleich der Funktionswerteder negativen x-Werte, f(−x0). Die Uberlegung ob dies wirklich fur allex-Werte gilt konnen wir Analog zur Seite 12 anstellen. Wir finden also beidieser Art der Symmetrie folgende Beziehung:

f(−x0) = f(x0)

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Bei einer Spiegelung an der Y-Achse geht die Eigenschaft der gleichen Ent-fernung zum Bezugsobjekt direkt aus der Natur der Operation (Umkehrungder Vorzeichens, das entspricht einem ,,hinuberbringen” auf die andere Seiteder Y-Achse) hervor.

Wir fassen zusammen:

Eine von der Große x abhangige Funktion f ist symmetrisch zur Y-Achse,wenn fur jedes x gilt:

f(−x) = f(x) (3.2)

Solche, bezuglich der Y-Achse symmetrisch liegenden, Funktionen nennt manauch gerade Funktionen, wir halten insbesondere fest:

Der Kosinus ist eine gerade Funktion.

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3.2.3 Punktsymmetrie (bzgl. des Koordinatenursprungs)

Jetzt betrachten wir die zum Koordinatenursprung spiegelsymmetrisch lie-gende Sinusfunktion naher. Wir sehen wieder das Punktepaar AB, beidePunkte liegen abermals und der Definition von ,,Spiegelung einer Funktion”entsprechend, an im Vorzeichen umgekehrten x-Stellen.

Abbildung 3.4: Punktsymmetrie

Die Eigenschaft dass die beiden Punkte des Punktepaares die gleiche Entfer-nung zum Bezugsobjekt haben bleibt erhalten, wirkt sich aber aufgrund derAndersartigkeit des Bezugsobjekts1 verschieden aus.

Die Eigenschaft, dass beide Punkte eines Punktepaares auf der selben Hoheliegen finden wir jetzt nicht mehr, konnen aber dafur eine andere Eigenschaftfeststellen (mithilfe der Grafik): Wenn man durch zwei Punkte eines Punk-tepaares eine Strecke legt, so ist stets das Bezugsobjekt, also der Punkt (0,0)der Mittelpunkt dieser Strecke.

1Eine Achse ist im Grunde eine unendlich lange Gerade bestehend aus unendlich vie-len Punkten. Bei Spiegelung einer Funktion an einer Achse bezieht sich jeder Punkt dieserFunktion auf einen, eben auf der selben Hohe liegenden, Punkt der Achse. Hat man im Ge-genteil dazu einen einzelnen Punkt als Bezugsobjekt, mussen sich alle Punkte der Funktionauf diesen einen Punkt beziehen.

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Wir finden so, dass bei der Punktspiegelung genau das Gegenteil von ebenpassiert:Die Funktionswerte an den Stellen x0 und −x0 sind nicht gleich, sondernebenfalls im Vorzeichen umgekehrt. Es gilt somit die Beziehung

f(−x0) = −f(x0)

und zwar wieder fur alle x.

Wir fassen wieder zusammen:Eine von der Große x abhangige Funktion f ist symmetrisch zur zumKoordinatenursprung, wenn fur jedes x gilt:

f(−x) = −f(x) (3.3)

Solche, bezuglich des Koordinatenursprungs symmetrisch liegenden, Funk-tionen nennt man auch ungerade Funktionen, wir halten also insbesonderefest:

Der Sinus ist eine ungerade Funktion.

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3.3 Manipulation von Funktionsgraphen

Im vierten Kapitel werden wir uns durchgehend mit Funktionen konfrontiertsehen, die zwar einen sinusformigen (vgl. eventuell Seite 5) Verlauf haben,dieser aber teilweise so stark verformt wurde, dass sich vielleicht einer fragenkonnte, wo da der Einheitskreis geblieben ist. Eng mit dieser ,,Verformung”verknupft sind die Begriffe Frequenz, Amplitude und Phase, welche wir eben-falls schon auf Seite 5 gehort haben. Sehen wir sie uns genauer an.

3.3.1 Frequenz

In Kapitel 2 haben wir (wenn auch indirekt) bereits viel uber Frequenzengelernt. Wir haben beispielsweise gesehen, dass eine periodische Funktionbei doppelter Frequenz die Periode in der selben Zeit zweimal durchlauft.Wenn man sich das am Einheitskreis ansieht findet man, dass die Frequenzin Zusammenhang mit der Geschwindigkeit des Zeigers steht. Es leuchtet ein,dass wenn sich der Zeiger mit doppelter Geschwindigkeit dreht, eine Periodeauch doppelt so schnell durchlaufen wird. Man kann den Zeiger aber auchlangsamer laufen lassen, dementsprechend mehr Zeit wird dann fur einen Pe-riodendurchlauf benotigt. Zur Sicherheit sehen wir uns das gesondert an:

Abbildung 3.5: Frequenz

f ist wieder ein Sinus mit 1-facher, h ein Sinus mit 2-facher und g ein Sinusmit 0.5-facher Frequenz (g ist also keine Harmonische!).f(t) = sin(t); h(t) = sin(2t); g(t) = sin(0.5t).Wir stellen fest, dass bei einer Erhohung der Frequenz der Graph zur Y-Achsehin gestaucht wird, und bei einer Senkung der Frequenz ein Streckung wegvon der Y-Achse stattfindet.

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Nun wollen wir aber auch genauer wissen was die Frequenz eigentlich fureine Bedeutung hat.

Die Frequenz eines periodischen Vorgangs, man schreibt auch f (hat naturlichnichts mit Funktionen namens f zu tun!) gibt an, wie haufig sich diePerioden wiederholen. Die Einheit der Frequenz ist Hertz(Hz). Mochte manvon einem periodischen Vorgang die Frequenz angeben, so macht man diesin der Einheit Hertz (analog gibt man z.B. den Druck in der Einheit Bar an).

1 Hertz ist definiert als Kehrwert der Sekunde ( 1Sekunde

), 1Hz := s−1. Dasmacht Sinn weil man ja angeben mochte, wie oft sich der Vorgang im Verhaltniszur Zeit wiederholt, und das gelingt am besten in einer Einheit mit der wiretwas anfangen konnen (denn unser Gehirn hat viel empirisches Wissen uberden Begriff Sekunde gesammelt). Vereinfacht kann man sagen, dass die Ein-heit Hertz ausdruckt, wie oft etwas pro Sekunde passiert, sie ist also einIndikator fur Haufigkeit.Zum Verstandnis: Wiederholt sich ein periodischer Vorgang innerhalb einerSekunde 1 Mal, so hat dieser Vorgang 1 Hz (also 1 · s−1), denn 1 · 1

Sekunde

bleibt 1Sekunde

(sprich: 1 pro Sekunde).

Will man von einem gegebenen periodischen Vorgang dessen Frequenz her-ausfinden, so kann man folgendermaßen vorgehen (anschaulich): Man schreibt,,Die periodische Funktion hat x Hz”, und dann sucht man nach diesem x.Dann steht da eigentlich x · s−1 oder x · 1

s, was nichts anderes als x

Sekunde

(sprich: x pro Sekunde) bedeutet.Wir konnen nun ableiten, dass dieses x fur die Haufigkeit der Perioden-durchlaufe stehen muss, denn wir suchen ja gerade die Haufigkeit der Pe-riodendurchlaufe pro Sekunde.

Wir brauchen also einen Ausdruck, den wir anstelle des Platzhalters x schrei-ben konnen, sodass x · 1

sam Ende die Anzahl der Periodendurchlaufe pro

Sekunde ausgibt. Wir werden diesen Ausdruck formlos aus einer Reihe anUberlegungen herleiten.Diese lauten:Bei einer Periodendauer von 1 s (T = 1 s) muss, wenn bei x · 1

sdas x durch

den gesuchten Ausdruck ersetzt wird, zum Schluss 1s

herauskommen; denn T= 1 s bedeutet ja, dass sich ein Vorgang nach der Zeit 1 s einmal wiederholt.Weiters muss der gesuchte Ausdruck insgesamt zu 1 werden, denn 1 · 1

sergibt

eben diese 1s.

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Bei einer Periodendauer von 2 s (T = 2 s) muss zum Schluss 0.5s

herauskom-men, denn T = 2 s bedeutet ja, dass sich ein Vorgang nach der Zeit1 s einhalbmal wiederholt. Der gesuchte Ausdruck muss zu 0.5 werden, denn0.5 · 1

sergibt die 0.5

s

Um das Muster erkennen zu konnen brauchen wir noch eine dritte Uberlegung:

Bei einer Periodendauer von 3 s (T = 3 s) muss zum Schluss 0.3s

heraus-kommen, denn T = 3 s bedeutet ja, dass sich ein Vorgang nach der Zeit 1 s0.3 Mal wiederholt. Der gesuchte Ausdruck muss zu 0.3 werden, denn 0.3 · 1

s

ergibt die 0.3s

Offenbar steht der gesuchte Ausdruck direkt in Verbindung mit der Peri-odendauer:

T = 1 ergibt als Losung 1/1

T = 2 ergibt als Losung 1/2

T = 3 ergibt als Losung 1/3

Es sieht danach aus, als ware der gesuchte Ausdruck der Kehrwert der Peri-odenlange, also 1/T. Tatsachlich konnten wir konnen diese Methode fur jedesbeliebige T anwenden, das zu uberprufen ist fur uns aber nicht zielfuhrend.

Wir mochten fur unser eigentliches Thema Fourier-Reihen vor allem behal-ten, dass wir die Frequenz einer Funktion durch einen Faktor im Argu-ment modellieren konnen, und dass dabei entweder eine Stauchung hin zurY-Achse (Erhohung der Frequenz), oder eine Streckung weg von ihr (Sen-kung der Frequenz) passiert. Ubrigens hangt die Frequenz von Schallwellenmit der Tonhohe die sie erzeugen zusammen. Hoher frequentierte Schallwel-len erzeugen auch einen hoheren Ton und umgekehrt.

Kleine Zusammenfassung : Die Frequenz f eines periodischen Vorgangs wirdin der Einheit Hertz (Hz) angegeben und berechnet sich durch 1/T,

f =1

T(3.4)

Sie gibt an, wie oft sich die Perioden innerhalb einer gewissen Zeit wieder-holen, wie haufig also die Perioden durchlaufen werden.

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3.3.2 Amplitude

Wenn wir die letzte Abbildung (S.20) naher betrachten fallt uns auf, dassdie Anpassung der Frequenz keinerlei Einfluss darauf hat, wie hoch (positiv)bzw. niedrig (negativ) die Funktionswerte maximal werden, man spricht indiesem Zusammenhang auch von der maximalen Auslenkung. Anschaulichausgedruckt besagt die maximale Auslenkung wie groß die großte Abwei-chung des Funktionsgraphen zur x-Achse ist1. Dabei interessiert uns nur derBetrag dieser Abweichung (was soll auch eine negative Abweichung sein), diemaximale Auslenkung ist also jedenfalls ein positiver Zahlenwert. Sinus undKosinus schwanken zwischen 1 und -1, ihre maximale Auslenkung betragtsomit 1, denn die maximale Abweichung zu 0 ist 1.

Wir wissen somit, dass Sinus und Kosinus beliebiger Frequenzen eine ma-ximale Auslenkung, man sagt dazu auch Amplitude, von 1 haben.

Nun werden ja bei der Fourier-Reihe Funktionen aufsummiert, hatten wirhierfur nur Funktionen mit Amplitude 1 waren wir bereits bei einer gege-benen Funktion mit Amplitude 2.5 aufgeschmissen, da man durch Addi-tion/Subtraktion von ganzen Zahlen Z niemals auf gebrochene Zahlen Qkommt2. Es fuhrt also kein Weg daran vorbei, dass wir uns eine Operationsuchen, die die Amplitude auf sinnvolle Weise anpasst, namlich so dass dasVerhaltnis zwischen positiven und negativen Werten erhalten bleibt. Dafurkann nur die Multiplikation in Frage kommen, denn sie erhalt das Vorzeichenfur alle Werte und sorgt so dafur, dass sowohl die negativen, als auch die po-sitiven Werte in gleichem Maße zur von der x-Achse weggestreckt bzw. zurihr hin gestaucht werden (je nachdem ob wir als Faktor kleiner 1 oder großer1 wahlen). So werden beispielsweise bei einem Faktor 2 vor der Funktioneinfach alle Werte verdoppelt, 1 wird so zu 2 und -1 zu -2. Insgesamt steigendadurch naturlich auch alle anderen Werte doppelt so schnell an, fallen aberauch doppelt so schnell wieder ab, die Periodizitat ist also nicht in Gefahr.

Uberzeugen wir uns davon.

1In der physikalischen Interpretation meint Abweichung des Funktionsgraphen eigent-lich Abweichung der Schwingung zur ihrer Ruhelage.

2Lesetip dazu: Gruppen in der Mathematik, siehe Google.

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Abbildung 3.6: Amplitude

Wir sehen dass der zweifache Sinus, g(t) = 2 · sin(t) (strichliert), ebenfallsdie Periode 2π hat. Im Vergleich zum einfachen Sinus wurden alle Wer-te, und damit auch die Amplitude, verdoppelt. Um auf den Einheitskreiszuruckzukommen entsprache das einer Verdoppelung der Zeigerlange/desKreisradius (Einheitskreis ist dann naturlich nicht mehr passend).

Doch was passiert eigentlich physikalisch wenn man die Amplitude anpasst?Anschaulich gesprochen steht die Amplitude einer Schwingung fur ihre ,,In-tensitat”, in der Akustik beeinflusst sie beispielsweise die Lautstarke (hohereAmplitude = mehr Dezibel), in der Elektrotechnik gibt sie die Spannung(Formelzeichen U) eines elektrischen Stroms an.Amplitude 1 bedeutet dabei 1 Volt, je hoher die Amplitude des Stroms ist,desto hoher ist seine Spannung.

Wir konnen uns jetzt noch ohne jegliche Strenge uberlegen wie man dieAmplitude einer gegebenen Schwingung ausrechnen kann. Dazu nennen wirden Maximalwert der Schwingung (positiv und negativ) einfach Smax undseine Ruhelage nennen wir S0 (im Wissen dass damit die x-Achse gemeintist). Die Amplitude, kurzen wir sie mit A ab, ist dann einfach die Differenzzwischen Smax und S0, aber im Betrag! Wir finden so die Beziehung

A = |Smax − S0|

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Wir setzen dabei voraus, dass man Zugang zu Smax hat (unter Zuhilfenahmeeines Computers oder Messgerats beispielsweise), denn:Beim Sinus (und Kosinus naturlich) konnen wir Smax noch locker ange-ben, da wir den Funktionsterm kennen, f(t) = sin(t), und so die er-ste Ableitung, f ′(g) = cos(t), berechnen konnen (den Crashkurs zur Inte-gral/Differentialrechnung genießen wir leider erst in Kapitel 5). Wenn wirerste Ableitungsfunktion gleich Null setzen, f ′ = cos(t) = 0 und die Glei-chung nach t auflosen erhalten wir als Losung die Stelle, an der der Kosinusgleich Null ist und das ist π

2(vgl. S.3). Daraus folgt, dass der Sinus an der

Stelle π2

ein lokales Maximum hat (Ableitungsfunktion an einer bestimmtenStelle = 0⇔ Steigung der Originalfunktion an dieser Stelle = 0); an der Stelleπ2

ist der Sinus 1 und wie wir schon festgestellt haben ist der Funktionswertgleichzusetzen mit der Hohe des Punktes am Graphen. Der Funktionswertam lokalen Maximum ist somit gleich der Amplitude (denn wir suchen ja dieEntfernung zwischen X-Achse und dem hochsten Punkt des Funktionsgra-phen). An dieser Stelle π

2ist der Sinus 1, sin(π

2)=1, seine Amplitude ist

also 1 (wissen wir jetzt schon allmahlich).

Bei komplizierteren Schwingungen kann man aber nicht mehr so einfacheinen Term angeben und Maximumstellen berechnen. Mochte man effizientSchwingungsanalyse betreiben greift man unter Garantie lieber auf elektro-nische Hilfsmittel zuruck (Praxisrelevanz des Themas beachten!).Vorerst ist fur uns ohnehin nur wichtig festzuhalten, dass man die Amplitudedurch einen Faktor vor dem Funktionsterm modellieren kann und wasdabei passiert.Also wieder eine kleine Zusammenfassung : Die Amplitude A einer peri-odischen Funktion steht fur ihr maximale Auslenkung, und das meint denBetrag ihrer maximalen Abweichung zur Ruhelage 0.Sie berechnet sich als Differenz zwischen dem großten Funktionswert, undzwar positiv und negativ, (bei uns Smax) und dem Wert 0, (bei uns S0)(im Betrag!). Kurz gefasst

A = |Smax− S0| (3.5)

.Die daraus resultierende Zahl A steht als Faktor vor der Funktion. Beim Si-nus steht eigentlich f(t) = A ·sin(t), aber der Faktor 1 ist in der Mathematikselten der Rede wert und wird daher einfach weggelassen.

In der Physik reprasentiert die Amplitude in gewisser Weise die Intensitateiner Schwingung.

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3.3.3 Phasenlage

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3.3.4 Gleichanteil

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3.4 Summen, Folgen, Reihen (bevors endlich

losgeht :)

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Kapitel 4

Die reelle Fourier-Reihe

4.1 Definition

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Kapitel 5

Berechnung der reellenFourier-Koeffizienten

5.1 Vektorraume

5.2 Differenzial,- und Integralrechnung - Ein

Crashkurs

5.3 Rechteckschwingung

5.4 Dreieckschwingung

5.5 Sagezahnschwingung

30

Literaturverzeichnis

[1]

31

Abbildungsverzeichnis

2.1 Sinus, Kosinus und der Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Uberlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Verlust der Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 3 Harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Periodendauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Achsen und Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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