3Bewegte Fluide

Im Gegensatz zur Hydrostatik, die ruhende Fluide behandelt, werden hier bewegte Fluidebesprochen und die zu ihrer Behandlung benötigten Grundbegriffe eingeführt. Wir be-handeln denMassenerhaltungssatz bei Strömungsvorgängen (Kontinuitätsgleichung). ZurSichtbarmachung von Strömungsvorgängen und verschiedenen StrömungsformenwerdenMethoden aufgezeigt. Die Anwendung des Kontrollraums, der in den nachfolgendenKapi-teln zur Behandlung der Impuls und Energieerhaltung von Wichtigkeit ist, wird demons-triert.

3.1 Grundbegriffe

3.1.1 Strömungsgeschwindigkeit

Die Bewegung eines Fluidelements wird durch die Strömungsgeschwindigkeit beschrieben.Wie in der Mechanik ist die Strömungsgeschwindigkeit die Wegänderung eines Fluidele-ments pro Zeiteinheit. Sie ist richtungsabhängig und damit ein Vektor. Der zeitabhängigeOrtsvektor r(t) wird in kartesischen Koordinaten folgendermaßen angegeben:

r(t) = x(t) + y(t) + z(t) (3.1)

Die x, y und z Komponenten der Ortskoordinaten werden nach Regeln der Vektoraddi-tion zusammengesetzt. Den Geschwindigkeitsvektor c(t) erhält man durch die Differen-tiation des Ortsvektors nach der Zeit.

c(t) =drdt=

dxdt+

d ydt+

dzdt= cx + c y + cz (3.2)

Dabei ist c die Geschwindigkeit der Strömung amOrt r zur Zeit t. In einem strömendenFluid kann die Geschwindigkeit an jedem Ort zu einer bestimmten Zeit eine unterschied-liche Größe und Richtung haben. Die Richtung der x, y und z Komponenten ist jeweils

47P. von Böckh und C. Saumweber, Fluidmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-33892-2_3,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

48 3 Bewegte Fluide

gegeben. Damit können die Komponenten wie folgt angegeben werden:

cx = f(x , y, z, t) cy = f(x , y, z, t) cz = f(x , y, z, t) (3.3)

Gleichung 3.3 gibt die Geschwindigkeitskomponente als eine Funktion des Raums undder Zeit in einem kartesischen Koordinatensystem an. Entsprechend des Problems könnennatürlich andere Koordinatensysteme, wie z. B. Zylinder- oder Kugelkoordinaten, ange-nommen werden.

Eine andere Angabe der Geschwindigkeit kann entlang einer Stromlinie s, die im nächs-ten Abschnitt beschrieben wird, erfolgen.

c = c(s, t) (3.4)

3.1.2 Stromlinie, Strömungsfeld

Werden die Geschwindigkeitsvektoren innerhalb einer Strömung eingezeichnet, erhältman ein Strömungsfeld (flow field). Verbindet man die Geschwindigkeitsvektoren so, dasseine Kurventangente entsteht, bekommt man eine Stromlinie (streamline). Der Weg einesFluidelements wird als Strombahn oder Strompfad bezeichnet. Bei der Umströmung einesKörpers werden der in Strömungsrichtung vorderste Punkt des Körpers, an dem sich dieStrömung verzweigt, vorderer Staupunkt (stagnation point) und der hinterste, an dem sichdie Strömung wieder vereinigt, hinterer Staupunkt genannt.

In Abb. 3.1 wird die Strömung aus einem Behälter durch eine Öffnung dargestellt. Anden Punkten a, b, c und d sind die Geschwindigkeitsvektoren eingezeichnet. Man sieht,dass ein Strömungsfeld ein effektives Mittel ist, um eine Strömung darzustellen.

Abb. 3.1 Strömung durch eineÖffnung

c

b

a

c d

cc

Stromlinien

c

3.2 Sichtbarmachung von Strömungen 49

Werden mehrere Stromlinien zur Untersuchung einer Strömung zusammengefasst, er-hält man eine Stromröhre.

Wenn die Teilchen des Fluids nur translatorische Bewegungen ausführen, spricht manvon einer wirbelfreien Strömung. Führen die Teilchen Rotationsbewegungen um ihre eige-ne oder eine andere Achse aus, handelt es sich um einen Wirbel (vortex). Ändert sich dieGeschwindigkeit weder in einer Stromlinie noch im Strömungsfeld, d. h., der Geschwin-digkeitsvektor hat überall die gleiche Richtung und den gleichen Betrag, spricht man voneiner gleichförmigen oder uniformen Strömung.

3.2 Sichtbarmachung von Strömungen

In vielen Fällen ist es notwendig, eine Strömung sichtbar zu machen. Dieses bedeutet, dassein Strömungsfeld erstellt wird, in dem an den interessierenden Punkten die Geschwin-digkeitsvektoren eingezeichnet werden. Die Sichtbarmachung einer Strömung kann mitexperimentellen oder rechnerischen Verfahren erfolgen.

3.2.1 Experimentelle Sichtbarmachung

In den Abb. 3.2 und 3.3 sind experimentell sichtbar gemachte Strömungen dargestellt. ZurSichtbarmachung verwendet man möglichst kleine Fremdkörper, die der Strömung ohnemerkliche Verzögerung folgen. Die Teilchen werden mit fotografischen Verfahren erfasst.Mit der Belichtungszeit kannman aus der Länge der fotografierten Teilchenbahnen die Ge-schwindigkeit der Teilchen bestimmen. Solche Aufnahmen stellen bereits Vektorfelder dar.InGasen können als Teilchen Rauch oderNebel verwendet werden. In Flüssigkeiten erfolgtdie Sichtbarmachungmeist durch die auf derOberflächemitströmendenAluminiumflitter.

Andere photographischeMethoden sind die Erfassungder Teilchenbewegung mit einerHochgeschwindigkeitskamera oder die Sichtbarmachung in einer Laserlichtebene.

Abb. 3.2 Strombahnen derauf einer Wasseroberflächeschwimmenden Partikel [1]

50 3 Bewegte Fluide

Abb. 3.3 Rauchspuren umeinen Tragflügel [1]

Eine weitere Methode der Sichtbarmachung ist die Messung der Strömungsgeschwin-digkeiten an verschiedenen Orten und die Auftragung der Geschwindigkeitsvektoren ineinem Diagramm. Auf die Methoden der Geschwindigkeitsmessung wird in Kap. 12 ein-gegangen.

3.2.2 Rechnerische Erfassung von Strömungsfeldern

In einigen einfachen Fällen ist die Berechnung von ein- oder zweidimensionalen Strö-mungsfeldern mit analytischen Methoden, wie sie später bei der laminaren Rohrströmunggezeigt werden, möglich. Heute verwendet man Computermodelle zur Voraussage derGeschwindigkeitsvektoren dreidimensionaler Strömungsfelder. Die numerische Erfassungvon Strömungsfeldern wird in Kap. 11 behandelt.

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz)

3.3.1 Massenstromund Volumenstrom

In Abb. 3.4 ist die Strömung eines Fluids mit der Geschwindigkeit c durch ein Flächenele-ment dA dargestellt. Zur Bestimmung des Massentransfers ist nur die Geschwindigkeits-komponente, die senkrecht zum Flächenelement steht, maßgebend. Die über eine FlächeA pro Zeiteinheit übertragene Masse ist der Massenstrom (mass flow rate). Er berechnetsich als:

m =∫

A

ρ ⋅ cn ⋅ dA (3.5)

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz) 51

Abb. 3.4 Zur Bestimmungdes Massenstromes

A

dA cn

c

Abb. 3.5 Strömung in einemRohr mit schrägem Austritt

Austrittsfläche

a

rc b

c

a

nc

Dabei ist ρ die lokale Dichte und cn die lokale Geschwindigkeitskomponente senkrechtzur Fläche A. Die Einheit des Massenstromes ist kg/s.

Dass die zur Austrittsfläche normale Komponente für die Bestimmung desMassenstro-mes notwendig ist, kann am Beispiel eines Rohres, das mit einem Fluid konstanter Dichteund uniformer Geschwindigkeit c durchströmt wird und dessen Ende unter einemWinkelvon z. B. 20° schräg abgeschnitten ist, demonstriert werden (Abb. 3.5).

Im Rohr ist die Geschwindigkeit zur Querschnittsfläche des Rohres stets konstant. Dadie Dichte ebenfalls konstant ist, erhält man aus Gl. 3.5:

m = ρ ⋅ cn ⋅ A

AmRohrende ist dieQuerschnittsfläche für dieAusströmung eine Ellipsemit denHalb-achsen a = r / sin α und b = r. Das Integral der Fläche ist A= π ⋅ r2 / sin α. Da aus dem Rohrseitlich keine Masse verschwinden kann, muss am Rohrende der gleiche Massenstromwieim Rohr strömen. Diesen Massenstrom erhalten wir mit der zur Austrittsfläche senkrech-ten Geschwindigkeitskomponente.

In den meisten Anwendungsfällen ist die Dichte über der Fläche des interessierendenStrömungsquerschnitts konstant. An Stelle lokaler Normalkomponenten der Strömungs-geschwindigkeit kann ein mittlerer Wert der Normalkomponente der mittleren Geschwin-digkeit verwendet werden. Der Massenstrom ist damit:

m = ρ ⋅ cn ⋅ A (3.6)

In den Fällen, in denen die Geschwindigkeit c normal zum Strömungsquerschnitt steht,kann statt der Normalkomponente die Geschwindigkeit selbst eingesetzt werden.

m = ρ ⋅ c ⋅ A (3.7)

52 3 Bewegte Fluide

In der Praxis ist die lokale Geschwindigkeit meist unbekannt bzw. nur bedingt messbar.DerMassenstromkann in der Regel einfach bestimmt werden. Mit Gl. 3.7 wird die mittlereStrömungsgeschwindigkeit berechnet.

In vielen Fällen ist man an Stelle des Massenstromes am Volumenstrom (volume flowrate) interessiert. Er berechnet sich als:

V =∫

A

cn ⋅ dA =mρ= cn ⋅ A (3.8)

Die Einheit des Volumenstromes istm3/s.

Beispiel 3.1: Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit und des Massen- bzw. Volu-menstromesIn einem Rohr kreisförmigen Querschnitts mit 50mm Innendurchmesser strömtWasser. Messungen ergeben für die Geschwindigkeitsverteilung über dem Strö-mungsquerschnitt die Funktion c(r) = c0 ⋅ (1 – r / R)1/7. R ist der Radius des Rohres,r die radiale Zylinderkoordinate und c0 die Geschwindigkeit in der Rohrmitte, diemit 2,51m/s gemessen wurde. Die Dichte des Wassers beträgt 1000 kg/m3. Zu be-stimmen sind:

a) die mittlere Geschwindigkeit des Wassersb) der Massenstromc) der Volumenstrom.

Lösung

• Schema

rR c(r)

• Annahmen– Die Strömung ist stationär.– Die Dichte des Wassers ist konstant.– Die Strömung ist zylindersymmetrisch.

• Analysea) Die mittlere Geschwindigkeit wird berechnet, indem die lokale Geschwindig-

keit über die Fläche integriert und durch die Fläche geteilt wird.

c =A⋅

∫

A

c(r) ⋅ dA

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz) 53

Da wir ein kreissymmetrisches Problem haben, ist die Geschwindigkeit nurvomRadius r abhängig. Damit kann das Flächenelement dA durch den Radiusr ausgedrückt werden.

dA = ⋅ π ⋅ r ⋅ dr

In das Integral eingesetzt, erhält man unter Berücksichtigung der Geschwin-digkeitsfunktion:

c =

π ⋅ R ⋅

R

∫

c ⋅ ( − r/R)/⋅ ⋅ π ⋅ r ⋅ dr =

=

⋅ cR ⋅

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

∣−r ⋅ ⋅ R( − r/R)/∣

R

+

R

∫

⋅ R( − r/R)/ ⋅ dr

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

=

−

⋅ cR ⋅

⋅ R

⋅

⋅ ( − r/R)/∣

R

= c ⋅ , = ,m/s

b) Der Massenstrom wird mit Gl. 3.7 bestimmt.

m = A ⋅ ρ ⋅ c = π ⋅ R⋅ ρ ⋅ c = π ⋅ , ⋅m

⋅ ⋅kgm3 ⋅ , ⋅

ms= ,kg/s

c) Der Volumenstrom ist nach Gl. 3.8:

V =mρ=

, ⋅ kg/s ⋅ kg/m = , ⋅

− m/s

• DiskussionBei bekannter Geschwindigkeitsverteilung ist die Bestimmung der mittleren Ge-schwindigkeit möglich. Sie kann, wenn die Verteilung symmetrisch und Geome-trie einfach ist, analytisch berechnet werden. Komplexere Probleme behandeltman mit grafischen oder numerischen Methoden.

In einemKontrollraum, demausmehreren EintrittenMassenströme zugeführt undübermehrere AustritteMassenströme abgeführt werden, kann sich die Masse des Fluids mit derZeit verändern. Da keine Masse verloren gehen kann, gilt:

dmdt= ∑

i(me)i −∑

j(ma) j (3.9)

54 3 Bewegte Fluide

Gleichung 3.9 ist der allgemein gültigeMassenerhaltungssatz (principle of mass conser-vation). Er besagt, dass die zeitliche Massenänderung in einem Kontrollraum die Summeder zu- abzüglich der Summe der abströmendenMassenströme ist. Der Index e steht dabeifür Eintritt und a für Austritt.

Beim stationären Fall verändert sich die Masse im Kontrollraum nicht, die linke Seiteder Gl. 3.9 wird zu null und es gilt:

∑

i(me)i = ∑

j(ma) j (3.10)

▸ Im stationären Fall ist die Summe der eintretenden Massenströme gleich derSumme der austretenden Massenströme.

Beispiel 3.2: Füllen eines BassinsIn ein Bassin mit 30m2 Grundfläche strömt aus einem Rohr 1m3/s Wasser. Durchein Abflussrohr mit 400mm Durchmesser fließt das Wasser aus dem Bassin wiederab. Die Abflussgeschwindigkeit ist von der Füllhöhe des Bassins abhängig. Der funk-tionelle Zusammenhang zwischen dermittlerenAusströmgeschwindigkeit c und derFüllhöhe z ist: c= (2 ⋅ g ⋅ z)1/2. Dichte des Wassers: 1000 kg/m3.

a) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Füllhöhe und welche Füllhöhe erreichtwerden kann.

b) Berechnen Sie die dimensionslose Füllhöhe als eine Funktion der dimensionslo-sen Zeit.

Lösung

• Schema

Kontrollraum

z = 0

ma

z

em

aA

Systemgrenze

A

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz) 55

• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei.– Die Dichte des Wassers ist konstant.

• Analysea) Da zum Kontrollraum nur ein Ein- und auch nur ein Austritt vorhanden sind,

kann Gl. 3.9 vereinfacht werden.

dmdt= me − ma

Der einströmendeMassenstrom ist gegeben. Die zeitliche Änderung derMasseim Kontrollraum errechnet sich als:

dmdt= ρ ⋅ A ⋅

dzdt

Der Massenstrom aus dem Ausfluss kann als eine Funktion der Füllhöhe be-stimmt werden.

ma = ρ ⋅ Aa ⋅ c = ρ ⋅ Aa ⋅√

⋅ g ⋅ z

Damit wird die zeitliche Änderung der Masse im Kontrollraum:

ρ ⋅ A ⋅dzdt= me − ρ ⋅ Aa ⋅

√

⋅ g ⋅ z

Nach Umformung erhält man:

dzdt=

me

ρ ⋅ A−

Aa ⋅√

⋅ g ⋅ zA

Zur Lösung führen wir die Variable y ein.

y =me

ρ ⋅ A−

Aa ⋅√

⋅ g ⋅ zA

dydz= −

Aa ⋅√

⋅ g ⋅ A ⋅

√

zdz = −

⋅ A ⋅√

zAa ⋅√

⋅ g⋅ dy

z kann durch y ersetzt werden und damit ist dz:

√

⋅ g⋅ (

me

ρ ⋅ Aa−

A ⋅ yAa) =

√

z dz = −A

Aa ⋅ g⋅ (

me

ρ ⋅ A− y) ⋅ dy

Nach Separation der Variablen erhält man:

−

A

Aa ⋅ g⋅ (

me

ρ ⋅ A ⋅ y− ) ⋅ dy = dt

56 3 Bewegte Fluide

Die Integration von y0 bis y und 0 bis t ergibt:

me

ρ ⋅ A⋅ ln

yy− (y − y) = −

Aa ⋅ gA ⋅ t

y kann durch z ersetzt und die Gleichung nach t aufgelöst werden.

t = −A

Aa ⋅ g⋅

√

⋅ g ⋅ z −A ⋅ me

ρ ⋅ g ⋅ Aa⋅ ln( −

Aa ⋅ ρ ⋅√

⋅ g ⋅ zme

)

Für die Berechnung muss noch die Fläche Aa bestimmt werden. Aa = 0,25 ⋅ π⋅ d2 = 0,1257m2. Die Gleichung für t liefert nur so lange reale Lösungen, bis derWert in der Klammer positiv ist. Wenn das Argument des Logarithmus gegennull strebt, geht die Zeit t gegen unendlich. Dabei erreicht der Massenstromim Ausfluss den Wert des eintretenden Massenstromes. Diese maximale Füll-höhewird asymptotisch angenähert. Die Gleichung kann nicht analytisch nachz aufgelöst werden. Im nachstehenden Diagramm ist die numerisch ermittelteLösung grafisch dargestellt.

1000Zeit in Sekunden

0

1

2

Füllh

öhe

in m

0

3

3,228 m

2000 3000

Die asymptotische Füllhöhe erhält man, indem der ein- und austretende Mas-senstrom gleichgesetzt werden und die Gleichung nach z∞ auflöst.

me = ρ ⋅ Aa ⋅√

⋅ g ⋅ z∞

z∞ = (Ve

Aa)

⋅

⋅ g= (

1 ⋅m3/s0,1257 ⋅m2 )

⋅

12 ⋅ 9,81 ⋅m/s2

= ,m

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz) 57

b) Für die dimensionslose Darstellung werden die dimensionslose Länge ξ unddie dimensionslose Zeit τ definiert:

ξ =zz∞= (

Aa

Ve)

⋅ ⋅ g ⋅ z τ =tt=

Ve

z∞ ⋅ A⋅ t =

Ve

A⋅ (

Aa

Ve)

⋅ ⋅ g ⋅ t

Die dimensionslose Füllhöhe ξ ist das Verhältnis der Höhe z zur asymptoti-schen Füllhöhe z∞. Die Zeit t0 ist die Zeit, bei der die asymptotische Füllhöheohne Abfluss erreicht wird. Damit ist die dimensionslose Zeit τ ein Vielfachesder Zeit t0.In die Ausgangsgleichung eingesetzt, erhalten wir:

dξdτ= −

√

ξ

Bei der Integration von t = 0 bis t und x = 0 bis x ist die Lösung dieser Glei-chung:

τ = ⋅ [√

ξ + ln( −√

ξ)]

Berechnet man z∞und t0, kann aus den dimensionslosen Größen die Füllhöheund die Zeit berechnet werden. z∞wurde bereits berechnet. Der Zahlenwertfür t0 ist:

t =z∞ ⋅ AVe

=

3,228 ⋅m ⋅ 30 ⋅m2

1 ⋅m3/s= , s

• DiskussionBei bekannter Ausflussfunktion kann mit dem Massenerhaltungssatz das Füllenund Leeren eines Behälters mit inkompressiblen Fluiden berechnet werden. Diedimensionslose Darstellung liefert einfachere mathematische Beziehungen undführt zur übersichtlichen Darstellung der allgemeinen Gesetzmäßigkeit. Bei derWahl der Bezugsgrößen ist darauf zu achten, dass aussagefähige Größen defi-niert werden. Diese und ähnliche Berechnungen können mit dem ProgrammFMA0301 erfolgen.

Bei einfachen Problemen mit nur einem Ein- und einem Austritt vereinfacht sichGl. 3.10 und sagt aus, dass der eintretende Massenstrom gleich dem austretenden Mas-senstrom ist. In einer Leitung mit unterschiedlichen Strömungsquerschnitten (Abb. 3.6)gilt:

m = ρ ⋅ A ⋅ c = ρ ⋅ A ⋅ c = ρ ⋅ A ⋅ c = ρ ⋅ A ⋅ c = konst. (3.11)

Gleichung 3.11 ist die Kontinuitätsgleichung (continuity equation).

58 3 Bewegte Fluide

Abb. 3.6 Strömung einesFluids in einer Leitung unter-schiedlichen Querschnitts

cc

1A

1

A 2

r1

12

c3

3A

2

3

r2 r 3

Ändert sich mit dem Druck die Dichte, ändert sich der Volumenstrom ebenfalls. Nurwenn die Dichte konstant ist, also bei inkompressiblen Fluiden, bleibt der Volumenstromebenfalls konstant.

In den folgenden Kapiteln wird die mittlere Geschwindigkeit der Einfachheit halbermitc bezeichnet und bei Verwendung lokaler Geschwindigkeiten extra darauf hingewiesen.

Beispiel 3.3: Bestimmung des Durchmessers einer DüseDie Düse einer Feuerwehrspritze ist so auszulegen, dass die Geschwindigkeit desWassers am Austritt der Düse 50m/s ist. Der Durchmesser des Wasserschlauchs amEintritt der Düse beträgt 100mm. Die Geschwindigkeit im Schlauch ist 6m/s, dieDichte des Wassers konstant 1000 kg/m3.

Lösung

• Schema1 2

100 mm50 m / s6 m / s

• Annahmen– Die Strömung ist reibungsfrei.– Die Dichte des Wassers ist konstant.– DieGeschwindigkeit ist in jedemStrömungsquerschnitt diemittlereGeschwin-digkeit.

3.3 Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz) 59

• AnalyseNach der Kontinuitätsgleichung gilt unter Berücksichtigung der konstantenDich-te:

c ⋅ A = c ⋅ A

Nach der Fläche A2 bzw. nach dem Durchmesser d2 aufgelöst, erhalten wir:

A

A=

d

d=

cc

d = d ⋅√

c/c = 100 ⋅mm ⋅√

6/50 = ,mm

• DiskussionBei der Strömung inkompressibler Fluide in einer Leitung ist der Strömungsquer-schnitt umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit.

Beispiel 3.4: Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit eines kompressiblen FluidsIn die Düse eines Windkanals strömt Luft mit einer Geschwindigkeit von 40m/shinein. Der Eintrittsquerschnitt ist 5 mal größer als der des Austritts. Der Druck derLuft beträgt am Eintritt 1,25 bar, am Austritt 1,0 bar. Die Temperatur am Eintritt ist20 °C, am Austritt 15 °C.

Die Gaskonstante der Luft beträgt 287 J/(kg K). Bestimmen Sie die Geschwindig-keit der Luft am Austritt.

Lösung

• Schema

2A = 5 A1

= 1,25 bar= 20 °C

pJ 1c

1

p = 1,0 bar= 15 °CA J

2

c

2

2

• Annahmen– Die Luft ist ein ideales Gas.– Im Strömungsquerschnitt ist die Geschwindigkeit ortsunabhängig.

60 3 Bewegte Fluide

• AnalyseNach der Kontinuitätsgleichung gilt:

c ⋅ A ⋅ ρ = c ⋅ A ⋅ ρ

An den Stellen 1 und 2 kann die Dichte der Luft mit der idealen Gasgleichungbestimmt werden.

ρ =p

R ⋅ T=

1,25 ⋅ 105 ⋅ Pa287 ⋅ J/(kg ⋅K) ⋅ , ⋅K

= ,kg/m

Für die Geschwindigkeit am Austritt erhält man:

c =A ⋅ ρA ⋅ ρ

⋅ c = ⋅ 1,4861 ⋅ 1,209

⋅ 40 m/s = ,m/s

• DiskussionBei kompressiblen Fluiden muss die Dichteänderung infolge einer Druck- undTemperaturänderung berücksichtigt werden. Wenn Druck und Temperatur be-kannt sind, ist die Dichte idealer Gase einfach zu bestimmen. Es ist wichtig, dierichtigen Einheiten einzusetzen.

Literatur

[1] Roberson J A, Crowe C T (1997) Engineering Fluid Mechanics, 6. Edition, John Wiley & Sons,Inc., New York[2] Schlichting H (1965) Grenzschichttheorie, Verlag G. Braun Karlsruhe