Koehldorfer

Finite-Elemente-Methodenmit CATIA V5 / SIMULIA

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9 783446 420953

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Werner Koehldorfer

Finite-Elemente-Methoden mit CATIA V5 / SIMULIABerechnung von Bauteilen und Baugruppen in der Konstruktion

3., überarbeitete und erweiterte Auflage

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Dieses Grundlagen- und Praxisbuch stellt Konstrukteuren, die mit CATIA V5 arbeiten, die Berechnungs -

möglichkeiten von Bauteilen und Baugruppen mit dem CATIA-FEM-Modul vor. Die nun vorliegende

3. Auflage ist auf Release 19 aktualisiert, vollständig überarbeitet und im Umfang erweitert. Neu aufge-

nommen wurde ein Kapitel zu der in Release 19 integrierten Simulationssoftware SIMULIA.

Das Buch wendet sich an FEM-Einsteiger und -Fortgeschrittene sowie an Studenten technischer

Fachrichtungen. Ausführlich beschreibt es alle notwendigen Arbeits-schritte bei der Durchführung

einer FEM-Analyse. Diese beginnen mit der Materialdefinition und gehen über die Definition der

Randbedingungen sowie der Lasteinleitung bis zur Berechnung und Auswertung der Ergebnisse.

Es erfolgt auch eine genaue Beschreibung der verfügbaren finiten Elemente.

Das anschließende Kapitel zu SIMULIA behandelt folgende Themen: Die Analyse sämtlicher Nicht -

linearitäten mit Hilfe des Abaqus-Solver, die Untersuchung transienter Wärmebelastungen und hypere-

lastischen Werkstoffverhaltens sowie die Berechnung von Strömungsvorgängen mit „Fluent for CATIA“.

Anhand zahlreicher Übungsbeispiele werden einfache und komplexere Aufgaben bis hin zu

nicht linearen FEM-Analysen in praktischen Anwendungsfällen erklärt. Diese Übungen sind unter

http://downloads.hanser.de abrufbar.

Werner Koehldorfer lehrt an der HTL-Bulme Graz im Bereich Maschinenbau-Konstruktion. Darüber

hinaus ist er Schulungsleiter der 3D-CAD-Gruppe der Höheren Technischen Schulen sowie Mitarbeiter

bei der Firma E|B|M EDV-Büro Müller GmbH, dem größten österreichischen Partner von Dassault.

ISBN 978-3-446-42095-3

Werner Koehldorfer

Finite-Elemente-Methoden mit CATIA V5 / SIMULIA

Berechnung von Bauteilen und Baugruppen in der Konstruktion

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Werner Koehldorfer

Finite-Elemente-Methoden mit CATIA V5 / SIMULIA Berechnung von Bauteilen und Baugruppen

in der Konstruktion

3., überarbeitete und erweiterte Auflage

Der Autor

Dipl.-Ing. Werner Koehldorfer ist Dozent an der HTBL-Bulme Graz im Bereich Maschinenbau-

Konstruktion. Darüber hinaus ist er Schulungsleiter für die 3D-CAD Gruppe CATIA der österreichi-

schen HTLs.

Alle in diesem Buch enthaltenen Informationen wurden nach bestem Wissen zusammengestellt und

mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grund sind die im

vorliegenden Buch enthaltenen Informationen mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art

verbunden. Autor und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine

daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Weise aus der Benutzung

dieser Informationen – oder Teilen davon – entsteht, auch nicht für die Verletzung von Patentrechten,

die daraus resultieren können.

Ebenso wenig übernehmen Autor und Verlag die Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren

usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen,

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© 2010 Carl Hanser Verlag München

Gesamtlektorat: Sieglinde Schärl

Sprachlektorat: Sandra Gottmann, Münster-Nienberge

Herstellung: Stefanie König

Umschlagkonzept: Marc Müller-Bremer, www.rebranding.de, München

Umschlagrealisation: Stephan Rönigk

Datenbelichtung: Kösel, Krugzell

Printed in Germany

ISBN 978-3-446- 42095-3

www.hanser.de/cad

Für Elke, Jan und Katja

VII

Inhalt

1 Einleitung................................................... 1

1.1 Arbeitsumgebungen .................................1 1.2 Aufbau des Buches...................................2 1.3 Internet-Link .............................................3

2 Theoretische Grundlagen ........................ 5

2.1 Finite Elemente des elastischen Kontinuums - Verschiebungsansatz ......5

2.2 Beispiel einer FEM-Berechnung .............8

3 Arbeitsumgebung GPS........................... 11

3.1 Vorbereitung einer GPS-Analyse ........ 13 3.2 Die Materialbibliothek .......................... 14 3.2.1 Anlegen einer neuen Materialfamilie . 15 3.2.2 Anlegen eines neuen Materials ........... 15 3.2.3 Sonstige Icons in der Material Library15 3.2.4 Übungsbeispiel Material Library ......... 15 3.2.5 Pfadeingabe für den neuen

Materialkatalog...................................... 18 3.2.6 Materialzuordnung................................ 20 3.3 Vorgangsweise bei der Berechnung.... 21 3.3.1 Definition der gewünschten

FEM-Analyse.......................................... 22 3.4 Einstiegsbeispiel für GPS...................... 23 3.4.1 Aufgabenbeschreibung ......................... 23 3.4.2 Öffnen des Startmodells ....................... 24 3.4.3 Auswahl des Analyseprozesses............ 24 3.4.4 Randbedingungen zur

Bauteillagerung...................................... 24 3.5 Standardeinstellungen für GPS ........... 32 3.5.1 Spannungen in der Einheit MPa ......... 32 3.5.2 Generelle Standardeinstellungen von

GPS.......................................................... 33

3.5.3 Festlegen der Speichereinstellungen... 36 3.6 Der CATIA ELFINI Solver ..................... 37 3.7 Möglichkeiten der Vernetzung ............ 38 3.7.1 Beam-Elemente (1D-Elemente)............ 38 3.7.2 Schalenelemente (2D-Elemente).......... 38 3.7.3 Tetraederelemente (3D-Elemente) ....... 39 3.8 Der Abaqus Solver ................................ 39

4 Definition der Randbedingungen ........41

4.1 Bedingungen direkt auf Bauteilgeometrie.................................... 42

4.1.1 Feste Einspannung ................................ 43 4.1.2 Flächenloslager...................................... 44 4.1.3 Erweiterte Bedingung

(Allgemeine Definition) ........................ 46 4.1.4 Isostatische Randbedingung ................ 49 4.2 Virtuelle Elemente................................. 49 4.2.1 Starres virtuelles Teil ............................ 50 4.2.2 Bewegliches virtuelles Teil ................... 51 4.2.3 Virtuelles Kontaktteil ............................ 52 4.2.4 Beispiel zur Anwendung virtueller

Teile......................................................... 53 4.2.5 Virtuelles Teil mit starrer Feder........... 62 4.2.6 Virtuelles Teil mit beweglicher Feder . 63 4.3 Randbedingungen über virtuelle

Teile......................................................... 64 4.3.1 Loslager................................................... 65 4.3.2 Gleitdrehpunkt ....................................... 65 4.3.3 Kugelgelenkverbindung........................ 66 4.3.4 Drehpunkt............................................... 67 4.4 Zusammenfassende Übersicht.............. 67 4.5 Berücksichtigung von

Bauteilsymmetrien ................................ 68

Inhalt

VIII

4.5.1 Symmetrierandbedingung.................... 68 4.5.2 Periodizitätsbedingung ......................... 69

5 Definition der Lasteinleitung ............... 73

5.1 Druck....................................................... 74 5.2 Verteilte Last .......................................... 75 5.3 Moment................................................... 78 5.4 Lagerlast ................................................. 81 5.5 Importierte Kraft.................................... 82 5.6 Importiertes Moment ............................ 84 5.7 Streckenlast ............................................ 84 5.8 Flächenlast ............................................. 85 5.9 Körperkraft ............................................. 87 5.10 Dichte der Kraft ..................................... 88 5.11 Beschleunigung ..................................... 89 5.12 Rotation .................................................. 90 5.13 Erzwungene Verschiebung................... 92 5.14 Temperaturfeld....................................... 94 5.15 Zusammenfassende Übersicht.............. 99

6 Durchführung der Berechnungen .....101

6.1 Erster Rechenschritt ............................ 101 6.2 Netzverfeinerung und weitere

Berechnung .......................................... 103 6.3 Überprüfung der Genauigkeit ............ 105 6.4 Strategien bei der FEM-Analyse........ 108 6.4.1 Qualitative Prüfung der Ergebnisse .. 109 6.4.2 Variantenvergleich bei verfeinertem

Netz ....................................................... 109 6.4.3 Lokale Spannungsuntersuchungen ... 109 6.5 Berechnungsmethoden im

ELFINI-Solver....................................... 109 6.5.1 Der Gauß-Algorithmus ....................... 110 6.5.2 Das Gradientenverfahren.................... 110 6.6 Verfügbare FEM-Analysen................. 111

6.6.1 Statischer Prozess................................ 111 6.6.2 Durch die Statik erzwungene

Frequenzen........................................... 112 6.6.3 Frequenzprozess .................................. 113 6.6.4 Beulprozess........................................... 123 6.6.5 Kombinierter Prozess .......................... 128 6.6.6 Dynamische Schwingungsprozesse... 130

7 Auswertung der Ergebnisse................ 135

7.1 Darstellung des Netzes........................ 135 7.2 Von-Mises-Vergleichsspannungen ... 136 7.3 Darstellung der Verformungen.......... 140 7.4 Darstellung der Hauptspannungen ... 142 7.4.1 Die Normalspannungshypothese....... 144 7.4.2 Die Schubspannungshypothese ......... 144 7.4.3 Die Gestaltänderungsenergie-

hypothese ............................................. 144 7.5 Darstellung der Genauigkeit .............. 150 7.6 Analysetools......................................... 151 7.6.1 Animieren............................................. 151 7.6.2 Schnittebenenanalyse ......................... 152 7.6.3 Maßstabsfaktor der Verformung ....... 152 7.6.4 Extremwert bei Bild ............................ 153 7.6.5 Informationen ...................................... 153 7.6.6 Bildlayout ............................................. 154 7.7 Symbolleiste Analyseergebnisse........ 155 7.7.1 Bericht der Basisanalyse..................... 156 7.7.2 Verbesserter Bericht ............................ 156 7.7.3 Protokoll der Berechnungen .............. 158 7.7.4 Listenbericht......................................... 158 7.8 Sensoren ............................................... 159 7.8.1 Reaktionssensor ................................... 159 7.8.2 Globaler Sensor ................................... 160 7.8.3 Lokaler Sensor ..................................... 161 7.8.4 Werte für Sensoren anzeigen............. 163

Inhalt

IX

8 Verfügbare Finite Elemente ................165

8.1 1D-Elemente (Balkenelemente).......... 165 8.1.1 Vorgangsweise bei der Vernetzung .. 165 8.1.2 Zuordnung von Eigenschaften .......... 166 8.1.3 Berechnung mit Balkenelementen .... 170 8.2 2D-Elemente (Schalenelemente)........ 171 8.2.1 Vorgangsweise bei der Vernetzung .. 172 8.2.2 Zuordnung der Eigenschaften ........... 174 8.2.3 Berechnung mit Schalenelementen... 174 8.2.4 Definition veränderlicher

Wandstärken ........................................ 175 8.3 Viereckige Schalenelemente

(2D-Elemente) ...................................... 176 8.3.1 Vernetzung mit viereckigen

Schalenelementen................................ 177 8.3.2 Qualität des Netzes überprüfen ......... 182 8.3.3 Netz editieren....................................... 184 8.3.4 Berechnung mit Schalenelementen... 186 8.4 3D-Elemente (Tetraederelemente) ..... 188 8.4.1 Lineare Tetraederelemente (TE4) ....... 188 8.4.2 Das parabolische Tetraederelement

(TE10) .................................................... 189 8.4.3 Unterschiede von TE4- und TE10-

Elementen............................................. 189 8.5 Hexaederelemente (3D-Elemente) ..... 190 8.6 Neuerungen in CATIA V5R14............ 193 8.6.1 Tetraeder Filler..................................... 193 8.6.2 Erweiterte Möglichkeiten bei der

Hexaedervernetzung ........................... 199

9 Übungsbeispiele GPS............................211

9.1 Stahlplatte mit Bolzenverbindung .... 211 9.2 Kipphebel.............................................. 217 9.3 Sicherungsring..................................... 222 9.4 Optimierung eines Zylindergehäuses.228

9.4.1 Konstruktionsvariante 1 ..................... 228 9.4.2 Konstruktionsvariante 2 ..................... 234 9.4.3 Konstruktionsvariante 3 ..................... 236 9.4.4 Konstruktionsvariante 4 ..................... 238 9.5 Vernetzung eines Zylinderkopfs mit

dem Tetraeder-Filler............................ 240 9.6 Zahnradberechnung mit

Hexaederelementen............................. 249

10 Baugruppenberechnung (GAS) .......... 255

10.1 Bedingungen in der Baugruppe......... 255 10.1.1 Bedingungen im Assembly Design ... 255 10.1.2 Analysis-Connection-Bedingung

(Analyse allgemeiner Verbindung) ... 256 10.2 Verbindungen zwischen zwei Teilen 261 10.2.1 Eigenschaft der fixierten Verbindung261 10.2.2 Eigenschaft der Gleitverbindung....... 263 10.2.3 Eigenschaft der Kontaktverbindung . 264 10.2.4 Eigenschaft der fixierten

Federverbindung.................................. 265 10.2.5 Eigenschaft der Presspassverbindung265 10.2.6 Eigenschaft der Schrauben-

verbindung ........................................... 266 10.3 Ferne Verbindungen ........................... 267 10.3.1 Starre Verbindung............................... 267 10.3.2 Bewegliche Verbindung...................... 268 10.3.3 Verbindung mit virtuellem

Festdrehen von Bolzen ....................... 270 10.3.4 Verbindung mit virtuellem

Festdrehen von Federbolzen .............. 271 10.3.5 Benutzerdefinierte Verbindung ......... 273 10.4 Schweißverbindungen ........................ 275 10.4.1 Definition eines benutzerdefinierten

Materials ............................................... 276 10.4.2 Die Punktschweißverbindung............ 277 10.4.3 Nahtschweißverbindung..................... 280

Inhalt

X

10.5 Übersicht der Baugruppen- verbindungen....................................... 282

11 Übungsbeispiele zu Baugruppen .......285

11.1 Abtriebswelle mit Riemenscheibe ..... 285 11.2 Punktschweißverbindung................... 298 11.3 Schweißnahtverbindung..................... 306 11.4 Kurbeltrieb eines Verbrennungs-

motors ................................................... 312 11.5 Baugruppe mit unterschiedlichen

finiten Elementen ................................ 327

12 FEM-Berechnungen mit SIMULIA ......333

12.1 Fluent for CATIA ................................. 333 12.1.1 Startbeispiel Rohrleitung mit

Durchmessersprung............................. 334 12.1.2 Strömungssimulation eines

Sportflugzeugs ..................................... 341 12.2 ANL Abaqus nichtlineare

Simulationen........................................ 343

12.2.1 Nichtlineare Simulation von hyperelastischen Materialien ............. 346

12.2.2 Reibungsbehaftete Vorgänge............. 355 12.3 ATH Abaqus Thermische Analysen .. 359 12.3.1 Berechnung der Wärmebelastung

einer Bremsscheibe.............................. 360 12.3.2 Koppelung ANL und ATH .................. 365

13 Hinweise für die Anwender................ 369

13.1 Modellprüfprogramm.......................... 369 13.2 Elemente gruppieren ........................... 370 13.3 Speichern und Versenden von

Ergebnisdaten ...................................... 372 13.4 Optimierung von Bauteilen

(Knowledgeware) ................................. 374 13.5 Schnittstellen zu anderen Produkten 379 13.6 Allgemeine Hinweise .......................... 379

14 Literaturverzeichnis ............................. 381

15 Index....................................................... 383

1

1 Einleitung

Ziel dieses Buches ist es, allen Konstrukteuren, die mit CATIA V5 arbeiten, die Be-rechnungsmöglichkeiten von Bauteilen und Baugruppen mit dem FEM-Modul vor-zustellen. Es ist für den Konstrukteur von entscheidender Bedeutung, in der Konstruktions-phase eine Vordimensionierung der Bauteile vorzunehmen, um ein den Anforde-rungen gerecht werdendes und kostenoptimiertes Produkt zu entwickeln. Eine de-taillierte Strukturanalyse, die oft erst von speziellen Abteilungen in einem Unternehmen im Anschluss an die Konstruktion durchgeführt wird, erfordert sehr viel Zeit und bringt etliche Schnittstellenprobleme mit sich. Es empfiehlt sich daher, bereits in der Konstruktionsphase eine FEM-Analyse durchzuführen. Dazu ist ein einfach zu handhabendes Programm erforderlich, das nach Möglichkeit die gleiche Datenbasis wie die Konstruktion verwendet. Das CAX-System CATIA V5 bietet ein solches Analysemodul. Es können damit einfache FEM-Berechnungen bis hin zu einer detaillierten Strukturanalyse durch-geführt werden. Der große Vorteil besteht in der einfach zu handhabenden intuiti-ven Benutzeroberfläche und im gänzlichen Wegfall der Schnittstellenproblematik. Die FEM-Berechnungen werden mit den Daten der Konstruktion durchgeführt, Verbesserungen können sofort einfließen und unterschiedliche Varianten auf ein-fache Weise verglichen werden. Mit dem Release 19 wurde nunmehr auch die einzige vorhandene Lücke, nämlich nichtlineare Simulationen nicht durchführen zu können, geschlossen. Es ist nun-mehr möglich, alle Arten von geometrischen Nichtlinearitäten als auch von nicht-linearem Materialverhalten bis hin zu hyperelastischen Materialien wie Gummi in die Simulation mit einzubeziehen. Möglich wurde dies durch die Integration von Abaqus in die CATIA-Umgebung.

1.1 Arbeitsumgebungen

In CATIA V5 gibt es mehrere Arbeitsumgebungen im Bereich der FEM-Analyse. Diese sind:

Die GPS-Arbeitsumgebung (Generative Part Structural Analysis) Die GAS-Arbeitsumgebung (Generative Assembly Structural Analysis)

1 Einleitung

2

Diese beiden Arbeitsumgebungen haben eine gemeinsame Oberfläche, und die ver-fügbaren Funktionalitäten hängen von der jeweils vorhandenen Lizenz ab. Beide gehören zum Bereich der Analyse und Simulation. Die weiteren Arbeitsumgebungen im FEM-Bereich sind:

Die Arbeitsumgebung „Advanced Meshing Tools“ Die Arbeitsumgebung „Fluent for CATIA“ Die Arbeitsumgebung „ANL Abaqus Nichtlinear“ Die Arbeitsumgebung „ATH Abaqus Thermisch“

Die Arbeitsumgebung „Advanced Meshing Tools“ bietet die Möglichkeit, ein FEM-Netz selbst zu generieren. Dazu stehen alle gängigen finiten Elemente zur Verfü-gung. Die Arbeitsumgebungen Fluent for CATIA, ANL und ATH sind Produkte der Simu-lationssoftware Simulia und direkt in die CAD-Umgebung eingebettet. In diesem Buch wird detailliert auf die einzelnen Arbeitsumgebungen eingegan-gen, und die angebotenen Funktionen werden beschrieben.

1.2 Aufbau des Buches

Das Buch beginnt mit einer kurzen Erläuterung der theoretischen FEM-Berechnungsgrundlagen. Danach wird der Aufbau der GPS-Oberfläche erklärt. Im Anschluss daran werden die notwendigen Arbeitsschritte bei der Durchführung einer FEM-Analyse beschrieben. Diese beginnen mit der Materialdefinition und gehen über die Definition der Randbedingungen sowie der Lasteinleitung bis zur Berechnung und Auswertung der Ergebnisse. Es erfolgt auch eine genaue Be-schreibung der verfügbaren finiten Elemente. Anhand von Übungsbeispielen werden die FEM-Berechnungen sowie die mögli-chen Analyseprozesse erklärt. Dann wird auf die Berechnungsmöglichkeiten mit Simulia eingegangen. Auch zu dieser Thematik der nichtlinearen Simulationen gibt es eine Reihe von konkreten Anwendungsbeispielen.

1.3 Internet-Link

3

Weiter wird auf die Berechnung von Baugruppen eingegangen. Es werden die Möglichkeiten zur Definition der mechanischen Bauteilverbindungen beschrieben. Abschließend werden komplexere Übungsbeispiele zu dieser Thematik behandelt. Das Buch schließt mit allgemeinen Hinweisen und Tipps für den Anwender.

1.3 Internet-Link

Sämtliche Daten für eine eigenständige Durchführung der beschriebenen Übungs-beispiele finden Sie auf der Internetseite des Carl Hanser Verlages unter folgender Adresse: http://downloads.hanser.de Ein Verweis auf die gerade benötigte Datei befindet sich bei jedem Übungsbeispiel. Für sämtliche Beispiele zu Bauteilen und Baugruppen ist zumindest der Re-leasestand 16 notwendig, um die Dateien einwandfrei öffnen zu können. Für die nichtlinearen Simulationen ist CATIA V5 Release 19 mit mindestens Service Pack 3 erforderlich.

5

2 Theoretische Grundlagen

Die FEM entspricht in ihrem methodischen Vorgehen sehr der Denk- und Arbeits-weise des Ingenieurs. Im Bereich naturwissenschaftlicher Untersuchungen ist es oft nicht möglich, stark verflochtene Zusammenhänge in komplizierten Systemen als Ganzes zu erfassen. Daher gehen Techniker und Naturwissenschaftler beim Behan-deln derartiger Sachverhalte üblicherweise so vor, dass sie ein zu untersuchendes System zunächst in mehrere Elemente aufgliedern, sodann das Verhalten dieser Elemente betrachten, um schließlich im Ergebnis eines erneuten Zusammenfügens der Elemente Aufschlüsse über das Verhalten des Systems zu gewinnen. Man spricht in diesem Fall von einer Diskretisierung von Problemen. Die Methode der finiten Elemente ist damit ein allgemeines Diskretisierungsverfahren für Konti-nuumsprobleme. Die Definition der Methode der finiten Elemente lautet wie folgt:

Das Kontinuum wird in eine endliche Anzahl von Teilen (Elementen) zerlegt, de-ren Verhalten durch eine endliche Anzahl von Parametern gekennzeichnet ist. Die Lösung für das Gesamtsystem als strukturelle Vereinigung seiner Elemente folgt genau den gleichen Regeln, wie sie auch für Probleme diskreten Charakters gelten.

In das System werden die Randbedingungen und Lasten eingearbeitet, und eine Lösung über ein numerisches Approximationsverfahren liefert abgeleitete Größen wie Spannungen, Verzerrungen und Reaktionskräfte.

2.1 Finite Elemente des elastischen Kontinuums - Verschiebungsansatz

In der konstruktiven Ingenieurstätigkeit sind häufig Spannungs- und Verzerrungs-verläufe belasteter elastischer Kontinua zu ermitteln. Dieses Problem lässt sich durch folgende Näherung lösen: 1. Das Kontinuum wird durch gedachte Linien oder Flächen in eine Anzahl finiter

Elemente zerlegt. 2. Dabei wird angenommen, dass die Elemente durch eine bestimmte Anzahl von

Knotenpunkten, angeordnet an den Elementrändern, untereinander verbunden sind. Die Verschiebungen der Knotenpunkte werden als die grundlegenden un-bekannten Größen des Problems aufgefasst.

2 Theoretische Grundlagen

6

3. Der Verschiebungszustand innerhalb jedes finiten Elementes wird mithilfe eines Systems gewählter Funktionen in Abhängigkeit von den Knotenpunktverschie-bungen eindeutig festgelegt.

4. Durch diese Verschiebungsfunktionen ist auch der Verzerrungszustand im Inne-ren eines Elementes eindeutig in Abhängigkeit von den Knotenverschiebungen bestimmt. Aus diesen Verzerrungen kann unter Beachtung eventuell vorhande-ner Anfangsverzerrungen mit dem Stoffgesetz des Materials die Spannungsver-teilung im gesamten Element und damit auch an dessen Rändern ermittelt wer-den.

5. Es wird ein System von Knotenkräften bestimmt, das im Gleichgewicht mit den Oberflächen- und Volumenkräften steht und als „Ersatzbelastung“ fungiert. Das führt letztlich zu einer Beziehung der folgenden Form:

K * a = f

In diesem Zusammenhang bedeutet: K = Steifigkeitsmatrix a = Knotenverschiebungen vektoriell (Knotenparameter) f = Knotenkraft (vektorielle Kraft) Wichtig ist, dass die Randbedingungen entsprechend eingearbeitet wurden, um ei-ne Singularität der Matrix K bei der numerischen Integration zu vermeiden. Die Matrix K ist singulär, wenn die Anzahl der Unbekannten a größer ist als die An-zahl der an allen Integrationspunkten ersatzweise eingeführten unabhängigen Be-ziehungen. Die verallgemeinerten Spannungsverzerrungsmatrizen bei isotropem Material ha-ben für unterschiedliche Problemfälle unterschiedliches Aussehen. In der unten angeführten Übersicht ist dies für die Problemstellungen des Stabes, des Balkens, des ebenen Spannungszustands, des ebenen Verzerrungszustands und des dreidi-mensionalen Körpers dargestellt:

Gleichungssystem bei linearen Problemen

2.1 Finite Elemente des elastischen Kontinuums - Verschiebungsansatz

7

Stab: E Balken: E * I

Materialeigenschafts-matrix für unterschied-liche Problemstellungen Ebener Spannungszustand:

Ebener Verzerrungszustand:

Dreidimensionalität:

2 Theoretische Grundlagen

8

Dabei bedeutet: E = Elastizitätsmodul

= Querkontraktionszahl I = Flächenträgheitsmoment Der erste Schritt in Berechnungen mit finiten Elementen ist daher die Entschei-dung, welche Art von Problemstellung vorliegt bzw. angenommen werden soll. Im Anschluss daran wird die Steifigkeitsmatrix K aufgestellt.

2.2 Beispiel einer FEM-Berechnung

In diesem einfachen Beispiel soll die Methode der finiten Elemente gezeigt werden. Für das in unten stehender Abbildung dargestellte Stabtragwerk sind die Gleich-gewichtsbedingungen für die finiten Elemente aufzustellen und die Verformungen sowie die Spannungen zu berechnen:

Folgende Werte sind gegeben: Querschnittsfläche A1 = 900 mm2 Querschnittsfläche A2 = 400 mm2 Länge L1 mit Querschnitt 1: L1 = 200 mm Länge L2 mit Querschnitt 2: L2 = 300 mm Der Werkstoff des Trägers ist Stahl mit folgenden Kennwerten: Elastizitätsmodul E = 210.000 N/mm2

Querkontraktionszahl = 0.29 Am linken Ende des Trägers liegt eine feste Einspannung vor, und am rechten En-de wird der Träger durch eine axiale Last von 2000 N beansprucht. Damit kann der gegebene Träger über zwei Stabelemente mit je zwei Knoten nach-gebildet werden. Dies führt zu folgender Situation:

Übungsbeispiel, um den Algorithmus der Finite-Elemente-Methode zu erklären F

Querschnitt A1 Querschnitt A2

2.2 Beispiel einer FEM-Berechnung

9

Man muss nun die Steifigkeitsmatrix für die beiden Elemente aufstellen. Dies er-gibt folgenden Ansatz unter Berücksichtigung der Materialeigenschaftsmatrix C = E für das Stabproblem: 1 -1 0 0 0 0 K = E*A1/200 * -1 1 0 + E*A2/300 * 0 1 -1

0 0 0 0 -1 1

Die Steifigkeitsmatrix K errechnet sich damit wie folgt:

945.000 –945.000 0

K = –945.000 1.225.000 –280.000

0 –280.000 280.000

Die Berücksichtigung der Randbedingungen, womit die erste Zeile sowie die erste Spalte der Matrix gestrichen werden können, ergibt folgende Gleichungen auf-grund von K * a = f. Der Verschiebungsvektor hat folgendes Aussehen: a = (v1 v2 v3) Die vektorielle Kraft wird wie folgt angesetzt: f = (f1 f2 f3) = (0 0 2000)

Schematische Nachbil-dung des Stabtragwerks mit Stabelementen