信頼性工学 資料T.Kurashiki

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講義「信頼性工学」

担当： 倉敷 哲生（ビジネスエンジニアリング専攻）

システムの信頼性

内容

１．直列システムの信頼性

２．並列システムの信頼性

３．直列・並列の複合システムの信頼性

４．信頼性向上のための手法

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システムの構成

種々の機械や構造物，システムを分割していけば．個々の要素（サブシステム）となる．

直列系

サブシステムの組み合わせ方式

並列系

ｍ／ｎ冗長系

待機冗長系

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3

直列システムの信頼性

直列系（series system）

システムを構成する要素のうち，どれか１つでも故障すると，

システムとしての機能が失われるようなシステム．

)(1 tR )(2 tR )(3 tR )(tRn

システムの信頼度は，全ての構成要素が故障しない確率．

)()()()()( 211

tRtRtRtRtR n

n

iiS

n

ii

n

iiS tFtRtF

11

))(1(1)(1)(

システムの信頼度は，構成要素の信頼度の中の最小値より高くはならない．

nS RRRR ,,,min 21

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4

直列システムの信頼性

直列系の信頼度 直列系の不信頼度

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直列システムの故障率

故障率の定義【復習】

t

dxxtRtR

dttdR

tR

tft

0)(exp)(

)(

/)(

)(

)()(

tn

ii

n

i

t

i

n

i

t

i

n

iiS

dxxdxx

dxxtRtR

011

0

10

1

)(exp)(exp

)(exp)()(

直列系の故障率

n

iiS tt

1

)()( 直列系ではシステムの故障率は構成要素の故障率の和に等しい．

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6

指数分布に従う直列システム

直列システムの各要素の故障発生時間が指数分布に従う場合

tdt

dRtf nn

SS )(exp)()( 2121

直列システムの故障密度関数

ttRtR n

n

iiS

)(exp)()( 211

i (i=1～n) は時間によらず一定

直列システムの平均寿命

nS

S

21

11

構成要素の故障率がいずれも等しければ(cとする)，

nn

c

c

S

1直列系の平均寿命は要素の平均寿命cの1/n となる．

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並列システムの信頼性

並列系（parallel system）

システムを構成する要素のうち，全てが故障したときに

はじめてシステムとしての機能が失われるシステム．

構成要素の故障は互いに独立だとすれば，システムの不信頼度，信頼度は次式となる．

)()()()()( 211

tFtFtFtFtF n

n

iiS

n

ii

n

iiS tRtFtR

11

))(1(1)(1)(

構成要素の信頼度が高くなくても，並列系にすればシステムの信頼度を向上させることができる．

)(1 tR

)(2 tR

)(3 tR

)(tRn

（例） 信頼度0.99 の構成要素が２個並列であるシステム

9999.0)99.01(1)(2

1

i

S tR

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並列システムの信頼性

並列系の信頼度 並列系の不信頼度

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指数分布に従う並列システム

並列システムの各要素の故障発生時間が指数分布に従う場合

)exp()]exp(1[

)(

1 ttn

dt

dRtf

ccn

c

SS

並列システムの故障密度関数

構成要素の故障率はいずれも等しいものとする(これを cとする)

指数分布ではない

nc

n

iiS ttRtR )]exp(1[1))(1(1)(

1

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指数分布に従う並列システム

並列システムの平均寿命

000

])}exp(1{1[)()( dttdttRdttft ncS

)exp(1 tz c の変数変換により，

c

c

n

c

n

c

S

nn

dzzzzdzz

z

1

3

1

2

11

1

3

1

2

11

1

)1(1

1

11 1

0

121

0

dttdz cc )exp(

構成要素が２個（平均寿命は共に同じ）の並列システムの平均寿命は３／２倍に延びる．

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冗長系システム

冗長系（redundant system）

同一機能を有する構成要素を複数個併用して，そのうち一部が故障しても

システム全体の機能が維持できるように設計したシステム．

)(1 tR

)(2 tR

)(3 tR

)(tRn

)(1 tR

)(2 tR

)(3 tR

)(tRn

m/n選択器

)(1 tR

)(2 tR

並列系(parallel system)

ｍ／ｎ冗長系(m out of n system)

待機冗長系(stand by system)

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直列・並列の複合システム（１）

2R

3R1R

1R

3R

2R

4R

)1)(1(1 32 RRRA

)]1)(1(1[ 321

1

RRR

RRR AS

A A

B

21 RRRA

43 RRRB

)1)(1(1 4321 RRRRRS

直列・並列複合システム

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直列・並列の複合システム（２）

直列・並列複合システム

1R 2R nR

サブシステムレベルでのm重の並列系

1R 2R nR

要素レベルでのm重の並列系

mnS RRRR )1(1 21

n

i

miS RR

1

])1(1[

例題１ n = 3（R1=0.99, R2=0.95, R3=0.90）として，m = 2 の並列系を考える場合，上の２つのうち，どちらの方が信頼性が高いか？

冗長系をもたせなかった場合， RS = 0.846

サブシステムレベル並列の場合， RS = 0.976

要素レベル並列の場合， RS = 0.987

要素レベルで並列とした方が信頼度の向上は大

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待機冗長系（要素がｎ個の場合）

待機冗長系システム

要素数が n 個で，同じ故障率c の指数分布に従う場合，

)exp()!1(

)(1

tn

ttf c

nn

cS

Tn

T

TT

nTf

n

n

n

1exp

)!1(

1

exp)(

1)(

1

1

ガンマ分布

)exp()!1(

)(

!2

)(

!11

)exp()!2(

)exp()!1(

)(

)exp()!1(

)(

12

211

1

tn

ttt

dttn

tt

n

t

dttn

ttR

c

nccc

t c

nn

cc

nc

t c

nn

cS

)(1 tR

)(2 tR

)(3 tR

)(tRn

平均寿命 c

c

SS nn

dttft

0)(

待機冗長系の平均寿命は構成要素の平均寿命のn倍になる．

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待機系と並列系の信頼度の比較

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ｍ／ｎ冗長系

)(1 tR

)(2 tR

)(3 tR

)(tRn

m/n選択器

ｍ／ｎ冗長系システム

n 個のうち m 個以上が機能している場合に

システムの機能は保たれる．

直列システムと並列システムの中間的なシステム

・m=n の場合，直列系・m=1 の場合，並列系

（実例：火災報知器，地震計など）

ｍ／ｎ系の信頼度

knc

k

cknk RRCP )1(

各要素の信頼度をRcとすれば，n 個のうち k 個が故障せず，残りの n-k 個

が故障する確率 Pk

n

mk

knc

k

cknS RRCR )1(システムが機能するのは mk の場合

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信頼性向上のための方法（１）

フェールセーフ（fail-safe）

システムの一部が故障しても，ある一定期間，機能が維持できるようにシステムを設計．

（例）ボイラの安全弁： 破壊に至る高圧力となる前に圧力を逃がす

フールセーフ（fool-safe）

間違えない工夫．不安全行為のできないような機構にすること．

ジャックを差し間違えることはない信号系統の故障発生時に必ず赤表示が点灯

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信頼性向上のための方法（２）

フェールソフトリィ（fail-softly）

部分的な故障がすぐ破局的破壊に繋がらず，徐々に機能が低下．

劣化故障（degradation failure） 破局的故障（catastrophic failure）

(http://www.michelin.co.jp/innov/p11.htm)

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ブリッジ型システム

E5が正常 E5が故障

ブリッジシステムなど，直列・並列システムに直接変換できないものがある．

障害となる要素を条件付きで外す．

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ＦＴＡ (Fault Tree Analysis)

故障（破損のメカニズム）を階層的に表現する方法．

対象とするシステムの故障を頂上減少として，それに関与する

下位事象を ＡＮＤ あるいは ＯＲ の論理で結合していく．

（トップダウン型）

下位事象について同様な操作を

繰り返し，それ以上展開する

ことができない基本事象に至る

まで続けていく．

基本事象の確率値を定めると，

頂上現象の確率が求まる．

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ＦＴＡ (Fault Tree Analysis)

ＡＮＤゲート

入力イベントが同時に生じた際に出力イベントが生起

ＯＲゲート

入力イベントの中の一つでも起これば出力イベントが生起

並列システム

直列システム

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ＦＴＡ (Fault Tree Analysis)

並列系のフォルトツリー

直並列系のフォルトツリー

頂上事象，中間事象

基本事象

省略事象

ＡＮＤゲート

ＯＲゲート

ＦＴＡで用いる主な記号

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直並列系とプール代数

加法定理

A1

A2

21 AA

)()()(

)()(

2121

2121

AAPAPAP

AAPAAP

事象 A1, A2 の発生確率を P(A1), P(A2) とする．

乗法定理

A1

A2

21 AA

)|()()|()(

)()(

212121

2121

AAPAPAAPAP

AAPAAP

A1

A2 P(A1+A2)

A1 A2 P(A1A2)

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プール代数による演算

分配則

))((

)(

CABABCA

ACABCBA

C

BA

幅等則

AAA

AAA

吸収則

AABA

ABAA

)(

ド・モルガンの法則

BABA

BABA

))(( CABABCA

BAA

BA

A+BB

A

AB

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フォルトツリーの簡略化

T

X1

X1

X2

X1

1

11

111

21

X

XX

XXX

XXT

T

X1

T

X1

X1

X2

X4

X3

31

3411

321

)(

XX

XXXX

XXXT

吸収則幅等則

X1

T

X3

同一事象がＦＴ中に多数含まれる場合，プール代数による演算が有効