2
FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF. DR. MANFRED BAYER Übungsblatt 4 Abgabe bearbeiteter Übungszettel bis Freitag, 3. November, 12 Uhr! Aufgabe 1: Bragg-Bedingung Zeigen Sie, dass die fundamentale Auswahlregel ! ! = !!" mit dem reziproken Gittervektor !!" äquivalent ist zur oft verwendeten Bragg-Bedingung (2 sin = )! Erinnern Sie sich dazu daran, wie der Betrag des Vektors !!" mit dem Abstand der Netzebenen mit den entsprechenden Miller-Indizes zusammenhängt. Aufgabe 2: Wellen für Kristallstrukturanalyse Überlegen Sie sich, welche Energien Photonen, Elektronen und Neutronen haben müssen, um damit Strukturanalyse mit einer Auflösung von 0,1 nm durchführen zu können! Aufgabe 3: Atomformfaktor von Wasserstoff Benutzen Sie die Grundzustandswellenfunktion von Wasserstoff, um daraus die Elektronendichte zu ermitteln. Berechnen Sie mit dieser Elektronendichte den Atomformfaktor des Wasserstoffatoms! Aufgabe 4: LCAO-Methode beim Doppelpotentialtopf Der Doppelpotentialtopf kann als einfaches Modell für die Bindung eines zweiatomigen Moleküls wie Wasserstoff H 2 betrachtet werden. Aus den Energieeigenwerten im Doppelpotentialtopf kann grundsätzlicher Einblick in die Modifikation des atomaren Niveauspektrums durch Molekülbindung genommen werden. Die Potentiallandschaft ist in der nebenstehenden Skizze gezeigt. Wir nehmen an, dass wir die Grundzustände φ ! + und φ ! in den beiden entkoppelten Potentialtöpfen gleicher Breite kennen, und diese Zustände wohl separiert sind von höheren Zuständen. Zur Erfassung des Einflusses der Kopplung nehmen wir an, dass man die Wellenfunktion durch lineare Superposition der entkoppelten Wellenfunktionen darstellen kann: Ψ = ! φ ! + + ! φ ! . Ähnlich werden in der LCAO (linear combination of atomic orbitals)-Methode Molekülorbitale konstruiert. Zwei Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ! und ! erhält man, indem

FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER … · FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF.DR.MANFRED BAYER Übungsblatt 4 Abgabe bearbeiteter Übungszettel bis Freitag, 3. November,

  • Upload
    vudien

  • View
    221

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER … · FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF.DR.MANFRED BAYER Übungsblatt 4 Abgabe bearbeiteter Übungszettel bis Freitag, 3. November,

FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF. DR. MANFRED BAYER

Übungsblatt4AbgabebearbeiteterÜbungszettelbisFreitag,3.November,12Uhr!

Aufgabe1: Bragg-Bedingung

Zeigen Sie, dass die fundamentale Auswahlregel 𝒌! − 𝒌! = 𝑮!!" mit dem reziprokenGittervektor 𝑮!!" äquivalent ist zur oft verwendeten Bragg-Bedingung (2𝑑 sin𝜃 = 𝑛𝜆)!ErinnernSiesichdazudaran,wiederBetragdesVektors𝑮!!" mitdemAbstandderNetzebenenmitdenentsprechendenMiller-Indizeszusammenhängt.Aufgabe2: WellenfürKristallstrukturanalyse

ÜberlegenSiesich,welcheEnergienPhotonen,ElektronenundNeutronenhabenmüssen,umdamitStrukturanalysemiteinerAuflösungvon0,1nmdurchführenzukönnen!Aufgabe3: AtomformfaktorvonWasserstoff

BenutzenSiedieGrundzustandswellenfunktionvonWasserstoff,umdarausdieElektronendichtezu ermitteln. Berechnen Sie mit dieser Elektronendichte den Atomformfaktor desWasserstoffatoms!Aufgabe4: LCAO-MethodebeimDoppelpotentialtopf

Der Doppelpotentialtopf kann als einfaches Modell für die Bindung eines zweiatomigenMoleküls wie Wasserstoff H2 betrachtet werden. Aus den Energieeigenwerten imDoppelpotentialtopf kann grundsätzlicher Einblick in die Modifikation des atomarenNiveauspektrumsdurchMolekülbindunggenommenwerden.Die Potentiallandschaft ist in der nebenstehenden Skizzegezeigt.Wir nehmen an, dass wir die Grundzuständeφ! 𝑥 + 𝑎 und φ! 𝑥 − 𝑎 in den beiden entkoppeltenPotentialtöpfen gleicher Breite kennen, und diese Zuständewohl separiert sind von höherenZuständen. Zur Erfassung des Einflusses der Kopplung nehmen wir an, dass man dieWellenfunktiondurchlineareSuperpositionderentkoppeltenWellenfunktionendarstellenkann:

Ψ 𝑥 = 𝑐!φ! 𝑥 + 𝑎 + 𝑐!φ! 𝑥 − 𝑎 .Ähnlichwerden in der LCAO (linear combinationof atomicorbitals)-MethodeMolekülorbitalekonstruiert. Zwei Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten 𝑐!und 𝑐!erhältman, indem

Page 2: FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER … · FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF.DR.MANFRED BAYER Übungsblatt 4 Abgabe bearbeiteter Übungszettel bis Freitag, 3. November,

FESTKÖRPERPHYSIK IM WINTERSEMESTER 2017/18 PROF. DR. MANFRED BAYER

mansieindieSchrödinger-Gleichungeinsetztundeinmalmit𝜑!∗ 𝑥 + 𝑎 durchmultipliziertunddann über 𝑥 integriert, ein andermalmit𝜑!∗ 𝑥 − 𝑎 durchmultipliziert und über 𝑥 integriert.Über die Koeffizientendeterminante lassen sich die Eigenwerte des gekoppelten Problemsbestimmen.InterpretierenSiedabeiinsbesonderediedarinauftretendenMatrixelemente!