Fokker-Planck-Gleichung - uni-ulm.deœbungen... · Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung Fokker-Planck-Gleichung Nadine Kremer, Raoul Heese Universität

Einführung Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung Eigenwertentwicklung

Fokker-Planck-Gleichung

Nadine Kremer, Raoul Heese

Universität Ulm

16.12.09


Gliederung

EinführungDie Fokker-Planck-Gleichung

Herleitung der Fokker-Planck-GleichungKramers-Moyal-Forward ExpensionPawula-TheoremFokker-Planck-Gleichung für 1 Variable

EigenwertentwicklungBeweisskizze der EigenwertentwicklungAnwendungsbeispiel: Harmonischer Oszillator


Die Fokker-Planck-Gleichung

Gliederung






Was ist die Fokker-Planck-Gleichung?

I Bewegungsgleichung für Verteilungsfunktion fluktuierendermakroskopischer Variablen

I Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable:

Fokker-Planck-Gleichung für 1 Variable

∂W∂t

=

[− ∂

∂xD(1)(x) +

∂2

∂x2 D(2)(x)

]W

mit:D(1)(x) Drift-KoeffizientD(2)(x) Diffusions-Koeffizient , D(2)(x) > 0



I Fokker-Planck-Gleichung für N Variablen

Fokker-Planck-Gleichung für N Variablen

∂W∂t

=

− N∑i=1

∂

∂xiD(1)

i ({x}) +N∑

i,j=1

∂2

∂xi∂xjD(2)

ij ({x})

W

mit: {x} = x1, x2, ...xN



Beschreibungsebenen eines Systems

MikroskopischBewegungsglei-chungen für allemikroskopischenVariablen

⇒ StochastischBewegungsglei-chungen für dieVerteilungsfunktionder makroskopischenVariablenoder:stochastische DGL

⇒ DeterministischSystem von DGL fürmakroskopische Va-riablen



Analytische Lösungen

möglich bei:

1. Linearer Drift-Vektor und konstanter Diffusionstensor→ Gaußverteilung für stationären Zustand und nichtstationäre Lösungen

2. Wenn Driftvektor und Diffusionsmatrix speziellePotentialbedingungen erfüllen

3. Für FPE mit 1 Variablen



Ergänzendes

I Andere LösungsmethodenI SimulationenI Transformation der FPE in eine Schrödingergleichung⇒ später

I Numerische IntegrationI Andere Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen

I Boltzmann-GleichungI Mastergleichung

I Spezialfälle der Fokker-Planck-GleichungI Kramers-GleichungI Smoluchowsky-Gleichung


Kramers-Moyal-Forward Expension

Gliederung






Definitionen

Übergangswahrscheinlichkeitsdichte

P(xn, tn|xn−1, tn−1; ...; x1, t1) = 〈δ(xn − ξ(tn))〉 |ξ(tn−1)=xn−1,..

Wahrscheinlichkeitsdichte

W (x , t + τ) =

∫P(x , t + τ |x ′, t)W (x ′, t)dx ′ (1)

Momente

Mn(x ′, t , τ) =

∫(x − x ′)nP(x , t + τ |x ′, t) dx (2)



Berechnung eines Ausdruckes für ∂W∂t

Taylorentwicklung von (1) um (x + ∆)Sei ∆ = x − x ′.

P(x , t + τ |x ′, t)W (x ′, t)= P(x −∆ + ∆, t + τ |x −∆, t)W (x −∆, t)

=∞∑

n=0

(−1)n

n!∆n(∂

∂x

)n

P(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t)



Einsetzen in Gleichung (1)

W (x , t + τ)

=

∫ ∞∑n=0

(−1)n

n!∆n(∂

∂x

)n

P(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t) d∆

=∞∑

n=0

(− ∂

∂x

)n 1n!

∫∆nP(x + ∆, t + τ |x , t)W (x , t) d∆

=∞∑

n=0

(− ∂

∂x

)n Mn(x , t , τ)

n!W (x , t)



Ann: Taylorentwicklung der Momente Mn bzgl. τ :

Mn(x , t , τ)

n!= 0 + D(n)(x , t)τ + O(τ2)

Anfangswert von P: P(x , t |x ′, t) = δ(x − x ′)

Ann: Nur lineare Terme bzgl. τ :

W (x , t + τ)−W (x , t) =∞∑

n=1

(− ∂

∂x

)n

D(n)(x , t)τW (x , t)



Kramers-Moyal-Entwicklung

Kramers-Moyal-Entwicklung

∂W (x , t)∂t

=∞∑

n=1

(− ∂

∂x

)n

D(n)(x , t)W (x , t) = LKMW (3)

LKM =∞∑

n=1

(− ∂

∂x

)n

D(n)(x , t)


Pawula-Theorem

Gliederung





Pawula-Theorem

Pawula-Theorem

I Wie viele Terme der Kramers-Moyal-Entwicklung müssenbeachtet werden?

I Theorem von Pawula:Für positive Übergangswahrscheinlichkeit P endet dieKramers-Moyal-Entwicklung nach dem

I ersten Term oderI zweiten Term oderI unendlich viele Terme sind zu berücksichtigen



Gliederung






Beachtung der Terme bis zur zweiten Ordnung

⇒ Fokker-Planck-Gleichung:

Fokker-Planck Gleichung

W (x , t) = LKMW (x , t) (4)

LKM = − ∂

∂xD(1)(x , t) +

∂2

∂x2 D(2)(x , t) (5)


Beweisskizze

Gliederung





Beweisskizze

Separationsansatz


LFPW (x , t) =∂

∂tW (x , t)

LFP = − ∂

∂xD(1)(x) +

∂2

∂x2 D(2)(x)

Separationsansatz:W (x , t) = ϕ(x) e−λt

Eigenwertgleichung

LFP ϕ = −λ ϕ


Beweisskizze

Separationsansatz


LFPW (x , t) =∂

∂tW (x , t)

LFP = − ∂

∂xD(1)(x) +

∂2

∂x2 D(2)(x)


Eigenwertgleichung

LFP ϕ = −λ ϕ


Beweisskizze

Separationsansatz


LFPW (x , t) =∂

∂tW (x , t)

LFP = − ∂

∂xD(1)(x) +

∂2

∂x2 D(2)(x)


Eigenwertgleichung

LFP ϕ = −λ ϕ


Beweisskizze

Eigenschaften des Focker-Planck-Operators

Es gilt:I LFP hermitesch

I λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)


Beweisskizze


Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0

I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)


Beweisskizze


Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges Orthonormalsystem

I ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)


Beweisskizze


Es gilt:I LFP hermiteschI λ ≥ 0I ϕ(x) bilden vollständiges OrthonormalsystemI ϕ(x) können diskret betrachtet werden: ϕn(x)


Beweisskizze

Transformation des Focker-Planck-Operators

Transformation

LFP 7−→ L = eφ(x)

2 LFP e−φ(x)

2

ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)

2 ϕn(x)

mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)

D(2)(x ′)dx ′

I Neue Eigenwertgleichung: LΨn = −λnΨn

I Wn = ϕn e−λnt , also gilt:

Transformationsvorschrift der Eigenfunktionen

Wn = Ψn e−φ2−λnt ⇔ Ψn = Wn e

φ2 +λnt


Beweisskizze


Transformation


2 LFP e−φ(x)

2

ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)

2 ϕn(x)

mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)

D(2)(x ′)dx ′





φ2 +λnt


Beweisskizze


Transformation


2 LFP e−φ(x)

2

ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)

2 ϕn(x)

mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)

D(2)(x ′)dx ′





φ2 +λnt


Beweisskizze


Transformation


2 LFP e−φ(x)

2

ϕn(x) 7−→ Ψn(x) = eφ(x)

2 ϕn(x)

mit φ(x) = ln D(2)(x)−∫ x D(1)(x ′)

D(2)(x ′)dx ′





φ2 +λnt


Beweisskizze

Explizite Darstellung von L

L = eφ2

[− ∂

∂xD(1) +

∂2

∂x2 D(2)]

e−φ2

⇔ L = eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

⇔ L =

(e

φ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

) (√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)Definiere:

â ≡(

eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

)a ≡ −

(√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)


Beweisskizze


L = eφ2

[− ∂

∂xD(1) +

∂2

∂x2 D(2)]

e−φ2

⇔ L = eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

⇔ L =

(e

φ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

) (√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)Definiere:

â ≡(

eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

)a ≡ −

(√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)


Beweisskizze


L = eφ2

[− ∂

∂xD(1) +

∂2

∂x2 D(2)]

e−φ2

⇔ L = eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

⇔ L =

(e

φ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

) (√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)

Definiere:

â ≡(

eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

)a ≡ −

(√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)


Beweisskizze


L = eφ2

[− ∂

∂xD(1) +

∂2

∂x2 D(2)]

e−φ2

⇔ L = eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

⇔ L =

(e

φ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

) (√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)Definiere:

â ≡(

eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

)a ≡ −

(√D(2) e

−φ2∂

∂xe

φ2

)


Beweisskizze



L = −âamit

â ≡ eφ2∂

∂x

√D(2) e

−φ2

a ≡ −√

D(2) e−φ

2∂

∂xe

φ2


Beweisskizze

Transformation von L in hamiltonartigen Operator

Vorgehensweise:

I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.

I Smoluchowsky-Ansatz: φ = −∫ x D(1)(x ′)

D dx ′ = f (x)/DI Vereinfachen von a, â

Hamiltonartiger Operator

L = D∂2

∂x2 − Veff(x)

mit effektivem Potential Veff(x) = 14 [f ′(x)]2 − 1

2 f ′′(x)


Beweisskizze


Vorgehensweise:I Transformation: D(2)(x) 7−→ D = const.




L = D∂2

∂x2 − Veff(x)


2 f ′′(x)


Beweisskizze




D dx ′ = f (x)/D

I Vereinfachen von a, â


L = D∂2

∂x2 − Veff(x)


2 f ′′(x)


Beweisskizze






L = D∂2

∂x2 − Veff(x)


2 f ′′(x)


Beweisskizze






L = D∂2

∂x2 − Veff(x)


2 f ′′(x)


Beweisskizze

F-P-Gleichung als Schrödingergleichung

I Stationäre Schrödingergleichung:[− ~2

2m∂2

∂x2 + f]χn = En χn

I Eigenwertgleichung von L[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Ψn = λn Ψn


Beweisskizze


I Stationäre Schrödingergleichung:[− ~2

2m∂2

∂x2 + f]χn = En χn

I Eigenwertgleichung von L[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Ψn = λn Ψn


Beweisskizze


I Zeitabhängige Schrödingergleichung:

i~∂

∂tχn(t) =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + f]χn(t)

mit Zeitentwicklung: χn(t) = e−i~H t χn

I Zeitabhängige Eigenwertgleichung von L

∂

∂tΨn(t) =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Ψn(t)

mit Ansatz: Ψn(t) = eLt Ψn = e−λnt Ψn = Wn eφ2

folgt stationäre Eigenwertgleichung von LI Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2

2m


Beweisskizze



i~∂

∂tχn(t) =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + f]χn(t)



∂

∂tΨn(t) =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Ψn(t)


folgt stationäre Eigenwertgleichung von L

I Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2

2m


Beweisskizze



i~∂

∂tχn(t) =

[− ~2

2m∂2

∂x2 + f]χn(t)



∂

∂tΨn(t) =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Ψn(t)


folgt stationäre Eigenwertgleichung von LI Umskalierung: tSchr 7→ −i~t , H 7→ −L, D 7→ ~2

2m


Beweisskizze

Ergebnis der Eigenwertentwicklung

Darstellung der F-P-Gleichung als Schrödingergleichung

∂

∂tWn(x , t) e

φ(x)2 =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Wn(x , t) e

φ(x)2

I Form einer umskalierten SchrödingergleichungI hängt nur noch von D und f (x) ab


Beweisskizze



∂

∂tWn(x , t) e

φ(x)2 =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Wn(x , t) e

φ(x)2

I Form einer umskalierten Schrödingergleichung

I hängt nur noch von D und f (x) ab


Beweisskizze



∂

∂tWn(x , t) e

φ(x)2 =

[−D

∂2

∂x2 + Veff

]Wn(x , t) e

φ(x)2

I Form einer umskalierten SchrödingergleichungI hängt nur noch von D und f (x) ab


Harmonischer Oszillator

Gliederung






F-P-Gleichung des harmonischen Oszillators

I Potential f (x) = γ2 x2, γ > 0

I ⇒ effektives Potential Veff = γ( γ

4D x2 − 12

)I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.

Lösung der Fokker-Planck-Gleichung

Wn(x , t) =

(ξ

π

) 14 1√

2n n!Hn(√ξx) e−ξ x2−λnt

mit λn = γ n, ξ ≡ γ2D






4D x2 − 12

)

I L = −âa mit [â,a] = 1I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.


Wn(x , t) =

(ξ

π

) 14 1√








4D x2 − 12

)I L = −âa mit [â,a] = 1

I Lösung der F-P-Gl. ≡ Lösung der S-Gl. des harm. Oszi.


Wn(x , t) =

(ξ

π

) 14 1√








4D x2 − 12



Wn(x , t) =

(ξ

π

) 14 1√








4D x2 − 12



Wn(x , t) =

(ξ

π

) 14 1√





Veranschaulichung der Lösung

Gesamtlösung

W (x , t) =∑

n

cn Wn(x , t)

mit

I NormierungsbedingungenI Randbedingungen




Gesamtlösung

W (x , t) =∑

n

cn Wn(x , t)

mitI Normierungsbedingungen

I Randbedingungen




Gesamtlösung

W (x , t) =∑

n

cn Wn(x , t)

mitI NormierungsbedingungenI Randbedingungen




n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.




n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.




n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.




n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.




n ∈ {0,2,4,6,8,10}, cn = const.

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