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#11
6662
88
Formeln und Gleichungen
Wichtige Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Wichtige Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Wichtige Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Magnetische Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Gleichungen zu Drehstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Leistungs- und Drehmomentverhältnisse polumschaltbarer Motoren . . 10
Gleichungen zu Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Gleichungen zu Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Stern-Dreieck-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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g
Wichtige Größengleichungen
Wichtige Definitionen
Translation Rotation
ω = 2 · π · n P = M · ωv = ω · r = 2π · n · r M = J · αϕ = ω · t = 2π · n · t W = M · ϕ
α = W =
M = F · r J = m · r 2
v = F = m · a
s = v · t W = F · s
a = W =
P = F · v Wpot = m · g · h
Wirkungsgrad η = = = 1 –
Übersetzung i =
m · v2
2 J · ω 2
2
st
vta
PabPzu
n1n2
Pzu – VPzu
Pzu Aufnahme
Pab Abgabe
PV Verluste
n1 Eingangsdrehzahl
n2 Ausgangsdrehzahl
PVPzu
ωta
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Wichtige Zahlenwertgleichungen
Bei Zahlenwertgeichungen oder zugeschnittenen Größengleichungen sinddie jeweis vorgegebenen Einheiten zu beachten. Gewichte sind im SI stetsim Sinne einer Masse in kg anzugeben.
Leistung
Hubbewegung P =
Translation P =
FR = µ · m · g
Rotation P =
Drehmoment
M = F · r
M =
Arbeit
W = F · s = m · g · s
W =
Beschleunigungs- oder Bremszeit
ta =
m · g · vη · 1000
FR · v1000
M · n9550
9550 · Pn
J · n2
182,5
J · n9,55 · Ma
P Leistung in kWFR Reibwiderstand in Nm Masse (Gewicht) in kg
g Fallbeschleunigung (9,81) in m/s2
v Geschwindigkeit in m/sη Wirkungsgrad ab Dezimal-
bruchµ ReibungszahlM Moment in Nmn Drehzahl in 1/min
M Drehmoment in NmFR Reibwiderstand in Nr Hebelarm (Radius) in mP Leistung in kWn Drehzahl in 1/min
W Arbeit (Energie) in Nm = Ws = JF Kraft in Ns Weg in mm Masse (Gewicht) in kg
g Fallbeschleunigung (9,81) in m/s2
J Masseträgheitsmoment in kgm2
n Drehzahl in 1/min
ta Beschleunigungs- oder Brems-zeit in s
J Masseträgheitsmoment in kgm2
n Drehzahl in 1/minMa Beschleunigungs- oder Brems-
moment in Nm
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Massenträgheitsmoment und Schwungmoment
Der früher im technischen Maßsystem üliche Begriff „SchwungmomentGD2“ wurde nicht in das SI übernommen. Für Berechnungn mit dem Massenträgheitsmoment mr2 sind daher nicht nur die unterschiedlichenEinheiten, sondern auch die anderen Definitionen zu beachten.
Vollzylinder
J = · m · ra2 = · 1000 · π · ρ · l · da
4 = 98 · ρ · l · da4
Hohlzylinder
J = · m · (ra2 + ri
2) = · 1000 · π · ρ · l · (da4 – di
4)
= 98 · ρ · l · (da4 – di
4)
Linearbewegung als Tangente am Kreis
Da hier das Gewicht G als Masse in kg verstanden wird, sind die Zahlen-werte von m und G gleich. Für die Umrechnung von Schwungmomenten giltdaher
J = .
Das heißt, die Zahlenwerte des GD2 (in kpm2) sind durch 4 zu teilen und er-geben so die Zahlenwerte von J (in kgm2).
GD2
4
r
m
d
G
d2
m · d2
4J = m · r 2 = m · ( )2 = GD2 = G · d2
12
12
132
132
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Umrechnung einer Massenwirkung von Tranlation auf Rotation
J = 91,2 · m ·
Trägheitsfaktor
Der Trägheitsfaktor FI (Factor of Inertia) ist das Verhältnis sämtlicher auf dieDrehzahl des Motors umgerechneter und von ihm angetriebener Masseneinschließlich des Motorläufers zum Trägheitsmoment des Motorläufers,also
FI = =
v 2
n2
Jtotal
Jrotor
Jextern1 + Jrotor
Jrotor
J Massenträgheitsmomentin kgm2 in kW
m Masse in kgr Radius in m
da Außendurchmesser in m
di Innendurchmesser in m
ra Außenradius in m
ri Innenradius in ml Länge in mr Radius in mρ Dichte in kg/dm3
v Geschwindigkeit in m/s n Drehzahl in 1/min
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Größe Formel Einheit/Erläuterung
Durchflutung Θ = I · w A(Magnetische Spannung)
Teilspannungen bei Luft Vδ = · δ = Hδ · δ A
bei Eisen VFe = HFe · lFe A
Magnetische Feldstärke H = =
Magnetischer Fluss Φ = B · A = Vs
Magnetische Flussdichte B = = µ0 · µr · H = T(Induktion)
Magnetischer Rm = = =Widerstand
Absolute Permeabilität µ = µ0 · µr
Permeabilitätszahl ohne Einheit(Magnetische µr = δ = bezogen Durchlässigkeitszahl) auf denLuftspalt
Magnetische µ0 = 4 · π · 10 –7
Feldkonstante
Erzeugte Spannung U0 = B · l · v · z Vin mehreren Leitern
Kraftwirkung F = B · l · I · z Nauf mehrere Leiter
Kraftwirkung eines Magneten– für Gleichstrom F = Bδ Luftspaltinduktion
in Vs/m2
– für Wechselstrom F = A Querschnitt pro Polfläche in m2
– für Drehstrom F = 3 ·
Bδ
µ 0
BFe
Bδ
Bδ2 · A
2 · µ0
Bδ2 · A
4 · µ0
Bδ2 · A
4 · µ0
Θ
l
Φ
Rm
Φ
A
Θ
Φ
A
m
Vs
m2
Vs
Am
Vs
Am
A
Vs
1
Ωs
I · w
l
l
µ0 · µr · A
Magnetische Größengleichungen
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Umrechnung von Drehmoment und Spannung von Asynchronmaschinen
Formeln zur Umrechnung für Arbeitsmaschinen mit quadratischem Drehmoment
a) M ≈ n2
b)
WicklungsumrechnungAlle Berechnungen bei Beibehaltung des Drehmoments!
Spannung
Drehzahls1 = s2 (Schlupf bleibt erhalten)
s1 ≈ s2 (Schlupf ändert sich)
für beide Fälle gilt:
(Leistung ändert sich)
Frequenz
(Leistung ändert sich)
Gleichungen zu Drehstrommaschinen
M1
M2
U1
U2= ( )
2
U1
U2
z1
z2
=A2
A1
z1
z2
d22
d12=
z1
z2
=
p1
p2
z1
z2
=
P2
P1
n2
n1
=
f2f1
z1
z2
=
A2
A1
z1
z2
d22
d12=
z1
z2
=
n2
n1
z1
z2
=A2
A1
z1
z2
d22
d12=
z1
z2
=
A2
A1
z1
z2
d22
d12=
z1
z2
=
P2
P1
n2
n1=~ ( )
3
p Polpaarzahlz Leiterzahl
P Leistung
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Wirkungsgradbestimmung
Scheinleistung S1 = 3 · U1 · I1 VA
Blindleistung Q1 = 3 · U1 · I1 · sin ϕ var
Wirkleistung Pzu = 3 · U · I · cos ϕ
= 3 · UStr1 · IStr1 · cos ϕ W
Ständerkupferverluste PCu1 = 3 · IStr 12 · RStr 1 W
Eisenverluste ca. 6 W/kg bei 50 Hz W
Ständerzusatzverluste 0,005 · Pzu W
Drehfeldleistung Pd = Pzu – (PCu1 + PFe + PZ1) W
Läuferverluste PCu2 = Pd · s = Pd – Pmech
= 3 · IStr 22 · RStr 2 W
Näherungsformel:
PRotor = s % · 10,75
· Pab [kW] W
Läuferzusatzverluste sehr gering bei Nennbetrieb
Mechanische Leistung Pmech = Pd – PCu2 (1 – s) W
Reibungsverluste PRbg messtechn. ermitteln
Abgegebene Leistung Pab = Pmech – PRbg W
Pab = M · ω
Pab =
η = = 1–
W
% · kW
M · ω9,55
PVges
Pzu
PCu1
Pzu = 100 %
Pd
Pmech
PFe
PZ1
PCu2
PZ2
PRbg
Pzu – PVges
Pzu
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g
P1
P2
P1
P2
1
3
≈ 1
P1
P2≈ 1
P1
P2≈ 1
P1
P2≈ 3
P1
P2≈ 4
P1
P2≈ 1
P1
P2≈ 12
P1
P2≈ 4
P1
P2≈ 12
≈
P1
P2
1
4≈
P1
P2
1
12≈
P1
P2
1
4≈
P1
P2
3
4≈
P1
P2
4
3≈
P1
P2
1
3≈
M1
M2
M1
M2
2
3
≈ 2
M1
M2≈ 2
M1
M2≈ 2
M1
M2≈ 6
M1
M2≈ 8
M1
M2≈ 2
M1
M2≈ 24
M1
M2≈ 8
M1
M2≈ 24
≈
M1
M2
1
2≈
M1
M2
1
6≈
M1
M2
1
2≈
M1
M2
5
4≈
M1
M2
8
3≈
M1
M2
2
3≈
Schaltung n1/n2 Leistungsverhältnis Drehmomentverhältnis
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
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/
Leistungs- und Drehmomentverhältnisse polumschaltbarer Motoren
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Gleichungen zu Gleichstrommaschinen
Eingängige SchleifenwicklungZahl der parallelen Ankerstromkreise gleich Polzahl
2 a = 2 p ; (a = p)
Anzahl der Kommutatorsegmente
K = Q · u
K = S
Spulenzahl
S =
Wickelschritte
Durchmesserwicklung
Y1 =
Sehnenwicklung
Y1 = · ε
Sehnung
ε =
Nutenschritte
YQ = (ganze Zahl – normale Wicklung)
YQ = (gebrochene Zahl – Treppenwicklung)
YQ ≈ τp ≈ ; τp = (Polteilung)
ztotal
2 · wTeilspule
K
2 p
K
2 p
Q
2 p
dA · π2 p
YQ gesehnt
YQ ungesehnt
Y1
u
Y1
u
K KommutatorQ NutenS Spulenzahlu Spulenseitenzahl pro Nut und Schicht
z Leiterzahl
Y1 SpulenschrittY2 SchaltschrittYQ NutschrittYC Kollektorschritt
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Gesamt- bzw. Kollektorschritt (Kommutatorschritt)
YK = Y1 – Y2 YK = + 1 (ungekreuzte Wicklung)
YK = ± 1 YK = – 1 (gekreuzte Wicklung)
Y2 = Y1 – 1 (ungekreuzt)
Y2 = Y1 + 1 (gekreuzt)
Eingängige Wellenwicklung2 a = 2 (a = 1)
Kollektorschritt
YK = Y1 + Y2 (ganzzahlig)
YK = (ungekreuzte Wicklung)
YK = (gekreuzte Wicklung)
Durchmesserwicklung
Y1 = Y2 = =
Sehnenwicklung
Y1 = · ε
Nutenschritte
YQ = (ganze Zahl – normale Wicklung)
YQ ≈ · ε (gebrochene Zahl – Treppenwicklung)
AusgleichswicklungenEingängige Schleifenwicklungen
Ya = (ganze Zahl)
Symmetriebedingungen: = (ganze Zahl)
K – 1
p
YK
2
Y1
u
K
2 p
K
2 p
K
aK
p · u
Q
P
Q
2 p
K + 1
p
Ya Ausgleichsschritte
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Zweigängige Schleifenwicklungen
Aa = = (ungerade ganze Zahl bevorzugt)
Eingängige Wellenwicklungeneingängige Wellenwicklungen benötigen keine Ausgleichswicklung
Mehrgängige Wellenwicklungen
Ya = = (ganze Zahl)
Lamellenspannung (Steg- oder Kollektorspannung)
u0L = =~ in V
Urspannung der Gleichstrommaschine
U0 = in V
U0 = Ukl ± URi (+Generator / – Motor)
Aktive Ankerwindungen
waktiv =
Mittlere Ankerleiterlängelm= lFe + 1,5 · τp
Gesamte Ankerleiterlängelges = lm · ztotal
Kupfergewicht (Drahtgewicht)
m =
Ankerwiderstand
RA = =
Stromdichte der Ankerwicklungen
S =
S
p
K
p
K
a
K
n
U0 · 2 p
K
Ukl · 2 p
K
K · wTeilspule
2 a
lges · A · ρ1000
Ia2 a · A
lges
χ · A · (2 a)2 χ · A · (2 p · n)2
Da · π
2 p
p · Φ · n · ztotal
a · 60
2 · w · S · · 1,5 + lFe( )
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Gleichungen zu Transformatoren
Größe Formel Einheit / ErläuterungSpannungsgleichung U0str = 4,44 · Φ · wstr · f V Φ in VS
U0str = 4,44 · B · AFe · wstr · f V wstr aktive Windungszahl U0str = 4,44 · B · A · kFe · wstr · f V pro Strang
f in Hz; 1/sB in Vs/m2; TA, AFe in m2
kFe Stapel- oder Eisen-füllfaktor in Dezimalangabe
Windungsspannung u0 = 2,22 · Φ ·102 Vbei 50 Hz
Übersetzungsverhältnis ü = = = = U0 = U bei η = 1
Kurzschlussbedingungena) Relative Kurzschluss- uK = % UK absolute Kurzschluss-
spannung spannungUN Nennspannung
b) Dauerkurzschluss- IKD = A IN Nennstromstrom
Parallelschaltung
a) Mittlere Kurzschluss- uK = V Sn Summe der Nenn-spannung scheinleistungen
SN1; SN2; Nennschein-leistungen
b) Lastverteilung S1 = SN1 · in VAuK1; uK2; Kurzschluss-
spannungenin %
uKm mittlere Kurz-schlussspannungin %
Wirkungsgrad
a) Leistungswirkungs- η = Pzu zugeführtegrad bei Nennlast Leistung
Pab abgegebene= = Leistung
U01
U02
UK · 100 %
UN
u Km
uK1
SN1
uK1
IN · 100 %
uK
S2 · cos ϕ2
S2 · cos ϕ2 + PFe + PCu
Pab
Pab + PFe + PCu
Pab
Pzu
SN
w1
w2
I2I1
Z1
Z2
+SN2
uK2
+ …
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Größe Formel Erläuterung
b) Leistungswirkungs- η = grad bei Teillast
=
c) Jahreswirkungs- ηJ = grad bei Nennlast
= =
d) Jahreswirkungsgrad bei Teillast
ηJ =
Spartransformator U1 > U2 U1 Primärspannung in V(ohne Eisen- und U2 Sekundärspannung in VAKupferverluste) SB = SD · 1 – = SD · 1 – SD Durchgangsleistung in VA
SB Bauleistung in VAU2 > U1
SB = SD · 1 – = SD · (1 – ü)
Leistungsbestimmung S2 = · n · f Kerntyp naus mechanischen (Anzahl bewickelter Kerne)Abmessungen n = 1 Einphasen-Manteltrafo
n = 2 Einphasen-Kerntrafon = 3 DreiphasentrafoS2 Sekundärschein-
leistung in VAAFe Eisenkernquerschnitt
in cm2
CFe Konstruktionskonstante(4 … 8) cm2 (VAs)–1/2
kleiner Wert für hoheFlussdichten
f Netzfrequenz in 1/s = Hz
n · S2 · cos ϕ2
n · S2 · cos ϕ2 + PFe + n2 · PCu
n · S2 · cos ϕ2 · tBn · S2 · cos ϕ2 · tB + PFe · tB+ n2 · PCu · tB
n · Pab
n · Pab + PFe + n2 · PCu
Pab
Pab · tB + PFe · tE + PCu · tB
Wab · tBWab + WFe + WCu
Wab
Wzu
S2Teilleistung
S2Nennleistung
U2
U1
1
ü( () )U1
U2( )
AFe
CFe( )
2
PFe Leerlaufverluste(Eisenverluste)
PCu Kurzschlussverluste(Kupferverluste)
Wzu zugeführte EnergieWab abgegebene EnergietE Einschaltzeit
365 Tage x 24 Std.= 8 760 Std.
tB Belastungszeit
Lastfaktor:
n =
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Größe Formel Einheit Erläuterung
Einphasen- S2 ≈ Q · AFe VA S2 Sekundärscheinleistungtransformator in VA
Q FensterquerschnittDrehstrom- S2 ≈ 1,5 · Q · AFe VA in cm2
transformator AFe Eisenkernquerschnittin cm2
Umwandlung der Schaltung von Querschnitte Windungszahlen
Stern- auf Zick-Zack-Schaltung Az = AY WzStr = 1,16 · WYStr
Stern- auf Dreieck-Schaltung A∆ = W∆Str = 3 · WYStr
Zick-Zack- auf Dreieck-Schaltung A∆ = W∆Str = 1,5 · WzStr
Dreieck- auf Stern-Schaltung AY = 3 · A∆ WYStr =
Dreieck- auf Zick-Zack-Schaltung Az = 3 · A∆ WzStr = 0,67 · W∆Str
Tabelle zum Transformator Querschnitts- und Windungszahländerung bei gleicher Ausgangsspan-nung und gleicher Ausgangsleistung für Stern-, Dreieck- und Zick-Zack-Schaltung für Drehstromtransformatoren auf der Sekundärseite.
AY
3
Az
3
W∆Str
3
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SΣST1uKT1
ST2uKT2
+uKm =
Lastaufteilung parallelgeschalteter TransformatorenUm einzelne parallel geschaltete Transformatoren nicht zu überlasten, dür-fen die relativen Kurzschlussspannungen (uk) maximal 10% voneinander ab-weichen.
Beispiel zur Lastverteilung bei unterschiedlichen Kurzschluss-spannungen:
Trafo 1: Trafo 1:ST1 = 1000 kVA ST2 = 1000 kVAuKT1
= 6 % uKT2= 4 %
Parallelschaltbedingungen für Drehstromtransformatoren:1. gleiche Bemessungsfrequenz 2. gleiche Bemessungsspannung 3. annähernd gleiche Kurzschlussspannung
(Abweichungen ≤ 10% sind zulässig)4. gleiche Schaltgruppen 5. Verhältnis der Bemessungsleistung maximal 3:16. phasenrichtiger Anschluss
uKmuKT1
2000 kVA
1000 kVA6 %
4,8 %6 %
1000 kVA4 %+
uKm = = 4,8 %
ST1* = ST1 = 1000 kVA · = 800 kVA
uKmuKT2
4,8 %4 %ST2* = ST2 = 1000 kVA · = 1200 kVA
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Stern-Dreieck-Transformation
Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation (engl.:Star-Delta-Transformation bzw. Delta-Star-Transformation) bedeutet in derElektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elek-trischen Widerständen, die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwer-ken, z. B. den Wicklungen in elektrischen Maschinen, dient. Zur Verdeutli-chung soll die Darstellung in den Bildern 1 und 2 dienen.
Bei der Stern-Dreieck-Transformation wird die sternförmige ( ) Anord-nung der Widerstände in eine äquivalente dreieckförmige ( ) Widerstands-anordnung umgeformt. Die Dreieck-Stern-Transformation bildet das Gegen-stück dazu und ermöglicht die umgekehrte Umformung. Absolute Bedingungdabei ist, dass die elektrischen Anschlusswerte, z. B. die Widerstandswerteoder die Spannungsfälle zwischen den Anschlussklemmen 1, 2 und 3 exaktgleich bleiben. Folgend den Regeln für Parallelschaltung und Reihenschal-tung von Widerständen werden bei dieser Transformation nur die dreiWiderstandswerte durch geeignete Ersatzwerte für die neue Schaltungsan-ordnung umgerechnet bzw. ausgetauscht.
R10 (Z10)
R20 (Z20)R30 (Z30)
1
23
Bild 1: Drei ohmsche Wider-stände R10 – R30 bzw. komplexeWiderstände Z10 – Z30in Sternschaltung
R31 (Z31)
R23 (Z23)
R12 (Z12)
1
23
Bild 2: Drei ohmsche Wider-stände R10 – R30 bzw. komplexeWiderstände Z10 – Z30in Dreieckschaltung
FORMELN UND GLEICHNUNGEN 19©
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KG
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g
Die Bedingungen sind für folgende Verknüpfungen erfüllt:Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2
R10 + R20 = R12(R23 + R31) = (Gl. 1)
Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 2 und 3
R20 + R30 = R23(R31 + R12) = (Gl. 2)
Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 3 und 1
R30 + R10 = R31(R12 + R23) = (Gl. 3)
Addiert man Gl. 1 und Gl. 3 und subtrahiert gleichzeitig Gl. 2 bleibt ausmultipliziert
R10 + R20 + R30 + R10 – R20 – R30 =
und zusammengefasst
2 · R10 = → R10 = (Gl. 4)
Analog gilt für R20 und R30
R20 = und (Gl. 5)
R30 = (Gl. 6)
R12 · (R23 + R31)
R12 + R23 + R31
R23 · (R31 + R12)
R12 + R23 + R31
R31 · (R12 + R23)
R12 + R23 + R31
R12 · R23 + R12 · R31 + R31 · R12 + R31 · R23 – R23 · R31 – R23 · R12
R12 + R23 + R31
2 · R31 · R12
R12 + R23 + R31
R31 · R12
R12 + R23 + R31
R12 · R23
R12 + R23 + R31
R23 · R31
R12 + R23 + R31
FORMELN UND GLEICHNUNGEN 20©
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g
TransformationsregelDer Sternwiderstand ergibt sich aus dem Produkt der anliegenden Dreieck-widerstände, geteilt durch die Summe aller Dreieckwiderstände.
Umwandlung Stern in DreieckAus den Gleichungen 4, 5 und 6 ergibt sich nach Umstellung
R12 + R23 + R31 = (Gl. 7)
R12 + R23 + R31 = (Gl. 8)
R12 + R23 + R31 = (Gl. 9)
Jetzt lassen sich Gl. 7 und Gl. 8 gleichsetzen
= → R23 = (Gl. 10)
und ebenso Gl. 8 und Gl. 9
= → R12 = (Gl. 11)
Setzt man Gl. 10 und Gl. 11 in Gl. 7 ein, folgt
= + + R31 (Gl. 12)
und nach der Zusammenfassung
R12 = + R20 + R10 (Gl. 13)
R12 = + +
R12 =
R31 · R12
R10
R12 · R23
R20
R23 · R31
R30
R31 · R12
R10
R12 · R23
R20
R31 · R20
R10
R23 · R31
R30
R12 · R23
R20
R31 · R20
R30
R31 · R20
R10
R31 · R12
R10
R31 · R20
R30
R10 · R20
R30
R10 · R20
R30
R20 · R30
R30
R10 · R30
R30
R10 · R20 + R20 · R30 + R10 · R30
R30
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g
Allgemein gilt für die Umwandlung Stern in Dreieck
Dreieckswiderstand =
+ Summe der Anliegerwiderstände
Aus Gleichung 13 lassen sich die Zusammenhänge auch als Kehrwerte der Widerstände, also als Leitwerte darstellen:
G12 =
G23 =
G31 =
Allgemein formuliert:
Dreiecksleitwert =
Produkt der Anliegerwiderstände
gegenüberliegender Widerstand
Produkt der Anliegerleitwerte
Knotenleitwert
G10 · G20
G10 + G20 + G30
G20 · G30
G10 + G20 + G30
G30 · G10
G10 + G20 + G30