Formelsammlung zur Klausurvorbereitung (ENTWURF) · Bis 100 Mindestens 10 Klassen Bis 1000 Mindestens 13 Klassen Bis 10000 Mindestens 16 Klassen. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Bracke

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Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Bracke

Lehrstuhl für Zuverlässigkeitstechnik und Risikoanalytik

Fakultät für Maschinenbau und Sicherheitstechnik

Gaußstraße 20, 42119 Wuppertal

Formelsammlung zur Klausurvorbereitung

(ENTWURF)

„Sicherheitstheorie“

&

„Grundlagen der technischen Zuverlässigkeit“




Gaußstraße 20

42119 Wuppertal






1) A B = A B

2) A B = A B

𝑃(𝐴) = ∑ 𝑝 (

𝑖

𝜔𝑖) = 𝑔 (𝐴)1

𝑚=

𝑔 (𝐴)

𝑚

P(B | A) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

P(A B) = P(A) · P(B | A)

f(x) F(x)

R(x) = 1 – F(x) λ (x) = 𝑓(𝑥)

𝑅(𝑥)

f(x) = 𝑏

Τ ∙ (

𝑥

Τ) 𝑏−1 ∙ 𝑒

− (𝑥Τ

)𝑏

f(x) = 𝑏

Τ−𝑡0 ∙ (

𝑥− 𝑡0

Τ−𝑡0 ) 𝑏−1 ∙ 𝑒

− (𝑥−𝑡0 Τ− 𝑡0

)𝑏

f(x) = 1

x ∙ σ √2 𝜋 ∙ 𝑒

− (𝑙𝑔 𝑥 − 𝜇)2

2 𝜎2

h(A) = 𝑛(𝐴)

𝑛

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

P(A B) = P(A) · P(B)

P(Aj|B) = 𝑃(𝑂𝐴𝑗𝐵)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐴𝑗) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

∑ 𝑃(𝐴𝑖)∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖 =1

f(x) = λ · e -λx

f (x)= 1

σ √2 π ∙ e

- 12

(x- μσ

)2






𝑅𝑠 (𝑥) = ∏ 𝑅𝐵𝑖 (𝑥)

𝑛

𝑖=1

𝑅𝑠 (𝑥) = 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖 (𝑥))

𝑛

𝑖=1

y = �̅� y = x1 ˅ x2 y = x1 ˄ x2

F(x) = 𝑖−0,3

𝑛+0,4

b = 𝜎𝑁

2,30258⋅𝑆𝑙𝑜𝑔

𝑆2 =1

𝑛 − 1 ∑

𝑛

𝑖=1

(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑆2 =1

𝑛 − 1 [(∑

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖2) −

1

𝑛 (∑

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖)2

]

𝑆𝑙𝑜𝑔 = √1

𝑛 − 1 [∑(log 𝑥𝑖) 2

− 1

𝑛 (∑ 𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

)2

𝑛

𝑖=1

]

Fs (x) = 1 – Rs (x)

RB (x) = exp (− (𝑥−𝑡𝑜

Τ−𝑡𝑜) 𝑏)

F(x) = 𝑖

𝑛+1

F(x) = 1 - 𝑒 − (

𝑥

Τ)

𝑏

Τ = 10[(∑ log(𝑥𝑖)𝑛

𝑖=1 )𝑛

+ �̅�𝑁

2,30258⋅𝑏 ]






�̅� =1

𝑛 ∑

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖

𝑏 1

1 + √𝑘𝑛

≤ 𝑏 ≤ 𝑏 (1 + √𝑘

𝑛 )

Τ (2𝑛

𝜒2𝑛, 1− 𝛼2⁄

2 )

1𝑏

≤ Τ ≤ Τ (2𝑛

𝜒2𝑛, 𝛼 2⁄2 )

1𝑏

𝜆(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑅(𝑥)=

𝑓(𝑥)

1 − 𝐹(𝑥)

⟹ 𝜆(𝑥) = 𝑏

Τ ∙ (

𝑥

Τ)

𝑏−1

k VB

1,4 90 %

2,0 95 %

3,4 99 %






2

2

1

2

1)(

x

exf

xnx qpx

nxf

)( Transformationsformel: 𝑢 =

𝑥− 𝜇

𝜎

pn ; qpn 2

Annäherung BV durch PV erlaubt wenn: 10 pn und pn 1500

ex

xfx

!)(

n

N

xn

MN

x

M

xf )(

N

Mn

)1(

)()(2

2

NN

nNMNMn

Annäherung HV durch die BV erlaubt wenn:

nN mit mindestens Nn 05,0 (Prozentsatz dann N

Mp )

𝑛 ∙ �̂� ∙ (1 − �̂�) > 9

1)(n

cxn

cxP

Beidseitig: links: rechts:

)( cXcP )( cXP )( cXP

2

1)(

c 1)(c )(c n

cl

2

1)(n

scx

n

scxP

Beidseitig: links: rechts: )( cTcP )( cTP )( cTP

2

1)(

cF 1)(cF )(cF

1 nf n

csl

2 n > 30 dann s






𝑃 ((𝑛 − 1)𝑠²

𝑐2≤ 𝛿² ≤

(𝑛 − 1)𝑠²

𝑐1) = 𝑦 = 1 − 𝛼


𝑃(𝑐2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑐1) 𝑃(𝑍 ≥ 𝑐2) 𝑃(𝑍 ≤ 𝑐1)

𝐹(𝑐1) =1

2 (1 − 𝛾) 𝐹(𝑐2) = 𝛾 𝐹(𝑐1) = 1 − 𝛾 = 𝛼

𝐹(𝑐2) =1

2 (1 + 𝛾)

𝑓 = 𝑛 − 1 𝑙 =(𝑛−1)(𝑐2−𝑐1)𝑠²

𝑐1∙𝑐2

𝑃 (�̂� −𝑐

𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�) ≤ 𝑝 ≤ �̂� +

𝑐

𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�)) = 𝛾 = 1 − 𝛼


𝑃(−𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑐) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐)

𝛷(𝑐) =𝛾+1

2 𝛷(𝑐) = 1 − 𝛾 𝛷(𝑐) = 𝛾

𝑙 = 2𝑐

𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�) 𝑠 = √

∑ (𝑥𝑖−�̅�)²𝑛𝑖=1

𝑛−1 �̅� =

𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛

𝑛=

1

𝑛∙ ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

�̃� = 𝑥𝑛

2+𝑥𝑛

2+1

2 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑘 = √𝑛 𝑤 =

𝑅

√𝑛=

𝑅

𝑘

𝑘 = 1 +10 log(𝑛)

3 𝑤 =

𝑅

𝑘

𝑠𝑥2 =

1

𝑛−1∑ (𝑥𝑖 −�̅� )2𝑛

𝑖=1 𝑠𝑦2 =

1

𝑛−1∑ (𝑦𝑖 −�̅� )2𝑛

𝑖=1

𝑠𝑥𝑦 =1

𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)𝑛

𝑖=1 𝑟 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥∙𝑠𝑦

𝑆(𝑎𝑖 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1

𝑎 =𝑛∙∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖−(∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )∙(∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1 )

𝑛∙∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )

2 =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖−𝑛�̅��̅�

∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −𝑛�̅�2 𝑏 =(∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 )(∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1 )−(∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )(∑ 𝑥𝑖∙𝑦𝑖

𝑛𝑖=1 )

𝑛∙∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )

2 = �̅� − 𝑎 ∙ �̅�

𝑠𝑥𝑦 =1

𝑛−1(∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑛 �̅� �̅�𝑛

𝑖=1 ) 𝑟 =∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖−𝑛 �̅� �̅�𝑛

𝑖=1

√(∑ 𝑥𝑖2−𝑛 �̅�2𝑛

𝑖=1 )(∑ 𝑦𝑖2−𝑛 �̅�2𝑛

𝑖=1 )

Stichprobenumfang n Anzahl k der Klassen

Bis 50 Keine Klasseneinteilung

Bis 100 Mindestens 10 Klassen








Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

(entnommen aus: Papula L., Mathematische Formelsammlung – Für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 11. Auflage, Springer Vieweg, 2014)






Quantile der Standardnormalverteilung







Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung







Quantile der t-Verteilung nach Student (Gosset)







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