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Formelsammlung in Physik

Inhaltsübersicht

1 Einheiten, Grössenordnungen und Konstanten 2

2 Mechanik 4

2.1 Kinematik von Massenpunkten: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . 4

2.2 Dynamik von Massenpunkten: Kraft, Impuls, Drehmoment, Drehimpuls . . . . . . 6

2.3 Hydrostatik: Druck, Dichte, Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Hydrodynamik: Bernoulli, Hagen-Poiseuille, Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Mechanik des starren Körpers: Schwerpunktsatz, Trägheitsmoment, Elastizität . . . 9

2.6 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Kepler’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Analogie Translation - Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Schwingungen: Harmonische, gedämpfte, erzwungene Schwingung, Pendel 12

4 Wellen: Stehende Welle, Eigenfrequenzen, Schwebung, Dopplereffekt 13

5 Optik: Brechung, Linsen, Beugung 15

6 Thermodynamik: Längenausdehnung, Wärme, Strahlung, Entropie, Gase 17

7 Elektromagnetismus 20

7.1 Elektrizität: Coulomb, ~E-Feld, Spannung, Strom, Widerstand, Elektrolyse, Kapazität 20

7.2 Magnetismus: Magnetische Flussdichte, Lorentzkraft, Induktion, Spulen . . . . . . . 23

7.3 Gleichstromkreise (DC): RC, RL, RLC Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.4 Wechselstromkreise (AC): R, L, C, Filter, Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8 Quantenphysik: De Broglie, Heisenberg, Photonenenergie, Bindungsenergie 28

9 Spezielle Relativitätstheorie: Inertialsysteme, Einstein 29

10 Kernphysik: Kernkraft, Bindungsenergie, Radioaktivität, Halbwertszeit 30

11 Tabellen 33

Griechisches Alphabet:

A α AlphaB β BetaΓ γ Gamma∆ δ DeltaE ε EpsilonZ ζ Zeta

H η EtaΘ θ, ϑ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ Mü

N ν NüΞ ξ XiO o OmikronΠ π PiP ρ, ̺ RhoΣ σ, ς Sigma

T τ TauY υ YpsilonΦ φ, ϕ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

c©Adrian Wetzel 1

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r

1 Einheiten, Grössenordnungen und Konstanten

SI-Basiseinheiten

Symbol Bezeichnung Einheit

t, T Zeit (time) s Sekunde

r, ~r, x, s

∆x, ∆y, ∆z

Länge, Ort, Strecke,

Verschiebungm Meter

m Masse (mass) kg Kilogramm

n Stoffmenge mol Mol

I Stromstärke (current) A Ampere

T, ϑ Temperatur K, ◦C Kelvin, Grad Celsius

IV Lichtstärke cd Candela

Abgeleitete SI-Einheiten

v, ~v, c Geschwindigkeit (velocity) ms

Meter pro Sekunde

p, ~p Impuls (momentum) kg ms

Kilogramm · Meterpro Sekunde

a, ~a, gBeschleunigung

(acceleration)ms2

Meter pro Quadratsekunde

F, ~F Kraft (Force) N = kg ms2

Newton

A Fläche (Area) m2 Quadratmeter

V Volumen m3 Kubikmeter

p Druck (pressure) Pa = Nm2

Pascal

ρ Dichte (density) kgm3

Kilogramm pro Kubikmeter

W, E Arbeit (Work), Energie J = N m Joule

U, Q,∆Q Innere Energie, Wärme J = N m Joule

P Leistung (Power) W = Js

Watt

f Frequenz (frequency) Hz Hertz = Sekunde−1

ω, ~ω Winkelgeschwindigkeit 1s

rad pro Sekunde

M, ~M Drehmoment (torque) N m Newton · Meter

L, ~L Drehimpuls (Drall) kg m2

s

Kilogramm · Quadratmeterpro Sekunde

J, I, Θ Trägheitsmoment (Inertia) kgm2 Kilogramm · QuadratmeterQ, q Ladung (charge) C = A s Coulomb

U Spannung (voltage) V = kg m2

s3 AVolt

R Widerstand (Resistance) Ω = kg m2

s3 A2Ohm

C Kapazität (Capacitance) F = s4 A2

kg m2Farad

L Induktivität (inductance) H = kg m2

s2 A2Henry

B Magnetische Flussdichte T = kgs2 A

Tesla

c©Adrian Wetzel 2

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Ko

ns

tan

ten

Grössenordnungen, SI-Vorsätze

Bezeichnung Symbol Multiplikator

Tera T · 1012Giga G · 109Mega M · 106Kilo k · 103 = · 1000Hekto h · 102 = · 100Deka da · 101 = · 10

Bezeichnung Symbol Multiplikator

Dezi d · 10−1 = · 0.1Centi c · 10−2 = · 0.01Milli m · 10−3 = · 0.001Mikro µ · 10−6Nano n · 10−9Pico p · 10−12

Physikalische Konstanten

Konstante Wert Auf Seite...

Gravitationskonstante G = 6.674 · 10−11 Nm2 kg−2 6Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m s−1 ≈ 3 · 108 ms−1 13, 15, 29, 30Fallbeschleunigung g = 9.8067 m s−2 6, 37

Masse Elektron me = 9.1094 · 10−31 kg 30Masse Proton mp = 1.6726 · 10−27 kg 30Masse Neutron mn = 1.6748 · 10−27 kg 30Atommassen-Einheit u = 1.6605 · 10−27 kg 22, 30Elementarladung qe = 1.6022 · 10−19 C 20, 22, 30Magnetische Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 V sA−1m−1 13, 23Elektrische Feldkonstante ε0 =

1µ0 c2

= 8.8542 · 10−12 A sV−1m−1 13, 20Solarkonstante S = 1360 Wm−2 -

Hubblekonstante H0 = 70.8 km s−1 Mpc−1 -

Normdruck p0 = 1.0133 · 105 Nm−2 = 1.0133 bar 8, 19Normtemperatur T0 = 273.15K = 0

◦C 8, 19

Normvolumen ideales Gas V0 = 22.4140 · 10−3 m3mol−1 8, 19Boltzmann-Konstante kB = 1.3807 · 10−23 JK−1 18Avogadro-Konstante NA = 6.0221 · 1023 mol−1 19, 22Universelle Gaskonstante R = 8.3145 Jmol−1 K−1 19

Planck’sches Wirkungsquantumh = 6.6261 · 10−34 J s~ = h

2π= 1.0546 · 10−34 J s

28

Rydberg-Konstante Ry = 1.0968 · 107m−1 28Bohr’scher Atomradius aB = 5.2918 · 10−11 m 28Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5.6704 · 10−8 W

m2·K4 18

Ableitungen

Ableitungen beschreiben wie sich eine physikalische Grösse in Abhängigkeit einer anderen verändert.

Spezielle Bedeutung haben dabei Ableitungen nach der Zeit:

v(t) = x′(t) = dxdt

= ẋ(t) In der Physik werden Ableitungen nach der Zeit mit einem Punkt notiert.

c©Adrian Wetzel 3

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r

2 Mechanik

2.1 Kinematik von Massenpunkten

◮ Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Geschwindigkeit:Zeitliche Ortsänderung

Beschleunigung:Zeitliche Geschwindigkeitsänderung

Momentane Geschwindigkeitzur Zeit t

Mittlere Beschleunigungzwischen undt t1 2

Momentanezur Zeit t

Beschleunigung

Mittlere Geschwindigkeitzwischen undt1 t2

Dx t( )Dt

x t( )2 - x t

t t

( )1

2 1-=v =

D tv( )Dt

v( ) v( )t2 -

-

t

t t

1

2 1

=a =

ableiten ableiten

integrieren integrieren

Ortsfunktion:

m

s2

Einheit:ms

Einheit:

Einheit: [ ] = mx

t x t( )

Ordnet einemObjekt zu jeder

Zeit genau einenOrt ( ) zut

x t

v( )t = a( )t tdòx t( ) = t tdv( )ò

[ ] =v [ ] =a

v( )t x= ( ) =td ( )x t

dta( )t t x t= ( )== v( )

d tv( )dt

d ( )2x t=

d2t

Mehrdimensionale Bewegungen:

Ort: Geschwindigkeit: Beschleunigung:

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~v(t) =

vx(t)vy(t)vz(t)

~a(t) =

ax(t)ay(t)az(t)

Bahnv( )t1

a( )t1

r t( )1

r t( )2

a( )t2v( )t2

O

◮ Gleichförmige und gleichmässig beschleunigte Bewegungen

Gleichförmige Bewegung Gleichmässig beschleunigte Bewegung

Ort (Strecke):

t

x0

DxDt

v

t

DvDt

x t( )

a

Dva = Dt

v( )t

a

Dva = Dt

DxDt

v

x t( )

DxDtv =

x0

v0

t

t

t

t

xx

konstant=

= 0 konstant=

Ort (Strecke):

x(t) = v · t+ x0 x(t) = 12 · a · t2 + v0 · t + x0

Geschwindigkeit: Geschwindigkeit:

v = ∆x∆t = konstant v(t) = a · t+ v0

Beschleunigung: Beschleunigung:

a = 0 a = ∆v∆t = konstant

Spezielle Formeln der gleichmässig beschleunigten Bewegung (x0 = 0):

Ohne t : Ohne a :

x = v2 − v022 a x(t) =

12 (v + v0) t

Speziell: v0 = 0 (Bewegung aus Ruhelage)

x(t) = 12 a t2 x = v

2

2 a x(t) =12 v t

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Kin

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ati

k

◮ Galileo Galilei

• Auf der Erde fallen alle Körper ,,gleich schnell”, sofern vom Luftwiderstand abgesehenwird: Die Fallbeschleunigung (= Ortsfaktor) auf der Erdoberfläche beträgt g = 9.81m

s2.

• Die Orte verhalten sich wie die Quadrate der Zeiten: x ∝ t2, genauer: x(t) = 12g t2.

◮ Wurfbewegungen

Bewegungen in x und y-Richtung sind voneinander unabhängig (über die Zeit t gekoppelt).

Beschleunigung: ~a =

(0

−g

) • Gleichförmige Bewegung in x-Richtung und• Gleichmässig beschleunigte Bewegung in y-Richtung.

Horizontaler Wurf

y

x

v

v0x

vy

v0xa

Schiefer Wurfy

x

v

v0x

vy

v0x

v0v0y

v0x

vy

v0x

ymax

xmaxa

a

~r(t) =

(v0x · t

− 12g · t2

)

Ort~r(t) =

(v0 · cos(α) · t

v0 · sin(α) · t − 12 g · t2)

~v(t) =

(v0x

−g · t

)

Geschwindigkeit ~v(t) =

(v0 · cos(α)

v0 · sin(α) − g · t

)

y(x) =− g2 v0x2

· x2 Wurfparabel y(x) = tan(α) · x −g

2 v02 · cos2(α) · x2

ymax =v0

2 sin2(α)2 g

, xmax =v0

2 sin(2α)g

◮ Kreisbewegung: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

• Periodendauer T : Zeit für eine Umdrehung.

• Frequenz f : Anzahl Umdrehungen proZeiteinheit: f = 1

TEinheit: 1 Hertz = 1Hz = 1

s

• Winkelgeschwindigkeit ω:ω =

Winkel (Bogenmass!)Zeit ω =

∆θ∆t =

2 πT

= 2 π · f

• Bahngeschwindigkeit v:v =

Weg (Kreisumfang)Zeit (Periodendauer) v =

2π · rT

= ω · r

• Zentralbeschleunigung: az = v2

r= r · ω2 az ⊥ ~v,

⇒ az wirkt ausschliesslich ablenkend: | v | = konstant.

mr

v

m

Dqv

azm

vr

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r

2.2 Dynamik von Massenpunkten

◮ Newton’sche Axiome

1. Trägheitsprinzip:

~Fnetto =∑

~Fi = ~0 ⇔ ~v = konstant ⇔ ~a = ~0

2. Bewegungsgleichung (Aktionsprinzip):

Netto Kraft = Masse · Beschleunigung kurz:~Fnetto = m · ~a Einheit: [F ] = 1Newton = 1N = 1 kg ms2

3. Wechselwirkungsprinzip: Kraft = Gegenkraft

v = konstantm

F = 0netto

vm

F

vm

F

vm

Fnetto netto netto

m1 m2F = F-12 21

◮ Mechanische Kräfte ~F

• Gravitationskraft: FG = G m1 ·m2r2Planetenmassensiehe S. 37.

G = 6.674 · 10−11 Nm2

kg2: Gravitationskonstante.

• Gewichtskraft: FG = m · gg = 9.81m

s2: Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) auf der Erde.

r

FG -FGm1 m2

FG

m

• Spannkraft auf eine Feder: FA = k ·∆xk = ∆F

∆x= FA

l− l0 : Federkonstante. Einheit: [k] =Nm

Federn in Serie: 1ktot

= 1k1

+ 1k2

Parallel: ktot = k1 + k2 DxFA

l0

k

• Reibungskraft: FR = µ · F⊥F⊥: Anpresskraft, Normalkraft senkrecht zur Reibfläche.

µ =

µH : HaftreibungskoeffizientµG : GleitreibungskoeffizientµR : Rollreibungskoeffizient

µH > µG > µR

⇒ Tabelle S. 34.

FR

Anpresskraft:F

Bewegungs-richtung

v

Normalkraft:FN

= -FN

• Zentripetalkraft: FZ = m · v2

r= m · r · ω2 = 4 π

2 ·m · rT 2

Kraft, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten.

• Auftriebskraft: S. 8; Reibung in Fluiden: S. 9;Elektrische und magnetische Kräfte: S. 20 und S. 23.

FZ

Mr

v

m

◮ Geneigte Ebene (Schiefe Ebene)

• Gewichtskraft: ~FG = ~F⊥+ ~F‖, wobei |~FG| = FG = m·g

• Senkrechtkomponente: F⊥ = FG · cos(α)

• Parallelkomponente: F‖ = FG · sin(α)

a

a

FF

FG

FN = F-

F

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Stö

ss

e

◮ Drehmoment ~M : Kraft · Hebelarm, M = r · F

Allgemein: ~M = ~r × ~F Einheit: [M ] = N ·mDrehmoment ist Ursache für Drehbewegung: M = J · dω

dt

Hebelgesetz: F1 · r1 = F2 · r2,,Kraft · Kraftarm = Last · Lastarm.”

Dreh-Punkt

F1 F2r2r1

r2r1

M1M2

◮ Gleichgewicht: Die Summe aller

{

Kräfte ~Fnetto =∑

~Fi = ~0

Drehmomente ~Mnetto =∑

~Mi = ~0

}

ist Null.

◮ Impuls ~p : Masse · Geschwindigkeit: ~p = m · ~v

Einheit: [p] = kg · ms

Der Gesamtimpuls isteine Erhaltungsgrösse:

}

~Fext = ~0 ⇔ ~ptot =n∑

i=1

~pi = konstant.

vm

p = m v

◮ Drehimpuls ~L (Drall) ~L = m · ~r × ~v

| ~L | = m · r · v · sin(α) Einheit: [L] = kg · m2

s

~L ist eine Erhaltungsgrösse: ~Mext = ~0 ⇔ ~L = konstant.

Drallsatz: Drehmoment = zeitliche Drehimpulsänderung:

~M = d~Ldt

= ~̇L(t) ≈ ∆~L∆t

v

rM

m

Bahna

L = mr ´ v

v

Für starre Körper: L = J · ω Trägheitsmoment J siehe S. 9.

◮ Verallgemeinerung von ~F = m · ~a

Kraft = zeitliche Impulsänderung: ~F =d~pdt

= ~̇p(t) ≈ ∆~p∆t~F = m(t) · ~a + ṁ(t) · ~v (Produktregel), bei zeitabhängigen Massen (Rakete).

◮ Stossprozesse

Vollständig Teilelastischer Vollständig

elastischer Stoss Stoss inelastischer Stoss

v1m1 m2v2

m1 m2w2w1

I

II

v1m1 m2v2

m1 m2w2w1

I

II

v1m1 m2v2

m1 +m2

w

I

II

Impulserh.: ~p Itot = ~pII

tot ~pI

tot = ~pII

tot ~pI

tot = ~pII

tot

Energieerh.: E Ikin = EII

kin keine E-Erhaltung EI

kin−E IIkin =m1 m2 (v1−v2)22 (m1+m2)

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r

2.3 Hydrostatik, Druck, Dichte

◮ Dichte ρ: Masse pro Volumen ρ = mV

Einheit: [ρ] =kgm3 Tabelle S. 33 ff.

◮ Druck p: Kraft pro Fläche p = FA

Einheit: [p] = 1Pascal = 1Pa = 1 Nm2 ,

1 bar = 105Pa.

• Hydrostatischer Druck: Druck einer Flüssigkeits- oder Gas-Säule der Höhe h: p(h) = ρFl · g · h (falls ρFl konstant).

• Auftriebskraft: Satz von Archimedes:Auftriebskraft = Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit:

FA = ρFl · g · VE VE : Eingetauchtes Volumen. rFl

VE

FA

Flüssigkeit

p( )h

h

• Barometerformel: Luftdruck als Funktion der Höhe h über Meer: p(h) = p0 · e−ρopo

g h

wobei

{p0 = 1.013 · 105Pa : Luftdruckρ0 = 1.293

kgm3

: Luftdichte

}

auf Meereshöhe (T0 = 0◦C) bezeichnen

(Normbedingungen).

2.4 Hydrodynamik

◮ Kontinuitätsgleichung: ρ1 · A1 · v1 = ρ2 · A2 · v2,,einfliessende Masse pro Zeit = ausfliessende Masse pro Zeit.”

◮ Gesetz von Bernoulli: p + 12·ρ · v2 + ρ · g · h = konst.

oder: p1 +12· ρ · v12 + ρ · g · h1 = p2 + 12 · ρ · v2

2 + ρ · g · h2

A1A2v1

v2p1

p2

h1

h2

◮ Schubspannung τ und Viskosität η:

τ =∆F‖∆A = η ·

∆v∆y Einheit [τ ] =

Nm2 (vgl. S. 10)

η : Viskosität (Zähigkeit), Einheit: [η] = Nsm2 , Tabelle S. 33.

◮ Gesetz von Hagen-Poiseuille:

Mittlere Strömungsgeschwindigkeit v in einem zylindrischen

Rohr vom Radius r und einer Druckdifferenz pro Länge

∆pl

=p2 − p1

l: v =

∆pl

· r2

8 · η

Flussvolumen ∆V durch eineQuerschnittsfläche pro Zeit ∆t :

∆V∆t

= π· ∆pl

· r4

8 · η

vmaxy

v( )y

AF

v = 0

r

p1 p2

Rohr

hv( )y

l

h

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nH

yd

rom

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tarr

e K

örp

er

◮ Gesetz von Stokes:

Reibungskraft bei laminarer Strömung (v klein, keine Wirbel)

FR = 6 π · η · r · v η : Viskosität, vgl. S. 8, Tabelle S. 33.h, r

v

r

FR

◮ Fahrwiderstand bei turbulenter Strömung:

Reibungskraft bei turbulenter Strömung (Wirbelbildung, Turbulenzen, v gross)

FR =12 · cW ·A · ρ · v

2 mit:

A : Angeströmte Flächeρ : Dichte der Flüssigkeit (oder des Gases)cW : Widerstandszahl, abhängig von der Form von A.

2.5 Mechanik des starren Körpers

◮ Schwerpunktsatz: Ein starrer Körper verhält sich so, als ob alle äusseren Kräfte imSchwerpunkt S (Massenmittelpunkt) angreifen würden.

n Massenpunkte kontinuierlicher Körper

rSr1r3

Sm1

m3m2

r2

O

r3r2

r1dm

dxdy

dz

r

rS

Sr

x

y

z

~rS =m1 ~r1 +m2 ~r2 + ...+mn ~rn

m1 + m2 + ... + mn= 1

mtot

n∑

k=1

mk · ~rk ~rS = 1mtot∫~r · dm

◮ Trägheitsmoment J : Das Trägheitsmoment J ist ein Mass dafür, wieviel Massesich wieweit von der Drehachse entfernt befindet.

J =n∑

k=1

mk · rk2 Einheit: [J ] = kg ·m2. J =∫r⊥

2 · dm =∫r⊥

2 · ρ dV

rk bezeichnet den senkrechten Abstand desMassenpunktes mk von der Drehachse.

Massenelement dm = ρ dV = ρ dx dy dzam Ort ~r, im senkrechten Abstand r⊥von der Drehachse.

Trägheitsmomente J spezieller Körper:

Quader Zylinder Hohlzylinder Kugel Satz v. Steiner

c

ab

Sh

r

S

h

r S

2h2

h

r1r2

S

r

S

a

S

JAJS

112m (a2 + b2) 1

2mr2 m ( r

2

4+ h

2

12) 1

2m (r21 + r

22)

25mr2 JA = JS +m · a2

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r

◮ Elastizität fester Körper

• Zugspannung: Kraft pro Fläche (wie Druck!) σ = ∆FN∆A = −p Einheit: [σ] =Nm2

• Hooke’sches Gesetz: Deformation ∆l = l − l0 ist propor-tional zur Zugspannung: ∆l

l= σ

E

E : Elastizitätsmodul, Einheit [E] = Nm2 , Tabelle S. 33.

• Querkontraktion: Ein um ∆l > 0 ausgedehnter Körperwird um ∆b = b− b0 < 0 dünner: ∆bb = −µ ·

∆ll

µ : Poissonsche Zahl, Tabelle S. 33.

AFN

b0l0

b

l

• Volumenelastizität (Kompression): Volumenverkleinerung ist proportional zur Zug-spannung: ∆V

V= σ

KK : Kompressionsmodul, Einheit: [K] = Nm2

Zwischen E, µ (⇒ Tabelle S. 33) und K besteht der Zusammenhang K = E3 · (1 − 2 ·µ)

• Energiedichte: Energie pro Volumen w = σ2

2 ·E

2.6 Arbeit, Energie, Leistung

• Definition: Arbeit = Kraft · Weg: W = ~F · ~r = |~F | · |~r | · cos(ϕ)

Einheit: [W ] = 1 Joule = 1 J = 1N ·m (Skalarprodukt).

• Verallgemeinerung: WA→B =rB∫

rA

~F (~r(t)) d~r(krumlinigeBahnen)

• Energie: ,,gespeicherte” Arbeit, Fähigkeit Arbeit zu verrichten.

AF( )r

r t( ) dr = dtv( )t

r t+dt( )

jB

Fj

rA B

◮ Mechanische Arbeit, Energie:

• Hubarbeit, potentielle Energie: Whub = Epot = m · g · h h : vertikale Höhe.

• Beschleunigungsarbeit,Kinetische Energie:

Wbesch = Ekin =12 · m · v

2 v : Geschwindigkeit.

• Spannarbeit einer Feder: Espann = 12 · k · x2 k =

∆F∆x : Federkonstante (S. 6).

x : Auslenkung der Feder.

• Rotationsenergie: Erot = 12 · J · ω2 ω : Winkelgeschwindigkeit (S. 5).

J : Trägheitsmoment (S. 9).

• Gravitationsenergie: EA→B =rB∫

rA

FG(r) dr = G ·m1 ·m2 ·(

1rA

− 1rB

)

(S. 6)

Arbeit, um m1 vom Ort A (= rA) zum Ort B (rB) zu bringen (r = Abstand m1 zu m2).

c©Adrian Wetzel 10

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ep

ler

◮ Energieerhaltung: Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten:

Etot = konstant ⇔ dEtotdt = Ėtot = 0

Bei mechanischen Systemen ohne Reibung: Etot = Epot + Ekin + Espann + Erot = konstant

◮ Leistung P : Arbeit pro Zeit: P = Wt

Einheit: [P ] = 1Watt = 1W = 1Js.

Falls Kraft ~F und Geschwindigkeit ~v konstant sind, gilt: P = ~F · ~v ElektrischeLeistung: S. 20.

◮ Wirkungsgrad η =genutzte Energie (bzw. Leistung)zugeführte Energie (bzw. Leistung) η =

ENutzEZu

=PNutzPZu

2.7 Kepler’sche Gesetze

I Die Planeten beschreiben ellipsenförmige Bahnen,in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

II Der Radiusvektor ~r überstreicht in gleichen Zeitengleiche Flächen: ⇔ ~L = m · ~r × ~v = konstant.

III Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planetenverhalten sich wie die Kuben der grossen Ellipsen-

halbachsen:T 21a13

=T 22a23

Kreisbahn: a ≈ r.

b

F1

F2

a

Planet

Sonne

m2

vm2

m1r

v

r

⇒ Astronomische Daten siehe S. 37.

2.8 Analogie Translation - Rotation

Translation Rotation

x(t) Ort / Auslenkwinkel θ(t)

v(t) Geschwindigkeit / Winkelgeschw. ω(t)

a(t) Beschleunigung / Winkelbeschl. α(t) = ∆ω∆t

m Masse / Trägheitsmoment J

F (t) = m · a(t) Kraft / Drehmoment M(t) = J · α(t)p(t) = m · v(t) Impuls / Drehimpuls L(t) = J · ω(t)

Wtrans = F · r · cos(ϕ) Arbeit Wrot =M · θ · cos(ϕ)Etrans =

12·m · v2 Energie Erot = 12 · J · ω2

Ptrans = F · v · cos(ϕ) Leistung Prot =M · ω · cos(ϕ)

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Muste

r

3 Schwingungen

Schwingung: Zeitlich periodischer Vorgang.

◮ Harmonische Schwingung, Pendel:{

Rücktreibende Kraft FRück istproportional zur Auslenkung y.

Auslenkung: y(t) = A · cos(ω · t + ϕ0)

Geschwindigkeit: v(t) = ẏ(t) = −A · ω · sin(ω · t+ ϕ0)

Beschleunigung: a(t) = ÿ(t) = −A · ω2 · cos(ω · t+ ϕ0) = −ω2 · y(t)

y

tj0

A

-A

T =2pw

m

k

y( )t

Fed

er

A

A : Amplitude (max. Auslenkung)

ϕ0 : Nullphasenwinkel

ω : Winkelgeschwindigkeit:

ω =∆ϕ∆t =

2πT

= 2π · f (vgl. S. 5)T : Periodendauer, f : Frequenz.

Federpendel

m

y( )t

k

ω =√

km

Winkelge-schwindigkeit

ω ≈√

g

lFadenpendel

m

alkleina

y( )=t tl a( )

FRück = − k · y Kraftgesetz FRück ≈ − mgl · y

d2y

dx2+ k

m· y = 0 Differential-

gleichungd2y

dx2+ g

l· y ≈ 0

◮ Gedämpfte harmonische Schwingung:

Gilt Reibungskraft FR ∼ v(t) also FR = −b · v

Dann: y(t) = A(t) · cos (Ω · t + ϕ0) wobei

• Zeitabhängige Amplitude: A(t) = A0 · e−b

2m· t

• Winkelgeschwindigkeit: Ω =√

km− ( b

2m)2

m

y( )tk

Öl hv

FR

y

t

A0 A( )t

j0

T =2pW

◮ Erzwungene Schwingung:Ein gedämpfter Oszillator werde mit der KraftF (t) = F0 · cos(ω t) angeregt. Nach dem Ein-schwingvorgang gilt für die Auslenkung:

y(t) = A(ω) · cos (ω t+ ϕ(ω) ) wobei

• Amplitude: A(ω) = F0m ·

√

(ω2 −ω02)2 + (ω bm )2

• Nullphasenwinkel: ϕ(ω) = arctan(

ω02 −ω2ω bm

)

• Q-Faktor: Q = m · ω0b

my( )t

k

F( )t

wj( )w

0

- p

- p2

A( )w

ww0

ungedämpft:b = 0

k

F0

w

w0

Resonanz-kurven b

2m

bitte

au

ssch

ne

ide

nS

ch

win

gu

ng

We

lle

n

4 Wellen

Als Welle wird die räumliche Ausbreitung einer Schwingung bezeichnet. Dabei wird Energie,aber keine Masse transportiert. Speziell:

◮ Harmonische Welle: Zeitlich und räumlichperiodischer Vorgang. Wellengleichung:

y(x, t) = A · sin (ω · t± k · x+ ϕ0)y(x, t) = A · sin

(2π · ( t

T± x

λ) + ϕ0

)

,,+” = Nach links (in −x Richtung) laufende Welle.,,–” = Nach rechts (in +x Richtung) laufende Welle.

• Wellenzahl: k = 2 πλ

Einheit: [k] = m−1

wobei λ : Wellenlänge in m (räumliche Periode).

• Winkelgeschwindigkeit: ω = 2 πT

[ω] = s−1

wobei T : Periodendauer in s (zeitliche Periode).

y

xj0

-A

=2pkl

Longitudinalwelle:

l c

Transversalwelle: y c

y c

y( )t

A

=lT

c

y( )t

◮ Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen: c = λT

= λ · f = ωk

Tabelle

auf S. 33.

• Druck- und Schallwellen

Gas: c =

√

(CpCV

)RTM

Flüssigkeit: c =

√Kρ

Festkörper: c =√

σρ

Symbole auf S. 17 K : Kompressionsmodul σ : Zugspannung, S. 10Luft 20 ◦C: c = 340 m

sρ : Dichte, S. 8 ρ : Dichte, S. 8

• Elektromagnetische Welle:

c =

√1

ε0 · εr · µ0 ·µr

Speziell: Vakuum (Luft):εr = 1 und µr = 1

c ≈ 3 · 108 ms.

x

B

E

B0

E0

c

◮ Stehende Welle: Überlagerung zweier identischerWellen mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung:yres(x, t) = A · sin (ω · t− k · x) + A · sin (ω · t+ k · x)yres(x, t) = 2A · cos(k · x)

︸ ︷︷ ︸

ortsabh. Ampl. A(x)

· sin(ω · t)

• Reflexion von Wellen:offenes Ende

c

c

Bau

ch

kein Phasensprung

fixes Ende

Kn

ote

n

Phasensprung: = p (180°)j

c

c

cAx

yc

A

x

2A

x

Knoten Bäuche

l2

l2

y1( )x t,

y2( )x t,

yres +=y1 y2

y

l4

c©Adrian Wetzel 13

Muste

r

◮ Eigenfrequenzen (Bedingung für stehende Welle):

• Saite: fn = n2L · c L = n ·λ2

Ordnung: n = 1, 2, 3, ...Grundschwingung: n = 1

Kno

ten

Kno

ten

n = 1n = 2

n = 3

L

• offenes oder geschlossenes Rohr:fn =

c2L

·n L = n · λ2

n = 1, 2, 3, ...L

n=

1

n=

2

Bau

ch

Bau

ch

n = 1n = 2

Kno

ten

Kno

ten

L

• einseitig offenes Rohr:fn =

c4L · (2n− 1) L = (2n− 1) ·

λ4

n = 1n = 2

Kno

ten

Bau

ch

L

◮ Schwebung: Überlagerung zweier Schwingun-gen ähnlicher Frequenzen f1 und f2 = f1 +∆f .

• Resultierende Schwingung:yres(t) = A · sin(ω1 t) + A · sin(ω2 t)

yres(t) = 2A · sin((ω1 +

∆ω2) t)· cos

(∆ω2t)

• Schwebungsfrequenz: fS2= ∆f

2= | f2 − f1 |

2

Hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung:

fS = ∆f = | f2 − f1 |

t

t

t

y1 1( ) = wt A tsin( )

y2 2( ) wt A tsin( )=

yres( )t = t t+y1( ) y2( )

Schwebung

y

A

A

2A

◮ Dopplereffekt: fB = fQ ·c ± vBc ∓ vQ

c : Geschwindigkeit der Welle.

vQ : Geschwindigkeit Schallquelle.vB : Geschwindigkeit Beobachter.

fQ : Frequenz Schallquelle.fB : Frequenz Beobachter.

fQ

vBfB fB = fQ · c + vBc fB

vQfQ fB = fQ ·

cc − vQ

vBfQ

fB fB = fQ · c − vBc fB

vQfQ fB = fQ ·

cc + vQ

◮ Schallintensität I und Schallpegel L:

• Schallintensität: Für einen Sender der Leistung P einer Ku-gelwelle gilt für die Intensität I(r) in Abhängigkeit vom Ab-

stand r: I(r) = PA= P

4π r2Einheit: [I] = W

m2

• Schallintensitätspegel:

L = 10 · log(

II0

)Angabe in Dezibel (dB) Hörschwelle:(für 1kHz-Sinuston) I0 = 10

−12 Wm2

r

Leistung P auf

verteilt.

Kugel-

Oberfläche = 4A rp 2

Sender P

c©Adrian Wetzel 14

Muste

r

bitte

au

ssch

ne

ide

nO

pti

kB

eu

gu

ng

5 Optik

Licht kann als Teilchen (Photonen) oder als elektromagnetische Welle betrachtet werden. ImVakuum (Luft) breitet sich Licht stets mit der Lichtgeschwindigkeit c0 ≈ 3 · 108 ms aus.

◮ Brechungsindex: n = c0cM

, wobei cM die Lichtgeschwindigkeit im Material M ist.

◮ Brechungsgesetz (Snellius): sin(α)sin(β) =n2n1

=c1c2

Brechungsindices siehe Tabelle S. 36.

• Totalreflexion: β = βmax = 90◦

• Brewsterwinkel: tan(αB) = n2n1Reflektierter und gebrochener Strahl stehen senkrechtaufeinander. Dann ist das Licht des reflektierten Strahlsvollständig polarisiert.

a

b

Grenz-Fläche

Lot

einfallenderStrahl

gebrochenerStrahl

teilreflek-tierter Strahl

an1

n2 > n1

◮ Abbildungen mit Linsen:

• Brennweite f : 1f= (n− 1) ·

(1R1

+ 1R2

)

Sammellinse (Konvexlinse): f > 0.Streulinse (Konkavlinse): f < 0.

• Dioptrie D: D = 1f

Einheit: [D] = 1m= dpt Dioptrie.

• Hohlspiegel: f ≈ R2• Parallel einfallende Strahlen schneiden sichim Brennpunkt F (Focus).

• Zentral einfallende Strahlen werden nichtabgelenkt.

• Linsengleichung, Abbildungsgleichung:1f= 1

b+ 1

g

{g : Gegenstandsweiteb : Bildweite

reelles Bild: b > 0 virtuelles Bild: b < 0.

• Abbildungsmassstab, Vergrösserung:

A = BG

= bg

{G : GegenstandshöheB : Bildhöhe

G

B

g b > 0

f f

FF OptischeAchse

f f

FFM1

R1

R2

n

Sammellinse (Konvexlinse)

GB

g

f f

FF

b

◮ Huygens’sches Prinzip: Jeder Punkt einerWellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementar-welle (Kreis- oder Kugelwelle) betrachtet werden. DieLage einer neuen Wellenfront ergibt sich als Über-lagerung sämtlicher Elementarwellen.

◮ Beugung: Ablenkung von Wellen (Licht- Wasser-oder Schallwellen) an einem Hindernis: Eindringenvon Wellen in den geometrischen Schattenraum vonHindernissen. Einfallende

Wellel

• Beugung am Spalt:

l

Ein

fall

end

e eb

ene

Wel

le

a

D

n = 0 Max.

n = 1 Min

n = 2 Min

n = 1 Min

n = 2 Min

Sch

irm

l

yn

a

c

Sp

alt

-

Ble

nd

e

d

= Gangunter-schied

Intensität I( )a

Bedingung für Minima:

∆ = d · sin(α) = n · λOrdnung: n = 1, 2, . . .

d : Spaltabstand.

Intensitätsverteilung:

I(α) = I0 ·sin2(φ2 )

(φ2 )2 mit

φ(α) = 2πλ· d sin(α)

• Beugung am Gitter (bzw. Doppelspalt):

l

Ein

fall

end

e eb

ene

Wel

le

a

D

m = 0

m = 1 Max

Sch

irm

l

a

c

Intensität I( )aGitter

d

= Gangunter-schied

m = 2 Max

m = 1 Max

m = 2 Max

yn

Bedingung für Maxima:

∆ = d · sin(α) = m · λOrdnung: m = 0, 1, 2, . . .

d : Gitterkonstante.

c©Adrian Wetzel 16

Muste

r

bitte

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nT

he

rmo

Ga

se

6 Thermodynamik

◮ Temperatur T : Mass für mittlere Ekin der Teilchen. Einheit: [T ] = 1Kelvin = 1K.

Celsius-Temperatur ϑ = T − 273.15K Temperaturdifferenz: ∆ϑ = ∆T = T1 − T0.

◮ Längenausdehnung: ∆l = l1 − l0 = α · l0 ·∆Tα : Längenausdehnungskoeffizient: Tabelle S. 34.

◮ Volumenausdehnung: ∆V = V1 − V0 ≈ γ · V0 ·∆Tγ ≈ 3α : Volumenausdehnungskoeffizient: Tabelle S. 34. l0

T0 T1

V1

l1

l1 = +l0 Dl

l0

l1l0

l1

V0V0

◮ Innere Energie U : Energie der

thermischen Bewegung der Teilchen.

Einheit: [U ] = 1 Joule = 1 J.

Wärme Q: Einheit: [Q] = 1 J.

◮ Wärmemenge: ∆Q = m · c ·∆Tc : spezifische Wärmekapazität,

Einheit [c] = JkgK Tabelle S. 34.

m : Masse in kg.

T

Q

Flü

ssig

Fes

t

Gas

TSMP

TSDP

Sch

mel

z-w

ärm

e Ver-dampfungswärme

DQ

mc

T=

D

DQ

mc

T=

D

Qm

f=

Lf

DQ mc T= D Qm

v=

Lv

◮ Verbrennungswärme: Q = m ·H H : Heizwert, Tabelle S. 35.

◮ Schmelzwärme (Erstarrungswärme): Q = Lf · m

Lf : spezifische Schmelz- bzw. Erstarrungswärme, Einheit: [Lf ] =Jkg

Tabelle S. 34.

◮ Verdampfungswärme (Kondensationswärme): Q = Lv · mLv : spez. Verdampfungs- bzw. Kondensationswärme, Einheit: [Lv] =

Jkg Tabelle S. 34.

◮ Wärmeleitfähigkeit: ∆Q∆t

= −λ · A · ∆T∆x

λ : Wärmeleitfähigkeit, Einheit: [λ] = WmK Tabelle S. 34.

A : Querschnittsfläche, ∆T∆x

: Temperaturgradient.

◮ Diffusion: ∆m∆t = −D · A ·∆c∆x (Fick’sches Gesetz)

D : Diffusionskonstante, Einheit: [D] = m2

s

A : Querschnittsfläche ∆c∆x

: Konzentrationsgradient.

T0T1

x

A

Dx

c0c1

x

A

Dx

Wärmefluss

Massenfluss

DQDt

DmDt

c©Adrian Wetzel 17

Muste

r

◮ Mittlere kinetische Energie: Ekin =f2· kB · T = 12 ·m · veff

2 mit

veff =√

f · kB ·Tm

und der Boltzmann-Konstante kB = 1.3807 · 10−23 JK

f : Anzahl Freiheitsgrade:

{einatomige Teilchen: f = 3zweiatomige Teilchen: f = 5 (3 Transl. & 2 Rot.)

◮ Druck in einem Gas: p = 13· N ·m · veff2

Vmit

N : Anzahl Molekülem : Masse eines MolekülsV : Volumen des Behälters

◮ Stefan-Boltzmann: Abgestrahlte Wärme pro Zeit: ∆Q∆t

= ε · σ · A · T 4 mitε : Emissionsgrad, ε = 1 für idealen Schwarzkörper.

σ = 5.6704 · 10−8 Wm2 K4

: Stefan-Boltzmann Konstante.

A : Oberfläche des strahlenden Körpers der Temperatur T .

◮ Entropie: ,,Mass für die Unordnung eines Systems.” Einheit: [S] = JK

• Thermodynamisch: ∆S = ∆QT

• Statistisch: S = kB · ln(P ) P : Anzahl Zustände bei konstanter Gesamtenergieund konstanter Teilchenzahl.

1. Hauptsatz (Energieerhaltung):

Eine Änderung der inneren Energie U eines Stoffes kann durchZufuhr von Wärme oder durch Zufuhr von mechanischer Arbeiterreicht werden: ∆U = ∆Q+∆W

Kompressionsarbeit: ∆W = −p ·∆V falls p = konstant.

Allgemein: W12 = −V2∫

V1

p(V ) dV (siehe S. 19)

Gas

DxD

V FK

olb

en

DQ

p U

DV = A Dx

V

T

2. Hauptsatz (Wärmearbeitsmaschinen, Wärmeenergiemaschinen):

• Wärme kann nicht von selbst von einem Körper niedriger Tempe-ratur auf einen Körper höherer Temperatur übergehen.

• Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden:W = QZU − QAB

• Der bestmögliche Wirkungsgrad einer Wärmearbeitsmaschineist der Carnot-Wirkungsgrad. ⇒ Siehe S. 19.

T2

T1

W

QZU

QAB

MechanischeArbeit

◮ Wirkungsgrad: η = WNutzWZU

=WNutzQZU

=PNutzPZU

(vgl. auch S. 11, 19)

c©Adrian Wetzel 18

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r

bitte

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nT

he

rmo

Ga

se

◮ Zustandsgleichung ideales Gas:

n R == konstantp VT

Ûp1 V1T1

p2 V2T2

=

Spezialfälle:

T = konst V = konst p = konst

p1T1

p2T2

=V1T1

V2T2

=p p1 2=V V1 2

(Boyle-Mariotte) (Amontons) (Gay-Lussac)

(isotherm) (isochor) (isobar)

p

VV1

p1

p2

V2

T2

T1

Isochoren: = konst.V

Isobaren:= konst.p

Isothermen:= konst.T

p : Druck in Pa.

V : Volumen in m3.

T : Temperatur in K.

UniverselleGaskonstante:

}

R = kB ·NA = 8.31 JmolKvgl.S. 35

n =mM

: Anzahl Mol, wobei:

{m : Masse in kg

M : Molmasse in kgmol.

◮ Van der Waals Gas (reales Gas):(

p+ a·n2

V 2

)

· (V − b · n) = n · R · T mit{a : Kohäsionsdruckb : Kovolumen

}

Tabelle S. 35.

◮ Adiabaten: ∆Q = 0, d.h. kein Wärmeaustausch. Sei Cp die molare Wärmekapazitäteines Gases bei konstantem Druck und CV die molare Wärmekapazität bei konstantem

Volumen. Dann: Cp − CV = R und κ =CpCV

, κ ≈ 1.4 für Luft. Tabelle S. 35.Dann gilt zusätzlich zur Zustandsgleichung des Gases das Poisson’sche Gesetz:

p · V κ = konstant Daraus folgen: T · V κ−1 = konstant und T κ · p1−κ = konstant

◮ Carnot Kreisprozess:

1 → 2 :{

IsothermeExpansion:

}

QZU = n · R · T1 · ln(

V2V1

)

2 → 3 :{

AdiabatischeExpansion:

}

∆U = n · CV · (T2 − T1)

3 → 4 :{

IsothermeKompression:

}

QAB = n · R · T2 · ln(

V4V3

)

4 → 1 :{

AdiabatischeKompression:

}

∆U = n · CV · (T1 − T2) V

p

T2

T1

1

2

34

QZU

QAB

W

T2T1 >

Der (theoretisch) bestmögliche Wirkungsgrad einer Wärmearbeitsmaschine ist der

Carnot-Wirkungsgrad ηC = 1− T2T1 = 1−|QAB ||QZU | (vgl. auch S. 11, 18)

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Muste

r

7 Elektromagnetismus

7.1 Elektrizität

◮ Elektrische Ladung: Q = (N+ −N−) · e mit{N+ : Anz. positiveN− : Anz. negative

}

Ladungen.

• Einheit: [Q] = 1Coulomb = 1C = {Ladung von 6.25 · 1018 Protonen}.

• Elementarladung: e = 1.602 · 10−19 C Elektronenladung: q = −e

◮ Coulomb’sches Gesetz:Kraft FC zwischen zwei Punktladungen q und Q im Abstand r:

FC =1

4πε0· q ·Q

r2ε0 = 8.854 · 10−12 CVm : Dielektrizitätskonst.

Q qFC

r

Gleiche Ladungen stossen sich ab, (FC > 0), ungleiche ziehen sich an (FC < 0).

◮ Elektrisches Feld E:

Elektrisches Feld = Kraft pro Ladung: E =FCq

Quelle des elektrischen Feldes sind Ladungen. Elektrische Feld-linien schneiden sich nie und stehen stets senkrecht zur Leiter-oberfläche. Die Kraft ~FC ist tangential zu den Feldlinien.

Feldlinien

◮ Spannung, Potentialdifferenz U :Vom elektrischen Feld E an der Ladung q verrichtete Verschiebearbeit W :

Spannung = Arbeit pro Ladung: U = Wq

Einheit: [U ] = 1Volt = 1V = 1 JC

• Wechselspannung: U(t) = U0 · sin(ω · t+ ϕ1)U0 : Scheitelspannung (Amplitude)

ω = 2πT

: Winkelgeschwindigkeit (vgl. S. 12).

ϕ1 : Nullphasenwinkel (vgl. S. 12).

• Effektivspannung: Ueff = U0√2 zur Wechselspannungäquivalente Gleichspannung.

U0

t [s]

U [V]

Periodendauer T

-U0

Ueff =U0

j1

2

◮ Stromstärke I: Bewegte Ladung ∆Q pro Zeit ∆t durch einen Leiterquerschnitt:

Stromstärke = Ladung pro Zeit: I = dQdt

= Q̇(t) ≈ ∆Q∆tEinheit: [I] = 1Ampere

1A = 1Cs

• Technische Stromrichtung:,,Positive Ladungen” fliessen von ⊕ → ⊖,,,reelle Stromrichtung”: Elektronen fliessen von⊖ → ⊕.

• Wechselstrom: I(t) = I0 · sin(ω · t+ ϕ2)Bezeichnungen analog zur Wechselspannung (oben).

Leiterquerschnitt

I0

t [s]

I [A]

Ieff =I0

j22

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r

bitte

au

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ide

nE

lek

triz

itä

tU

, I,

R,

C

◮ Widerstand R, Ohm’sches Gesetz:

Widerstand = Spannung pro Strom: R = UI

Einheit: [R] = 1Ohm = 1Ω = 1VA

Ohm’sches Gesetz: U = R · I Für konstanten Widerstand R gilt U ∼ I.

Allgemeine Definition: R = dUdI

= U ′(I) ≈ ∆U∆I

= Steigung im U -I-Diagramm.

Serienschaltung: Parallelschaltung:

R2I

U1

R1

U2I

+

U

Ersatzwiderstand:

R1 R2

I I1 I2

I+

U

Ersatzwiderstand:

Rtot = R1 +R2 + ... Rtot =(

1R1

+ 1R2

+ ...)−1

Maschenregel: Knotenregel:

U = U1 + U2 + . . . I = I1 + I2 + . . .

◮ Spezifischer Widerstand ρ:

Widerstand R eines Drahtes der Länge l und der

Querschnittsfläche A: R = ρ · lA

ρ : spezifischer Widerstand in Ω ·m, Tabelle S. 36.

l

Ar

Leiterquerschnitt

◮ Wechselstromwiderstand Z,X: (Impedanz, Blindwiderstand, Wirkwiderstand)

Bei Wechselströmen kann der Widerstand frequenzabhängig werden. Tritt zwischen einerWechselspannung U(t) = U0 · sin(ω · t+ϕ1) und dem Wechselstrom I(t) = I0 · sin(ω · t+ϕ2)eine Phasendifferenz ϕ = ϕ2 − ϕ1 6= 0 auf, dann unterscheidet man:

• Blindwiderstand: X = U0I0

· sin(ϕ)Blindwiderstände wandeln elektrische Energie nicht

in thermische oder andere Energieformen um:

Kapazitäten S. 22, Induktivitäten S. 24.

• Wirkwiderstand: R = U0I0

· cos(ϕ) Wirkwiderstände wandeln elektrische Energie inthermische oder andere Energieformen um (S. 21).

• Impedanz: Z = U0I0

=√R2 +X2 Gesamter Wechselstromwiderstand (S. 26).

◮ Elektrische Leistung P und Arbeit W :

Leistung = Spannung mal Strom: P = U · I Einheit: [P ] = 1Watt = 1W = 1V · A

• Andere Formeln: P = R · I2 = U2

R(vgl. S. 11, Wirkungsgrad auf S. 11, 18).

• Wirkleistung: PW = 1T ·T∫

0

U(t) · I(t) dt = Ueff · Ieff · cos(ϕ) mit

ϕ = ϕ2 − ϕ1 : Phasenverschiebung zwischen I(t) und U(t). Ueff , Ieff siehe S. 20.

Arbeit = Leistung mal Zeit: W = U · I · t Einheit: [W ] = 1 Joule = 1W s1 kWh = 3.6 · 106 J.

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Muste

r

◮ Elektrolyse, Ionenstrom:An einer Elektrode abgesetze Masse m in Folge eines Ionen-

stroms in einem Elektrolyten: m =M ·Q

z ·NA · e mit:

M : molare Masse in kgmol

Q = I · t : totale Ladung in Cz : Ionenwertigkeit

NA = 6.022 · 1023mol−1 : Avogadrozahle = 1.602 · 10−19C : Elementarladung.

Kat

hode

+ -

Ano

de +

+

+

+

+

-

Elektrolyt

-

-

--

z e

Anionen + Kationen

+ -I U

-

◮ Kapazität C, Kondensatoren (Ladungsspeicher):

Kapazität = Ladung pro Spannung: C =QU

Einheit: [C] = 1 Farad = 1F = 1CV.

• Plattenkondensator: C = ε0 εr · Ad mit{A : Plattenfläched : Plattenabstand

ε0 = 8.85 · 10−12 CVm : elektrische Feldkonstante.εr : Dielektrizitätskonstante (Tabelle S. 36), εr = 1 für Luft (Vakuum).

• Elektr. Feld im Plattenkondensator: E = Ud

• Gespeicherte Energie: W = 12 C · U2

• Blindwiderstand: XC = − 1ω ·C (vgl. S. 21.)

• Serieschaltung: Ctot =(

1C1

+ 1C2

+ . . .)−1

(gleiche Ladung Q auf allen Kondensatoren)

• Parallelschaltung: Ctot = C1 + C2 + . . .(gleiche Spannung U über allen Kondensatoren)

dDielektrikum er-Q

- - -

A+ + ++Q

Metallplatte

+U

Serie: Parallel:

C1+

UC2

C1 C2+U

⇒ Impedanz, Blindwiderstand, Gleichstromkreise und Wechselstromkreise siehe S. 25, 26.

c©Adrian Wetzel 22

Muste

r

bitte

au

ssch

ne

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nM

ag

ne

t...

Sp

ule

n

7.2 Magnetismus

◮ Magnetische Flussdichte ~B:Die magnetische Flussdichte ~B (Magnetfeld) übt Kraft aufbewegte Ladungen und magnetisierbare Stoffe (v.a. aufdie ferromagnetischen Elemente Fe, Co und Ni) aus.

Einheit: [ ~B] = 1Tesla = 1T = 1V sm2

.

• Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen (Wirbelfeld)und sind quellenfrei: Es gibt keine magnetische Monopole.

• Quelle der magnetischen Flussdichte sind Ströme (beweg-te Ladungen). Im Fall von Permanentmagneten sind diesatomare Kreisströme innerhalb des Materials.

• Magnetische Flussdichte im Abstand r eines stromdurch-flossenen Leiters: B(r) = µ0 µr · I2π r

• Magnetische Feldkonstante: µ0 = 4π · 10−7 VsAmµr : Permeabilitätszahl, Tabelle S. 36.

für Vakuum (Luft) gilt µr = 1.

• Magnetische Flussdichte (Magnetfeld)......im Zentrum eines Kreis-stromes I (Spule mit einerWindung) mit Radius r:

B = µ0 µr · I2 · r

...im Inneren einer Spu-le (Länge l, Durchmes-ser d) mit N Windungen:

B = µ0 µr · N · I√l2 + d2Für lange Spulen l ≫ d gilt:

B ≈ µ0 µr · N · Il

N Sd

l

I

I

B( )rr

N S

Permanentmagnet

Stromdurchflossener Leiter

Stromdurchflossene Spule

R.H.

B

B

B

B

◮ Lorentzkraft: Kraft ~FL auf bewegte Ladung q der

Geschwindigkeit ~v im ~B-Feld: ~FL = q · ~v × ~B

• ~FL ⊥ ~B und ~FL ⊥ ~v.• Betrag: FL = q · v · B · sin(α) α = ∢(~v, ~B).

• Lorentz-Gleichung: ~F = q ·(

~E + ~v × ~B)

◮ Biot-Savart-Kraft: Kraft ~FB auf stromführen-

den Leiter (Länge ~L) im ~B-Feld: ~FB = I · ~L× ~B

• ~FB ⊥ ~B und ~FB ⊥ I, ~L .

• Betrag: FB = I · L ·B · sin(α) α = ∢(~L, ~B).

N

S

FL

I

L

Hufeisen-Magnet

q

stromdurch-flossenerLeiter

geladenes

Teilchen

v

FL , FB

v,

R.H.

a

L

B

FB

B

B

B

c©Adrian Wetzel 23

Muste

r

◮ Magnetischer Fluss ΦM :Magnetische Flussdichte mal Fläche.

Anschaulich: ,,Anzahl” Feldlinien, welche eine (durcheinen Leiter begrenzte) Fläche durchqueren. Imhomogenen B-Feld gilt:

ΦM = ~B · ~A = B · A · cos(α) α = ∢( ~B, ~A)Einheit: [Φ] = 1Weber = 1Wb = 1V · s.

Spezialfall: (B-Feld) ⊥ (Fläche A)⇒ ~B ‖ ~A ⇒ ΦM = B · A

A

B

A

a

a

◮ Induktionsgesetz Uind:

• Induktionsspannung: Negative zeitliche Änderungdes magnetischen Flusses (in Leiterschleife / Spule):

Uind = − dΦMdt = − Φ̇M (t) ≈ −∆ΦM∆t

• Induzierte Spannung in einer Spule:Uind = −N · ∆ΦM∆t N : Windungszahl der Spule.

• Spezialfall: (Fläche A) ⊥ (B-Feld):Uind = −N ·

(A · ∆B

∆t+ B · ∆A

∆t

)

v

B -Feld in Papierebene hinein=

Dx = tDvbewegteLeiterschleife (Spule)

+

-

Uind

Flä

che

A

◮ Lenz’sche Regel:Die Induktionsspannung Uind ist stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt.

◮ Induktivität L, Spule, Selbstinduktion:

• Definition: L = N ·ΦMI

Einheit: 1 Henry = 1H = 1VsA

• Induktivität einer Spule (Solenoid) der Länge l und der Quer-schnittfläche A: L = µ0 µr · N

2 ·Al

• Blindwiderstand: XL = ω · L (vgl. S. 21.)

• Induzierte Spannung UL durch eine zeitliche Stromänderunghervorgerufen: UL = L · dIdt = L · İ(t) ≈ L ·

∆I∆t

I

l

UL

BmrA

◮ Energie einer stromdurchflossenen Spule: EM =12 ·L · I

2

◮ Energiedichte der magnetischen Flussdichte:

Energiedichte = Energie pro Volumen wM =1

2µ0 µr·B2 Einheit: [wM ] = Jm3

c©Adrian Wetzel 24

Muste

r

Sc

ha

lt-

Kre

ise

◮ Transformator (Spannungswandler):

Zwei magnetisch gekoppelte Spulen: U1U2

= n1n2

Energieerhaltung beim idealen (verlustfreien)

Transformator: U1 · I1 = U2 · I2⇒ Spulen siehe S. 23, S. 24.

U1 U2

I1 I2

n1 n2

Eisenkern

Primär-Spule

Sekundär-Spulemr

7.3 Gleichstromkreise (DC)

◮ RC-Stromkreis: Lade- und Entladevorgang einer Kapazität

CU0

RI

Ladevorgang

+

UCUR

CU0

R

UCUR

Entladevorgang

+

I

Diff. Gl.: R · dQdt

+ QC= U0 R · dQdt +

Q

C= 0

Ladung: Q(t) = C U0 ·(

1− e− 1RC t)

Q(t) = Q0 · e−1

RCt

Strom: I(t) = U0R

· e− 1RC t I(t) = − Q0RC

· e− 1RC t

Spannung: UC(t) = U0 ·(

1− e− 1RC t)

UC(t) =Q0C

· e− 1RC t

U

t

U0

I

I0UC ( )t

I( )t

Ladevorgang

U

t

U0I

UC ( )t

I( )t

Entladevorgang

I0

◮ RL-Stromkreis

LU0

R

ULUR

Ladevorgang

+

IU0

Entladevorgang

+

LR

I

ULUR

Diff. Gl.: L · dIdt

+ I · R = U0 L · dIdt + I · R = 0

Strom: I(t) = U0R

·(

1− e− RL t)

I(t) = − U0R

· e− RL t

Spannung: UL(t) = U0 · e−RL

t UL(t) = U0 · e−RL

t

U

t

U0

I

I0

UL ( )t

I( )t

Ladevorgang

U

t

U0

I

I0

UL ( )t

I( )t

Entladevorgang

c©Adrian Wetzel 25

Muste

r

◮ RLC-Stromkreis: gedämpfter harmonischer Schwingkeis

CI( )t

UC UL

L

+ + + +

- - - -

R

UR

Q0Q0

QI

Q( )tI( )t

t

QI

Q( )t

t

QI

Q( )t

t

I( )t

I( )t

R < 4LÖ[II] C R >Ö[III] 4LC

Q0

R = 0[I]

Differentialgleichung: L · d2Qdt2

+R · dQdt

+ QC= 0 Strom: I(t) = dQ(t)

dt

[I] R = 0 ⇒ I(t) = −Q0 · ω0 · sin (ω0 t) ω0 =√

1LC

[II] R2 < 4LC

⇒ I(t) = −Q0 · ω02

ω· e− R2L t · sin (ω t) ω =

√1

LC− R2

4L2

[III] R2 > 4LC

⇒ I(t) = −Q0 · ω02

ω· e− R2L t · sinh (ω t) ω =

√R2

4L2− 1

LC

7.4 Wechselstromkreise (AC)

◮ Einzelne R, L, C an einer Wechselstromquelle I(t) = I0 · sin (ω t)Widerstand R Induktivität L Kondensator C

R URI( )t L ULI( )t C UCI( )t

UR ( )t

tI( )t

UL ( )t

tI( )t

UC ( )t

tI( )t

x

y

j = 0°

UR ( )t

I( )tw t

x

y

UL ( )t

j = +90°

I( )t

j w tx

y

UC ( )t

j -= 90°

I( )t

j w t

Spannung: U(t) = U0 · sin (ω t) U(t) = U0 · sin (ω t + π2 ) U(t) = U0 · sin (ω t − π2 )

Blind-widerstand:

(XR = 0) XL =U0I0

= ω · L XC = U0I0 = −1

ω ·C

MittlereLeistung:

P = R Ieff2 = 1

2R I0

2 P = 0 P = 0

c©Adrian Wetzel 26

Muste

r

Sc

ha

lt-

Kre

ise

◮ RC und LC Filter UIN(t) = U0 · sin (ω t)

RC Tiefpass RC Hochpass LC Tiefpass LC Hochpass

UIN ( )tR

CUOUT ( )t UIN ( )t C

RUOUT ( )t UIN ( )t

C

L UOUT ( )t UIN ( )t C UOUT ( )tL

U0OUTU0 IN

= 1ω RC+1

U0OUTU0 IN

= ω RCωRC+1

U0OUTU0 IN

= 1ω2 LC+1

U0OUTU0 IN

= ω2 LC

ω2 LC+1

1

U0 OUTU0 IN

w

1

U0 OUTU0 IN

w

1

U0 OUTU0 IN

w

1

U0 OUTU0 IN

w

◮ RLC-Schwingkreis (Oszillator)

RLC-Serienschwingkreis RLC-Parallelschwingkreis

C

U U( ) 0t = cos( )tw

RL

U( )tI( )t C

RL

U(

) t

I( )t

I I( ) 0t = cos( )tw

x

y

jULtw

UC

UR

Utoty

jIC tw

IL

IR

Itotx

Impedanz: Z(ω) =√

R2 +(ω L− 1

ω C

)2Z(ω) =

(1R2

+(

1ω L

− ω C)2)− 1

2

Spannung: (vorgegeben, siehe Graphik) U(t) = U0(ω) · cos (ω t− ϕ(ω))

Strom: I(t) = I0(ω) · cos (ω t− ϕ(ω)) (vorgegeben, siehe Graphik)

Amplitude: I0(ω) =U0

Z(ω) U0(ω) = Z(ω) · I0

Nullphase: ϕ(ω) = arctan(1R· (ω L− 1

ω C))

ϕ(ω) = arctan(R · ( 1

ωL− ω C)

)

⇒ Resonanz kann am Serien- und am Parallelresonanzkreis beobachtet werden, in Analogiezur mechanischen Resonanz, vgl S. 12.

Resonanzbedingung: ω = ω0 =1√L·C Resonanzfrequenz: f0 =

12π·

√L·C

c©Adrian Wetzel 27

Muste

r

8 Quantenphysik

◮ De Broglie-Wellenlänge: λ = hp

(Materiewellen: Teilchen-Wellen Äquivalenz)

mit

p = m · v : Impuls (vgl. S. 7).λ : Wellenlänge (vgl. S. 13).h = 6.6261 · 10−34 J s : Planck’sches Wirkungsquantum.

◮ Energie eines Photons: E = h · f = ~ · ω ~ = h2π

= 1.05 · 10−34 J s

◮ Heisenberg’sche Unschärferelation:

• Ort und Impuls können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden:∆x ·∆p ≥ ~2 ∆x, ∆p : Orts- bzw. Impulsunschärfe.

• Energie und Zeit können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden:∆E ·∆t ≥ ~2 ∆E, ∆t : Energie- bzw. Zeitunschärfe.

◮ Schrödingergleichung: −~2

2m ·d2Ψ(x)dx2

+Epot(x) ·Ψ(x) = Etot ·Ψ(x)

◮ Bohr’sches Atommodell:• Bahnradien: Für Wasserstoff:

Rn =ε0 ~

2

πme q2e·n2 = aB · n2

aB = 5.2918 · 10−11 m : Bohr’scherAtomradius.

Allgemein: Rn ≈ 4πε20 ~

2

me q2e Z·n2

Z : Kernladungszahl (Ordnungszahl).

• Bindungsenergie: Für Wasserstoff:

En = − me q4e

32 π2 ε20 ~2 · 1n2 = E1 ·

1n2

E1 = −13.6 eV : Grundenergie.

Allgemein: En ≈ − me q4e Z

2

32 π2 ε20 ~2 · 1n2

n = 1, 2, 3, ... : Hauptquantenzahl.

• Frequenzbedingung:h · f = |En − Em |

En < Em ⇒ AbsorptionEn > Em ⇒ Emission

• Austrittsarbeit: Arbeit, um ein Elek-tron aus einem Atom zu lösen.

WA = h · f − 12 mv2 (Tabelle S. 36)

+

n = 2

n = 1

n = 3

n = 4

n = 5

+

Photong

Balmer-Serie(sichtbar)

Paschen-Serie

(Infrarot)

Lyman-Serie

(Ultraviolett)

f

E [eV]

Balm

er-S

erie

:=

2n

Pasc

hen

-Ser

ie:

= 3

n

Bra

cket

t-S

erie

:=

4n

Pfu

nd

-Ser

ie:

= 5

n

abgd

Lym

an

-Ser

ie:

= 1

n

n = 1

n = 2

n = 3n = 4

abgd

abgd

-13.6

-3.4

-1.7-0.85

0Vakuum: = 0E0

⇒ Elektromagnetisches Spektrum S. 37.

c©Adrian Wetzel 28

Muste

r

Mo

de

rne

Ph

ys

ik

9 Spezielle Relativitätstheorie (SRT)

◮ Inertialsystem (IS): Koordinatensystem, in dem sich jedes Objekt mit Masse, aufdas keine äussere Kraft wirkt, gleichförmig geradlinig bewegt oder in Ruhe bleibt. (ImInertialsystem besitzt das newtonsche Trägheitsgesetz von S. 6 uneingeschränkte Gültigkeit).

◮ Galilei-Transformation:Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen:

x′ = x− v t (Bewegung in x-Richtung)y′ = yz′ = zt′ = t Die Zeit ist in allen Systemen gleich.

Die Gesetze der klassischen Mechanik sind Galilei-invariant,diejenigen der Maxwell’schen Elektrodynamik aber nicht.

y

z

v c

10 Kernphysik

Nukleon: Proton Neutron Elektron

Masse: mP = 1.6726 · 10−27 kg mN = 1.6748 · 10−27 kg me = 9.1094 · 10−31 kgLadung: qP = +1.6022 · 10−19C qN = 0 qe = −1.6022 · 10−19C

◮ Kernradius, Kernkraft, Bindungsenergie:

• Kernradius: r ≈ 1.2 · 10−15 · 3√A

1.2 · 10−15 m : Nukleonenradius.A = Z +N : Massenzahl.

Z : Ordnungszahl (Anzahl Protonen).

N : Anzahl Neutronen im Kern.

• Kernkraft (starke Wechselwirkung): Kurzreich-weitige anziehende Kraft, welche die Kerne entgegen derCoulomb’schen Abstossung zusammenhält.

• Bindungsenergie EB eines Kerns der Atommasse MA:EB = (Z ·mP + Z ·me +N ·mN − MA) · c2

c ≈ 3 · 108 ms: Lichtgeschwindigkeit.

Energieeinheit in der Kernphysik ist das Elektronvolt:

1 eV = 1.6022 · 10−19 J oder 1 MeV = 1.6022 · 10−13 J.

pp

n

np

ep

np

n ppn

2 10 mr ~ -14

Kern

Atom

e

e

ee

e

e

~ 10 m10-

r

F

1 4 10•-15

m

Coulombkraft (a )bstossend

anzi

ehen

dab

stos

send

Protonen-Abstand

p p Kernkraft

Gesamtkraft:Coulomb + Kernkraft

32

Bindungsenergie EBA

pro Nukleon in Abhängigkeit der Massezahl A = Z +N :

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2H (Deuterium)

3H (Tritium)

6Li

4He

120Sn

56Fe16O

238U

10

Massenzahl

153Eu209Bi

50 100 150 200 2500

Fission (Kernspaltung)Fusion

Mit

tl. B

indu

ngse

nerg

ie p

ro N

ukle

on i

n M

eV

EBA

c©Adrian Wetzel 30

Muste

r

Mo

de

rne

Ph

ys

ik

◮ Radioaktivität: Zerfall / Umwandlung eines instabilen Atomkerns AZX: (vgl. S. 32.)

α-Zerfall β−, β+-Zerfall γ-Zerfall

np

p

np

n

pp

n

npp

np

n ppn

pn

pn

n pnp

pn

np

XA

Z

XA 4-Z 2-

He Kern

( -Teilchen)a

42

n

np

e-npppn

n nElektron:

XA

Z

XA

Z + 1

b--Teilchen

npnpp

pn

n np

n

np

nnpppn

n n

Neutrino

XA

Z

XA

Z 1-

npnpp

pn

n n

e+ Positron:b+-Teilchen

nAntineutrino

n

p

n

np

p

pn

pn

n pnp

XA

Z np

p

pn

pn

n pnp

XA

Z

gPhoton(Lichtquant)

AZX → A−4Z−2X + 42He + Ekin

AZX → AZ+1X+ e− + ν + EkinAZX → AZ−1X+ e+ + ν + Ekin

AZX → AZX+ γ + Ekin

Energiebilanz: Ekin = (∑mProdukte − mMutterkern) · c2

Neutrinos und Photonen haben

eine vernachlässigbare Masse.

Zerfallsgesetz: N(t) = N0 · e−λ t

N(t) : Anzahl Kerne zur Zeit tN0 : Anzahl Kerne zur Zeit t = 0λ : Zerfallskonstante [s−1]

• Halbwertszeit: T = ln(2)λ

Zeit bis die Hälfte

der vorhandenen Kerne zerfallen sind. Tabelle S. 32.

• Mittlere Lebensdauer eines Kerns:τ = 1

λ= Tln(2)

• Aktivität: A(t) = N(t)τ

= λ ·N(t) = A0 · e−λ t

Einheit: [A(t)] = s−1 = Bq = Becquerel.

N0

N

t

N02

0 T 2T 3T

N04

Nuklidkarte: Übersicht über stabile und instabile Isotope (vgl. S. 32).

Pro

tone

nzah

l

N = Neutronenzahl

Qu

elle

:M

atth

ias

M.,

2010

-05-

30T

17:1

7:12

Z,W

ikip

edia

Instabile Nuklide:

Stabile Nuklide

b+-Zerfall

b--Zerfall

a -Zerfall

Fission

p: Protonenabgabe

n: Neutronenabgabe

b+

b-

Mutter-Kern

p

n

a

Z

c©Adrian Wetzel 31

Muste

r

Instabile Isotope

Isotop Symbol Atomare Masse∗ Zerfallsart Halbwertszeit

Tritium 13H = T 3.016049 β− 12.33 Jahre

Beryllium 47Be 7.016929 e−-Einfang; γ 53.12 Tage

Kohlenstoff 611C 11.011434 β+, e−-Einfang 20.39 Min.

Kohlenstoff 146C 14.0003242 β− 5730 Jahre

Stickstoff 137N 13.005739 β+ 9.965 Min.

Sauerstoff 158O 15.003065 β+; e−-Einfang 122.24 s

Natrium 2211Na 21.994437 β+; e−-Einfang; γ 2.6019 Jahre

Silizium 3114Si 30.975363 β−; γ 157.3 Min.

Phosphor 3115P 31.973907 β− 14.262 Tage

Schwefel 3516S 34.969032 β− 87.32 Tage

Kalium 4019K 39.963999 β−; β+; γ; e−-Einfang 1.28 · 109 Jahre

Kobalt 6027Co 59.930791 β−; γ 5.2714 Jahre

Strontium 9038Na 89.907737 β− 28.79 Jahre

Indium 11549In 114.903878 β−; γ 4.41 · 1014 Jahre

Jod 13153I 130.906124 β−; γ 8.0207 Tage

Osmium 19176Os 190.960927 β−; γ 15.4 Tage

Blei 21082Pb 209.984173 β−; γ; α 22.3 Jahre

Wismut 21183Bi 210.987258 α; γ, β− 2.14 Min.

Polonium 21084Po 209.982857 α; γ 138.376 Tage

Radon 22286Rn 222.017570 α; γ 3.8235 Tage

Radium 22688Ra 226.025402 α; γ 1600 Jahre

Thorium 23290Th 232.038050 α; γ 1.405 · 1010 JahreUran 23592U 235.043923 α; γ 7.038 · 108 JahreUran 23692U 236.045561 α; γ 2.342 · 107 JahreUran 23892U 238.050782 α; γ 4.468 · 109 JahreUran 23992U 239.054287 β

−; γ 23.45 Min.

Plutonium 23994Pu 239.052157 α; γ 24110 Jahre

Plutonium 24494Pu 244.064197 α 8.08 · 107 Jahre∗ Die Atomare Masse in [u] gilt für das neutrale Atom, einschliesslich den Z Elektronen.

c©Adrian Wetzel 32

Muste

r

Ta

be

lle

n

11 Tabellen

Mechanische Daten

Feste Stoffe

ρ : Dichte

E : Elastizitätsmodul

σ : Zugfestigkeit

µ : Poisson-Zahl

c : Schallge-schwindigkeit

Stoff ρ E σ µ c

in kgm3

in Nm2

in Nm2

- in ms

Aluminium 2700 7.1 · 1010 7.1 · 107 0.34 5240Blei 11340 ≈ 1.4 · 1010 - 0.44 1250Eisen 7860 ≈ 2.19 · 1011 2.0 · 108 0.28 5170Gold 19290 8.2 · 1010 - 0.42 3240Kupfer 8920 1.2 · 1011 2.2 · 108 0.35 3900Messing 8470 1.1 · 1011 2.9 · 108 0.35 3420Nickel 8900 2.14 · 1010 4.4 · 108 0.31 -Platin 21450 1.7 · 1011 1.4 · 108 0.39 -Quarzglas 2200 9.4 · 1010 - 0.17 ≈ 5000Silber 10500 8 · 1010 1.6 · 108 0.37 -Wolfram 19300 4.1 · 1010 - 0.29 5460Zink 7140 - - 0.25 -Zinn 7290 4.0 · 109 - 0.33 -Eis 917 ≈ 9.1 · 109 - 0.33 3250

Flüssige Stoffe

ρ : Dichte

K : Kompressions-modul

η : Viskosität(bei 20◦C)

c : Schallge-schwindigkeit

Stoff ρ K η c

in kgm3

in Nm2

in N sm2=Pa·s in

ms

Aceton 791 - 3.06 · 10−4 1190Benzin ≈ 750 ≈ 1.26 · 109 ≈ 0.65 · 10−3 ≈ 1295Benzol 879 11.25 · 1010 0.60 · 10−3 1326Ethanol 789 9.1 · 108 1.2 · 10−3 1170Glycerin 1261 26.6 · 1010 1.48 1923Öl ≈ 900 16 · 108 - -Petroleum 850 - 0.65 · 10−3 1522Quecksilber 13546 253 · 1010 1.55 · 10−3 1430Wasser 998 2.2 · 1011 1 · 10−3 1483

Gase

ρ : Dichte(Normbedingungen)

η : Viskosität(Normbedingungen)

c : Schallge-schwindigkeit

Stoff ρ η c

in kgm3

in Nsm2

in ms

Argon 1.784 2.29 · 10−7 -Butan 2.732 7.5 · 10−6 -Freon 5.51 - -Helium 0.1785 - 1005Kohlendioxid 1.977 1.5 · 10−7 268Luft 1.293 1.86 · 10−7 344Methan 0.717 1.12 · 10−7 445Neon 0.9 - -Sauerstoff 1.429 - 326Stickstoff 1.25 - 337Wasserstoff 0.0899 - 1310

c©Adrian Wetzel 33

Muste

r

Haft- und Gleitreibungszahlen :

Stoff µH µG µR

Holz auf Holz 0.6 0.4 -

Stahl auf Stahl 0.15 0.1 ≈ 0.002Gummi auf Teer 1.0 0.6 ≈ 0.02Stahl auf Eis 0.027 0.014 -

Thermische Daten

Feste Stoffe

α : Linearer Ausdehnungskoeffizientc : Spezifische WärmekapazitätTSMP : Schmelzpunkt (bei Normdruck)

Lf : Spezifische Schmelzwärmeλ : Wärmeleitfähigkeit

Stoff α c TSMP Lf λin 1

Kin J

kgKin ◦C in J

kgin W

mK

Aluminium 23.8 · 10−6 896 660.1 3.97 · 105 239Blei 31.3 · 10−6 129 327.4 0.23 · 105 34.8Eisen 12.0 · 10−6 450 1535 2.77 · 105 80Gold 14.3 · 10−6 129 1063 0.64 · 105 312Kupfer 16.8 · 10−6 383 1083 2.05 · 105 390Messing 18 · 10−6 380 905 1.6 · 105 79Nickel 12.8 · 10−6 448 1453 3.03 · 105 81Platin 9.0 · 10−6 133 1769 1.11 · 105 70.1Quarzglas 4.5 · 10−7 710 1610 1.36Silber 19.7 · 10−6 235 960.8 1.045 · 105 428Wolfram 4.3 · 10−6 134 3380 1.92 · 105 177Zink 26.3 · 10−6 385 419.5 1.11 · 105 112Zinn 27.0 · 10−6 227 231.9 0.596 · 105 64Eis 37.0 · 10−6 2100 0 3.338 · 105 2.2

Flüssige Stoffe

γ : Volumen- Ausdehnungskoeffizientc : Spezifische WärmekapazitätTSMP : Schmelzpunkt (bei Normdruck)TSDP : Siedepunkt (bei Normdruck)

Lf : Spezifische SchmelzwärmeLv : Spezifische Verdampfungswärmeλ : Wärmeleitfähigkeit

Stoff γ c TSMP TSDP Lf Lv λin 1

Kin J

kg Kin ◦C in ◦C in J

kgin J

kgin W

mK

Aceton 1.49 · 10−3 2160 -94.86 56.25 9.8 · 104 5.25 · 105 0.162Benzin ≈ 1.0 · 10−3 ≈ 2020 ≈ −45 - - - 0.140Benzol 1.23 · 10−3 1725 5.53 80.1 1.28 · 105 3.94 · 105 0.148Ethanol 1.1 · 10−3 2430 −114.5 78.33 1.08 · 105 8.4 · 105 0.165Glycerin 5.0 · 10−4 2390 18.4 290.5 2.01 · 105 8.54 · 105 0.285Quecksilber 1.84 · 10−4 139 −38.87 356.58 1.18 · 104 2.85 · 105 8.2Wasser 2.07 · 10−4 4182 0 100 3.338 · 105 2.256 · 106 0.598

c©Adrian Wetzel 34

Muste

r

Ta

be

lle

n

Gase

cp : Spezifische Wärmekapazitätbei p = Konstant

Cp : Molare Wärmekapazitätbei p = Konstant

κ = CpCV

: Isentropenexponent

TSMP : Schmelzpunkt (Normdruck)TSDP : Siedepunkt (Normdruck)a, b : Van-der-Waals Konstanten

Stoff cp Cp κ TSMP TSDP a b

in JkgK

in JmolK

- in ◦C in ◦C in Nm4

mol2in m

3

mol

Argon 523 20.9 1.67 −189.38 −185.88 0.423 3.71 · 10−5Freon 502 60.7 1.14 −158.2 −29.8 0.837 7.75 · 10−5Helium 5230 20.9 1.63 - −268.94 0.0034 2.36 · 10−5Kohlendioxid 837 36.8 1.293 - −78.45 0.366 4.28 · 10−5Luft 1005 29.1 1.402 - −191.4 0.135 3.65 · 10−5Methan 2219 35.6 1.308 −182.5 −161.4 0.229 4.28 · 10−5Neon 1031 20.8 1.64 −248.61 −246.06 0.0217 1.74 · 10−5Sauerstoff 917 29.3 1.398 −218.79 −182.97 0.138 3.17 · 10−5Stickstoff 1038 29.1 1.401 −210.0 −195.82 0.137 3.87 · 10−5Wasserdampf 1863 33.6 1.33 0 100 0.553 3.04 · 10−5Wasserstoff 14320 28.9 1.41 −259.2 −252.77 0.0248 2.66 · 10−5

Heizwerte

Stoff Hin J

kg

Steinkohle (Anthrazit) 31 · 106Braunkohle (hart) ≈ 17 · 106Holz (trocken) ≈ 16 · 106Holzkohle ≈ 31 · 106Erdöl ≈ 41 · 106Benzin, Diesel, Heizöl ≈ 42 · 106

Stoff Hin J

kg

Ethanol 27 · 106Erdgas ≈ 35 · 106Methan 35.9 · 106Ethan 64.5 · 106Stadtgas ≈ 20 · 106Wasserstoff 10.8 · 106

c©Adrian Wetzel 35

Muste

r

Elektrische, magnetische und optische Daten

Elektrische Leiter (Metalle)

ρ : Spezifischer Widerstand (bei 20◦C)α : Temperaturkoeffizient

µr : magnetische PermeabilitätWA : Austrittsarbeit

Stoff ρ α µr WAin Ω ·m in 1

K- in eV

Aluminium 2.82 · 10−8 +4.29 · 10−3 1 + 2.1 · 10−5 (Paramagn.) 4.2Blei 2.2 · 10−7 +3.9 · 10−3 Diamgnetisch -Cäsium 1.87Eisen 1 · 10−7 +5 · 10−3 ≈ 5800 (Ferromagnet) -Germanium 0.14 - - -Gold 2.2 · 10−8 +4 · 10−3 1− 3.4 · 10−5 (Diamagn.) 4.83Kalium - - - 2.15Kupfer 1.7 · 10−8 +6.8 · 10−3 1− 6.4 · 10−6 (Diamagn.) 4.84Messing 7 · 10−8 +2 · 10−3 -Nickel 7.8 · 10−8 +6 · 10−3 ≈ 1120 (Ferromagnet) 5.09Platin 1 · 10−7 +3 · 10−3 1 + 2.8 · 10−4 (Paramagn.) 5.3Silber 1.59 · 10−8 +3.8 · 10−3 - 4.43Wolfram 5.3 · 10−8 +4.8 · 10−3 - 4.57Zink 5.8 · 10−8 +3.7 · 10−3 - 4.34

Elektrische Isolatoren, transparente Stoffe

ρ : Spezifischer Widerstand (bei 20◦C)εr : Dielektrizitätszahl

n : Brechungszahl (gegen Vakuum)

Stoff ρ εr nin Ω ·m - -

Silicium (rein) 1.7 · 104 -Glimmer 5 · 1014 7 -Salz (NaCl) - 1.54

Quarzglas 3 · 1014 4 1.46Diamant - 2.42

Plexiglas 1 · 1013 3.4 1.5Paraffin 3 · 1016 2.1 -Teflon 1 · 1013 2 -Benzol - 2.3 1.49

Ethanol - - 1.36

Glycerin - 1.47

Wasser - 80 1.33

Eis - 1.31

Luft - 1.0006 1.000272

c©Adrian Wetzel 36

Muste

r

Ta

be

lle

n

Elektromagnetisches Spektrum

101

1

101

0

109

108

101

3

101

2

101

4

101

7

101

6

101

9

101

8

107

106

102

0

102

1

f

in Hz

3 10

×-2

0.3

330

300

lin m

3 10

×-3

3 10

×-4

3 10

×-5

3 10

×-6

3 10

×-8

3 10

×-9

3 10

×-1

0

3 10

×-1

1

3 10

×-1

2

3 10

×-1

3

1 m

1 c

m

1 m

m

1 n

m

1 p

m

1 k

m

Rundfunk Mikrowellen InfrarotUltra-violett

Röntgen- und gamma

LW

MW

UK

W

VH

FU

HF

Rad

ar

mW

-H

erd

1m

m

101

5

wei

che

mit

tler

e

hart

e Röntgen-Strahlung

SichtbaresLicht

SichtbaresSpektrum

400500600700750 Wellenlänge [nm]

3 10

×-7

Astronomische Daten

m : Masse des Himmelskörpersr : Radius des HimmelskörpersTU : Umlaufzeit um Kraftzentruma, R : grosse Bahnhalbachse

bzw. Umlaufradius

TRot : Umlaufzeit Eigendrehungg : Fallbeschleunigung (Ortsfaktor)vF : Fluchtgeschwindigkeit

Himmels- m r TU a bzw. R TRot g vFKörper in kg in m in Tagen in m in m

s2in km

s

Merkur 3.31 · 1023 2.425 · 106 87.969 5.79 · 1010 58.65 d 3.63 4.2Venus 4.87 · 1024 6.070 · 106 224.701 1.082 · 1011 243 d 8.60 10.3

Erde 5.98 · 1024 6.378 · 106 365.256 1.496 · 1011 23.93 h 9.81 11.2

Mars 6.42 · 1023 3.395 · 106 686.98 2.279 · 1011 24.63 h 3.74 5.0Jupiter 1.90 · 1027 7.13 · 107 4332.57 7.783 · 1011 9.48 h 25.9 61Saturn 5.69 · 1026 6.01 · 107 10759.22 1.429 · 1012 10.23 h 11.3 37Uranus 8.69 · 1025 2.56 · 107 30685.40 2.875 · 1012 17.2 h 9.0 22Neptun 1.03 · 1026 2.43 · 107 60189 4.504 · 1012 15.8 h 11.5 24Mond 7.35 · 1022 1.74 · 106 27.32 3.844 · 108 1.622 2.38Sonne 1.99 · 1030 6.96 · 108 - - - 273.98 617.7

c©Adrian Wetzel 37

Muste

r

IndexAdiabate, 19Aktivität, 31Amontons, 19Amplitude, 12, 13, 20, 27Anode, 22Arbeit, Energie, 10, 11, 21, 28, 29Atom, Atomkern, 28, 30Auftrieb, 8Auslenkung, Elongation, 12, 13Austrittsarbeit, 28Avogadrozahl, 19, 22

Barometerformel, 8Bernoulli, 8Beschleunigung, 4Beugung, 16Bildhöhe, -Weite, 15Bindungsenergie, 28, 30Biot-Savart-Kraft, 23Blindwiderstand, 21, 22, 24, 26Bohr’sches Atommodell, 28Boltzmann-Konstante, 18Boyle-Mariotte, 19Brechungsgesetz, 15Brennpunkt, 11, 15Brewsterwinkel, 15

Carnot Kreisprozess, 19Celsius, 17Coulomb’sches Gesetz, 20

De Broglie-Wellenlänge, 28Dichte, 8, 33Differentialgleichung, 12Diffusion, 17Dioptrie, 15Dopplereffekt, 14Drehimpuls, Drallsatz, 7Drehmoment, 7Druck, 8, 18, 19

Effektivspannung, Effektivstrom, 20, 21Eigenfrequenz, 14Einstein’sche Postulate, 29Elastizitätsmodul, 10, 33Elektrisches Feld, 20Elektrisches Potential, 20Elektrizität, 20Elektrolyse, 22Elektromagnetische Welle, 13Elementarladung, 20Elementarwellen, 16Ellipse, 11, 37Elongation, Auslenkung, 12, 13Energie, Arbeit, 10, 11, 21, 28–30Energieerhaltung, 11Entropie, 18Erstarrungswärme, 17

Fallbeschleunigung, 5, 6Feder, Federkonstante, 6, 10, 12Filter (R-L-C), 27Fluid (Flüssigkeit), 8Fluid (Flüssigkeit, Gas), 8Frequenz, 5, 12, 13, 27, 28

Galilei-Transformation, 29Galileo Galilei, 5Gasgleichung, 19Gay-Lussac, 19Gedämpfte harm. Schwingung, 12Gegenstandshöhe, -Weite, 15Geschwindigkeit, 4–8, 10, 12, 13Gewichtskraft, 6Gitter (Optik), 16Gleichförmige Bewegung, 4Gleichspannung, Gleichstrom, 20Gravitationskraft, 6Grundfrequenz, Grundschwingung, 14

Hagen-Poiseuille, 8Halbwertszeit, 31Hangabtriebskraft, 6Harmonische Schwingung, 12Harmonische Welle, 13Hauptsätze (Thermodyn.), 18Hebelgesetz, 7Heisenberg’sche Unschärferelation, 28Heizwert, 17, 35Hohlspiegel, 15Hooksches Gesetz, 10Horizontaler Wurf, 5Hubarbeit, 10Huygens’sches Prinzip, 16Hydrodynamik, 8Hydrostatischer Druck, 8

Ideales Gas, 19Impedanz, 21, 26, 27Impuls, 7, 28, 29Induktionsgesetz, 24Induktivität, 24, 26Inertialsystem, 29Innere Energie, 17, 18Isotope, 31

Kapazität, 22Kathode, 22Kelvin, 17Kepler’sche Gesetze, 11Kernphysik, Kernkraft, 30Kinetische Energie, 10, 18Kirchhoff’sche Gesetze, 21Knotenregel, 21Kompression, 10, 18Kompressionsmodul, 10, 33Kondensationswärme, 17, 34

c©Adrian Wetzel 38

Muste

r

Kondensator, 22, 26Konkav- Konvexlinse, 15Kontinuitätsgleichung, 8Kraft, 6–9, 23Kreisbewegung, 5

Längenausdehnung, 17, 34Längenkontraktion, 29Ladung, 20, 22, 26, 30Leistung, 11, 21Lenzsche Regel, 24Lichtgeschwindigkeit, 13, 15, 29Linsengleichung, 15Longitudinalwelle, 13Lorentz-Transformation, 29Lorentzkraft, 23Luft (Druck, Dichte), 8

Magnetfeld (Magn. Flussdichte), 23Magnetischer Fluss, 24Maschenregel, 21Masse (relativistisch), 29Materiewellen, 28Molmasse, 19

Neutron, Neutrino, 30, 31Normalkraft, 6Normbedingungen, 8Nukleon, 30Nuklidkarte, 31

Ohmsches Gesetz, 21Optik, 15Ort, 4Ortsfaktor, 5, 6Oszillator, 12, 27

Parallel, 6, 21, 22Periodendauer, 5, 6, 12, 13, 20Phase, 12, 13, 20, 27Photon, 28, 31Planeten, 11, 37Plattenkondensator, 22Poisson-Zahl, 10, 33Potentielle Energie, 10Proton, 30

Quantenphysik, 28Querkontraktion, 10

R-L-C-Stromkreise, 25–27Radioaktivität, 31Reflexion, 13, 15Reibungskraft, 6, 9, 12, 34Relativitätstheorie, 29Resonanz, 12, 27RLC-Schwingkreis, 27Rotationsenergie, 10

Saite, 14Sammellinse, 15Schallgeschwindigkeit, 13, 33

Schallintensität, 14Scheitelspannung, Scheitelstrom, 20, 21, 27Schiefe Ebene, 6Schiefer Wurf, 5Schmelzpunkt, 34Schmelzwärme, 17, 34Schrödingergleichung, 28Schubspannung, 8Schwebung, 14Schwerpunkt, 9Schwingkreis, RLC, 27Schwingung, 12Serie, 6, 21, 22Siedepunkt, 34Spalt (Optik), 16Spannarbeit, Feder, 10Spannkraft, 6Spannung, 20Spezifische Schmelz-, Verdampfungswärme, 17, 34Spezifische Wärmekapazität, 17, 34Spezifischer Widerstand, 21Spule, Induktivität, 24Stefan-Boltzmann, 18Stehende Welle, 13, 14Steiner, Satz von, 9Stossprozesse, 7Streulinse, 15Stromkreise (R, L, C), 25–27Stromstärke, 20–23

Temperatur, Thermodynamik, 17–19Totalreflexion, 15Trägheitsmoment, 9Transformator, 25Transversalwelle, 13

Van der Waals Gas, 19Verbrennungswärme, 17, 34Verdampfungswärme, 17, 34Vergrösserung, 15Viskosität, 8, 33Volumen, Volumenausdehnung, 8, 10, 17–19Volumenausdehnung, 34

Wärme, -kapazität, -leitung, 17, 34Wärmearbeitsmaschine, 18Wärmekapazität, 17, 34Wärmestrahlung, 18Wasserstoff, 28Wechselstrom, Wechselspannung, 20, 21, 26, 27Wellen, 13Widerstand, 21Winkelgeschwindigkeit, 5, 6, 12, 13, 20Wirkungsgrad, 11, 18, 19Wirkwiderstand, Wirkleistung, 21Wurfbewegungen, Wurfparabel, 5

Zeitdilatation, 29Zentralkraft, Zentralbeschleunigung, 5, 6Zugspannung, Zugfestigkeit, 10, 33

c©Adrian Wetzel 39

Muste

r

Vanadium

+2 bis +5

50.9415

Nb41

19103407

1.45

Niob

+3, +5

92.906

24774744

1.23

Ta73

Tantal

+5

180.948

Db105

30175458

1.33

Dubnium

[262]

--

-

Cr24

2

Chrom

+2, +3, +6

51.9961

Mo42

19072671

1.56

8

1

13

2

Molybdän

+6

95.94

26234639

1.30

8

1

13

18

W74

2

Wolfram

+2, +3, +6

183.84

Sg106

34225555

1.40

8

2

12

18

32

2

Seaborgium

[266]

--

-

8

2

12

18

32

32

Mangan

+2, +3, +4

54.9380

Tc43

12462061

1.60

8

2

13

Technetium

+4, +6, +7

[98]

21574265

1.36

8

2

13

18

Re75

Rhenium

+4, +6, +7

186.207

Bh107

31865596

1.46

8

2

13

18

32

Bohrium

[264]

--

-

8

2

13

18

32

32

2

2

2

2

Eisen

+2, +3

55.845

Ru44

153828618

2

14

Ruthenium

+3

101.07

23344150

1.42

8

1

15

18

Os76

Osmium

+3, +4

190.23

Hs108

30335012

1.52

8

2

14

18

32

Hassium

[264]

--

-

8

2

14

18

32

32

2

2

2

2

1.64

Co27

Kobalt

+2, +3

58.933

Rh45

149529278

2

15

Rhodium

+3

102.906

19643695

1.45

8

1

16

18

Ir77

Iridium

+3, +4

192.217

Mt109

24464428

1.55

8

2

15

18

32

Meitnerium

[268]

--

-

8

2

15

18

32

32

2

2

2

2

1.70

Pr59

Praseodyn

+3

140.908

9313520

-

Protactin1572-

Nd60

2

Neodym

+3

144.24

10213074

-

8

2

8

18

22

2

Uran11354131

-

8

Pm61

2

Promethium

+3

[145]

10423000

-

8

2

8

18

23

2

Neptunium644-

8

Sm62

2

Samarium

+2, +3

150.36

10741794

-

8

2

8

18

24

2

Plutonium6403228

-

8

Eu63

2

Europium

+2, +3

151.96

8221596

-

8

2

8

18

25

2

Americium11762011

-

8

5b 6b 7b 8b

V23 Mn25 Fe26

8b

EZ

K

Element

OX

SMPSDPL

M

N

O

P

Q

EN

SMP: Schmelzpunkt in °C

SDP: Siedepunkt in °C

OX: Oxidationszahlen

At. Gew.: Atomgewicht in u

EN: Elektronegativität

K, L, ... : Elektronen-Konfiguration

E : Element der

Ordnungszahl ZZ

At. gew.

Lanthaniden

Actiniden

Sc21

Scandium

+3

44.9559

Y39

15412836

1.20

Ytrrium

+3

88.906

15223345

1.11

La57

Lanthan

+3

138.906

Ac89

9183464

1.10

Actinium

+3

[227]

10513198

-

2

Titan

+2, +3, +4

47.867

Zr40

16683287

1.32

8

2

2

Zirkon

+4

91.224

18554409

1.22

8

2

10

18

Hf72

2

Hafnium

+4

178.49

Rf104

23334603

1.23

8

2

10

18

32

2

Rutherfordium

+4

[261]

--

-

8

2

10

18

32

32

10

2

8

2

11

2

8

1

12

18

2

8

2

11

18

32

2

8

2

11

18

32

32

Ce58

2

Cerium

+3, +4

140.116

7983443

-

8

2

9

18

19

Thorium17504788

-

2

8

2

8

18

21

2

8

3b 4b

2

8

Ti22

Be4

12872471

6501090

Ca20

Sr38

8421484

Strontium

+2

87.62

7771382

Ba56

Barium

+2

137.327

Ra88

7271897

Radium

+2

700-

[226]

2

8

2

9

2

8

2

9

18

2

8

2

9

18

18

2

8

2

9

18

18

32

Th90+4

232.038 29

18

20

32

2a

2

10

18

18

32

2 1.472

2

8

1.23

2

2

8

1.04

2

8

2 0.998

2

8

18

2

8

2

8

18

18

2

8

2

8

18

18

32

H1

2.2

2Lithium0.97

1

2

Natrium

8

97.8883

1.01

1

2

Kalium

8

63.38759

1

8

2

Rubidium

+1

85.4678

39.31688

0.898

1

8

18

Cs55

2

Caesium

8

28.44671

0.86

1

8

18

18

Fr87

2

Francium27-

0.868

1

8

18

18

32

Wasserstoff

1a

2

2

2

2

8

2

2

8

2

8

8

2

8

18

2

2 0.97

8

2

8

18

18

0.97

8

2

8

18

18

32

2

Lithium

1

2

Natrium

8

1

2

8

1

8

2

Rubidium

8

1

8

18

2

Caesium

8

1

8

18

18

2

Francium

8

1

8

18

18

32

Wasserstoff

1a

1 -259.3-252.9

+1, -1

1.00794

180.51342

Li3+1

6.941

+2

9.0122

Magnesium

Beryllium

Mg12Na11+1

22.9898 24.3050

+2

Calcium

39.0983

+1 +2

40.078

K19

0.91

Kalium

Rb37

+1

132.905

+1

[223]

Pa91+5, +4

231.036

U92+3 bis +6

238.02929

18

21

32 Np93+3 bis +6

[237]29

18

22

32 Pu94+3 bis +6

[244]28

18

24

32 Am95+3 bis +6

[243]28

18

25

32

Periodensystem

Muste

r