Fakultät für Mathematik Christian Dorner Einsatzmöglichkeiten für GeoGebra in der 5. Klasse AHS Mag. Christian Dorner BSc

Fakultät für Mathematik

Christian Dorner Einsatzmöglichkeiten für GeoGebra in der 5. Klasse AHS

Einsatzmöglichkeiten für GeoGebra in der 5. Klasse AHS

Mag. Christian Dorner BSc



Was soll unbedingt schon in der 5. Klasse gemacht werden?Wie initiiere ich Denkvorgänge bei SchülerInnen anstatt wildes Herumziehen mit netten Effekten ?

Welche Verständnisprozesse können mit GeoGebra gefördert werden?

Welche Fehlvorstellungen können vermieden werden?

Fragen die man sich stellen könnte

Welche Anforderungen stellt die sRP? Computer oder Handheld?GeoGebra oder TiNspire?

Macht uns der Computer nun schlau oder dumm?Welche Inhalte eignen sich für einen Bearbeitung mit GeoGebra?

Welche Funktionen des Programms sollen im Unterricht durchgenommen werden?

Mit welchen Werkzeugen sollen die SchülerInnen arbeiten?

Wann soll GeoGebra im Unterricht eingesetzt werden?Wie stark soll fokussiert werden?

Reines Erlernen des Programms oder mathematische Inhalte?



Standardisierte Reifeprüfung

Minimalprogramm• Zeichnen und Untersuchen von

Funktionsgraphen

• Gleichungen und Gleichungssysteme lösen

• Anwendungen in der Statistik(Quelle: https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf, 27.2.2014)



Fokussierungsgrad

Aktiv

Zeit

LehrerIn

SchülerIn

volls

tänd

ig

teilw

eise

unst

rukt

urie

rt

erw

eite

rnd



Fokussierungsgrad in GeoGebra• Vollständig vorgegeben

– Wesentliche Elemente sind hervorgehoben – Werkzeugleiste ist kaum benutzbar– Variationsmöglichkeiten sind bewusst eingeschränkt

• Teilweise vorgegeben– Konfiguration kann/muss ergänzt oder verändert werden– Werkzeugleiste teilweise benutzbar– Wesentliche Elemente sind teilweise hervorgehoben

• Unstrukturiert– GeoGebra wird selbstständig und ohne Vorgaben und Einschränkungen genutzt– Bleibt innerhalb der von GeoGebra vorgegebenen Möglichkeiten

• Erweiternd– Es werden neue/eigene Werkzeuge erstellt– GeoGebra an sich, wird als Werkzeug verwendet

(nach: Roth, J., 2008, verändert)



Demonstration

Lernen

Entdecken

Einbinden in eine

längere Sequenz

Nicht

vorstrukturierte

Nutzung

Werkzeug II Fokussierungsgrad

Aktiv

Zeit

LehrerIn

SchülerIn

volls

tänd

ig

teilw

eise

unst

rukt

urie

rt

erw

eite

rnd

Werkzeug I



Demonstrationsapplets

• Anschauliches Erklären• Interaktive Abbildung• Tafel 2.0• die Lehrperson ist aktiv• passive Schüleraktivität• am Beginn eines Denkprozesses bzw. prozessbegleitend• Kleiner Ausschnitt des Lehrstoffes• Vollständig fokussiert• Im Unterricht: Einstiegsphase oder Erarbeitungsphase



Demonstrationsapplets - Ideen

• Trigonometrie– Einheitskreis– 3D Skizzen

• Funktionen– Füllfunktionen– Funktionen (Zuordnungsaspekt, Variationsaspekt, Fehlvorstellungen)– Kosten- und Erlösfunktionen– Zeit-Ort-Funktionen– Wirkung von Parameter

• Lineare Funktion: k und d• Quadratische Funktion:

– Allgemeine Termdarstellung: a,b und c– Scheitelpunktform: d und e

– Vektoren• Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl• Parameterdarstellung einer Geraden

Aufgabe Von der Plattform eines Leuchtturms, die sich in der Höhe h über dem Meeresspiegel befindet, sieht man das Boot A mit dem Fernrohr unter dem Tiefenwinkel α. Nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel ω sieht man das Boot B unter dem Tiefenwinkel β. Fertige eine Skizze an! (Quelle: Malle, G. /Woschitz, H. /Koth, M. /Salzger, B., 2010, S.119, verändert)



mögliche Gefahren

• passive Schüleraktivität

• Zusehen statt Mitdenken

• kein selbstständiges Denken

• das Programm wird nicht erlernt

• ohne weitere Verwendung nutzlos, benötigt eine weitere Vertiefung



Demonstrationsapplets und Fehlvorstellungen

• Graph as a picture Error

(Quelle: Malle, G. /Woschitz, H. /Koth, M. /Salzger, B., 2010, S.143)



Entdeckungsapplets

• Ziel: einen mathematischen Zusammenhang/Sachverhalt selbständig entdecken bzw. heuristisches Entdecken

• SchülerInnen sind aktiv, es wird eine kognitive Anstrengung verlangt

• Konfiguration vollständig/teilweise vorgegeben (Fokussierungsgrad)

• Kleiner Ausschnitt des Lehrstoffes• Im Unterricht: Einstiegs- oder Erarbeitungsphase



Entdeckungsapplets - Ideen

• Näherungsweise Angabe von Zahlen– Auswirkung von Messfehler

• Trigonometrie– Gleichungen der Form sinϕ=c bzw. cosϕ=c und ihre

Visualisierung• Funktionen– Wirtschaftsmathematik: Veränderung der variablen Kosten

und dem Break-even-Point – Zeit-Ort-Funktionen: Veränderung der Geschwindigkeiten

und dem Treffpunkt



mögliche Gefahren

• SchülerInnen sind mit der Konfiguration überfordert

• der Fokussierungsgrad ist zu gering• wildes Hin- und Herziehen, das Wesentliche wird

nicht erkannt• Fragestellungen leiten den/die Schüler/in nicht zu

dem zu entdeckenden Zusammenhang• zu viel Ablenkung



Lernapplets

• Ziel: Festigung von Grundwissen/Grundkompetenzen• Bestehen aus folgenden Punkten

– Aufgabenstellung– Kognitiver Anstrengung (bildliche Darstellung, …)– Möglichkeit zum Nachlesen des Stoffs

• Aktive kognitive Fähigkeit der SchülerInnen• Auf einen kleinen Ausschnitt des Lehrstoffes

beschränkt• Hohe Fokussierung• im Unterricht: Ergebnissicherungsphase



Beispiele

• Mengen und Mengendiagramme• Vorzeichen von Sinus und Cosinus• Lineare Funktionen– Zeichnen des Funktionsgraphen– Steigung von Geraden– Veränderung der Parameter k und d

• Darstellung eines Zahlenpaars als Pfeil• Darstellung eines Zahlenpaars als Punkt



mögliche Gefahren

• keine bzw. zu offene Aufgabenstellung • das Wesentliche wird nicht hervorgehoben, der

Fokussierungsgrad ist zu gering• es wird keine kognitive Anstrengung der

SchülerInnen verlangt – man kommt durch einfaches Klicken/Probieren weiter– Lösung ist zu offensichtlich

• keine Möglichkeit den Stoff nachzulesen



nicht vorstrukturierte Nutzung

• Kommunikationsmittel– heuristisches Argumentationsmittel in mathematischen Diskussionen

• „Denkzeug“/Unterstützung– Entlastung von Routinetätigkeiten, Delegation an den Computer bzw.

GeoGebra – zu komplexe Vorgänge werden ausgelagert– entlastet

• Kontrollinstanz– Überprüfen von zuvor abgelaufenen Prozessen (Denkvorgänge,

Rechnen und Operieren, …) (nach: Roth, J., 2008, verändert)



Computer-Algebra-System

• Wichtige Begriffe in der 5. Klasse– Numerische Ausgabe– Ausmultiplizieren/Faktorisieren– Gleichungen lösen können– Gleichungssysteme lösen können– Zuteilungen– Erweiterung• Vektoren (rechnet mit Zahlenpaaren)

Aufgabe: Von drei verschiedenen quadratischen Gleichungen der Form x²+px+q=0 ist jeweils eine besondere Eigenschaft bekannt:• Gleichung 1: Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.• Gleichung 2: Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen.• Gleichung 3: Genau eine der beiden Lösungen ist 0.Was kannst du in diesen drei Fällen aufgrund der Bedingung über die Koeffizienten p und q aussagen? Gib jeweils drei Beispiele an!

(Quelle: Herget, W., 2000, S.58, verändert)



Untersuchungsergebnisse CAS

• Die vertraute Handhabung von CAS ist ein langer Prozess

• SchülerInnen brauchen fast ein Schuljahr um Sicherheit im Umgang mit CAS zu bekommen und um das CAS sinnvoll beim Problemlösen zu benutzen

• SchülerInnen experimentieren mit CAS mehr• SchülerInnen die ein CAS benutzen haben ein

besseres Testergebnis, als SchülerInnen die keines benutzen

(nach: Weigand, H., 2009)



Werkzeuge/Werkzeugapplets

• Erstellen von W/WA:– Unterscheiden zwischen

• Erstellen eines Werkzeuges in GeoGebra• Erstellen einer GeoGebra Datei, die als Werkzeug/Anwendung als

Gesamtes dient

– Erweiternder Fokussierungsgrad

• Verwenden von W/WA– vorgefertigte Dateien– dienen zum Lösen eines speziellen Problems– Hoher Fokussierungsgrad



Werkzeugapplet: Vektorrechnung mit GeoGebra und Geocaching

• Was ist Geocaching?„Geocaching ['geːokɛʃɪŋ] ist eine Hightech Schatzsuche, das weltweit von Leuten, ausgerüstet mit einem GPS-Gerät, gespielt wird. Die Grundidee ist es, im Freien versteckte Behältnisse, genannt "Geocaches" zu suchen und zu finden, und die Erfahrungen online zu teilen. Geocacher sind eine Gemeinschaft aus jeder Altersgruppe, mit Sinn für Gemeinschaft und Umwelt...“ (Quellle: http://www.geocache.at/cms/startseite,9.4.2014)

• die Cache-Dichte in Wien beträgt ca. 8 Caches/km² (Quelle: http://aj-

gps.net/distribution, 16.42014)

(Quelle: c:geo-App für Android, 16.4.2014 )->(Que

lle: h

ttp:

//si

mpl

e.w

ikip

edia

.org

/wik

i/Fi

le:G

eoca

che_

open

ed.jp

g, 1

6.4.

2014

)



• Die erste Peilung findet von N48°12.886‘ E16°21.806‘ unter einem Winkel von 31.807° statt. Die zweite Peilung wird unter dem Winkel -46.812° von N48°13.016‘ E16°22.268‘ getätigt. Das Final befindet sich beim Schnittpunkt der beiden Peilungen. Welche Koordinaten hat der Schatz?

Problemstellung

Internetforum: „2 Leute und 2 GPS Geräte nutzen Jeder peilt von einem Punkt aus .. beide laufen los...“ (Quelle: http://forums.groundspeak.com/GC/index.php?showtopic=280081, 21.3)

(Quelle: https://itunes.apple.com/at/app/gctools-die-geocaching-tool/id438313105?mt=8, 16.4.2014)(Quelle: c:geo-App für Android, 16.4.2014)



Überlegungen• Umrechnung von GPS-Koordinaten in

kartesische Koordinaten• Geographische Breite: 1° entspricht 111,12 km

(zweite Koordinate)• Geographische Länge: schwieriger, Längengrade

in der Nähe des Nordpols laufen zusammen. (erste Koordinate)

• Abweitung: bezeichnet dabei den Abstand zweier Punkte auf einem Breitegrad.

𝐀𝐛𝐰𝐞𝐢𝐭𝐮𝐧𝐠=𝐃𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐳𝐝𝐞𝐫 𝐋 ä𝐧𝐠𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞 ⋅𝐜𝐨𝐬 (𝐁𝐫𝐞𝐢𝐭𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐝 )⋅𝟏𝟏𝟏 ,𝟏𝟐



Final (Schatz)

(Quelle: http://www.xxyyzz.cc/, 18.4.2014)



mögliche Gefahren

• Die Konstruktion wird nicht verstanden• Werkzeuge werden zur Black-Box• Selbst für die geringste kognitive Leistung wird

ein Werkzeug erstellt, der Computer nimmt jegliche Denkleistung

• „Der schöne Schein“: Ergebnisse werden nicht hinterfragt



Einbindung in längere Sequenzen• Lernpfade

– Regionales Fachdidaktikzentrum der PH NÖhttp://rfdz.ph-noe.ac.at/material/lernpfade.html

– Matheonlinehttp://www.mathe-online.at/lernpfade/

– Austromathhttp://www.austromath.at/medienvielfalt/

– Jürgen Rothhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/index.html

– AK Mathematik Digitalhttp://wikis.zum.de/zum/Mathematik-digital

• GeoGebraTube bzw. GeoGebra-Books– http://www.geogebratube.org/



Welche Werkzeuge sollen im Unterricht durchgenommen werden?

• Goldene Regel(n):– technische und inhaltliche Lernprozesse verknüpfen (zB

wenn neue Werkzeuge aus der Werkzeugleiste eingeführt werden)

– Nur diese Werkzeuge behandeln/erstellen, die wieder gebraucht werden (vertikal und horizontal)

• Werkzeuge– Basics: Punkt, Strecke, Gerade, Vieleck, … – Schieberegler (funktionales Verständnis)

(Quelle: Leuders, T., 2003)



Demonstration

Lernen

Entdecken

Einbinden in eine

längere Sequenz

Nicht

vorstrukturierte

Nutzung

Werkzeug II Fokussierungsgrad

Aktiv

Zeit

LehrerIn

SchülerIn

volls

tänd

ig

teilw

eise

unst

rukt

urie

rt

erw

eite

rnd

Werkzeug I



Literatur• Ableitinger, Ch./Dorner, Ch./Embacher, F./Ulovec, A., (2014) Mathematik verstehen 5 Technologietraining. öbv&hpt Verlag,

Wien.• Clement, J., (1985), Misconceptions in graphing. In: the proceedings of the ninth conference of the international group for

the psychology of mathematics education, Noordwijkerhout.• Elschenbroich, H.-J., (2003), Unterrichtsgestaltung mit Computerunterstützung. In: Mathematik Didaktik, S.212-233,

Cornelson Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, Berlin.• Herget, W.,(2000), Die etwas andere Aufgabe. In: Mathematik lehren, 102, S.58-59.• Hirscher, H., (2013), Zum Einfluss der Informatik auf die Mathematikdidaktik – Weiterhin nur Computereinsatz und noch

immer keine Medienbildung? In: GDM-Mitteilungen, 95, S.15-23.• Hohenwarter, M., (2006), Funktionales Denken mit der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra. In: Proceedings of

Eichstätter Kolloquium zur Didaktik der Mathematik, Eichstätt-Ingolstadt.• Hohenwarter, M., (2006), GeoGebra – didaktische Materialien und Anwendungen für den Mathematikunterricht.

Dissertation, Salzburg. • Leuders, T., (2003), Chancen und Risiken des Computereinsatzes im Mathematikunterricht. In: Mathematik Didaktik, S.198-

211, Cornelson Verlag Scriptor GmbH & Co. KG, Berlin.• Malle, G./Woschitz, H./Koth, M./Salzger, B., (2010), Mathematik verstehen 5, öbv&hpt Verlag, Wien.• Roth, J., (2008), Dynamik von DGS – Wozu und wie sollte man sie nutzen? In: Bericht über die 23. Arbeitstagung des

Arbeitskreises „Mathmatikunterricht und Informatik“.• Roth, J., (2008), Systematische Variation Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, 146,

S.17-21.• Roth, J., (2005), Figuren verändern – Funktionen verstehen. In: Beträge zum Mathematikunterricht, 39 ,S.481-484.• Schowalter, A., (2013), Einsatz von Geocaching mit GPS-Geräten in der Einführung der Analytischen Geometrie. In:

Mathmatikunterricht, 59, S.51-59.• Vogel, M., (2007), Multimediale Unterstützung zum Lesen von Funktionsgraphen – Grundlagen, Anwendungen und

empirische Untersuchung eines theoriegeleitenden Ansatzes zur Arbeit mit multiplen Repräsentationen. In: mathematica didactica, 30, S.3-28.

• Weigand, H.-G., (2009), CAS we can!- But should we? The integration of symbolic calculators into mathematics lessons. In: the proceedings 2009 of ICTMT 9 in Metz.



Internetlinks

• http://aj-gps.net/distribution, 16.42014

• https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf, 27.2.2014

• http://forums.groundspeak.com/GC/index.php?showtopic=280081, 21.3.2014

• http://www.geocache.at/cms/startseite,9.4.2014

• https://itunes.apple.com/at/app/gctools-die-geocaching-tool/id438313105?mt=8, 16.4.2014

• http://simple.wikipedia.org/wiki/File:Geocache_opened.jpg, 16.4.2014

• http://www.xxyyzz.cc/, 18.4.2014

Documents

Fakultät für Mathematik Christian Dorner Einsatzmöglichkeiten für GeoGebra in der 5. Klasse AHS Mag. Christian Dorner BSc