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Version: 05.04.2011
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
INSTITUT FÜR BODENMECHANIK UND FELSMECHANIK
Univ. Prof. Dr. - Ing. habil. Theodoros Triantafyllidis
Formelsammlung zur Vorlesung
Bodenmechanik I SS 2011
Ausgearbeitet von: D. Rebstock
Überarbeitet von: P. Kudella
Alle Rechte der Vervielfältigung vorbehalten !
www.kit.edu
Inhalt SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 1
Inhaltsverzeichnis 1. DARSTELLUNG VON BOHRPROFILEN ................................................................................................2 2. BODENKLASSIERUNG ..............................................................................................................................4 3. PORENANTEIL, WASSERGEHALT, WICHTEN...................................................................................5 4. KONSISTENZ, LAGERUNGSDICHTE.....................................................................................................6 5. DURCHSTRÖMUNG, DURCHLÄSSIGKEIT...........................................................................................7 6. VERTIKALE ZUSAMMENDRÜCKUNG..................................................................................................8 7. SPANNUNGSAUSBREITUNG ..................................................................................................................10 8. SETZUNGSBERECHNUNG......................................................................................................................11 9. KONSOLIDIERUNG ..................................................................................................................................12 10. SCHERFESTIGKEIT .................................................................................................................................13 11. ERDDRUCK.................................................................................................................................................14 12. GELÄNDEBRUCH .....................................................................................................................................17 13. GLEITEN UND GRUNDBRUCH..............................................................................................................21 Diese Formelsammlung wurde sorgfältig überprüft. Sie ersetzt aber nicht das sorgfältige Studium der
grundsätzlichen Zusammenhänge !!!
Eventuelle Druckfehler oder Unklarheiten bitte melden an [email protected].
1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 2
1. Darstellung von Bohrprofilen • Vorschriften:
DIN 4023 (Feb. 2006) Baugrund- und Wasserbohrungen, zeichnerische Darstellung der Ergebnisse DIN 18196 (Juni 2006) Bodenklassifikation für bautechnische Zwecke und Methoden zum Erkennen von Bodengruppen
• Symbole und Farben wichtiger Bodenarten
Benennung Kurzzeichen Zeichen Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung
Flächen-farbe
Kies kiesig G g Grobkies grobkiesig gG gg Mittelkies mittelkiesig mG mg Feinkies feinkiesig fG fg
hellgelb
Sand sandig S s Grobsand grobsandig gS gs Mittelsand mittelsandig mS ms Feinsand feinsandig fS fs
orangegelb
Schluff schluffig U u oliv
Ton tonig T t violett
Torf, Humus torfig, humos H h dunkelbraun
- F - helllila Mudde
(Faulschlamm) org. Beimeng. - o
-
Auffüllung - A - -
Steine steinig X x hellgelb
Blöcke mit Blöcken Y y hellgelb
Fels allgemein - Z -
Fels verwittert - Zv -
dunkelgrün
• Symbole geologisch typischer Bodenarten
Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe Mutterboden Mu hellbraun
Verwitterungslehm, Gehängelehm L grau
Geschiebelehm Lg grau
Geschiebemergel Mg blau
Löß Lö helloliv
Lößlehm Löl oliv
Klei, Schlick Kl lila
Wiesenkalk, Seekalk, Seekreide, Kalkmudde Wk hellblau
Bänderton Bt
violett
Vulkanische Asche V dunkelgrau
Braunkohle Bk schwarzbraun
1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 3
• Symbole gemischtkörniger Boden- und Felsarten Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe
Grobkies, steinig gG, x hellgelb
Feinkies und Sand fG-S orangegelb
Grobsand, mittelkiesig gS, mg orangegelb
Mittelsand, schluffig, schwach humos mS, u, h’ orangegelb
Schluff, stark feinsandig U, -fs kreß (orange)
Torf, feinsandig, schwach schluffig H, fs, u’ dunkelbraun
Seekreide mit organischen Beimengungen Wk, o hellblau
Klei, feinsandig Kl, fs lila
Sandstein, schluffig Sst, u
orangegelb
Salzgestein, tonig Lst, t
hellgrün
Kalkstein, schwach sandig Kst, s’
dunkelblau
• Erläuterungszeichen für Bohrprofile
2. Bodenklassierung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 4
2. Bodenklassierung • Benennung von Böden: Korndurchmesser d [mm]
Feinkorn (Schlämmkorn) Grobkorn (Siebkorn) TON SCHLUFF SAND KIES Steine Blöcke
fein mittel Grob fein mittel grob fein mittel grob T fU mU GU fS mS gS fG mG gG X Y
0,002 0,006 0,02 0,06 0,2 0,6 2,0 6,0 20 63 200
• Ungleichförmigkeit: 10
60
ddU =
• Krümmungszahl: 6010
230
dddCC ⋅
=
• Klassifizierung: DIN 18196
Korngrößenverteilung von der Gesamttrockenmasse d < 63 mm sind ≤ 0,06 mm
Merkmal
weniger als 40 % gleich oder mehr als 40 % Haupt-gruppe Kieskorn, Sandkorn Schluff, Ton
Massenanteil des Korns ≤ 2 mm Plastizitätsgrenze Merkmal bis 60 % über 60 % Ip unterhalb A-Linie Ip oberhalb A-Linie
Kies (G) Sand (S) Schluff (U) Ton (T) Korngrößenverteilung
von der Gesamtmasse sind ≤ 0,06 mm Plastizitätsgrenze Merkmal
< 5 % 5 ÷ 15 %
15 ÷ 40 %
< 5 % 5 ÷ 15 %
15 ÷ 40 %
Fließgrenze wl in % Fließgrenze wl in %
Merkmal U < 6 Cc bel.
U ≥ 6 1 ≤ Cc ≤
3
U ≥ 6 Cc < 1 Cc> 3
U < 6 Cc bel.
U ≥ 6 1 ≤ Cc ≤
3
U ≥ 6 Cc < 1 Cc> 3
< 35 35 ÷ 50
> 50 < 35 35 ÷ 50
> 50
Kies eng-gestuft
Kies weit gestuft
Kies intermit-tierend gestuft
Kies tonig oder
schluffig
Kies stark tonig oder
schluffig
Sand eng-
gestuft
Sand weit
gestuft
Sand intermit-tierend gestuft
Sand tonig oder
schluffig
Sand stark tonig oder
schluffig
Schluff leicht
plastisch
Schluff mittel
plastisch
Schluff ausge-prägt
plastisch
Ton leicht plastisch
Ton mittel
plastisch
Ton ausge-prägt
plastisch
Kurzzei-chen
GE GW GI GU GT
GU* GT*
SE SW SI SU ST
SU* ST*
UL UM UA TL TM TA
Die Zuordnung zu T bzw. T bei G und S erfolgt anhand der Zustandsgrenzen des Feinkorns OU, OT Schluffe / Tone mit organischen Beimengungen OH grob- bis gemischtkörnige Böden mit Beimengungen humoser Art OK grob- bis gemischtkörnige Böden mit kalkhaltigen, kieseligen Bildungen HN nicht bis mäßig zersetzte Torfe (Humus) HZ zersetzte Torfe F Schlamm als Sammelbegriff für Faulschlamm, Mudde etc.
Organische und organogene Böden:
A Auffüllung aus Fremdstoffen
3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 5
3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten
⇒Vk
V0
V
VL
VWn
1
Kornvolumen: Vk = const ! Gesamtvolumen: V Porenvolumen: V0 • Kornwichte:
nKornvolumeseTrockenmas
=sγ ( ) ( ) nwnnVG
wd
k
d
−′
+=+⋅−
=−
==1111
γγγγ
• Trockenwichte: menGesamtvolu
seTrockenmas=dγ ( )
wrs
swr
ws
wrs
wrsd
SwS
nw
nVG
γγγγ
γγγγγ
γγγγ
⋅+⋅⋅⋅
=−−
⋅=
⋅−=+
=⋅−==1
1
• Feuchtwichte: Sättigung Sr < 1 menGesamtvolu
eGesamtmass=γ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )wrwrs
swr
sd
nwSw
Sw
nwwVG
γγγγ
γγ
γγ
⋅−⋅+=⋅+⋅
⋅⋅⋅+=
⋅−⋅+=⋅+==
11
111
• Sättigungswichte Sättigung Sr = 1
( )1== rr Sγγ
( )
ws
wswd
s
w
wwswdr
w
nnnVG
γγγγγγγ
γγ
γγγγγγ
+⋅+−
=+⋅
−=
+′=⋅+⋅−=⋅+==
11
1
• Auftriebswichte: ( ) ( )wsn γγγ −⋅−=′ 1
• Porenzahl: olumenFeststoffv
lumenHohlraumvo=e ( )
wr
rs
wr
s
s
d
s
k
Sw
wn
nVV
γγγγ
γγ
γγ
γγ
−−
=⋅⋅
=
−+=−=−
== 1111
0
• Porenanteil: menGesamtvolu
lumenHohlraumvo=n ( )
ws
rs
wrs
s
ss
d
Sww
wee
VV
γγγγ
γγγ
γγ
γγ
−−
=⋅+⋅
⋅=
⋅+−=−=
+==
111
10
• Wassergehalt: Teilsättigung ewichtFeststoffg
chtWassergewi=w ( )
( )( )
−⋅=
⋅⋅−⋅⋅−
=
−⋅−
=−==
s
w
d
wr
swr
wrs
sdd
w
SS
S
nGG
γγ
γγ
γγγγγγ
γγ
γγ 1
11
• Maximaler Wassergehalt:
gesättigt ! Sr = 1
( )( ) s
w
d
w
swr
wrs
d
r
s
w
d
w
s
w enn
nwγγ
γγ
γγγγγγ
γγ
γγ
γγ
γγ
−=⋅−⋅−
=−=⋅=⋅=⋅−
= 11max
• Sättigungszahl: ( )( )[ ] ( )dsw
sd
sw
s
w
s
w
dr
ww
wee
nwwS
γγγγγ
γγγγγ
γγγ
γγγ
−⋅⋅⋅
=−⋅+
⋅⋅=
⋅−⋅+
=⋅−
==1
1
max
4. Konsistenz, Lagerungsdichte SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 6
4. Konsistenz, Lagerungsdichte Konsistenz bindige Böden: • Fließgrenze: wL Schließen einer Furche nach 25 Schlägen –
Interpolation aus mind. 4 Versuchen (Wassergehalt über log Schlagzahl) schwachbindig: 0 – 30 % bindig: 30 – 100 %
• Ausrollgrenze: wP wenn keine 2 (3) mm Röllchen mehr möglich schwachbindig: 0 – 20 % bindig: 20 – 40 %
• Plastizitätszahl PLp wwI −= schwachbindig: 0 – 10 % bindig: 10 – 90 %
• Konsistenzzahl PL
Lc ww
wwI−−
= 0,25 - 0,50 breiig cu = 10 – 15 0,50 - 0,75 weichplastisch cu = 15 – 50 0,75 - 1,00 steifplastisch cu = 100 – 200 1,00 - 1,25 halbfest cu = 100 – 400
Flüssig-breiig: Ic → 0: natürlicher Wassergehalt gleich Fließgrenze: w = wL Steif-plastisch: Ic = 1: natürlicher Wassergehalt gleich Ausrollgrenze: w = wp Anmerkung: sowohl Ic < 0, als auch Ic > 1 kommen in der Natur vor. Lagerungsdichte nichtbindige Böden:
• Lagerungsdichte: minmax
max
nnnnD
−−
= 0 ≤ sehr locker ≤ 0,15 < locker ≤ 0,3 < mitteldicht ≤ 0,5 < dicht ≤ 1,0
• Bezogene Lagerungsdichte:minmax
max
eeeeID −
−= 0 ≤ locker < 1/3 ≤ mitteldicht < 2/3 < dicht
• Proktorkennwert: Mit vorgegebener Verdichtungsenergie maximal erreichbare Trockendichte in Abhängigkeit vom
Wassergehalt: %100Pr
Pr ⋅=ρρdD → Diagramm: γd über w
Trockendichte bei Sättigung: ws
sd w γγ
γγ/1 ⋅+
=
Luftanteil:
+−=
wsda
wnγγ
γ 11 (waagrechter Abstand Sättigung / Proctotkurve)
5. Durchströmung, Durchlässigkeit SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 7
5. Durchströmung, Durchlässigkeit • Durchfluß:
AQv
∆∆
=
• Filtergeschwindigkeit: ikv ⋅= Gradient: shi ∆
∆=
• Spezifische Strömungskraft: if ws ⋅= γ
• Porenwasserdruck: hu w ⋅= γ
• Durchlässigkeit: ( ) νν
gn
nddgck w ⋅−
⋅⋅≈⋅⋅= −2
323
2
1105 ν ≈ 10-6 m²/s
Näherung: Hazen [ ] [ ]mm01,0 210s
m dk ⋅=
Terzaghi [ ] [ ]mm1
05,0 2102
2
sm D
nnk ⋅−
⋅=
• mittlere Durchlässigkeit mehrerer Schichten:
horizontal (Permissivität) ∑
∑ ⋅=
i
iim d
dkk → Parallelschaltung
vertikel (Transmissivität)
∑∑=
i
i
im
kdd
k → Reihenschaltung
• Hydraulisches Gefälle je Schicht:
mittel
Stromliniei
n
ni
i
klk
H
kdk
Hi⋅
∆=
⋅
∆=
∑
lStromlinie: gesamte Länge der Stromlinie entlang des umflossenen Gebiets kmittel: mittlere vertikale Durchlässigkeit
• Wasserdrücke: ( )∑ ⋅∆−∆⋅=∆ iiwi ilhw γ Wenn Verhältnis der k-Werte bei vertikaler Durchströmung > 100, wird der gesamte Druck in der praktisch undurchlässigen Schicht abgebaut. Wegen der Schichtung ist die horizontale Durchlässigkeit im Boden größer als die vertikale. Druckabbau innerhalb einer Schicht verläuft näherungsweise linear.
• Strömungsnetz: → Stromlinien, Potentiallinien
Energiesatz: const=+= zpHγ
Durchströmung: Hknnq
p
s ∆⋅⋅= Quadratnetz ! Potentialstufen: np
Stromröhren: ns
• Durchlässigkeitsversuche: - Spiegelhöhe konstant
AQikv =⋅= → A
shkq ⋅
∆∆
⋅=
kritisches Gefälle bei vertikaler Durchströmung – Boden gewichtslos
( ) ( )
w
ws
wkrit
niγ
γγγγ −⋅−
=′
=1
- Spiegelhöhe veränderlich mit der Zeit
⋅⋅−=
01
2 lnhh
kd
AAt
A1: Probenfläche A2: Pipettenfläche h ist Differenz der Spiegelhöhen Probe – Pipette h < h0
6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 8
6. Vertikale Zusammendrückung • Änderung der Porenzahl e bei Zusammendrückung:
( ) 11 00
* −+= ehhe
Vk = konst, V0 = variabel Ansatz: e = V0/Vk V0+Vk=h0 → Vk=h0/(1+e) e0: Anfangsporenzahl h0: Anfangshöhe h: Endhöhe
• Setzung bei Änderung der Porenzahl e:
0
*
0 11
eehh
++
= → 0
0*
00 1 eeehhhs
+−
=−=
• Relative Zusammendrückung und wirksame Spannung:
Zusammendrückungsgeschwindigkeit: dd
∆∆
=&
&ε ∆d : momentane Dicke
d&∆ : Verringerung der Dicke je Zeiteinheit
Relative Zusammendrückung: 0
0
0
0
0V
VVd
dddtt
t
−≈
∆∆−∆
≈≈ ∫εε &
Porenzahl: ( )00 1 eee +−≈ ε
Wirksame Spannung: u−=′ σσ σ = ∆F / ∆A → normalkonsolidiert: wird eine Bodenschicht genannt, wenn sie in jeder Tiefe diejenige Porenzahl aufweist, die zu der in-situ vorhandenen Vertikalspannung gehört. → überkonsolidiert: ein vorbelasteter und teilweise wieder entlasteter Boden
• Erstbelastung:
Kompressionsbeiwert: Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagr. ( )
σσ
ε
σσ
′′
+=′−= d
edeC c1
lnd
d
0
Steifemodul: Tangentenneigung im σ' – ε – Diagramm
c
s CeE +′=
′=
1dd σ
εσ
e
ln σ/σ0
CC
CS
CC
σe
1
Porenzahl:
′⋅−=
00 ln σ
σcCee
Diagramm: ln(σ'/σ0) über e: körniger Erdstoff: je nach ID nahezu horizontale Gerade bindiger Erdstoff: Gerade mit abweichenden Rändern
Äquivalente Spannung:
−=
ce C
eeexp 00σσ
• Entlastung:
Schwellbeiwert: CS Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagramm bei Entlastung
Geradengleichung:
′
′−=
0σσ
lnCee Sv
Steifemodul: S
s CeE +′=
1σ größer als bei Erstbelastung!
• Wiederbelastung: Vorspannung: σv Übergangspunkt von Wiederbelastung zur Erstbelastung
Porenzahl:
′
′−
′′
−=e
Ce
S lnClnCeeσσ
σσ
00
6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 9
Äquivalente Spannung: c
S
CC
vv
c
vs
vc
e C''lnC'lnC
exp
′′
′=
+
=σσσ
σσ
σσ
σσ 00
Setzung:
∆++
+
=e
vC
v
es
plnClnCe
Hsσ
σσσ
1
7. Spannungsausbreitung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 10
7. Spannungsausbreitung • Eigengewichtsspannung:
zzz ⋅=′= γσσ oberhalb des GW
iiiziz d⋅′+′=′ − γσσ 1,, allgemein; unter GW → Abschnittsweise linear mit Knicken an Schichtgrenzen, Grundwasserspiegel
• Spannungen infolge Auflasten: - Boussinesq; Einzellast q, bzw. kreisförmige Lastfläche mit pi und Ai
ϑπ
σ 52 cos
23
zF
p = 22
cosrz
z+
=ϑ r: Abstand auf Oberfläche
Verteilte Lasten: Superposition
( )∑∑−
+⋅== 25223
, 23
iiiipp rzApzπ
σσ
- Druckausbreitung unter 45° bei örtlich begrenzter Oberflächenlast
( )( )bz
azzp
⋅+⋅+=
2121σ z: Tiefe a, b: Abmessungen der Auflast p
- Steinbrenner: Spannung im Randpunkt einer rechteckförmigen, schlaffen Lastfläche piz ⋅=σ Fläche: a ≥ b
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,00
0,50
1,00
1,50
2,00z/b z/b
σzσz = i ⋅ p
z
a ≥ b
pa
b
a/b = 1a/b = 1,5
Beiwert i
a/b = 2,0a/b = 3,0a/b = 5,0a/b = 10 bis ∞
a/b = 1,0a/b = 1,5a/b = 2,0
a/b = 3,0
a/b = 10a/b = 5,0
a/b = ∞
- Beliebige Punkte durch vorzeichengerechte Superposition von Teilflächen zu erreichen. Formel für i:
( ) ( )( )
⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+
++
⋅== 2222
22
2222arcsin
21;
bazrrzrzba
zbzaba
bz
bafi
π
222 zbar ++=
8. Setzungsberechnung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 11
8. Setzungsberechnung • Steifemodul ES → Verformungsmodul Ev
Erste Näherung: Ev = ES oder Korrekturfaktor nach DIN 4019 • Direkte Setzungsberechnung (Für schichtweise konstantes Ev)
( )∫=
=t
zv
dzzE
s0
1 σ
Nach Steinbrenner: v
os
Epbfs ⋅⋅
= Ev = Verformungsmodul po = Oberflächenlast
Setzungsbeiwert ( )bz
baffs ;= a = Fundamentlänge
b = Fundamentbreite z = Tiefe
in Tafeln oder Diagrammen, hier für ν = 0,5 und Setzung des Eckpunktes (vgl. Bild 7.6 AfBM) z/b a/b 1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 10,0 ∞
0,25 0,0622 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,5 0,1222 0,1232 0,1232 0,1233 0,1234 0,1234 0,1234 0,75 0,1770 0,1799 0,1806 0,1812 0,1814 0,1814 0,1814 1,0 0,2247 0,2314 0,2333 0,2346 0,2349 0,2350 0,2350 1,5 0,2988 0,3161 0,3223 0,3264 0,3276 0,3279 0,3279 2,0 0,3500 0,3792 0,3914 0,4003 0,4033 0,404 0,4040 3,0 0,4143 0,4634 0,4880 0,5091 0,5194 0,5221 0,5222 4,0 0,4501 0,5137 0,5484 0,5823 0,6029 0,6094 0,6099 6,0 0,4897 0,5705 0,6196 0,6751 0,7173 0,7358 0,7383 8,0 0,5097 0,5997 0,6574 0,7269 0,7887 0,8232 0,8297 10 0,5217 0,6175 0,6806 0,7593 0,8367 0,8878 0,9007 12 0,5297 0,6295 0,6964 0,7817 0,8711 0,9376 0,9587 15 0,5378 0,6415 0,7126 0,8051 0,9074 0,9923 1,0298 18 0,5432 0,6496 0,7231 0,8207 0,9323 1,0337 1,0880 ∞ 0,5460 0,6536 0,7283 0,8285 0,9449 1,0553 1,1216
• Bei geschichteten Untergrundaufbau:
−+⋅=+=
2
00
1
021
121
v
bz
sb
z
s
v
bz
sop E
ffEf
pbsss
a
b p0
zz1
z2
Ev1
Ev2 • Mittelwert bei verschiedenen Ev (z.B. dünnbankig geschichteter Boden)
( )1221
2121
xExEEExxE
vv
vvv ⋅+⋅
⋅⋅+= Mittelung über Kehrwerte !
• Indirekte Setzungsberechnung 1. Einteilung Untergrund in Schichten 2. Vorlastzustand σvj in Schichtmitten (Eigengewicht – GW!, Nachbargebäude, ...) 3. Zusatzspannung infolge Baumaßnahme an Schichtgrenzen (evtl. Aushub berücksichtigen) 4. Mittlere Zusatzspannung ∆σj – Mittelwert der Werte an den Schichtgrenzen 5. Mit σvj und ∆σj kann direkt aus dem Drucksetzungsversuch das zugehörige ∆εj ermittelt werden 6. Gesamtsetzung – Summe der Setzungen der einzelnen Schichten:
∑∑==
∆⋅∆
=∆⋅∆=n
jj
sj
jn
jjj z
Ezs
11
σε
Grenztiefe: zg: wenn ∆σg = 20% ⋅ σvg • Starr – schlaff: schlaffstarr ss ⋅≈ 75,0
9. Konsolidierung SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 12
z
umax
9. Konsolidierung Konsolidierungsbeiwert:
w
sv
Ekcγ
=
∆p: aufgebrachte Belastung ∆u: Porenwasserüberdruck ∆σ': effektive Zusatzspannung H. Schichtdicke d: Entwässerungslänge, das bedeutet rechnerische Schichtdicke H bei einseitiger Entwässerung, halbe Schichtdicke H/2 bei beidseitiger Entwässerung µ: Konsolidierungsgrad
( ) ( ) ( )p
tzup
tztz∆
∆−=
∆′∆
=,1,, σµ ( ) ( ) ( )∫==
∞
d
dztzds
tst0
,1 µµ
Abschätzung: 222dtcT vv
⋅⋅
⋅=⋅≈ππ
µ bzw. 2
4µπ
⋅≈vT für 0 ≤ µ ≤ 0,5
( ))ln(,,Tv µ−+⋅−≈ 12104050 für 0,5 ≤ µ ≤ 0,9
ACHTUNG: d = H, wenn einseitig d = H/2, wenn beidseitig entwässert
Zeitfaktor: tdcT v
v ⋅= 2
TV,98 = 4 Konsolidationsdauer:
vcdt
2
984 ⋅
=
Modellgesetz (Terzaghi): 2
=
M
p
M
p
dd
tt
Momentane Setzung: ∑ ∞⋅= ii ss µ Isochronen des Porenwasserüberdruckes näherungsweise Parabeln 2. Ordnung (ACHTUNG: obere Grenze beachten → Max der Parabel nicht größer als Belastungsdruck ∆p) Beziehungen: ( ) ( )zzup σ ′∆+∆=∆ totale Zusatzspannung = Porenwasserüberdruck + effektive
Zusatzspannung ( ) pu ∆⋅−=∆ µ12
3max ( ) p∆⋅−=′∆ 132
1min µσ
p∆⋅=′∆ µσ mittlere effektive Zusatzspannung
( ) max321 upu ∆⋅=−∆=∆ µ mittlerer Porenwasserüberdruck
( )
−⋅∆=∆
2
max 1dzuzu ( ) ( )zupz ∆−∆=′∆σ
p
u∆
∆−= max
321µ
10. Scherfestigkeit SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 13
10. Scherfestigkeit Maßgebende Vorschrift: DIN 18137, T1 u. 2 • Rahmenschergerät:
Meßgrößen: Schubkraft T, Horizontalverschiebung s, Auflast p (vorgegeben) Breite des quadratischen Scherkastens: b
Schubspannung: ( )sbbT
f −⋅=τ Normalspannung: 2b
Pa =σ
Schergesetz: - Coulomb ϕστ ′⋅′+′= tanaf c
τf
σ'ac'
ϕ'
- Krey-Tiedemann – bindiger Boden
ϕσϕστ ′⋅′+′⋅′= tantan avf
cs ϕϕϕ tantantan +′=′ σ'v: effektive Spannung vor Versuchsbeginn σ'a: e.S. während des Versuchs ϕc: Winkel der Kohäsion ϕ': Winkel der inneren Reibung ϕ's: Winkel der Gesamtscherfestigkeit suc ϕσ ′⋅′= tan
τf
σ'a
c'
ϕ'
ϕc'
ϕs'
σ'v
1
23
1: normalkonsolidiert 2: überkonsolidiert 3: unterkonsolidiert
• Triaxialversuch: Meßgrößen: Stempelkraft P1, Stempelverschiebung ∆h, ggf. Volumenänderung ∆V, ggf. Porenwasserdruck u, Seitendruck σ3 (i.d.R. vorgegeben)
aFP1
31 += σσ 0
1 hh∆
=ε Fa: aktuelle Probenfläche h0: Anfangsprobenhöhe
Schergesetz: - Mohr-Coulomb:
Auftragung der effektiven Hauptspannungen σ1' und σ3' beim Bruch → ϕ' und c': Endstandsicherheit
( ) ϕϕσσσσ ′⋅′⋅+′⋅′+′=′−′ cos2sin3131 c
24φπα ′+=f
τ
c'ϕ'
σ'1σ'3σ'
σf
τf
ϕ'
2αf
σf
τf αf
- Tresca:
Auftragung der totalen Spannungen σ1 und σ3 beim Bruchzustand → cu: Anfangsstandsicherheit
231 σστ −
==uc
τ
σ1, σ3
cu
11. Erddruck SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 14
11. Erddruck • aktiv: Wandbewegung vom Boden weg • passiv: Wandbewegung zum Boden hin
+α
+β
ϕ+δ
ϑa
Q
Ea
G
C
q
+α
+β
ϕ-δ
ϑp
Q
Ep
G
C
q
• Erddruck: ( )δασ −⋅⋅⋅−⋅′= cos2 ahahzah KcKe
∫=z
ahah dzeE
• Erdruhedruck: ( α = β = δ = 0 ) ϕsin10 −=K
• Erhöhter aktiver Erddruck:
20 ahKKK +
=
• Bei vorgegebener Gleitfuge ϑ (z.B. ansteigender Fels hinter Wand)
[ ])tan()tan(cos)cos()sin(
2)cos()sin(
,2
,
,2
,
,, βααϑαδαϕϑ
ϕϑγδαϕϑ
ϕϑ+−+⋅⋅−+
⋅⋅
=−+
⋅=papa
pa
pa
papa
hGEm
m
m
m
• Evtl. zusammengesetzte Mechanismen → BM II/III • Einseitig begrenzte Auflast:
Normaler Erddruckbeiwert, Spannungsverlauf ab Reibungswinkel ansteigend bis Gleitfugenneigung zunehmend, dann konstant.
• Erddruck auf eine Stützwand Lastausbreitung (Verkehrslasten – Streifenlasten)
einfach – rechteckförmig: oben: ≤ ϕ unten: ϑa
erweiterte, z.B. trapezförmig: oben und unten je ϕ und ϑa
Umverteilung in Ersatzlastfigur abhängig von der Wandart → EAB • Freie Standhöhe:
Ea = 0: γγ
qKch
a
⋅−
⋅⋅
=24
2
ea = 0: γγq
Kch
a
−⋅
⋅=
21
11. Erddruck SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 15
• Erddruckbeiwerte – Aktiv
- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 a k t i v
−=
24tan2 ϕπ
ahK π/4 = 45° !
24ϕπϑ +=a
[ ] ahahah KcKqhe ⋅⋅−⋅+⋅= 2γ
ahahah KhcKhqhE ⋅⋅⋅−⋅
⋅+⋅⋅= 221 2γ
0=avE aha EE = - Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 a k t i v
( ) 2
2
cossinsin1
cos
⋅++
=
δϕδϕ
ϕahK
+++=
ϕϕϕϑ ϕ
δ
cos
1tanarccot tan
tan
a [ ] [ ]LL arctan90arccot −°=
[ ] δγ cos2 ⋅⋅⋅−⋅+⋅= ahahah KcKqhe
δγ cos221 2 ⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅+⋅⋅= ahahah KhcKhqhE
δtan⋅= ahav EE δcos
aha
EE =
- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 a k t i v
( )( ) ( )( ) ( )
2
2
2
coscossinsin1cos
cos
+⋅−−⋅+
+⋅
+=
βαδαβϕδϕα
αϕahK
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
−⋅−+⋅+
++++=
αδβϕβαδϕ
ϕαϕαϕϑ
cossincossin
cos1tanarccota
[ ] ( )αδγ −⋅⋅⋅−⋅+⋅= cos2 ahahah KcKqhe
( )αδγ −⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅+⋅⋅= cos221 2
ahahah KhcKhqhE
αδ −⋅= tanahav EE αδ −
=cos
aha
EE
11. Erddruck SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 16
• Erddruckbeiwerte – Passiv
- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 p a s s i v
+=
24tan2 ϕπ
phK π/4 = 45° !
24ϕπϑ −=p
phphph KhcKhqhE ⋅⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅= 221 2γ
0=pvE php EE = - Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 p a s s i v
( ) 2
2
cossinsin1
cos
⋅−−
=
δϕδϕ
ϕphK
( ) ( )
( )
−
++−+−= −
ϕϕϕϑ ϕ
δ
cos
1tanarccot tan
tan
p [ ] [ ]LL arctan90arccot −°=
δγ cos221 2 ⋅⋅⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅= phphph KhcKhqhE
δtan⋅= phpv EE δcos
php
EE =
- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 p a s s i v
Formelle Bestimmung nach Coulomb nicht üblich → Erddruckbeiwert aus gekrümmter Gleitfuge oder zusammengesetztem Bruchmechansimus.
12. Geländebruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 17
12. Geländebruch • Ebene Gleitfläche:
Unendlich ausgedehnte Böschung: 1
tantan
≥==β
ϕd
d
fd
d
d
TT
ER
Td = Gd ·sin β = Gk ⋅ γG ·sin β Nd = Gd ·cos β = Gk ⋅ γG ⋅ cos β Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'
Hangparallel durchström-te Böschung:
11
1tantan
≥
′+
⋅=
d
w
d
d
d
ER
γγβ
ϕ
Td = V ⋅ (γ'k ⋅ γG ⋅ sin β + γw ⋅ sin β ) Nd = G'd ⋅ cos β = V ⋅ γ'k ⋅ γG ⋅ cos β Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'
Begrenzte Böschung (kohäsiver Boden, β > 60°): ( ) ( )βϑγγβϑγ cotcotcotcot 2
212
21 −⋅⋅=−⋅= hhG Gkdd
ϑγϑ sinsin ⋅⋅=⋅= Gkdd GGT ϑcos⋅= dd GN
( ) ddddddfd tancoscotcothsin
hctanNCT ϕϑβϑγϑ
ϕ ⋅⋅−⋅+⋅=⋅+= 2
21
Maximalwert: d
d
ck
k
d
d
hc
hc
ϕβ
ϕβ
γγγ cossin2
sin22
2
maxmax⋅
−
=
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅ für
20βϕ
ϑ+
= d
Oder GEO-3 Gleiten: 1sin
tan
sintan
,
, ≥⋅
⋅+
=⋅
⋅+==
βγ
ϕγ
βϕ ϕ
d
kd
c
k
d
ddd
vorhandend
möglichd
d
d
G
NC
GNC
TT
ER
• Gekrümmte Gleitfläche – homogener Boden
Rein kohäsiver Boden: zu G ggf. noch veränderliche Lasten P mit Gd + Pd = Gk · γG + Pk · γQ
Ausnutzungsgrad: 0
2,
,
ψτµ
⋅⋅
⋅+⋅=
⋅
⋅+⋅==
∫ d
QdGd
fd
QdGd
haltendd
treibendd
crrPrG
dsr
rPrGMM
bzw.
Teilsicherheitsfaktor: QdGd
k'c rPrG
cr⋅+⋅⋅⋅⋅
=µψγ 0
2
Böden mit Reibung: Kohäsion: C hat Richtung der Sekante des Gleitkreises.
( )2/sin2 0ψ⋅⋅⋅= rcC dd ( )2/sin2 0
0
ψψ⋅
=rrc
Resultierende Q (nach DIN 4084 - inzwischen ist das Zeichen Q für veränderliche Einwirkungen reserviert !) aus Reibung und Normalkraft:
Differenzielle Resultierende dQ berührt den Reibungskreis mit Radius ϕsin⋅= rrQ Standsicherheitsnachweis:
1. Ermittlung von G (zuzüglich veränd. Lasten P wie oben) nach Größe, Lage und Richtung 2. Zusammenfassung zu einer Resultierenden der treibenden Kräfte R mit Hebelarm rR 3. Aus Krafteck ergibt sich eine Kraft Q, die mit R und C im Kräftegleichgewicht ist. 4. Momentengleichgewicht erfüllt, wenn Kraft Q durch den Schnittpunkt von R und C geht 5. Ausnutzungsgrad:
⋅⋅+⋅⋅
⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅
≈=
ϕγϕ
ψγ
ϕψµ
k
c
k
R
dd
R
haltendd
treibendd
rQc
r
rRrQcr
rRMM
tanarctansin
sin0
202
,
,
6. oder Teilsicherheitsfaktor (bei bekanntem, festem γc’):
12. Geländebruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 18
)tan()tan(
d
k
ϕϕ
γ ϕ = mit
=
rrrCRr RcQ
d
),,,(arcsinϕ
• Gekrümmte Gleitfläche – inhomogener Boden (Fellenius) Gleitkörper in Lamellen unterteilen (bessere Abschätzung der Druckverteilung, Berücksichtigung der Schichtung). Lamellenbreite bi, Neigung der Gleitfläche jeweils ϑi. An jeder Lamelle wirken: - Resultierende der äußeren Kräfte (Gewichte Gi, Auflast Pi,) mit Hebelarm r.:
( ) iidid PG ϑsin,, ⋅+∑
- Porenwasserdruck ui auf die Gleitfläche der Länge li = bi/cos ϑi (gleichwertig ersetzbar durch Strömungskräfte in den Lamellen mit errechneten Hebelarmen Zusatzmoment)
- Ei und Ei+1: Erddrücke an den Lamellengrenzen links und rechts unter den Winkeln δi - Normalkraft Ni in der Gleitfuge je nach Annahme für δi:
δi = ϑi → ( ) iiiididid luPGN ⋅−⋅+= ϑcos,,, (nach Fellenius, nur für Voruntersuchungen)
δi = 0 → idii
iiidiiiididid
lcluPGN
,
,,,, tansincos
sincosϕϑµϑ
ϑµϑ⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅−+= (Krey-Bishop vereinfacht)
δi = εi → idiiii
iiiidiiiiiididid
lcluPGN
,
,,,, 'tan)sin()cos(
)sin()cos(cos)(ϕεϑµεϑ
εϑµεϑε⋅−⋅+−
−⋅⋅⋅−−⋅⋅−⋅+=
(Bishop erweitert) - Ti: Schubkraft in der Gleitfuge
ididiidid NlcT ,,,, tanϕ⋅+⋅= (Fellenius, nur für Voruntersuchungen)
( )ididiidid NlcT ,,,, tanϕµ ⋅+⋅⋅= (Krey-Bishop)
Nachzuweisen: Ausnutzungsgrad ( )
( ) 1tansin
,,,
,,
,
, ≤⋅+⋅⋅
⋅+⋅==
∑∑
ididiid
iidid
dR
dE
NlcrPGr
MM
ϕϑ
µ
( )
( )∑
∑
⋅
⋅−⋅++⋅⋅
⋅+⋅=
ϕγϕ
ϑϑ
ϑγ
ϑµ
ik
i
iiiidid
i
i
c
ik
iidid
buPG
bcr
PGr
,,,
,
,,
tancos
coscos
sin (Fellenius)
( )
( )[ ]∑
∑
⋅⋅+
⋅⋅−++⋅
⋅
⋅+⋅=
ϕ
ϕ
γϕ
ϑµϑ
γϕ
ϑγ
ϑµ
ikii
ikiiidid
i
i
c
ik
iidid
buPGbc
r
PGr
,
,,,
,
,,
tansincos
tancos
sin (Krey-Bishop vereinfacht)
iterativ durch Annahme von µ und Einsetzen (DIN 4084)
• Vereinfachte Gleitkreisberechnung c = cu, ϕ = 0
kleinster Sicherheitsfaktor
hK
c
dc
ukcu ⋅⋅
=γ
γ bei 0ϑϑ = und 0ψψ =
Gestrichelt: Lösung bei 0=ψ (Gleitebene)
12. Geländebruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 19
c > 0, ϕ > 0 (Ablesung für ϕ = ϕd) mit Reibungskreisannahme
kleinster Sicherheitsfaktor mit den Koordinaten xm und hm des Kreismittelpunkts (Ablesung für ϕ = ϕd):
hK
c
dc
kc ⋅⋅
=γ
γ
Damm (c = 0, ϕ > 0, Ablesung für ϕ = ϕd) auf cu-Boden
12. Geländebruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 20
kleinster Sicherheitsfaktor mit dem Radius rm und der Mittelpunktshöhe hm
(Ablesung für ϕ = ϕd):
hK
c
dc
ukc ⋅⋅
=γ
γ
• Gewichtete Parameter – Auflast → Zusätzliche Höhe
Bedingung: Q
Gdk
hp
γγγ
⋅⋅
≤3
entspricht zusätzlicher Böschungshöhe: G
Q
d
kp
ph
γγ
γ⋅=
• Boden aus mehreren verschiedenen Schichten:
Gerade Gleitfuge: entweder Annahme des kleineren der beiden (wenn fast gleich), oder Gewichtung
Kohäsion: 21
2211
hhhchcc
+⋅+⋅
=
• Reibungswinkel:
+−⋅+
+⋅= 2
21
21
2221
21
1 )(1
)( hhh
hhh
ϕϕϕ
Gekrümmte Gleitfuge:
Kohäsion: L
L
+++⋅+⋅
=21
2211
ψψψψ ccc
Reibungswinkel: L
L
+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅
=2211
222111
ψψψϕψϕϕ
zzzz
• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010):
Bemess.-situation BS-P BS-T BS-A Ständige Einwirkung γG 1,00 1,00 1,00 Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,30 1,20 1,00 Scherfestigkeit Reibungsbeiwert γϕ' 1,25 1,15 1,10
GEO-3 Verlust der Gesamt-standsicherheit
Scherfestigkeit Kohäsion γc', γcu 1,25 1,15 1,10
13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 21
13. Gleiten und Grundbruch
• Sicherheitsmodell: Bezugsgröße Kraft: Gleiten
d,pdd RRH +≤ Bemessungswert der Beanspruchung in Richtung der Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des Gleitwiderstands + Erdwiderstand
Grundbruch dd RV ≤ Bemessungswert der Beanspruchung
senkrecht zur Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des Grundbruchwiderstands
• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010): Bemessungssituation BS-P BS-T BS-A Ständige Einwirkung γG 1,35 1,20 1,10 Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,50 1,30 1,10 Erd- und Grundbruchwiderstand γR,e , γR,v 1,40 1,30 1,20
GEO-2 Versagen von Bauwerken
Gleitwiderstand γR,h 1,10 1,10 1,10 • Einwirkung und Widerstand Gleiten: Hd = HG,k · γG + HQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung) Rp,d = Rp,k / γR,e (Bodenreakton an der Stirnseite des Fundamentkörpers) Rd = Rt,k / γR,h (Bemessungs-Gleitwiderstand) mit k,uk,t cAR ⋅= (Anf.-zustand cu-Fall)
bzw. kkk,t tanVR δ⋅= (Endzustand nach Konsolidierung)
bzw. kkkk,t 'cA'tanVR ⋅+⋅= ϕ (Bruchfläche im Boden) • Einwirkung und Widerstand Grundbruch: Vd = VG,k · γG + VQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung) Rd = Rn,k / γR,v (Bemessungs-Grundbruchwiderstand)
γ1
γ2, ϕ, c
db
lotrechte mittigeBelastung (Resultierende) b
a a > b
Form der Grundbruchfigurabhängig von ϕ
• Grundbruchlast (lotrecht mittig belastetes Fundament): )(
reiteGründungsb
02
iefeGründungst
01
Kohäsion
0 44 344 2144 344 2143421 bbkddkccknk NbNdNcabR νγνγν ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
d = geringste Gründungstiefe unter GOK b = Breite, a = Länge b ≤ a γ1k: Wichte Boden oberhalb Gründungssohle γ2k: Wichte Boden unterhalb Gründungssohle Nx0: Tragfähigkeitsbeiwerte:
ϕk 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0 32,5 35,0 37,5 40,0 42,5 Nc0 5,0 6,5 8,5 11,0 15,0 17,5 20,5 25,0 30,0 37,0 46,0 53,0 75,0 99,0 Nd0 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 8,0 10,5 14,0 18,0 25,0 33,0 46,0 64,0 92,0 Nb0 0,0 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 4,5 7,0 10,0 15,0 23,0 34,0 53,0 83,0
( )
°+⋅⋅= 45
2tantanexp 2
0k
kdN ϕϕπ k
dc
NNϕtan
100
−= ( ) kdb NN ϕtan100 ⋅−=
13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 22
νx: Formbeiwerte: Grundrißform νc (ϕ ≠ 0) νc (ϕ = 0) νd νb Streifen 1,0 1,0 1,0 1,0 Rechteck 1 + 0,2 ⋅ b / a 1 + b / a ⋅ sin ϕk 1 – 0,3 ⋅ b / a Quadrat / Kreis 1
1
0
0
−−⋅
d
dd
NNν
1,2 1 + sin ϕk 0,7
• Grundbruchlast (schräg und außermittig belastete Fundamente):
)'(''reiteGründungsb
2
iefeGründungst
1
Kohäsion4342143421321 bkdkcknk NbNdNcabR ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= γγ mit
Nb = Nb0 · νb · ib · λb · ξb
Nd = Nd0 · νd · id · λd · ξd
Nc = Nc0 · νc · ic · λc · ξc
Tragfähigkeitsbeiwerte für den Einfluss der Grundrissform (ν) und der Neigungen der Einwirkung (i), des Geländes (λ) und der Sohlfläche (ξ)
a', b': rechnerische Länge, bzw. Breite des Gründungskörpers a' > b'
xexx ⋅−=′ 2 a,b → x!
VMe xx = (M auf Mittelpunkt Sohle bezogen) Nx: Tragfähigkeitsbeiwerte (wie oben) νx': Formbeiwerte (mit a' und b' wie oben)
γ1
γ2, ϕ, c
bb'
a
a'eb
ea
2 ea
Resultierende aus Lastund Erdwiderstand Ep
V
H
ix: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Lastneigung δ = arctan( Tk/Nk) gegen das Lot auf die Sohlfläche und ggf. von ω im Grundriss (Winkel von H gegen die Richtung von a’)
δ > 0°: ib = (1 - tan δ)m+1 id = (1 - tan δ)m ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1) δ < 0°: ib = kϕδ ⋅+⋅− 028,064,0)04,01(
id = kϕδ ⋅+⋅− 04,003,0)0244,01(
ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2
ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1)
mit
m = ''''
12
baba
++
cos2ω + ''''
12
abab
++
sin2ω
id = 1
ick
k
cAT⋅
−+= 15,05,0
ϕk= 0° und ck > 0 kN/m2
ib entfällt λx: Neigungsbeiwerte: abhängig von Geländeneigung β < ϕk (quer zum Gründungskörper,λx =1 für β =0)
λb = (1 - 0,5 tan β)6 λd = (1 - tan β)1,9
ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2, β ≤ ϕk
λc = 1
1
0
tan0349,00
−−⋅ ⋅⋅−
d
d
NeN kϕβ
λc = 1 - 0,4 tan β λd = (1 - tan β)1,9
ϕk = 0° und ck > 0 kN/m2
λb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕk) = 0 ξx: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Sohlflächenneigung α (positiv bei in Verschiebungsrichtung ansteigender Sohle, ξx =1 für α =0)
ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2
ξb = ξd = ξc = ke ϕα tan045,0 ⋅⋅−
ξd = 1,0 ξc = 1 - 0,0068 α
ϕk = 0° und ck > 0 kN/m2 ξb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕk) = 0
13. Gleiten und Grundbruch SS 2011
Formelsammlung Bodenmechanik I 23