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Förderung mathematischer Vorläuferfähigkeiten im Kindergarten mit dem Programm

„Spielend Mathe“

Prof. Dr. Claudia Quaiser-Pohl, Universität Siegen

1. Mathematische Vorläuferfähigkeiten und ihre Bedeutung

Wie zu allen Zeiten ist auch besonders heute mathematisches Wissen unabdingbar, denn mathemati-

sches Verständnis ist auch Alltagsverständnis. Wir lesen die Uhr, bezahlen mit Geld, finden Haus-

nummern oder den richtigen Bahnsteig, spielen Lotto, verstehen Bundesligaergebnisse und gebrau-

chen ständig Handys oder Fernbedienungen - tagtäglich also hantieren wir mit Dingen, die nur durch

mathematische Kenntnisse erklärbar und nutzbar sind. Wesentliche Voraussetzungen für mathemati-

sches Denken, wie z.B. Mengenauffassung und Zahlbegriff, sind bereits im Kleinkindalter gegeben

(Hasemann, 2003a). Außerdem zeigen Studien, dass der frühzeitige Erwerb mathematischer Vorläu-

ferfertigkeiten sehr entscheidend ist für die späteren schulischen Leistungen (Krajewski, 2003; Stern,

1998). Schon im Kindergartenalter können Kinder mit viel Spaß und Freude in die Welt der Mathema-

tik eintauchen. In dieser Entwicklungsphase ist es sogar besonders einfach, ihnen spielerisch ein ma-

thematisches Grundverständnis zu vermitteln.

In den letzten Jahren wurde eine Reihe von Konzepten und Ansätzen zur mathematischen Bildung im

Elementarbereich vorgelegt, mit denen sich die erforderlichen Vorläuferfähigkeiten im Zuge vorschu-

lischer Bildungsmaßnahmen sinnvoll und effektiv fördern lassen (z.B. Merdian, 2005; Friedrich & de

Galgóczy, 2004; Hoenisch & Niggemeyer, 2004; Perras, 2004; Hülswitt, 2006). Bisher liegen jedoch

nur wenige Belege für langfristige positive Auswirkungen des mathematischen Vorwissens vor Schul-

eintritt für die späteren schulischen Leistungen vor. Die Längsschnittstudien zeigen, dass die vorschu-

lische Leistungsvarianz über die Schulzeit hinweg weitestgehend stabil bleibt (Stern, 1998; Weinert &

Helmke, 1997) und dass individuelle Unterschiede in den mathematischen Vorläuferfähigkeiten im

Vorschulalter die mathematischen Leistungen am Ende der Grundschulzeit besser vorhersagen als die

Intelligenz (Krajewski & Schneider, 2006; Weißhaupt, Peucker & Wirtz, 2006). Deshalb erscheint es

sinnvoll, die Auswirkungen mathematischer Bildungsprogramme im Elementarbereich systematisch

zu untersuchen, wie dies in ähnlicher Weise für andere vorschulische Förder- und kognitive Trai-

ningsprogramme bereits in den achtziger und neunziger Jahren getan wurde (vgl. Klauer, 2001;

Schmidt-Denter, 2002).

2. Entwicklung mathematischer Fähigkeiten bis zum Vorschulalter

Die Entwicklung mathematischen Denkens beginnt schon im Säuglingsalter. Bereits bei der Geburt

verfügen wir, wie die entwicklungspsychologische Säuglingsforschung nachgewiesen hat, über menta-

le Modelle von Mengen (Wynn, 1998). Schon Neugeborene können Mengen von bis zu vier Objekten

miteinander vergleichen (Antell & Keating, 1983), sechs Monate alte Säuglinge könnenReihen mit

vier Scheiben von Reihen mit acht Scheiben unterscheiden (Xu, 2003) und es gelingt die Differenzie-

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rung von Mengen mit acht und sechzehn bzw. sechzehn und zweiunddreißig Objekten, allerdings nur,

wenn sie mindestens um den Faktor 2 voneinander abweichen (Xu, Spelke & Goddard, 2005; Lipton

& Spelke, 2003; Xu & Spelke, 2000). Schon Neugeborene unterscheiden also zwischen kleinen Men-

gen (Wynn, 1998), der Umgang mit größeren basiert jedoch auf Erfahrung (Dehaene, 1997, 1999). Da

auch Tiere über Numerisches Wissen verfügen, kann offenbar von einem sog. „Zahlensinn“, einem

angeborenen kognitiven System für numerische Kompetenzen ausgegangen werden (Butterworth,

1999; Dehaene, 1997; Huntley-Fenner, 2001; Resnick 1989; Temple & Posner, 1998).

Auch das Erkennen von Zahlwörtern gelingt schon relativ früh, ungefähr im Alter von zwei Jahren,

obwohl dem Kind zu diesem Zeitpunkt die eigentliche Bedeutung der Zahlwörter noch nicht bewusst

ist. Fuson (1988) konnte zeigen, dass die meisten Kinder bis zum Alter von dreieinhalb Jahren die

Zahlwörter bis zehn und zwischen dreieinhalb und viereinhalb Jahren von zehn bis zwanzig lernen.

Allerdings sind viele Kinder zwischen viereinhalb und sechs Jahren noch unsicher im Umgang mit den

Zahlwörtern von vierzehn bis zwanzig. Bis sie etwa drei Jahre alt sind, nutzen Kinder nämlich beim

Zählen das Prinzip des ‚Subitizing’, die Schätzung kleiner Mengen von bis zu vier Objekten durch

spontanes visuelles Erfassen (Wynn, 1990; Resnick, 1989). Erst dann beginnen sie dann mit dem sog.

verbalen Zählen, das noch stark dem Aufsagen eines Gedichtes ähnelt. In der anschließenden Phase

des asynchronen Zählens mit etwa vier Jahren sind Kinder zwar in der Lage, Zahlwörter in der korrek-

ten Reihenfolge zu benutzen, sie vergessen jedoch beim Abzählen oft Objekte oder zählen sie mehr-

fach. Erst in der Phase des synchronen Zählens zeigen Kinder beim Zählen immer auf genau ein Ob-

jekt und etwa mit fünf Jahren, im Stadium des resultativen Zählens (Rijt, Luit & Hasemann, 2001)

wissen sie dann, dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird, dass man mit der eins beginnt und dass

das letzte Zahlwort der Gesamtzahl der Objekte entspricht, was man als Kardinalitätsprinzip bezeich-

net.

Außer diesem gibt es nach Gelman und Gallistel (1986) insgesamt fünf Prinzipien, die bereits Vierjäh-

rige beim Zählen erfolgreich einsetzen können: das der Eins-zu-Eins-Zuordnung - beim Zählen wird

jedem Objekt genau eine Zahl zugewiesen, das der stabilen Reihenfolge - die Zahlen kommen immer

in der derselben Reihenfolge vor, das der Anordnungsbeliebigkeit - die Reihenfolge der Objekte spielt

keine Rolle und das Abstraktionsprinzip des Zählvorgangs - jede beliebige Objekt- oder Ereignismen-

ge ist zählbar. Während Gelman und Gallistel diese Prinzipien weitestgehend als angeboren ansehen,

geht Fuson (1988) davon aus, dass sie erst durch Erfahrung im Umgang mit Zahlen erworben werden.

Ist der Zahlbegriff einmal verinnerlicht, sind bald auch einfache Additions- und Subtraktionsoperatio-

nen möglich, denn Zählfertigkeiten bilden den Übergang vom impliziten quantitativen Wissen zum

expliziten rechnerischen Wissen (Kaufmann, Handl & Delazer, 2005). Carpenter und Moser (1983)

beobachteten bereits bei Vierjährigen Additionen und Subtraktionen im kleinen Zahlenbereich, aller-

dings nur unter Zuhilfenahme von Gegenständen oder den Fingern zur Bestimmung der Gesamtmen-

ge. Im Alter von fünfeinhalb bis sechs Jahren erkennen Kinder Strukturen in mehr oder weniger ge-

ordneten Objektmengen (z.B. das Zahlbild der Fünf auf einem Würfel) und können von dieser Zahl an

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aufwärts zählen. Die Rechenfähigkeit entwickelt sich allerdings im Gegensatz zum Zahlbegriff nicht

in einer festen Stufenabfolge (Dehaene, 1999).

Bereits im Vorschulalter verfügen Kinder also über beträchtliche Kenntnisse numerischer und nicht-

numerischer Quantitäten (Fuson, 1988, Geary, 1994, Luit, Rijt & Hasemann, 2001), die erheblichen

interindividuellen Unterschiede in mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten zum Zeitpunkt der

Einschulung lassen sich zu einem Großteil auf unzureichende Förderung im Vorschulalter zurückfüh-

ren (Hasemann, 2003b).

3. Ansätze zur Förderung mathematischer Vorläuferfähigkeiten

Mathematisches Denken ist eine allgemeine Struktur menschlichen Denkens, die vom Säuglingsalter

bis zum Lebensende entwickelt und bewahrt wird. So sammeln Kinder bereits im Vorschulalter zahl-

reiche Erfahrungen in den Bereichen Form, Größe, Gewicht, Mengen, Relationen, Zeit, Reihenfolge,

Zuordnung, Zählen, Zahlwörter, Ziffern u.ä. in verschiedenen Alltagssituationen, die bestimmten ma-

thematischen Strukturen zugeordnet werden können. Gerade auf den Zahlbegriff nehmen viele der

existierenden Konzepte zur Mathematik im Kindergarten Bezug. Im Programm „Zahlenland“ (Fried-

rich, 2003; Friedrich & de Galgóczy, 2004) werden die Kinder mit den Zahlen von 1 bis 20 dadurch

vertraut gemacht, dass man sie anhand von vier zahlenbezogenen Erfahrungs- und Handlungsfeldern

(„Zahlenhaus“, „Zahlenweg“, „Zahlenländer“, „Zahlengarten“) Schritt für Schritt an sie heranführt.

Ihre kurzfristige Wirksamkeit im Hinblick auf die Zahlenkenntnisse von Kindergartenkindern konnten

Evaluationsstudien nachweisen (Friedrich & Munz, 2004), ihre alleinige Fokussierung auf die Kennt-

nis von Zahlen und das Zählen wird aber dem Anspruch einer umfassenden mathematischen Förde-

rung wohl nur bedingt gerecht wird. Die Mathematik strukturiert unsere Umwelt nämlich nicht nur

über Zahlen, sondern ganz allgemein durch algebraische Strukturen. Außerdem eignen sich die Inhalte

eher für jüngere Kindergartenkinder und sind für die meisten Vorschulkinder nicht anspruchsvoll und

abwechslungsreich genug. Eine in Form von Werkstattarbeit in den Kindergartenalltag integrierbare

mathematische Förderung zum Thema „Ostern“, die von Erzieherinnen eines Schweizer Kindergar-

tens entwickelt und umgesetzt wurde, beschreibt Caluori (2003). Das in verschiedene Lektionen ge-

gliederte in niederländischen Kindergärten praktizierte Programm „Rekenhulp voor kleuters“ (Van

Luit & Van de Rijt, 1995) dient dagegen vor allem der gezielten Förderung von Kindern, die im Hin-

blick auf die Zahlbegriffsentwicklung nicht den Stand ihrer Alterkameraden erreichen. Auf aus der

Grundschulpädagogik stammenden mathematikdidaktischen Überlegungen basiert das Programm

„Mathe 2000“, das neben Lernmaterialien für den Mathematikunterricht in der Grundschule auch sol-

che für das Vorschulalter umfasst (z.B. „Das kleine Zahlenbuch“, Müller & Wittmann, 2002). Die

inhaltliche Leitidee des Programms besteht in der Auffassung von Mathematik als „Wissenschaft von

den Mustern“. Im vorschulischen Bereich dieses Programms steht deshalb vor allem die Förderung des

logischen Denkens (Fortsetzen von Reihen etc.) im Vordergrund, neuerdings beinhaltet es aber auch

den Umgang mit geometrischen Figuren. Auch in älteren elementarpädagogischen Konzepten, wie

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z.B. in der Montessori-Pädagogik, wird der Entwicklung mathematischer Denkstrukturen eine große

Bedeutung beigemessen und man versucht diese unter Verwendung stark strukturierter Materialien

gezielt anzuregen (Montessori & Oswald, 2002). Wiederum andere Ansätze gehen von der Kreativität

der Kinder aus und verwenden gerade unstrukturierte Materialien als Grundlage für die Aneignung

und Entwicklung mathematischer Denkstrukturen durch die Kinder selbst (Hülswittt, 2006).

Bei der Förderung mathematischer Vorläuferfähigkeiten im Kindergarten prinzipiell folgende Bedin-

gungen gegeben sein: ein altersgemäßer und spielerischer Umgang mit Zahlen, Mengen und abstrak-

ten Symbolen, der keine große Anstrengung verursacht, Möglichkeiten zur Entwicklung von Sensibili-

tät für mathematische Zusammenhänge und Spaß und Freude bei der Beschäftigung mit mathemati-

schen Fragen. Die Beschäftigung mit Mathematik im Vorschulalter will also nicht Inhalte des Grund-

schulunterrichts im Kindergarten vorwegnehmen und somit quasi die Schule vorverlagern. Sie sollte

deshalb spielerische Akzente besitzen und der natürlichen Neigung von Kindern zur quantitativen

Erfassung ihrer Umgebung in Form von Mengen und Zahlen entgegenkommen.

4. Das Programm „Spielend Mathe“

Gerade automatisiertes Wissen, wie z.B. das Zahlenwissen, stellt eine wichtige Voraussetzung für den

Verstehensprozess dar. Auch der spätere Schulerfolg hängt maßgeblich davon ab, wie viel bereichs-

spezifisches Vorwissen ein Kind im Vorschulalter ausbilden konnte. Deshalb sollten mathematische

Vorläuferfertigkeiten so früh wie möglich, d.h. bereits im Kindergarten, in sinnstiftende Aktivitäten

eingebettet vermittelt werden (Neubauer & Stern, 2007).

Dies ist das Konzept von „Spielend Mathe“, das auf dem Magdeburger Programm zur Förderung ma-

thematischer und allgemeiner intellektueller Fähigkeiten (Lehmann et al. 2006; Rademacher et al.

2005) aufbaut. In Anlehnung an die bereits dargestellten entwicklungspsychologischen Erkenntnisse

zum Erwerb mathematischer Fähigkeiten sowie auf dem Hintergrund von Befunden der Dyskalkulie-

forschung (z.B. von Aster & Lorenz, 2005; Fritz, Ricken, & Schmidt, 2003; Krajewski, 2003) und von

mathematik-didaktischen Überlegungen (z.B. Lorenz, 1997) werden im Rahmen des Programms ver-

schiedene mathematische Vorläuferfähigkeiten gefördert, die sich fünf Bereichen zuordnen lassen: 1.

Visuelle Differenzierung und Umgang mit Symbolen, 2. Mengenauffassung, 3. Zahlbegriff, 4. Einfache

Rechenoperationen und 5. Raumvorstellung.

Dazu wurden jeweils zwei aus verschiedenen Übungen bestehende Fördereinheiten entwickelt, die das

mathematische Denken auf spielerische Art und in Verbindung mit der konkreten Lebenswelt des

Kindes anregen sollen1. Sie sind zwar - auch aus Gründen der Systematik - den einzelnen Fähigkeits-

bereichen zugeordnet, aber nicht systematisch aufeinander aufbauend und funktional miteinander ver-

bunden. Das bedeutet, dass beim Umgang mit den Aufgaben meistens mehrere Fähigkeiten gleichzei-

tig beteiligt sind, wobei aber immer ein Fähigkeitsbereich durch die Förderung besonders angespro-

chen wird. Selbst eine Klassifikation in grundlegende und darauf aufbauende Fähigkeiten ist somit

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schwierig, weshalb die Reihenfolge der Förderbereiche im Zuge der Durchführung relativ flexibel

gehandhabt werden kann.

Ein weiteres grundlegendes Prinzip von „Spielend Mathe“ besteht darin, Kinder aller Begabungsaus-

prägungen fördern zu können, also nicht nur durchschnittlich begabte, sondern auch für eher „rechen-

schwache“ und bedingt auch mathematisch besonders begabte. Dazu sollten die Kleingruppen aber

relativ begabungshomogen zusammengesetzt sein und der Schwierigkeitsgrad der Inhalte innerhalb

der Förderbereiche jeweils variiert werden.

Im Folgenden werden die fünf Förderbereiche Visuelle Differenzierung und Umgang mit Symbolen,

Mengenauffassung, Zahlbegriff, Einfache Rechenoperationen und Raumvorstellung genauer beschrie-

ben und jeweils anhand konkreter Übungen veranschaulicht.

Förderbereich 1 „Visuelle Differenzierung und Umgang mit Symbolen“1 a) „Visuelle Differenzierung“ Unter visueller Differenzierungsfähigkeit versteht man die Fähigkeit, innerhalb einer komplexen

Struktur Einzelheiten zu erkennen und zu unterscheiden. Sie ist z.B. notwendig, um einzelne Elemente

aus einem komplexeren Zusammenhang herauszufiltern, Gesehenes zu strukturieren, ähnliche Ele-

mente (Symbole, Buchstaben, Ziffern) voneinander zu unterscheiden und sie nicht miteinander zu

verwechseln. Auch für die Prozesse der Klassifikation und der Seriation, die in Zusammenhang mit

dem Phänomen Rechenschwäche als bedeutsam angesehen werden (Lorenz, 2003; Kaufmann, 2003)

ist die visuelle Differenzierung eine wichtige Voraussetzung.

Beispiel: Memoryspiel

In Anlehnung an die bekannte Variante dieses Spiels werden Elemente benutzt, die sich sehr ähnlich sehen. Die Aufgabe des Kindes be-steht darin, die jeweils richtigen Paare aufzu-decken.

b) „Umgang mit Symbolen“ Ziffern sind Symbole für Mengen. Daher ist der Umgang mit Symbolen und das dafür nötige Abstrak-

tionsvermögen auch eine Voraussetzung für den Umgang mit Ziffern. Symbole sind ferner die Grund-

lage für die „Sprache der Mathematik“ und stehen in abstrakter Weise für eine Vielzahl konkreter

Dinge. Das symbolhafte Denken schafft Freiräume für das in der Mathematik Entscheidende, nämlich

die Herstellung von Beziehungen zwischen Objekten (die so genannten mathematischen Relationen).

1 Die beiden im Vorläuferprojekt getrennten Förderbereiche „Visuelle Differenzierung“ und „Umgang mit Symbolen“ wur-den in „Spielend Mathe“ zusammengefasst, um den zeitlichen Umfang des Programms zu reduzieren.

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Aus entwicklungs- und kognitionspsychologischer Sicht (vgl. Aebli, 1976) vollzieht sich dies vom

handelnd-spielerischen Umgang mit Materialien und Situationen über die visuelle Darstellung von

Objekten und Situationen (wie z.B. bei Verkehrszeichen) bis zur symbolischen Ebene, in der Symbole

von der Wirklichkeit gelöst werden (z.B. das Plus-Zeichen für unendlich viele Summationsaufgaben).

Beispiel: Kuchenspiel

Die Kinder bekommen geometrische Figuren (Kreise, Dreiecke, Vierecke) in verschiedenen Farben angeheftet. Die Formen symbolisieren jeweils eine bestimmte Backzutat (z.B. weißer Kreis = Eier).

Sie laufen nun im Kreis herum, bis die Übungs-leiterin sagt: „Ich backe einen Kuchen und da kommt hinein: …“. Dabei benennt sie verschie-dene Zutaten. Alle Kinder, die das entsprechende Symbol zu der Zutat angeheftet haben, erfüllen dann eine vorher festgelegte Aufgabe: sie setzen sich z.B. auf den Boden, oder springen in die Luft.

Förderbereich 2: „Mengenauffassung“ Die Mengenauffassung umfasst das Verstehen von Relationen wie "mehr als", "weniger als" und

"gleich viel“ und ist eine wichtige Voraussetzung für das Erlernen des numerischen Systems. "Mehr

als" meint dabei die größere Quantität und nicht das, was einen größeren Raum einnimmt. Die Men-

genauffassung schließt die Mengenkonstanz ein, also das Wissen, dass eine Menge „gleich“ bleibt,

solange nichts hinzugefügt oder weggenommen wird (Prinzip der Mengeninvarianz nach Piaget).

Auch die Klasseninklusion, d.h. das Verständnis für Teil-Ganzes-Beziehungen, also das Ordnen im

Sinne verschachtelter Teil-Ganzes-Mengen (z.B. 10=2+8 oder 100=4+6) und die Seriation, das Ver-

ständnis von Ungleichheitsbeziehungen von Mengen (z.B. Objekte nach zunehmender Größe ordnen

können) sind nach Piaget Bestandteil der Mengenauffassung und stellen Meilensteine der Entwicklung

mathematischer Fähigkeiten dar.

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Beispiel 1: „Perlengläser“

Fünf mit unterschiedlich vielen farbigen Holzperlen gefüllte Behälter werden ungeord-net auf den Tisch gestellt. Jedes Kind be-kommt vier Papierpfeile. Die Übungsleiterin zeigt jetzt abwechselnd auf eines der Gläser und die Kindern sollen dann zu jedem Glas, in dem mehr bzw. weniger Perlen sind als in dem, auf das sie zeigt, einen Pfeil legen.“

Beispiel 2: Schäfchenspiel

Plättchen mit Tiermotiven (z.B. Schäf-chen) werden rechts und links einer Trenn-linie verteilt, die die Grenze des Tiergehe-ges symbolisieren soll. Die Anzahl der Tiere auf jeder Seite wird dabei sukzessive variiert (z.B. 5 drinnen/3 draußen; 5 drinnen/ 7 draußen; 7 drinnen, 6 draußen; 10 drinnen, 10 draußen usw.) Die Kinder sollen jeweils sagen, ob sich mehr Tiere innerhalb oder außerhalb des Geheges befinden.

Förderbereich 3: „Zahlbegriff“ Die Zahl ist ein Produkt des menschlichen Geistes und wird als Inbegriff mathematischen Denkens

aufgefasst. Sie kann auf drei Ebenen erfahren werden: 1. auf der Ebene der Realität: als konkrete Men-

gen, Gegenstände und Situationen, die durch Wahrnehmungen und Vorstellungen erfahren werden, 2.

auf der Ebene der Begriffe: als Zahlenwert bzw. als mengentheoretischer und relationaler Begriff und

3. auf der Ebene der Symbole: in Form von Ziffern, die als Symbol für eine Menge bzw. eine Zahl die

Realität unabhängig von Gegenstand und Handlung beschreiben.

Folgende Bedeutungen von Zahlen können bereits im Vorschulalter spielerisch erfahren werden: die

Zahl als Bezeichnung der Mächtigkeit einer Menge, z.B. drei Bäume (Anzahlaspekt), die Zahl als

Ordnungszahl, die angibt, welchen Platz ein Element in einer bestimmten Reihe einnimmt, z.B. zwei-

ter Platz (Ordnungsaspekt), die Zahl als Vielfaches eines Vorgangs, z.B. doppelt so hoch, dreimal

mehr (Operatoraspekt), die Zahl als Maßzahl für Größen, z. B. sieben Meter (Maßzahlaspekt), die

Zahl als Ergebnis einer mathematischen Verknüpfung, z.B. die Summe (Rechenaspekt).

Zum Zahlbegriff gehört außerdem das Wissen über Zahlbilder und Zahlwörter sowie die Zählfertig-

keit. Letztere beinhaltet die Beherrschung der Zahlwortreihe und die korrekte Eins-zu-Eins-

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Zuordnung, um die Anzahl einer Menge bestimmen zu können. Auch die Vorstellung bzw. das Ver-

ständnis von Teil-Ganzes-Beziehungen ist Bestandteil des Zahlbegriffs.

Beispiel 1: „Papier zerreißen“

Jedes Kind bekommt ein Blatt Zeitungspapier. Wenn alle Kinder ihr Blatt in der Hand halten, ruft der Spielleiter: „Achtung“ und nennt schnell eine Zahl. Die Kinder müssen dann ihr Zeitungsblatt in entsprechend viele Stücke zerreißen. Wer als erster der Übungsleiterin die richtige Anzahl an Papierfetzen bringt, ist Sieger.

Beispiel 2: „Zahlenmatte“ / Twister

Auf einer „Zahlenmatte“ sollen die Kinder einzeln verschiedene Aufträge ausführen: z.B. den linken Arm auf die „2“ legen, das rechte Bein auf die „7“ stellen. Dabei entstehen lus-tige Verrenkungen. Die Kinder können sich gegenseitig Anweisungen geben und helfen.

Förderbereich 4: „Einfache Rechenoperationen“ Bei den „Einfachen Rechenoperationen“ zeigt sich dann, inwieweit die Zählfertigkeit beherrscht wird

und eine Mengenauffassung vorliegt. Sie sind eine Voraussetzung für das Addieren und Subtrahieren

und das spätere Multiplizieren und Dividieren.

Fast alle Kinder finden ohne explizite Unterweisung Möglichkeiten, Zahlen zu addieren und zu sub-

trahieren. Aber erst wenn ein Kind die Zahlwortreihe an jeder beliebigen Stelle unterbrechen oder

fortsetzen kann, hat es die Voraussetzung für das Addieren erworben. Grundlagen dieser Fähigkeit

sind also ein hinreichend ausgeprägtes Zahlen- bzw. Mengenverständnis.Wie diese beiden Bereich

miteinander verknüpft sind, haben Krajewski und Schneider (2006) in ihrem Entwicklungsmodell

früher mathematischer Kompetenzen ausgeführt (ebda S. 250). Die folgenden Förderbeispiele zum

Bereich Einfache Rechenoperationen verdeutlichen, wie verschiedene der oben genannten kognitiven

Fähigkeiten gleichzeitig gefördert werden und dazu Mengenauffassung und Zahlbegriff integriert wer-

den müssen.

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Beispiel 1: Marienkäferspiel

Jedes Kind bekommt einen Marienkäfer aus Pappe und farbige Muggelsteine. Es soll nun dem Käfer Alterspunkte in Form von Mug-gelsteinen geben und diese rechts und links von der Mittellinie verteilen. Dabei muss es Fragen beantworten wie: „Auf der rechten Seite hat der Käfer vier Punkte und auf der linken Seite drei. Wie viele Punkte hat der Käfer dann insgesamt?“. Oder: „Wenn man auf der rechten Seite zwei Punkte wegnimmt, wie viele Punkte hat der Käfer dann noch?“

Beispiel 2: „Kaufmannsladen“

Auf einem Tisch werden Spielzeug-Lebensmittel aufgestellt. Auf den „Waren“ sind kleine Preisschilder angebracht (1 Euro, 2 Euro...). Jedes Kind erhält vor Beginn des Spiels 10 Euro Spielgeld in 1- Eurostücken. Die Übungsleiterin ist die Verkäuferin und die Kinder dürfen nun nacheinander einkaufen. Anschließend müssen sie selbst zusammen-rechnen, was sie bezahlen müssen.

Förderbereich 5: „Räumliches Vorstellen“ Durch räumliches Vorstellen können geometrische Gebilde in der Ebene und im Raum erkannt und

verändert werden. Dies ist eine wichtige Voraussetzung für den späteren Geometrieunterricht.

Das räumliche Vorstellungsvermögen (vgl. Quaiser-Pohl, 1998; Mayer, 1998) dient aber nicht nur

dem Verständnis geometrischer Strukturen, sondern auch der grundlegenden Orientierung im Zahlen-

raum. Es wird z.B. beim Finden des Vorgängers oder des Nachfolgers einer Zahl benötigt, was sich

auch experimentell mit dem sog. SNARK-Effekt nachweisen lässt. Müssen Versuchspersonen Zahlen

vergleichen und die Antwort per Knopfdruck geben, reagieren sie bei großen Zahlen mit der rechten

Hand schneller, bei kleinen Zahlen mit der linken. Mengen bzw. Zahlen scheinen also als eine im

Raum von links nach rechts gerichtete Gerade mental repräsentiert zu sein (Dehaene, 1999, 2001).

Ferner besteht anscheinend ein Zusammenhang zwischen der Zahlenkenntnis von Kindern und der Art

und Weise, wie diese Zahlen mental repräsentieren, also der Form der sog. ‚mental number line’ (line-

ar bzw. 2-phasig linear; Ebersbach, Luwel, Frick, Onghena, & Verschaffel, in press). Auch typische

Fehler von rechenschwachen Kindern, wie Verdrehungen von Zahlen, Verwechslungen von Rechen-

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zeichen oder der Rechenrichtung, machen die Bedeutung des räumlichen Vorstellens für das Rechnen

deutlich.

Beispiel 1: „Dreiecke zusammensetzen“

Die Kinder bekommen verschiedene Bildvor-lagen, die sich aus einer unterschiedlichen Anzahl an verschiedenfarbigen Dreiecken (rot bzw. grün) zusammensetzen lassen. Sie haben nun die Aufgabe, die Vorlagen mit Papier-dreiecken nachzulegen. Die Papierdreiecke haben jeweils eine rote und eine grüne Seite und können nach Bedarf beliebig gewendet werden.

Beispiel 2: „Baumeister“

Die Kinder erhalten Bauklötze verschiedener Formen, Größen und Farben. Mit diesen sol-len sie verschiedene als zweidimensionale Bildvorlage vorgegebene „Bauwerke“ nach-bauen.

5. Evaluation des Programms „Spielend Mathe“

Das Programm „Spielend Mathe“ (Quaiser-Pohl, Meyer, Köhler, in Vorb.) wurde im Frühjahr 2006

mit Vorschulkindern aus insgesamt zwölf Siegener Kindergärten zehn Wochen lang durchgeführt und

im Rahmen einer Evaluationsstudie mit Prä-/Posttestdesign (siehe Tabelle 1) und bisher zwei Follow-

up-Untersuchungen evaluiert. Die Hälfte der Vorschulkinder (n=92; 47 m, 45 w) durchlief dabei das

Programm, die andere Hälfte (n=88; 40 m, 48 w) diente als interne Kontrollgruppe und nahm nur an

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den Vor- und Nachtestungen teil (vgl. Tabelle 1). Die Förderung wurde in den Kitas in Kleingruppen

von drei bis fünf Kindern von Projektmitarbeiterinnen und Studierenden der Universität Siegen durch-

geführt2. Die Kinder erhielten einmal pro Woche eine Fördereinheit; die einzelnen Förderinheiten

dauerten jeweils zwischen 30 und 45 Minuten. Für die Vor- und Nachtestungen wurden standardisierte

psychometrische Testverfahren verwendet (vgl. Tabelle 1); in der Regel für Prä- und Posttest Parallel-

testformen, soweit diese vorlagen.

Tabelle 1 : Untersuchungsdesign und verwendete Testverfahren

Förderbereich

Vortestung

Februar/März

2006

Förderung

Dauer: 10 Wochen

April-Juni 2006

Nachtestung

Juni-Juli 2006

Mengen-

auffassung

Test zur Erfassung des Umgangs mit

konkreten Operati-onen (TEKO)

Untertest „Mengen“

TEKO

Zahlbegriff Osnabrücker Test zur Zahlbegriffs-

entwicklung (OTZ)

2 Einheiten je Förderbereich,

einmal pro Woche,

OTZ

Visuelle Differen-zierung/Umgang

mit Symbolen

Prüfung optischer Differenzierungs-leistungen (POD)

POD

Räumliches Vorstellen

Bilder-Rotations- Test (BiRT)

BiRT

Einfache Rechen-

operationen

Kaufmann-ABC Untertest

„Rechnen“

à 30 - 45 Minuten

K-ABC Untertest

„Rechnen“

a) Ergebnisse der Evaluation durch das Prä-Posttest-Design

Über dieses Prä-Posttest-Design wurden zunächst die kurzfristigen Effekte der mathematischen Förde-

rung überprüft, und zwar differenziert nach den verschiedenen Förderbereichen. Zu diesem Zweck

untersucht man, ob sich der mittlere Leistungsanstieg in den verwendeten Testverfahren in statistisch

signifikanter Weise zwischen Trainings- und Kontrollgruppe unterschied (vgl. Tabelle 2). Statistisch

bedeutsame Fördereffekte konnten auf diese Weise vor allem für den Zahlbegriff (erfasst mit dem

2Ein Dank gilt Dipl.-Psych. Stefanie Meyer, Dipl.-Psych. Anja Köhler, Natalia Austermühle, Claudia Best, Anja Bittihn, Neda Hossein-Mardi sowie allen Kindern, LehrerInnen, Eltern und Studierenden, die an dem Projekt beteiligt waren.

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Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung, OTZ) 3 und die Visuelle Differenzierung (erfasst mit

dem Test zur Prüfung der Optischen Differenzierungsleistung, POD) 4 nachgewiesen werden. Ein

weiterer tendenzieller Effekt fand sich im Bereich Räumliches Vorstellen (erfasst mit dem Bilder-

Rotations-Test, BiRT) 5. In den Förderbereichen „Einfache Rechenoperationen“ (erfasst mit Kauf-

mann-ABC Untertest „Rechnen“) 6 und „Mengenauffassung“ (erfasst mit dem Test zur Erfassung des

Umgangs mit konkreten Operationen, TEKO)7 ergaben sich bezüglich des Anstiegs der Leistungen

vom Vortest zum Nachtest keine bedeutsamen Unterschiede zwischen der Trainings- und der Kon-

trollgruppe. Auch auf die Entwicklung des Sprachverständnisses, erfasst mit dem entsprechenden Un-

tertest des Kognitiven Fähigkeitetests (KFT)8, wirkte sich das Förderprogramm nicht in bedeutsamer

Weise aus. Allerdings muss dabei berücksichtigt werden, dass zwei dieser Verfahren Untertests von

Intelligenztests sind, die unter Umständen nicht ausreichend änderungssensitiv sind. Ähnliche metho-

dische Bedenken gibt es für den TEKO, bei dem sich Deckeneffekte zeigten und weder in der Trai-

nings- noch in der Kontrollgruppe Leistungszuwächse vom Prä- zum Posttest zu beobachten waren.

Darüber hinaus fanden sich Hinweise auf Zusammenhänge zwischen dem beobachteten Fördereffekt

und dem sozioökonomischen Hintergrund der teilnehmenden Kinder, die sich im Sinne einer kompen-

satorischen Wirkung interpretieren lassen, was bereits bei anderen vorschulischen Förderprogrammen

nachgewiesen werden konnte (vgl. Klauser, 2001; Schmidt-Denter, 2002).

Tabelle 2: Kurzfristige Effekte des Programms „Spielend Mathe“ in den einzelnen Förderbereichen

Förderbereich Gruppe MT1 MT2 F P eta2

KG 3.36 3.42 Mengenauffassung (TEKO)

TG 3.50 3.59

0.40

.532

0.006

KG 12.21 13.52 Räumliches Vorstellen (BiRT)

TG 12.12 14.76

1.78

.187

0.027

KG 32.36 33.21 Zahlbegriff (OTZ)

TG 31.15 35.68

11.30***

.001

0.150

KG 17.33 19.73 Einfache Rechenoperationen

(K-ABC „Rechnen“) TG 17.65 19.85

0.20

.653

0.003

Visuelle KG 11.88 12.00

3 van Luit, J. E. H., van de Rijt, B. A. M. & Hasemann, K. (2001). Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung: OTZ

Göttingen: Hogrefe. 4 Sauter, F. C. (1979). Prüfung optischer Differenzierungsleistungen (POD). Göttingen: Hogrefe - Testzentrale. 5 Quaiser-Pohl, C. (2003). The mental-cutting test “Schnitte” and the Picture-Rotation-Test - Two new measures to assess

spatial ability. International Journal of Testing, 3, 219-231. 6 Melchers, P. & Preuß, U. (1991). Kaufmann-Assessment Battery for Children (K-ABC). Frankfurt/M.: Swets & Zeitlinger. 7 Test zur Erfassung des Umgangs mit konkreten Operationen (TEKO) - Untertest „Mengen“ 8 Heller, K. A., & Geisler, H.J. (1983). Kognitiver Fähigkeitstest (KFT). Weinheim: Beltz.

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Differenzierung (POD) TG 11.15 12.35 6.57* .013 0.093

KG 7.82 8.88 Sprachverständnis (KFT-K)

TG 7.94 8.38

0.79

.378

0.012

Multivariate Varianzanalyse

Effekt X Gruppe 3.15 .010 .242

TG= Trainingsgruppe; KG=Kontrollgruppe

b) Differenzielle Effekte bei leistungsschwächeren und leistungsstärkeren Kindern Betrachtet man die Fördereffekte beim Zahlbegriff getrennt nach den einzelnen Teilbereichen, die der

OTZ erfasst, so zeigte sich zum einen, dass verschiedene Teilbereiche in unterschiedlicher Weise

durch das Programm gefördert wurden, und andererseits, dass leistungsstarke und leistungsschwache

Kinder im Hinblick auf verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs profitieren konnten (vgl. Tabelle 3).

Für beide Leistungsgruppen ergaben sich statistisch bedeutsame Fördereffekte beim „Anwenden von

Zahlenwissen“ und beim „Zahlwörter benutzen“; die Leistungsstarken profitierten darüber hinaus im

Teilbereich „Klassifizieren“, beim „Resultativen Zählen“ und beim „Synchronen und verkürzten Zäh-

len“. Bedeutsame Zuwächse im Teilbereich „Vergleichen“ zeigten nur die leistungschwächeren Kin-

der.

Tabelle 3: Fördereffekte beim Zahlbegriff in verschiedenen Teilbereichen, differenziert nach leistungsschwachen und leistungsstarken Kindern (p=Irrtumswahrscheinlichkeit; p<.05= sign.; p<.10=tendenziell)

0-31 Punkte im OTZ im Vortest = „Leistungsschwache“ 32-40 Punkte im OTZ im Vortest = „Leistungsstarke“

OTZ-Teilbereich Leistungsstarke

(p)

Leistungs-

schwache (p)

Vergleichen

.92

.03*

Klassifizieren

Klassifizieren

.04*

.68

Eins-zu-eins-Zuordnen

.45

.31

nach Reihenfolge ordnen

.67

.39

Zahlwörter benutzen

.05*

.09 (*)

Synchrones & Verkürztes

Zählen

.09 (*)

.41

Resultatives Zählen

.04*

.11

Anwenden von Zahlenwissen

.01**

.02*

14

c) Ergebnisse der ersten Follow-up-Untersuchung

Die erste Follow-up-Untersuchung bestand aus einer Lehrerbefragung, bei der die Lehrer/-innen acht

bis zehn Wochen nach der Einschulung der Kinder deren schulische Leistungen und ihr schulisches

Verhalten mit Hilfe eines selbst entwickelten Fragebogens, der aus verschiedenen Subskalen bestand,

einschätzen sollten. Die Erstklässler (n=114), die bisher nicht mit dem Programm „Spielend Mathe“ in

Kontakt gekommen waren, dienten dabei als externe Kontrollgruppe. Die Überprüfung der Zuverläs-

sigkeiten (Reliabilitäten) der einzelnen Skalen ergab für jede von ihnen gute bis zufriedenstellende

Werte.

Tabelle 4: Skala Lehrereinschätzungen; Itembeispiele und Reliabilitäten

Skala (Itemzahl/Cronbach’s Alpha)

Itembeispiel

(Fünfstufiges Rating;

1=„sehr gut“/“nie“

bis 5=„sehr schlecht“/“immer“)

Mengen erfassen

(4 Items/.898) Wie gut kann das Kind Mengen von bis zu

fünf Gegenständen simultan erfassen?

Zahlbegriff (4 Items/.796 )

Wie gut kann das Kind Ziffern bis 20 lesen bzw. schreiben?

Sprachliche Fähigkeiten (4 Items/.926)

Wie beurteilen Sie die sprachlichen Leistun-gen des Kindes?

Rechnen (6 Items/.762)

Wie gut kann das Kind mit bzw. ohne Hilfe konkreten Anschauungsmaterials im Zahlen-

raum bis 10 addieren?

Räumliches Vorstellen (4 Items/.831)

Wie gut kann das Kind räumliche Beziehun-gen richtig wiedergeben?

Lern- und Leistungsverhalten (4 Items/.884)

Wie beurteilen Sie die Lern- und Leistungs-motivation des Kindes?

Schulisches Selbstkonzept (6 Items/.861)

Wie beurteilen Sie das Selbstbewusstsein des Kindes in der Schule?

Schul- und Prüfungsangst

(2 Items/.979) Zeigt das Kind prüfungs- bzw. schulängstli-

ches Verhalten?

Beim Vergleich der Lehrereinschätzungen zwischen den Untersuchungsgruppen (Trainingsgrup-

pe/interne Kontrollgruppe/externe Kontrollgruppe) zeigten sich signifikante Vorteile der Kinder der

Trainingsgruppe in mathematischen Kompetenzen im Vergleich zu beiden Kontrollgruppen beim

Zahlbegriff und bei den Einfachen Rechenoperationen, speziell beim Addieren und beim Räumlichen

Vorstellen. Darüber hinaus wurden die Kinder, die im Kindergarten an dem Förderprogramm „Spie-

lend Mathe“ teilgenommen hatten, von den Lehrer/-innen als signifikant weniger schul- und prüfungs-

ängstlich eingeschätzt. Desweiteren wurde ihnen von den LehrerInnen ein tendenziell positiveres

schulisches Selbstkonzept attestiert.

15

d) Ergebnisse der zweiten Follow-up-Untersuchung Am Ende des ersten Schulhalbjahrs der ersten Klasse, im Februar 2007, wurden als zweites Follow-up

einige Untertests des Heidelberger Rechentests (HRT; Haffner et al., 2005), eines standardisierten

mathematischen Schulleistungstests, mit den Kindern durchgeführt. Über den Vergleich der HRT-

Leistungen der Kinder der Trainingsgruppe (n=45) mit denen der externen Kontrollgruppe (n=57)

ließen sich in zentralen Bereichen längerfristige Effekte des Programms „Spielend Mathe“ nachwei-

sen. So zeigten sich statistisch bedeutsame Gruppenunterschiede zugunsten der Trainingsgruppe bei

den Untertests „Plus Rechnen (RA)“, „Längen schätzen (LS)“ und „Würfelaufgaben (WÜ)“. In Anbet-

racht der Förderbereiche von „Spielend Mathe“ bedeutet dies, dass die teilnehmenden Kinder auch

langfristig, vor allem in bezug auf das Rechnen und im Bereich der Raumvorstellung bzw. bei der

Visualisierung mathematischer Inhalte profitiert haben. Keine bedeutsamen Vorteile hatten die Trai-

ningsgruppenkinder dagegen bei den „Zahlen folgen (ZF)“, einem eher das logisch-schlussfolgernde

Denken erfassenden Untertest des HRT, beim „Minus Rechnen (RS)“ sowie beim „Figuren zählen

(FZ)“ und „Zahlenverbinden (ZV)“. Dies könnte darauf zurückzuführen sein, dass das Minus Rechnen

im ersten Schulhalbjahr der ersten Klasse noch nicht Bestandteil des Curriculums des Mathmatikunter-

richts ist. Die Zahlenfolgen und das einfache Zählen werden dagegen zu diesem Zeitpunkt schon von

fast allen Kindern gut beherrscht und sind nicht mehr Bestandteil des Unterrichts, weshalb dieser Be-

reich möglicherweise nicht ausreichend zwischen den Gruppen differenziert.

6. Zusammenfassung und Fazit

Wie Lesen und Schreiben zählt auch Rechnen zu den Fertigkeiten, deren Entwicklung bereits vor der

Einschulung beginnt. Die Vorerfahrungen, die Kinder im Kindergarten im Zusammenhang mit Men-

gen und Zahlen sammeln, sind für die weitere Entwicklung sehr bedeutsam, denn auch im Bereich

Mathematik können die bereits im Vorschulalter erworbenen Fähigkeiten den späteren Schulerfolg

entscheidend mitbestimmen. Dabei stellen das mengen- und zahlenbezogene Vorwissen, aber auch das

räumliche Vorstellungsvermögen zentrale Vorläuferfähigkeiten dar. Im Hinblick auf diese Fähigkeiten

unterscheiden sich Kinder bereits im Vorschulalter sehr (vgl. z.B. Grüßing, 2006; Hasemann, 2003b),

da sie offensichtlich schon vorher ganz unterschiedliche Erfahrungen mit mathematischen Strukturen

sammeln konnten. Bei der Förderung mathematischer Vorläuferfähigkeiten muss es deshalb darum

gehen, allen Kindern von Anfang an gezielte Angebote zu machen, die ihr Interesse an Mengen und

Zahlen wecken und erhalten.

Das Programm „Spielend Mathe“ macht solche gezielten Angebote und fokussiert dabei für die ma-

thematische Entwicklung im Vorschulalter besonders relevante Fähigkeits- und Fertigkeitsbereiche in

einer wirksamen und für Kinder attraktiven Weise. Dies zeigen nicht nur die große Akzeptanz des

Programms auf Seiten von Erzieherinnen und Kindern (Lehmann et al. 2006; Rademacher et al.,

2005), sondern auch die Ergebnisse der begleitenden Evaluation. Insgesamt weisen diese darauf hin,

dass das Programm durch die gezielte Beeinflussung von kognitiven Merkmalen (diverse mathemati-

16

sche Leistungen) und nicht-kognitiven Merkmalen (z.B. Schul- und Prüfungsangst, schulisches

Selbstkonzept) die Startbedingungen bei der Einschulung bedeutsam verbessert. Und generell schei-

nen sowohl leistungstärkere als auch leistungsschwächere Kinder von diesem Programm zu profitie-

ren. Allerdings hat sich gezeigt, dass gerade mathematisch weniger begabte Kinder geringere Tenden-

zen zeigen, mathematische Strukturen von sich aus zu erkunden und die mathematische Welt zu exp-

lorieren. Deshalb sind interessante und einladende Angebote in diesem Bereich gerade für diese Kin-

der wichtig. Allerdings können auch Leistungsstärkere davon profitieren.

Weitere Follow-up-Untersuchungen werden zeigen, wie nachhaltig sich die Effekte des Programms

über das erste Schuljahr hinaus erweisen. Ferner sollen weitere differenziertere Datenanalysen die

Rahmenbedingungen und Einflussfaktoren für dessen kurz- und längerfristige Wirksamkeit überprü-

fen. Hier wird vor allem die Rolle des sozialen und familiären Hintergrundes stärker fokussiert wer-

den, um der in Deutschland im internationalen Vergleich besonders starken sozialen Segregation im

Bildungswesen (vgl. PISA und OECD-Studien) bereits im Elementarbereich entgegenzuwirken. Die

Institution Kindergarten, die in Deutschland von mehr als 90% der Kinder besucht wird, liefert dafür

ideale Rahmenbedingungen.

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