Formelsammlung 2006

5/26/2018 Formelsammlung 2006

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Institut fr ThermodynamikProf. Dr.-Ing. S. Kabelac

Kommentierte Formelsammlung

zur Vorlesung

Grundzge der

Thermodynamik I + II

Prof. Dr.-Ing. S. Kabelac

2006

2,-


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Inhaltsverzeichnis

Kapitel Seite

1. Zustandsgro e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Thermische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Kalorische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Entropische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dampftafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Modellfluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ideale Gasgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 Das inkompressible Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Die Energiebilanzgleichung (1.HS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

5. Die Entropiebilanz (2.HS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Anwendungen der Hauptsatze auf spezielle Systeme und Prozesse . . . . . . . . . . . 24

Geschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Adiabate Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Abgeschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Stationare Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Reversibler Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Isentroper Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Stationarer Flieprozess mit einem Massenstrom .......................26

7. Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8. Adiabate Stromungs- und Arbeitsprozesse, Warmeubertrager . . . . . . . . . . . . . . . 31

Adiabate Drossel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Adiabate Duse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Adiabater Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Adiabate Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Adiabater Verdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Warmeubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9. Energiewandelnde Anlagen und Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Wa r m e k r a f t m a s c h i n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3


3/64

Warmepumpen und Ka l t e m a s c h i n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 410. Der Clausius-Rankine Prozess und seine Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ei nfache D ampfk raftanl age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kaltdampfkompressionswarmepumpen und -kaltemaschinen . . . . . . . . . . . .48

11. Mengenberechnung fur Verbrennungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Brennstoffgemisch chemisch definierter Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Brennstoffgemisch chemisch undefinierter Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12. Leistungsbilanz von Verbrennungsprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58


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Grundzuge der Thermodynamik

Kommentierte Formelsammlung

Die Thermodynamik stellt die Grundgesetze der Energie- und Stoffumwandlungen be-

reit. Um bei realen, in der Regel sehr komplexen Prozessen zu quantitativen Erkennt-

nissen zu kommen, wird das betrachtete System meistens stark vereinfacht.

1 Zustandsgroen

Zustandsgroen beschreiben den (thermodynamischen) Zustand eines willkurlich abge-

grenzten Systems, in der Regel ein Fluid (Gas und/oder Flussigkeit) oder ein Feststoff.

Der homogene Bereich eines fluiden Systems, innerhalb dessen die chemische Zusam-

mensetzung sowie seine physikalischen Eigenschaften nicht vom Ort abhangen, wird als

Phase bezeichnet. Da die Ortsunabhangigkeit z.B. des Druckes, der Dichte, der Tem-

peratur, usw. die thermodynamische Beschreibung eines Fluids sehr vereinfacht, wird

das betrachtete System oft vereinfachend als Phase angenahert.

System(Phase)

intensive Zustandsgren:p, v, T, u, s, h, c , c , a ....p v

extensive Zustandsgren:m, n, V, U, S, H ....

Systemgrenze

Umgebung

Der Zustand einer fluiden Phase eines reinen Stoffes wird durch zwei unabhangige in-

tensive Zustandsgroen und eine extensive Zustandsgroe festgelegt.

z.B.:V =V(T, p , m) oder V =V(s,u,m) oder V =V(T, p , n) oder...

1


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Die extensive Zustandsgroe, z.B. die Masse m oder die Stoffmenge n beschreibt die

Groe der Phase.

Extensive Zustandsgroe:

eine Zustandsgroe, deren Wert sich bei der gedachten Teilung des Systems als Summe

der entsprechende Zustandsgroen dieser Teile ergibt, z.B. die Masse m = m1+m2+....

Die Indizes 1,2... beschreiben hierbei die (gedachten) Teilsysteme.

Intensive Zustandsgroe:

eine Zustandsgroe, deren Wert sich bei der gedachten Teilung einer Phase nichtandert,z.B. der Druckpoder die Temperatur T.

Spezifische Zustandsgroe:

eine massebezogene Zustandsgroe:

z:= Z

m (z.B. spezifisches Volumen v=

V

m

m3

kg

)

Spezifische Zustandsgroen werden mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet und sind

intensive Zustandsgroen. Zist hierbei ein Platzhalter fur eine beliebige extensive Zu-

standsgroe.

Molare Zustandsgroe:

eine stoffmengenbezogene Zustandsgroe

Zm:=Z

n (z.B. molares Volumen Vm=

V

n

m3

mol

)

Molare Zustandsgroen werden mit groen Buchstaben und dem tiefgestellten Indexmgekennzeichnet und sind intensive Zustandsgroen. Spezifische und molare Zustands-

groen sinduber die molare Masse M=m/n ineinander umzurechnen

z=Zm/M

2


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Zustandsgroen zur Kennzeichnung

der Zusammensetzung von Gemischen

Name Symbol/Definition Einheit

Masse der Komponente k mk kg

Massenanteil der Komponentek k =mk/allej

mj 1

Stoffmenge der Komponente k nk mol

Stoffmengenanteil der Komponente k yk=nk/allej

nj 1

Massen- und Stoffmengenanteile sind gema

k = (Mk/M) yk

ineinander umzurechnen. Dabei ist Mk =mk/nk die molare Masse der Komponente k

und M=

mk/

nk die molare Masse des Gemisches. Diese berechnet sich aus den

molaren Massen der Komponenten zu

M=

ykMk bzw. 1

M =

(k/Mk) .

Die Zustandsgroen werden weiterhin in thermische, kalorische und entropische Zu-

standsgroen eingeteilt. Einige wichtige Zustandsgroen sind:

Thermische Zustandsgroen


Druck p= limA0

F

A Pa

Thermodynamische Temperatur T K

Celsiustemperatur = T 273, 15 K C

Volumen V m3

molares Volumen Vm=V

n m3/mol

spezifisches Volumen v= V

m m3/kg

Dichte =1

v kg/m3

3


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Kalorische Zustandsgroen


Energie E=U+ Ekin + Epot J

Innere Energie U J

Enthalpie H=U+ pV J

spezifische Enthalpie h= u +pv J/kg

molare Enthalpie Hm=Um+pVm J/mol

spezifische freie Enthalpie (spez. Gibbs-Funktion) g=h T s J/kg

spezifische isobare Warmekapazitat cp J/kg K

molare isobare Warmekapazitat Cp,m J/mol K

spezifische isochore Warmekapazitat cv J/kg K

molare isochore Warmekapazitat Cv,m J/mol K

Entropische Zustandsgroen


Entropie S J/K

spezifische Entropie s(mit ds=du+p dv

T =

dh v dpT

fur Phasen J/kg K

konstanter Zusammensetzung bzw. Reinstoff)

molare Entropie Sm J/molK

4


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2 Zustandsgleichungen

Gema Abschnitt 1 wird jede intensive Zustandsgroe einer fluiden Phase eines reinenStoffes durch zwei beliebige, aber unabhangige intensive Zustandsgroen festgelegt,

z.B. v= v(T, p); h= h(T, p); h= h(s, p) ...

Derartige Beziehungen werden Zustandsgleichungen genannt. Sie sind stoffabhangig.

Da es sehr viel mehr Zustandsgroen gibt, als zur eindeutigen Beschreibung eines

Reinstoffes notwendig sind, gibt es auch eine Reihe von Beziehungen zwischen den

Zustandsgroen untereinander.

Diese Beziehungen sind stoffunabhangig,

z.B. h= u +p v; T=

U

S

V

; a=

p

S

...

Eine sehr wichtige Kopplung zwischen Zustandsgroen wird durch dieFundamental-

gleichung vorgegeben:

du= Tds pdv , dU=TdSpdVDiese Gleichungen beschreiben, wie sich die innere Energie eines einfachen Systems bei

Anderung von Entropie und Volumenandert.

Mit h= u+p v gilt gleichwertig:dh= Tds + vdp , dH=TdS+ Vdp

Thermische Zustandsgleichungen

Die thermischen Zustandsgroen p, v und T werden durch thermische Zustandsglei-chungen miteinander verknupft. Die unterschiedlichen, expliziten Formen der thermi-

schen Zustandsgleichung fur einen Reinstoff sind:

p= p(v, T) druckexplizite Form

v=v(p, T) volumenexplizite Form

T =T(p, v) temperaturexplizite Form

5


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Beim Modellfluid

ideales Gas wird die thermische Zustandsgleichung auch als

idea-

les Gasgesetz bezeichnet. Es lautet in den unterschiedlichen Schreibweisen:

p Vm= Rm Tp V =n Rm Tp V =m R T

mit der individuellen Gaskonstanten R bzw. der universellen Gaskonstanten Rm =

R M= 8, 3145 JmolK

. Ein ideales Gas ist ein real nicht existentes Modellgas, welches

auer elastischen Stoen keinerlei zwischenmolekulare Wechselwirkungen aufweist.

Als thermische Zustandsgleichung fur reale Gase wird haufig die Virialgleichung ver-

wendet. Sie lautet in der druckexpliziten Form:

p=Rm T

Vm+

Rm T Bm(T)V2m

+Rm T Cm(T)

V3m+ ...

Die temperaturabhangigen VariablenBm(T) undCm(T) werden als 2. und 3. Virialko-

effizient bezeichnet. Der Realgasfaktor Zgibt die Abweichung des Realgasverhaltens

vom idealen Gas an. Er wird definiert zu:

Z := p VmRm T = 1 +

Bm(T)

Vm+

Cm(T)

V2m+ ...

Fur ein ideales Gas gilt Z= 1.

Eine thermische Zustandsgleichung, die das gesamte fluide Gebiet beschreibt, ist z.B.

die Gleichung von Redlich-Kwong (RK-Gl.) Sie lautet mit den stoffspezifischen Para-

metern b(Kovolumen) und a(T) (Anziehungsparameter) in druckexpliziter Form:

p=R Tv b

a(T)

v(v+ b)

Nach v aufgelost ergibt sich:

v3

R T

p v2 + a R T b

p b2 v

a b

p = 0

6


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Zur Auswertung dieser Gleichung im Nassdampfgebiet wird das Maxwell-Kriterium

benotigt:

p s(T) [v v] =vv

p(T, v) dv

Im Nassdampfgebiet steht siedende Flussigkeit (Index ) im Gleichgewicht mit trocken

gesattigten Dampf (Index ), d.h. das Fluid besteht in diesem Zustandsgebiet aus

einem Gemisch zweier Phasen mit demselben Druck und derselben Temperatur. Das

mittlere spezifische Volumen von nassem Dampf errechnet sich mit dem Dampfgehalt

x= m

m

+ m

zu

v= x v + (1 x) v

Der Siededruck ps(T), der sich in beiden Phasen einstellt, ist allein durch die Tempe-

raturTdes nassen Dampfes bestimmt. Er ergibt sich zusammen mit den spezifischen

Voluminav =v (T) undv =v (T) aus dem Maxwell-Kriterium und der thermischen

Zustandsgleichung. Im p, v-Diagramm grenzen Siede- und Taulinie v = v(T) und

v = v(T), die Ortslinien von siedender Flussigkeit und trocken gesattigtem Dampf,

das Nassdampfgebiet ab.

K

Tauliniex=1Sie

delin

ie

x=0

T=TK

T>TK

T


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sind. Im kritischen Punkt K werden beide Phasen des nassen Dampfes identisch. Die

kritische IsothermeT =TK hat hier eine horizontale Wendetangente mit (p/v)T = 0

und (2p/2v)T = 0. Zustande von nassem Dampf sind nur fur T < TK moglich.

Aufgrund der Kopplung des Siededrucks ps(T) an die Temperatur bzw. der Siede-

temperatur Ts(p) an den Druck fallen im Nassdampfgebiet Isothermen und Isobaren

zusammen.

Dieser Zusammenhang wird besonders deutlich im p, T- Diagramm in Gestalt der

Dampfdruckkurve. Daneben enthalt das Diagramm Koexistenzkurven fur das Fest-

Flussig- und das Gas-Fest-Gleichgewicht in Form der Schmelz- und Sublimationsdruck-

kurve. Die Koexistenzkurven stellen entartete Zweiphasengebiete dar; nur auf Punktendieser Kurven sind Zweiphasengleichgewichte moglich.

Gas

Flssig-keit

p

T

Feststoff

Sublimationsdruckkurve

Dampfdruckkurve

Schmelzdruck-

kurve

K

Tr

Im Punkt Tr, dem Tripelzustand, schneiden sich die drei Koexistenzkurven, so dass

hier bei (pTr, TTr) und nur hier ein Dreiphasengleichgewicht von Feststoff, Flussigkeit

und Dampf moglich ist. Die drei Koexistenzkurven grenzen die Zustandsgebiete ab, in

denen ein reines Fluid einphasig als Feststoff, Flussigkeit oder Gas vorliegt.

Kalorische Zustandsgleichungen

Die kalorischen Zustandsgleichungen u = u(T, v) und h = h(T, p) dienen zur Berech-

nung der nicht messbaren kalorischen Zustandsgroen u und h aus den messbaren

Groen p, T bzw.T, v. Sie lauten fur die Differenz zwischen zwei beliebigen Zustands-

8


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punkten 1 und 2:

u(T2, v2) u(T1, v1) =T2

T1

cv

(T, v1) dT+v2

v1

T

p

T

v

pT=T2

dv

h(T2, p2) h(T1, p1) =T2

T1

cp

(T, p1) dT+

p2p1

v T

v

T

p

T=T2

dp

Die spezifischen Warmekapazitaten cv

(T, v) und cp

(T, p) sind definiert als

spezifische isochore Warmekapazitat cv

:=

u

T

v

mit [cv

] = J

kg K

spezifische isobare Warmekapazitat cp

:=

h

T

p

mit [cp

] = J

kg K

Es ist vorteilhaft, den Zustand des idealen Gases (v , bzw. p 0), als einenBezugszustand zu wahlen, um mit den spezifischen Warmekapazitaten des idealen Ga-

ses zu rechnen. Die kalorischen Zustandsgroen u undh fur bestimmte Werte von T , vbzw. T, p berechnen sich dann zu

u(T, v) =uiG(T0) +

TT0

ciGv

(T) dT+

v

T

p

T

v

pT=T

dv

h(T, p) =hiG(T0) +

TT0

ciGp

(T) dT+

p0

v T

v

T

p

T=T

dp.

Die Differenzen der kalorischen Zustandsgroen zwischen zwei beliebigen Zustands-

punkten konnen folglich auch berechnet werden, indem man einen Integrationspfad

wahlt, der uber den des idealen Gaszustandes lauft. In diesem fur die Anwendung

wichtigen Fall ergibt sich

u2 u1=T2

T1

ciGv

(T) dT+

v2

T

p

Tv

pT=T2

dv v1

T

p

Tv

pT=T1

dv

9


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h2 h1=T2

T1

ciGp

(T) dT+

p20

v T

v

T

p

T=T2

dp p10

v T

v

T

p

T=T1

dp

Fur das Nassdampfgebiet gilt:h= (1 x)h + x h.

Entropische Zustandsgleichungen

Die Anderung der spezifischen Entropie sin Abhangigkeit von T, pbzw. von T , v zwi-

schen zwei Zustanden berechnet sich durch

s(T2, p2) s(T1, p1) =T2

T1

cp(T, p1)T

dTp2

p1

vT

p

T=T2

dp

s(T2, v2) s(T1, v1) =T2

T1

cv

(T, v1)

T dT+

v2v1

p

T

v

T=T2

dv

Es werden also die Gleichungen fur die spezifische, isobare Warmekapazitat cp

(T, p)

und das spezifische Volumenv(T, p) bzw. fur die spezifische, isochore Warmekapazitat

cv

(T, v) und den Druck p(T, v) benotigt.

Wahlt man als einen Bezugszustand den Zustand des idealen Gases, so berechnet sich

die spezifische Entropie fur beliebige Werte von T, pbzw. T , v zu

s(T, p) =siG(T0, p0) +

TT0

ciGp

(T)

T dT R lnp

p0

p0

v

T

p

Rp

T=T

dp

s(T, v) =siG(T0, v0) +

TT0

ciGv (T)

T dT+ Rlnv

v0+

v

pT

v

Rv

T=T

dv.

Die Differenz zwischen zwei Zustandspunkten 1 und 2 ergibt sich bei einem Integrati-

onsweguber den idealen Gas - Zustand zu

s2 s1 =T2

T1

ciGp

(T)

T dT R lnp2

p1

p2

0

v

Tp

Rp

T=T2

dp+

p1

0

v

Tp

Rp

T=T1

dp

10


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s2 s1 =T2

T1

ciGv

(T)

T dT+ Rln

v2v1

+

v2

p

T

v

Rv

T=T2

dv v1

p

T

v

Rv

T=T1

dv

Fur das Nassdampfgebiet gilt:s= (1 x)s + x s.

Die Zustandsgleichungen fur Entropie und Enthalpie realer Fluide lassen sich vorteil-

haft im T, s-Diagramm mit Linien p = const und im h, s-Diagramm mit Linien p =

const und T= const darstellen.

p=const

K

TLSL

Gas

Nassdampfgebiet

Flssig-

keit

T

s

h - h

q +12 12

1

2

x=const

T (p)s

~(1-x)~x

(c )p 1

s s

Spezifische Energien bilden sich imT , s-Diagramm als Flachen ab. Aufgrund der Entro-

piebilanz fur einen Prozess ist die Flache unter einer Zustandslinie

21

Tds= q12+ 12 .

Dabei ist q12 die massebezogene Warme und 12 =21

Tdsirr 0 die spezifische dissi-pierte Energie des Prozesses, vgl. Abschnitt 5. Wegen Tds= dh v dp ist fur isobareZustandsanderungen

2

1

T(s, p) ds= h(s2, p) h(s1, p) .

11


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Speziell gilt fur die isobare Uberfuhrung von siedender Flussigkeit in trocken gesattig-

tem Dampf

Ts(s s) =h h ,

wobei samtliche Groen Funktionen des Siededrucks sind. Die spezifische isobare Warme-

kapazitat cp = T(s/T)p fur einen Zustand lasst sich als Subtangente unter der zu-

gehorigen Isobaren ablesen.

~x

x=const

T=const

K

TL

SL

Gas

Nassdampfgebiet

Flssig-

keit

h

ss

p=const

s

h - h

~(1-x)

Imh, s-Diagramm erscheinen spezifische Energien als Ordinatendifferenzen, die fur sta-

tionare Flieprozesse mit einem Massenstrom durch die Energiebilanz mit der spezifi-

schen technischen Arbeit wt, der massebezogene Warme q= Q/m sowie Anderungen

der spezifischen kinetischen und potentiellen Energien verknupft sind, vgl. Abschnitt

4.

Wegen dh= Tds + v dp ist die Steigung der Isobaren im h, s-Diagramm

(h/s)p=T .

Weil die Temperatur wahrend der isobaren Verdampfung eines reinen Stoffes konstant

bleibt, sind die Isobaren im Nassdampfgebiet gerade Linien. Ihre Steigung wachst ent-

sprechend der Zunahme der Siedetemperatur mit dem Druck. Der kritische Punkt liegt

im Wendepunkt am linken Hang der Grenzkurve des Nassdampfgebietes, die dort von

der kritischen Isobaren beruhrt wird. In den homogenen Zustandsgebieten sind die

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Isobaren entsprechend der Temperaturanderung langs ihres Verlaufs gekrummt. Die

Grenzkurven werden ohne Knickuberschritten.

Im Nassdampfgebiet fallen Isothermen und Isobaren zusammen. Fur den Grenzzustand

des idealen Gases werden die Isothermen horizontal, da die spezifische Enthalpie in die-

sem Fall nur von der Temperatur abhangt. Die Isothermen haben auf den Grenzkurven

einen Knick.

Dampftafeln

Fur Wasser und Kaltemittel sind die thermodynamischen Eigenschaften in Form von

Dampftafeln verfugbar. Sie enthalten fur die homogenen Zustandsgebiete die Groen

v0 = v(0, p0) , h0 = h(0, p0) und s0 = s(0, p0)

an vorgegebenen Gitterpunkten (0, p0) der unabhangigen Variablen Temperatur und

Druck. Im allgemeinen muss eine Groe z=z(T, p) zwischen Gitterpunkten der Tafel

interpoliert werden. Mit den Tafelwerten

z00 = z(0, p0) , z10=z(1, p0) und z01 = z(0, p1)

fur 0 1 und p0p p1 erhalt man

z(, p) =z00+z10 z00

1 0 ( 0) +z01 z00p1 p0 (p p0) .

Speziell geeignet fur die Berechnung isentroper Enthalpiedifferenzen hs = h(s1, p2) h(s1, p1) ist die Interpolationsformel

h(s, p) =h0+ T0(s s0) + v0(p p0) ,

die aus einer Taylorentwicklung der spezifischen Enthalpie hervorgeht.

Kennzeichen von nassem Dampf ist, dass der Dampfdruck ps und die Siedetemperatur

s sowie die Eigenschaftenz und z der koexistierenden Phasen jeweils nur von einer

Variablen Temperatur oder Druck abhangen. Die Dampftafeln enthalten deshalb als

Funktion der Temperatur fur vorgegebene Werte 0 die Groen

ps0=ps(0), v

0=v(0) h

0=h(0) s

0=s(0)

v

0 =v

(0) h

0 =h

(0) s

0 =s

(0)

13


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oder alternativ als Funktion des Drucks fur vorgegebene Werte p0

s0=s(p0), v

0 = v(p0) h

0=h(p0) s

0=s(p0)

v0 =v(p0) h

0 =h(p0) s

0 =s(p0) .

Die Eigenschaften von nassem Dampf ergeben sich als gewogenes Mittel aus den ent-

sprechenden Groen der siedenden Flussigkeit und des gesattigten Dampfes. Gewichtet

wird mit den Masseanteilen m/m= 1 xund m/m= x s.o.

Fur die Berechnung isentroper Enthalpiedifferenzen von nassem Dampf empfiehlt sich

die Darstellung

h(s, p) =h(p) +Ts(p) [s s(p)] ,

in welcher der Dampfgehalt xdurch die spezifische Entropie ausgedruckt ist.

3 Modellfluide

Das ideale Gas:

Fur Gase bei niedrigen Drucken wird haufig das Modellfluid

ideales Gas fur die

Berechnung von Zustandsgroen verwendet. Die thermische Zustandsgleichung eines

idealen Gases wird mit

ideales Gasgesetz bezeichnet und lautet (s. Abschnitt 2):

p V =m R T

Die spez. innere Energie und die spez. Enthalpie (kalorische Zustandsgleichung) eines

idealen Gases sind nur noch von der Temperatur abhangig:

uiG(T) =uiG(T0) +

TT0

ciGv (T) dT

hiG(T) =hiG(T0) +

TT0

ciGp (T) dT

14


18/64

Die spezifische Entropie des idealen Gases (entropische Zustandsgleichung) in Abhangig-

keit von T , p bzw. T, v berechnet sich mit

siG(T, p) =siG(T0, p0) +

TT0

ciGp

(T)dT

T R lnp

p0

siG(T, v) =siG(T0, v0) +

TT0

ciGv

(T)dT

T + R lnv

v0

Die isobare Entropiefunktion

soiG(T) =siG(T0, p0) +

TT0

ciGp (T) dTT

ist fur einige Gase fur einen Bezugsdruck p0 vertafelt.

Fur eine isentrope Zustandsanderung (s= const.) folgt

TT0

ciGp (T)dT

T =R lnp

p0bzw.

TT0

ciGv (T)dT

T =R lnv

v0

Bei konstanter spezifischer und molarer Warmekapazitat gilt speziell

T

T0=

p

p0

R/ciGp=

p

p0

(1)/sowie

p

p0=v0

v

ciGp /ciGv=v0

v

Dabei ist der temperaturabhangige Isentropenexponent:

:=ciGp (T)

ciGv (T)

Die isochore und die isobare spezifische Warmekapazitaten eines idealen Gases sind

durch die individuelle Gaskonstante miteinander verknupft:

ciGp (T) ciGv (T) =R

Der Entropiezustandsgleichung entsprechend ergibt sich fur ein ideales Gas mit ciGp =

const. einT , s-Diagramm, dessen Isobaren Exponentialfunktionen sind, die durch Par-

allelverschiebung in s-Richtung auseinander hervorgehen. Diese Eigenschaftubertragt

sich auf dash, s-Diagramm.

15


19/64

h

s

h=const

p1

p2p3

R ln(p1 2/p )

T

s

T=const

p1

p2p3

R ln(p1 2/p )

Die isentrope Enthalpiedifferenz

hs = h(s1, p2) h(s1, p1)

ist fur ein ideales Gas durch die Temperaturanderung zwischen den Zustanden unter-

schiedlichen Drucks auf der Isentropen s= s1 bestimmt. Fur ciGp = const. gilt

hiGs =ciGp T1

p2p1

R/ciGp 1

oder

hiGs =

1RT1

p2p1

1

1

Die mittlere spezifische Warmekapazitat des idealen Gases:

Die spezifischen Warmekapazitaten ciGp (T) und ciGv (T) idealer Gase sind im Allgemei-

nen monoton steigende, komplizierte Temperaturfunktionen. Um die Integraleuber die

spezifischen Warmekapazitaten leichter berechnen zu konnen, verwendet man haufig

die mittleren spezifischen Warmekapazitaten.

Die Definition der mittleren spezifischen isobaren Warmekapazitat lautet:

cpiG() :=

1

0

ciGp () d

16


20/64

(Teilweise wird fur die mittlere spezifische isobare Warmekapazitat auch die Bezeich-

nungciGp|0 verwendet.) Fur einige Gase liegen Tafeln vor.

Die spezifische Enthalpiedifferenz eines idealen Gases zwischen zwei beliebigen Zustand-

spunkten 1,2 ergibt sich mit Hilfe der mittleren spezifischen isobaren Warmekapazitat

zu:

hiG(2) hiG(1) =cpiG(2) 2 cpiG(1) 1

Schallgeschwindigkeit:

Die Schallgeschwindigkeit a idealer Gase hangt nur von der Temperatur T ab.

a=

R T

Ideale Gasgemische:

Bei niedrigen Drucken konnen Gasgemische durch das Stoffmodell der idealen Gas-mischung beschrieben werden. Die thermische Zustandsgleichung hat in diesem Fall

dieselbe Form wie fur ein reines ideales Gas

p V =n Rm T =m R T .

Dabei ist

R= alle k

kRk =Rm/M

die individuelle Gaskonstante des Gemisches. Sie ist ein mit den Masseanteilen k ge-

wogenes Mittel der entsprechenden Werte Rk der reinen Komponenten und ergibt sich

in Analogie zum reinen Stoff als Quotient der universellen Gaskonstanten Rm und der

molaren Masse M=

mk/

nk des Gemisches, siehe Abschnitt 2.

Der Partialdruck einer Komponente k in einem Gemisch ist erklart als

pk :=yk

p .

17


21/64

Definitionsgema ist die Summe aller Partialdrucke wegen der Schliebedingung

yk =

1 fur die Stoffmengenanteile der Druckp des Gemisches. Fur ein Gemisch idealer Gase

folgt aus der thermischen Zustandsgleichung das Daltonsche Gesetz: Danach ist der

Partialdruck pk einer Komponente im Gemisch gleich dem Druck p0k, den die reine

Komponente annahme, wenn sie bei der Temperatur des Gemisches das Gemischvolu-

men allein ausfullen wurde.

Die spezifische innere Energie und die spezifische Enthalpie eines idealen Gasgemisches

ergeben sich als ein mit den Masseanteilen k gewogenes Mittel aus den Werten uiG0k

und hiG0k der reinen idealen Gase k bei der Temperatur T des Gemisches

uiGM(T) =allek

kuiG0k(T)

hiGM(T) =alle k

khiG0k(T)

Beide Groen hangen neben der Zusammensetzung des Gemisches nur von der Tem-

peratur ab. Dies ubertragt sich bei der Bildung der Temperaturableitungen auf die

isochore und isobare spezifische Warmekapazitat

ciGMv (T) =allek

kciGv0k(T) , ciGMp (T) =allek

kciGp0k(T) ,

worinciGv0k= duiG0k/dT und c

iGp0k= dh

iG0k/dTdie Werte der reinen Komponenten bedeu-

ten. Die spezifischen Warmekapazitaten des Gemisches sind dem Verhalten der reinen

Komponenten folgend durch

ciGMp ciGMv =R

mit R als der individuellen Gaskonstanten des Gemisches verknupft. Fur die mittle-re isobare spezifische Warmekapazitat des Gemisches und den Isentropenexponenten

erhalt man

ciGMp () =alle k

kciGp0k()

mit ciGp0k() als dem Wert der reinen Komponenten und

(T) =ciGMp (T)/[ciGMp (T)

R] .

18


22/64

Die Entropiezustandsgleichung von Gemischen idealer Gase spiegelt wider, dass die

reinen Gase beim isotherm-isobaren Vermischen irreversibel vom Gemischdruck p auf

den jeweiligen Partialdruck pk der Gase im Gemisch entspannt werden. Die spezifische

Entropie eines Gemisches idealer Gase ist daher ein mit den Masseanteilen kgewogenes

Mittel der spezifischen EntropiensiG0k(T, pk) der reinen Komponenten, berechnet bei der

TemperaturTund dem Partialdruckpk der Komponenten im Gemisch

siGM(T, p) =allek

ksiG0k(T, pk) .

Mit der charakteristischen logarithmischen Druckabhangigkeit der spezifischen Entro-

pie siG0k

(T, p) reiner idealer Gase und der Definitionsgleichung des Partialdrucks folgt

siGM(T, p) =alle k

ksiG0k(T, p) +

MsiGM .

Die spezifische Entropie eines idealen Gasgemisches ist damit auch darstellbar als das

gewogene Mittel des spezifischen Entropien siG0k(T, p) der reinen Gase, berechnet bei der

TemperaturTund dem Druckp des Gemisches, und der stets positiven Mischungsen-

tropie

MsiGM =

R alle k

yk ln yk >0 .

Dabei ist R wieder die individuelle Gaskonstante des Gemisches. Da die spezifische Mi-

schungsentropie MsiGM uber die Stoffmengenanteileyknur von der Zusammensetzung

des Gemisches abhangt, hebt sie sich aus den Entropiebilanzen aller Prozesse heraus,

bei denen die Zusammensetzung konstant bleibt.

Das inkompressible Fluid:

Das spezifische Volumen des inkompressiblen Fluids hangt weder vom Druck noch von

der Temperatur ab. Die thermische Zustandsgleichung lautet daher einfach

v= v iF = const.

Die kalorischen Zustandsgleichungen fur das inkompressible Fluid lauten:

uiF(T) = uiF(T0) +TT0

ciF(T) dT

hiF(T, p)= h iF(T0, p0) +T

T0

ciF(T) dT+ viF(p

p0)

19


23/64

Die Entropie des inkompressiblen Fluids hangt nur von der Temperatur ab, die entro-

pische Zustandsgleichung ergibt sich zu:

siF(T) =siF(T0) +

TT0

ciF(T)

T dT

Fur die isentrope Enthalpiedifferenz hs =h(s1, p2) h(s1, p1) gilt

hiFs =viF(p2 p1) .

Bei dem inkompressiblen Fluid sind die spezifische isobare Warmekapazitat cp und die

spezifische isochore Warmekapazitat cv gleich, weshalb der Index weggelassen wird:

ciF =ciFp =ciFv

Feuchte Luft:

Feuchte Luft ist ein ideales Gasgemisch aus den Komponenten trockene Luft L und

Wasserdampf W. Die molaren Massen und individuellen Gaskonstanten der Kompo-

nenten sind

ML= 28, 96 kg/kmol RL= 0, 2871kJ/(kg K)MW= 18, 016 kg/kmol RW= 0, 4615kJ/(kg K) .

Das besondere an feuchter Luft ist, dass ihr Aufnahmevermogen an Wasserdampf be-

grenzt ist und beim Uberschreiten einer Loslichkeitsgrenze Kondensat ausfallt. Der

maximal mogliche WasserdampfpartialdruckpsW feuchter Luft, der sich im Zustand des

Gleichgewichts mit kondensiertem Wasser einstellt, ist in guter Naherung gleich dem

Siededruck ps0W(T) des reinen Wassers bei der Temperatur Tder feuchten Luft

psW =ps0W(T) .

Fur pW < ps0W(T) heit feuchte Luft ungesattigt, fur pW =p

s0W(T) heit sie gesattigt

und kann Kondensat enthalten.

20


24/64

Kuhlt man ungesattigte feuchte Luft isobar ab, bildet sich bei der Taupunkttemperatur

TT das erste Kondensat. Die feuchte Luft ist dann gerade ges attigt und fur ihren

Wasserdampfpartialdruck gilt

pW =ps0W(TT) .

Aus der Kenntnis der Taupunkttemperatur lasst sich somit der Wasserdampfpartial-

druck ungesattigter feuchter Luft bestimmen. Anstelle des Wasserdampfpartialdrucks

wird in der Technikuberwiegend die Wasserbeladung

X :=mW/mL mit 0

X

Xs

zur Kennzeichnung der Zusammensetzung feuchter Luft benutzt. Dabei wird als Be-

zugsgroe die bei vielen klimatechnischen Prozessen konstante Masse mLder trockenen

Luft verwendet. Mit dem PartialdruckpW des Wasserdampfes besteht der Zusammen-

hang

X= RLRW

pWp pW ,

wobei sich der Sattigungswert Xs

fur pW = ps0W(T) ergibt. Er steigt mit wachsender

TemperaturTund sinkt mit wachsendem Druck p der feuchten Luft.

Ein Ma fur die Zusammensetzung feuchter Luft ist weiter die als absolute Feuchte

bezeichnete Partialdichte des Wasserdampfes

W :=mW

V =

pWRWT

mit 0 W sW .

Der Sattigungswert wird wieder fur pW =ps

0W(T) erreicht. Zugeordnet ist die relativeFeuchte

:= WsW(T)

= pW

ps0W(T) mit 0 1 .

Die thermische Zustandsgleichung feuchter Luft hat bei Wahl der Masse mL der tro-

ckenen Luft als Bezugsmasse die Gestalt

v1+x := V

mL= (RL+ X RW)

T

p .

21


25/64

Das auf die Gesamtmasse bezogene spezifische Volumenv = V /(mL+mW) folgt hieraus

zu v= v1+x/(1 + X).

Die spezifische Enthalpie feuchter Luft wird in der Praxis ebenfalls auf die Masse mL

der trockenen Luft bezogen und setzt sich nach dem Modell der idealen Gasmischung

anteilig aus den spezifischen Enthalpien hiG0L(T) und hiG0W(T) der reinen gasformigen

Komponenten zusammen

h1+x:= H

mL=hiG0L(T) + X h

iG0W(T) .

Die gewohnliche spezifische Enthalpie h= H/(mL+ mW) ergibt sich zu

h= h1+x/(1 + X).

Die Enthalpiekonstanten der Komponenten werden zweckmaig so gewahlt, dass die

spezifischen Enthalpien der trockenen Luft und des flussigen Wassers bei= 0 C null

sind. Weiter werden konstante isobare spezifische WarmekapazitatenciGp0Lund ciGp0W der

gasformigen Komponenten vorausgesetzt. Dann wird

hiG0L=ciGp0L = 1, 004 kJ/(kg K)

hiG0W=ciGp0W + r0 = 1, 86 kJ/(kg K) + 2500 kJ/kg ,

mit r0 als der spezifischen Verdampfungsenthalpie von Wasser bei = 0 C. Eine mit

diesen Annahmen konsistente Formulierung der spezifischen Enthalpie von flussigem

Wasser ist

hF0W =cF0W = 4, 19 kJ/(kg K) ,

mit cF0W als der konstant gesetzten spezifischen Warmekapazitat im flussigen Zustand.

Die Druckabhangigkeit ist vernachlassigt.

4 Die Energiebilanzgleichung (1.Hauptsatz)

Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgroe Energie E=U+Ekin +Epot. Die

Energie eines Systems kann sich nur durch Energietransport uber die Systemgrenze

andern. Fur die Energie gilt ein Erhaltungssatz.

22


26/64

Die allgemeine Form des 1. Hauptsatzes als Leistungsbilanz fur ein offenes instationares

System mit der Gesamtenergie E lautet:

dE

dt =

Q +

P+

ein

me(h +w2

2 + g z)e

aus

ma(h +w2

2 + g z)a .

In Worten besagt diese Gleichung, dass sich die zeitliche Anderung der EnergieEeines

offenen Systems durch die Summe aller dem System zugefuhrten Warmestrom- und

Leistungsterme (mechanische und elektrische) und die mit den eintretenden (Index e)

und austretenden (Index a) Massenstromen mitgefuhrte Energie ergibt. Andert sich

das Volumen des Bilanzraumes mit der Zeit, muss auch Volumenanderungsleistung

berucksichtigt werden. Ein dem System zugehender Warmestrom Q bzw. zugehende

Leistung Pwird positiv gewertet, abgehende negativ.

Fur das hier betrachtete offene, instationare System gilt die Massenbilanz

dm

dt =

ein

me aus

ma

5 Die Entropiebilanz (2. Hauptsatz)Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgroe Entropie S. Die Entropie eines Sys-

temsandert sich

durch Warmetransportuber die Systemgrenze

durch Stofftransport uber die Systemgrenze

durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems (Entropieerzeugung), das sind

insbesondere Warmeubergang bei endlicher Temperaturdifferenz und Reibung.

Die Entropie ist daher keine Erhaltungsgroe. Die mit der Warmeenergie dQ uber die

Systemgrenze transportierte Entropie ist

dSQ=dQ

T

Dabei istTdie thermodynamische Temperatur an der Stelle der Systemgrenze, an der

dQ ubergeht.

23


27/64

Die durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems erzeugte Entropie Sirr ist nie-

mals negativ. Sie ist fur reversible (ideale) Prozesse des Systems null.

Die allgemeine Entropiebilanz fur ein offenes instationares Systeme lautet

dS

dt =

i

QiTi

+ein

( me se) aus

( ma sa) + Sirr

Mechanische und elektrische Energie sind am Entropietransport nicht beteiligt und

erweisen sich als entropiefreie Energien.

6 Anwendungen der Hauptsatze auf spezielle Systeme und

Prozesse

Fur bestimmte Systeme und Prozesse ergeben sich folgende Vereinfachungen des Ener-

gieerhaltungssatzes (1.HS) und der Entropiebilanz (2.HS).

Geschlossene Systeme:

Bei geschlossenen Systemen treten keine Massenstrome uber die Systemgrenzen. Die

Summenterme mit mim ersten und zweiten Hauptsatz entfallen daher. Der1. HSfur

ein geschlossenes System vereinfacht sich daher zu:

dE

dt =

Q +

P (Leistungsbilanz)

oder zwischen zwei Zustanden integriert, fur jeweils nur einen Warmestrom bzw. Leis-

tungsterm

E2 E1=Q12+ W12 (Energiebilanz)

Betrachtet man ein ruhendes geschlossenes System, sind die Differenzen der kineti-

schen und potentiellen Energien des Systems zwischen 1 und 2 gleich null und die

Energiebilanz lautet:

U2 U1 = Q12+ W12

Die Arbeit W12 besteht im Allgemeinen aus

24


28/64

VolumenanderungsarbeitWV12= 21

p dV

elektrische Arbeit Wel12 =21

U Idt

Wellenarbeit WW12 = 221

nd Mddt

Der 2. HS fur ein geschlossenes System lautet:

dS

dt =

i

QiTi

+ Sirr

oder zwischen zwei Zustanden integriert:

S2 S1=2

1

Q(t)

T(t)dt + Sirr,12

Adiabate Systeme:

Ideal isolierte Systeme, die keinen Warmeaustauschuber die Systemgrenzen zulassen,

werden als adiabat bezeichnet. Fur die formale Betrachtung bedeutet dies, das im ers-

ten und zweiten Hauptsatz die Terme mit den Warmestromen Q wegfallen.

Abgeschlossene Systeme:

Als abgeschlossen werden die Systeme bezeichnet, die weder Materie noch Energieuber

ihre Systemgrenzen flieen lassen. Ein abgeschlossenes System ist also zugleich auch

immer geschlossen und adiabat.

Stationare Prozesse:

Wie dem Ausdruck zu entnehmen ist, durchlaufen die Zustandsgroen bei stationaren

Prozessen keine zeitlichen Veranderungen, d.h. sie sind zeitlich konstant. Dies gilt fur

alle Zustandsgroen und damit insbesondere auch fur die Energie und die Entropie

eines Systems. Daher muss bei stationaren Prozessen gelten:

dE

dt = 0 ;

dS

dt = 0

25


29/64

Reversibler Prozess:

Bei einem reversiblen Prozess wird keine Entropie erzeugt, d.h. es gilt Sirr = 0.

Isentroper Prozess:

Isentrop bedeutet reversibel und adiabat. Bei einem isentropen Prozess bleibt daher

die Entropie des Systems konstant, d.h. S2 S1 = 0

Stationarer Flieprozess mit einem Massenstrom:

Energie- und Entropiebilanzen vereinfachen sich hier zu

P12+ Q12 = m

h2 h1+12

(w22 w21) + g(z2 z1)

(A)

qdA

T + (Sirr)12 = m(s2 s1) mit (Sirr)12 0

Dabei bezeichnet der Index 1 den Eintritts- und der Index 2 den Austrittsquerschnitt,

an welchem der Massenstrom m die Systemgrenze uberschreitet. Die Indices bezie-

hen sich somit auf Orte und nicht auf Zeiten, von denen die Zustandsgr oen in sta-

tionaren Systemen nicht abhangen. Einfache Indices kennzeichnen Zustandsgroen in

einem Querschnitt, Doppelindices Prozessgroen zwischen zwei Querschnitten.

Weiter ist q = dQ/dA die Warmestromdichte auf einem Oberflachenelement dA der

Bilanzhulle mit [q] = W/m2. T ist die Temperatur auf dem Element dA, so dass der

Integrand gerade den Entropiestrom dSQ ergibt, der mit dem Warmestrom dQ auf

dem Oberflachenelement dA ubertragen wird. Haufig ist es zweckmaig, Energie- und

Entropiebilanzen in spezifischen Groen zu formulieren. Division durch den Massen-

strom ergibt:

q12+ wt12=

h2 h1+1

2(w22 w21) +g(z2 z1)

1

m

(A)

qdA

T + (sirr)12 = s2 s1 mit (sirr)12 0

Hierin bedeuten

q12 :=

Q12

m , wt12:=

P12

m und (sirr)12=

(Sirr)12

m

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30/64

die spezifische Warme, die spezifische technische Arbeit und die spezifische Entropie-

erzeugung des Prozesses.

Die Leistungsbilanz fur ein stationares Fliesystem, das zwischen den Querschnitten 1

und 2 unter Zufuhrung oder Entzug eines Wasserstroms mW von feuchter Luft durch-

stromt wird, lautet

Q12+ P12= mL[(h1+x)2 (h1+x)1] + mW2h0W2 mW1h0W1 .

Die spezifische Enthalpieh0W ist dabei dem flussigen oder dampfformigen Zustand des

Wassers entsprechend einzusetzen. Anderungen an kinetischer und potentieller Energie

sind vernachlassigt. Die Leistungsbilanz ist im allgemeinen in Verbindung mit einer

Wasserbilanz

X1 mL+ mW1= X2 mL+ mW2

auszuwerten, die fur ein stationares System Gleichheit der insgesamt zu- und abflie-

enden Wasserstrome verlangt.

Die Arbeits- und Bernoulli-Gleichung

Die Leistungs- und Entropiebilanz fur ein stationares Fliesystem mit einem Massenstrom

lassen sich zu einer speziellen Arbeitsgleichung verknupfen:

wt12 12=2

1

v dp+1

2

w22 w21

+ g(z2 z1)

Dabei bedeutet

12=

21

Tdsirr 0

die spezifische dissipierte Energie des Prozesses. Alle Integrale sind entlang des Stromungs-

wegs zu erstrecken.

Ubertragene Warme und Enthalpieanderungen sind in der Arbeitsgleichung eliminiert

und mussen in dem zugrunde liegenden Prozess keineswegs null sein. Als einzige ther-

mische Groe erscheint die dissipierte Energie. Unter Ausnutzung ihrer Vorzeichenbe-

schrankung wird die Arbeitsgleichung angewendet zur

27


31/64

1. Unterscheidung moglicher und unmoglicher Prozesse,

2. Herleitung von Schranken fur die spezifische technische Arbeit bei der Kompres-

sion und Expansion eines Arbeitsmittels.

Unter den besonderen Bedingungen eines reversiblen Stromungsprozesses eines inkom-

pressiblen Mediums (wt12 = 0, 12 = 0, v = const.) geht die Arbeitsgleichung in die in

der Stromungsmechanik haufig verwendete Bernoullische Gleichung uber.

7 Exergie und Anergie

Jede Energieform ist in einen Exergie- und Anergieanteil zerlegbar:

Energie = Exergie + Anergie

Die Exergie ist dabei der Teil einer jeden Energieform, der sich unter Mitwirkung der

Umgebung in jede andere Energieform, insbesondere in mechanische oder elektrische

Energie umwandeln lasst. Anergie ist der nicht in Exergie umwandelbare Rest.

Irreversible Prozesse erzeugen Entropie Sirr>0 bzw. dissipieren Energie =

TdSirr >

0. Damit verbunden ist eine unwiederbringlich Umwandlung von Exergie in Anergie,

d.h. es entsteht ein Exergieverlust oder -verluststrom

EV =TU Sirr > 0 bzw. EV =TU Sirr>0 ,

welcher der erzeugten Entropie oder ihrem Strom direkt proportional ist. Proportio-

nalitatsfaktor ist die Umgebungstemperatur TU. Ein Exergieverlust entwertet Energiedurch Minderung ihrer Umwandelbarkeit, er ist dem Verhalten der Entropieerzeugung

folgend irreversibel und sollte unter thermodynamischen Gesichtspunkten vermieden

werden.

Zwischen dem Exergieverluststrom und dem Strom der dissipierten Energie in rei-

bungsbehafteten Prozessen besteht die Beziehung

dEV = (TU/T) d .

28


32/64

Entsprechend gilt fur die spezifischen Groen bei Bezug auf einen Massenstrom

deV = (TU/T) d .

Dissipation ist also bei tiefen Temperaturen besonders schadlich.

Exergie und Anergie sind extensive Zustandsgroen, fur die Bilanzen aufgestellt werden

konnen. Bei thermodynamischen Berechnungen kann eine Exergiebilanz eine Entropie-

bilanz ersetzen. Fur ein stationares Fliesystem lautet die Exergiebilanz

Ezu= |

Eab

|+

EV mit

EV

0 .

Die zugefuhrten Exergiestrome Ezufinden sie sich in den abflieenden Stromen Eabwie-der, soweit sie nicht durch den Verlust EV aufgezehrt werden.

Zur Auswertung einer Exergiebilanz mussen die Exergieanteile der an einem Prozess

beteiligten Energien bekannt sein. Hierfur gilt:

1. Mechanische und elektrische Energie bestehen als entropiefreie Energieformen aus

reiner Exergie, d.h. ihr Anergieanteil ist null.

2. Thermische Energieformen wie Warme, innere Energie und Enthalpie, die stets

entropiebeladen sind, haben einen von null verschiedenen Anergieanteil. Das ist

der Teil der Energie, die bei der Umwandlung in mechanische Energieformen zum

Abfuhren der Entropie in die Umgebung flieen muss. Bei der Temperatur TU,

dem Druck pU und der Zusammensetzung der Umgebung bestehen thermische

Energieformen aus reiner Anergie, d.h. ihr Exergieanteil ist null.

Die Exergie eines Warmestroms wird von einer reversiblen Warmekraftmaschine,

siehe Abschnitt 9, als Nutzleistung abgefuhrt und betragt demnach

EQ= (1 TU/Tm) Q .

Dabei ist Tmdie thermodynamische Mitteltemperatur eines bei gleitender Tem-

peratur verfugbaren Warmestroms Q. Mit diesem Mittelwert lasst sich die von

29


33/64

dem Warmestrom transportierte Entropie in einfacher Weise darstellen

SQ = dQT

= Q/Tm .

Wird der Warmestrom in einem reibungsfreien, stationaren Flieprozess von ei-

nem Fluid bei konstantem Druck aufgenommen, ist die MitteltemperaturTm aus

den Anderungen h2 h1 unds2 s1 der spezifischen Enthalpie und Entropie desFluids zu berechnen

Tm= (h2 h1)/(s2 s1) .

Die Exergie eines Warmestroms erscheint im T, SQ-Diagramm als Flache oberhalb

der Isothermen der Umgebungstemperatur.

T

SQ

TU

.

1

2

Die spezifische Exergie der Enthalpie eines Stoffstroms ist die maximale spezifi-

sche Nutzarbeit, die sich bei Herstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung

gewinnen lasst und betragt

e= h hU TU(s sU)

Dabei sind h und s die spezifische Enthalpie und Entropie des vorgelegten Stoff-

stroms, wahrend hU und sU die Werte im Gleichgewicht mit der Umgebung bei

der Temperatur TU und dem DruckpU bedeuten.

30


34/64

Die Exergie der Enthalpie lasst sich imh, s-Diagramm als vertikaler Abstand von

der Umgebungsgeraden veranschaulichen. Diese ist die Tangente an die Isobare

des Umgebungsdrucks im Umgebungszustand U.

h

s

hU

sU

U

pU

e

Umgebungsgerade

(s,h)

8 Adiabate Stromungs- und Arbeitsprozesse, Warmeubertra-

ger

In Drosselorganen, Dusen und Diffusoren finden adiabate Stromungsprozesse statt.

Ein bewegtes Fluid durchlauft dabei eine Zustandsanderung langs der Achse eines

Stromungskanals.Uber die Wande dieses Kontrollraums werden weder Warme (q= 0)

noch technische Arbeit (wt = 0) ubertragen. Die Stromung wird als stationar voraus-

gesetzt und Anderungen der spezifischen potentiellen Energie werden vernachlassigt.

Aus der Massenbilanz des Kontrollraums folgt die Kontinuitatsgleichung

m= w A= 1 w1 A1 = 2 w2 A2= const ,

d.h. der Massenstrom, zu berechnen als Produkt der Dichte , der querschnittsgemit-

telten Geschwindigkeit w und des Kanalquerschnitts A ist langs des Stromungswegs

zwischen den Querschnitten 1 und 2 konstant. Entsprechend verlangt die Energiebilanz

die Konstanz der spezifischen Totalenthalpie

h+

=h+

1 =h+

2 = const ,

31


35/64

die als Summe der spezifischen Enthalpie und spezifischen kinetischen Energie des

Fluids erklart ist:

h+ :=h + w2/2 .

Die Entropiebilanz schliet die Abnahme der spezifischen Entropie des Fluids in Stromungs-

richtung aus

s2 s1= (sirr)12 0 .

Die Arbeitsgleichung verknupft Druck- und Geschwindigkeitsanderungen langs des

Stromungswegs:

21

v dp+ (w22 w21)/2 + 12= 0 mit 12 =2

1

Tdsirr 0 .

Bei der adiabaten Drosselung wird durch Reibung an Stromungshindernissen der Druck

bewusst herabgesetzt. Dies ist prinzipiell irreversibel. Eine Anderung von Geschwin-

digkeit und kinetischer Energie ist nicht beabsichtigt. Sollte dieser Effekt als Folge

der Druckabsenkung eintreten, ist er in den meisten Fallen vernachlassigbar. Aus der

Energiebilanz folgt damit fur die adiabate Drosselung die Konstanz der spezifischen

Enthalpieh1 = h2. Hieraus ergeben sich mit Hilfe von Zustandsgleichungen alle weite-

ren Zustandsgroen im Austrittsquerschnitt.

In einer adiabaten Duse soll eine Stromung beschleunigt werden. Der Energiebilanz

entsprechend wird dabei Enthalpie in kinetische Energie umgewandelt, was nach der

Arbeitsgleichung ein Druckgefalle in Stromungsrichtung erfordert. Durch Dissipation

steigt die spezifische Entropie des Fluids beim Durchlaufen der Duse an.

Die Gute einer Duse wird bei gegebenem Anfangszustand 1 und Enddruckp2durch den

isentropen StromungswirkungsgradsSbeschrieben. Dieser vergleicht die im Austritts-

querschnitt 2 erreichte kinetische Energie mit dem moglichen Bestwert im Endzustand

2* der reversibel adiabaten (isentropen) Expansion

sS:= w22/2

(w22/2)rev=

w21/2 (h2 h1)w21/2 hs

.

32


36/64

Dabei ist hs=h(s1, p2) h(s1, p1)< 0 die isentrope Enthalpiedifferenz.

h

s

p1 p2h1 h2=

+ +

w /212

|hs|

w /222

1

2

2*

(w /2)2* rev2

s1 s2

Der Endzustand 2 einer Dusenstromung lasst sich in folgenden Schritten berechnen:

1. Aufstellen der Energiebilanz

2. Ersetzen der Enthalpiedifferenz h2 h1 durch die isentrope Enthalpiedifferenzhs mit Hilfe des Wirkungsgrades

3. Bestimmen von hs, gegebenenfalls mit einer Isentropengleichung.

Die Kontur einer Duse ist nach der Kontinuitatsgleichung im quasi inkompressiblen

Unterschallbereich konvergent, weil bei = const. ein Geschwindigkeitszuwachs eine

Abnahme des StromungsquerschnittesA erfordert. ImUberschallbereich dominiert da-

gegen der Einfluss der mit dem Druck abnehmenden Dichte, so dass trotz Geschwindig-keitszunahme der Querschnitt in Stromungsrichtung zunehmen, d.h. die Duse erweitert

werden muss. Im engsten Querschnitt wird die ortliche Schallgeschwindigkeit erreicht.

In einem adiabaten Diffusor soll der Druck durch Verzogerung einer Stromung erhoht

werden. Letzteres ist nach der Energiebilanz notwendig mit einem Anstieg der Ent-

halpie verbunden. Die Arbeitsgleichung zeigt jedoch, dass ein Druckanstieg in einer

verzogerten Stromung nur bei hinreichend kleiner Dissipation moglich ist.

33


37/64

h

s

p2 p1

h1 h2=+ +

w /212

hs

w /222

1

2

2*

(w /2)2* rev2

s1 s2

Ein Diffusor wird bei gegebenem Anfangszustand und Enddruck durch den isentropen

Diffusorwirkungsgrad sD bewertet. Er setzt den Mindestaufwand an kinetischer Ener-

gie, der bei reversibel adiabater (isentroper) Stromung zum Erreichen des vorgegebenen

Enddrucks im Zustand 2* benotigt wird, ins Verhaltnis zu dem tatsachlichen Aufwand

sD:=

[w21

(w22)rev]/2

(w21 w22)/2 = hs

h2 h1 .Dabei ist hs=h(s1, p2) h(s1, p1)> 0 wieder die isentrope Enthalpiedifferenz.

Die Berechnung des Endzustands einer Diffusorstromung erfolgt wie bei einer Duse. Die

Kontur eines Diffusors ergibt sich aus der einer Duse unter Umkehrung der Stromungs-

richtung: Im Uberschallbereich wird ein konvergenter, im Unterschallbereich ein diver-

genter Querschnittsverlauf benotigt.

Adiabate Arbeitsprozesse laufen in Turbinen und Turboverdichtern ab. Die Warmeuber-

tragunguber die Grenzen des vom Gehause der Maschinen gebildeten Kontrollraums

ist vernachlassigbar (q= 0). Im folgenden wird ein stationarer Betriebszustand voraus-

gesetzt und die meist geringen Anderungen der kinetischen und potentiellen Energie

des Arbeitsfluids beim Durchlaufen der Maschinen bleiben unberucksichtigt.

Die Energie- und Entropiebilanz sowie die Arbeitsgleichung fur die Maschinen lauten:

34


38/64

wt12 =h2 h1s2

s1 = (sirr)12

0

wt12 12 = 21

v dp mit 12 =21

Tdsirr 0 .

Eine adiabate Turbine hat die Aufgabe, aus einem Fluidstrom technische Arbeit (wt12 >0) zu gewinnen, die nach der Energiebilanz durch einen Abbau von Enthalpie aufge-

bracht wird. Die Arbeitsgleichung zeigt, dass hierzu ein Druckgefalle erforderlich ist. Die

Entropie des Arbeitsfluids kann aufgrund der Entropiebilanz beim Durchgang durch

die Maschine nicht abnehmen.

h

s

p1

p2

|hs| |wt12|

1

2

2*

|(w )t12* rev|

s1 s2

m

.

m.

wt12 < 0

q = 012

1

2

Eine obere Schranke fur die spezifische Nutzarbeit (wt12) ergibt sich nach der Ar-beitsgleichung fur den reversibel adiabaten (isentropen) Expansionsprozess

(

wt12)

2

1

v(s1, p) dp=

hs .

Hierin ist hs = h(s1, p2) h(s1, p1) < 0 die isentrope Enthalpiedifferenz. Bewertetwird eine adiabate Turbine bei gegebenem Eintrittszustand und Enddruck durch den

isentropen TurbinenwirkungsgradsT. Er vergleicht die gewonnene Nutzarbeit mit dem

Maximalwert bei reversibler Prozessfuhrung, fur die das Arbeitsfluid den Endzustand

2* erreicht:

sT:= wt12(wt12)rev

=h1 h2hs

.

35


39/64

Die Leistung einer adiabaten Turbine berechnet sich zu

P12= m

sT

hs(s1, p1, p2)< 0 .

Ein adiabater Verdichter soll den Druck eines Fluidstroms erhohen. Nach der Arbeits-

gleichung muss hierzu technische Arbeit zugefuhrt werden, die sich in einer Erhohung

der spezifischen Enthalpie wiederfindet. Die Entropie des Fluids kann beim Durchgang

durch den Verdichter nicht abnehmen.

h

s

p2

p1

hswt12

1

22*

(w )t12* rev

s1

m.

m.

wt12 > 0

q = 0121

2

Eine untere Schranke fur die spezifische Antriebsarbeit liefert die Arbeitsgleichung fur

den Fall der reversibel adiabaten (isentropen) Verdichtung

wt122

1

v(s1, p) dp= hs .

Dabei ist hs = h(s1, p2)h(s1, p1)> 0 wieder die isentrope Enthalpiedifferenz. Da dasspezifische Volumen mit wachsender Temperatur steigt, l

asst sich die Schranke durch

Verdichtung bei moglichst niedriger Temperatur herabsetzen.

Die Gute eines Verdichters wird bei gegebenem Anfangszustand und Enddruck mit

dem isentropen Verdichterwirkungsgrad sV beschrieben. Dieser vergleicht die Minde-

stantriebsarbeit, die bei reversibler Prozessfuhrung zum Erreichen des Drucks p2 im

Zustand 2* erforderlich ist, mit dem tatsachlichen Aufwand:

sV

:=(wt12)rev

wt12=

hs

h2 h1.

36


40/64

Fur die Antriebsleistung eines adiabaten Verdichters erhalt man

P12=m

sVhs(s1, p1, p2) .

Der Mindestwert der Verdichterleistung lasst sich senken, indem die adiabate Verdich-

tung bei einem Druck p zwischen Anfangs- und Enddruck unterbrochen wird, um das

Arbeitsfluid isobar zu kuhlen, und zwar moglichst auf die Anfangstemperatur T1. Das

p, v-Diagramm zeigt als schraffierte Flache die Arbeitsersparnis (wt)rev:

p

v

m.

b

2

m.

1

a

p,T1

p,Ta

T1= const

sb= const

s1= const

ab

1

2

p1

p

p2

Fur ein ideales Gas mit ciGp = const. erhalt man fur den Zwischendruck p, der auf

gleiche Stufenverhaltnisse fuhrt,

p

/p1 =p2/p

,

den kleinsten Wert der Mindestantriebsarbeit (wt)revbeider Verdichterstufen, wenn die

Ruckkuhlung aufTb= T1 erfolgt.

Warmeubertrager sind Apparate, in denen Warme von einem warmen Fluid A auf ein

kaltes Fluid B ubertragen wird. Behandelt wird die Bauform des Rekuperators, der

von den Fluiden in zwei getrennten Kanalsystemen durchstromt wird. Der Warme-

transport vom heien zum kalten Fluid erfolgt durch eine warmedurchlassige Wand.

37


41/64

Der Warmeverlust an die Umgebung ist im allgemeinen vernachlassigbar, so dass der

Warmeubertrager als ganzes einen adiabaten Kontrollraum bildet. Prinzipiell ist ein

stationarer Betrieb moglich.

Folgende Schaltzeichen sind gebrauchlich:

A A

B B

A A

B

B

A

A

B

B

Durchgezeichnet wird immer der Stromungsweg des warmeaufnehmenden Fluids.

Im Warmeubertrager konnen die Fluide gleich- oder gegensinnig oder im Kreuzstrom

zueinander gefuhrt werden, wobei die Gegenstromschaltung thermodynamisch am guns-

tigsten ist. Der Vergleich der Temperaturverlaufe uber der Lange von Gleich- und

Gegenstromwarmeubertragern im stationaren Betrieb zeigt, dass der kalte Strom nur

bei Gegenstromschaltung eine Austrittstemperatur B2 erreichen kann, die uber der

Austrittstemperatur A2 des warmen Stroms liegt. Die Bezeichnung folgt dabei dem

Grundsatz, dass eintretende Strome den Index 1 und austretende den Index 2 erhalten.

38


42/64

0 Lx

0 Lx

A1

B1

A2

B2

Gleichstrom Gegenstrom

B2

A1

B1

A2

Im folgenden wird ein stationarer Gegenstromwarmeubertrager mit vernachlassigbaren

Anderungen der spezifischen kinetischen und potentiellen Energien der Fluidstrome

vorausgesetzt.

B1

A2 A

B

A1

B2

mB.

mA.

mA.

mB.

kalt,

,warmQ.

dQ.TA

TB

adiabat

wrme-

durchlssig

Die Leistungsbilanz fur einen Teilbereich des Warmeubertragers liefert eine Kopplung

der spezifischen EnthalpienhA undhB beider Strome in einem beliebigen Querschnitt:

mA(hA hA2) = mB(hB hB1) .

Dabei wird ein Austauschprozess bezuglich der Enthalpiestrome erkennbar: Die Abnah-

me des einen ist gleich dem Zuwachs des anderen. Die Ausdehnung des Bilanzgebiets

auf den gesamten Warmeubertrager ergibt

mA(hA1 hA2) = mB(hB2 hB1) .

39


43/64

Der ubertragene Warmestrom Q folgt aus einer Leistungsbilanz fur die B-Seite des

Warmeubertragers

Q= mB(hB2 hB1) = mA(hA1 hA2) .

Die Kopplung der spezifischen Enthalpien hA und hB in einem Querschnitt erlaubt

die Zuordnung der Temperaturen beider Strome zu der spezifischen Enthalpie hB

des warmeaufnehmenden Stroms. Druckverluste in beiden Kanalsystemen werden ver-

nachlassigt.

1. Tritt kein Phasenwechsel ein und gilt cpA

= const. und cpB

= const., folgt mit

den kalorischen Zustandsgleichungen h= cp beider Fluide furp = const. einlinearer Temperaturverlauf= (hB)

A =A2+ mB

mA cpA(hB hB1)

B =B1+hB hB1

cpB.

hB1

A1

B1

A2 B2

hB2

hB

2. Kondensiert der alsuberhitzter Dampf zugefuhrte warme Strom, kann er wahrend

des Phasenwechsels bei gleichbleibender Temperatur Warme abgeben. Ist dabei

jeweils im dampfformigen und flussigen Zustand cpA = const. und weiter cpB =

const., ergibt sich folgender Temperaturverlauf:

40


44/64

hB1

A1

B1

A2

B2

hB2 hB

min

hB*

B*

A A(p )s

Die kleinste Temperaturdifferenz tritt an der Stelle des Kondensationsbeginns mit

hA = h

A(pA) auf, die als Pinchpoint bezeichnet wird. Die Leistungsbilanz liefert

die zugehorige EnthalpiehBund die kalorische Zustandsgleichung des Fluids B die

TemperaturBam Pinch. Damit erhalt man fur die kleinste Temperaturdifferenz

min=sA(pA) B=sA(pA) [B1+

mAmB cpB

(hA hA)] ,

mit sA(pA) als der Siedetemperatur des Stoffes A beim Druck pA.

3. Siedet der als unterkuhlte Flussigkeit zugefuhrte kalte Strom, nimmt er wahrend

des Phasenwechsels Warme ohne Temperaturerhohung auf. Fur cpA = const.

und cpB = const. im jeweils flussigen und dampfformigen Zustand, erhalt man

folgenden Temperaturverlauf:

hB1

A1

B1

A2

B2

hB2 hB

min

hB

B(p )Bs

A*

Der Pinchpoint liegt hier bei Siedebeginn mit hB = h

B(pB). Fur die kleinste

41


45/64

Temperaturdifferenz ergibt sich mit der Leistungsbilanz und der kalorischen Zu-

standsgleichung fur das Fluid A

min=

A sB(pB) = [A2+ mBmA cpA (h

B hB1)] sB(pB) ,

wobei sB(pB) die Siedetemperatur des Stoffes B beim DruckpB bedeutet.

Der Exergieverluststrom im Warmeubertrager folgt aus einer Entropiebilanz fur das

adiabate Gesamtsystem

EV =TU Sirr = TU[ mA(sA2 sA1) + mB(sB2 sB1)] ,

mit sA und sB als den spezifischen Entropien der beiden Fluide. Mit Exergiebilanzen

fur eine Scheibe des Warmeubertragers und die darin enthaltenen Teilsysteme auf

der warmen und kalten Seite gelingt eine Aufschlusselung nach den physikalischen

Ursachen:

dEV=TU TA TBTA TB

dQ TU

mA vATA

dpA+mB vB

TBdpB

.

Der erste Summand beschreibt den Exergieverluststrom aufgrund des bei endlicher

TemperaturdifferenzTATBder Fluideubertragenen Warmestroms dQ. Dieser Verlustuberwiegt im allgemeinen und ist dann besonders gro, wenn das Temperaturniveau

insgesamt niedrig ist. Der zweite Summand beschreibt den durch die Reibungsdruck-

verluste in den Kanalen dpA < 0 und dpB


46/64

Q > 0.

Tm

T0mQ < 00

.

P < 0WKM

Warmekraftmaschinen sollen aus einem entropiebelade-

nen Antriebswarmestrom Q > 0, der bei der thermo-

dynamischen Mitteltemperatur Tm zugefuhrt wird, eine

entropiefreie mechanische Leistung P >0 gewinnen und

an einen Nutzer abgeben. Zur Definition der thermody-

namischen Mitteltemperatur siehe Abschnitt 7. Der Be-

trieb ist nur moglich, wenn der mit dem Antriebswarme-

strom eingebrachte Entropiestrom zusammen mit dem

Strom Sirr der in der Maschine erzeugten Entropie mit einem Abwarmestrom Q0


47/64

Q < 0.

Tm

T0mQ > 00

.

P > 0WP

Warmepumpen, die zur Heizung dienen, nehmen bei

niedrigem Temperaturniveau T0m, im allgemeinen bei

Umgebungstemperatur T0m = TU, einen Warmestrom

Q0 > 0 auf und wandeln ihn in einen Warmestrom Q TU an einen

Verbraucher abgegeben wird. Dazu benotigen sie eine me-

chanische Antriebsleistung P > 0. Die Leistungs- und

Entropiebilanz lautet wie bei der Warmekraftmaschine

und ergibt als Guteziffer die Leistungszahl

:= QP

=rev

1 T0m SirrP

rev ,

mit rev =Tm/(Tm T0m).

Eine Sonderform der Warmepumpe ist die Kaltemaschine. Warme wird hier nicht aus

der Umgebung, sondern bei einer tiefen Temperatur T0m < TU aus einem Kuhlraum

aufgenommen. Die Warmeabgabe Q


48/64

Kette von Maschinen und Apparaten, in denen ein stationarer Flieprozess ablauft.

Summiert man die Energiebilanzen zwischen den Querschnitten i und k uber alle Tei-

le der Kette auf, ergibt sich eine Gesamtbilanz, in der sich netto Warme und Arbeit

kompensieren

wt+ qzu |qab| = 0 .

Hierin ist wt =

wtik, qzu =

(qik)zu und qab =

(qik)ab. Die spezifischen Groen

bedeuten die auf den Massenstrom bezogenen Energiestrome. In derselben Weise erhalt

man mit =

ik aus der Arbeitsgleichung

wt = v dp ,wobei das Umlaufintegraluber die Folge von Zustandsgleichungen zu erstrecken ist, die

das Arbeitsmittel vom Anfangszustand bis zu dessen Wiederkehr durchlauft. WegenTds=

dh v dp und dh= 0 gilt auch

(wt ) =

Tds .

Imp, v- undT, s-Diagramm bilden die Zustandsanderungen eines Kreisprozesses in sich

geschlossene Linienzuge. Diese werden bei einem Warmekraftmaschinenprozess wegenwt < 0 in beiden Diagrammen im Uhrzeigersinn durchlaufen. Man sagt, der Prozess

ist rechtslaufig. Bei Warmepumpen und Kaltemaschinen mit wt >0 wird dagegen ein

linkslaufiger Prozess benotigt.

p

v

T

s

WKM

WP

WKM

WP

Der Betrag der Flache zwischen den Zustandslinien ist fur die Warmekraftmaschine in

beiden Diagrammen die Summe der spezifischen Nutzarbeit (wt) und der spezifischen

45


49/64

dissipierten Energie des Prozesses. Bei der Warmepumpe und Kaltemaschine ist der

Betrag der Flachen gleich der Summe der zum Antrieb benotigten spezifischen Arbeit

wt und der spezifischen dissipierten Energie .

10 Der Clausius-Rankine Prozess und seine Umkehrung

Ein Beispiel eines Warmekraftmaschinenprozesses ist der Clausius-Rankine Prozess,

der im reversiblen Grenzfall in Dampfkraftanlagen einfachster Ausfuhrung realisiert

ist. Der Prozess besteht aus zwei Isobaren und zwei Isentropen und fuhrt stets durch

das Nassdampfgebiet. Das Arbeitsfluid ist in der Regel Wasser.

Die einfache Dampfkraftanlage besitzt vier Komponenten.

1

0

2

3

Dampfturbine

Kondensator

Dampferzeuger

Speisewasser-

pumpe

P > 001

Q > 012

.

P < 023

Q < 030

.

Die adiabate Speisewasserpumpe mit der Leistungsaufnahme P01 saugt im allgemei-

nen siedendes Kondensat beim Kondensatordruck p0 an und verdichtet es mit dem

isentropen WirkungsgradsV auf den Kesseldruck p. Das Wasser gelangt dann in den

46


50/64

Dampferzeuger, wo es durch Zufuhr des Warmestroms Q12 im wesentlichen isobar auf

Siedetemperatur erwarmt, verdampft unduberhitzt wird. Der Frischdampf expandiert

in der adiabaten Dampfturbine mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad sT unter

Abgabe der Leistung |P23| auf den Kondensatordruck. Im Kondensator wird der Turbi-nenabdampf durch Abgabe des Warmestroms | Q30| an das Kuhlwasser im wesentlichenisobar verflussigt.

Dem generellen Aufbau einer Warmekraftmaschine entsprechend wird der Anlage ein

Antriebswarmestrom Q12 zugefuhrt, und sie gibt eine Nutzleistung

(P) = |P23| P01

sowie einen Abwarmestrom | Q30| ab, wobei der EigenbedarfP01 zum Antrieb der Spei-sewasserpumpe nur etwa 2% der Turbinenleistung ausmacht.

Die Zustandsanderungen des Arbeitsmittels stellen sich im T, s- und h, s-Diagramm

wie folgt dar:

x=1

Kondensatordruck

p0

K

TLSL

T

s

1

TU

x=0

Kesseldruck

p

2

30

1

3

47


51/64

K

TL

SL

h

s

Kondensator-druck p0

Kesseldruckp

x=1

x=00

1 1

2

3 3

|wt23|

Der Turbinenabdampf ist im allgemeinen nasser Dampf mit einem Dampfgehalt x >

0, 9, um Erosion der Turbinenschaufeln durch Tropfenschlag zu vermeiden. Tiefer Kon-

densatordruck erhoht die spezifische Nutzarbeit|wt23| der Dampfturbine. Nach untenist der Kondensatordruckp0 durch die Bedingung beschrankt, dass die Temperatur T0

des kondensierenden Dampfesuber der Temperatur der Umgebung liegen muss, um den

Warmeubergang an das Kuhlwasser zu ermoglichen. Dies erfordert p0 > ps(TU), mitps(TU) als dem Sattigungsdruck des Wassers bei der Temperatur TU, vgl. die Dampf-

druckkurve. Praktisch haben Kondensatoren Drucke einer Groenordnung von 0,05

bar, d.h. im Kondensator herrscht Vakuum.

Der Energieumsatz in den einzelnen Komponenten ergibt sich aus Energiebilanzen fur

die jeweiligen Kontrollraume. Der thermische Wirkungsgrad

th= (wt01+ wt23)/q12der einfachen Dampfkraftanlage folgt daraus mit Werten von 0,3 bis 0,35. Schaltungs-

varianten fuhren zu einer Verbesserung, wobei fur kombinierte Gas-Dampf-Kraftwerke

Werte bis nahe 60% erreicht werden.

In Kaltdampfkompressionswarmepumpen und -kaltemaschinen lauft der Clausius-Rankine

Prozess mit umgekehrten Umlaufsinn ab, wobei die Expansionsmaschine aus Grunden

der Betriebssicherheit durch ein adiabates Drosselventil ersetzt ist.

48


52/64

Q < 012

.

1

2

3

0

Q > 030

.

P > 001

Kondensator

Verdichter

Verdampfer

Drosselventil

V

R

Als Arbeitsfluide werden Ammoniak oder fluorierte Derivate von Methan und Ethan

verwendet.

Im Verdampfer nimmt das Arbeitsfluid bei tiefem Temperaturniveau in einem im we-

sentlichen isobaren Prozess beim Druck p0 den Warmestrom Q30 auf. Dabei geht das

Arbeitsfluid aus einem Zustand nassen Dampfes in trocken gesattigten Dampf uber.

Dieser wird von dem adiabaten Verdichter mit dem isentropen Verdichterwirkungsgrad

sV angesaugt und auf den Kondensatordruck p verdichtet. Aufgrund der Temperatur-

erhohung wahrend der Verdichtung kann der Dampf bei hoherem Temperaturniveau

Warme abgeben. Dies geschieht im Kondensator, wo der Warmestrom | Q12| ausgekop-

pelt wird. In einem im wesentlichen isobaren Prozess beim Druck p wird der Dampf

dabei in siedende Flussigkeit uberfuhrt. Durch adiabate Drosselung des Kondensats

mit Teilverdampfung sinkt die Temperatur wieder auf das Niveau im Verdampfer, so

dass erneut Warme aufgenommen werden kann.

Die Heizwarmepumpe nimmt den Warmestrom Q30bei Umgebungstemperatur z.B. aus

der Luft auf und gibt den Warmestrom Q12 bei einem durch den Warmeverbraucher

49


53/64

vorgegebenen Temperaturniveau ab.

x=1

Kondensatordruck

pK

TLSL

T

s

1

TU

x=0

2

3 0

1

Verdampferdruck

p0

Heizwrmepumpe

TR

Um das fur den Warmeubergang in Kondensator und Verdampfer benotigte Tempera-

turgefalle sicherzustellen, mussen die Drucke in beiden Apparaten so gewahlt werden,

dass

p0 < ps(TU) und p > p

s(TR)

gilt, wobeiTRdie Rucklauftemperatur des Warmetragers im Warmeverteilungssystem

bedeutet.

Bei der Kaltemaschine wird der Warmestrom Q30 bei der Temperatur T0 eines Kuhl-

raums aufgenommen und der Warmestrom| Q12| bei der Umgebungstemperatur ab-gefuhrt. Das notige Temperaturgefalle in den warmeubertragenden Apparaten erfordert

fur den Verdampfer- und Kondensatordruck p0 und pdie Bedingung

p0< ps(T0) und p > p

s(TU) .

Die Energieumsatze in den einzelnen Apparaten und Maschinen ergeben sich wieder

aus Energiebilanzen fur die einzelnen Kontrollraume.

50


54/64

x=1

Kondensatordruck

pK

TLSL

T

s

1

TU

x=0

2

3 0

1

Verdampferdruck

p0

Kltemaschine

T0

Zu beachten ist, dass die Zustandsanderung in dem adiabaten Drosselventil bei kon-

stanter spezifischer Enthalpie

h2 = h3

erfolgt. Aus den Energieumsatzen ergeben sich die Leistungszahlen

=q12

wt01und K=

q30wt01

fur die Warmepumpe und Kaltemaschine.

11 Mengenberechnung fur Verbrennungsprozesse

Verbrennung ist eine Oxidationsreaktion, bei der die chemische Energie eines Brenn-

stoffes in innere Energie eines heien Verbrennungsgases und Asche umgewandelt wird.

Der zur Verbrennung benotigte Sauerstoff wird abgesehen von Sonderfallen wie bei

Geschutzen oder Raketentriebwerken mit Luft zugefuhrt. Viele technische Feuerungen

arbeiten als stationares Fliesystem.

51


55/64

Feuerung

Luft

Brennstoff

Verbrennungsgas

Asche

Im allgemeinen wird eine vollstandige Verbrennung angestrebt, d.h. der Brennstoff ver-

brennt ohne Rest und die Verbrennungsprodukte erreichen die hochste Oxidationsstufe.

Bei unvollstandiger Verbrennung sind diese Kriterien nicht erfullt. Ein Beispiel ist die

Bildung von Kohlenmonoxid statt CO2 in einigen Betriebszustanden des Ottomotors.

Im weiteren wird vollstandige Verbrennung vorausgesetzt. Dabei werden folgende Re-

aktionen zugrunde gelegt:

C + O2 = CO2

H2+1

2O2= H2O

S + O2 = SO2 .

Unberucksichtigt bleibt die Bildung von Stickoxiden. Als Verbrennungsluft wird ver-einfachend eine trockene Modell-Luft aus Sauerstoff und Pseudostickstoff verwendet.

Die Zusammensetzung nach Stoffmengen- und Massenanteilen betragt

yLO2 = 0,21 LO2

= 0,232

yLN2 = 0,79 LN2

= 0,768.

Die Mengenberechnung soll die zur Verbrennung eines Brennstoffs benotigte Luftmen-

ge sowie die Menge und Zusammensetzung der Verbrennungsprodukte liefern. Ist eine

Brennstoffanalyse nach Substanzen bekannt, lassen sich die Mengenverhaltnisse aus Re-

aktionsgleichungen ablesen und die Rechnung wird auf Stoffmengenbasis durchgefuhrt.

Ist dagegen nur eine Elementaranalyse nach Massenanteilen der im Brennstoff enthal-

tenen chemischen Elemente vorhanden, erfolgt die Rechnung auf Massenbasis.

52


56/64

A) Brennstoffgemisch chemisch definierter Substanzen

1. Verbrennungsluftmenge

Charakteristisch fur einen Brennstoff ist der molare Mindestsauerstoffbedarf

Omin:=(nO2)min

nB,

wobei (nO2)minden zur vollstandigen Verbrennung des Brennstoffstroms nBmindestens

benotigten Sauerstoffstrom bedeutet. Bei Brennstoffgemischen setzt sich der molare

Mindestsauerstoffbedarf aus Beitragen der Komponenten zusammen

Omin

= j

yBj

Omin,j

.

Hierin ist yBj der Stoffmengenanteil der brennbaren Komponente j im Brennstoff und

Omin,j der molare Mindestsauerstoffbedarf zur vollstandigen Verbrennung der reinen

Komponente j . Die Groe Omin,j lasst sich als Verhaltnis der stochiometrischen Zahlen

des Sauerstoffs und der Brennstoffkomponente j in der Gleichung fur die Oxidations-

reaktion ablesen. Beispielsweise folgt aus

CH3OH +3

2

O2= CO2+ 2H2O

das Verhaltnis

Omin,CH3OH=3

2

kmolO2kmol CH3OH

.

Alternativ kann Omin,jnach einer Formel bestimmt werden, die sich unter Berucksichti-

gung des Sauerstoffgehalts des Brennstoffs aus dem Sauerstoffbedarf zur Verbrennung

der Elemente Kohlenstoff, Wasserstoff und Schwefel im Brennstoff ergibt:

Omin,j =AC,j+1

4AH,j+ AS,j 1

2AO,j.

Dabei bedeuten dieAi,j die Zahl der Atome des Elements i je Molekul der Brennstoff-

komponente j und sind aus der chemischen Formel direkt zu entnehmen.

Aus dem molaren Mindestsauerstoffbedarf Omin eines Brennstoffs ergibt sich mit dem

Stoffmengenanteil yLO2 des Sauerstoffs in der Verbrennungsluft der molare Mindestluft-

bedarf

Lmin:=(nL)min

nB=

Omin

yLO2.

53


57/64

Dabei ist (nL)min der zur vollstandigen Verbrennung mindestens benotigte Luftstrom.

Technischen Feuerungen wird im allgemeinen ein Luftstrom nL > (nL)min zugefuhrt.

Dieses mehr an Luft wird durch das Luftverhaltnis

= nL

(nL)min

beschrieben, das im Gegensatz zum Mindestluftbedarf ein einstellbarer Betriebspara-

meter ist. Sollen allein Inhomogenitaten des Brennstoff-Luft-Gemisches kompensiert

werden, wird 1, 1 gewahlt. Zum wirksamen Senken der adiabaten Verbrennung-

stemperatur, s.u., werden dagegen groe Werte = 3 5 benotigt.

Mit dem tatsachlich zugefuhrten Luftstrom nL und Luftverhaltnis ergibt sich das

molare Brennstoff-Luft-Verhaltnis zu

L=nLnB

= Lmin .

2. Menge und Zusammensetzung des Verbrennungsgases

Das Verbrennungsgas enthalt bei vollstandiger Verbrennung die funf Komponenten

CO2, H2O, SO2, N2und O2. Die CO2, H2O und SO2-Mengen setzen sich zusammen aus

einem bei der Verbrennung entstandenen und einem vom Brennstoff mitgefuhrten An-

teil. Zur N2-Menge im Verbrennungsgas tragen Verbrennungsluft und Brennstoff bei.

Die O2-Menge stammt aus der uberschussigen Verbrennungsluft. Gebundener Stick-

stoff und ungebundener Sauerstoff im Brennstoff werden ausgeschlossen. Bilanzen fur

die Elemente C, H, S, N, und O ergeben fur die Verbrennungsgasmengen nVj, bezogen

auf den Brennstoffstrom nB:

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NCO2 :=nVCO2

nB=

jyBj AC,j+ y

BCO2

NH2O :=nVH2O

nB=j

yBjAH,j

2 + yBH2O

NSO2 := nVSO2

nB=j

yBj AS,j+ yBSO2

NN2 := nVN2

nB= yLN2 Lmin+ y

BN2

NO2 :=

nVO2nB = y

LO2( 1) Lmin .

Summiert wirduber alle brennbaren Komponenten j mit den Stoffmengenanteilen yBj

des Brennstoffs. Die Molanteile yBCO2, yBH2O

, yBSO2 und yBN2

beziehen sich auf die iner-

ten Bestandteile CO2, H2O, SO2 und N2 des Brennstoffs. Mit yLN2

und yLO2 sind die

Stoffmengenanteile von Stickstoff und Sauerstoff in der Verbrennungsluft bezeichnet.

Aus den bezogenen Mengen der einzelnen Verbrennungsgase folgt die gesamte, auf den

Brennstoffstrom nB bezogene Verbrennungsgasmenge

NV :=j

nVj/nB=NCO2+ NH2O+ NSO2+ NN2+ NO2.

Hieraus ergeben sich die Stoffmengenanteile der einzelnen Komponentenj im Verbren-

nungsgas zu

yVj =Nj/NV .

B) Brennstoffgemisch chemisch undefinierter Substanzen

Bekannt ist die Elementaranalyse, d.h. der Massenanteilc,h,s,o,n,wund ader chemi-

schen Elemente und ihrer Vertreter C, H2, S, O2 und N2 sowie von Wasser und Asche

im Brennstoff. Dabei gilt die Schliebedingung

c + h + s + o + n + w+ a= 1 .

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1. Verbrennungsluftmenge

Kennzeichnend fur einen Brennstoff ist der spezifische Mindestsauerstoffbedarf

omin:=( mO2)min

mB.

Dabei bedeutet ( mO2)min den zur vollstandigen Verbrennung des Brennstoffmassen-

stroms mB mindestens erforderlichen Sauerstoffmassenstrom. Der spezifische Sauer-

stoffbedarf ergibt sich aus Beitragen der einzelnen Bestandteile der Elementaranalyse

omin=j

Bj omin,j o ,

mit Bj als dem Massenanteil und omin,jals dem spezifischen Mindestsauerstoffbedarf

zur vollstandigen Verbrennung des brennbaren Bestandteils j der Elementaranalyse.

Der letzte Term berucksichtigt den Eigenbeitrag des Brennstoffs zum Sauerstoffbedarf.

Dabei gilt

omin,j = MO2

MjOmin,j,

wobei Mj die molare Masse des brennbaren Bestandteils j und Omin,jseinen molaren

Mindestsauerstoffbedarf bezeichnet. Mit der bekannten rechten Seite folgt

omin= 2, 664 c + 7, 937 h + 0, 998 s o .

Hieraus ergibt sich mit dem Massenanteil LO2 des Sauerstoffs in der Verbrennungsluft

ein spezifischer Mindestluftbedarf

lmin:=( mL)min

mB=

ominLO2

.

Dabei ist ( mL)min der zur vollstandigen Verbrennung mindestens erforderliche Luft-

massenstrom.

Praktisch wird die Feuerung mit der spezifischen Luftmenge

l:=mL

mB

=

lmin

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betrieben, wobei ein Luftmassenstrom mL > ( mL)min bei einem Luftverhaltnis > 1

zugefuhrt wird.

2. Menge und Zusammensetzung des Verbrennungsgases.

Mengenbilanzen fur die Elemente und ihre Vertreter C, H2, S, O2 und N2 liefern Ver-

brennungsgasmassenstrome mVj der Komponenten CO2, H2O, SO2, N2und O2, bezogen

auf den Brennstoffmassenstrom. Als bekannt vorausgesetzt werden die molaren Mas-

sen der brennbaren Elemente und ihrer Oxidationsprodukte sowie die stochiometrischen

Zahlen in den Oxidationsreaktionen. Es folgt

mCO2:=mV

CO2mB

= 3, 664 c

mH2O:=mVH2O

mB= 8, 937 h + w

mSO2 :=mVSO2

mB= 1, 998 s

mN2 :=mVN2mB

=LN2 lmin+ n

mO2 :=mVO2mB

=LO2( 1) lmin .

Dabei sindLN2 undLO2

die Massenanteile von Stickstoff und Sauerstoff in der Verbren-

nungsluft.

Die gesamte auf den Brennstoffmassenstrom mB bezogene Verbrennungsgasmenge be-

tragt

mV =j

mj =m

CO2+ mH2O+ m

SO2+ mN2+ m

O2.

Daraus ergibt sich die Zusammensetzung des Verbrennungsgases nach Massenanteilen

Vj =m

j/m

V .

Das Ergebnis der Rechnung muss die Massenbilanz der Feuerung, bezogen auf den

Brennstoffmassenstrom, erfullen

1 + lmin= m

V+ a .

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12 Leistungsbilanz von Verbrennungsprozessen

Verbrennungsprozesse konnen grundsatzlich in geschlossenen oder offenen Systemenablaufen, und vor dem Aufstellen einer Energie- oder Leistungsbilanz ist die Frage

nach dem Systemtyp zu klaren. Fur das folgende wird ein stationares Fliesystem vor-

ausgesetzt. Zugefuhrt wird ein Brennstoffmassenstrom mB bei der Temperatur Bund

ein Luftmassenstrom bei der TemperaturL. Unter Vernachlassigung der Aschebildung

entsteht daraus ein Massenstrom mV an Verbrennungsgas, der die Feuerung mit der

TemperaturV verlasst.

Feuerung

mB B,.

mL L,.

mV V,.

Q < 0.

P < 0

Alle gasformigen Strome sollen dem Stoffmodell des idealen Gasgemisches genugen. Bei

festen und flussigen Brennstoffen wird die Druckabhangigkeit der spezifischen Enthalpie

vernachlassigt. Damit werden die spezifischen EnthalpienhB,hLundhVvon Brennstoff,

Luft und Verbrennungsgas allein Funktionen der Temperatur. Kann man Anderungen

der kinetischen und potentiellen Energie auer acht lassen, lautet die Leistungsbilanz

P+ Q= mVhV(V) mLhL(L) mBhB(B)Bei Verbrennungsmotoren ist dieubertragene mechanische Leistung Pwesentlich, wahrend

bei vielen anderen Anwendungen nur ein Warmestrom Q < 0 an die Umgebung ab-

gefuhrt wird.

Da sich bei der Verbrennung die chemische Natur der beteiligten Stoffe andert, heben

sich aus der Leistungsbilanz die Enthalpiekonstanten nicht heraus. Die Leistungsbilanz

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wird daher so umgeschrieben, dass Enthalpiedifferenzen derselben Stoffe bei unter-

schiedlichen Temperaturen und eine Enthalpiedifferenz unterschiedlicher Stoffe einer

frei wahlbaren Bezugstemperatur 0 in Form des spezifischen Heizwertes HU(0) er-

scheinen

P+ Q=

mB {mV[hV(V) hV(0)] lmin[hL(L) hL(0)] [hB(B) hB(0)] HU(0)}

Die spezifische Verbrennungsgasmenge mV mit den Massenanteilen Vj der Kompo-

nenten und der spezifische Mindestluftbedarf lmin folgen aus der Mengenberechnung

der mit dem Luftverhaltnis betriebenen Feuerung. Die Enthalpiedifferenzen in deneckigen Klammern sind nach dem Modell der idealen Gasmischung unter Benutzung

mittlerer isobarer spezifischer Warmekapazitaten ciGMp () zu bestimmen. Der spezifi-

sche Heizwert ist die Differenz der Enthalpien von Brennstoff und Luft einerseits und

den Verbrennungsprodukten andererseits, genommen bei derselben Temperatur und

bezogen auf die Masse des Brennstoffs

Hu(0) =hB(0) + lminhL(0) mVhV(0) . (1)

Er ist eine experimentell zu ermittelnde Groe. Wie die Leistungsbilanz einer gekuhl-

ten Feuerung mit P= 0 zeigt, ist der Heizwert als Nutzwarmestrom bezogen auf den

Brennstoffmassenstrom ( Q/mB) messbar, wenn Brennstoff und Luft bei der Bezug-stemperatur0zugefuhrt werden und das Verbrennungsgas mit der Temperatur0die

Feuerung verlasst.

Der spezifische Heizwert ist eine Brennstoffeigenschaft und nicht vom Luftverhaltnis

abhangig. Denn der Beitrag deruberschussigen Luft, die sich im Verbrennungsgas wie-

derfindet, hebt sich bei der Differenzbildung heraus. Da auch der Luftstickstoff inert ist,

kann der spezifische Heizwert als negative spezifische Reaktion

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Formelsammlung 2006