Fluidmechanik II Formelsammlung

Zusammenfassung von David Heinze (david.heinze@mytum.de) Version 1.2 vom 09.03.2008 (Erst-Veröffentlichung 28.02.2008)

1 Grundlagen........................................................................................................................................ 2

Koordinaten-Transformation................................................................................................................. 2 Vektor-Operationen ................................................................................................................................ 2 Zeitableitungen ........................................................................................................................................ 3 Definitionen.............................................................................................................................................. 3

2 Erhaltungssätze ................................................................................................................................. 4

Allgemeingültige Gleichungen................................................................................................................ 4 Navier-Stokes-Gleichungen .................................................................................................................... 5 Eulersche Gleichungen............................................................................................................................ 6 Gasdynamische Grundgleichung ........................................................................................................... 6 Potentialgleichung ................................................................................................................................... 6

3 Schallgeschwindigkeit....................................................................................................................... 7

Isentropie-Beziehungen........................................................................................................................... 7

4 Verdichtungsstoß .............................................................................................................................. 8

Variation der Ruhegrößen nach dem Stoß ........................................................................................... 8 Variation der statischen Größen nach dem Stoß.................................................................................. 8 Umrechnung M – M*.............................................................................................................................. 8 Thermodynamische Stoßrelationen ....................................................................................................... 9

5 Lavaldüsen....................................................................................................................................... 10

Variation der Querschnittsfläche......................................................................................................... 10 Massenstromdichte................................................................................................................................ 10

6 Potentialströmung........................................................................................................................... 11

Vollständige Potentialgleichung........................................................................................................... 11 Inkompressible Potentialgleichung (Laplace-Gleichung).................................................................. 11 Ebene, stationäre, inkompressible Potentialgleichung (2-D Laplace) .............................................. 11

7 Fanno-Rohr ..................................................................................................................................... 14

8 Profilumströmung im linearen Überschall ................................................................................... 15

2

1 GRUNDLAGEN Koordinaten-Transformation

kartesisch Zylinder: zyxzr vv ,,,,

1000cossin0sincosrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= θθ

θθ

θ Zylinder kartesisch: zrzyx vv ,,,,

1000cossin0sincos

θθθθθ

rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

kartesisch Kugel: zyxr vv ,,,,

0cossinsinsincoscoscos

cossinsincossinrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

φφθφθφθ

θφθφθ

φθ Kugel kartesisch: φθ

θθφφθφθφφθφθ

,,,,

0sincoscossincossinsinsincoscoscossin

rzyx vv rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

Vektor-Operationen Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vektor vr

( )Tzyxwvu ,, ( )T

zrwvu ,,θ ( )Trwvu φθ ,,

Nabla-Operator∇=∇

r

T

zyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

T

zrr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

θ1

T

rrr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

φθθ sin11

Laplace-Oper. pp 2∇=∆

r 2

2

2

2

2

2

zp

yp

xp

∂∂+

∂∂+

∂∂ 2

2

2

2

22

2 11z

pprr

prr

p∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

θ 2

2

2222

2

22

2

sin1

sincos12

φθθθθ

θ ∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂ p

rp

rp

rrp

rrp

Gradient pgradp =∇

T

zp

yp

xp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

T

zpp

rrp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

θ1

Tp

rp

rrp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

φθθ sin11

Divergenz vdivv rr =⋅∇ z

wyv

xu

∂∂+

∂∂+

∂∂ ( )

zwv

rrru

r ∂∂+

∂∂+

∂∂

θ11 ( ) ( )

φθθθ

θ ∂∂+

∂∂+

∂∂ w

rv

rrur

r sin1sin

sin11 2

2

Rotation vrotv rr =×∇

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

yu

xv

xw

zu

zv

yw

wvuzyx

kji

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

θ

θ

urrv

r

rw

zu

zvw

r

1

1

( )

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

θ

φθ

φθθ

θ

urrv

r

rrw

ru

r

vvr

1

1sin1

sinsin1

GrundlagenFluidmechanik II

3

Zeitableitungen

partielle zeitliche Ableitung tc

∂∂

zeitliche Veränderung an raumfestem Punkt

totale zeitliche Ableitung dtdz

zc

dtdy

zc

dtdx

xc

tc

dtdc

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

zeitliche Veränderung, wahrgenommen von einem beliebig bewegten Beobachter

(dtdz

dtdy

dtdx ,, sind nicht die Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit!)

substantielle zeitliche Ableitung wzcv

zcu

xc

tc

DtDc

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

zeitliche Veränderung, wahrgenommen von einem mit Strömungsgeschwindigkeit bewegten Beobachter

Definitionen thermisch ideales Gas TRp ρ= kalorisch ideales Gas Tce v=

isentrop 0=DtDs (Entropie entlang einer Teilchenbahn konstant)

homentrop 0=∇s (Entropie überall gleich und konstant)

Schallgeschwindigkeit 321Gas ideales

2 TRpcs

κρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂=

Machzahl cvM =

kritische Machzahl *

*cvM =

4

2 ERHALTUNGSSÄTZE Allgemeingültige Gleichungen Integrale Form

Vorraussetzung: keine Massenquellen/-senken

Masse ( )

( )( )

0=⋅+∂∂= ∫∫

tOtV

odvdVtdt

dM rrρρ

Impuls ( )( )

( )( )

OMtOtV

KKodvvdVtv

dtId rrrrr

rr

+=⋅+∂

∂= ∫∫ ρρ

Energie ( )

( )( )( )

( )( )( )

WOMtOtVtV

LLLodvvedVvet

dVEdtd ++=⋅+++

∂∂= ∫∫∫

rr2212

21 ρρρ

Index M / O / W : Masse / Oberfläche / Wärme

Differentielle Form zusätzliche Vorraussetzung.: Differenzierbarkeit

Masse 0=∂∂

+∂∂+

∂∂

i

i

ii x

vx

vt

ρρρ

Impuls ij

ji

ij

ij

i fxx

pxv

vtv ρ

τρρ +

∂∂

+∂∂−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

Energie ( ) ( )

wvfxq

xv

xpv

xEv

tE

iij

j

j

iji

j

j

ii ρρ

τρρ ++

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

ErhaltungssätzeFluidmechanik II

5

Navier-Stokes-Gleichungen Vorraussetzung.: thermisch und kalorisch ideales Gas, keine Wärmequellen/-senken, Newtonsches Fluid,

Fouriersche Wärmeleitung

Masse 0=∂∂

+∂∂+

∂∂

i

i

ii x

vx

vt

ρρρ

Impuls k

xji

ji

j

j

i

jij

ij

i

xv

xxv

xv

xxp

xv

vtv

∂∂

∂∂−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂ δµµρρ

32

zusätzliche Vorraussetzung: inkompressibel ( .const=ρ ), konstante Zähigkeit ( .const=µ )

Masse 0=∂∂

i

i

xv

Impuls ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂

+∂∂

j

i

jij

ij

i

xv

xxp

xv

vtv

ρµ

ρ1

Kartesische Koordinaten

x: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

ρµ

ρ

y: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

21zv

yv

xv

yp

zvw

yvv

xvu

tv

ρµ

ρ

z: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

21zw

yw

xw

zp

zww

ywv

xwu

tw

ρµ

ρ

Zylinderkoordinaten

r: ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

22

2

2

2111zuv

ru

rrru

rrrp

zuwu

rv

ruu

tu

θθρµ

ρθ

θ : ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

22

2

2

21111zvu

rv

rrrv

rrp

rzvw

ruvv

rv

rvu

tv

θθρµ

θρθ

z: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

11zww

rrwr

rzp

zww

ruvw

rv

rwu

tw

θρµ

ρθ

Kugelkoordinaten

r: +∂∂−=+−

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂

rp

rwvu

rwu

rv

ruu

tu

ρφθθ1

sin

22

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂−

∂∂−

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂+

φθθθ

θφθθθ

θθρµ w

rv

ru

ru

rrur

rr sin2sin

sin2

sin1sin

sin11

222

2

222

2

2

θ : +∂∂−=+−

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

θρφ

φθθp

rrw

ruvv

rwv

rv

rvu

tv 11cot

sin

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂−

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+

φθθ

θφθθθ

θθρµ w

ru

rv

rv

rrvr

rr sincot22

sin2sin

sin111

222

2

2222

2

φ : +∂∂−=++

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

φθρφ

φθθp

rruw

ruvw

rww

rv

rwu

tw

sin11cot

sin

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂−

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+

φθθ

φθφθθθ

θθρµ v

ru

rw

rw

rrwr

rr sincot2

sin2

sin2sin

sin111

222

2

2222

2

Erhaltungssätze Fluidmechanik II

6

Eulersche Gleichungen

Vorraussetzung: thermisch und kalorisch ideales Gas, keine Wärmequellen/-senken, reibungs – und wärmeleitungsfrei, isentrop

Masse 0=∂∂

+∂∂+

∂∂

i

i

ii x

vx

vt

ρρρ

Impuls ij

ij

i

xp

xv

vtv

∂∂−=

∂∂

+∂∂

ρ1

Energie 0=∂∂+

∂∂

ii x

svts

Gasdynamische Grundgleichung zusätzliche Vorraussetzung: stationär

( ) ( ) ( ) 0222222 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂−+

∂∂−+

∂∂−

xw

zuwu

zv

ywwv

yu

xvvu

zwcw

yvcv

xucu

Massen-, Impuls- und Energieerhaltung kombiniert, nur lösbar mit Kopplungsgleichung für u und v

Satz von Crocco ( ) sTvv ∇−=×∇× rr

jede drehungsfreie, stationäre, isoenergetische Strömung ist homentrop jede homentrope, stationäre, isoenergetische 2-D Strömung ist drehungsfrei

Potentialgleichung zus. Vorr.: homentrop

siehe Potentialströmung

7

3 SCHALLGESCHWINDIGKEIT Isentropie-Beziehungen

T-Beziehungen gelten allgemein Nomenklatur: „0“ – Ruhezustand; „1“ – beliebiger Zustand; „*“ – kritischer Zustand

bezogen auf lokale Machzahl

12

0 211

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= M

TT κ

1

21

2

1

211

211

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+=

M

M

TT

κ

κ

11

2

0 211

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

κκρρ M

11

21

2

1

211

211

−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+=

κ

κ

κ

ρρ

M

M

12

0 211

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

κκ

κ Mpp

1

21

2

0

211

211

−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+=

κκ

κ

κ

M

M

pp

aufgelöst nach M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−−

11

211

211

21

01

00κ

κκ

κρρ

κκ pp

TT

M

bezogen auf Referenz-Temperatur 1

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TT

TT

11

00

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κ

ρρ

TT

1

00

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκ

TT

pp

κ

ρρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00pp

analog für Zustandsänderungen: 1xx → , 20 xx →

bezogen auf kritischen Zustand

12*

0 +=

κTT sowie

21

00

**⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TT

cc

11

0 12* −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

κ

κρρ

1

0 12 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

κκ

κpp

8

4 VERDICHTUNGSSTOß Variation der Ruhegrößen nach dem Stoß

( )( )1

121

1111

ˆ2

2

2

−+

+

−+−+

=M

MM

κκ

κκ

( )( )1ˆ

121

1ˆ111

2

2

2

−+

+

−+−+

=M

MM

κκ

κκ

00 T̂T =

( ) 1

2

11

2

0

0

0

0 111

2111

21ˆˆ −

−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++==

κκ

κ

κκκ

ρρ

MM

pp

( ) ( ) 11

212

0 11

2121ˆ −

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=κκ

κ

κκκ MM

pp

*ˆ* cc =

1*ˆ**ˆˆ

*=⋅=⋅ MM

cv

cv

Variation der statischen Größen nach dem Stoß

( )1

221

2 111111

121

ˆ −−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−= MM

M κκ

κρρ

( )11

21ˆ 2 −

++= M

pp

κκ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=== 2

22

2 111

2111

21ˆ

ˆˆˆ

MM

pp

cc

TT

κκ

κκ

ρρ

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−κκ

κκ

κκ

ρρ

22 11

1211

121ln

ˆˆ

lnˆ

MM

pp

css

v

Umrechnung M – M*

12

211

*2

22

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

κκ M

MM ( )1

111

*2

22

−+−+

=M

MM

κκ

( )1*2

11

*2

22

−−−=

M

MM κ

VerdichtungsstoßFluidmechanik II

9

Thermodynamische Stoßrelationen

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=−−

ρρ ˆ11

21

ˆ

ˆ

pphh

Rankine-Hugoniot-Relation

( )2

ˆˆˆ ppvvee −−=− (v: spezifisches Volumen)

von Kármán Relation

ρρκ

ρρ ++=

−−

ˆˆ

ˆˆ pppp

Hugoniotkurve

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−−+

−−+=

−−+−−+=

ρρ

ρρκκ

κρρκ

ρκρκρκρκ ˆ

ˆ11

1ˆ

1

ˆ111ˆ1ˆ

fpp

1ˆ

=ρρ : Funktionswert, 1. und 2. Ableitung identisch mit Isentrope

κ

ρρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00pp

10

5 LAVALDÜSEN Variation der Querschnittsfläche

11

21

21

2

1

1

211

211

−+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+=

κκ

κ

κ

M

M

MM

AA

( ) 11

21

2 11111

*−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−+=

κκ

κκ M

MAA

( ) 11

2 1*2

11*

1*

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

κκ MMA

A

022011 ** pApA ⋅=⋅

Massenstromdichte

Lavaldüsengleichung ( ) 11

2 1*2

11***

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

κκρ

ρ MMvv

11

6 POTENTIALSTRÖMUNG Vollständige Potentialgleichung

02121 2

2

2

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇⋅Φ∇+

∂Φ∂∇⋅Φ∇+

∂Φ∂−Φ∇⋅∇

ttc

mit Φ∇=vr

Instationär

( )ztzytyxtxtt

zxxz

yzzy

xyyx

zzz

yyy

xxx

c

cccccc

ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ=

=ΦΦΦ

−ΦΦΦ

−ΦΦΦ

−Φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−+Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−+Φ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−

2221

222111

2

2222

2

2

2

2

2

mit ( )tCdpt

rrr

=+Φ∇+∂Φ∂

∫ ρ2

21 ideales Gas: ( )tCp

t

rrr

=−

+Φ∇+∂Φ∂

ρκκ

121 2

Stationär

0222111 2222

2

2

2

2

2

=ΦΦΦ

−ΦΦΦ

−ΦΦΦ

−Φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−+Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−+Φ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ− zx

xzyz

zyxy

yxzz

zyy

yxx

x

cccccc

Inkompressible Potentialgleichung (Laplace-Gleichung) es gilt: const== ∞ρρ , d.h. ∞== ∞cc

02

2

2

2

2

2

=∆Φ=∂

Φ∂+∂

Φ∂+∂

Φ∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂⋅∇=Φ∇⋅∇

zyxzyx

T

Ebene, stationäre, inkompressible Potentialgleichung (2-D Laplace)

es gilt: const== ∞ρρ , d.h. ∞== ∞cc sowie 0=∂∂t

Massenerhaltung 0=∂∂+

∂∂

yv

xu

Drehungsfreiheit 0=∂∂−

∂∂

yu

xv

Potentialfunktion und Stromfunktion

Potentialfunktion ( )yx,Φ : x

u∂Φ∂= ,

yv

∂Φ∂= (Bedingung der Drehungsfreiheit)

Stromfunktion ( )yx,Ψ : y

u∂Ψ∂= ,

xv

∂Ψ∂−= (Bedingung der Massenerhaltung)

Eigenschaften: Stromlinien .const=Ψ und Potentiallinien .const=Φ bilden ein orthogonales Netz .const=Ψ entlang des umströmten Körpers 0=Φ∇=vr in allen Staupunkten

Potentialströmung Fluidmechanik II

12

Allgemeine Lösungsmethoden Komplexes Potential ( ) ( ) ( )yxiyxzF ,, Ψ+Φ=

Winkel in der Quellenfunktion ist Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor von der Quelle/Senke zum relevanten Punkt P(x,y)

PotentialströmungFluidmechanik II

13

Dickenparameter lhmax2=τ (h: Höhe des Halbkörpers)

Druckkoeffizient 2

2

22

1∞∞

∞ −=−

=v

v

vppc p r

r

rρ

Singularitätenverfahren schlanke Körper, d.h. 1<<τ

Störpotential ( ) ( ) ( )

( )∫ +−

−=

−=

∞

∞

∞

lO

x dyx

ddh

x

uuyxu

uyx

022

1,, ξξ

ξξ

πϕ

( ) ( )

( )∫ +−==

∞∞

lO

y dyx

ddh

y

uyxv

uyx

022

1,,ξ

ξξ

πϕ

auf Profiloberfläche ( ) ( )

∫ −=

−=

∞

∞

∞

lO

x dxddh

uuxu

ux

0

10,0, ξξ

ξπ

ϕ

Anstellungseffekt ( ) ( ) ( )∫ −=−= ∞

l

x dx

ynuyxuyx0

arctan21,, ξ

ξξ

πϕ

Anstellungseffekt mit Kutta-Joukowski-Bedingung

Oberseite ( )

xx

uuxuO −=

−

∞

∞ 10, ε

Unterseite ( )

xx

uuxuU −−=

−

∞

∞ 10, ε

Anstellungswinkel ε

Auftriebskoeffizient περ

212

2

=⋅

=∞ bu

Fc y

p (Tiefe b, Einheitslänge l=1)

14

7 FANNO-ROHR kompressible, reibungsbehaftete Rohrströmung mit konstantem Rohrquerschnitt

allgemeine Lösung ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

++−

=2

12

2

22

21

21

22

21

22

211

211

ln2

114MM

MM

MMMM

DLchydr

f κ

κ

κκ

κ

(stetige Zustandsänderung von M1 nach M2 )

maximale Rohrlänge ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+++−

=2

1

21

21

21max

2112

1ln2

1114M

MM

MDL

chydr

f κκ

κκ

κ

(stetige Zustandsänderung von M1 nach M2=1 ) hydraulischer Durchmesser UADhydr 4=

Abschätzung Wandschubspannungskoeffizient: 3102 −⋅≈fc

bzw. nach Blasius: lfc Re328,1≈ (für 65 10Re105 <=<⋅ ∞

υlu

l )

Entwicklung der Lösung

für M<<1 21

max 141

McDL

fhydr κ≅

für M>>1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−+−≅

11ln

211

41max

κκ

κκ

κfhydr cDL

Änderung der Zustandsgrößen

15

8 PROFILUMSTRÖMUNG IM LINEAREN ÜBERSCHALL stationäre, schwach kompressible 2D-Potentialströmung

Störpotential ( ) 01 2 =+− ∞ yyxxM ϕϕ (Beschränkung auf lineare Störglieder)

elliptisch für 1>∞M hyperbolisch für 1>∞M

1

1tan2 −

==∞Mdy

dxα

oder

∞∞

∞ ==Mu

c 1sinα

Ackeret-Formel ( )1

'2 −

=−

∞∞

∞

M

xhu

uum

Druckkoeffizient ∞

∞−−=

uuuc p 2 (lineare Approximation)

Widerstandskoeffizient ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⋅=

∞∞

1

0

2

22 1

41

dxdx

dhMbu

Fc Ox

w ρ (Tiefe b, Einheitslänge l=1)