Federpendel

5/11/2018 Federpendel - slidepdf.com

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Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-1

2. Lagrange-Gleichungen

●

Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich dieBewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfachaufstellen.

● Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich dieLagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Auf-

stellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht.● Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für

konservative Systeme. Konservative Systeme sind Sys-teme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.




2. Lagrange-Gleichungen

2.1 Lagrange-Gleichungen für allgemeine Systeme2.2 Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme

2.3 Beispiel: Federpendel

2.4 Beispiel: Hallenkran




2.1 Allgemeine Systeme

●

Verallgemeinerte Koordinaten: – Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der

Massenpunkte durch n Ortsvektoren r i beschrieben.

– Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallge-meinerten Koordinaten q

j :

– Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die linearisiertenBeziehungen

r i =r i q1 , , q f , i =1, , n

˙r i =

∂ r i

∂q1 q1

∂r i

∂q f q f =∑ j

∂r i

∂ q j q j , i =1, , n





●

Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte: – Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt:

– Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden:

– Mit den verallgemeinerten Kräften

folgt:

P =∑i

F i

e⋅ r i =∑

i

F i

e ⋅∑ j

∂ r i

∂ q j

q j =∑i

∑ j

F i

e ⋅∂ r

i

∂ q j

q j

P =∑ j

∑i

F i

e ⋅∂ r

i

∂ q j

q j

Q j =∑i

F i

e ⋅∂ r

i

∂ q j

P =∑ j

Q j q j





–

Beispiel: Pendel x

z

Rφ

m g

r = R sin e x

cose z

F e =mg e

z

∂ r

∂= R cose

x−sin e

z

Q= F e ⋅

∂ r

∂ =mg e

z ⋅ R cose

x−sine

z =−mg R sin

P =Q =−mg R sin





●

Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: – Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt:

– Wegen

gilt:

P T =−∑i

mi r i ⋅ r i =−∑

i

mi r i ⋅∑ j

∂ r i

∂ q j

q j

=−∑i ∑ j mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j q j =−∑ j ∑i

mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j q j

d

dt r i ⋅∂ r i

∂ q j = r

i ⋅

∂ r i

∂ q j

r i ⋅

∂ r i

∂ q j

mi r i ⋅∂ r i

∂ q j

=mi d dt

r i ⋅∂ r i

∂ q j −mi r i ⋅∂ r i

∂ q j





–

Ausfolgt:

– Ableiten nach führt auf

– Damit gilt:

r i

=r i

q1

, , q f

, i =1, , n

r i =

∂ r i

∂ q1

q1

∂ r i

∂ q f

q f =∑ j

∂ r i

∂ q j

q j

q j

∂ r i

∂ q j

=∂ r

i

∂ q j

mi r i ⋅∂ r

i

∂ q j

=mi

d

dt

r i ⋅

∂ r i

∂ q j

−mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j

=d

dt

mi r i ⋅

∂ r i

∂˙q

j

−mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j





–

Wegen

gilt:

– Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt:

∂∂ q j mi r i ⋅r i =mi

∂ r i

∂ q j ⋅r i mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j =2mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j

∂∂ q j

mi r i ⋅r i =mi

∂ r i

∂ q j

⋅r i mi r i ⋅

∂ r i

∂ q j

=2mi r i ⋅∂ r

i

∂ q j

mi r i ⋅∂ r

i

∂ q j

=d

dt [ ∂∂ q j

12 mi r i 2]− ∂

∂ q j 12 mi r i

2

T i =1

2 mi v i

2

=1

2 mi r i 2





–

Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:

– Mit der kinetischen Energie des Gesamtsystemsfolgt:

P T =−∑ j

∑i

mi r i ⋅∂r

i

∂ q j

q j =−∑ j

∑i

d

dt

∂T i

∂ q j

−∂T i

∂q j q j

T =

∑i

T i

P T =−∑ j [ d

dt ∂ T

∂ q j −

∂ T

∂ q j ] q j





●

Prinzip der virtuellen Leistung: – Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung

folgt damit:

– Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-ander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für belie-bige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summandfür sich verschwinden.

P P T =0

∑ j [Q j −

d

dt ∂T

∂ q j ∂T

∂ q j ] q j =0





●

Ergebnis: – Das Prinzip der virtuellen Leistung muss für beliebige virtu-

elle Geschwindigkeiten gelten. – Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-

ander sind, müssen die folgenden f Gleichungen erfüllt sein:

– Diese Gleichungen werden als Lagrangesche Gleichungen2. Art bezeichnet.

d

dt ∂ T

∂ q j − ∂ T

∂ q j

=Q j , j =1, ,





●

Beispiel: Pendel – Kinetische Energie:

– Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt:

– Ableitungen der kinetischen Energie:

– Bewegungsgleichung:

T =1

2m ˙ x

2 ˙ z 2

˙ x = R cos , ˙ z =− R sin T =

1

2 m R

2

2

∂ T

∂ =m R

2 ,d

dt

∂ T

∂ =m R

2 ,∂T

∂=0

m R2=Q=−mg R sin




2.2 Konservative Systeme

●

Konservative Systeme: – Ein System heisst konservativ, wenn alle eingeprägten

Kräfte konservativ sind. – Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an

einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und

Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunktbeschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.

C 1

C 2

P1

P 2

W 12=∫C 1

F ⋅d r =∫C 2

F ⋅d r





– Die Gewichtskraft ist einekonservative Kraft:

– Die Kraft einer linear elastischen Feder isteine konservative Kraft:

x

y

z

G

P1

P 2

C 1

C 2

W G=−mg z 2− z 1

F

s1

s 2

r

W F =−12

c s22−s1

2





●

Potenzial: – Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einemOrt P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einemMassenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festenBezugspunkt P

0verschoben wird:

P0

P

C 0

V P =W 0=∫C 0

F ⋅d r





– Potenzial der Gewichtskraft:● Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für

das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche:

– Potenzial der Federkraft:● Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann

gilt für das Potenzial der Federkraft:

V G x , y , z =mg z

V F s=1

2

c s2





●

Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial: – Für eine infinitesimale Änderung des Ortes gilt:

– Auf dem Weg vom Punkt mit den Koordinaten ( x , y , z ) anden Punkt mit den Koordinaten ( x+dx , y+dy , z+dz ) verrich-tet die Kraft die Arbeit

V x dx , ydy , z dz =V x , y , z dV

=V x , y , z ∂V

∂ x dx

∂ V

∂ ydy

∂V

∂ z dz

dV =∂ V

∂ x dx

∂ V

∂ ydy

∂V

∂ z dz

dW = F ⋅d r = F x dx F y dy F z dz





– Aus folgt:

– Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten desPotentials.

– Schwerkraft:

– Federkraft:

dV =−dW F x =−∂ V ∂ x

F y=−∂ V

∂ y F =−

∂V

∂ r

F z =−∂ V

∂ z

V G x , y , z =mg z G z =−∂ V G

∂ z =−mg

V F s=1

2c s

2 F s=−∂ V F

∂ s=−c s





●

Systeme von Massenpunkten: – Für ein System von Massenpunkten ist die potenzielleEnergie gleich der Summe der potenziellen Energien der Massenpunkte:

– Für die Kraft auf einen Massenpunkt folgt:

– Damit gilt für die verallgemeinerten Kräfte:

V r 1 , , r

n=∑

i

V i r i

F i

e =−∂ V i

∂ r i

=−∂V

∂ r i

Q j =∑i F i

e⋅

∂ r i

∂ q j =−∑i

∂V ∂ r i

⋅∂ r

i

∂ q j =− ∂ V ∂ q j





– Dabei ist

● Lagrangesche Gleichungen für konservative Systeme:

– Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind,lauten die Lagrangeschen Gleichungen:

– Die Funktion

wird als Lagrangesche Funktion bezeichnet.

V q1

, , q f

=V

r 1q

1

, , q f

, , r n

q1

, , q f

d

dt ∂ T

∂ q j −∂ T

∂ q j

=− ∂V

∂ q j

d

dt ∂ T

∂ q j − ∂∂ q j

T −V =0

L=T −V





– Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeitenabhängt, erfüllt die Lagrangesche Funktion die Gleichungen

– Das sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für konser-vative Systeme.

– Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur diekinetische und die potenzielle Energie berechnet werden.

– Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzierennach den verallgemeinerten Koordinaten.

d

dt ∂ L

∂ q j − ∂ L

∂ q j

=0, j =1, , f





● Beispiel: Pendel x

z

Rφ x = R sin , z = R cos

V =−mg z =−mg R cos

L=T −V =1

2

m R2 2mg R cos

∂ L

∂ =m R

2 ,

d

dt ∂ L

∂ =m R2

∂ L

∂ =−mg R sin m R

2 m g R sin=0





● Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte:

– Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte,dann können die konservativen Kräfte in der Lagrange-Funktion berücksichtigt werden.

– Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verall-

gemeinerten dissipativen Kräfte:

d

dt ∂ L

∂ q j − ∂ L

∂ q j

=Q j

d , j =1, , f





● Aufgabenstellung:

– Der abgebildete Schwinger besteht auseinem Massenpunkt der Masse m undeiner Feder mit der Federkonstanten c .

– Die augenblickliche Länge der Feder ist

R. – Die Länge der Feder im entspannten

Zustand ist R0.

– Gesucht sind die Bewegungsglei-chungen, wenn vorausgesetzt wird,dass der Schwinger sich nur in der Ebene bewegt.

c

m

P

R





● Verallgemeinerte Koordinaten:

– Die Lage des Massenpunktes liegteindeutig fest, wenn die aktuelle LängeR der Feder und der Winkel φ gegebensind.

– Als verallgemeinerte Koordinatenwerden gewählt:m

P

R φ

z

x

q1=R

R0

, q2=





– Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Ko-ordinaten besteht der Zusammenhang

– Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

x = R sin= R0

q1sinq

2 , z = R cos= R

0q

1cosq2

v x = ˙ x = R0 q1sinq2q1 q2cosq2 v z = ˙ z = R0 q1cosq2−q1 q2sinq2





● Kinetische Energie:

– Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt:

T q1 ,q2 , q1 , q2=1

2m v x

2v z

2

=1

2m R0

2

[ q1sinq2q1 q2cosq2

2

q1cosq2−q1 q2sinq2

2

]=

1

2m R0

2 q1

2q1

2q2

2





● Potenzielle Energie:

– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellenEnergie der Gewichtskraft.

– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft

wird die entspannte Feder gewählt. – Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:

V F q1 , q2=1

2c R− R0

2=

1

2c R 0

2 q1−1 2





– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird Punkt P gewählt.

– Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft:

V G q1 , q2=−mg z =−mg R 0 q1 cos q2





● Lagrange-Funktion:

– Für die Lagrange-Funktion gilt:

– Dabei ist

– Die Lagrange-Funktion ist also gegeben durch

Lq1 , q2 , q1 , q2=T q1 , q2 , q1 , q2−V q1 , q2

V q1 , q2=V F q1 ,q2V G q1 , q2

L=1

2m R0

2 q1

2q1

2q2

2 − 1

2c R0

2 q1−1 2mg R0 q1 cosq2





● Ableitungen der Lagrange-Funktion:

∂ L

∂ q1

=m R0

2q1

d

dt ∂ L

∂ q1=m R0

2q1

∂ L

∂ q2

=m R 0

2q1

2q2

d

dt ∂ L

∂ q2=m R 0

2 2 q1 q1 q2q1

2q2

∂ L

∂ q1

=m R0

2q1 q2

2−c R0

2 q1−1 mg R 0 cos q2

∂ L

∂ q2

=−mg R 0 q1 sin q2





● Lagrange-Gleichungen:

d

dt ∂ L

∂ q1− ∂ L

∂ q1

=0

m R0

2q1−m R0

2q1 q2

2c R0

2 q1−1 −mg R0cosq2=0

d

dt ∂ L

∂ q2−

∂ L

∂ q2

=0

m R0

2

2 q

1

q1

q2

q1

2q

2

mg R

0

q1

sin q2

=0





– Die Bewegungsgleichungen lauten also:

q1−q1 q2

2c

m q1−1 −

g

R0

cosq2=0

q1 q22 q1 q2g

R0

sinq2=0

R= R0 q1 , =q2





● Spezialfall: Geradlinige Bewegung

– Für die Anfangsbedingungen ist

eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung.

– Die erste Bewegungsgleichung lautet dann

– Die statische Lösung dieser Gleichung ist

q2 0=0, q20=0

q2 t =0

q1c

m q1−1 −

g

R0

=0 q1c

mq1=

c

m

g

R0

q1 s=1 mg c R 0

R s= R0 mg c





– Rs

ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in

der Ruhelage hat. – Mit folgt:

– Daraus folgt:

– Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der sta-tischen Ruhelage.

– Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassen-schwingers.

q1=q1 s x ¨ x c

m q1 s x =

c

m

g

R0

¨ x c

m

x =0





● Grenzfall: Sehr steife Feder

– Für folgt aus der ersten Gleichung:

– Damit lautet die zweite Gleichung:

– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischenPendels.

c / m ∞ q1 1

q2g

R0

sin q2=0





m 2

m1c

H





● Berechnungsmodell:

– Der Hallenkran besteht aus einem als starr angenommenenTräger, auf dem sich die Laufkatze bewegt.

– Die Laufkatze hat eine Gesamtmasse m1.

– Die Elastizität des Antriebs wird durch eine lineare Feder mit der Federkonstanten c abgebildet.

– An der Laufkatze hängt an einem dehnstarren masselosenSeil der Länge H die Traglast der Masse m

2.





– Die Laufkatze läuft auf vier Rädern. – Das Massenträgheitsmoment eines jeden Rades um seine

Achse ist J . – Jedes Rad hat den Radius R.

● Aufgabenstellung:

– Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen für den

Fall, dass der Antrieb ausgeschaltet ist.

R J





● Wahl der Koordinaten:

m 2

m1c

x

z

φ





– Physikalische Koordinaten:

● Die Position der Laufkatze wird durch die Koordinate x 1

be-

schrieben, die ab der Ruheposition gemessen wird.● In der Ruheposition ist die Feder entspannt.● Die Stellung der Räder wird durch den Winkel φ beschrieben,

der ab der Stellung der Räder in der Ruheposition gemessenwird.● Es wird angenommen, dass die Räder rollen. Daher haben

alle Räder den gleichen Winkel φ.

● Die Position der Traglast wird durch die Koordinaten x 2

und z 2

beschrieben.





– Zwangsbedingungen:● Die Räder der Laufkatze rollen, ohne zu gleiten. Daher gilt:

● Die Länge des Seils ist konstant:

˙ x 1= R =˙ x 1

R

x 2− x 1 2 z 2

2= H

2

R

˙ x 1





– Verallgemeinerte Koordinaten:● Das System hat 2 Freiheits-

grade.● Als verallgemeinerte Koordina-

ten werden die Position x 1

der

Laufkatze und der Winkel ψ,der die Lage der Traglastbeschreibt, gewählt.

– Zusammenhang zwischen denKoordinaten:

x

z

ψ

x 1

x 2= x 1 H sin , z 2= H cos

˙ x 2= ˙ x 1 H cos , ˙ z 2=− H sin





● Kinetische Energie:

– Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der trans-latorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotato-rischen kinetischen Energie der vier Räder und der kine-tischen Energie der Traglast.

–

Translatorische kinetische Energie der Laufkatze:

– Kinetische Energie der vier Räder:

T 1 T =1

2m1 ˙ x 1

2

T 1 R=4⋅1

2

J 2=2

J

R2

˙ x 12





– Kinetische Energie der Traglast:

– Gesamte kinetische Energie:

T 2=1

2m2 ˙ x 2

2 ˙ z 2

2= 1

2m2 [ ˙ x 1 H cos

2

2 H

2sin

2]

=1

2m2 ˙ x 1

22 ˙ x 1 H cos H 2 2

T =T 1 T T 1 RT 2

=[ 1

2 m1m2 2

J

R2 ] ˙ x 1

2

1

2m2 H

2

22 ˙ x 1 H cos





● Potenzielle Energie:

– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellenEnergie der Gewichtskraft.

– Die potenzielle Energie der Federkraft wird ab der Ruhe-

lage, in der die Feder entspannt ist, gemessen. Dann gilt

– Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems

gelegt. Dann gilt:

V F =1

2c x 1

2

V G=−m2 g z 2=−m2 g H cos





– Gesamte potenzielle Energie:

● Lagrange-Funktion:

V =V F V G=1

2c x 1

2−m2 g H cos

L=T −V

L=[1

2m1m2 2

J

R2 ] ˙ x 1

21

2m2 H

222 ˙ x 1 H cos

−1

2c x 1

2m2 g H cos





– Mit folgt:

– Ableitungen:

m1=m14 J / R2

L=1

2 m1

m2 ˙ x 12

1

2m2 H

2 22 ˙ x 1 H cos

−1

2c x 1

2m2 g H cos

∂ L

∂ ˙ x 1= m1m2 ˙ x 1m2 H cos

d

dt

∂ L

∂ ˙ x 1

= m1m2 ¨ x 1m2 H cos− 2

sin





∂ L

∂ =m2 H H ˙ x 1 cos

d

dt ∂ L

∂ =m2 H H ¨ x 1 cos − ˙ x 1 sin

∂ L

∂ x 1=−c x 1 ,

∂ L

∂ =−m2 H ˙ x 1 g sin





● Lagrange-Gleichungen:

d

dt ∂ L

∂ ˙ x 1 − ∂ L

∂ x 1=0

m1m2 ¨ x 1m2 H cos −2sin c x 1=0

d

dt ∂ L

∂ 1−

∂ L

∂ =0

m2 H H ¨ x 1 cos − ˙ x 1 sin m2 H ˙ x 1 g sin =0





– Die Bewegungsgleichungen lauten also:

H ¨ x 1cos g sin=0

m1m2 ¨ x 1m2 H cos− 2sin c x 1=0





● Grenzfall: Sehr steife Feder

– Für folgt aus der ersten Gleichung:


– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischenPendels.

c ∞ x 1 0

g

H sin =0





● Linearisierung:

– Für kleine Winkel ψ gilt:

– Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu

– Dieses System von zwei gekoppelten homogenen linearenDifferentialgleichungen beschreibt die freien Schwingungeneines Systems mit zwei Freiheitsgraden.

cos ≈1, sin ≈ , 2sin ≈2 ≈0

m1m2 ¨ x 1 m2 H c x 1 = 0

¨ x 1 H g = 0





– Für den Spezialfall c = 0 folgt aus der ersten Gleichung:


–

Wenn die Trägheit der Laufkatze groß gegenüber der Masse der Traglast ist, gilt

– Damit ergibt sich die linearisierte Gleichung für das mathe-matische Pendel:

¨ x 1=−m2 H

m1m2

g

H

m1m2

m1

=0

m

1m2

m1m2

m1

=1m2

m1

≈1

g H

=0

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